KENDALI OPTIMAL PADA PENGADAAN BAHAN MENTAH DENGAN KEBIJAKAN PENGADAAN TEPAT WAKTU, PERGUDANGAN, DAN PENUNDAAN. Oleh: Darsih Idayani

KENDALI OPTIMAL PADA PENGADAAN BAHAN MENTAH DENGAN KEBIJAKAN PENGADAAN TEPAT WAKTU, PERGUDANGAN, DAN PENUNDAAN Oleh: Darsih Idayani 126 1 4 Dosen Pembimbing: Subchan, Ph.D Jurusan Maemaika Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam Insiu Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 21 ABSTRAK Meningkanya persaingan global saa ini menunu perusahaan-perusahaan unuk menemukan poensi penghemaan biaya produksi. Salah sau hal yang berpoensi unuk menghema biaya produksi adalah dengan meminimumkan biaya pengadaan bahan menah. Pada Tugas Akhir ini digunakan eori kendali opimal unuk mencari solusi opimal pada permasalahan pengadaan bahan menah dengan kebijakan pengadaan epa waku, pergudangan, dan penundaan. Dengan menerapkan Ponryagin s Maximum Principle (PMP) dicari biaya pengadaan bahan menah yang opimal dengan mendapakan nilai Ne Presen Value () minimum. Kemudian disimulasikan dengan menggunakan sofware Malab berdasarkan daa parameer pada paper Raw Maerial Procuremen wih Flucuaing Prices. Dari hasil penyelesaian model pengadaan bahan menah dengan kebijakan pengadaan epa waku, pergudangan, dan penundaan diperoleh biaya pengadaan yang lebih opimal daripada biaya pengadaan bahan menah yang hanya menerapkan kebijakan pengadaan epa waku. Kaa kunci: Kendali opimal, Pengadaan bahan menah,, PMP. 1. Pendahuluan Persaingan dunia indusri saa ini idak lagi erbaas secara lokal, eapi mencakup kawasan regional dan global. Seiap perusahaan berlomba-lomba mencari cara agar mampu bersaing dan memiliki keunggulan kompeiif sehingga dapa eap hidup dan erus berkembang. Perusahaan idak hanya diunu unuk menerapkan sraegi jiu agar dapa meningkakan keunggulan bersaing, eapi juga melakukan perbaikan dan evaluasi manajemen unuk meningkakan performa dan kualias secara keseluruhan, salah saunya adalah manajemen invenori (persediaan). Invenori adalah suau persediaan (sok) bahan yang dipakai unuk memudahkan produksi aau unuk memuaskan perminaan pelanggan. Invenori secara khusus melipui bahan baku/bahan menah (raw maerials), barang seengah jadi (work in process), dan barang jadi (finished goods) [3]. Tersedianya bahan menah uama yang cukup merupakan fakor pening unuk menjamin kelancaran proses produksi perusahaan. Kekurangan persediaan bahan menah dapa berakiba erheninya proses produksi karena habisnya bahan unuk diproses. Oleh karena iu mereka diunu unuk dapa menyediakan bahan menah epa pada wakunya agar idak mengalami backlogging (idak dapa memenuhi perminaan pelanggan karena idak mempunyai persediaan bahan menah). Akan eapi erlalu besarnya persediaan bahan menah aau banyaknya persediaan (over sock) dapa berakiba meningkanya biaya penyimpanan (holding cos) dan munculnya pemborosan-pemborosan yang semesinya idak perlu erjadi selama penyimpanan 1

