SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 007 TINGKAT PROVINSI TAHUN 006 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Bagian Pertama Disusun oleh :
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 006 Bagian Pertama BAGIAN PERTAMA 1. 1 3 178 ; 13 3 197 ; 44 1936 ; 45 05 3 006 < m < 006 dapat disederhanakan menjadi 13 m 44 untuk m bulat Himpunan m yang memenuhi {13, 14, 15,, 44} 13 + 14 + 15 + + 44 91 Penjumlahan semua bilangan yang memenuhi sama dengan 91.. Jika titik P di luar lingkaran dan menyinggung lingkaran tersebut di titik Q dan R maka PQ PR Dari gambar di atas didapat DG DH ; CG CF ; BF BE ; AE AH Keliling AE + AH + BE + BF + CF + CG + DG + DH (DG + CG + AE + BE) Keliling (DC + AB) (40 + 75) Keliling trapesium 30 3. (x 1) 3 + (x ) 1 (x 1) 3 1 (x ) (1 (x ))(1 + (x )) (3 x)(x 1) (x 1)((x 1) (3 x)) 0 (x 1)(x x ) 0 (x 1)(x + 1)(x ) 0 Himpunan semua nilai x yang memenuhi adalah { 1, 1, } 4. Misalkan a, b dan c adalah ketiga bilangan prima tersebut dengan a b + c Bilangan prima genap hanya ada satu yaitu. Karena a > maka a pasti ganjil yang menyebabkan paritas b dan c harus berbeda. Tanpa mengurangi keumuman misalkan c b maka c a b + a b Karena a b maka terdapat tepat 1 bilangan asli di antara a dan b. Misalkan bilangan tersebut adalah k. Maka b, k dan a adalah 3 bilangan asli berurutan. Salah satunya harus habis dibagi 3. Karena b dan a bilangan prima lebih dari 3 maka k habis dibagi 3. Karena k juga genap maka k habis dibagi 6. Jika k 16 6 96 maka b 95 bukan prima. Jika k 15 6 90 maka a 91 bukan prima. Jika k 14 6 84 maka a 85 bukan prima. Jika k 13 6 78 maka b 77 bukan prima. Jika k 1 6 7 maka a 73 dan b 71 yang memenuhi keduanya prima Bilangan prima dua angka terbesar yang memenuhi adalah 73.
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 006 Bagian Pertama 5. S a 1 r Misalkan bilangan pertama yang dipilih Afkar adalah (½) a untuk a bilangan bulat tak negatif dan rasio, r (½) b untuk b bilangan asli maka : a 1 1 b 1 7 1 Karena b asli maka ½ 1 (½) b < 1 a 1 1 1 < 14 7 Nilai a yang memenuhi hanya a 3 b 3 Maka 3 suku pertama yang dipilih Afkar adalah (½) 3, (½) 6 dan (½) 9 1 1 1 Tiga suku pertama yang dipilih Afkar adalah,,. 8 64 51 6. Misalkan panjang sisi-sisi balok tersebut adalah a, b dan c. Tanpa mengurangi keumuman soal misalkan ab 486 3 5 ; ac 43 3 5 ; bc 16 3 4 (ab)(ac)(bc) (abc) 3 14 abc 3 7 4374 Volume balok 4374 7. f x ) 1 3 x 4x + 3 ( f ( x ) 3 x + 4x 3 Agar f(x) maksimum maka y x + 4x 3 harus maksimum y x + 4x 3 (x ) + 1 y maksimum 1 saat x f(x) maksimum 3 f(x) maksimum 3 8. f(x) x a 3 f memotong sumbu x maka x a 3 0 x a 3 x a 3 atau x a 3 x a + 3 atau x a 3 Jika a + 3 0 maka x 0 hanya ada 1 penyelesaian. Sebaliknya jika a + 3 0 maka penyelesaian x a + 3 ada penyelesaian yaitu x a + 3 atau x (a + 3) Hal yang sama untuk persamaan x a 3 Maka jika a 3 akan menyebabkan hanya ada 1 penyelesaian x untuk persamaan x a + 3 namun ada dua nilai x untuk penyelesaian x a 3
