M O D U L 3 Dimensi Tiga

Transkripsi

1 M O D U L 3 Dimensi Tiga Standar Kompetensi Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan satu variabel Kompetensi Dasar 3.1 Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga 3.2 Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga 3.3 Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga Indikator 1. Kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga Kreteria Kinerja Mendeskripsikan kedudukan antara unsurunsur bangun ruang 2. Jarak pada bangun ruang. Mendefinisikan pengertian jarak antara titik, garis dan bidang dalam ruang 3. Sudut pada bangun ruang Mendefinisikan pengertian sudut antara titik, garis dan bidang dalam ruang 4. Irisan idang Mendiskripsikan irisan bidang dalam ruang 5. Proyeksi Mendiskripsikan hasil proyeksi dalam bangun ruang Lingkup Materi Pokok Pembelajaran elajar Sikap Pengetahuan Keterampilan Kedudukan Sistematis dan Kedudukan titik terhadap Mengambil titik dengan analisis garis dan bidang Keputusan dengan unsur bangun cepat ruang Jarak antar Sistematis dan Jarak titik ke titik bangun ruang analisis Jarak titik ke garis Jarak titik ke bidang Sudut dalam Sistematis dan Sudut antara dua garis bangun ruang analisis Sudut antara garis dan bidang yang berpotongan Sudut antara dua bidang Irisan bidang dengan bngun ruang Proyeksi dalam bangun ruang Sistematis dan analisis Sistematis dan analisis yang berpotongan Irisan bidang dengan bangun ruang Proyeksi titik pada bidang Proyeksi garis pada bidang

2 . Tujuan Pembelajaran Kegiatan elajar 1 Setelah mempelajari kegiatan belajar 1, diharapkan siswa dapat : a. Menentukan kedudukan titik dan garis dalam ruang b. Menentukan kedudukan titik dan bidang dalam ruang c. Menentukan kedudukan antara dua garis dalam ruang d. Menentukan kedudukan garis dan bidang dalam ruang e. Menentukan kedudukan antara dua bidang dalam ruang f. Menggambar titik koordinat pada dimensi tiga. Uraian Materi 1 Kedudukan Titik, Garis dan idang dalam Ruang enda berdemensi tiga memiliki tiga unsur, yakni : 1. Titik merupakan sesuatu yang tidak memiliki ukuran (tak berdemensi) dan hanya ditentukan oleh letaknya saja. Titik disimbolkan dengan noktan () dan biasanya diberi nama dengan huruf besar (kapital), misalnya,, C, D dan lain sebagainya 2. Garis adalah kumpulan atau himpunan titik yang membentuk kurva lurus. Garis merupakan bangun berdemensi satu, karena ukuran (demensi) yang dimiliki hanya satu yaitu panjang, garis biasanya diberi nama dengan huruf kecil, misalnya: p. q, r dan lain sebagainya 3. idang disebut bangun berdemensi dua, karena memeliki dua demensi yakni demensi panjang dan demensi lebar, bidang tidak memeiliki dimensi ketebalan. a. Kedudukan titik terhadap garis dan bidang a.1. Kedudukan titik terhadap garis g h Jika diperhatikan gambar di atas maka kedudukan titik terhadap garis ada dua, yakni :

3 Titik terletak di garis atau garis yang melalui titik tertentu, seperti titik terletak di garis g, atau garis g melalui titik. Titik yang terletak di luar garis, atau titik tidak terletak di garis atau dengan kata lain garis tidak melalui titik tertentu, contohnya titik tidak terletak di garis h, atau garis h tidak melalui titik. a.2. Kedudukan titik terhadap bidang R P β Dari gambar di atas, diketahui bahwa kedudukan titik terhadap bidang adalah : Titik terletak pada bidang atau bidang melalui titik tertentu, seperti titik P terletak pada bidang. Titik terletak di luar bidang atau bidang tidak melalui titik tertentu, seperti titik R terletak di luar bidang β Pada gambar kubus di bawah, maka kedudukan titik terhadap garis dan bidang adalah : Titik terletak pada garis (rusuk), E dan D Titik di luar garis (rusuk) F, FE, HG dan seterusnya Titik terletak pada bidang CD, DHE Titik di luar bidang CGF, EFGH dan seterusnya H G E F D C b. Kedudukan Dua Garis s g = h a P b q r t erdasarkan gambar gambar di atas dapat diketahui bahwa kedudukan dua garik adalah : Dua garis yang saling berhimpit