di gudang seperi sok bahan menah yang menganggur aau menunggu diproduksi. Padahal beberapa bahan menah memiliki anggal kedaluwarsa, jika prediksi peramalan salah akan mengakibakan banyaknya bahan menah yang kedaluwarsa dan akhirnya bahan menah ersebu hanya dapa dibuang. Unuk mengaasi permasalahan di aas, diperlukan perencanaan dan pengelolaan yang epa dalam pengadaan bahan menah. Pengadaan bahan menah dilakukan pada periode waku erenu, apalagi dengan harga bahan menah yang flukuaif, perusahaan harus memperhiungkan ingka suku bunga yang berlaku pada waku iu, dan nilai ekonomis pada waku yang akan daang (Ne Presen Value). Pada Tugas Akhir ini, digunakan eori kendali opimal unuk menyelesaikan masalah pengadaan bahan menah dengan kebijakan pengadaan epa waku, pergudangan, dan penundaan. Dengan mengaplikasikan Ponryagin s Maximum Principle (PMP) dicari biaya pengadaan bahan menah yang opimal dengan mendapakan nilai Ne Presen Value () minimum. Kemudian disimulasikan dengan menggunakan sofware Malab berdasarkan daa parameer pada paper Raw Maerial Procuremen wih Flucuaing Prices. 2. Meode Peneliian Meode yang digunakan pada Tugas Akhir dalam menyelesaikan permasalahan adalah: 1. Sudi Lieraur 2. Penyelesaian konrol opimal 3. Mencari linasan opimal pada seiap periode kebijakan 4. Simulasi 5. Kesimpulan dan saran 3. Tinjauan Pusaka 3.1 Model Pengadaan Bahan Menah. Ne Presen Value () adalah nilai sekarang dari sejumlah uang yang akan dierima dimasa yang akan daang dan dikonversikan kemasa sekarang dengan mengunakan ingka suku bunga (discoun rae) [5]. digunakan unuk menganalisis Discouned Cash Flow (DCF) dan merupakan meode sandar unuk menaksir kondisi finansial dari proyek jangka panjang. dari arus kas unggal unuk sisem waku yang diskri merupakan pembagian oleh nilai 1 ambah raa-raa bunga unuk iap periode waku yang akan berlalu. Jadi unuk mendapakan unuk sisem waku yang diskri dilakukan discouning dengan fakor pemoongan sebesar. Sedangkan unuk sisem waku yang koninu digunakan fakor pemoongan sebesar [12]. Dengan kaa lain unuk sisem waku yang diskri dapa diformulasikan sebagai beriku aau unuk sisem waku yang koninu. dengan: R : arus kas bersih (ne cash flow) pada waku ke- r : ingka suku bunga : waku invesasi 3.2 Ne Presen Value () Model pengadaan bahan menah yang dibahas adalah pengadaan bahan menah dengan kebijakan pengadaan epa waku, pergudangan, dan penundaan. Kapasias gudang yang erbaas akan mengakibakan jumlah persediaan bahan menah x() idak boleh melebihi kapasias gudang w. Sedangkan kebijakan penundaan yang dierapkan akan menimbulkan biaya penundaan, sehingga biaya penyimpanannya adalah minimum dari biaya pengadaan bahan menah adalah sebagai beriku [2] dengan sisem dinamik 2

dan kendala dengan: p() : harga bahan menah pada waku ke- u() : ingka pengadaan bahan menah pada waku ke- h() : biaya penyimpanan pada waku ke- x() : ingka sok (persediaan) bahan menah pada waku ke- d() : ingka perminaan pada waku ke- w : kapasias gudang b : baas bawah penundaan r : ingka suku bunga : waku 2. Spesifikasi dari fungsi ujuan. 3. Menenukan kondisi baas dan kendala fisik pada keadaan (sae) dan aau kendali. Pada umumnya, masalah kendali opimal dalam benuk ungkapan maemaik dapa diformulasikan sebagai beriku. Dengan ujuan mencari kendali yang mengopimalkan (memaksimumkan aau meminimumkan) fungsi ujuan dengan kendala 3.3 Masalah Kendali Opimal Gambar 3.1 Skema Kendali Pada Gambar di aas didiskripsikan bagaimana mendapakan kendali opimal (anda * menyaakan kondisi opimal) yang akan mendorong dan mengaur sisem P dari keadaan awal sampai keadaan akhir dengan beberapa kendala. Kendali dengan keadaan dan waku yang sama dapa dienukan nilai opimum berdasarkan fungsi ujuan yang diberikan. Formulasi pada permasalahan kendali opimal [7] adalah sebagai beriku 1. Mendiskripsikan proses secara maemaika arinya mendapakan meode maemaika dari proses erjadinya pengendalian (secara umum dalam benuk variabel keadaan). 