METODA ITERATIF PADA PERMASALAHAN MENARA HANOI

Transkripsi

1 Jural Matematika Vol.6 No.1 November 2006 [ 19 : 23 ] METODA ITERATIF PADA PERMASALAHAN MENARA HANOI Erwi Harahap, Farid H Badruzzama, M. Yusuf Fajar Jurusa Matematika, Uiversitas Islam Badu, Jala Tamasari o. 1 Badu erwi2h@yahoo.com, faridhbadruzzama@yahoo.com, myusuffajar@yahoo.com Abstrak. Berikut ii merupaka suatu telaah meeai kasus teka-teki ya dikeal dea ama Meara Haoi ya dikemukaka oleh Eduard Lucas, seora ahli matematika Peracis pada tahu Teka-teki ii berdasarka pada leeda teta Meara Brahma ya memiliki tia tia da 64 cakram terpasa pada salah satu tia. Ide utama pemecaha kasus teka-teki ii adalah meetuka bayakya lakah ya diperluka utuk memidahka 8 cakram pada teka-teki Lucas, dari tia satu ke tia laiya dea atura bahwa cakram dea ukura ya lebih kecil tidak boleh ditempatka pada cakram ya berukura lebih besar. Solusi akhir dari pemecaha kasus ii adalah diperoleh pola tertutup utuk meetuka bayakya lakah pemidaha cakram. Kata kuci: meara haoi; relasi berula; rekursif. 1. Meara Haoi Berikut ii adalah sebuah kasus ya telah serikali dikaji oleh para ahli matematika, da solusi dari permasalaha ii merupaka ide dasar dari relasi berula. Solusi akhir ya diperoleh dalam kasus ii, saat teratu pada solusi utuk kasus ya pali sederhaa dari masalah ya sama. Perhatika kembali sebuah teka-teki kecil ya asli ya diamaka Meara Haoi, ditemuka oleh ahli matematika peracis Edouard Lucas pada tahu Ide dasar teka-teki tersebut adalah diberika sebuah meara dea delapa cakram tersusu beruruta dari ukura kecil ke ukura besar pada salah satu dari tia tia ya tersedia. A B C Gambar 1. Tia tia dea delapa cakram pada salah satuya Tujua dari teka-teki ii adalah memidahka seluruh cakram pada tia satu ke tia laiya, dea ketetua pidahka haya satu cakram pada satu satua waktu da tidak meempatka cakram dea ukura ya lebih besar besar diatas cakram ya berukura lebih kecil. Lucas meemukaka teka-tekiya berdasarka pada leeda meeai sebuah meara ya saat besar, Meara Brahma, dimaa diperkiraka memiliki 64 cakram emas muri terpasa pada salah satu dari tia tia berlia. Pada saat dimulaiya waktu, kata lucas, tuha meempatka cakram-cakram emas ii pada tia pertama da memeritahka kepada sekelompok pedeta utuk memidahkaya ke tia ketia, berdasarka pada atura pemidaha ya telah diuraika sebelumya, yaitu tidak meempatka cakram ukura besar diatas cakram dea ukura ya lebih kecil. Masalah meeai teka-teki Lucas atau jua leeda Meara Brahma, tidak dea tiba-tiba memperoleh suatu solusi, aka tetapi pemikira sederhaa meyakika kita bahwa hal itu muki saja terjadi. Selajutya mucul sebuah pertayaa : Apa ya terbaik ya dapat 19

