Kompleksitas dari Algoritma-Algoritma utuk Meghitug Bilaga Fiboacci Gregorius Roy Kaluge NIM : 358 Program Studi Tekik Iformatika, Istitut Tekologi Badug Jala Gaesha, Badug e-mail: if8@studets.if.itb.ac.id, milikya_roy@yahoo.co.id ABSTRAK Makalah ii aka membahas beberapa algoritma yag bisa diguaka utuk meghitug bilaga Fiboacci. Bilaga Fiboacci adalah bilaga yag terdapat pada deret Fiboacci. Deret Fiboacci biasa didefiisika secara rekursif sebagai : f() f(-) + f(-) dega f() da f() adalah sebuah kostata. Aka ada algoritma da rumus yag aka dibahas pada makalah ii. Algoritma-algoritma tersebut yaitu algoritma rekursif, iteratif, da algoritma iteratif dega megguaka matriks. Algoritma iteratif megguaka matriks yag dibahas ati aka memiliki versi. Versi pertama megguaka tekik pemagkata secara liear sedagka versi kedua megguaka tekik divide-ad-coquer. Pada masig-masig algoritma da rumus, aka diberika cotoh program dalam bahasa PASCAL agar bisa memberi sedikit gambara tetag implemetasiya. Masig-masig algoritma tersebut, beserta rumus utuk meghitug Fiboacci, aka diaalisis utuk dicari kompleksitasya, kasus terbaik, kasus terburuk, da otasi O besarya. Selajutya, dari algoritma da rumus tersebut aka ditetuka cara yag palig magkus utuk meghitug bilaga Fiboacci dari segi waktu. Kata kuci: Fiboacci, kompleksitas algoritma, dividead-coquer. PENDAHULUAN - Fiboacci search techique megguaka bilaga Fiboacci Sebelum megguaka bilaga Fiboacci tetuya perlu diketahui besarya bilaga yag aka diguaka tersebut. Utuk meghitugya, ada beberapa algoritma yag bisa diguaka. Tetu saja, pemiliha algoritma yag aka diguaka harus dilakuka sebaik-baikya agar diperoleh algoritma yag semagkus mugki.. DERET FIBONACCI [] Deret Fiboacci diperkealka pada tahu oleh Leoardo dari Pisa (yag dikeal sebagai Fiboacci). Deret ii didefiisika secara rekursif sebagai : f() f(-) + f(-) f() f() Sebearya terdapat versi lai utuk f() da f() yaitu f(), f(). Namu dalam makalah ii, deret Fiboacci yag diguaka adalah deret yag ilai f() da f(). Selai itu, deret Fiboacci yag dibahas pada makalah ii adalah deret Fiboacci utuk ideks bilaga bulat o egatif. 3. ALGORITMA REKURSIF 3.. Algoritma Algoritma rekursif ii lagsug megimplemetasika defiisi rekursif bilaga fiboacci dalam betuk fugsi rekursif. Cotoh fugsi fiboacci dalam bahasa PASCAL : Bilaga Fiboacci memiliki cukup bayak aplikasi dalam duia matematika maupu komputer. Cotohya [] : - Kasus terburuk utuk algoritma Euclid dalam meetuka FPB (Faktor Pembagi Terbesar) adalah jika iputya sepasag bilaga Fiboacci yag beruruta - Bilaga Fiboacci diguaka utuk membagkitka bilaga pseudoradom. MAKALAH IF STRUKTUR DISKRIT TAHUN
3.. Aalisis Dari fugsi rekursif di atas, bisa dilihat bahwa T() da T() berilai karea jika iputya atau, program aka melakuka proses yaitu assigmet (permberia ilai). T() berilai T(-) + T(-) + karea di setiap tahap rekures, program aka memaggil fibo(-) yag memiliki kompleksitas T(-) da fibo(-) yag memiliki kompleksitas T(-), semetara itu utuk mejumlahka keduaya dibutuhka proses. Oleh karea itu :, utuk T ( ) T ( ) + T ( ) +, utuk laiya Jika, T() T() + T() + 3, f(+) 3 Jika 3, T() T() + T() + 5, f(+) 5 Jika, T() T(3) + T() +, f(+) 8 Jika 5, T() T() + T(3) + 5, f(+) 3 Jika 6, T() T(5) + T() + 5, f(+) Jika 7, T() T(6) + T(5) +, f(+) 3 Jika 8, T() T(7) + T(6) + 67, f(+) 55 Dari situ bisa kita lihat bahwa T() aka berkembag secara ekspoesial. Utuk mecari otasi O besarya : T() T(-)+ T(-)+ T(-) T() 3 T(-) Sehigga diperoleh T() O(3 ). Algoritma ii adalah algoritma yag stabil, kompleksitas utuk kasus terbaik sama dega kompleksitas utuk kasus terburukya.. ALGORITMA ITERATIF.. Algoritma Algoritma ii mirip dega algoritma rekursif amu ada sedikit perbedaa. Pada algoritma ii, fugsi rekursif digatika oleh sebuah iterasi. Ideya adalah sebagai berikut : ) Meyimpa ilai f() da f() dalam