dx = F(x) + C (P.6.1)

Transkripsi

1 Bab 6 Integrasi Numerik Pelajarila jagad raya ini. Jangan kecewa karena dunia tidak mengenal anda, tetapi kecewala karena anda tidak mengenal dunia. (Kong Fu Tse - filusuf Cina) Di dalam kalkulus, integral adala satu dari dua pokok baasan yang mendasar disamping turunan (derivative). Dalam kulia kalkulus integral, anda tela diajarkan cara memperole solusi analitik (dan eksak) dari integral Tak-tentu maupun integral Tentu. Integral Tak-tentu dinyatakan sebagai f ( ) d = F() + C (P.6.) Solusinya, F(), adala fungsi menerus sedemikian seingga F'() = f(), dan C adala sebua konstanta. Integral Tentu menangani peritungan integral di antara batas-batas yang tela ditentukan, yang dinyatakan sebagai I = b a f ( ) d (P.6.) Menurut teorema dasar kalkulus integral, persamaan (P.6.) diitung sebagai b a f ( ) d = F() b a = F(b) - F(a) Secara geometri, integrasi Tentu sama dengan luas daera yang dibatasi ole kurva y = f(), garis = a dan garis = b (Gambar 6.). Daera yang dimaksud ditunjukkan ole bagian yang diarsir. Bab 6 Integrasi Numerik 69

2 y y = f() a b Gambar 6. Tafsiran geometri integral Tentu Fungsi-fungsi yang dapat diintegrasikan dapat dikelompokkan sebagai. Fungsi menerus yang sederana, seperti polinomial, eksponensial, atau fungsi trigonometri. Misalnya, ( 6 + cos( ) e ) d Fungsi sederana seperti ini muda diitung integralnya secara eksak dengan menggunakan metode analitik. Metode-metode analitik untuk mengitung integral fungsi yang demikian suda tersedia, yaitu a n d = e a d = a n+ /(n+) + C e a /a+ C sin(a+b) d = -/a cos(a+b) + C cos(a+b) d = /a sin(a+b) + C d/ = ln + C ln d = ln - + C. Fungsi menerus yang rumit, misalnya + cos +.5sin ( + ).5 e d 7 Metode Numerik

3 Fungsi yang rumit seperti ini jelas sulit, bakan tidak mungkin, diselesaikan dengan metode-metode integrasi yang sederana. Karena itu, solusinya anya dapat diitung dengan metode numerik.. Fungsi yang ditabulasikan, yang dalam al ini nilai dan f() diberikan dalam sejumla titik diskrit. Fungsi seperti ini sering dijumpai pada data asil eksperimen di laboratorium atau berupa data pengamatan di lapangan. Pada kasus terakir ini, umumnya fungsi f() tidak diketaui secara eksplisit. Yang dapat diukur anyala besaran fisisnya saja. Misalnya, f() Integrasi fungsi seperti ini jelas arus didikerjakan secara numerik. 6. Terapan Integral dalam Bidang Sains dan Rekayasa Integral mempunyai banyak terapan dalam bidang sains dan rekayasa. Dalam praktek rekayasa, seringkali fungsi yang diintegrasikan (integrand) adala fungsi empirik yang diberikan dalam bentuk tabel, atau integrand-nya tidak dalam bentuk fungsi elementer (seperti sin, fungsi Gamma Γ(α), dsb), atau fungsi eksplisit f yang terlalu rumit untuk diintegralkan [KRE88]. Ole sebab itu, metode numerik dapat digunakan untuk mengampiri integrasi. Di bawa ini diberikan beberapa conto persoalan dalam bidang sains dan rekayasa.. Dalam bidang fisika, integral digunakan untuk mengitung persamaan kecepatan. Misalkan kecepatan sebua partikel merupakan fungsi waktu menerus yang diketaui teradap waktu, v(t). Jarak total d yang ditempu ole partikel ini selama waktu t diberikan ole: d = t v( t) dt Bab 6 Integrasi Numerik 7

4 . Dalam bidang teknik elektro/kelistrikan, tela diketaui bawa arga rata-rata suatu arus listrik yang berosilasi sepanjang satu periode bole nol. Disamping kenyataan bawa asil netto adala nol, arus tersebut mampu menimbulkan kerja dan mengasilkan panas. Karena itu para rekayasawan listrik sering mencirikan arus yang demikian dengan persamaan I RMS T ( t) i = T dt yang dalam al ini I RMS adala arus RMS (root-mean-square), T adala periode, dan i(t) adala arus pada rangkaian, misalnya i(t) = 5e -t sin πt untuk t T/ = untuk T/ t T. Conto fungsi dalam bentuk tabel adala pengukuran fluks panas mataari yang diberikan ole tabel berikut: Waktu, jam Fluks panas q, kalori/cm/jam Data yang ditabulasikan pada tabel ini memberikan pengukuran fluks panas q setiap jam pada permukaan sebua kolektor sinar mataari. Diminta 7 Metode Numerik

5 memperkiraan panas total yang diserap ole panel kolektor seluas 5. cm selama waktu 4 jam. Panel mempunyai kemangkusan penyerapan (absorption), e ab, sebesar 45%. Panas total yang diserap diberikan ole persamaan H = e ab t qadt Demikianla beberapa conto terapan integral dalam bidang sains dan rekayasa. Umumnya fungsi yang diintegralkan bentuknya rumit seingga sukar diselesaikan secara analitik. Karena itu, peritungan integral secara numerik lebi banyak dipraktekkan ole para insinyur. 6. Persoalan Integrasi Numerik Persoalan integrasi numerik iala mengitung secara numerik integral Tentu I = b a f ( ) d yang dalam al ini a dan b batas-batas integrasi, f adala fungsi yang dapat diberikan secara eksplisit dalam bentuk persamaan ataupun secara empirik dalam bentuk tabel nilai. Terdapat tiga pendekatan dalam menurunkan rumus integrasi numerik. Pendekatan pertama adala berdasarkan tafsiran geometri integral Tentu. Daera integrasi dibagi atas sejumla pias (strip) yang berbentuk segiempat. Luas daera integrasi diampiri dengan luas seluru pias. Rumus, dalam bab ini disebut kaida, integrasi numerik yang diturunkan dengan pendekatan ini digolongkan ke dalam metode pias. Pendekatan kedua adala berdasarkan polinom interpolasi. Di sini fungsi integrand f() diampiri dengan polinom interpolasi p n (). Selanjutnya, integrasi dilakukan teradap p n () karena polinom lebi muda diintegralkan ketimbang mengintegralkan f(). Rumus integrasi numerik yang diturunkan dengan pendekatan ini digolongkan ke dalam metode Newton-Cotes, yaitu metode yang umum untuk menurunkan rumus integarsi numerik.. Pendekatan ketiga sama sekali tidak menggunakan titik-titik diskrit sebagaimana pada kedua pendekatan di atas. Nilai integral diperole dengan mengevaluasi nilai fungsi pada sejumla titik tertentu di dalam selang [-, ], mengalikannya Bab 6 Integrasi Numerik 7

6 dengan suatu konstanta, kemudian menjumlakan keseluruan peritungan. Pendekatan ketiga ini dinamakan Kuadratur Gauss, yang akan dibaas pada bagian akir bab ini. 6. Metode Pias Pada umumnya, metode peritungan integral secara numerik bekerja dengan sejumla titik diskrit. Karena data yang ditabulasikan suda berbentuk demikian, maka secara alami ia sesuai dengan kebanyakan metode integrasi numerik. Untuk fungsi menerus, titik-titik diskrit itu diperole dengan menggunakan persamaan fungsi yang diberikan untuk mengasilkan tabel nilai. Diubungkan dengan tafsiran geometri inttegral Tentu, titik-titik pada tabel sama dengan membagi selang integrasi [a, b] menjadi n bua pias (strip) atau segmen (Gambar 6.). Lebar tiap pias adala = b a n (P.6.) Titik absis pias dinyatakan sebagai r = a + r, r =,,,..., n (P.6.4) dan nilai fungsi pada titik absis pias adala f r = f( r ) (P.6.5) Luas daera integrasi [a, b] diampiri sebagai luas n bua pias. Metode integrasi numerik yang berbasis pias ini disebut metode pias. Ada juga buku yang menyebutnya metode kuadratur, karena pias berbentuk segiempat. r r f r f f f f 4 4 f n- n- f n- n- n- f n- n n f n y f f n n- f f f a = n- n =b y =f() Gambar 6. Metode pias 74 Metode Numerik

7 Kaida integrasi numerik yang dapat diturunkan dengan metode pias adala:. Kaida segiempat (rectangle rule). Kaida trapesium (trapezoidal rule). Kaida titik tenga (midpoint rule) Dua kaida pertama pada akekatnya sama, anya cara penurunan rumusnya yang berbeda, sedangkan kaida yang ketiga, kaida titik tenga, merupakan bentuk kompromi untuk memperole nilai ampiran yang lebi baik. 6.. Kaida Segiempat Pandang sebua pias berbentuk empat persegi panjang dari = sampai = berikut (Gambar 6.). y y = f() Gambar 6. Kaida segiempat Luas satu pias adala (tinggi pias = f( ) ) f ( ) d f( ) (P.6.6) atau (tinggi pias = f( ) ) f ( ) d f( ) (P.6.7) Bab 6 Integrasi Numerik 75

8 Jadi, f ( ) d f ( ) f ( ) d f( ) + f ( ) d [ f( ) + f( )] Bagi setiap ruas persamaan asil penjumlaan di atas dengan, untuk mengasilkan f ( ) d [f( ) + f( )] (P.6.8) Persamaan (P.6.8) ini dinamakan kaida segiempat. Kaida segiempat untuk satu pias dapat kita perluas untuk mengitung I = b a f ( ) d yang dalam al ini, I sama dengan luas daera integrasi dalam selang [a, b]. Luas daera tersebut diperole dengan membagi selang [a, b] menjadi n bua pias segiempat dengan lebar, yaitu pias dengan absis [, ], [, ], [, ],..., dan pias [ n-, n ]. Jumla luas seluru pias segiempat itu adala ampiran luas I (Gambar 6.4). Kaida integrasi yang diperole adala kaida segiempat gabungan (composite rectangle's rule): b a f ( ) d f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( n- ) b a f ( ) d f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( n ) + b a f ( ) d f( ) + f ( ) + f( ) f( n- ) + f( n ) 76 Metode Numerik

