I PENDAHULUAN Latar elakang Sekolah merupakan salah satu bagan pentng dalam penddkan Oleh karena tu sekolah harus memperhatkan bagan-bagan yang ada d dalamnya Salah satu bagan pentng yang tdak dapat dpsahkan dalam sekolah adalah masalah penadwalan mata pelaaran Oleh sebab tu perlu dbuat sebuah penadwalan mata pelaaran berkualtas yang memuaskan guru, murd dan sekolah Salah satu sekolah yang mempunya masalah penadwalan mata pelaaran adalah Sekolah Menengah Pertama (SMP) Pada setap SMP mata pelaaran yang daarkan sesua dengan kurkulum yang berlaku Mata pelaaran yang daarkan ada yang nantnya dukan dalam Uan Akhr Nasonal (UAN), untuk selanutnya kta sebut sebaga mata pelaaran nt (prmary) dan ada pula mata pelaaran yang tdak dukan dalam UAN, melankan hanya dukan oleh sekolah masng-masng atau basa dsebut Uan Akhr Sekolah (UAS), untuk selanutnya kta sebut sebaga mata pelaaran basa (nonprmary) egtu pula dengan gurunya, ada yang mengaar mata pelaaran nt, ataupun mata pelaaran basa, namun ada pula yang mengaar keduanya Setap guru mempunya preferens har dan perode waktu dalam memberkan mata pelaaran yang akan daarkannya Atas dasar perbedaan d atas, masalah penadwalan mata pelaaran akan dbuat Masalah penadwalan mata pelaaran d sn dapat dmodelkan sebaga masalah pemrograman lnear nteger (Integer Lnear Programng/ILP) ILP adalah masalah optmsas dengan fungs obektf dan kendala yang lnear serta varabel nteger Karya lmah n merupakan rekonstruks dar karya lmah rbas, S Daskalak, dan E Housos (997) yang berudul metablng for Greek hgh schools Dalam karya lmah n akan dperlhatkan formulas dan penyelesaan masalah penadwalan mata pelaaran menggunakan bantuan software LINGO 80 uuan uuan penulsan karya lmah n adalah menunukan peranan pemrograman lnear nteger dalam menentukan penadwalan mata pelaaran Sekolah Menengah Pertama yang memenuh preferens mata pelaaran dan preferens guru II LANDASAN EORI Dalam menyelesakan masalah penadwalan mata pelaaran pada karya lmah n dgunakan suatu model ILP untuk proses penyelesaannya Supaya lebh memaham dalam pembuatan model ILP dan proses penyelesaannya, beberapa defns dan teor yang terkat dengan ILP perlu delaskan terlebh dahulu erkut n akan delaskan defns dan teor yang dgunakan Fungs Lnear dan Pertdaksamaan Lnear Fungs lnear dan pertdaksamaan lnear merupakan salah satu konsep dasar yang harus dpaham terkat dengan konsep pemrograman lnear Defns (Fungs Lnear) Suatu fungs f,,, ) ( n dalam varabel-varabel,,, n adalah suatu fungs lnear ka dan hanya ka untuk suatu hmpunan konstanta c, c,, c n, dapat dtuls sebaga; f (,,, ) = c + c + + c n n n (Wnston, 004) Sebaga gambaran, f (, ) = 3 + 5 merupakan fungs lnear, sementara 3 f (, ) = bukan fungs lnear Defns (Pertdaksamaan Lnear) Untuk sembarang fungs lnear f,,, ) dan sembarang blangan b, ( n pertdaksamaan f (,,, ) b n dan f (,,, ) b n adalah pertdaksamaan lnear (Wnston, 004)
