OMI LM UN IMNSI I (l. rismanto, M.Sc.) I. UUN II, IS, N IN. II, IS N IN itik merupakan unsur ruan yan palin sederana, tidak didefinisikan, tetapi setiap pembaca diarapkan dapat memaaminya. Yan dimaksud aris dalam baasan ini adala aris lurus dan yan dimaksud denan bidan adala bidan datar. eduanya berukuran tak terbatas. Untuk aris tak terbatas panjannya, sedankan untuk bidan tak terbatas luasnya. aris diambar diunakan sebatas yan diperlukan, kusus pada tulisan ini tidak berujun anak pana. Untuk menambar sebua bidan biasanya diunakan sebua persei panjan berukuran sesuai keperluan. Namun karena kedudukannya umumnya tidak frontal (tidak sejajar atau tidak pada bidan ambar), maka sebua bidan datar biasa diwakili ole sebua jajar enjan. Untuk menunjukkan sebua titik tertentu, kadan-kadan diunakan sebua nokta. ada banun datar atau banun ruan tertentu, misalnya pada sebua kubus, meskipun banun ruan tersebut mempunyai 8 titik sudut sebaai titik poton tia bidan, atau tia rusuk, titiknya tidak biasa diberi nokta.. UUN II IS N IN. Jika diketaui sebua titik dan sebua aris, munkin: (i) (ii) ambar. a b itik terletak pada aris, atau aris melalui titik (b.. (i)) itik berada di luar, atau aris tidak melalui titik. (b.. (ii)) Jika pada dan pada, maka dapat dinyatakan bawa aris melalui dan ksioma : Melalui dua bua titik dapat dibuat tepat satu aris.. Jika diketaui sebua titik dan sebua bidan, munkin: (i) a itik terletak pada bidan, atau bidan melalui titik (b.. (i)). Untuk menunjukkannya dibantu denan menambar sebua aris pada bidan (liat ) (ii) ambar. b itik tidak terletak pada bidan, atau bidan tidak melalui titik (b.. (i)).. UUN IS IN N IS. Jika diketaui sebua aris dan sebua bidan, munkin: ambar.3 (i) a aris terletak pada bidan, atau bidan melalui aris Sebua aris dikatakan terletak pada bidan jika setiap titik pada aris terletak pada bidan. Untuk menunjukkannya, ujun ruas aris wakil arus terletak pada sisi jajar enjan wakil bidan. Jika ada titik di luar jua terletak pada bidan, maka dapat dinyatakan pula bawa bidan melalui sebua aris dan sebua titik di luar aris itu. lris: imensi ia 08 MM Natematika SM ab Sleman
ksioma : Melalui sebua aris dan sebua titik di luar aris tersebut dapat dibuat tepat sebua bidan datar. arena aris tertentu jika dua ada dua titik tertentu (misal dan b) yan dilaluinya, maka: ksioma 3: Melalui tia bua titik tak searis dapat dibuat tepat sebua bidan datar. ambar.3 (ii) b aris memoton bidan, atau aris dan berpotonan. aris dikatakan memoton bidan jika aris dan bidan mempu-nyai anya sebua titik persekutuan. itik itu disebut titik poton atau titik tembus aris teradap bidan. ada b..3 (ii), adala titik tembus teradap. ambar.3 (iii) c aris sejajar bidan ( // ), atau bidan sejajar aris. Sebua aris dikatakan sejajar bidan jika aris dan bidan tidak mempunyai titik persekutuan. Untuk menunjukkannya dapat dilakukan denan menambar sebua aris pada (misal ) sejajar aris. Liat b..3 (iii).. Jika diketaui sebua aris dan sebua aris, munkin: aris dan aris terletak pada sebua bidan (misal ). Jika demikian maka yan dapat terjadi adala: (i) a. dan berimpit. ikatakan =. b. dan berpotonan (pada sebua titik). (b..4 (i)) ksioma 4: Melalui dua aris berpotonan dapat dibuat tepat