Gambar 4 Kompleksitas tahapan pada fungsi CG sekuensial.

Transkripsi

1 Spesifikasi dari masig-masig komputer yag diguaka adalah: 1. Itel Petium Core 2 Duo ( 2,20 GHz). 2. DDR2 RAM 1024 MB. 3. Hard disk 80 GB. 4. Mouse da Keyboard. 5. LAN 100 Mbps. 6. Sistem operasi Liux (opesuse 11.2). 7. Library MPI ( OpeMPI 1.4.7). 8. OpeMP rutime library (libgomp44). Aalisis Hasil Percobaa Pada tahap ii aka diaalisis dega meghitug performace metric berdasarka waktu eksekusi dari hasil percobaa yag diperoleh. Aalisis dilakuka terhadap hasil percobaa implemetasi sekuesial, MPI, da hybrid. HASIL DAN PEMBAHASAN Aalisis da Implemetasi Algoritme CG Sekuesial Aalisis algoritme CG sekuesial haya diukur berdasarka persamaa kompleksitas, amu karea pembahasa meliputi keseluruha waktu eksekusi, maka tiap-tiap tahap aka dihitug, termasuk dalam pembacaa file matriks berukura x maupu file vektor berukura. Adapu keseluruha tahap dalam algoritme sekuesial adalah: 1. Membaca file matriks ( x blok) sebagai koefisie SPL. 2. Membaca file vektor ( blok) sebagai ilai target dari SPL. 3. Fugsi CG sekuesial utuk meghasilka solusi SPL. Kompleksitas fugsi CG sekuesial berdasarka Gambar 1 utuk tiap tahap disajika pada Gambar 4. Utuk N kali iterasi pada CG, maka total kompleksitas pada keseluruha tahap yaitu: t sekuesial =N 2 5. [9] Dari Persamaa 10 dapat diketahui bahwa kompleksitas sagat tergatug dari ukura matriks/vektor da bayakya iterasi CG N. Waktu eksekusi dari implemetasi sekuesial dapat direpresetasika oleh Persamaa 9. Grafik hasil perhituga Persamaa 9 disajika pada Gambar 5. Implemetasi atau kode program yag dibuat terdiri atas fugsi-fugsi yag mewakili proses-proses yag ada pada algoritme CG sekuesial, seperti fugsi utuk membaca file matriks, membaca file vektor, da fugsi CG. Di dalam fugsi CG terdapat beberapa fugsi lagi, seperti fugsi perkalia matriks vektor, fugsi perkalia dua vektor, da fugsi saxpy. Fugsi pecatat waktu diletakka di bagia awal sebelum proses membaca file matriks da sesudah fugsi CG. 1 Diberika SPL Ax=b 2 Pilih x 0 awal, x 0 =0 3 r 0 =b Ax 0 4 d 0 =r 0 5 i=0 6 rr =r i r i 7 While i max ad r i tol 8 q=a d i 2 9 dq=d i q 10 i =rr / dq 11 x i 1 =x i d i 12 r i 1 =r i i q i 13 rr2=r i 1 14 i =rr2 / rr r i 1 15 d i 1 =r i 1 d i 16 i=i 1 Gambar 4 Kompleksitas tahapa pada fugsi CG sekuesial. Gambar 5 Grafik perhituga kompleksitas CG sekuesial. Peerapa Metode Foster Algoritme CG paralel didisai berdasarka metode Foster, amu pegguaa metode Foster ii haya diguaka utuk membuat algoritme CG MPI. Berikut ii adalah pejelasa dari tahapa-tahapaya. 1. Partitioig Dalam meetuka strategi dekomposisi yag diguaka, pertama-tama harus diketahui 7

2 dulu komputasi yag ada. Komputasi yag ada dapat terlihat dari stuktur atau alur algoritme da dari skema keterkaita atar fugsi yag ada pada algoritme yag aka diparalelka. Berdasarka Gambar 1, skema keterkaita atar fugsi di dalam iterasi CG disajika pada Gambar 6. Gambar 6 Skema keterkaita fugsi pada iterasi CG. Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa tiap tahap pada algoritme CG salig memiliki keterkaita, sehigga sulit jika diterapka tekik pipelie. Utuk peerapa fuctioal decompositio sebearya dapat dilakuka pada bagia komputasi saxpy (o 4, da 5), haya saja kurag tepat utuk diterapka pada paralel MPI, karea biaya komuikasi yag dibutuhka lebih besar dari pada beba komputasi yag ada. Oleh karea itu dekomposisi yag palig mugki da mudah dilakuka adalah domai decompositio. Domai decompositio yag dilakuka tidak pada semua tahapa algoritme CG, haya pada perkalia matriks vektor saja. Pada perkalia dua vektor da saxpy sebearya dapat diterapka domai decompositio, haya saja kurag tepat utuk paralel MPI, karea beba komputasiya terlalu kecil, sehigga jika dipaksaka utuk diparalelka haya aka meambah besar biaya komuikasi. Dalam melakuka domai decompositio, file matriks dega ukura 2 aka dibaca oleh ode root, kemudia didistribusika kepada seluruh ode p. iap ode aka medapatka matriks sebesar 2 / p. Matriks aka didekomposisi secara row-wised buka secara colum-wised, karea kompleksitas komuikasi secara row-wised lebih kecil. Pada distribusi vektor, file vektor dega ukura aka dibaca oleh