variabel ) Meghitug ilai f() dari ilai f() da f() yag sudah disimpa sebelumya, lalu meyimpa ilai f() da f() 3) Meghitug ilai f(3) dari ilai f() da f() yag sudah disimpa sebelumya, lalu meyimpa ilai f(3) da f() ) Proses tersebut dilakuka berulag-ulag sampai diperoleh ilai f() Cotoh potoga programya dalam bahasa PASCAL :.. Aalisis Dari potoga program di atas, lagsug terlihat bahwa kompleksitas waktuya adalah : T() + 3(-) 3 - Dega ilai T() tersebut, bisa ditetuka otasi O besarya : T() 3- T() 3 Sehigga diperoleh T() O(). Utuk ilai > T() pasti berilai 3-. Oleh karea itu, algoritma ii adalah algoritma yag stabil. Jadi kompleksitas utuk kasus terbaik sama dega kompleksitas utuk kasus terburukya. 5. ALGORITMA ITERATIF MENGGUNAKAN MATRIKS 5.. Versi I 5... Algoritma Ide dasar algoritma ii adalah merepresetasika bilaga Fiboacci ke-(+) utuk > sebagai : f ( + ) f ( ) f ( ) f ( ) Dari iformasi tersebut, bisa dicari rumus umumya : f ( + ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( + ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( + ) f () f ( ) f () Sehigga jika kita igi meghitug Fiboacci ke- : f () f () f () f () f () 55 3 f () f () 3 f () Dari hasil perkalia matriks diperoleh : f() 55 f() + 3 f() 55 + 3 55 Algoritmaya bisa dirumuska sebagai berikut : MAKALAH IF STRUKTUR DISKRIT TAHUN
Algoritma Meghitug Fiboacci Kamus X : matriks satua berukura A : matriks dega a a a da a Hasil : iteger Algoritma {perkalia (a,b) megembalika hasil perkalia matriks a da b} for i to - X perkalia(x, A) Hasil a f() + a f() Cotoh program dalam bahasa PASCAL : 5... Aalisis Jika dilihat dari program di sampig, proses yag dilakuka selai membaca data adalah proses iisialisasi, perkalia bilaga, perkalia matriks, da pejumlaha. Iisialisasi dilakuka sebayak kali. Proses perkalia matriks dilakuka sebayak - kali, setiap megalika matriks dilakuka 8 kali perkalia da kali pejumlaha. Yag terakhir, utuk meghitug outputya, dilakuka proses pejumlaha da proses perkalia. Dari iformasi tersebut, dapat diperoleh : T() + (-)(8+) + (+) T() 3 + T() - Selajutya, setelah memperoleh T(), bisa diperoleh pula otasi O besarya : T() - T() Jadi T() O(). Jika diperhatika, algoritma ii adalah algoritma yag stabil sehigga kompleksitas utuk kasus terbaik sama dega kompleksitas utuk kasus terburukya. 5.. Versi II Sebelum membahas algoritma ii, ada baikya kita membahas divide-ad-coquer. 5... Divide-ad-Coquer[] Divide-ad-coquer adalah sebuah algoritma yag berkerja sebagai berikut : ) Sebuah masalah dibagi mejadi beberapa bagia yag lebih kecil, idealya dega ukura yag kurag lebih sama ) Masalah-masalah yag kecil tersebut diselesaika 3) Jika diperluka, solusi yag diperoleh dari masalah-masalah yag kecil tersebut digabugka utuk memecahka masalah yag lebih besar Cotoh algoritma yag megguaka tekik dividead-coquer adalah biary search, mergesort, da quicksort. 5... Algoritma Algoritma ii sebearya memiliki ide dasar yag sama dega versi I, yaitu meghitug ilai Fiboacci megguaka pemagkata matriks. Yag berbeda adalah cara meghitug pagkatya. Seadaiya, kita igi meghitug f(), kita bisa megguaka rumus : f () f () f () f () MAKALAH IF STRUKTUR DISKRIT TAHUN
MAKALAH IF STRUKTUR DISKRIT TAHUN Selajutya, utuk meghitug pemagkata matriks, bisa diguaka tekik divide-ad-coquer sebagai berikut:,, da sedagka Dari perhituga di atas, bisa dirumuska algoritma pemagkataya sebagai berikut : Cotoh program dalam bahasa PASCAL : Fuctio pagkat (:iteger, A:matriks) matriks {megembalika ilai A dega prekodisi : >} Kamus temp : matriks Algoritma {perkalia (a,b) megembalika hasil perkalia matriks a da b} if () A else temp pagkat(/,a) if ( mod ) perkalia(perkalia(temp,temp), A) else perkalia(temp,temp)
