Geometri MAT 3 A. TITIK, GARIS, BIDANG PADA RUANG B. KEDUDUKAN TITIK, GARIS & BIDANG GEOMETRI. materi78.co.nr

Transkripsi

1 eometri. IIK, IS, IN UN eometri adalah ilmu matematika yang mempelajari bentuk, ukuran, posisi relatif dan sifat ruang. lemen-elemen pada geometri adalah titik, garis dan bidang. itik tidak memiliki definisi. itik diberi nama dengan huruf kapital. ksioma/postulat hubungan titik, garis dan bidang: 1) aris hanya dapat dibentuk dari dua titik berbeda. aris diberi nama dengan huruf kecil atau menyebut dua titik yang dilewati garis. 2) idang adalah sebuah luasan (bidang datar), dan hanya dapat dibentuk dari: a. iga titik berbeda b. Satu titik dan satu garis c. ua garis yang berpotongan atau sejajar idang diberi nama dengan huruf kecil atau menyebut minimal tiga titik yang terdapat pada bidang.. KUUKN IIK, IS & IN Kedudukan titik terhadap garis: 1) itik berada di/pada garis () itik berada pada garis karena garis itu melalui titik. 2) itik berada di luar garis () itik berada di luar garis karena garis itu tidak melalui titik. Kedudukan titik terhadap bidang: 2) itik berada di luar bidang itik berada di luar bidang karena: a. idang tidak melalui titik. 3 b. itik tidak berada pada garis yang berada pada bidang itu. Kedudukan garis terhadap bidang: 1) aris berada di/pada bidang (,, dll.) aris berada pada bidang karena karena ada dua titik yang dilalui garis pada bidang itu. 2) aris menembus/memotong bidang () aris menembus/memotong bidang karena ada satu titik yang dilalui garis pada bidang itu (titik tembus). 3) aris sejajar dengan bidang (S) aris sejajar dengan bidang karena garis itu sejajar dengan salah satu garis pada bidang itu. ubungan antar garis: 1) aris sejajar ua garis sejajar apabila: a. idak terbentuk titik perpotongan garis dan terletak pada bidang yang sama. b. anya dapat dibuat satu buah bidang dari garis tersebut. 2) aris berpotongan S 1) itik berada di/pada bidang () itik berada pada bidang karena: a. idang melalui titik. b. itik berada pada garis yang terletak pada bidang itu. ua garis berpotongan apabila: a. erbentuk suatu titik perpotongan (juga sudut perpotongan) dan terletak pada bidang yang sama. OI 1

2 b. anya dapat dibuat satu buah bidang dari garis tersebut. 3) aris bersilangan ua garis bersilangan apabila tidak terbentuk titik perpotongan garis dan tidak terletak pada bidang yang sama. ubungan antar bidang: 1) idang sejajar ua bidang sejajar apabila tidak ada satupun garis perpotongan bidang dari kedua bidang. 2) idang berpotongan 3 aris yang terletak pada bidang frontal disebut garis frontal. 3) idang ortogonal adalah bidang yang tegak lurus terhadap bidang frontal. aris pada bidang orthogonal yang sebenarnya tegak lurus bidang frontal disebut garis ortogonal. 4) Sudut surut/menyisi adalah sudut yang terbentuk pada bidang gambar dari garis frontal horizontal ke kanan dengan garis ortogonal ke belakang. 5) erbandingan ortogonal/proyeksi adalah perbandingan antara garis ortogonal terlukis dengan garis ortogonal sesungguhnya.. OONN U IN erpotongan dua bidang adalah berupa \garis perpotongan bidang, yaitu garis persekutuan yang merupakan bagian dari kedua bidang. ara menentukan perpotongan bidang: 1) entukan dua titik perpotongan dari dua pasang garis yang berasal dari kedua bidang. 2) uat garis dari kedua titik dengan menghubungkan keduanya. aris itu adalah garis perpotongan bidang. ontoh 1: erpotongan dengan ua bidang berpotongan apabila terdapat garis perpotongan bidang, yaitu garis persekutuan yang merupakan bagian dari kedua bidang. ksioma/postulat pada kedudukan titik, garis dan bidang: 1) pabila dua buah bidang berpotongan tegak lurus, maka seluruh garis dari bidang 1 terhadap bidang 2 juga tegak lurus. 2) asil perpotongan dua bidang adalah garis, sedangkan hasil perpotongan tiga bidang dapat berupa garis atau titik.. NN UN erspektif dalam penggambaran ruang: 1) idang gambar adalah tempat untuk menggambar. 2) idang frontal adalah bidang yang sejajar dengan bidang gambar dan digambar dengan ukuran sesungguhnya. erpotongan kedua bidang ada pada titik dan titik, sehingga perpotongan bidangnya adalah garis. OI 2