4 Dua garis dikatakan saling berimpit jika kedua garis tersebut sejajar, terletak pada satu bidang dan setiap titik pada garis terletak pada titik garis yang lainnya, contohnya pada gambar di atas, garis g berimpit dengan garis h. Dua garis yang saling berpotongan Dua garis atau lebih dikatakan saling berpotongan jika garis-garis tersebut terletak pada bidang yang sama dan terdapat satu titik perpotongan pada garis-garis tersebut. Perhatikan gambar di atas garis a berpotongan dengan garis b di titik P. Dua garis saling sejajar Dua garis atau lebih dikatakan sejajar apabila garis tersebut terletak pada satu bidang dan tidak mempunyai titik perpotongan (persekutuan). Perhatikan gambar di atas garis q sejajar dengan garis r. Dua garis yang saling bersilang Dua garis atau lebih dikatakan saling bersilang jika garis-garis tersebut tidak memiliki titik persekutuan sehingga garis-garis tersebut tidak sebidang dan tidak sejajar. Perhatikan gambar di atas garis s saling bersilang dengan garis t. c. Kedudukan Garis Terhadap idang r g s P Kedudukan garis terhadap bidang adalah sebagai berikut : Garis terletak pada bidang Garis dikatakan terletak pada bidang jika semua titik pada garis tersebut terletak pada bidang tertentu, ini ditunjukkan pada di atas garis g terletak pada bidang. Garis sejajar dengan bidang Suatu garis dikatakan sejajar dengan sebuah bidang jika pada bidang tersebut dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis trsebut, garis dan bidang yang sejajar tidak memiliki persekutuan. Hal ini ditunjukkan garis r dengan bidang. Garis yang memotong/ menenbus bidang Suatu garis dikatakan memotong/menembus sebuah bidang jika garis tersebut tidak terletak pada bidang dan tidak sejajar, garis menembus/memotong sebuah bidang

5 jika terdapat satu titik perpotongan antara garis dan bidang. Garis s menembus bidang pada titik P. d. Kedudukan Dua bidang =β λ ρ σ Kedudukan dua bidang adalah: Dua bidang atau lebih yang berimpit Dua bidang atau lebih dikatakan saling berimpit jika setiap titik pada bidang terletak pada bidang yang lainya, perhatikan gambar bidang berimpit dengan bidang β. Dua bidang atau lebih yang sejajar Dua bidang atau lebih dikatakan sejajar jika bidang tersebut tidak memiliki titik persekutuan, perhatikan gambar bidang λ berimpit dengan bidang γ. Dua bidang atau lebih saling berpotongan Dua bidang atau lebih dikatakan saling berpotongan jika bidang tersebut memiliki tepat satu garis persekutuan, perhatikan bidang ρ berpotongan dengan bidang σ. Proyeksi a. Proyeksi titik pada bidang Sebuah titik yang terletak di luar bidang jika kita tarik garis lurus dari titik tersebut ke bidang sehingga membentuk sudut 90 o dengan bidang maka ini disebut sebagai proyeksi sebuah titik ke bidang. Seperti gambar di bawah. β R R R = Proyeksi titik R pada bidang β RR = Proyektor atau jarak titik R terhadap bidang β β = bidang proyeksi RR β

6 b. Proyeksi garis pada bidang D Q α α D Q PP Proyeksi garis pada sebuah bidang ada tiga kemungkinan yang terjadi, yakni : Jika garis terletak di luar bidang maka semua proyektor terletak pada satu bidang, seperti garis yang diproyeksikan terhadap bidang α. Jika garis tegak lurus dengan bidang maka hasil proyeksinya berupa titik seperti pada titik D yang di proyeksikan pada bidang α Jika garis menembus/memotong bidang maka hasil proyeksinya adalah garis lurus pada bidang seperti garis PQ yang diproyeksikan pada bidang α. Contoh 1. Diketahui kubus CDEFGH memiliki panjang rusuk 5 em, tentukan a. Proyeksi dan panjang proyeksi garis G pada bidang CD b. Proyeksi dan luas bidang proyeksi bidang CGE pad bidang CD. Penyelesaian H G E F D C a. Proyeksi garis G pada bidang CD adalah garis C Panjang proyeksinya adalah 5 2 cm. b. Proyeksi bidang CGE pad bidang CD, adalah garis C. Karena bidang proyeksinya berbentuk garis maka tidak mempunyai luas, jadi luas bidang proyeksinya adalah 0 cm 2

7 2. Pada limas segiempat beraturan T.CD tentukan : a. Letak proyeksi titik T pada bidang CD b. Proyeksi bidang TD pada bidang CD. jika panjang = 4 cm tentukan luas proyeksi TD tersebut. Penyelesaian T D T a. Letak proyeksi titik T pada bidang CD adalah di tengah-tengah bidang CD b. Proyeksi bidang TD pada bidang CD. adalah garis DT. L L L DT ' DT ' DT ' 1 = D. tinggi 2 1 = = 4 cm

8 . P (2, 3, 6) Menggambar titik Koordinat pada Dimensi Tiga z 6 P(2, 3, 6) 3 y 2 x