Pemrograman Lnear Pemrograman lnear (PL) adalah suatu masalah optmsas yang memenuh ketentuan-ketentuan sebaga berkut a) uuan masalah tersebut adalah memaksmumkan atau memnmumkan suatu fungs lnear dar seumlah varabel keputusan Fungs yang akan dmaksmumkan atau dmnmumkan n dsebut fungs obektf b) Nla varabel-varabel keputusannya harus memenuh suatu hmpunan kendala Setap kendala harus berupa persamaan lnear atau pertdaksamaan lnear c) Ada pembatasan tanda untuk setap varabel dalam masalah n Untuk sembarang varabel, pembatasan tanda menentukan harus taknegatf ( 0) (Wnston, 004) Suatu PL mempunya bentuk standar sepert yang ddefnskan sebaga berkut Defns 3 (entuk Standar PL) Suatu pemrograman lnear ddefnskan mempunya bentuk standar sebaga berkut: mn terhadap z = c A = b 0 () d mana b 0 Dengan dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa matrks berukuran m n yang dsebut uga matrks kendala (Nash & Sofer, 996) Solus Pemrograman Lnear Suatu masalah PL dapat dselesakan dalam berbaga teknk, salah satunya adalah metode smpleks Metode n dapat menghaslkan suatu solus optmal bag masalah PL dan telah dkembangkan oleh Dantzg seak tahun 947, dan dalam perkembangannya merupakan metode yang palng umum dgunakan untuk menyelesakan PL Metode n berupa metode teratf untuk menyelesakan PL berbentuk standar Pada masalah PL (), vektor yang memenuh kendala A = b dsebut solus PL () Msalkan matrks A dapat dnyatakan A = N, dengan adalah sebaga ( ) matrks berukuran m m yang elemennya berupa koefsen varabel bass dan N merupakan matrks berukuran m ( n m) yang elemen-elemennya berupa koefsen varabel nonbass pada matrks kendala Dalam hal n matrks dsebut matrks bass untuk PL () Msalkan dapat dnyatakan sebaga vektor =, dengan adalah vektor N varabel bass dan N adalah vektor varabel nonbass, maka A = b dapat dnyatakan sebaga : ( ) = A N N = + NN = b () Karena matrks adalah matrks taksngular, maka memlk nvers, sehngga dar () dapat dnyatakan sebaga: - - = b - N (3) N Defns 4 (Solus ass) Solus dar suatu masalah PL dsebut solus bass ka memenuh syarat berkut: a) Solus tersebut memenuh kendala pada masalah PL b) Kolom-kolom dar matrks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dar solus tersebut adalah bebas lnear (Nash & Sofer, 996) Defns 5 (Solus Fsbel ass) Vektor dsebut solus fsbel bass ka merupakan solus bass dan 0 (Nash & Sofer, 996) Ilustras solus bass dan solus fsbel bass dberkan dalam Contoh Contoh Msalkan dberkan masalah LP sebaga berkut mn z = -3 - terhadap - + + = 3 3 - + + = 8 4 + = 5 5 0, =,, 5 (4) Dar masalah LP (4) dperoleh: 0 0 3 A = 0 0, b = 8 0 0 0 5 Msalkan dplh ( ) ( ) 3 4 5 N = dan =, maka matrks bassnya adalah
0 0 = 0 0 0 0 Dengan menggunakan matrks bass d atas ddapatkan ( ) ( ) = 0 0, = b = 3 8 5 (5) N Solus (5) merupakan solus bass, karena memenuh kendala pada LP (4) dan kolomkolom pada matrks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dar (5), yatu bebas lnear (kolom yang satu bukan merupakan kelpatan dar kolom yang lan) Solus (5) uga merupakan solus fsbel bass, karena nla-nla varabelnya lebh dar atau sama dengan nol Hal yang uga pentng dalam konsep pemrograman lnear untuk model n adalah daerah fsbel dan solus optmal yang ddefnskan sebaga berkut Defns 6 (Daerah Fsbel) Daerah fsbel untuk suatu LP adalah hmpunan semua ttk yang memenuh semua kendala dan pembatasan tanda pada LP tersebut (Wnston, 004) Defns 7 (Solus Optmal) Untuk masalah maksmsas, solus optmal suatu LP adalah