9 Bagi setiap ruas persamaan asil penjumlaan di atas dengan, untuk mengasilkan b a f ( ) d f ( ) + f( ) + f( ) f( n- ) + f (n ) Jadi, kaida segiempat gabungan adala b a f ( ) d n ( f + f + f f n- + f n ) = (f + i= f i + f n ) (P.6.9) dengan f r = f( r ), r =,,,..., n. y y = f()... a =... n- n- n = b Gambar 6.4 Kaida segiempat gabungan 6.. Kaida Trapesium Pandang sebua pias berbentuk trapesium dari = sampai = berikut (Gambar 6.5): Luas satu trapesium adala f ( ) d [ f( ) + f( )] (P.6.) Bab 6 Integrasi Numerik 77

10 Persamaan (P.6.) ini dikenal dengan nama kaida trapesium. Catatla bawa kaida trapesium sama dengan kaida segiempat. y Gambar 6.5 Kaida trapesium Bila selang [a, b] dibagi atas n bua pias trapesium, kaida integrasi yang diperole adala kaida trapesium gabungan (composite trapezoidal's rule): b a f ( ) d f ( ) d + f ( ) d n n f ( ) d [ f( ) + f( )] + [ f( )+ f( )] [ f(n- ) + f( n )] [ f( ) + f( ) + f( ) f( n- ) + f( n )] n ( f + i= f + f n ) (P.6.) dengan f r = f( r ), r =,,,..., n. 78 Metode Numerik

11 Program 6. Kaida Trapesium procedure trapesium(a, b : real; n: integer; var I : real); { Mengitung integrasi f() di dalam selang [a, b] dan jumlas pias adala n dengan menggunakan kaida trapesium. K.Awal : nilai a, b, dan n suda terdefinisi K.Akir: I adala ampiran integrasi yang diitung dengan kaida segi-empat. } var,, sigma: real; r : integer; begin :=(b-a)/n; {lebar pias} :=a; {awal selang integrasi} I:=f(a) + f(b); sigma:=; for r:= to n- do begin :=+; sigma:=sigma + *f(); end; I:=(I+sigma)*/; { nilai integrasi numerik} end; 6.. Kaida Titik Tenga Pandang sebua pias berbentuk empat persegi panjang dari = sampai = dan titik tenga absis = + / (Gambar 6.6). Luas satu pias adala f ( ) d f( + /) f( / ) P.6.) Persamaan (P.6.) ini dikenal dengan nama kaida titik-tenga. Bab 6 Integrasi Numerik 79

12 y y = f() +/ Gambar 6.6 Kaida titik tenga Kaida titik-tenga gabungan adala (Gambar 6.7): b a f ( ) d f ( ) d + f ( ) d n n f ( ) d f( / ) + f( / ) + f( 5/ ) + f( 7/ ) f( n-/ ) (f / + f / f n-/ ) i= n f i+/ P.6.) yang dalam al ini, dan r+/ = a + (r+/)) f r +/ = f( r+/ ) r =,,,..,n- 8 Metode Numerik

13 y y = f()... a b / / 5/... n-/ n-/ Gambar 6.7 Kaida titik-tenga gabungan Program 6. KaidaTitik-tenga procedure titik_tenga(a, b : real; n: integer; var I : real); { mengitung integrasi f() dalam selang [a, b] dengan jumla pias sebanyak n. K.Awal : arga a, b, dan n suda terdefinisi K.Akir: I adala ampiran integrasi yang diitung dengan kaida titik-tenga } var,, sigma : real; r : integer; begin :=(b-a)/n; {lebar pias} := a+/; {titik tenga pertama} sigma:=f(); for r:= to n- do begin :=+; sigma:=sigma + f() end; I:=sigma*; { nilai integrasi numerik} end; Bab 6 Integrasi Numerik 8

14 6..4 Galat Metode Pias Sekarang akan kita itung berapa besar galat asil integrasi untuk masing-masing metode. Misalkan dan I adala nilai integrasi sejati I ' adala integrasi secara numerik maka galat asil integrasi numerik didefenisikan sebagai E = I I ' (P.6.4) Untuk penurunan galat, kita tinjau galat integrasi di dalam selang [, ], I = f ( ) d (P.6.5) y galat y = f() Gambar 6.8 Galat kaida trapesium (bagian yang diarsir) Untuk setiap kaida akan kita turunkan galatnya berikut ini. 8 Metode Numerik

15 6..4. Galat Kaida Trapesium Galat untuk satu bua pias (Gambar 6.8) adala E = f ( ) d - ( f + f ) Uraikan f() ke dalam deret Taylor di sekitar = f() = f + f ' + f " + 6 f "' +... Uraikan f = f( ) = f() ke dalam deret Taylor di sekitar = f = f( ) = f() = f + f ' + f " +... Maka, E = [ f + f ' + f " + 6 f "' +... ]d - f - [ f + f ' + f " +...] = f + / f ' + /6 f "'+..] - / f - / f - / f ' - /4 f "' -... = (f o + / f ' + /6 f " +...) - (f + / f ' + /4 f "'+...) = - f " f "(t), < t < (P.6.6) O( ) Jadi, f ( ) d ( f + f ) + O( ) (P.6.7) Bab 6 Integrasi Numerik 8

16 Persamaan (P.6.7) ini menyatakan bawa galat kaida trapesium sebanding dengan. Pernyataan ini dibuat dengan andaian bawa f() menerus dalam selang [, ]. Jika tidak, maka galat tidak sebanding dengan [NAK9]. Untuk n bua pias, galat keseluruan (total) adala E tot - ( f " + f " + f " f " n- ) yang dapat disederanakan dengan teorema nilai antara untuk penjumlaan menjadi E tot - n i= f i " - n f "(t), a < t < b (P.6.8) Mengingat = b a n maka E tot -n f "(t) - n b a n f "(t) - (b - a) f "(t) (P.6.9) O( ) Dengan demikian, b a n f ( ) d = ( f + i= f i + f n ) + O( ) (P.6.) Jadi, galat total integrasi dengan kaida trapesium sebanding dengan kuadrat lebar pias (). Semakin kecil ukuran ukuran, semakin kecil pula galatnya, namun semakin banyak jumla komputasinya. 84 Metode Numerik

17 Conto 6.. [GER85] Hitung integral 4 e d dengan kaida trapesium. Ambil =.. Perkirakan juga batas- batas galatnya. Gunakan 5 angka bena. Penyelesaian:.8 Fungsi integrand-nya adala f() = e Jumla pias adala n = (b-a)/ = (.4 -.8)/. = 8 Tabel data diskritnya adala sebagai berikut: r r f( r ) r r f( r ) Nilai integrasinya,. 4.8 e d (f + f + f f 6 + f 7 + f 8 ). [[6.5 + (7.89) + (9.5) (6.445) + (.86) + (4.5) ].994 Nilai integrasi sejatinya adala. 4.8 e d = e =.8 =. 4 = e.4 - e.8 = =.94 Galat kaida trapesium: E = - (b - a) f "(t),.8 < t <.4 Bab 6 Integrasi Numerik 85

18 Karena f() = e, f '() = e, dan f "() = e maka E = -. (.4 -.8) e,.8 < t <.4 Karena fungsi f() = e menaik secara monoton di dalam selang [.8,.4], maka kita dapat menentukan batas-batas galatnya: atau E = - (.) e (.4 -.8) e -. < E < Di sini nilai sejati I arus terletak di antara.8.4 ( min) =.( min) ( ma) =.598( ma) =.84 dan =.96 (nilai integrasi sejatinya adala.94, yang memang terletak di antara.84 dan.96). Galat asil integrasi 4 e d adala = -.8 yang memang terletak di antara galat minimum dan galat maksimum Galat Kaida Titik Tenga Galat untuk satu bua pias adala E = f ( ) d - f / Dengan cara penurunan yang sama seperti pada kaida trapesium, dapat dibuktikan bawa E f "(t), < t < (P.6.) 4 Galat untuk seluru pias adala E tot n 4 f "(t), a < t < b 86 Metode Numerik

19 4 ( b - a) f "(t) (P.6.) = O( ) Dapat diliat bawa galat integrasi dengan kaida titik tenga sama dengan / kali galat pada kaida trapesium namun berbeda tanda. Dengan kata lain, kaida titik tenga lebi baik daripada kaida trapesium. Sayangnya, kaida titik-tenga tidak dapat diterapkan jika fungsi f() tidak diketaui secara eksplisit (anya tersedia data berupa tabel titik-titik saja) sebab kita tidak dapat mengitung nilai tenga, f r+/. 6.4 Metode Newton-Cotes Metode Newton-Cotes adala metode yang umum untuk menurunkan kaida integrasi numerik. Polinom interpolasi menjadi dasar metode Newton-Cotes. Gagasannya adala mengampiri fungsi f() dengan polinom interpolasi p n () I = b a f ( ) d b a p ( ) d (P.6.) n yang dalam al ini, p n () = a + a + a a n- n- + a n n Mengapa polinom interpolasi? Karena suku-suku polinom muda diintegralkan dengan rumus integral yang suda baku, yaitu a n a d = n + n+ + C Sembarang polinom interpolasi yang tela kita baas di dalam Bab 5 dapat digunakan sebagai ampiran fungsi, tetapi di dalam bab ini polinom interpolasi yang kita pakai adala polinom Newton-Gregory maju: p n () = f + ( - ) f! + ( - )( - ) f! + + n n ( - )( - )...( - n- ) f n! Bab 6 Integrasi Numerik 87

20 Dari beberapa kaida integrasi numerik yang diturunkan dari metode Newton-Cotes, tiga di antaranya yang terkenal adala:. Kaida trapesium (Trapezoidal rule). Kaida Simpson / (Simpson's / rule). Kaida Simpson /8 (Simpson's /8 rule) Sebagai catatan, kaida trapesium suda kita turunkan dengan metode pias. Metode Newton-Cotes memberikan pendekatan lain penurunan kaida trapesium Kaida Trapesium Diberikan dua bua titik data (, f()) dan (, f()). Polinom interpolasi yang melalui kedua bua titik itu adala sebua garis lurus. Luas daera yang diitung sebagai ampiran nilai integrasi adala daera di bawa garis lurus tersebut (Gambar 6.9). y y = p () y = f() = = Gambar 6.9 Kaida trapesium Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat yang melalui kedua bua titik itu adala p () = f( ) + f ( ) f = f + 88 Metode Numerik