ode root, kemudia didistribusika kepada seluruh ode. iap ode aka medapatka vektor yag sama dega ukura pula. Di dalam fugsi CG, komputasi perkalia matriks vektor dilakuka oleh tiap ode. Komputasi ii dilakuka sesuai dega matriks yag didapatka masig-masig ode. Hasil yag diperoleh masig-masig ode / p didistribusika kepada keseluruha ode utuk diguaka pada tahapa komputasi berikutya. Jadi seluruh tahapa yag ada pada Gambar 6 aka dikerjaka oleh seluruh ode yag terlibat saat eksekusi. Utuk perkalia matriks vektor (o 1), masig-masig ode aka melakuka komputasi dega data matriks yag berbeda, sedagka utuk komputasi o 2-8 masig-masig ode aka megerjakaya dega data vektor yag sama. 2. Commuicatio Berdasarka tahap partitioig, proses komuikasi yag diterapka yaitu secara global commuicatio. Proses komuikasi ii dibutuhka pada setiap tahap. Komuikasi pertama terjadi pada saat pedistribusia matriks oleh ode root yag dilakuka dega fugsi MPI_Scatterv. Proses komuikasi yag kedua pada saat pedistribusia vektor oleh ode root dega megguaka fugsi MPI_Bcast. Komuikasi ketiga yaitu di dalam fugsi CG, pada saat tiap-tiap ode medistribusika hasil perkalia matriks vektor ke seluruh ode da ii dilakuka pada setiap iterasi. Fugsi yag diguaka pada komuikasi ii adalah MPI_Allgatherv. 3. Agglomeratio Berdasarka pegertia dari agglomeratio, maka tidak terdapat proses agglomeratio secara eksplisit pada disai algoritme CG paralel. Hal ii dikareaka memag tidak ada pegombiasia task-task yag salig terkait, amu secara implisit terdapat pada fugsifugsi MPI yag diguaka, seperti MPI_Gatherv, MPI_Bcast, da MPI_Allgatherv. 4. Mappig Komputasi yag diparalelka secara MPI hayalah pada bagia perkalia matriks vektor, jadi mappig yag dilakuka yaitu meugaska seluruh ode yag tersedia utuk melakuka komputasi tersebut sesuai komputasi yag didapat masig-masig ode. Berdasarka strategi paralel yag telah diracag dega metode Foster, maka struktur algoritme CG pada bagia iterasiya disajika pada Gambar 7. 8

3 Komputasi q local = A local d i q=allgather q local dq=d i q i =rr / dq x i 1 = x i d i r i 1 =r i i q i rr2=r i 1 i =rr2 / rr r i 1 d i 1 =r i 1 d i i=i 1 Gambar 7 Keteraga Perkalia MatVec, tiap ode memiliki matriks berbeda A local, da memiliki vektor d i yag sama, dihasilka vektor q local berukura / p yag berbeda pada tiap ode. Semua ode melakuka allgather, sehigga tiap ode memiliki vektor q yag berukura secara utuh. Semua ode aka melakuka komputasi pada bagia ii da aka meghasilka data vektor yag sama. Struktur algoritme CG MPI pada bagia iterasi. Aalisis da Implemetasi Algoritme CG MPI Algoritme paralel MPI yag dibuat terdiri dari tiga bagia, pertama bagia distribusi matriks, kedua distribusi vektor da ketiga bagia iterasi fugsi CG. Dalam megaalisis kompleksitas algoritme MPI yag telah dibuat, ketiga bagia tersebut diikutsertaka seluruhya dalam perhituga. Berikut ii adalah kompleksitas dari masig-masig bagia tersebut: 1. Distribusi matriks Dalam medistribusika file matriks berukura 2, masig-masig ode medapatka bagia matriks sebesar 2 / p. Dalam medistribusika file matriks tersebut, implemetasi MPI yag dibuat yaitu megguaka fugsi MPI_Scatterv. Meurut Grama et al (2003), kompleksitas MPI_Scatter / MPI_Scatterv da MPI_Gather dega megabaika startup time t s yaitu: t w m p 1. [10] t w : waktu dibutuhka utuk metrasfer message per word. m : ukura message yag aka dikirim. p : bayakya ode yag meerima message. Ukura message yag aka dikirim m adalah 2 / p, sehigga berdasarka kompleksitas MPI_Scatterv, maka kompleksitas dalam medistribusika file matriks t matriks yaitu: t matriks = t w 2 p 1. [11] p 2. Distribusi vektor Dalam medistribusika vektor, ukura vektor yag didapatka oleh seluruh ode adalah sama besar, yaitu. Fugsi MPI_Bcast diguaka dalam pedistribusia vektor ke seluruh ode. Meurut Grama et al (2003), kompleksitas MPI_Bcast dega megabaika startup time t s yaitu: t w m log p. [12] sehigga kompleksitas medistribusika file vektor t vektor adalah: t vektor =t w log p. [13] 3. Iterasi fugsi CG Berdasarka partitioig yag telah ditetuka, maka pada bagia iterasi fugsi CG bagia yag diparalelka secara MPI adalah pada perkalia matriks vektor. Hasil perkalia ii kemudia