suatu ttk dalam daerah fsbel dengan nla fungs obektf terbesar Untuk masalah mnmsas, solus optmal suatu LP adalah suatu ttk dalam daerah fsbel dengan nla fungs obektf terkecl (Wnston, 004) Pemrograman Integer Pemrograman nteger (Integer Programng/IP) adalah suatu model pemrograman lnear dengan varabel yang dgunakan berupa blangan bulat (nteger) Jka semua varabel harus berupa nteger, maka masalah tersebut dnamakan pure nteger programmng Jka hanya sebagan yang harus berupa nteger, maka dsebut med nteger programmng IP dengan semua varabelnya harus bernla 0 atau dsebut 0- IP (Garfnkel & Nemhauser, 97) Defns 8 (Lnear Programmng Relaksas) Lnear Programmng relaksas atau serng dsebut LP-relaksas merupakan suatu pemrograman lnear yang dperoleh dar suatu IP dengan menghlangkan kendala nteger atau kendala 0- pada setap varabelnya Untuk masalah maksmsas, nla optmal fungs obektf LP-relaksas lebh besar atau sama dengan nla optmal fungs obektf IP, sedangkan untuk masalah mnmsas, nla optmal fungs obektf LP-relaksas lebh kecl atau sama dengan nla optmal fungs obektf IP (Wnston, 995) Metode ranch-and-ound Dalam penulsan karya lmah n, untuk memperoleh solus optmal dar masalah ILP dgunakan software LINGO 80 yatu sebuah program yang ddesan untuk aplkas rset operas dalam membangun dan menentukan solus model lnear, nonlnear, dan optmsas nteger dengan salah satu prnsp pemecahannya berdasarkan metode branch and bound ranch and bound adalah algortma umum untuk mencar solus optmal dar berbaga masalah optmas Metode n pertama kal dperkenalkan oleh AH Land dan AG Dog pada tahun 960 Prnsp dasar metode n adalah memecah daerah fsbel suatu masalah LP-relaksas dengan membuat subproblem-subproblem Ada dua konsep dasar dalam algortme branch and bound ranchng ranchng adalah proses membag-bag permasalahan menad subproblemsubproblem yang mungkn mengarah ke solus oundng oundng adalah suatu proses untuk mencar/menghtung batas atas (dalam masalah mnmsas) dan batas bawah (dalam masalah maksmsas) untuk solus optmal pada subproblem yang mengarah ke solus, d sn dlakukan LP-relaksas pada ILP Metode branch and bound dawal dengan menyelesakan LP-relaksas dar suatu masalah nteger programmng Jka semua nla varabel keputusan solus optmal sudah berupa nteger, maka solus tersebut merupakan solus optmal ILP Jka tdak, dlakukan pencabangan dan penambahan batasan pada LP-relaksasnya kemudan dselesakan Wnston (004) menyebutkan bahwa nla fungs obektf optmal untuk ILP nla fungs obektf optmal untuk LP-relaksas (masalah maksmsas), sehngga nla fungs obektf optmal LP-relaksas merupakan batas
atas bag nla fungs obektf optmal untuk masalah ILP Dungkapkan pula oleh Wnston (004) bahwa nla fungs obektf optmal untuk suatu kanddat solus merupakan batas bawah nla fungs obektf optmal untuk masalah ILP asalnya Suatu kanddat solus dperoleh ka solus dar suatu subproblem sudah memenuh kendala nteger pada masalah ILP, artnya semua varabelnya sudah bernla nteger erkut n adalah langkah-langkah penyelesaan suatu masalah maksmsas dengan metode branch-and-bound ) Langkah 0 Ddefnskan z sebaga batas bawah dar nla fungs obektf (solus) ILP yang optmal Pada awalnya dtetapkan z = dan = 0 ) Langkah Subproblem LP dplh sebaga bagan masalah berkutnya untuk dpecahkan Subproblem LP dselesakan a) Jka LP terukur dan solus PL yang dtemukan lebh bak maka batas bawah z dperbaru Jka tdak, bagan masalah (subproblem) baru dplh dan langkah dulang Jka semua subproblem telah dpecahkan, maka proses dhentkan b) Jka LP tdak terukur, proses dlanutkan ke langkah untuk melakukan pencabangan LP Suatu subproblem dkatakan terukur (fathomed) ka terdapat konds sebaga berkut Subproblem tersebut takfsbel, sehngga tdak dapat menghaslkan solus optmal untuk ILP Subproblem tersebut menghaslkan suatu solus optmal dengan semua varabelnya bernla nteger Jka solus optmal n mempunya nla fungs obektf yang lebh bak darpada solus fsbel yang dperoleh sebelumnya, maka solus n menad kanddat solus optmal dan nla fungs obektfnya menad batas bawah nla fungs obektf optmal bag masalah ILP pada saat tu sa ad subproblem n menghaslkan solus optmal untuk masalah ILP 3 Nla fungs obektf optmal untuk subproblem tersebut tdak melebh batas bawah saat tu, maka subproblem n dapat delmnas 3) Langkah Dplh salah satu varabel optmalnya adalah batasan nteger dalam solus < yang nla yang tdak memenuh LP dang [ ] < [ ] + dsngkrkan dengan membuat dua subproblem PL, yatu < ] [ dan [ ] +, sehngga dperoleh kendala > subproblem baru sebaga berkut: Subproblem baru : kendala subproblem lama + kendala [ ] Subproblem baru : kendala subproblem lama + kendala [ ] + dengan [ ] ddefnskan sebaga nteger terbesar yang kurang dar atau sama dengan Selanutnya kembal ke langkah (Wnston, 975) Untuk memudahkan pemahaman metode branch-and-bound dberkan contoh sebaga berkut Contoh (Metode ranch-and-ound) Msalkan dberkan masalah ILP sebaga berkut : ma z = 4 + 7 terhadap + 7 5 + 9 45 0, =, (6) Setelah dselesaakan menggunakan software LINGO 80 ddapatkan solus optmal LPrelaksas dar masalah ILP (6) adalah = 45, 5 =, dan 355 z = (lhat Lampran ) atas atas nla optmal fungs obektf masalah n adalah 355 Daerah fsbel LPrelaksas masalah (6) dtunukkan pada Gambar Solus optmal berada pada ttk perpotongan dua gars yang berasal dar kendala pertdaksamaan masalah (6)
Gambar Daerah fsbel untuk LPrelaksas dar masalah ILP (6) Langkah berkutnya adalah memarts daerah fsbel LP-relaksas menad dua bagan berdasarkan varabel yang berbentuk pecahan (non nteger) Karena nla dar kedua varabel yang dperoleh bukan nteger, maka dplh salah satu varabel untuk dasar pencabangan Msalkan dplh sebaga dasar pencabangan Jka masalah LP-relaksas dber nama Subproblem, maka pencabangan tersebut menghaslkan subproblem, yatu: Subproblem : Subproblem dtambah kendala ; Subproblem 3: Subproblem dtambah kendala 3 Secara grafs dapat dlhat pada gambar d bawah n Gambar Daerah fsbel untuk Subproblem dan Subproblem 3 Setap ttk (solus) fsbel dar IP (6) termuat dalam daerah fsbel Subproblem atau Subproblem 3 Setap subproblem n salng lepas Subproblem dan Subproblem 3 dkatakan dcabangkan oleh Sekarang dplh subproblem yang belum dselesakan Msalkan dplh Subproblem, solus optmal untuk Subproblem adalah = 5, =, dan z = 34 (lhat Lampran ) Semua varabel bernla nteger (solusnya memenuh kendala blangan bulat), maka tdak perlu dlakukan pencabangan