sebua bidan datar. (ii) c., yaitu jika keduanya tidak mempunyai titik persekutuan. (b..4 (ii)) ksioma 4: Melalui dua aris sejajar dapat dibuat tepat sebua bidan datar. (iii) d. aris dan aris tidak sebidan. ikatakan bawa aris dan bersilanan (silan menyilan). Jadi keduanya tidak sejajar dan jua tidak mempunyai titik persekutuan. ambar.4. UUNN N IN-IN ua bidan berimpit (semua titik pada bidan yan satu terletak pada bidan kedua, dan sebaliknya) dipandan sebaai sebua bidan saja. (ii). ubunan antara ua idan (i) V Jika diketaui bidan dan V, maka munkin: V a idan dan V sejajar eduanya sama sekali tidak mempunyai titik persekutuan. (b..5 (i)) ambar.5 b idan dan V berpotonan pada sebua aris. aris poton ini biasa dilambankan denan (, V). (b..5 (ii)) lris: imensi ia 08 MM Natematika SM ab Sleman
. ubunan antara ia idan (,, γ) (i) γ γ (ii) (,γ (,γ) γ (, ) = (, γ) = (, γ) (iii) (iv) γ (, γ) (, γ) (, ) (V) γ (,γ) ambar.6 (,) (,γ) a. etianya sejajar: idan γ (b..6 (i)) b. ua bidan sejajar, dipoton bidan ketia: idan dan γ, γ (, γ) (, γ) (b..6 (ii)) c. etia bidan berpotonan pada satu aris. (, ), (, γ), dan (, γ) berimpit. (b..6 (iii)) d. etia bidan berpotonan pada tia aris poton yan sejajar. (, ) (, γ) (, γ) (b..6 (iv)) e. etia bidan berpotonan pada sebua titik ketia aris poton (, ), (, γ), dan (, γ) melalui sebua titik. (b..6 (V)). MNNUN II OON IS N IN N IS OON N IN- IN aris dan berpotonan di titik. aris menembus di dan di. aris memebus di. entukan titik (, ) tembus teradap. ambar.7 Jawab: aris dan berpotonan. Jadi dapat dibuat sebua bidan misal γ melalui dan. (, ) dan pada bidan γ dan pada bidan = (, γ) (, γ) memoton (, ) di titik. Maka aris poton ketia yaitu (, γ) jua melalui (*). arena pada, maka pada γ. itik titik tembus teradap bidan, maka pada. Jadi pada (, γ). (**) (, ) (, ) ari (*) dan (**) maka (, γ) = aris dan pada bidan γ, keduanya berpotonan.di titik = titik tembus teradap bidan. lris: imensi ia 08 MM Natematika SM ab Sleman 3
Menunakan asar ubunan ia idan onto iketaui kubus. (b.8 ). itik,, dan berturut-turut terletak pada rusuk, dan. idan melalui,, dan. ambarla aris-aris poton:\ a. (, ) b. (, ) Jawab: a. pada dan pada pada (, )... () pada dan pada pada (, )... () ari () dan () maka = (, ) a. pada dan pada (, ) melalui titik... (3) idan dipoton bidan, maka (, ) (, ) =... (4) ari (3) dan (4) maka (, ) melalui sejajar (b.9 (i)), yaitu aris S itik adala titik tena rusuk pada limas beraturan.. idan melalui sejajar dan. arila aris-aris poton bidan denan sisi-sisi limas. Jawab:. idan melalui // (, ) pada bidan b.9 b.8 S Untuk membuat (, ) dibuat pada bidan ( pada ) b.0a. N b.0. a idan // (, ) pada bidan melalui // pada dan aris tersebut memoton di dan di N. (b.0. b) S erdasar sifat kesejajarannya teradap, maka:(i) pada dibuat aris melalui sejajar. memoton di S, (ii) pada dibuat aris N melalui N sejajar memoton di M. Irisan adala sei lima SM (b.0. c) b.0. b enan demikian maka prosedur menambarnya sebaai berikut: lris: imensi ia 08 MM Natematika SM ab Sleman 4