21 Integrasikan p () di dalam selang [,]: I f ( ) d p ( d ) ( f + f ) d f + = f = f + f f + ( f - f ), sebab f = f -f f + f ( f + f ) Jadi, kaida trapesium adala f ( ) d ( f + f ) (P.6.) Galat kaida trapesium suda kita turunkan sebelumnya pada metode pias, yaitu E = - f "(t) = O( ), < t < Jadi, f ( ) d ( f + f ) + O( ) (P.6.4) Bab 6 Integrasi Numerik 89

22 Kaida trapesium untuk integrasi dalam selang [, ] kita perluas untuk mengitung I = b a f ( ) d yang dalam al ini, I sama dengan luas daera integrasi di dalam selang [a, b]. Luas daera tersebut diperole dengan membagi selang [a, b] menjadi n bua upaselang (subinterval) dengan lebar tiap upaselang, yaitu [, ], [, ], [, ],..., [ n-, n ]. Titik-titik ujung tiap upaselang diinterpolasi dengan polinom derajat. Jadi, di dalam selang [a, b] terdapat n bua polinom derajat satu yang terpotong-potong (piecewise). Integrasi masing-masing polinom itu mengasilkan n bua kaida trapesium yang disebut kaida trapesium gabungan. Luas daera integrasi di dalam selang [a, b] adala jumla seluru luas trapesium, yaitu f ( ) d f ( ) d + f ( ) d n f ( ) d b a n ( f + f ) + ( f + f ) ( fn- + f n ) ( f + f + f f n- + f n ) n ( f + f i + i= dengan f r = f( r ), r =,,,..., n. f n ) (P.6.5) Galat total kaida trapesium gabungan suda kita turunkan pada metode pias, yaitu E tot - ( b - a) f "(t) = O( ), < t < n Dengan demikian, b a f ) d ( = ( f + n i= f i + f n ) + O( ) (P.6.6) Jadi, galat integrasi dengan kaida trapesium sebanding dengan. 9 Metode Numerik

23 6.4. Kaida Simpson / Hampiran nilai integrasi yang lebi baik dapat ditingkatkan dengan mengunakan polinom interpolasi berderajat yang lebi tinggi. Misalkan fungsi f() diampiri dengan polinom interpolasi derajat yang grafiknya berbentuk parabola. Luas daera yang diitung sebagai ampiran nilai integrasi adala daera di bawa parabola (Gambar 6.). Untuk itu, dibutukan bua titik data, misalkan (, f()), (, f()), dan (, f()). y y = p () y = f() = = = Gambar 6. Kaida Simpson / Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat yang melalui ketiga bua titik tersebut adala p () = f( ) + f( ) + ( )! Integrasikan p () di dalam selang [, ]: f( ) = f + f + ( )! f I f ( ) d p ( d f + ( f + f + ) f + ( ( )! 6 - f ) d ) = f 4 = Bab 6 Integrasi Numerik 9

24 f f + ( 6-4 ) f 4 f + f + ( 4 - ) f f + f + f Mengingat dan f = f - f f = f - f = ( f - f ) - ( f - f ) = f -f + f maka, selanjutnya I f + ( f - f ) + ( f - f + f ) f + f - f + f - f + f 4 f + f + f ( f + 4f + f ) (P.6.7) Persaman (P.6.7) ini dinamakan kaida Simpson /. Sebutan "/" muncul karena di dalam persamaan (P.6.6) terdapat faktor "/" (sekaligus untuk membedakannya dengan kaida Smpson yang lain, yaitu Simpson /8). Misalkan kurva fungsi sepanjang selang integrasi [a, b] kita bagi menjadi n+ bua titik diskrit,,,, n, dengan n genap, dan setiap tiga bua titik (atau pasang upaselang) di kurva diampiri dengan parabola (polinom interpolasi derajat ), maka kita akan mempunyai n/ bua potongan parabola. Bila masingmasing polinom derajat tersebut kita integralkan di dalam upaselang (subinterval) integrasinya, maka jumla seluru integral tersebut membentuk kaida Simpson / gabungan: I tot = b a f ( ) d f ( ) d + 4 f ( ) d f ( ) d n n 9 Metode Numerik

25 ( f + 4f + f ) + ( f + 4f + f 4 ) ( fn- + 4f n- + f n ) ( f + 4f + f + 4f + f f n- + 4f n- + f n ) n ( f + 4 i i=,,5 n f + i i=,4,6 f + f n ) (P.6.8) Persamaan (P.6.8) ini muda diafalkan dengan mengingat pola koefisien sukusukunya:, 4,, 4,,...,, 4, Namun penggunaan kaida / Simpson mensyaratkan jumla upaselang (n) arus genap, ini berbeda dengan kaida trapesium yang tidak mempunyai persyaratan mengenai jumla selang. Program 6. Kaida Simpson / procedure Simpson_sepertiga(a, b : real; n: integer; var I : real); { mengitung integrasi f() dalam selang [a, b] dengan jumla pias sebanyak n (n arus genap} K.Awal : arga a, b, dan n suda terdefinisi (n arus genap) K.Akir: I adala ampiran integrasi yang diitung dengan kaida Simpson / } var,, sigma : real; r : integer; begin :=(b-a)/n; {jarak antar titik } :=a; {awal selang integrasi} I:=f(a) + f(b); sigma:=; for r:= to n- do begin :=+; if r mod = ten { r =,, 5,..., n- } sigma:=sigma + 4*f() else { r =, 4, 6,..., n- } sigma:=sigma + *f(); end; I:=(I+sigma)*/; { nilai integrasi numerik} end; Bab 6 Integrasi Numerik 9

26 Conto 6. Hitung integral d + [NOB7] dengan menggunakan (a) kaida trapesium (b) kaida titik-tenga (c) kaida Simpson / Gunakan jarak antar titik =.5. Penyelesaian: Jumla upaselang: n = ( - )/.5 = 8 Tabel titik-titik di dalam selang [,]: Tabel titik-titik di dalams elang [, ]: (untuk kaida trapesium dan Simpson /) (untuk kaida titik-tenga) r r f r r r f r / / / / / / / / (a) dengan kaida trapesium d + / ( f + f + f + f + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 + f 8 ).5/ [ + (.88889) + (.8) ).694 (b) dengan kaida titik-tenga d + ( f / + f / + f 5/ + f 7/ + f 9/ + f / + f / + f 5/ ).5 (5.548) 94 Metode Numerik

27 (c) dengan kaida / Simpson d + / ( f + 4f + f + 4f + f 4 + 4f 5 + f 6 + 4f 7 + f 8 ).5/ (6.6568).695 Bandingkan solusi (a), (b), dan (c) dengan solusi sejatinya: d = ln(+) + = = ln() - ln() = = yang apabila dibulatkan ke dalam 5 angka bena, f(.69478) =.695, asilnya tepat sama dengan nilai integrasi yang diitung dengan kaida Simpson /. Jadi, kaida Simpson/ memang unggul dalam al ketelitian asil dibandingkan dua kaida sebelumnya. Galat Kaida Simpson / Galat kaida Simpson / untuk dua pasang upaselang adala E = f ( ) d - ( f + 4f +f ) (P.6.9) Uraikan f(), f, dan f masing-masing ke dalam deret Taylor di sekitar = : f() = f + f ' + f = f() = f + f ' + f " + f = f() = f + f ' + 6 f " f "' + 4 f " + 4 f "' f (iv) +... f (iv) f "'+ 4 4 f (iv) +... (P.6.) (P.6.) (P.6.) Sulikan persamaan (P.6.), (P.6.), (P.6.) ke dalam persamaan (P.6.9): E = ( f + f ' + f " f "' + 4 f (iv) +...) d Bab 6 Integrasi Numerik 95

28 - [ ( f + 4f + 4f ' + + (f + f ' + 4 f " f " + f "' f "' f (iv) +...) ] (iv) f +...) 4 = (f + f ' f " f "' + f (iv) +...) = = - (6f + 6f ' + 4 f " + f "' f (iv) +...) = (f + f ' + = - (f + f ' + 5 f (iv) = ( f " + 4 f " + f (iv) +... ) 5 f o (iv) +... f "' f "' + f (iv) +...) 5 IV f +...) 7 = - 9 = O( 5 ) 5 f (iv) (P.6.) Jadi, kaida Simpson / untuk sepasang upaselang ditamba dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai f ( ) d = ( f + 4f + f ) + O( 5 ) Galat untuk n/ pasang upaselang adala E tot = ( f (iv) + f (iv) + f 4 (iv) f n- (iv) ) = n (iv) f i i=,,... 5 = - 9. n. f (iv) (t), a < t < b 4 = - (b - a) f (iv) (t), karena n = (b - a)/ (P.6.4) 8 = O( 4 ) 96 Metode Numerik

29 Jadi, kaida Simpson / gabungan ditamba dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai, b a n f ( ) d ( f + 4 i i=,,5 n f + i i=,4,6 f + f n ) + O( 4 ) dengan kata lain, kaida Simpson / gabungan berorde 4. Dibandingkan dengan kaida trapesium gabungan, asil integrasi dengan kaida Simpson gabungan jau lebi baik, karena orde galatnya lebi tinggi. Tapi ada kelemaannya, yaitu kaida Simpson / tidak dapat diterapkan bila jumla upaselang (n) ganjil. Conto 6. Hitungla ep( ) d dengan menggunakan kaida Simpson / dan jumla upaselang yang digunakan adala n =, lalu taksirla batas-batas galatnya. Penyelesaian: = ( - )/ =. Tabel titik-titik di dalam selang [, ] dengan =.: r r f r Nilai integasi f() di dalam selang [, ] adala: Bab 6 Integrasi Numerik 97