didistribusika ke seluruh ode. Pada implemetasiya, fugsi-fugsi sekuesial yag diguaka tidak megalami perubaha, amu haya dilakuka peambaha fugsi dalam pedistribusia hasil perkalia matriks vektor saja. Fugsi yag diguaka dalam hal ii adalah MPI_Allgatherv. Pada dasarya fugsi MPI_Allgatherv hampir sama dega MPI_Gatherv, haya saja pada MPI_Allgatherv seluruh ode melakuka pegirima data, sehigga kompleksitasya pu sama. Dega demikia kompleksitas pada bagia iterasi ii t iterasi adalah: t iterasi = N p t w p p 1 5. [14] Struktur algoritme MPI da kompleksitasya tiap tahap pada bagia iterasi CG disajika pada Gambar 8. Berdasarka Gambar 8, maka total kompleksitas algoritme CG MPI t mpi pada tiga bagia yag telah dijelaska diatas adalah: 9

4 t mpi =t matriks t vektor t iterasi. [15] t mpi = t w p 1 N t p w log p N p 5. [16] 1 Diberika SPL Ax=b 2 Pilih x 0 awal, x 0 =0 3 r 0 =b Ax 0 4 d 0 =r 0 5 i=0 6 rr =r i r i 7 While i max ad r i tol 8 q local = A local d i 2 / p 9 q=allgather q local t w / p p 1 10 dq=d i q 11 i =rr / dq 12 x i 1 =x i d i 13 r i 1 =r i i q i 14 rr2=r i 1 15 i =rr2 / rr r i 1 16 d i 1 =r i 1 d i 17 i=i 1 Gambar 8 Struktur algoritme da kompleksitas fugsi CG MPI. Dalam perhituga kompleksitas pada peelitia ii, kecepata jariga (LAN) yag diguaka adalah 100 Mbps da tipe data yag diguaka adalah double. Karea tipe data double, maka ukura message per word adalah 8 byte, sehigga ilai t w adalah 0.64 x Gambar 9 Grafik perhituga kompleksitas CG MPI. Grafik hasil perhituga kompleksitas berdasarka Persamaa 16 terhadap lima ukura matriks yag diguaka disajika pada Gambar 9. Setelah diketahui kompleksitas total dari implemetasi yag telah dibuat, selajutya dilakuka aalisis performace-ya. 1. Speedup Berdasarka Persamaa 1, 9, da 16 maka speedup dapat dihitug megguaka Persamaa 17. S = N 5 t w p 1 N t p w log p N p 5. [17] Pada Gambar 10 disajika grafik hasil perhituga speedup berdasarka Persamaa 17 terhadap lima ukura matriks yag diguaka. Gambar 10 Grafik perhituga speedup CG MPI. Dari Gambar 10, dapat diketahui bahwa: Nilai speedup yag diperoleh hampir medekati dega ilai ideal dari speedup utuk setiap jumlah ode yag diguaka, yaitu medekati liear. Utuk setiap ukura matriks yag diiputka, semaki tiggi jumlah ode yag diguaka, semaki tiggi speedup yag diperoleh. Semaki tiggi jumlah ode yag diguaka, utuk ukura matriks yag semaki kecil, maka ilai speedup yag diperoleh semaki meuru da mejauhi ilai ideal. 2. Efisiesi Nilai efisiesi didapatka dega megguaka Persamaa 18. N 5 E= t w p 1 N t w p log p N 5 p. [18] Pada Gambar 11, disajika grafik hasil perhituga efisiesi berdasarka Persamaa 18 terhadap lima ukura matriks yag diguaka. 10

5 Gambar 11 Grafik perhituga efisiesi CG MPI. Dari Gambar 11, dapat diketahui bahwa: Efisiesi yag diperoleh hampir medekati ilai ideal dari efisiesi, yaitu 1. Semaki tiggi jumlah ode yag diguaka, ilai efisiesiya megalami peurua, amu tigkat peuruaya kecil. Semaki tiggi jumlah ode yag diguaka, utuk ukura matriks yag semaki kecil, maka ilai efisiesi yag diperoleh semaki meuru da mejauhi ilai ideal. 3. Cost Utuk ilai cost didapatka dega Persamaa 19. C= t w p 1 N t w p log p N 5 p. [19] 4. otal Parallel Overhead Utuk ilai overhead didapatka dega Persamaa 20. o = t w p 1 N t w plog p 5 N p 1. [20] 5. Isoefisiesi Dari Persamaa overhead yag diperoleh, maka dapat diketahui isoefisiesi dari algoritme yag dibuat. Utuk setiap peigkata jumlah ode, seberapa besar problem size W yag harus mejadi iput utuk mempertahaka ilai efisiesi yag igi diperoleh. W = E t p 1 N t w w p log p 5 N p 1. E 1 [21] Jadi jika igi diperoleh ilai efisiesi sebesar E utuk setiap peigkata jumlah ode, maka ukura problem size yag harus diguaka dapat diketahui dega persamaa 21. Peerapa Model Hybrid Dalam peerapa model paralel hybrid dari model paralel message-passig atau MPI, hal pertama yag dilakuka adalah idetifikasi bagia-bagia yag dapat diparalelka secara shared-memory atau OpeMP. Berdasarka struktur algoritme CG MPI yag telah dibuat, terdapat tiga bagia utama, yaitu distribusi matriks, distribusi vektor, da iterasi fugsi CG. Dari kompleksitas tiga bagia tersebut, kompleksitas tertiggi ada pada bagia iterasi dikareaka pada