) ada bidan ditarik aris ( pada ) ) ada bidan ditarik ( pada ) memoton di N. 3) ada bidan ditarik aris S (S pada ) 4) ada bidan ditarik aris melalui N memoton di M. 5) aris-aris potonnya adala,, S, SM, dan M Seilima SM disebut irisan bidan teradap limas.. Latian S N M b.0. c. Salin dan tentukan titik tembus aris teradap bidan.???. ambarla aris-aris poton antara bidan dan denan bidan dan, dan jua antara bidan dan. 3. Limas-limas di bawa ini terletak pada bidan. entukan titik tembus aris teradap bidan. 4. ada kubus., titik-titik,, dan S berturut-turut terletak pada bidan,,, dan. ubus tersebut diletakkan pada bidan. entukanla titik tembus aris-aris, S,, dan S teradap bidan (liat ambar di bawa No. 5) 5. ada limas., titik-titik,, dan S berturut-turut terletak rusuk, bidan, bidan, dan rusuk. las limas pada pada bidan. entukanla titik tembus arisaris, S,, dan S teradap bidan. pada lris: imensi ia 08 MM Natematika SM ab Sleman 5 pada
S S lris: imensi ia 08 MM Natematika SM ab Sleman 6
II. J N SUU. J efinisi: Jarak antara dua bua banun adala panjan ruas aris penubun terpendek yan menubunkan dua titik pada banun-banun tersebut. ambar. Jika dan adala banun-banun eometri, maka dan dapat dipikirkan sebaai impunan titik-titik, seina dapat dilakukan pemasanan antara titik-titik pada dan. Jika ruas aris adala yan terpendek antara semua ruas aris penubun titik-titik itu, maka panjan ruas aris disebut jarak antara banun dan. kibat dari penertian yan demikian maka:. Jarak antara titik dan adala panjan ruas aris. (b.. (i)). Jarak antara titik dan aris adala panjan ruas aris penubun denan proyeksi pada aris. ada b.. (ii), jarak antara titik dan aris =. 3. Jarak antara titik pada bidan adala panjan ruas aris penubun denan proyeksi titik pada bidan. ada b.. (iii), jarak antara titik dan bidan =. 4. Jarak antara aris dan bidan yan sejajar adala sama denan jarak sala satu titik pada aris teradap bidan. ada b.. (iv), jarak antara dan denan adala. 5. Jarak antara bidan dan L yan sejajar adala sama denan jarak sala satu titik pada bidan teradap bidan L, atau sebaliknya. 6. Jarak antara aris dan yan bersilanan adala panjan ruas aris ubun yan letaknya teaklurus pada dan (peratikanla cara menambarkannya).$ (i) 3 4 (ii) (iii) (iv) (V) (Vi) ambar. (Vii) lris: imensi ia ia 08 MM Natematika SM ab Sleman 7
. MLUIS J U IS SILNN ara I (ambar.3): () Lukis aris b // dan memoton aris a. () Lukis bidan melalui dan b. (3) royeksikan aris teradap bidan. asilnya adala aris b, yan memoton aris di titik. (4) Lukisla aris yan melalui b, dan memoton aris di. (5) = panjan, merupakan jarak antara aris dan yan bersilanan. b a b b ara II (ambar.4): () Lukisla bidan b. idan memoton aris di. () royeksikan aris pada bidan, asilnya a. (3) Lukisla aris melalui a dan memoton a di titik. (4) Melalui lukis aris k // yan memoton aris di titik. ambar.3 k l (5) Melalui titik lukis aris l dan memoton aris di titik. (6) anjan sama denan panjan dan merupakan jarak antara aris dan yan bersilanan. a onto. iketaui kubus. denan panjan rusuk 6 cm. Lukis dan itunla jarak antara dan. Jawab: ara I (ambar.5): () kan dilukis aris sejajar memoton di. aris tersebut tela tersedia yaitu. (4) () Lukis bidan melalui dan. idan tersebut adala bidan (3) royeksikan aris pada bidan. asil proyeksinya adala aris L yan memoton di. (4) Melalui titik lukis. (5) =panjan ruas aris merupakan jarak antara dan. (6) Ole karena = dan =, maka = 6 cm = 3 cm. b ambar.4 L (3) L () a () ambar.5 ara II (ambar.6) () ilukis bidan yan teaklurus : tela tersedia yaitu (5) bidan. () royeksikan pada bidan, yaitu. (3) Lukis aris melalui, yaitu, memoton di titik. () (4) Melalui dibuat aris sejajar yaitu L yan memoton di. (5) Melalui dibuat aris teaklurus yaitu. (6) = panjan ruas aris, merupakan jarak antara dan. anjannya = = = 6 cm = 3 cm. (4) () (3) ambar.6 lris: imensi ia 08 MM Natematika SM ab Sleman 8