30 I = ep( ) d / ( f + 4f + f + 4f + f 4 + 4f 5 + f 6 + 4f 7 + f 8 + 4f 9 + f ). ( ) Taksiran galatnya: f (4) () = 4( )ep(- ) Nilai minimum f (4) () adala pada =.5 +.5, dengan f (4) ( ) = -7.59, sedangkan nilai maksimum f (4) () adala pada =, dengan f (4) () =, maka batas-batas galatnya adala 4 E tot = - (b - a) f (iv) (t) 8 = - ( ) 4. ( - ) ( min) ( maks) = =.4.6 Jadi, galat integrasinya, E tot, terletak di dalam selang -.4 < E tot <.6 Di sini nilai sejati I arus terletak di antara =.7468 dan =.7468 atau.7468 < I < Kaida Simpson /8 Seperti alnya pada kaida Simpson /, ampiran nilai integrasi yang lebi teliti dapat ditingkatkan terus dengan mengunakan polinom interpolasi berderajat lebi tinggi pula. Misalkan sekarang fungsi f() kita ampiri dengan polinom interpolasi derajat. Luas daera yang diitung sebagai ampiran nilai integrasi adala daera di bawa kurva polinom derajat tersebut parabola (Gambar 6.). Untuk membentuk polinom interpolasi derajat, dibutukan 4 bua titik data, misalkan titik-titk tersebut (, f()), (, f()), (, f()), dan (, f()). 98 Metode Numerik

31 y y = p () y = f() = = = = Gambar 6. Kaida Simpson /8 Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat yang melalui keempat bua titik itu adala p () = f( ) + f( ) + = f + f + ( )! ( )! f + Integrasi p () di dalam selang [,] adala I f ( ) d p ( d ) f( ) + ( )( )! ( )( )! f( ) f( ) (P.6.5) [ f + f + ( )! f + ( )( )! f( ) ] d Dengan cara penurunan yang sama seperti pada kaida Simpson /, diperole f ( ) d ( f + f + f + f ) 8 (P.6.6) yang merupakan kaida Simpson /8. Bab 6 Integrasi Numerik 99

32 Galat kaida Simpson /8 adala E f (iv) (t), < t < (P.6.7) Jadi, kaida Simpson /8 ditamba dengan galatnya deapat dinyatakan sebagai f ( ) d ( f + f + f + f ) + O( 5 ) 8 Sedangkan kaida Simpson /8 gabungan adala b a f ( ) d ( f + f + f + f + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 + f 8 + f f n- + f n- + f n- + f n ) ( f + 8 n i i= i,6,9,... f + n i i=,6,9,... f + f n ) (P.6.8) Persamaan (P.6.8) ini muda dafalkan dengan mengingat pola suku-sukunya:,,,,,,,,,,...,,,, Namun penggunaan kaida Simpson /8 mensyaratkan jumla upaselang (n) arus kelipatan tiga. Galat kaida /8 Simpson gabungan adala n / E tot i= ( 5 ) 8 f (iv) (t) n i= f (iv) (t) - 5 n.. f (iv) (t) ( b a) f (iv) (t) Metode Numerik

33 ( b a ) f (iv) (t), a < t < b (P.6.9) = O( 4 ) Jadi, kaida Simpson /8 ditamba dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai b a f ( ) d ( f + 8 n i i= i,6,9,... f + n i i=,6,9,... f + f n ) + O( 4 ) Kaida Simpson /8 memiliki orde galat yang sama dengan orde galat kaida Simpson /. Namun dalam praktek, kaida Simpson / biasanya lebi disukai daripada kaida Simpson /8, karena dengan tiga titik (Simpson /) suda diperole orde ketelitian yang sama dengan 4 titik (Simpson /8). Tetapi, untuk n kelipatan tiga, kita anya dapat menggunakan kaida Simpson /8, dan bukan Simpson /. Program 6.4 Kaida Simpson /8 procedure Simpson_per8(a, b : real; n: integer; var I : real); { mengitung integrasi f()dalam selang [a,b]dengan jumla upa-selang sebanyak n (n arus kelipatan tiga} } K.Awal : arga a, b, dan n suda terdefinisi, n kelipatan K.Akir: I adala ampiran integrasi yang diitung dengan kaida /8 Simpson } var,, sigma : real; r : integer; begin :=(b-a)/n; {jarak antar titik } :=a; {awal selang integrasi} I:=f(a) + f(b); sigma:=; for r:= to n- do begin :=+; if r mod = ten { r =, 6, 9,..., n- } sigma:=sigma + *f() else { r, 6, 9,..., n- } sigma:=sigma + *f(); end; I:=(I+sigma)**/8; { nilai integrasi numerik} end; Bab 6 Integrasi Numerik

34 6.4.4 Metode Integrasi Numerik Untuk yang Berbeda-beda Misalkan jarak antara titik-titik data dalam selang [a, b] tidak seragam. Beberapa titik data mempunyai jarak, beberapa titik data lain, sedangkan sisanya berjarak. Integrasi numerik dalam selang [a, b] dilakukan dengan mengkombinasikan kaida integrasi yang suda ada, misalnya kombinasi kaida trapesium, kaida / Simpson, dan kaida /8 Simpson. Berdasarkan orde galatnya, kaida / Simpson dan /8 Simpson lebi teliti daripada kaida trapesium. Karena itu, kaida / Simpson diterapkan bila jumla upaselang yang bertetangga genap, sedangkan kaida /8 Simpson diterapkan bila jumla upaselang yang bertetangga ganjil dan kelipatan tiga. Sisanya diitung dengan kaida trapesium. Jadi, tata-ancangnya dapat diringkas sebagai berikut : (a) untuk sejumla upaselang berturutan yang berjarak sama adala genap, gunakan kaida / Simpson (b) untuk sejumla upaselang berturutan yang berjarak sama adala kelipatan tiga, gunakan kaida /8 Simpson (c) untuk sejuumla upaselang yang tidak berjarak sama dengan tetangganya, gunakan kaida trapesium Contonya dapat diliat pada Gambar 6.. Empat bua upaselang pertama berjarak sama, lebi baik menggunakan kaida Simpson / (karena jumla upaselang genap). Tiga bua upaselang berikutnya berjarak sama, lebi baik menggunakan kaida Simpson /8 (karena jumla upaselang kelipatan ). Dua bua upaselang berikutnya masing-masing berbeda lebarnya, maka setiap upaselang diitung integrasinya dengan kaida trapesium. y y = f() } kaida Simpson /8 } trap kaida Simpson / trap Gambar 6. Kaida / Simpson gabungan Metode Numerik

35 6.4.5 Bentuk Umum Metode Newton-Cotes Kaida trapesium, kaida Simpson /, dan kaida Simpson /8 adala tiga bua metode integrasi numerik pertama dari metode Newton-Cotes. Masing-masingnya mengampiri fungsi f() dengan polinom interpolasi derajat (lanjar), derajat (kuadratik), dan derajat (kubik). Kita dapat menemukan kaida-kaida lainnya dengan menggunakan polinom interpolasi derajat 4, 5, 6, dan seterusnya. Bentuk umum metode Newton-Cotes dapat ditulis sebagai b a f ( ) d = α [w f + w f + w f w n f N ] + E (P.6.4) dalam al ini f r = f( r ), r = a + r, dan = (b - a)/n, E menyatakan galat, sedangkan α dan w i adala konstanta riil seperti yang didaftarkan pada tabel berikut ini : n α w i, i =,,..., n E Nama / -/ f " Trapesium / 4 -/9 5 f ( 4) / Simpson /8 -/8 5 f (4) /8 Simpson 4 / /945 7 f (6) Boole 5 5/ /96 7 f (4) 6 / /4 9 f (8) 7 7/ / / / /584 9 f (8) -68/ f () -7/46 f () -465/ f () Dari tabel di atas nilai-nilai w akan semakin besar dengan membesarnya n. Dari teori galat suda diketaui bawa pengurangan bilangan yang besar dengan bilangan yang kecil di dalam komputer dapat menyebabkan galat pembulatan. Karena alasan itu, maka metode-metode Newton-Cotes orde tinggi kurang disukai. Alasan lainnya, Bab 6 Integrasi Numerik

36 orde metode menyatakan ketelitian anya jika rana integrasi [a, b] cukup kecil seingga turunan fungsi ampir tetap di dalam rana nilai tersebut. Sebagai implikasinya, metode Newton-Cotes orde tinggi tidak lebi teliti daripada metode orde renda bila turunannya beruba secara signifikan di dalam rana tersebut. Sebagai conto adala peritungan integrasi L = π [(+ cos ) + 4sin ] d =... Hasil peritungan L dengan metode Newton-Cotes orde n = sampai orde n = adala: n =, L = 8.8 n = 7 L = 8. n =, L = 8.8 n = 8 L = 8. n = 4, L = n = 9 L = 8.97 n = 5, L = n = L = 7.99 n = 6, L = 8. Nilai integrasi sejati L = 8. Hasil di atas menggambarkan asil integrasi yang nilainya semakin tidak bagus dengan semakin tingginya orde metode Newton-Cotes (n). Dari n = sampai n = 8, nilai L mendekati asil sejati, 8.. Setela n = 8, galatnya meningkat. Peningkatan galat disebabkan ole galat penambaan dan pengurangan bilanganbilangan yang sangat besar di dalam metodenya [NAK9] 6.5 Singularitas Kita akan kesulitan melakukan mengitung integrasi numerik apabila fungsi tidak terdefenisi di = t, dalam al ini a < t < b. Misalnya dalam mengitung integrasi I = cos( ) d fungsi f() = cos / jelas tidak terdefinisi di = (ujung bawa selang). Begitu juga apabila peritungan integrasi I =.5 d 4 Metode Numerik

37 menggunakan =., titik diskrit di = tidak dapat diitung sebab fungsi f() = /(-) tidak terdefinisi di =. Fungsi yang tidak terdefinisi di = t, untuk a t b, dinamakan fungsi singular. Singularitas juga muncul pada fungsi yang turunannya tidak terdefinisi di = t, untuk a t b. Misalnya asil peritungan integrasi memperliatkan asil yang menyimpang meskipun fungsi f() = sendiri terdefinisi untuk semua = t, untuk a t b. Penyimpangan ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan integral diitung dengan kaida trapesium. Tinjau kembali galat total pada kaida trapesium: E tot - ( f " + f " + + f " n- ) - n i= f " i - b a f ( ) d - [ f '(b) - f ' (a)] (P.6.4) Persamaan (P.6.4) menyiratkan bawa galat integrasi b a f ( ) d akan besar apabila f '(a) atau f '(b) tidak ada. Singularitas arus diilangkan dengan cara memanipulasi persamaan fungsi sedemikian seingga ia tidak singular lagi. Conto 6.4 Ubala fungsi integrasi I = cos( ) d seingga menjadi tidak singular lagi. Bab 6 Integrasi Numerik 5

