TINJAUAN PUSTAKA. Distribusi Weibull adalah distribusi yang paling banyak digunakan untuk waktu

Transkripsi

1 II. TINJAUAN PUSTAKA. Distribusi Weibull Distribusi Weibull adalah distribusi yang paling banyak digunakan untuk waktu hidup dalam tekhnik ketahanan. Distribusi ini adalah distribusi serbaguna yang dapat mengambil karakteristik dari jenis distribusi lain berdasarkan pada nilai dari bentuk parameter epslutc 0... Fungsi kepekatan peluang kp distribusi Weibull dua parameter Misal adalah peubah acak maka kp dari peubah acak Weibull dengan parameter bentuk dan parameter skala θ akan dinotasikan oleh = 0 Gupta dan Kundu 00.. Distribusi ksponensial Umum Distribusi eksponensial umum Generalized ponential Distrubution pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 999. Distribusi ini diambil dari salah satu ungsi kepadatan kumulati yang digunakan pada pertengahan abad

2 5 9 Gompertz-Verhulst untuk membandingkan tabel kematian dan menghasilkan laju pertumbuhan penduduk Gupta dan Kundu Fungsi Kepekatan Peluang kp Distribusi ksponensial Umum Misal adalah peubah acak maka kp dari peubah acak distribusi eksponensial umum dengan parameter bentuk dan parameter skala λ akan dinotasikan oleh G e e 0 Gupta dan Kundu Metode Penduga Kemungkinan Maksimum Maimum Likelihood stimators Metode penduga kemungkinan maksimum diperkenalkan oleh Fisher pada tahun 9. Metode ini dilakukan untuk mencari dugaan dari parameter-parameter suatu distribusi dengan memaksimumkan ungsi peluang atau ungsi kepekatannya. Deinisi.8 Misalkan... n merupakan sampel acak berukuran n dengan ungsi kepekatannya maka i L L n i... L i n

3 6 Dimana digunakan untuk mengindikasi data sampel. Pendugaan parameter dengan metode ini diawali dengan membangun ungsi kemungkinan untuk memperoleh nilai dugaan parameter. Biasanya jika mengalami kesulitan dalam penyelesaian penduga parameter dengan metode ini maka dalam pengerjaannya dapat diatasi dengan menggunakan logaritma atau ungsi dari ungsi kemungkinan yaitu: L n i i Nilai parameter yang maksimum dimaksimumkam dengan ungsi pendugaan kemungkinan maksimum ini umumnya disimbolkan dengan ˆ. Karena logaritma merupakan ungsi monotonik maka nilai maksimum L bisa disamakan dengan maksimum L. Fungsi kemungkinan dan ungsi logaritma itu dinilai sebagai θ yang biasanya disimbolkan dengan L atau L. Sehingga kondisi memaksimumkan L adalah dengan menurunkannya terhadap parameternya dimana hasil turunannya sama dengan nol: L 0 Itulah yang disebut dengan ungsi kemungkinan maksimum Maimum Likelihood unction Greene 000.

4 7.4 Metode Newton-Raphson Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul di dalam beberapa disiplin ilmu pengetahuan seperti bidang isika kimia ekonomi atau pada persoalan rekayasa engineering. Sering sekali persoalan itu muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau rumit. Persoalan yang rumit ini adakalanya tidak bisa diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi sejatinya eact solution sehingga dapat diselesaikan dengan metode numerik. Komputer berperan besar dalam perkembangan bidang metode numerik karena selain mempercepat perhitungan numerik juga dapat mencoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter. Solusi yang diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah-ubah nilai parameternya. Mencari akar-akar penyelesaian suatu persamaan yang dinyatakan dalam bentuk = 0 adalah suatu hal-hal yang banyak dijumpai dalam matematika dan sains. Diantara semua metode pencari akar metode Newton-Raphsonlah yang paling terkenal dan banyak dipakai dalam terapan sains dan rekayasa. Metode ini paling disukai karena konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya. Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson yaitu:. Penurunan rumus Newton-Raphson secara geometri. Misal = 0 adalah suatu persamaan yang mempunyai akar dan dapat didierensialkan sehingga = memiliki garis singgung di setiap titik pada kurva ungsinya.

5 8 Misal radien garis singgung di adalah = = = 0 Atau = Sehingga prosedur iterasi metode Newton Raphson adalah = 0. Penurunan rumus Newton-Raphson dengan bantuan deret Taylor Uraikan disekitar kedalam deret Taylor: + + < < jika dipotong sampai suku orde ke- menjadi + Dan karena persoalan mencari akar maka = 0 sehingga = + = 0 = 0 Yang merupakan rumus metode Newton-Raphson.