2 20 Erwi Harahap dilakuka? Yaitu berapa bayak lakah ya dibutuhka da cukup memeuhi utuk meyelesaika tuas tersebut. Cara utuk mejawab pertayaa tersebut adalah dea sedikit memperluas likup permasalaha. Meara Brahma memiliki 64 cakram da meara haoi haya memiliki 8 cakram, selajutya pertimbaka apa ya aka terjadi apabila terdapat buah cakram. Salah satu peikata dari perluasa likup permasalaha ii adalah bahwa kita dapat meukur permasalaha ya jauh lebih sederhaa. Pada keyataaya, suatu permasalaha ya kompleks da rumit aka dapat dipecahka dea cara melihat pada permasalaha ya kecil atau sederhaa terlebih dahulu. Adalah mudah utuk dimeerti bahwa terdapat suatu cara utuk memidahka haya satu atau dua cakram pada sebuah tia ke tia laiya. Melalui sejumlah percobaa sederhaa dapat ditujukka bayakya cara utuk memidahka tia buah cakram pada sebuah tia. Lakah-lakah utuk meyelesaika permasalaha ii adalah meealka otasi ya tepat. Misal otasi T adalah bayakya lakah miimum dalam memidahka cakram dari satu tia ke tia laiya berdasarka pada atura Lucas. Dea demikia T 1 diperoleh yaitu, da T1,... (1) T2 3,... (2) T1, karea haya terdapat satu cara utuk memidahka sebuah cakram dari satu tia ke tia laiya. Utuk 2 buah cakram, maka aka terdapat 3 lakah dalam memidahka keseluruha cakram pada satu tia ke tia laiya. Kita jua bisa dapatka ilai T utuk suatu ilai laiya dea bebas, dea mempertimbaka hal terkecil ya ada, jelas bahwa utuk = 0, maka T0 0,... (3) karea sama sekali tidak ada lakah ya diperluka utuk memidahka atar tia dea jumlah cakram 0 atau tidak ada cakram sama sekali. Seora ahli matematika ya cerdas tidak aka merasa malu utuk berpikir kecil, karea pola umum aka terasa mudah utuk dipahami ketika kasus ekstrim dapat dea mudah dipahami, walaupu kasus ekstrim tersebut saat pedek, sederhaa da dakal. Selajutya, dea mecoba merubah cara pada da coba utuk berpikir luas, baaimaa caraya memidahka tia dea ukura besar yaitu dea jumlah cakram ya lebih bayak. Percobaa dea tia cakram meujukka bahwa aasa terbaik utuk memidahka dua cakram teratas adalah dea memidahkaya ke tia teah, kemudia pidahka cakram terakhir ke tia laiya da pidahka dua cakram tersisa tadi ke tia tersebut. Ii aka memberika petujuk utuk memidahka cakram pada pola umum. Cara atau lakah-lakah ya dapat dilakuka adalah pertama pidahka - 1 cakram terkecil dari suatu tia ke tia ya teah (dari tia A ke tia B) da hal ii aka memerluka lakah sebayak T lakah, kemudia pidahka cakram terbesar, hal ii aka memerluka satu lakah pemidaha, da akhirya pidahka kembali - 1 cakram terkecil ke tia ya memuat cakram terbesar, hal ii aka memerluka lakah sebayak T Jural Matematika Vol.6 No.1 Nopember 2006

3 Metode Iteratif Pada Permasalaha Meara Haoi 21 lakah lai. Dea demikia kita dapat memidahka cakram, utuk suatu ilai > 0, dalam kira-kira 2T lakah: 1,... (4) 1 utuk 0 Pertidaksamaa diatas meuaka simbol sebaai peati =, ii terjadi karea aalisis kita haya membuktika bahwa terdapat 2T lakah, da itu baru merupaka syarat cukup. Belum ditujukka bahwa 2T merupaka syarat perlu. Selajutya harus dilakuka suatu cara baaimaa membuat lakah ya lebih sikat. Aka tetapi adakah cara ya lebih baik? kelihataya tidak ada. Pada suatu lakah tertetu kita harus memidahka cakram terbesar. Pada saat dilakuka pemidaha, - 1 cakram terkecil seluruhya harus berada pada satu tia, da hal itu berarti telah meambil lakah pemidaha sebayak T -1 lakah. Kita bisa memidahka caram terbesar lebih dari satu kali, jika tidak seda dalam keadaa darurat. Aka tetapi setelah memidahka cakram terbesar utuk ya terakhir kaliya kita harus memidahka - 1 cakram terkecil (dimaa jua harus pada satu tia) kembali ke tia ya memuat cakram terbesar, ii jua aka memerluka lakah pemidaha sebayak T -1 lakah. Maka, 1,... (5) 1 utuk > 0. Berdasarka pada (3), (4), da (5), diperoleh : utuk > 0. T0 0, 1,... (6) Perhatika bahwa (6) berlaku utuk T 1 = 1 da T 2 = 3. Percobaa kita dea kasus kecil tidak haya membatu utuk meemuka pola umum, tetapi jua memberika cara mudah utuk memeriksa bahwa kita belum melakuka lakah ya salah. Persamaa (6) dapat dikataka sebaai sebuah perulaa (relasi rekursif). Hal ii memberika batasa ilai da sebuah persamaa utuk kasus umum dari kasus sebelumya. Relasi berula meijika kita utuk meetuka ilai T utuk suatu ya diharapka. Aka tetapi tidak seorapu bear-bear meyukai mehitu dalam suatu relasi berula, ketika ilai mejadi saat besar, karea hal tersebut memerluka waktu proses ya saat paja. Relasi berula haya memberika iformasi tak lasu. Solusi atau ilai akhir dari suatu relasi berula aka membuat kita lebih merasa lea. Oleh karea itu, setiap ora lebih meyukai suatu rumus atau pola ya catik, rapi, da tertutup utuk T ya membawa kita berhitu dea cepat, bahka utuk ya saat besar sekalipu. Dea model atau pola tertutup, kita dapat memahami berapa sebearya ilai dari T. 1 Jural Matematika Vol.6 No.1 Nopember 2006