38 Penyelesaian: Fungsi f() = cos()/ tidak terdefenisi di =. Misalkan = u d = u du Batas-batas selang integrasi juga beruba maka = u = = = u = = I = cos( ) d cos( u ) = (u) du u I = cos(u ) du tidak singular lagi Conto 6.5 Ubala fungsi integrasi I = d seingga menjadi tidak singular lagi Penyelesaian: Fungsi f() = singular sebab turunannya f '() = tidak terdefinisi di = Misalkan = u² d = u du 6 Metode Numerik

39 Batas-batas selang integrasi juga beruba maka = u = = = u = = I = d = u du tidak singular lagi Conto 6.6 Ubala fungsi integrasi berikut seingga menjadi tidak singular: I = d ( sin)( ) Penyelesaian: Fungsi f() = / (sin )( - ) tidak terdefenisi di = dan = Peca integral I menjadi dua bagian, I dan I : I = d ( sin)( ) = a d ( sin )( ) + a d ( sin )( ) I, singular di = I, singular = Misalkan dengan < a < = u d = u du Batas-batas integrasi Maka, = a u = a = u = I = a u du 6 ( sinu )( u ) = a u / u 6 ( sinu )( u ) u du Bab 6 Integrasi Numerik 7

40 Mengingat lim sin( u u u ) = maka I = a 6 ( u ) du tidak singular lagi I = a ( sin )( ) tidak dapat diterapkan pemisalan = u² Uraikan ( ) menjadi ( )( + + ): I = d + a ( sin)( )( + ) Misalkan - = u - d = u du Batas-batas integrasi : = u = (- ) = = a u = (- a) I = a u du [ ( )] sin u u + ( u ) + ( u ) = a u du 4 [ sin ( u )] ( -u u ) = a du 4 [ sin ( u )] ( -u u ) tidak singular lagi Cara lain penanganan singularitas dapat diliat di [NAK9] alaman 4. 8 Metode Numerik

41 6.6 Penggunaan Ekstrapolasi untuk Integrasi Misalkan I() adala perkiraan nilai integrasi dengan jarak antara titik data adala ( < ). Dari persaman galat kaida integrasi (trapesium, Simpson /, dll) yang dinyatakan dalam notasi orde: E = O( p ) dapat diliat bawa galat E semakin kecil bila digunakan yang semakin kecil, seperti yang ditunjukkan ole diagram garis berikut: ara... /8 /4 / Nilai sejati integrasi adala bila =, tetapi pemilian = tidak mungkin kita lakukan di dalam rumus integrasi numerik sebab ia akan membuat nilai integrasi sama dengan. Yang dapat kita perole adala perkiraan nilai integrasi yang lebi baik dengan melakukan ekstrapolasi ke =. Ada dua macam metode ekstrapolasi yang digunakan untuk integrasi:. Ekstrapolasi Ricardson. Ekstrapoalsi Aitken 6.6. Ekstrapolasi Ricardson Pandang kembali kaida trapesium b a f ( ) d = ( f + n i= f i b a f " t + f n ) - ( ) ( ) yang dapat ditulis sebagai b a f ( ) d = I () + C dengan I() adala integrasi dengan menggunakan kaida trapesium dengan jarak antar titik selebar dan C = ( b a ) f " ( t ). Bab 6 Integrasi Numerik 9

42 Secara umum, kaida integrasi yang lain dapat kita ditulis sebagai b a f ( ) d = I () + C q (P.6.4) dengan C dan q adala konstanta yang tidak bergantung pada. Nilai q dapat ditentukan langsung dari orde galat kaida integrasi, misalnya kaida trapesium, O( ) q = kaida titik-tenga, O( ) q = kaida / Simpson, O( 4 ) q = 4 Tujuan ekstrapolasi Ricardson iala mengitung nilai integrasi yang lebi baik (improve) dibandingkan dengan I. Misalkan J adala nilai integrasi yang lebi baik daripada I dengan jarak antar titik adala : J = I() + C q (P.6.4) Ekstrapolasikan menjadi, lalu itung integrasi numeriknya J = I () + C() q (P.6.44) Eliminasikan C dari kedua persamaan dengan menyamakan persamaan (P.6.4) dan persamaan (P.6.44): I() + C q = I () + C() q seingga diperole C = I ( ) I( ) ( ) q q (P.6.45) Sulikan (P.6.45) ke dalam (P.6.4) untuk memperole: J = I() + I ( ) I( ) q (P.6.46) yang merupakan persamaan ekstrapolasi Ricardson. Ekstrapolasi Ricardson dapat kita artikan sebagai berikut: Mula-mula itungla nilai integrasi dengan kaida yang suda baku dengan jarak antar titik selebar untuk mendapatkan I(), kemudian itung kembali nilai integrasi dengan jarak antar titik selebar untuk memperole I(). Akirnya, itung nilai integrasi yang lebi baik dengan menggunakan persamaan (P.6.46). Metode Numerik

43 Peratikanla bawa jika pernyataan di atas dibalik, kita tela melakukan ekstrapolasi menuju =, yaitu kita itung I() lalu itung I(). Urutan pengerjaan (I() atau I() lebi dulu) tidak mempengarui solusi akirnya. Sebagai conto, bila I() dan I() diitung dengan kaida trapesium (q = ), maka ekstrapolasi Ricardson-nya adala J = I() + [ I() - I() ] (P6.47) dan bila I() dan I() diitung dengan kaida / Simpson (q = 4), maka ekstrapolasi Ricardson-nya adala J = I() + 5 [ I() - I() ] (P.6.48) Peratikanla bawa suku / [ I() - I() ] pada persamaan (P.6.47) dan suku /5 [I() - I()] pada persaman (P.6.48) merupakan faktor koreksi. Artinya, nilai taksiran integrasi I() dapat ditingkatkan menjadi nilai yang lebi baik dengan menambakan faktor koreksi tersebut. Conto 6.7 Hitung kembali integral d + dengan menggunakan ekstrapolasi Ricardson, yang dalam al ini I() dan I() diitung dengan kaida trapesium dan =.5. Penyelesaian: Jumla upaselang: n = ( - )/.5 = 8 Tabel titik-titik di dalam selang [,] dengan =.5: r r f r Bab 6 Integrasi Numerik

44 I() adala nilai integrasi dengan kaida trapesium menggunakan =.5: I() = d / ( f + f + f + f + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 + f 8 ) +.5/ [ + (.88889) + (.8) ).694 I() adala nilai integrasi dengan kaida trapesium menggunakan =.5: I() = d + ()/ ( f + f + f 4 + f 6 + f 8 ).5/ [ + (.8) + (.66667) + (.574) +.5).697 Nilai integrasi yang lebi baik, J, diperole dengan ekstrpolasi Ricardson: J = I() + I ( ) I( ) q yang dalam al ini, q =, karena I() dan I() diitung dengan kaida trapesium (yang mempunyai orde galat = ) J = =.695 Jadi, taksiran nilai integrasi yang lebi baik adala.695. Bandingkan dengan nilai integrasi sejatinya: d = ln(+) + = = ln() - ln() = = yang apabila dibulatkan ke dalam 5 angka bena, f(.69478) =.695, asilnya tepat sama dengan nilai integrasi yang diitung dengan ekstrapolasi Ricardson. Metode Numerik

45 Conto 6.8 Perliatkan bawa bila I() dan I() diitung dengan kaida trapesium, maka persamaan ekstrapolasi Ricardson menyatakan kaida Simpson /. Penyelesaian: Kaida / Simpson untuk sepasang upaselang adala (liat Gambar 6.) adala I = f ( ) d I() dan I() adala perkiraan asil integrasi dengan kaida trapesium menggunakan pias masing-masing selebar dan : I() = / ( f + f ) + / ( f + f ) = / ( f + f + f ) I() = () / ( f + f ) = ( f + f ) Ekstrapolasi Ricardson-nya (q = ): J = I() + [ I() - I() ] = / (f + f + f ) + / ( / (f + f + f ) - (f + f ) ) = / (f + f + f ) + / 6 (f + f + f ) - / (f + f ) = / f + f + / f + / 6 f + / f + / 6 f - / f - / f = / f + / 6 f - / f + f + / f + / f + / 6 f - / f = / f + 4 / f + / f = / (f + 4f + f ) yang merupakan kaida Simpson /. Jadi, berdasarkan definisi ekstrapolasi Ricardson, kaida Simpson / adala perkiraan integrasi yang lebi baik daripada kaida trapesium. Conto ini bersesuaian dengan jawaban Conto 6.7, sebab nilai integrasi dengan ekstrapoalsi Ricardson sama dengan nilai integrasi yang diperole dengan kaida Simpson / (liat jawabannya pada Conto 6.). Persamaan ekstrapolasi Ricardson memenui semua kaida integrasi yang dirurunkan dengan metode pias maupun metode Newton-Cotes. Kita pun dapat menurunkan kaida integrasi numerik yang baru dengan menerapkan ekstrapolasi Ricardson. Misalkan bila I() dan I() diitung dengan kaida Simpson /, maka ekstrapolasi Ricardson menyatakan kaida Boole (buktikan!): 4 J = f ( ) d = ( 7f + f + f + f + 7f 4 ) 45 Bab 6 Integrasi Numerik