onto iketaui kubus. denan panjan rusuk 6 cm. Lukis dan itunla jarak antara dan. Jawab: iunakan ara II (ambar.7). () Lukis bidan yan teaklurus, yaitu bidan (3) (5) yan memoton di. () () royeksikan aris ke bidan, yaitu L. M (4) (3) Melalui dibuat aris teaklurus L dan memoton L di titik M. (ibuat M, karena L ). (4) Melalui M dibuat aris sejajar, memoton di titik. N () (5) Melalui dibuat aris sejajar M, memoton di. L (6) anjan ruas aris merupakan jarak antara dan. = M; M = N = 4 3 cm = 3 cm ambar.7 Jadi jarak antara aris dan adala sepanjan ruas aris = 3 cm. atatan: Jika yan ditanyakan anya jaraknya, maka jarak tersebut sama denan jarak antara bidan dan. arena kedua bidan teak lurus dan membai tia sama diaonal, maka jarak kedua aris sama denan jarak antara dua bidan sejajar tersebut = 3 6 3 cm = 3 cm. SUU. Sudut ntara ua aris Sudut antara dua aris aris adala sudut lancip atau siku-siku antara kedua aris tersebut. enan demikian maka sudut antara dua aris bersilanan adala sudut lancip atau siku-siku yan terbentuk ole kedua aris bersilanan (tidak sebidan) Jika dan dua aris bersilanan, maka besar sudut antara kedua aris sama de-nan besar sudut antara a yan sebidan denan dan sejajar a, denan b, atau sebaliknya: antara b yan sebidan denan dan sejajar b, denan a. Jika sudutnya 90, dikatakan menyilan teak lurus b. ada ambar.8, dan bersilanan. esar sudut antara dan = = V a b a ambar.8. Sudut ntara aris dan idan aris dikatakan teak lurus bidan, jika aris teaklurus pada semua aris pada bidan a, a, a 3, denan a, a, a 3, pada bidan. (b..9) arena dua aris berpotonan menentukan keberadaan sebua bidan (melalui aris berpotonan dapat dibuat tepat sebua bidan), maka: jika aris teak lurus pada a a a 4 dua bua aris pada bidan, maka aris. esar sudut antara aris dan bidan, denan tidak teak lurus, ditentukan ole besar sudut antara aris dan a yan merupakan proyeksi aris pada bidan. a a 5 ambar.9 lris: imensi ia 08 MM Natematika SM ab Sleman 9
k a = a a a (i) ambar.0 (ii) k =a ada b..0 (i), dan pada aris a. royeksi pada adala, proyeksi pada adala, seina asil proyeksi pada yaitu a adala aris '. Sudut antara dan = sudut antara dan a yaitu. Jika pada bidan pemroyeksi dibuat aris k a (b..0 (ii)), maka k = a. Untuk menambarkan besar sudut antara k dan a, dalam al ruan ambarnya tidak memunkinkan, dapat diatasi denan menambar aris a a pada bidan pe-mroyeksi seina besar sudut antara k dan dapat diwakili ole, yaitu (k, a ). 