bagia ii terjadi komputasi, sehigga pada bagia iilah yag lebih tepat diparalelka secara OpeMP. Sebearya pada bagia distribusi matriks da distribusi vektor dapat diparalelka secara OpeMP, amu pada kedua bagia ii komputasi yag terjadi hayalah baca file da distribusi data lewat jariga. Oleh karea itu lamaya waktu komputasi pada bagia ii lebih ditetuka oleh kecepata hardware, sehigga tidak tepat diparalelka secara OpeMP. Pada bagia Peerapa Metode Foster pada tahap partitioig, disebutka bahwa ada beberapa komputasi yag tidak tepat bila dipararelka secara MPI. Bagia-bagia iilah yag aka dipararelka secara OpeMP. Berdasarka Gambar 8, komputasi-komputasi yag ada adalah perkalia matriks vektor, perkalia dua vektor, da saxpy. Pada ketiga komputasi ii terdapat kostruksi-kostruksi loop yag dapat diparalelka, jadi pada komputasi-komputasi iilah dilakuka pararel OpeMP. Cara seperti ii sama saja dega melakuka domai decompositio, karea pada hakikatya yag dipararelka adalah data. Selai dega melakuka pararel pada kotruksi loop, bila dilihat Gambar 6 pada o 4 da 5, bagia ii dapat dilakuka partitioig secara fuctioal decompositio. Bagia ii tidak tepat jika dipararelka secara MPI, amu lebih tepat dipararelka secara OpeMP. Dega dilakukaya fuctioal decompositio, maka pada bagia ii terjadi dua pararelisasi, yaitu pararelisasi fugsi secara struktural da paralelisasi data didalamya. Berdasarka strategi paralel hybrid yag telah diracag, maka struktur algoritme CG hybrid pada bagia iterasiya disajika pada Gambar

6 Komputasi q local =A local d i q=allgather q local dq=d i q i =rr / dq Keteraga Perkalia MatVec aka dilakuka oleh semua ode secara MPI, da dilakuka oleh semua thread secara OpeMP pada tiap ode. Semua ode melakuka allgather, sehigga tiap ode memiliki vektor q yag berukura secara utuh. Semua ode aka melakuka komputasi secara paralel OpeMP. Semua ode aka x i 1 = x i d i melakuka komputasi secara paralel OpeMP da kedua operasi saxpy ii r i 1 =r i i q i diparalel secara data da fugsi rr2=r i 1 i =rr2 / rr r i 1 Semua ode aka melakuka komputasi secara paralel OpeMP. d i 1 =r i 1 d i Semua ode aka melakuka komputasi secara paralel OpeMP. i=i 1 Gambar 12 Struktur algoritme CG hybrid pada bagia iterasi. Aalisis da Implemetasi Algoritme CG Hybrid Dalam eksekusi bagia loop yag diparalelka secara OpeMP, sejumlah thread aka dibagkitka utuk megeksekusi bagia loop tersebut secara bersamaa. Jika suatu kostruksi loop memiliki kompleksitas dieksekusi oleh t thread, maka kompleksitasya mejadi /t. Dega demikia kompleksitas algoritme CG hybrid aka ditetuka oleh bayakya ode p, bayakya thread t, ukura matriks da vektor, serta bayakya iterasi CG N. Agar suatu loop dieksekusi secara paralel OpeMP, maka diguakalah compiler directive atau pragma. Berikut ii adalah kode program pada bagia perkalia matriks vektor yag sudah ditambahka pragma. #pragma omp parallel for default(oe) shared(rowsize, colsize, q, A, x) private(i, j) for(i=0;i<rowsize;i++) //outer loop { q[i] = 0; for(j=0;j<colsize;j++) //ier loop q[i]+= A[i*colSize+j]*x[j]; } Pada kode program tersebut, matriks A aka dipartisi secara row-wised, karea yag diparalelka adalah outer loop. Jika dieksekusi oleh t thread, maka masig-masig thread aka melakuka outer loop sebayak rowsize /t da melakuka ier loop sebayak colsize. Berdasarka strategi paralel hybrid yag telah ditetuka, maka struktur da kompleksitas dari algoritme CG hybrid disajika pada Gambar Diberika SPL Ax=b 2 Pilih x 0 awal, x 0 =0 3 r 0 =b Ax 0 4 d 0 =r 0 5 i=0 6 rr =r i r i 7 While i max ad r i tol 8 q local =A local d i 2 / pt 9 q= Allgather q local t w / p p 1 10 dq=d i q 11 i =rr / dq / t 12 x i 1 = x i d i / t 13 r i 1 =r i i q i 14 rr2=r i 1 15 i =rr2 / rr r i 1 / t 16 d i 1 =r i 1 d i / t 17 i=i 1 Gambar 13 Struktur algoritme da kompleksitas fugsi CG hybrid. Berdasarka Gambar 13, maka kompleksitas pada bagia fugsi CG hybrid adalah: t iterasi = N pt t w p p 1 4 t. [22] Dega demikia kompleksitas total algoritme CG t hybrid hybrid mejadi: t hybrid = t p 1 w N t p w log p N t p 4. [23] Pada Gambar 14 disajika hasil perhituga kompleksitas berdasarka Persamaa 23 utuk 12