3 ontoh 2: erpotongan dan 3 ontoh 4: erpotongan dengan erpotongan kedua bidang ada pada titik (pusat ) dan titik Y (pusat ), sehingga perpotongan bidangnya adalah garis Y. ontoh 3: erpotongan dengan erpotongan kedua bidang dicari dengan memperpanjang garis dan hingga berpotongan di titik. erpotongan bidang adalah garis. Y idang belum memenuhi sisi terluar kubus, sehingga harus diperluas menjadi N. aranya adalah dengan membuat garis yang sejajar dengan salah satu garis pembentuk sisi bidang di sisi kubus yang belum terpenuhi (garis ). erpotongan kedua bidang ada pada titik (pusat ) dan titik Y, sehingga perpotongan bidangnya adalah garis Y. Y N N. OYKSI IIK N IS IN royeksi adalah penjatuhan (pemindahan) titik dan garis pada suatu bidang. royeksi dibuat dengan menjatuhkan titik atau titik pada garis tegak lurus terhadap bidang, biasanya dilambangkan dengan tanda aksen ( ). alam menjatuhkan garis tegak lurus bidang, keakuratan tidak diperhatikan karena kita tidak tahu bagaimana ukuran sudut yang tepat dalam perspektif ruang. OI 3

4 ontoh 1: royeksi ke bidang alas 3 ontoh 1: entukan titik tembus dengan ontoh 2: royeksi ke bidang uat bidang (dilalui ). ontoh 3: royeksi N ke bidang ontoh 4: royeksi ke. IIK US = itik tembus adalah titik perpotongan antara garis yang menembus/memotong bidang. ara menentukan titik tembus: 1) uat bidang β yang dilalui garis yang menembus bidang α. 2) entukan perpotongan antara bidang α dan β. 3) itik tembus adalah titik potong antara garis yang menembus bidang dengan perpotongan antar bidang. N N entukan perpotongan bidang dengan. itik adalah titik tembusnya. ontoh 2: entukan titik tembus dengan, jika ada di bidang. OI 4

5 3 uat bidang N (dilalui ). apat digunakan garis bantu untuk memperlebar kubus acuan. K I J entukan perpotongan bidang dengan N. itik adalah titik tembusnya. entukan perpotongan bidang J dengan. itik adalah titik tembusnya. K I J ontoh 4: entukan titik tembus dengan, jika ada pada bidang. ontoh 3: entukan titik tembus dengan J K J I uat bidang (dilalui ) dengan menggeser titik sejajar bidang (ke ), dan titik sejajar bidang (ke ). uat bidang (dilalui ) dengan memproyeksikan titik dan ke bidang alas dan bidang tutup ruang. OI 5

6 3 : entukan perpotongan bidang dengan dengan memperpanjang garis yang berada pada alas limas. itik tembus adalah perpotongan dengan perpotongan bidang tidak dapat dilukis karena bidang gambar tidak mencukupi.. NN IISN enampang irisan adalah bidang/penampang yang terbentuk jika: 1) iketahui minimal tiga titik yang dilalui bidang. 2) iketahui satu titik dan satu bidang yang dilalui bidang Sumbu afinitas adalah garis persekutuan yang terbentuk dari dua titik persekutuan antara bidang tegak pengiris dengan bidang alas ruang. ara membuat sumbu afinitas: 1) uat dua garis berbeda dari titik-titik pembentuk penampang dan perpanjang hingga bidang alas. 2) Jatuhkan dua garis tadi ke bidang alas dan tentukan titik persekutuan garis dengan penjatuhan garis (bukan proyeksi). 3) ubungkan kedua titik persekutuan menjadi sumbu afinitas. ara menentukan penampang irisan dengan sumbu afinitas: 1) uat sumbu afinitas. 2) erpanjang garis perpotongan bidang alas dengan bidang tegak (rusuk alas) menuju sumbu afinitas. 3) ari perpotongan sumbu afinitas dengan rusuk alas, tarik garis menuju titik irisan penampang pada bidang tegak. ujuannya adalah menentukan titik irisan penampang lain yang belum diketahui. 4) enampang irisan dibentuk dengan menghubungkan titik-titik irisan penampang. ontoh 1: Lukis penampang bidang yang melalui titik, dan pada kubus berikut! Y Jatuhkan titik, dan ke alas ruang, dan buat garis,, dan. erpanjang garis-garis yang telah dibentuk sampai berpotongan di alas ruang. aris yang terbentuk adalah sumbu afinitas. Langkah 3 = ubungkan dan dengan sumbu afinitas, lalu tarik garis dari perpotongan menuju (garis ) dan menuju (garis ). OI 6

7 Langkah 4 ubungkan titik,, dan titik-titik yang terbentuk pada langkah 3, sehingga terbentuk penampang irisan. 3 OI 7