4 22 Erwi Harahap 2. Metoda Iteratif Salah satu cara ya muki utuk meyelesaika relasi berula adalah dea meebak solusi ya bear melalui metoda iteratif, kemudia dicoba utuk membuktika bahwa tebaka tersebut mema bear, da harapa terbaik dalam meebak solusi adalah dea melihat kembali pada kasus sederhaa. Selajutya, uaka iterasi berikut : T0 0, T1 2T0 1 2(0) 1 1, T2 2T1 1 2(1) 1 3, T3 2T2 1 2(3) 1 7, T4 2T3 1 2(7) 1 15, T5 2T4 1 2(15) 1 31, T6 2T5 1 2(31) 1 63, T T (63) T 2 1 Berdasarka pada pola iterasi, maka pola umum tertutup ya muki adalah : T 2 1,...(7) utuk 0 da setidakya ii berlaku utuk 7 Iduksi matematika merupaka cara umum utuk membuktika bahwa suatu peryataa meeai suatu bilaa bulat adalah bear utuk setiap o. Pertama aka dibuktika peryataa ketika memiliki ilai tekecil yaitu o. Selajutya aka dibuktika peryataa utuk > o, asumsika bahwa hal tersebut telah terbukti berlaku utuk semua ilai ya termasuk diatara o da - 1. Ii diamaka iduksi. Beberapa pembuktika memberika beberapa hasil tak terhia dea haya sejumlah ya terhia saja ya bekerja. Relasi berula saat tepat dipasaka dea iduksi matematika. Dalam hal ii, sebaai cotoh (7) dapat diperoleh dea mudah dari (6). Basis adalah trivial, karea T, da iduksi bekerja utuk > 0 apabila kita asumsika bahwa (7) berlaku ketika diatika dea - 1 Jural Matematika Vol.6 No.1 Nopember 2006

5 Metode Iteratif Pada Permasalaha Meara Haoi 23 T 1 2T 1 1 2(2 1) Dea demikia (7) berlaku utuk setiap dimaa Peutup Berdasarka metoda iteratif, maka pola relasi berula utuk mehitu bayakya lakah utuk memidahka cakram pada kasus meara haoi dapat diselesaika dea meuaka pola umum. Pola relasi ula ya berhasil disusu pada peyelesaia pecaria bayakya lakah pemidaha cakram adalah 1 Dimaa merupaka bayakya cakram ya aka dipidahka. Rumus ii cukup efektif utuk ilai ya cukup kecil, amu tidak efektif utuk ilai ya saat besar, kecuali jika perhitua dilakuka dea meuaka komputer. Akhirya melalui metoda iteratif dapat ditemuka pola umum T sehia perhitua dapat dilakuka dea cepat. Referesi [1] Graham, Roald L. (1990). Recurret Problems. Cocrete Mathematics, 1: 1 16., Addiso-Wesley. [2] Johsobauh, Richard. (1993). Solvi Recurret Relatios. Discrete Mathematics, 5: , Macmilla. [3] Rose, Keeth H. (1999). Reccuret Relatios ad Solvi Recurret Relatios. Discrete Mathematics ad Its Applicatios, 5: , McGraw-Hill Jural Matematika Vol.6 No.1 Nopember 2006