7 setiap jumlah thread dega ukura matriks tetap. Sedagka pada Gambar 15 ditampilka hasil perhituga terhadap lima ukura matriks yag diguaka dega jumlah thread tetap. Speedup yag diperoleh hampir medekati ilai ideal pada tiap-tiap kombiasi ode da thread. Utuk setiap ukura matriks yag diiputka, semaki tiggi jumlah ode da thread yag diguaka, semaki tiggi speedup yag diperoleh. Semaki tiggi jumlah ode yag diguaka dega jumlah thread tetap, utuk ukura matriks yag semaki kecil, maka ilai speedup yag diperoleh semaki meuru da mejauhi ilai ideal. Gambar 14 Grafik perhituga kompleksitas utuk tiap jumlah thread dega ukura matriks 2548 x Gambar 16 Grafik perhituga speedup utuk tiap jumlah thread dega ukura matriks 2548 x Gambar 15 Grafik perhituga kompleksitas utuk tiap ukura matriks dega 2 thread. Setelah diketahui kompleksitas total dari implemetasi hybrid yag telah dibuat, selajutya dilakuka aalisis performace-ya. 1. Speedup Berdasarka Persamaa 23, maka speedup dari implemetasi hybrid dihitug dega Persamaa 24. S = N 5 t w p 1 N t p w log p N t p 4. [24] Berdasarka Persamaa 24, pada Gambar 16 disajika grafik hasil perhituga speedup hybrid dega jumlah thread 1, 2, 3, da 4 pada salah satu ukura matriks yag diguaka. Kemudia pada Gambar 17 disajika grafik speedup hybrid utuk setiap ukura matriks yag diguaka dega dua thread. Dari Gambar 16 da Gambar 17 dapat diketahui bahwa: Gambar 17 Grafik perhituga speedup utuk tiap ukura matriks dega 2 thread. 2. Efisiesi Utuk ilai efisiesi, maka dapat dihitug dega persamaa 25. N 5 E= t w p 1 N t w plog p N. 4 p t [25] Grafik hasil perhituga dari Persamaa 25, disajika pada Gambar 18 da Gambar 19. Grafik utuk salah satu matriks yag diguaka disajika pada Gambar 18, sedagka pada Gambar 19 disajika grafik utuk setiap ukura 13

8 matriks yag diguaka dega dua thread. Dari kedua Gambar 18 da Gambar 19 dapat diketahui bahwa: Efisiesi yag diperoleh hampir medekati ilai ideal dari efisiesi, yaitu 1 pada tiaptiap kombiasi ode da thread. Semaki tiggi jumlah ode yag diguaka dega jumlah thread tetap, semaki kecil ukura matriks, maka ilai efisiesiya semaki meuru. Semaki tiggi jumlah ode da jumlah thread yag diguaka, utuk ukura matriks yag semaki kecil, ilai efisiesi yag diperoleh megalami peurua da mejauhi ilai ideal, amu tigkat peuruaya kecil. Gambar 18 Grafik perhituga efisiesi utuk tiap jumlah thread dega ukura matriks 2548 x otal Parallel Overhead Utuk ilai overhead didapatka dega Persamaa 27. o = t p 1 N t plog w w p N t 4 p t 5 t. [27] 5. Isoefisiesi Kemudia utuk memperoleh efisiesi yag tetap E, maka utuk setiap peigkata jumlah ode da jumlah thread, problem size W yag harus diguaka dihitug dega Persamaa 28. W = E E 1 o. [28] Aalisis Hasil Waktu Eksekusi Utuk megaalisis hasil waktu eksekusi, dilakuka perbadiga hasil perhituga kompleksitas dega hasil waktu percobaa yag diperoleh. Waktu eksekusi hasil percobaa implemetasi CG sekuesial dibadigka dega hasil kompleksitas yag telah dihitug pada Persamaa 9. Grafik waktu eksekusi implemetasi CG sekuesial disajika pada Gambar 20. Setelah dibadigka dega seksama atara Gambar 5 da Gambar 20, terlihat bahwa keduaya memiliki kesamaa betuk, berarti hal ii meujukka hasil perhituga kompleksitas da hasil percobaa memiliki kesesuaia. Semaki besar ukura matriks semaki tiggi waktu eksekusiya, jadi waktu eksekusi sekuesial bear dipegaruhi oleh ukura matriks/vektor. Gambar 19 Grafik perhituga efisiesi utuk tiap ukura matriks dega 2 thread. 3. Cost Utuk ilai cost didapatka dega Persamaa 26.. C= t w p 1 N t w plog p N t 4 p. [26] Gambar 20 Grafik waktu eksekusi implemetasi CG sekuesial. Pada implemetasi MPI, grafik waktu eksekusi percobaa pada tiap ukura matriks disajika pada Gambar 21. Jika Gambar 9 dibadigka dega Gambar 21, maka aka 14