3.4 Prinsip Maksimum Ponryagin dengan Kendali Terbaas Prinsip maksimum merupakan suau kondisi sehingga dapa diperoleh penyelesaian kendali opimal yang sesuai dengan ujuan, yaiu meminimalkan fungsi ujuan dimana kendali erbaas pada. Prinsip ini menyaakan secara informal bahwa persamaan Hamilonian akan dimaksimalkan sepanjang yang merupakan himpunan kendali yang mungkin [4]. Beriku ini merupakan persamaan Hamilonian Karena kendali erbaas ( ), maka dibenuk Persamaan Hamilonian-Lagrangian sebagai beriku Maka kondisi perlu (necessary condiion) unuk mencapai kondisi opimal adalah 3

1. Kondisi sasioner 2. Persamaan sae dan co-sae dengan dan. 3.5 Formulasi Curren Value Dalam manajemen sains dan masalah ekonomi, fungsi ujuan biasanya diformulasikan dalam benuk nilai waku dari uang aau peralaan. Aliran uang aau peralaan yang akan daang biasanya discouned. Misalkan kia asumsikan adalah ingka poongan (discoun rae) koninu yang konsan. Fungsi ujuan yang discouned merupakan kasus yang khusus dari fungsi ujuan dengan asumsi bahwa keerganungan fungsi erhadap waku hanya erjadi karena adanya fakor pemoongan aau discoun facor [8]. Dengan fungsi ujuan yang discouned, kondisi perlu (necessary condiion) unuk mencapai kondisi opimal adalah 1. Kondisi sasioner 2. Persamaan sae dan co-sae dengan dan. 3.6 Kendali Bang-bang dan Singular Kesulian dalam menerapkan Prinsip Minimum Ponryagin dapa diaasi dengan menggunakan kendali bang-bang dan singular. Hal ini erjadi keika persamaan Hamilonian berganung secara linier dengan kendali. Jika kendali muncul secara linier dalam Hamilonian, yang opimal idak dapa dienukan dari kondisi. Karena erbaas maka dapa dieapkan Hamilonian yang maksimum seperi dibawah ini [1] disebu fungsi swiching yang dapa bernilai posiif, negaif, aau nol. Sehingga penyelesaian ini disebu dengan kendali bang-bang. Perubahan kendali dari ke erjadi keika berubah nilai dari negaif ke posiif. Dalam kasus ini, bernilai nol pada inerval waku erbaas yang disebu sebagai kendali singular. Pada inerval ersebu, kendali dapa dicari dari hasil derivaif berulang yang berganung erhadap waku sampai kendali ampak secara eksplisi. Sehingga kendali pada inerval ini disebu syara kondisi kesingularan koninu. Kendali ini akan menghasilkan busur singular yang opimal jika memenuhi [8]: 1. Persamaan Hamilonian. 2. Kondisi Kelley yang dinyaakan oleh persamaan sebagai beriku:, k =, 1, Kondisi ini disebu juga kondisi umum Legendre Clebs yang menjamin persamaan Hamilonian akan opimal di sepanjang busur singular. 3.7 Pendekaan Pemrograman Nonlinier Pemrograman nonlinier (Nonlinear Programming) digunakan unuk diskriisasi masalah kendali opimal dan menginerpreasikan hasilnya sebagai masalah opimasi berdimensi ak hingga 4