9 C. Rankuman 1 1. enda berdemensi tiga memiliki tiga unsur, yakni : a. Titik b. Garis c. idang 2. Kedudukan titik terhadap garis Titik terletak pada garis Titik yang terletak di luar garis 3. Kedudukan titik terhadap bidang Titik terletak pada bidang Titik terletak di luar bidang 4. Kedudukan Dua Garis Dua garis yang saling berhimpit Dua garis yang saling berpotongan Dua garis saling sejajar Dua garis yang saling bersilang 5. Kedudukan Garis Terhadap idang Garis terletak pada bidang Garis sejajar dengan bidang Garis yang memotong/ menenbus bidang 6. Kedudukan Dua bidang Dua bidang atau lebih yang berimpit Dua bidang atau lebih yang sejajar Dua bidang atau lebih saling berpotongan 7. Proyeksi titik pada sebuah bidang adalah titik tembus garis yang tegak lurus dengan bidang proyeksi. 8. Proyeksi suatu garis lurus pada sebuah bidang datar pada umumnya berupa garis lurus. D. Tugas 1 1. Perhatikan balok CDEFGH di bawah, tentukan kedudukan : a. Garis H terhadap garis CF b. Garis H terhadap bidang DCGH c. Garis DG terhadap bidang FE H E D F G C

10 d. idang CD terhadap bidang EFGH e. idang CGE terhadap bidang DHF f. Titik terhadap biddang FE g. Titik terhadap garis C 2. Perhatikan limas segit empat beraturan di bawah, a. Sebutkan pasangan rusuk-rusuk yang sejajar b. dakah bidang yang saling sejajar c. agaimana kedudukan titik T terhadap bidang CD D T C 3. erapa banyak bidang yang dapat dibuat melalui : a. dua garis yang saling berpotongan b. dua garis yang sejajar c. dua garis yang bersilang

11 4. Gambarlah sebuah garis sepanjang 5 cm yang membentuk sudut 60 o dengan suatu garis g, tentukan proyeksi dan panjang proyeksi pada garis g 4. Diketahui kubus CDEFGH, panjang = 6 cm dan titik P tengah-tengah GH, tentukan : a. proyeksi P pada alas b. proyeksi P pada DHE c. proyeksi P pada DHF d. proyeksi CP pada DHF E. Tes Formatif 1 1. Garis g tegak lurus pada bidang V dan bidang WI membentuk sudut lancip terhadap bidang V. jika W memotong V menurut suatu garis s maka proyeksi g pada V.. a. tegak lurus pada V d. Sejajar dengan V b. tegak lurus dengan s e. sejajar dengan s c. bersilang tegak lurus dengan g 2. Garis-garis h dan k terletak pada bidang V dengan h k. misalkan g bidang V, maka (1) ada garis melalui g dan sejajar h (2) ada garis memotong g, dan sejajar V dan tegak lurus h

12 (3) g h dan g k (4) ada bidang yang tegak lurus g dan tegak lurus h. Pernyataan yang benar adalah a. 1 dan 4 d. 1, 2 dan 3 b. 2 dan 4 e. 2, 3 dan 4 c. 2 dan 3 3. Dikethui kubus CDEFGH di bawah H G E P T S F D C Q Pernyataan berikut yang salah adalah a. titik T terletak pada bidang FH d. titik T terletak pada bidang DHE b. titik T terletak pada bidang CHE e. titik T terletak pada bidang CDEF c. titik T terletak pada bidang CGE 4. Pada kubus soal nomor 1, garis yang tidak terletak pada bidang CGE adalah a. GQ d. FQ b. T e. CT c. PQ 5. Pada kubus soal nomor 1, pasangan garis dan bidang yang tidak sejajar adalah a. D dan FH d. PQ dan DHE b. F dan DG e. CG dan QPE c. DH dan CF 6. Pernyataan berikut ini yang benar adalah a. melalui sebuah titik atau garis hanya dapat buat sebuah bidang datar b. melalui sebuah garis hanya dapat dibuat sebuah bidang datar c. melalui 2 garis yang sejajar hanya dapat dibuat sebuah bidang datar

13 d. melalui 2 garis yang sejajar dapat dibuat tak hingga bidang datar e. melalui 3 titik yang segaris hanya dapat dibuat sebuah bidang datar 7. Kemungkinan kedudukan 2 buah bidang dalam ruang adalah a. bersilang saja d. sejajar saja b. berhimpit saja e. sejajar atau berpotongan c. sejajar, berrpotongan,berhimpit 8. Jika garis f dan g sejajar dengan bidang β, diantara pernyataan berikut yang benar adalah. a. f sejajar dengan semua garis pada bidang β b. f sejajar dengan g dan sejajar bidang β c. bidang yang memuat f dan g sejajar dengan bidang β d. bidang yang memuat f dan g sejajar dengan bidang β asalkan f dan g berpotongan e. g sejajar dengan semua garis di bidang β 9. Diketahui limas T.CD dengan alas CD berbentuk persegi panjang dan proyeksi T pada alas berimpit dengan pusat alas. Panjang dan C berturut-turut adalah 8 cm dan 6 cm, serta panjang T adalah 13 cm. jika proyeksi T pada alas adalah M, maka panjang TM adalah a. 160 cm d. 10 cm b. 153 cm e. 150 cm c. 12 cm 10. Diketahui kubus CDEFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. titik P di tengah-tengah E. Panjang P pada DHF adalah a. 3 cm d. 2 cm b. 3 2 cm e. 6 cm c. 3 3 cm