9 terlihat memiliki kesesuaia betuk walaupu tidak terlalu sama persis. Hal ii meujukka bahwa hasil perhituga kompleksitas CG MPI bersesuaia dega hasil percobaa implemetasi MPI. memiliki 2 core. Sehigga pegguaa jumlah thread lebih dari jumlah core processor mejadi peyebab waktu eksekusi lebih lambat atau palig tidak hampir meyamai waktu eksekusi 2 thread. Gambar 21 Grafik waktu eksekusi implemetasi MPI. Dari Gambar 21 juga dapat diketahui bahwa waktu eksekusi dipegaruhi oleh jumlah ode yag diguaka, amu buka berarti semaki bayak ode yag diguaka waktu eksekusi aka meuru sigifika. Grafik tersebut meujukka utuk jumlah ode medekati 8, maka semaki ladai betuk garisya. Hal ii berarti meujukka pegaruh jumlah ode semaki berkurag terhadap meuruya waktu eksekusi. Selajutya disajika grafik perbadiga waktu eksekusi utuk implemetasi MPI da hybrid utuk ukura matriks 2548 x 2548 da 4884 x 4884 pada Gambar 22 da Gambar 23. Sedagka pada Gambar 24, disajika grafik waktu eksekusi pada tiap matriks dega megguaka 2 thread. Jika dibadigka Gambar 22 da Gambar 23 dega Gambar 14, maka ada kesesuaia betuk yaki meuru pada setiap thread yag diguaka, amu tigkat peuruaya lebih redah dibadigka Gambar 14. Selai itu pada Gambar 22 da Gambar 23, uruta waktu eksekusi hybrid pada pegguaa 1 thread sampai 4 thread tidak sesuai dega hasil perhituga kompleksitas seperti pada Gambar 8. Seharusya semaki tiggi jumlah thread yag diguaka, semaki redah waktu eksekusi, amu tidak demikia adaya. Waktu eksekusi dega 3 thread lebih redah dari pada waktu eksekusi 2 thread, da waktu eksekusi 4 thread hampir meyamai waktu eksekusi 2 thread walaupu masih lebih redah sedikit pada 2 thread. Aomali ii terjadi karea processor pada komputer yag diguaka haya Gambar 22 Grafik waktu eksekusi utuk setiap implemetasi dega ukura matriks 2548 x Gambar 23 Grafik waktu eksekusi utuk setiap implemetasi dega ukura matriks 4884 x Gambar 24 Grafik waktu eksekusi implemetasi hybrid utuk tiap ukura matriks dega 2 thread. Berdasarka hasil perhituga kompleksitas, utuk perbadiga waktu eksekusi hybrid 1 thread dega MPI, seharusya ilai kompleksitas implemetasi MPI lebih tiggi sedikit dari hybrid 1, aka tetapi pada hasil waktu eksekusi memperlihatka sebalikya. 15

10 Kemudia dilakuka pegamata processor usage pada saat eksekusi program berlagsug. Saat eksekusi hybrid 1 thread, pada masigmasig komputer haya 1 core processor yag melakuka komputasi dega ilai usage hampir 100%. Sedagka pada saat eksekusi MPI, 2 core processor yag tersedia pada masig-masig komputer melakuka eksekusi dega ilai usage sekitar 50%. Jadi pada eksekusi MPI, komputasi didistribusika pada seluruh core processor yag tersedia. Hal iilah yag meyebabka waktu eksekusi implemetasi MPI lebih redah dibadigka dega hybrid 1 thread. Pada Gambar 24, grafik yag dihasilka sedikit berbeda dega hasil perhituga kompleksitas pada Gambar 15. Garis-garis pada Gambar 24 terlihat lebih ladai, amu secara keseluruha masih meuru seirig semaki tiggi jumlah ode yag diguaka. Grafik utuk setiap kombiasi matriks, jumlah ode, da jumlah thread yag diguaka lebih legkapya disajika pada Lampira 1. Dari Gambar 22, Gambar 23, da Gambar 24, dapat diketahui bahwa waktu eksekusi implemetasi hybrid memag sagat dipegaruhi oleh ukura matriks/vektor, jumlah ode, da jumlah thread yag diguaka. Waktu eksekusi tercepat diperoleh oleh hybrid 2 thread dega 8 ode. Secara umum pada grafik-grafik waktu eksekusi hasil percobaa MPI da hybrid, seharusya waktu eksekusi semaki meuru drastis utuk setiap peigkata jumlah ode pada ukura matriks Aka tetapi tidak demikia adaya, peurua waktu eksekusi tidak terlampau tiggi sebagaimaa mestiya. Kemudia dilakuka aalisis lebih lajut, yaitu dega dilakuka pemisaha waktu komputasi yag ada, seperti waktu distribusi matriks/vektor da waktu iterasi CG. Grafik hasil pemisaha disajika pada Gambar 25. Dari pemisaha tersebut dapat diketahui bahwa waktu iterasi CG pada kedua implemetasi jauh lebih kecil dari pada total waktu eksekusi. Berarti lamaya waktu eksekusi pada ukura matriks disebabka oleh lamaya waktu distribusi matriks/vektor. Lebih tepatya waktu distribusi matriks yag mejadi peyebab lamaya waktu eksekusi. Lamaya waktu ii lebih disebabka oleh proses I/O. Pada masig-masig komputer, haya terdapat mai memory (RAM) sebesar 1 GB, sehigga swap memory yag terdapat di hard disk dilibatka dalam proses pembacaa matriks yag berukura besar. Jadi lamaya waktu distribusi matriks dikareaka saat eksekusi berlagsug terdapat proses baca tulis ke hard disk. Gambar 25 Grafik waktu eksekusi da waktu iterasi implemetasi MPI da hybrid 2 thread utuk ukura matriks x Aalisis Hasil Speedup Berdasarka hasil