[1]. Misalkan erdapa masalah opimasi seperi beriku ini: dengan kendala, i = 1, m dimana fungsi ujuan dan fungsi kendala di aas diasumsikan koninu diferensiabel. Permasalahannya adalah unuk mencari solusi yang meminimalkan fungsi ujuan dengan memenuhi kendala di aas. Beriku ini merupakan fungsi Lagrange Karena kendali dibaasi, maka Fungsi Hamilonian-Lagrange diperoleh dari curren value Hamilonian diambah pengali Lagrange dan yang dikalikan dengan baas bawah yang ada pada model yaiu baas bawah dan. Sedangkan dikalikan dengan kendala kapasias gudang dimana,, dan. dimana, i = 1, m, merupakan pengali Lagrange. Agar opimal secara lokal, harus memenuhi kondisi perlu orde perama Karush- Kuhn-Tucker (KKT). Kondisi KKT merupakan generalisasi dari meode pengali Lagrange unuk kendala peridaksamaan. Beriku ini merupakan kondisi KKT yang harus dipenuhi [9], j = 1, n Kondisi perlu yang dibenuk oleh PMP adalah a. Kondisi sasioner, i = 1, m, i = 1, m b. Persamaan sae, i = 1, m 4. Hasil dan Pembahasan 4.1 Penerapan Teori Kendali Opimal pada Model Pengadaan Bahan Menah Unuk menyelesaikan model pengadaan bahan menah dengan menggunakan eori kendali opimal, hal perama yang harus dilakukan adalah menenukan fungsi Hamilonian dan Hamilonian-Lagrangian. c. Persamaan co-sae Kondisi perlu yang dibenuk dengan KKT yang harus dipenuhi unuk mencapai kondisi opimal adalah sebagai beriku 5

,,,,,, Kendali muncul secara linier dalam Hamilonian sehingga yang opimal idak dapa dienukan dari kondisi (fungsi swiching). Karena erbaas maka dapa dieapkan Hamilonian yang maksimum seperi dibawah ini Pada kendali opimal diaas dapa dieapkan bahwa keika unuk memenuhi perminaan. Oleh karena iu dapa diulis kembali menjadi 4.2 Solusi Opimal Model Pengadaan Bahan Menah 4.2.1 Sifa-sifa pada Penyelesaian Model Pengadaan Bahan Menah Sifa 1: Jika margin harga bahan menah meningka melebihi dari ingka suku bunga (discoun rae) dikali harga bahan menah sekarang diambah biaya penyimpanan, maka penerapan kebijakan pergudangan lebih baik daripada pengadaan JIT dan kedua kebijakan ersebu idak dapa erjadi secara bersamaan. Dari sifa 1 diperoleh kesimpulan: 1. Kebijakan pergudangan dan JIT idak dapa erjadi pada waku yang sama. 2. Kondisi mengidenifikasikan calon iik unuk memasuki inerval persediaan posiif (pergudangan)., Sifa 2: Jika margin harga bahan menah menurun melampaui keunungan penundaan pengadaan, maka penerapan penundaan lebih baik daripada penerapan pengadaan JIT. Pada saa ada perminaan yang harus dipenuhi eapi persediaan bahan menah idak ada sehingga harus diakumulasikan unuk dipenuhi di lain waku, berari sama seperi persediaan bernilai negaif dan angka pengadaan bahan menah sama dengan nol. Dengan kaa lain penerapan penundaan dan JIT idak erjadi secara bersamaan. Dari sifa 2 diperoleh kesimpulan: 1. Kebijakan penundaan dan JIT idak dapa erjadi pada waku yang sama. 2. Kondisi mengidenifikasikan calon iik unuk mengakhiri penundaan aau keluar dari inerval persediaan negaif (penundaan). Sifa 3: Penerapan kebijakan pergudangan dan pengadaan JIT dapa erjadi secara bersamaan jika. Dari sifa 3 diperoleh kesimpulan: 1. Kebijakan pergudangan dan JIT dapa erjadi pada waku yang sama jika. 2. Kendala kapasias gudang berlaku sejak waku pemesanan dimulai aau sejak inerval persediaan posiif. Sifa-sifa ersebu mengidenifikasi waku ransisi anara inerval kebijakan yang sau dengan yang lain. Lebih jelasnya akan dibahas pada sub bab selanjunya. 4.2.2 Periode Kebijakan Opimal Dengan menggunakan hasil analisis eori kendali opimal pada sub bab 4.1, maka dapa diperoleh linasan opimal pada masing-masing kondisi yaiu,,,,, dan. 1. Pengadaan JIT Beriku ini merupakan linasan opimal pada periode pengadaan JIT:, 6