d Subproblem Solus dar Subproblem menad batas bawah yatu sama dengan 34 Saat n Subproblem yang belum dselesaakan adalah Subproblem 3 Solus optmal untuk Subproblem 3 adalah = 36, = 3, dan z = 354 (lhat Lampran ) Karena solus optmal Subproblem 3 bukan solus nteger dan mash mempunya kemungknan solus lebh besar dar batas bawah, maka dplh pencabangan pada Subproblem 3 pada, sehngga dperoleh dua subproblem lag Subproblem 4: Subproblem 3 dtambah kendala 3 Subproblem 5: Subproblem 3 dtambah kendala 4 Sekarang dplh Subproblem yang belum dselesakan yatu Subproblem 4 atau Subproblem 5 Subproblem 5 takfsbel (lhat Lampran ), maka subproblem n tdak dapat menghaslkan solus optmal Subprolem yang belum dselesaakan adalah Subproblem 4 Setelah dselesaakan solus optmal yang ddapatkan untuk Subproblem 4 adalah = 3, = 33, dan z = 353 Solus dar subproblem 4 tdak nteger dan lebh bak dar batas bawah, maka dplh pencabangan pada Subproblem 4 sehngga dperoleh subproblem baru lag Subproblem 6: Subproblem 4 dtambah kendala 3 Subproblem 7: Subproblem 4 dtambah kendala 4 Solus optmal untuk Subproblem 6 adalah = 3, = 3, z = 33 (lhat Lampran ) Solus optmal untuk Subproblem 6 memenuh solus nteger, akan tetap solus pada Subproblem n lebh kecl (tdak lebh bak) dar batas bawah sehngga solus pada Subproblem 6 tdak menad batas bawah baru Subproblem 7 menghaslkan solus optmal = 8, = 4, z = 35 (lhat Lampran ) Solus dar Subproblem 7 tdak nteger dan lebh bak dar batas bawah, maka pada Subproblem n dlakukan pencabangan lag sehngga dperoleh Subproblem baru lag
Subproblem 8: Subproblem 7 dtambah kendala Subproblem 9: Subproblem 7 dtambah kendala Penyelesaan dar Subproblem 9 menghaslkan solus yang takfsbel (lhat Lampran ), maka subproblem n tdak dapat menghaslkan solus optmal Subproblem 8 menghaslkan solus optmal =, = 44, z = 35 (lhat Lampran ) Solus dar Subproblem 8 tdak nteger dan lebh bak dar batas bawah, maka pada Subproblem n dlakukan pencabangan lag sehngga dperoleh Subproblem baru lag Subproblem 0: Subproblem 8 dtambah kendala 4 Subproblem : Subproblem 8 dtambah kendala 5 Subproblem 0 menghaslkan solus optmal =, = 4, z = 3 Subproblem n menghaslkan solus nteger, akan tetap solus yang dhaslkan pada subproblem n tdak lebh bak dar batas bawah sehnggga solus pada Subproblem 0 tdak menad batas bawah baru Subproblem menghaslkan solus optmal = 0, = 5, z = 35 Solus pada Subproblem n menghaslkan solus nteger dan lebh bak dar batas bawah sehngga solus pada Subproblem menad batas bawah baru Karena sudah tdak ada lag subproblem baru yang dapat dbuat maka tdak perlu dlakukan pencabangan lag Dengan demkan, solus optmal pada contoh adalah = 0, = 5, z = 35 Secara keseluruhan pencabangan semua Subproblem untuk masalah ILP pada contoh dtunukan pada gambar d bawah n Subproblem =45, =5, z=355 3 Subproblem 3 =36, =3, z=354 Subproblem =5, =, z=34 4 3 Subproblem 5 Solus takfsbel Subproblem 4 =3, =33, z=353 3 Subproblem 6 =3, =3, z=33 4 Subproblem 7 =8, =4, z=35 Subproblem 8 =, =44, z=35 Subproblem 9 Solus takfsbel 4 Subproblem 0 =, =4, z=3 5 Subproblem =0, =5, z=35 Gambar 3 Seluruh pencabangan pada metode branch and bound untuk menentukan solus optmal dar ILP