6 9 Kondisi iterasi metode Newton-Raphson berhenti apabila < Atau bila menggunakan galat relati hampiran < Dengan dan adalah toleransi galat yang diinginkan. Langkah-langkah metode Newton-Raphson adalah sebagai berikut:. Masukkan nilai awal sembarang. Tentukan persamaan ungsi dan turunan pertamanya 3. Masukkan persamaan ungsi dan turunan pertamanya ke dalam rumus Newton-Raphson sampai dengan eror< sehigga diperoleh nilai akar ungsi Bambang Triatmojo Keluarga ksponensial Anggap suatu keluarga : adalah himpunan interval dari ungsi kepekatan peluang dimana Ω : dengan dan konstan maka epp K S q a b 0 selainnya.

7 0 Suatu distribusi dikatakan sebagai anggota dari distribusi eksponensial apabila:. a dan b tidak bergantung pada θ. p adalah ungsi kontinu nontrivial bagi θ 3. Masing-masing dari K ' 0 dan S adalah ungsi kontinu bagi a<<b. Dimana ketiganya merupakan syarat suatu regular case dari keluarga eksponensial. Jika ketiganya tidak terpenuhi maka dikatakan irregular case dari keluarga eksponensial Hogg dan Craig Inormasi Fisher Misalkan merupakan peubah acak dengan ungsi kepekatan peluang kp dimana ruang parameternya Ω interval. Dianggap kasus khusus yang kadang disebut dengan regular case dari kp yang didierensialkan dengan tanda integral. Pada bagian ini menjelaskan bahwa parameter θ tidak tampak pada bagian akhir interval 0. Dengan asumsi ini dapat dijelaskan bahwa d Jika diturunkan terhadap θ maka akan menjadi d 0 Dan dapat dijabarkan menjadi

8 0 d d Kemudian jika diturunkan kembali akan menghasilkan 0 d Sehingga diambil bagian yang kedua yang merupakan bagian dari persamaan di atas dan dapat ditulis dengan d d Maka yang disebut dengan inormasi isher dengan disimbolkan sebagai I adalah d I Atau dapat ditulis dengan d I Hogg dan Craig 978.

9 .7 Matriks Inormasi Fisher Misal sampel acak... n dari suatu sebaran dengan ungsi kepekatan peluang di mana kondisi keteraturan ada. Tanpa menggambarkan kondisi ini secara rinci misalkan dikatakan bahwa ruang di dimana 0 tidak mengandung dan dan dapat menurunkan bawah tanda integral. Sehingga matriks inormasi ishernya adalah I n I n Hogg dan Craig Teorema Nilai Tengah Untuk membuktikan siat asimtotik normalitas suatu distribusi maka dibutuhkan teori yang mendukung tentang nilai tengah. Berikut ini dijelaskan mengenai teorema nilai tengah.

10 3 Teorema. Jika kontinu pada selang tertutup [ ] dan terdierensial pada titik-titik dalam dari maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam dimana = Atau setara juga dengan = Purcell dan Varberg Teorema Limit Pusat Untuk membuktikan siat asimtotik suatu distribusi juga dibutuhkan teori yang mendukung tentang limit pusat. Berikut ini dijelaskan mengenai teorema limit pusat. Teorema. Misalkan menyimbolkan observasi sebuah peubah acak dari sebuah distribusi dengan nilai tengah adalah dan ragam positi. Sehingga peubah acak = = memiliki pendekatan distribusi normal dengan nilai tengah nol dan ragam satu Hogg dan Craig 995.

11 4.0 Siat Asimtotik Normalitas Penduga Kemungkinan Maksimum Penduga kemungkinan maksimum maimum likekihood estimators merupakan penduga yang lebih atrakti karena jumlah sampeya yang besar atau siat asimtotiknya. Salah satu siat asimtotik dari penduga kemungkinan maksimum adalah asimtotik normalitas. Penduga kemungkinan maksimum dikatakan asimtotik normalitas apabila ˆ ML a ~ N I l L Dimana I n ' Dengan kata lain penduga kemungkinan maksimum disebut dengan asimtotik normalitas apabila d n ˆ N 0 I Greene Uji Rasio Kemungkinan Likelihood Ratio Test Misalkan... n melambangkan n peubah acak independen yang memiliki masing-masing ungsi kepekatan peluang... i=... n. i i m Himpunan yang terdiri dari semua titik parameter... m dinotasikan oleh yang disebut ruang parameter. Misalkan menjadi sebuah subset dari ruang parameter.

12 5 Misalkan hipotesis H 0 :... merupakan semua hipotesis alternati. Deinisi ungsi kemungkinan: m n L i i... m... m i Dan n L i i... m... m i Misalkan Lˆ dan Lˆ maksimum yang di asumsikan ada dari dua ungsi kemungkinan. Rasio dari Lˆ ke Lˆ disebut rasio kemungkinan likelihood ratio dan dinotasikan oleh L... n L L ˆ L ˆ Hogg dan Craig 978.