46 yang berarti kaida Boole merupakan taksiran integrasi yang lebi baik daripada kaida Simpson /. Bila ekstrapolasi Ricardson diterapkan secara terus menerus, akan diperole nilai integrasi yang semakin lama semakin baik (galatnya semakin kecil). Metode penerapan ekstrapolasi Ricardson seperti ini dinamakan metode Romberg Metode Romberg Metode integrasi Romberg didasarkan pada perluasan ekstrapolasi Ricardson untuk memperole nilai integrasi yang semakin baik. Sebagai catatan, setiap penerapan ekstrapolasi Ricardson akan menaikkan order galat pada asil solusinya sebesar dua: O( N ) O( N+ ) Misalnya,bila I() dan I() diitung dengan kaida trapesium yang berorde galat O( ), maka ekstrapolasi Ricardson mengaslkan kaida Simpson / yang berorde O( 4 ). Selanjutnya, bila I() dan I() diitung dengan kaida Simpson /, ekstrapolasi Ricardson mengaslkan kaida Boole yang berorde O( 6 ). Tinjaau kembali persamaan ekstrapolasi Ricardson: J = I() + I ( ) I( ) q Misalkan I adala nilai integrasi sejati yang dinyatakan sebagai I = A k + C + D 4 + E yang dalam al ini = (b - a)/n dan A k = Perkiraan nilai integrasi dengan kaida trapesium dan jumla pias n = k Orde galat A k adala O( ). 4 Metode Numerik

47 Sebagai conto, selang [a, b] dibagi menjadi 64 bua pias atau upaselang: n = 64 = 6 k = 6 (,,,, 4, 5, 6) k = (artinya n = = pias, = (b-a)/) A = / [ f + f 64 ] k = (artinya n = = pias, = (b-a)/) A = / [ f + f + f 64 ] k = (artinya n = = 4 pias, = (b-a)/4) A = / [ f + f 6 + f + f 48 + f 64 ] k = (artinya n = = 8 pias, = (b-a)/8) A = / [ f + f 8 + f 6 + f 4 + f + f 4 + f 48 + f 56 + f 64 ]... k = 6 (artinya n = 6 = 64 pias, 6 = (b-a)/64) A 6 = 6 / [ f + f + f f 6 + f 64 ] Arti dari setiap A k adala sebagi berikut: A adala taksiran nilai integrasi b I = f ( ) d dengan menggunakan kaida trapesium dengan pembagian daera integrasi menjadi n = = bua pias; A adala taksiran nilai integrasi b a I = f ( ) d dengan menggunakan kaida trapesium dengan pembagian daera integrasi menjadi n = = bua pias; A adala taksiran nilai integrasi a b I = f ( ) d dengan menggunakan kaida trapesium dengan pembagian daera integrasi menjadi n = = 4 bua pias; A 6 adala taksiran nilai integrasi a b I = f ( ) d dengan menggunakan kaida trapesium dengan pembagian daera integrasi menjadi n = 6 = 64 bua pias; a Tiga A k yang pertama dilukiskan ole Gambar 6.. Bab 6 Integrasi Numerik 5

48 y y = f() y = f() y = f() y y a b a b a b A A A Gambar 6. Luas daera A, A, A,..., dengan jumla upaselang masing-masing n =, n =, n = 4,... Gunakan A, A,...A k pada persamaan ekstrapolasi Ricardson untuk mendapatkan runtunan B, B,...,B k, yaitu B k = A k + A k A k Jadi, nilai I (yang lebi baik) sekarang adala I = B k + D' 4 + E' 6 + dengan orde galat B k adala O( 4 ). Selanjutnya, gunakan B, B,.., B k pada persamaan ekstrapolasi Ricardson untuk mendapatkan runtunan C, C,..., C k, yaitu C k = B k + B k B k 4 Jadi, nilai I (yang lebi baik) sekarang adala I = C k + E " dengan orde galat C k adala O( 6 ). Selanjutnya, gunakan C, C,..., C k pada persamaan ekstrapolasi Ricardson untuk mendapatkan runtunan D, D4,..., D k, yaitu D k = C k + C k C k 6 Jadi, nilai I (yang lebi baik) sekarang adala I = D k + E "' dengan orde galat D k adala O( 8 ). Demikian seterusnya. Dari runtunan tersebut, diperole tabel yang dinamakan tabel Romberg seperti berikut ini: 6 Metode Numerik

49 O( ) O( 4 ) O( 6 ) O( 8 ) O( ) O( ) O( 4 ) A A B A B C A B C D A 4 B 4 C 4 D 4 E 4 A 5 B 5 C 5 D 5 E 5 F 5 A 6 B 6 C 6 D 6 E 6 F 6 G 6 Nilai integrasi yang lebi baik Conto 6.9 Hitung integral d + dengan metode Romberg (n = 8). Gunakan 5 angka bena. Penyelesaian: Jarak antar titik: = ( - )/8 =.5 Tabel titik-titik di dalam selang [,] dengan =.5: r r f r Bab 6 Integrasi Numerik 7

50 A = / [ f + f 8 ] = / ( +.5) =.75 A = / [ f + f 4 + f 8 ] =.5/[ + (.66667) +.5] =.78 A = / [ f + f + f 4 + f 6 + f 8 ] =.5/[ + (.8) + (.66667) + (.574) +.5] =.697 A = / [ f + f + f + f + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 + f 8 ] =.5/[ + (.88889) + (.8) + + (.5) +.5] =.694 A A B = A + = (A k berorde, jadi q = ) A A B = A + =.695 A A B = A + =.695 B B C = B + =.697 (B 4 k berorde 4, jadi q = 4) B B C = B + = C C D = C + =.694 (C 6 k berorde 6, jadi q = 6) Tabel Romberg: k O( ) O( 4 ) O( 6 ) O( 8 ) Jadi, d (Bandingkan dengan solusi sejatie d =.6945 ) + 8 Metode Numerik

51 6.6. Ekstrapolasi Aitken Kita tela membaas ekstrapolasi Ricardson yang dapat diringkas sebagai berikut: Jika I = b a f ( ) d I() + C q yang dalam al ini, maka = lebar tiap upaselang atau pias (atau jarak antar titik) C dan q adala konstanta dengan q diketaui (C dapat dieliminir) I() adala ampiran nilai nilai I C q adala galat dari ampiran nilai I J = I() + [ I() - I()] q adala perkiraan nilai integrasi yang lebi baik (improve) daripada I. Timbul persoalan, bagaimana jika q tidak diketaui? Untuk kasus ini kita gunakan tiga bua perkiraan nilai I, yaitu I(), I(), dan I(4): J = I() + C q C = J = I() + C() q C = J = I(4) + C(4) q C = J I J J q ( ) I ( ) ( ) q I ( 4) ( 4) q (P.6.49) (P.6.5) (P.6.5) Eliminasikan nilai C dan q dengan menyamakan persamaan (P.6.49) dan (P.6.5) J I q ( ) = J I ( ) ( ) q Bab 6 Integrasi Numerik 9

52 J I J I ( ) ( ) = q q q = q (P.6.5) dan menyamakan persamaan (P.6.5) dan (P.6.5) J I J I ( ) ( 4) ( ) q = ( 4) q = q (P.6.5) Persaman (P.6.5) sama dengan persamaan (P.6.5): J I J I ( ) ( ) = J I J I ( ) ( 4) (P.6.54) kali silangkan kedua ruas persamaan (P.6.54) J - J I() - J I(4) + I() I(4) = J - J I() + [I()] J = I I ( ) I( 4) [ I( ) ] ( ) I( ) + I ( 4) atau J ( ) [ I( ) I ( ) ] ( ) I( ) + I( 4) = I (P.6.55) I Persamaan (P.6.55) ini dinamakan persamaan ekstrapolasi Aitken [NOB7]. Sekarang, tinjau kembali: J = I() + C q J = I() + C() q = I() - I() + C q - C() q I() - I() = C() q C q (P.6.56) J = I() + C() q J = I(4) + C(4) q = I() - I(4) + C() q - C(4) q I() - I(4) = C(4) q - C() q (P.6.57) Metode Numerik

53 Bagi persamaan (P.6.57) dengan persamaan (P.6.56): ( ) I( 4) I( ) I( ) I = C q ( ) C( 4) C q C( ) q Besaran C pada persamaan (P.6.58) dapat diilangkan menjadi t = ( ) I( 4) I( ) I( ) I q = q (P.6.58) = q (P.6.59) Tinjau kembali persamaan (P.6.55) yang dapat ditulis ulang sebagai J = I() - = I() - = I() - = I() + I I( ) I( ) ( ) I ( ) + I( 4) I ( ) I( ) I I I I I ( ) I( ) I( ) + I( 4) ( ) I ( ) ( ) I( ) t ( ) I( ) t Jadi, ( ) I( ) I J = I( ) + (P.6.6) t yang "mirip" dengan persamaan ekstrapolasi Ricardson. Ekstrapolasi Aitken akan tepat sama dengan ektrapolasi Ricardson jika nilai teoritis t = q tepat sama dengan nilai empirik t = ( ) I( 4) I( ) I( ) I Perbedaan antara kedua metode ekstrapolasi muncul bergantung kepada apaka kita mengetaui nilai q atau tidak. Hal ini diringkas dalam prosedur berikut: Bab 6 Integrasi Numerik

54 Prosedur praktis:. Hitung I(4), I(), dan I() I I 4. Hitung nilai empirik t = I I ( ) ( ) ( ) ( ). Hitung nilai teoritik t = q (bila q diketaui) 4. Jika t teoritik t empirik arus kita bertanya "mengapa?" 5. Gunakan ekstrapolasi Aitken (P.6.59) dengan nilai empirik t atau ekstrapolasi Riardson (P.6.45) dengan q. Conto 6. [NOB7] Hitung d Simpson (Gunakan = /8)! Penyelesaian: sampai lima angka bena dengan menggunakan kaida / / I 4 = 4 /8 = / I(4) = I(/) = ( f + 4f / + f ) = /8 = /4 I() = I(/4) = = /8 I() = I(/8) = empirik t = / 8 =.668 = /6 ( + 4 (/) + ) =.687 / 4 ( f + 4f /4 + f / + 4f /4 + f ) = / ( + 4 /4 + (/) + 4 (/4) + ) =.6565 ( f + 4f /8 + f /8 + 4f /8 + f 4/8 + 4f 5/8 + f 6/8 + 4f 7/8 + f ) ( ) I( 4) I( ) I( ) I = I I ( / 4) I( / ) ( / 8) I( / 4) teoritik t = q = 4 = 6 (yang diarapkan) =.8 Mengapa t teoritik tidak sama dengan t empirik? Perbedaan ini timbul sebab fungsi turunan tidak terdefinisi di = (singular). Karena itu, nilai t teoritik (t = 6) tidak dapat Metode Numerik