3. Sudut ntara ua idan (yan erpotonan) Misalkan bidan V dan W berpotonan pada aris (bidan V = bidan, bidan W = bidan ). Jika sebua bidan memoton teaklurus aris poton antara bidan V dan W, maka bidan dinamakan bidan tumpuan antara bidan V dan W. W arena bidan V dan W, maka bidan (V, W), seina (V, W)) (, V) dan (V, W) (, W). Sudut antara aris (, V) dan (, W) dinamakan sudut tumpuan antara bidan V dan W. esar sudut antara bidan V dan W ditentukan ole besar sudut tumpuan antara kedua kedua bidan. ada b.., sudut yan dimaksud adala sudut. ambar. Jadi untuk menentukan besar sudut antara dua bidan V dan W dapat dilakukan sebaai berikut: () entukan (V, W) (dalam b..: ) () ili sembaran titik pada (V, W) (3) ada bidan V tarik aris (V, W) (4) ada bidan W tarik aris (V, W) maka: besar (V, W) = Jika besar (V, W) = 90 o, dikatakan V W onto ada kubus. (b..): a. Sudut antara dan = sudut antara dan (karena (karena S siku-siku sama kaki). ) = 45 o b. Jika sudut antara bidan dan =, berapaka cos? Jawab: (, ) =. S O V ambar.. lris: imensi ia 08 MM Natematika SM ab Sleman 0
sama sisi dan S titik tena. Jadi S () sama sisi dan S titik tena. Jadi S () Jadi sudut tumpuan antara bidan dan = S, besarnya =. S + S S ada S: cos = ; misalkan = a, maka. S. S = a, S = S = a 6 6a + 6a 8a = a 6 a 6 4a = = a 3 Jadi cos (, ) = ambar..3 3 M ). adala sebua limas sei-4 beraturan (b..3): = 6 cm, tini limas = 6 cm. entukan sin (, ) dan tan (, ) Jawab: M = proyeksi pada bidan dan = proyeksi pada bidan Jadi proyeksi pada bidan adala M seina (, ) = M; M = = 6 cm = 3 cm. = M + M = 6 + ( 3 ) = 36 + 8 = 54 = 3 6 (cm) M 6 sin M = = = 3 6 3 6 Jadi sin (, ) = 3 6 (, ) = ; pada, pada bidan teak lurus pada, pada bidan teak lurus Sudut tumpuan antara bidan dan adala, tan = Jadi tan (, ) =. Latian Untuk no. -6, unakan ambar kubus pada ambar denan panjan rusuk 6 cm.. erapaka jarak antara () dan, () dan?. erapaka jarak (terpendek) antara dan jika ditempu melewati bi dan sisi kubus? 3. erapaka jarak antara () dan () dan? 4. erapaka jarak dan besar sudut antara () dan bidan, () dan? 5. erapaka jarak antara bidan dan bidan, () bidan dan bidan? 6. erapaka jarak antara () dan, () dan, dan (3) dan? 7. erapaka kosinus sudut antara: a. (i) dan (ii) dan (iii) dan b. (i) dan (ii) dan (iii) S dan c. (i) dan (ii) dan (iii) dan M M 6 = 3 = lris: imensi ia 08 MM Natematika SM ab Sleman
8. ubus. panjan rusuknya a cm. entukanla jarak titik ke bidan! 9. ua bua aris l dan m bersilanan teak lurus. Jarak antara kedua aris itu adala denan pada l dan pada m. ada aris l dan m berturut-turut terletak titik-titik dan, seina = 6 cm dan = 8 cm. Jika = 0 cm, itunla panjan. 0.. adala sebua bidan empat beraturan, panjan rusuknya 6 cm. a. itun jarak antara: i. setiap titik sudut ke bidan sisi di adapannya ii. setiap dua rusuknya yan bersilanan b. itunla kosinus sudut antara: i. dua bidan sisinya ii sebua rusuk denan sisi yan ditembusnya iii aris tini dan rusuk yan dipotonnya.. erapaka jarak antara () dan, () dan, dan (3) dan?. ambarla kubus.. adala titik poton diaonal dan. Lukisla sebua ruas aris yan menyatakan jarak antara aris dan, kemudian itun jarak tersebut jika panjan rusuk kubus 6 cm. 3.. adala sebua limas beraturan. = 6 cm, = 3 5 cm. ambarla sebua ruas aris yan menyatakan jarak antara titik ke bidan dan itunla jarak tersebut. 4. adala sebua trapesium siku-siku di, merupakan alas sebua limas. denan. anjan rusuk = 30 cm, = 0 cm, dan = 5 cm. itunla: jarak antara (i) dan, (ii) dan bidan, (iii) dan bidan, dan sinus sudut antara bidan dan lris: imensi ia 08 MM Natematika SM ab Sleman