waktu eksekusi, kemudia dihitug ilai speedup dari tiap-tiap implemetasi da tiap-tiap kombiasi. Grafik speedup utuk implemetasi MPI disajika pada Gambar 26. Gambar 26 Grafik speedup hasil percobaa implemetasi MPI. Jika dilakuka perbadiga atara Gambar 26 dega Gambar 16, maka aka tampak sagat berbeda. Pada Gambar 16 ilai speedup hampir medekati ilai idealya pada tiap jumlah ode, amu pada Gambar 26 ilai speedup tertiggi tidak sampai 4. Hal ii diakibatka dari waktu eksekusi yag dihasilka implemetasi MPI tidak sesuai dega hasil perhituga kompleksitas. Pada Gambar 21 semaki tiggi jumlah ode, maka semaki ladai grafikya, sehigga pada Gambar 26 semaki tiggi jumlah ode, maka speedup yag diperoleh semaki mejauhi ilai ideal. 16

11 Kemudia utuk grafik speedup implemetasi hybrid disajika pada Gambar 27 da Gambar 28. Grafik speedup utuk setiap kombiasi matriks, jumlah ode, da jumlah thread yag diguaka lebih legkapya disajika pada Lampira 2. peurua efisiesi tidak sampai 0.9, amu pada Gambar 29 peurua efisiesi sampai pada 0.2. Dari grafik ii dapat diketahui bahwa ilai efisiesi semaki meuru seirig bertambahya jumlah ode yag diguaka. Gambar 27 Grafik speedup hasil percobaa hybrid utuk setiap ukura matriks dega 2 thread. Gambar 29 Grafik efisiesi hasil percobaa implemetasi MPI. Kemudia utuk efisiesi hasil percobaa hybrid disajika pada Gambar 30 da Gambar 31. Jika kedua gambar ii dibadigka dega Gambar 18 da Gambar 19, maka efisiesi yag diperoleh juga terlihat meuru drastis sesuai dega speedup yag diperoleh. Gambar 28 Grafik speedup hasil percobaa utuk setiap implemetasi dega ukura matriks 2548 x Jika Gambar 27 da Gambar 28 dibadigka dega Gambar 16 da Gambar 17, maka terlihat perbedaaya. Seharusya speedup tertiggi diperoleh dega pegguaa 4 thread, amu tidak demikia pada hasil percobaa. Pada hybrid 4 thread, speedup yag diperoleh hampir sama dega hybrid 2 thread, sesuai dega waktu komputasi yag diperoleh. Namu begitu secara keseluruha speedup yag diperoleh semaki tiggi seirig dega bertambahya jumlah ode. Speedup implemetasi hybrid tertiggi diperoleh pada pegguaa 8 ode dega 2 thread. Aalisis Hasil Efisiesi Selajutya setelah dilakuka aalisis speedup, berikut ii pada Gambar 29 disajika grafik efisiesi dari hasil percobaa implemetasi MPI. Jika Gambar 29 dibadigka dega Gambar 17, maka jelas sagat terlihat berbeda. Pada Gambar 17 Gambar 30 Grafik efisiesi hasil percobaa hybrid utuk setiap ukura matriks dega 2 thread. Gambar 31 Grafik efisiesi hasil percobaa utuk setiap implemetasi dega ukura matriks 2548 x Seharusya semaki tiggi ukura matriks, semaki tiggi pula efisiesiya. Namu jika dilihat dari waktu komputasi, memag terdapat 17

12 aomali seperti dijelaska pada Gambar 25, sehigga efisiesi tertiggi ada pada ukura matriks Grafik efisiesi dari implemetasi hybrid lebih legkapya disajika pada Lampira 3. Secara keseluruha efisiesi yag diperoleh implemetasi MPI da hybrid, ilai tertiggi diperoleh oleh implemetasi MPI. Hal ii dikareaka speedup yag diperoleh tidak sesuai seperti yag diharapka. Efisiesi adalah ilai speedup dibagi dega jumlah processor. Pada hakikatya total seluruh processor yag diguaka utuk implemetasi hybrid adalah jumlah ode dikali jumlah thread p x t. Semaki besar kombiasi yag diguaka, semaki besar pembagi speedup utuk meghasilka ilai efisiesi, sehigga ilai efisiesi semaki kecil. Seharusya bila diimbagi dega peigkata ilai speedup, maka ilai efisiesi aka stabil, amu tidak demikia, sehigga ilai efisiesi semaki kecil. Aalisis Cost Pada hasil percobaa implemetasi MPI, ilai cost terbesar ada pada ukura matriks Grafikya cost implemetasi MPI disajika pada Gambar 32. Pada hasil percobaa hybrid, ilai cost terbesar diperoleh pada implemetasi hybrid 3 thread pada setiap ukura matriks da pada setiap jumlah ode yag diguaka. Hal ii memag wajar adaya karea waktu eksekusi yag diperoleh pada hybrid 3 thread tidak lebih cepat dari pada hybrid 2 thread da hybrid 4 thread. Berdasarka Gambar 33, dega megabaika ilai cost pada hybrid 3 thread, dapat diketahui bahwa semaki besar kombiasi ode da thread, semaki besar ilai cost yag dihasilka. Grafik cost utuk implemetasi hybrid dega kombiasi ode da thread laiya disajika pada Lampira 