55 dipegang, seingga ekstrapolasi Ricardson (P.6.46) tidak dapat digunakan untuk mengitung perkiraan nilai integrasi yang lebi baik. Jadi, gunakan ekstrapolasi Aitken (P.6.6) dengan nilai t empirik untuk mengitung perkiraan nilai integrasi yang lebi baik: J = I (/8) + = = I ( /8) I( / 4).8.8 [ ] Bandingkan solusi ini dengan solusi sejatinya = Peratikan, kalau kita menggunakan ekstrapolasi Ricardson dengan t teoritik ( t = 6), maka solusinya J = I (/8) + I ( /8) I( / 4) 4 = [ ] =.665 yang cukup berbeda jau dengan solusi eksak. Karena itu, asil integrasi dengan ekstrapolasi Aitken yang dapat diterima, yaitu Integral Ganda Dalam bidang teknik, integral sering muncul dalam bentuk integral ganda dua (atau lipat dua) atau integral ganda tiga (lipat tiga). Misalkan kita tinjau untuk integral lipat dua. Integral lipat dua didefinisikan sebagai A b f (, y) da = [ f (, y) dy] d = [ f (, y) d] dy (P.6.6) a d c d c b a Tafsiran geometri dari integral ganda adala mengitung volume ruang di bawa permukaan kurva f(,y) yang alasnya adala berupa bidang yang dibatasi ole garis-garis = a, = b, y = c, dan y = d. Volume benda berdimensi tiga adala V = luas alas tinggi Bab 6 Integrasi Numerik

56 Kaida-kaida integrasi numerik yang tela kita baas dapat dipakai untuk mengitung integral ganda. Jika pada fungsi dengan satu peuba, y = f(), luas daera diampiri dengan pias-pias yang berbentuk segiempat atau trapesium, maka pada fungsi dengan dua peuba, z = f(, y), volume ruang diampiri dengan balokbalok yang berbentuk segiempat atau trapesium. Solusi integral lipat dua diperole dengan melakukan integrasi dua kali, pertama dalam ara (dalam al ini nilai, nilai y tetap), selanjutnya dalam ara y (dalam al ini, nilai tetap), atau sebaliknya. Dalam ara berarti kita mengitung luas alas benda, sedangkan dalam ara y berarti kita mengalikan alas dengan tinggi untuk memperole volume benda. Tinggi benda dinyatakan secara tidak langsung dengan koefisien-koefisien w i pada persamaan (P.6.4). Misalkan integrasi dalam ara diitung dengan kaida trapesium, dan integrasi dalam ara y diitung dengan kaida Simpson /. Maka d b c a m [ f (, y) d] dy j= y v j n i= w i f ij [ ( f, + f, + f, f n-, + f n, ) ( f, + f, + f, f n-, + f n, ) + ( f, + f, + f, f n-, + f n, )... + (f,m- + f,m- + f,m f n-,m- + f n,m- ) + 4 (f,m- + f,m- + f,m f n-,m- + f n,m- ) + (f,m + f,m + f,m f n-, + f n,m ) ] (P.6.6) dengan = jarak antar titik dalam ara, y = jarak antar titik dalam ara y, n = jumla titik diskrit dalam ara, m = jumla titik diskrit dalam ara y. 4 Metode Numerik

57 Conto 6. Diberikan tabel f(,y) sebagai berikut: y Hitung f (, y) ddy [GER85] Penyelesaian: Misalkan - dalam ara kita gunakan kaida trapesium - dalam ara y kita gunakan kaida Simpson / Dalam ara (y tetap):. y =. ; f, y) d.5.. ( f (,.) d.5 / ( f, + f, + f, + f, ).5/ ( ).4 y =. ; f (, y) d f (,.) d / (f, + f, + f, + f, ).5/ (.54 + ( ) 5.7 y =.4 ; f (, y) d f (,.4) d y =.5; f (, y) d f (,.5) d y =.6; f (, y) d f (,.6) d Bab 6 Integrasi Numerik 5

58 Dalam ara y : Jadi, f (, y) dy y/ ( )..5./ ( ).6446 f (, y) ddy.6446 Cara peritungan integral ganda dua di atas dapat dirampatkan (generalized) untuk integral ganda tiga R f (, y, z) dr maupun integral ganda yang lebi tinggi. 6.8 Kuadratur Gauss Sampai saat ini kita tela membaas kaida integrasi yang berbasis titik-titik data diskrit dengan metode Newton-Cotes. Sebelum melakukan peritungan integrasi, kita arus membentuk tabulasi titik-titik diskrit yang berjarak sama. Titik-titik diskrit tersebut arus berawal dan berakir di ujung-ujung selang a dan b. Trapesium-trapesium yang mengampiri dear integarsi arus berawal dan berakir di ujung-ujung selang tersebut. Batasan ini mengakibatkan galat yang diasilkan dengan mekanisme ini ternyata cukup besar. Misalnya bila kita menggunakan kaida trapesium untuk mengitung f ( ) d, maka daera integrasi dalam selang [-, ] (Gambar 6.4) diampiri dengan sebua trapesium yang luasnya adala I = f ( ) d dengan = (-(-)) =. [ f() + f(-)] f() + f(-) (P.6.6) 6 Metode Numerik

59 y galat y = f() - Gambar 6.4 Integral - f()d diampiri dengan trapesium Peratikan kembali bawa persamaan (P.6.6) dapat ditulis sebagai I c f(a) + c f(b) (P.6.64) dengan a = -, b =, c = c = / = / =. Pendekatan integrasi yang berbeda dengan metode Newton-Cotes dikembangkan ole Gauss dan dinamakan metode kuadratur Gauss (Gaussian Quadrature). Dengan metode kuadratur Gauss, batasan-batasan yang terdapat pada metode Newton- Cotes kuadratur diilangkan. Di sini kita tidak perlu lagi menentukan titik-titik diskrit yang berjarak sama, tetapi nilai integrasi numerik cukup diperole dengan mengitung nilai fungsi f() pada beberapa titik tertentu. Untuk memberi gambaran tentang kuadratur Gauss, peratikan Gambar 6.5. Sebua garis lurus ditarik mengubungkan dua titik sembarang pada kurva y = f(). Titik-titik tersebut diatur sedemikian seingga garis lurus tersebut menyeimbangkan galat positif dan galat negatif. Luas daera yang diitung sekarang adala luas daera di bawa garis lurus, yang dinyatakan sebagai I = f ( ) d c f( ) + c f( ) (P.6.65) dengan c, c,, dan adala sembarang nilai. Persamaan (P.6.65) ini dinamakan persamaan kuadratur Gauss. Peratikan bawa bila dipili = -, =, dan c = c =, maka persamaan kuadratur Gauss (P.6.65) menjadi kaida trapesium (P.6.6). Jadi, kaida trapesium memenui persamaan kuadratur Gauss. Bab 6 Integrasi Numerik 7

60 y y = f() - Gambar 6.5 Integral - f()d diampiri dengan kuadratur Gauss Persamaan (P.6.65) mengandung empat bua peuba yang tidak diketaui (unknown), yaitu,, c, dan c. Kita arus memili,, c, dan c sedemikian seingga galat integrasinya minimum. Karena ada empat bua peuba yang tidak diketaui, maka kita arus mempunyai empat bua persamaan simultan yang mengandung,, c, dan c. Di atas tela dikatakan bawa kaida trapesium bersesuaian dengan kuadratur Gauss. Dapat diliat bawa nilai integrasi numerik dengan kaida trapesium akan tepat (galatnya = ) untuk fungsi tetap dan fungsi lanjar. Misalnya untuk f() = dan f() =. Peratikan Gambar 6.6. Dari dua bua fungsi tersebut, diperole dua persamaan: f() = d = = = = - (-) = = c + c (P.6.66) f() = - d = / = = / () - / (-) = = c + c (P.6.67) = 8 Metode Numerik

61 y y = y y = - - (a) d (b) d Gambar 6.6 Integrasi yang bernilai sejati dengan kaida trapesium Kita memerlukan dua bua persamaan lagi agar,, c, dan c dapat ditentukan. Dari penalaran bawa kaida trapesium sejati untuk fungsi tetap dan fungsi lanjar, maka penalaran ini juga kita perluas dengan menambakan anggapan bawa integrasinya juga sejati untuk f() = dan f() =. Sekarang kita menadapatkan dua persamaan tambaan, yaitu dan f() = d = / = = / = c + c = (P.6.68) f() = d = /4 4 = = = = c + c (P.6.69) Sekarang, kita suda mempunyai empat bua persamaan simultan c + c = c + c = c + c = / c + c = Bab 6 Integrasi Numerik 9

62 yang bila dipecakan mengasilkan: Jadi, c = c = = / = = -/( = f ( ) d f (/ ) + f (-/ ) (P.6.7) Persamaan (P.6.7) dinamakan kaida Gauss-Legendre -titik. Dengan kaida ini, mengitung integral f() di dalam selang [-, ] cukup anya dengan mengevaluasi nilai fungsi f di =/ dan di = -. Transformasi a b f() d Menjadi - f(t) dt Untuk mengitung integrasi I = f ( ) d kita arus melakukan transformasi: a. selang [a, b] menjadi selang [-, ] b. peuba menjadi peuba t c. diferensial d menjadi dt Selang [a, b] dan [-, ] dilukiskan ole diagram garis berikut: a b - t Dari kedua diagram garis itu kita membuat perbandingan: a b a a b a = = t t + ( ) ( ) - a = (t + )(b - a) = (t + )(b - a) + a Metode Numerik

63 = = bt at + b a + a a + b + bt at ( a + b ) + ( b a ) = t (P.6.7) Dari persaman (P.6.7), diperole diferensialnya d = b a dt (P.6.7) Transformasikan b a f ( ) d menjadi f ( t) dt dilakukan dengan menyulikan (P.6.7) dan (P.6.7) ke dalam b a f ( ) d : b a ( a + b) + ( b a) t ( b a) ( b a) ( a + b) + ( b a) t f ( ) d = f [ ] dt = f [ ] dt Conto 6. [MAT9] Hitung integral ( + ) d dengan kaida Gauss-Legendre -titik. Penyelesaian: a =, b = = d = ( + ) + ( ) t dt =.5 dt = t Bab 6 Integrasi Numerik