5..3. Aalisis Dari program di atas, bisa dilihat bahwa ada proses iisalisasi, perkalia bilaga, perkalia matriks, pemagkata, da pejumlaha. Proses isialisasi ada sebayak 6 proses. Pada setiap perkalia matriks ada 8 proses perkalia da proses pejumlaha. Pada setiap proses pemagkata, ada maksimal perkalia matriks da proses assigmet. Sedagka pada bagia akhir dibutuhka proses perkalia da proses pejumlaha. Utuk meghitug proses pemagkata : g() Pada kasus terburuk : g() g(/) + (8+) g() g(/) + sehigga : g ( ) log + g() berilai karea utuk assigmet ilai ke matriks dibutuhka proses, yaitu assigmet ke masig-masig eleme matriks. Setelah g() diperoleh : T( ) 6 + g( ) + + T( ) + log log + 3 + T( ) Setelah memperoleh T(), kita bisa mecari otasi O besarya : T() log + 3 log T() 8 log Sehigga T() O(log ). Kasus terbaik algoritma ii adalah jika k + utuk setiap k bilaga bulat positif. Alasaya, saat berilai k +, pada setiap tahap rekursi proses perkalia matriks yag dilakuka haya kali saja. Dega kata lai, kasus terbaikya terjadi saat bayakya bit berilai dari represetasi bier - haya. Semetara itu, kasus terburuk utuk algoritma ii adalah saat k utuk setiap k bilaga bulat positif. Alasaya, saat berilai k, pada setiap tahap rekursi aka dilakuka kali perkalia matriks. Dega kata lai, kasus terburukya terjadi saat semua bit dari represetasi bier - berilai. + 5 5 f ( ) α + α () dega α da α adalah kostata. Utuk mecari ilai α da α, kita guaka f() da f(). f() α + α () (3) Solusi dari persamaa () da (3) di atas adalah : α 5 α 5 f() α ( + 5) + α ( 5) Setelah memperoleh ilai α da α, ilai tersebut bisa dimasukka ke persamaa () sehigga diperoleh : + 5 5 f ( ) 5 5 Rumus di atas meujukka bahwa deret Fiboacci berkembag secara ekspoesial. Artiya, ilai O(3 ) yag diperoleh pada Aalisis bab 3. sudah bear. 6.. Pegguaa Cotoh pegguaaya pada program dalam bahasa PASCAL : 6. RUMUS UNTUK MENGHITUNG FIBONACCI 6.. Peurua Rumus[3] Deret Fiboacci memiliki persamaa f() f(-) + f(- ) utuk f() da f(). Sedagka persamaa karakteristikya adalah r r. Persamaa karakteristik tersebut memiliki akar r ( 5) ( 5) + da r. Meurut teorema [3] di halama, deret Fiboacci bisa dituliska sebagai : MAKALAH IF STRUKTUR DISKRIT TAHUN
6.3. Aalisis Dari cotoh program di atas, kita bisa memperkiraka kompleksitas utuk algoritma ii. Proses-proses yag dilakuka pada program adalah proses pejumlaha, peguraga, perbadiga, if, absolut, modulo, perkalia, pembagia, logaritma, da ekspoe. Jika setiap proses tersebut diaggap sebagai proses saja (tidak megadug proses-proses lai), maka : T() 5 + + 6 + 3 + + + Dari T() yag diperoleh, bisa dicari otasi O besarya : T() Sehigga T() O(). Karea algoritma ii adalah algoritma yag stabil, kompleksitas utuk kasus terbaik sama dega kompleksitas utuk kasus terburukya. Namu, jika proses ekspoe da logaritma tidak diaggap proses sediri, bisa jadi T() yag diperoleh meghasilka O(log ). Peulis kurag tahu megeai kompleksitas dari fugsi exp da l sehigga megasumsika bahwa kedua proses tersebut O(). 7. KESIMPULAN Dari hasil aalisis dari tiap algoritma dapat disimpulka: ) Algoritma rekursif adalah algoritma yag palig tidak magkus. Fugsi T() dari algoritma ii berkembag secara ekspoesial. ) Algoritma iteratif megguaka matriks versi berada di uruta ke- algoritma yag palig tidak magkus. Fugsi T() algoritma ii berkembag secara liear amu kostata pegali -ya. 3) Algoritma iteratif memiliki kompleksitas yag cukup baik. Fugsi T() algoritma ii berkembag secara liear dega kostata pegali -ya 3. ) Algoritma iteratif megguaka matriks versi memiliki kompleksitas O(log ). Algoritma ii sagat magkus utuk meghitug bilaga Fiboacci. 5) Pegguaa rumus eksplisit adalah cara palig magkus utuk meghitug bilaga Fiboacci. REFERENSI [] http://e.wikipedia.org/wiki/fiboacci_umber; Taggal akses Desember. [] Leviti, Aay, Itroductio to The Desig & Aalysis of Algorithms, Addiso-Wesley s, 3. [3] Rose, Keeth H., Discrete Mathematics ad Its Applicatios Fifth Editio, McGrawHill, 3. MAKALAH IF STRUKTUR DISKRIT TAHUN