Tabel 4.1 Linasan Opimal Periode Pengadaan JIT. Variabel Pengadaan JIT p() Periode kebijakan opimal ersebu dapa dicari dengan cara memperoleh iik-iik kriis dari persamaan yang diperoleh dari sifa 1, 2, dan 3 yaiu 2. Pergudangan (desocking) Beriku ini merupakan linasan opimal pada periode pergudangan: Tabel 4.2 Linasan Opimal Periode Pergudangan. Variabel Pergudangan jika jika 3. Penundaan (backlogging) Beriku ini merupakan linasan opimal pada periode penundaan: Table 4.3 Linasan Opimal pada Periode Penundaan. Variabel Penundaan Tiik iik kriis yang menandai perubahan kebijakan pengadaan JIT, pergudangan, dan penundaan adalah: a. Tiik yaiu waku keika kebijakan JIT berubah menjadi pergudangan. b. Tiik yaiu waku keika kebijakan pergudangan berubah menjadi JIT. c. Tiik yaiu waku keika kebijakan JIT berubah menjadi penundaan. d. Tiik yaiu waku keika kebijakan penundaan berubah menjadi JIT. e. Tiik yaiu waku keika kebijakan pergudangan berubah menjadi penundaan. f. Tiik yaiu waku keika dilakukan penambahan aau pengisian ulang bahan menah. 4.2.3 Langkah-Langkah unuk Memperoleh Solusi Opimal Model Pengadaan Bahan Menah Beriku ini merupakan langkah-langkah unuk memperoleh solusi opimal dari model pengadaan bahan menah: 1. Menenukan iik dengan menyelesaikan persamaan dengan syara. 2. Menenukan iik dengan menyelesaikan persamaan,. 3. Menenukan iik dengan menyelesaikan persamaan dengan syara. 7

4. Menenukan iik dengan menyelesaikan persamaan,. 5. Memeriksa keberadaan iik. Dikaakan umpang indih jika sehingga mengakibakan iik dieliminasi. Sedangkan iik menjadi iik. Tiik dapa diperoleh dengan menyelesaikan persamaan,. 6. Menghiung jumlah pembelian. 7. Menenukan iik. Tiik dapa diperoleh dengan memeriksa jumlah pembelian pada langkah 6 erhadap kapasias gudang. Dalam hal ini erdapa dua kondisi, yaiu a. Jika, maka iik = iik. Sedangkan iik,,,, dan nilainya eap. b. Jika, maka iik = iik. Tiik dan nilainya eap karena idak ada pengaruhnya erhadap kapasias gudang, eapi iik dan aau berubah. Tiik yang baru dapa diperoleh dengan menyelesaikan persamaan jumlah kapasias. Tiik yang baru diperoleh dari penyelesaian persamaan,. Jika erjadi umpang indih maka idak perlu mencari iik eapi mencari iik. Tiik yang baru dapa diperoleh dari penyelesaian persamaan seperi pada langkah 5. 8. Menghiung biaya pengadaan bahan menah. Unuk mendapakan nilai yang opimal, maka dalam menghiung dapa dibagi menjadi beberapa bagian seperi beriku ini a. Periode JIT Jika erdapa periode yang saling umpang indih maka -nya adalah b. Periode pergudangan dengan c. Periode penundaan dengan d. Pengisian ulang bahan menah 8

e. Pemenuhan perminaan akiba penundaan BJ r V e p( ) d( ) Jadi nilai biaya pengadaan bahan menah keseluruhan adalah DB d Jadi, biaya pengadaan bahan menah dengan kebijakan JIT, pergudangan, dan penundaan adalah 36.1917 yang hasilnya lebih kecil jika dibandingkan dengan biaya pengadaan bahan menah dengan kebijakan JIT saja yaiu 41.4246. Dibawah ini merupakan grafik solusi opimal pengadaan bahan menah dengan kebijakan JIT, pergudangan, dan penundaan. 