64 Transformasikan f ( ) d menjadi f ( t) dt : ( + ) d = [(.5 +.5t ) + ].5dt =.5 [(.5 +.5t ) + ] dt Jadi, dalam al ini f(t) = ( t) + maka f(/ ) = ( / ) + ) = f(-/ ) = ( / ) + ) = Dengan demikian ( + ) d =.5 - ( t) + ) dt.5 {f(/ ) + f(-/ )} Nilai integrasi sejatinya adala:. ( + ) d = / + = = = (8/ + ) + (/ + ) = (7/ + ) =. yang untuk kasus ini tepat sama sampai angka bena dengan solusi ampirannya. Program 6.5 : Integrasi ( + ) d dengan kaida Gauss-Legendre -Titik procedure Gauss_Legendre Titik(a, b: real; var I : real); { Mengitung a b f()d dengan metode Gauss-Legendre -Titik K.Awal : arga a dan b suda terdefenisi K.Akir: I berisi ampiran integrasi } var f, f : real; function f(t:real):real; { mengitung nilai f(t) untuk arga t yang tela terdefinisi } var :real; begin :=((a+b) + (b-a)*t)/; {transformasi peuba} f:=* + ; end; Metode Numerik

65 begin f:=f(sqrt()/); f:=f(-sqrt()/); I:=(b-a)/ * (f + f); end; Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (trapesium, / Simpson, dll), kaida Gauss-Legendre -titik lebi sederana dan lebi mangkus dalam operasi aritmetika, karena Gauss-Legendre -titik anya membutukan dua bua evaluasi fungsi. Selain itu, ketelitiannya lebi tinggi dibandingkan dengan metode Newton- Cotes. Namun, kaida Gauss-Legendre tidak dapat digunakan jika fungsi f() tidak diketaui secara eksplisit, karena kita tidak dapat melakukan transformasi b a f ( ) d menjadi f ( t) dt Untuk kasus seperti ini, jelas metode Newton-Cotes sebagai jalan keluarnya. Kaida Gauss-Legendre -Titik Metode Gauss-Legendre -Titik dapat ditulis sebagai I = f ( ) dt c f( ) + c f( ) + c f( ) Parameter,,, c, c, dan c dapat ditemukan dengan membuat penalaran bawa kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 bua fungsi berikut: f() = ; f() = ; f() = f() = ; f() = 4 ; f() = 5 Dengan cara yang sama seperti pada penurunan kaida Gauss-Legendre -titik, diperole 6 bua persaman simultan yang solusinya adala Jadi, c = 5/9 ; = - /5 c = 8/9 ; = c = 5/9 ; = /5 8 5 [ ] + f ( ) f [ ( / 5) ] 5 f ( ) d f ( / 5) (P.6.7) Bab 6 Integrasi Numerik

66 Kaida Gauss-Legendre n-titik Penurunan kaida Gauss-Legendre -titik dan Gauss-Legendre -titik dapat dirampatkan untuk mengasilkan kaida Gauss-Legendre n-titik f ( ) dt c f( ) + c f( ) + + c n f( n ) (P.6.74) Nilai-nilai c i dan i dapat diliat pada tabel berikut ini: Metode Gauss-Legendre n-titik f ( ) dt c f( ) + c f( ) + + c n f( n ) n Faktor bobot Argumen fungsi Galat pemotongan c =. c =. c = c = c = c = c = c = c = c = c = c = c 4 = c 5 = c =.7449 c = c = c 4 = c 5 = c 6 =.7449 = = = = = = = = =.866 = = = 4 = = = = = = = = f (4) (c) f (6) (c) f (8) (c) f () (c) f () (c) 4 Metode Numerik

67 6.9 Conto Soal Terapan Seorang penerjun payung terjun dari sebua pesawat. Kecepatan penerjun sebagai fungsi dari waktu adala [CHA9]: v(t) = gm ( - e - (c / m) t ) c yang dalam al ini v = kecepatan penerjun dalam m/dt g = tetapan gravitasi = 9.8 m/dt m = massa penerjun = 68. kg c = koefisien taanan udara =.5 kg/detik Misalkan kita ingi mengetaui seberapa jau penerjun tela jatu setele waktu tertentu t. Karena kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi jarak, maka jarak penerjun dari titik terjun (t = ) adala : t d = t gm ( c / m) t v( t) dt = ( e ) dt c Hitung seberapa jau penerjun tela jatu setela waktu t = detik dengan bermacammacam metode integrasi numerik. Penyelesaian: Persoalan kita adala mengitung integrasi dengan gm d = ( e c ( c / m) t ) dt v = kecepatan penerjun dalam m/dt g = percepatan gravitasi = 9.8 m/dt m = massa penerjun = 68. kg c = koefisien taanan udara =.5 kg/detik Nilai d dengan bermacam-macam metode integrasi numerik diringkas dalam tabel berikut: Bab 6 Integrasi Numerik 5

68 Metode Integrasi d (meter) Keterangan Trapesium n = 8 Titik-tenga n = 8 Simpson / n = 8 Simpson / n = 4 Romberg n = 8 Gauss-Legendre -Titik Gauss-Legendre -Titik Gauss-Legendre 4-Titik Dari tabel di atas terliat perbaikan asil integrasi dimulai setela kaida titik-tenga. Mulai dari kaida Simpson / sampai metode Romberg, nilai integrasi semakin diperbaiki. Pada conto ini, asil integrasi dengan kaida Simpson /8 tidak dapat dibandingkan karena jumla pias n tidak sama dengan kaida integrasi lainnya, keculai jika kita menggunakan n yang sama (n genap tetapi merupakan kelipatan tiga). Sedangkan asil integrasi dengan kuadratur Gauss memperliatkan perbaikan dengan semakin tingginya orde metode. Kebutuan yang paling mendasar bagi menusia iala bagaimana mengatasi keterasingannya, untuk meningggalkan penjara kesendiriannya. (Eric Fromm - Te Art of Loving) 6 Metode Numerik

69 Soal Latian. Diketaui f() = (4t - t )ep(t ), dan n = 56. Hitungla f() d dengan: (a) kaida trapesium (b) kaida Simpson / (c) kaida titik-tenga (d) metode Romberg (e) kaida Gauss-Legendre -titik dan Gauss-Legendre 4-titik... Diketaui f() = cos( ),.5.5 dan =.. Hitungla 5 dengan: (a) kaida trapesium (b) kaida Simpson / (c) kaida titik-tenga (d) metode Romberg (e) kaida Gauss-Legendre -titik dan Gauss-Legendre 4-titik..5 f() d. Turunkan rumus galat kaida titik-tenga dan galat totalnya. 4. Turunkan rumus galat kaida Simpson /8 dan galat totalnya. 5. Tentukan n (jumla upaselang atau pias) seingga kaida trapesium memberikan nilai integrasi cos()d kurang dari.. 6. (a) Dengan menerapkan ekstrapolasi Ricardson, turunkan kaida Boole untuk 4 f()d bila I() dan I() diitung dengan kaida Simpson /. (b) Dengan menyatakan I I() + C q Ricardson untuk mengitung selebar dan., turunkan rumus ekstrapolasi f() d dengan menggunakan titik-titik Bab 6 Integrasi Numerik 7

70 (c) Berdasarkan rumus ekstrapolasi Ricardson pada jawaban (b) di atas, turunkan kaida /8 Simpson bila I() dan I() diitung dengan kaida titik tenga. 7. (a) Dengan menyatakan I I() + C q, turunkan rumus ekstrapolasi Ricardson untuk mengitung f() d dengan menggunakan titik-titik selebar dan. (b) Dengan menerapkan ekstrapolasi Ricardson pada rumus (a), turunkan kaida integrasi baru yang galatnya berorde O( 7 ) untuk 6 f ( ) d bila I() dan I() diitung dengan kaida Simpson /8. (c) Berdasarkan rumus ekstrapolasi Ricardson pada jawaban (b) di atas, turunkan kaida Simpson /8 bentuk lain bila I() dan I() diitung dengan kaida titik tenga. 8. Rumus f() ( -) d = pf(a) + qf(a) akan tepat untuk polinom derajat. Tentukan p, q, a, dan b. 9. Ubala bentuk integrasi di bawa ini agar tidak singular lagi : (i) cos()/ / d (ii) d/(-) / d (iii) ( -)/( - + ) d 8 Metode Numerik

71 . Nilai integrasi untuk fungsi f() = singular dekat = dan tidak singular untuk yang jau dari nol. Untuk membuktikan pernyataan ini, lakukan peritungan tangan (tanpa komputer) sampai 5 angka bena pada:. (a) d, kaida / Simpson, =.5. Bandingkan dengan nilai integrasi sejatinya.. (b) d, kaida Simpson /, =.5. Bandingkan dengan nilai integrasi sejatinya. Sekarang, ubala fungsi f() seingga tidak singular lagi, lalu itung kembali integrasi soal (a) dan (b) di atas.. Hitungla e y cos() d dy : (a) Gunakan kaida Simpson / untuk kedua ara, = y =. (b) Gunakan kaida Gauss-Legendre 4-titik untuk kedua ara. Susunla rumus integrasi numerik dari bentuk berikut : f() d = af(-) + bf() + cf() yang nilai integrasinya tepat untuk polinom f() derajat. Perliatkan bawa galat kaida Gauss-Legendre -titik sebanding dengan f (4) (c), yang dalam al ini - < c <. (Petunjuk : gunakan bantuan deret Taylor). 4. Ubala bentuk integrasi di bawa ini agar tidak singular lagi : (i) (ii) cos()/ / d d/(-) / d (iii) ( -)/( - + ) d Bab 6 Integrasi Numerik 9

72 5. Hitungla secara analitis b a d. Nyatakan jawaban anda dalam a dan b. Perliatkan bawa bila integral tersebut diselesaikan dengan kaida Simpson / asilnya sama dengan nilai integrasi sejatinya. 6. Hitungla e y d dy : (a) Gunakan kaida Simpson / untuk kedua ara, = y =. (b) Gunakan kaida Gauss-Legendre 4 titik untuk kedua ara. 4 Metode Numerik