4. Berdasarka Persamaa 19 da Persamaa 26, seharusya ilai cost utuk setiap jumlah ode yag diguaka dega ukura matriks tetap, idealya ilaiya hampir tetap atau meigkat amu kecil, tetapi tidak demikia dega ilai cost hasil percobaa. Hal ii terjadi karea tigkat peurua waktu eksekusi seirig dega semaki besar jumlah ode yag diguaka yag sagat dipegaruhi oleh waktu distribusi matriks. Aalisis otal Parallel Overhead Gambar 32 Grafik cost hasil percobaa implemetasi MPI. Gambar 34 Grafik overhead hasil percobaa implemetasi MPI. Gambar 33 Grafik cost hasil percobaa utuk setiap implemetasi dega ukura matriks 2548 x Gambar 35 Grafik overhead hasil percobaa utuk setiap implemetasi dega ukura matriks 2548 x

13 Pada Gambar 34 da Gambar 35 disajika grafik overhead utuk implemetasi MPI da hybrid. Dari Gambar 34 dapat diketahui bahwa utuk implemetasi MPI, ilai overhead pada semua matriks semaki besar seirig bertambahya jumlah ode da ilai overhead tertiggi ada pada ukura matriks Sedagka pada Gambar 35 dapat diketahui bahwa ilai overhead semaki tiggi seirig dega semaki tiggiya kombiasi jumlah ode da thread yag diguaka dega pegecualia pada hybrid 3 thread. Berdasarka hasil perhituga Persamaa 20 da Persamaa 27, seharusya ilai overhead memag megalami keaika, amu tidak sebesar seperti yag terlihat pada Gambar 34 da Gambar 35. Hal ii sesuai dega yag terjadi pada ilai cost, karea memag ilai cost da overhead salig berkaita. Grafik overhead implemetasi hybrid lebih legkapya disajika pada Lampira 5. Kesimpula KESIMPULAN DAN SARAN Dari hasil pembahasa dapat disimpulka bahwa: 1. Waktu eksekusi metode CG utuk semua implemetasi semaki meigkat seirig dega semaki besarya ukura matriks yag diguaka. Sebagai cotoh: Implemetasi sekuesial secara berturutturut utuk ukura matriks 1000, 2548, da 4884 dibutuhka waktu sebesar 4.47, da detik. Implemetasi MPI dega 4 ode secara berturut-turut utuk ukura matriks 1000, 2548, da 4884 dibutuhka waktu sebesar 2.52, 12.57, da detik. Implemetasi hybrid 2 thread dega 4 ode secara berturut-turut utuk ukura matriks 1000, 2548, da 4884 dibutuhka waktu sebesar 2.12, 9.87 da detik. 2. Waktu eksekusi metode CG pada implemetasi MPI meuru dibadigka dega waktu eksekusi implemetasi sekuesial. Waktu implemetasi MPI juga semaki meuru seirig dega semaki besar jumlah ode yag diguaka. Sebagai cotoh utuk ukura matriks 2548, secara berturut-turut pada implemetasi sekuesial, MPI dega 1, 2, 3, 4 ode dibutuhka waktu 28.94,28.44,17.79,14.40,12.57 detik. 3. Waktu eksekusi metode CG pada implemetasi hybrid meuru dibadigka dega waktu eksekusi implemetasi MPI. Waktu eksekusi implemetasi hybrid juga semaki meuru seirig dega semaki besarya kombiasi ode da thread yag diguaka. Sebagai cotoh: Utuk ukura matriks 2548, secara berturut-turut pada implemetasi MPI dega 2 ode, hybrid 1 thread, 2 thread dega 2 ode dibutuhka waktu 17.79, 19.07, Utuk ukura matriks 4884, secara berturut-turut pada implemetasi MPI dega 4 ode, MPI dega 5 ode, hybrid 2 thread 4 ode, hybrid 2 thread 5 ode dibutuhka waktu 29.37, 24.32, 18.95, Pegaruh bertambahya jumlah ode da jumlah thread yag diguaka terhadap peurua waktu eksekusi pada implemetasi CG MPI da CG hybrid secara keseluruha semaki berkurag. 5. Nilai speedup tertiggi didapatka pada implemetasi hybrid 2 thread, karea sesuai dega jumlah core processor pada komputer yag diguaka. Nilai speedup semaki bertambah seirig dega bertambahya jumlah ode da thread yag diguaka, amu ilai speedup yag diperoleh baik pada implemetasi MPI maupu hybrid dapat dikataka jauh dari ilai ideal yaitu sebesar p. 6. Nilai efisiesi tertiggi didapatka pada implemetasi MPI. Nilai efisiesi semaki meuru seirig dega bertambahya jumlah ode da thread yag diguaka, amu masih jauh berbeda dari ilai efisiesi yag didapat dari hasil perhituga yaitu atara Nilai cost tertiggi didapatka pada implemetasi hybrid 3 thread. Nilai cost yag didapat semaki besar seirig dega bertambahya jumlah ode da thread yag diguaka. Seharusya ilai cost yag diperoleh berdasarka hasil perhituga ilaiya cederug tetap pada setiap jumlah ode da jumlah thread. Hal ii disebabka oleh waktu eksekusi yag tidak sesuai sebagaimaa mestiya berdasarka hasil perhituga kompleksitas. 19