8 oal I II III IV V 6 4.3 Simulasi Dalam simulasi ini menggunakan daa parameer sebagai beriku [2]: p() : 5 + sin. 7 +.1 Renang waku : 7 d() : 1 +.1 r :.5 h w () :.1 h b () :.5 w : 2 biaya pengadaan bahan menah dengan kebijakan JIT adalah sebagai beriku JIT T e r p( ) d( ) d 41.4246 Sedangkan biaya pengadaan bahan menah dengan kebijakan JIT, pergudangan, dan penundaan diselesaikan dengan menggunakan langkah-langkah pada sub bab 4.2.3. Hasilnya adalah lo.836 JD DB 1.8629 3.5565 BJ 6.5565 Dari iik kriis di aas diperoleh dari seiap kondisi kemudian dijumlahkan sehingga menghasilkan oal oal I 1.77 36.1917 II.1534 III 2.48 IV 4.819 V 23.9464 4 2-2 -4 lo -6 1 2 3 4 5 6 7 Gambar 4.9 Solusi Opimal Model Pengadaan Bahan Menah. Keerangan: Biru Merah Hijau Merah muda JD DB : grafik u() : grafik x() : grafik p() : grafik () Dari gambar 4.9 erliha bahwa nilai awal dan akhir x() adalah nol. Hal ini, sesuai dengan kondisi model pengadaan bahan menah yang diasumsikan di awal peneliian. Kebijakan opimal yang dilakukan adalah JIT-pergudanganpenundaan-JIT sesuai dengan waku yang elah lo JD DB BJ dienukan yaiu,,, dan. lo JD Pada saa dierapkan JIT dan pergudangan secara bersamaan seperi kondisi yang dibahas pada sifa 3. Hal iu dapa erjadi keika jumlah pembelian sama dengan kapasias gudang. Keika ( ) p( ), idak ada pengadaan bahan menah u () yaiu pada saa JD BJ DB 9

dengan kaa lain pengadaan bahan menah erjadi keika ( ) p( ). Sedangkan keika ( ) p( ) erjadi iik swiching, yaiu perubahan nilai pada kendali u (). Pada solusi opimal ini erdapa dua JD BJ iik swiching, yaiu pada saa dan. 5. Penuup 5.1 Kesimpulan Kesimpulan yang dapa diambil dari penyelesaian model pengadaan bahan menah adalah 1. Permasalahan pengadaan bahan menah dapa diselesaikan dengan menggunakan eori konrol opimal. 2. Biaya pengadaan bahan menah dengan kebijakan pengadaan epa waku (JIT), pergudangan, dan penundaan lebih opimal daripada biaya pengadaan bahan menah yang hanya menerapkan kebijakan JIT. 5.2 Saran Adapun saran-saran yang dapa diberikan berkenaan dengan peneliian selanjunya adalah sebagai beriku: 1. Permasalahan pengadaan bahan menah dapa dikembangkan dengan menambahkan biaya pemesanan dan waku unggu (lead ime) pemesanan. 2. Pengadaan bahan menah lebih dikhususkan pada jenis bahan menah erenu, misalkan logam, epung, aau kayu. [4] Bryson, A. E. dan Ho, Y. C. 1975. Applied Opimal Conrol. New York: Taylor & Francis Group. [5] Fabozzi, F. J. dan Drake, P. P. 29. Finance: Capial Markes, Financial Managemen, and Invesmen Managemen. New Jersey: John Wiley Son, Inc. [6] Kamien, M. I. dan Schwarz, N. L. 1981. Dynamic Opimizaion: The Calculus of Variaions and Opimal Conrol in Economics and Managemen. 1 s ediion. Norh Holland, Amserdam: Elsevier Science Publishing Co, Inc. [7] Naidu, D. S. 22. Opimal Conrol Sysems. USA: CRC Presses LLC. [8] Sehi, S. P. dan Thompson, G. L. 2. Opimal Conrol Theory: Applicaion o Managemen Science and Economics. 2 nd ediion. New York: Springer Science+Business Media, Inc. [9] Sharma, S. 26. Applied Nonlinear Programming. New Delhi: New Age Inernaional (P) Ld, Publisher. [1] Subchan, S. dan Zbikowski, R. 29. Compuaional Opimal Conrol: Tools and Pracice. UK: John Wiley & Sons Ld. [11] Wikipedia. 21. Ne Presen Value. <hp://en.wikipedia.org/wiki/ne_presen_val ue>. Diakses pada anggal 25 Februari 21. [12] Wikipedia. 21. Discouning. <hp://en.wikipedia.org/wiki/discouning>. Diakses pada anggal 25 Februari 21. 6. Dafar Pusaka [1] Agung, Hari. 27. Analisis Pengadaan Bahan Menah Mengunakan Teori Konrol Opimal. Tugas Akhir. Jurusan Sisem Informasi ITS Surabaya. [2] Arnold, J., Minner, S., dan Eidam, B. 27. Raw Maerial Procuremen wih Flucuaing Price. Inernaional Journal of Producion Economics 121 (29) 353-364. [3] Bunawan. 1994. Penganar Manajemen Operasi: Seri Dika Kuliah. Jakara: Gunadarma. 1