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 006 Bagian Pertama Sedangkan jika a 3 akan menyebabkan hanya ada 1 penyelesaian x untuk persamaan x a 3 namun ada dua nilai x untuk penyelesaian x a + 3 Nilai a yang menyebabkan grafik f memotong sumbu x tepat di tiga titik adalah a 3 atau a 3. 9. s(n) 1 + + + n ½n(n + 1) p(n) 1 x x x n Karena n genap maka ½n bilangan bulat. Karena n + 1 > 1 ; n + 1 > ; ; n + 1 > n maka agar p(n) habis dibagi s(n) maka n + 1 tidak boleh prima. Bilangan genap terkecil yang menyebabkan n + 1 bukan prima adalah 8. Bilangan genap terkecil yang memenuhi p(n) habis dibagi s(n) adalah 8. 10. x + x + y 10 dan x + y y 1 * Jika x dan y di kuadran I maka x x dan y y x + y 10 dan x 1 y 14 (tidak memenuhi (x, y) di kuadran I) * Jika x dan y di kuadran II maka x x dan y y y 10 dan x 1 (tidak memenuhi (x, y) di kuadran II) * Jika x dan y di kuadran III maka x x dan y y y 10 dan x y 1 x 3 (tidak memenuhi (x, y) di kuadran III) * Jika x dan y di kuadran IV maka x x dan y y x + y 10 dan x y 1 Nilai (x, y) yang memenuhi adalah (3/5, 14/5) (memenuhi (x, y) di kuadran IV) 3 14 x + y 5 5 18 x + y 5 11. Jika a, b dan c adalah himpunan aritmatika maka b a + c dengan a < c. Jika b maka a + c 4. Ada 1 pasangan (a, c) yang memenuhi yaitu (1, 3) Jika b 3 maka a + c 6. Ada pasangan (a, c) yang memenuhi yaitu (1, 5), (, 4) Jika b 4 maka a + c 8. Ada 3 pasangan (a, c) yang memenuhi yaitu (1, 7), (, 6), (3, 5) Jika b 5 maka a + c 10. Ada 3 pasangan (a, c) yang memenuhi yaitu (, 8), (3, 7), (4, 6) Jika b 6 maka a + c 1. Ada pasangan (a, c) yang memenuhi yaitu (4, 8), (5, 7) Jika b 7 maka a + c 14. Ada 1 pasangan (a, c) yang memenuhi yaitu (6, 8) Banyaknya himpunan aritmatika 1 + + 3 + 3 + + 1 1 1. (a + ) + (a + 1) + a 3(a + 1) Maka semua bilangan yang berbentuk N ( a + )( a + 1) a habis dibagi 3 sebab penjumlahan digitnya habis dibagi 3. 31 3 107 dengan 3 dan 107 adalah bilangan prima. Tetapi 43/107 bukan bilangan bulat atau 107 tidak membagi 43. FPB (31, 43) 3 Maka kesepuluh bilangan N semacam itu memiliki faktor persekutuan terbesar 3
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 006 Bagian Pertama 1 13. x + 47 1 + 47 x x 1 x + 7 x 1 x + 3 x 1 x x + 7 x 14. Misalkan jumlah murid laki-laki m dan jumlah murid perempuan n (m : (m + n)) : (n : (m + n)) : 3 m : n : 3 3m n m m m + n m + 3m 5 Persentase murid laki-laki di kelas tersebut adalah 40 % 15. Karena α < 45 maka AC > AD AC > Karena AD adalah garis bagi ΔABC maka berlaku Misalkan panjang CD x maka AC x + 1 Pada ΔABD berlaku cos α Pada ΔABC berlaku cos α cos 34 4x + 4 ( 1 + x + x ) 64 8x 17x 1x 8x + 1 (4x 3)(3x 4) 0 Karena AC > maka x > 1 4 Nilai x yang memenuhi hanya x 3 CD 3 4 α 1 7 8 ( x ) AB BD AC CD AC CD + ( 1 + x ) ( x )
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 006 Bagian Pertama 16. ax 4 + bx 3 + 1 q(x) (x 1) Jelas bahwa q(x) harus merupakan fungsi kuadrat. Karena koefisien x 4 adalah a dan konstanta ruas kiri 1 maka q(x) ax + px + 1 ax 4 + bx 3 + 1 (ax + px + 1) (x x + 1) ax 4 + bx 3 + 1 ax 4 + ( a + p)x 3 + (a p + 1)x + (p )x + 1 Dari persamaan di atas didapat : Berdasarkan koefisien x maka p 0 p Berdasarkan koefisien x maka a p + 1 0 a 3 Berdasarkan koefisien x 3 maka b a + p b 4 ab 1 17. Karena A 4 O A 3 A 4 maka ΔOA 4 A 3 sama kaki OA 3 A 4 α dan A 3 A 4 A 6 α Pada ΔA 4 A 3 A sama kaki berlaku A 3 A A 4 α A 4 A 3 A 180 o 4α A A 3 A 1 3α Pada ΔA 1 A A 3 sama kaki berlaku A A 1 A 3 3α A 1 A A 3 180 o 6α A 1 A A 6 A 3 A A 4 + A 1 A A 3 180 o 4α Pada ΔA 1 A A 6 sama kaki berlaku A 1 A 6 A A 1 A A 6 180 o 4α A 6 A 1 A 8α 180 o A 5 A 1 A 6 A A 1 A 3 A 6 A 1 A 3α (8α 180 o ) 180 o 5α Pada ΔA 1 A 6 A 5 sama kaki berlaku A 6 A 5 A 1 A 5 A 1 A 6 180 o 5α A 6 A 5 O 5α Pada ΔOA 5 A 6 sama kaki berlaku OA 6 A 5 A 5 OA 6 α Pada ΔOA 5 A 6 berlaku A 5 OA 6 + OA 5 A 6 + OA 6 A 5 180 o α + 5α + α 180 o 180 α 7 18. Banyaknya susunan 7 angka dengan 3 buah angka yang sama dan buah angka 4 yang sama 7! adalah 40. Tetapi 40 bilangan tersebut termasuk bilangan dengan angka 0 pada angka 3!! pertama. 6! Banyaknya bilangan dengan 0 pada angka pertama adalah 60 3!! Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah 40 60 360.
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 006 Bagian Pertama 19. a k+1 a k (a k a k-1 ) 1 Misalkan a a 1 u 1 a 3 a (a a 1 ) 1 u 1 1 u a 4 a 3 (a 3 a ) 1 u 1 u 3 M a k+1 a k (a k a k-1 ) 1 u k-1 1 u k Jumlahkan seluruh persamaan di atas didapat : a k+1 a 1 u 1 + u + u 3 + + u k Karena a 1, a, a 3, semuanya asli maka a k+1 > u 1 + u + u 3 + + u k Misalkan a k+1 006 Agar didapat (a 1 ) minimal maka u 1 + u + u 3 + + u k harus paling dekat dengan 006 namun kurang dari 006 u 1 ; u 3 ; u 3 5 ; u 4 9 ; u 5 17 ; u 6 33 ; u 7 65 ; u 8 19 ; u 9 57 ; u 10 513 dan u 11 105. u 1 + u + u 3 + + u 10 1033 sedangkan u 1 + u + u 3 + + u 11 058 > 006 maka 006 a 11 a 11 a 1 u 1 + u + u 3 + + u 10 1033 (a 1 ) minimum 006 1033 (a 1 ) minimum 973 0. CF dan BE adalah garis berat yang berpotongan di titik D. Maka CD : DF : 1 dan BD : DE : 1 Misalkan DF x maka CD x dan jika DE y maka BD y tan CBD + tan FBD tan B tan ( CBD + FBD) 1 tan CBD tan FBD x x + y y 3xy y x tan B ctgb x x y x 3x 3y 1 y y tan BCD + tan ECD tan C tan ( BCD + ECD) 1 tan BCD tan ECD y y + x x 3xy x y tan C ctgc y y x y 3y 3x 1 x x
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 006 Bagian Pertama x y ctgb + ctgc + 3y 3x Berdasarkan ketaksamaan AM-GM maka : x y ctgb + ctgc 3y 3x Maka nilai minimum ctg B + ctg C adalah 3 3