Algoritma Branch and Bound pada Permasalahan 0-1 Knapsack

Transkripsi

1 Algoritma Brach ad Boud pada Permasalaha 0-1 Kapsack Sady Socrates ( ) Program Studi Tekik Iformatika 2008, Istitut Tekologi Badug Jl. Gaesha 10, Badug ABSTRAK Kapsack, sebuah permasalaha kombiasi di maa dibutuhka sebuah optimasi dalam pegambila barag dega ilai da berat, da dibutuhka kombiasi pegambila barag dega ilai terbesar tapa melebihi sebuah batas berat tertetu. Permasalaha ii serig mucul dalam alokasi sumber daya dega keuaga yag terbatas. Permasalaha 0-1 Kapsack merupaka variasi masalah dari Kapsack dimaa jumlah barag yag diperbolehka haya 0 atau 1. Salah satu cara yag dapat diguaka utuk mapatka hasil yag optimal dari Permasalaha 0-1 Kapsack adalah algoritma Brach ad Boud yag melibatka poho bier utuk memodelka permasalaha 0-1 Kapsack. Kata kuci: Kapsack, kombiasi, Brach ad Boud, poho 1. PENDAHULUAN Dari berbagai masalah yag serig mucul dalam kehidupa kita, optimasi selalu mearik utuk diperbicagka. Dalam pemrograma, optimasi pu memiliki tempatya tersiri. Baik itu mejadi masalah yag harus dipecahka, maupu keharusa dalam membuat program yag optimal. Kapsack adalah salah satu masalah yag serig mucul dalam kasus optimasi da kombiatorial. Kapsack siri terdiri dari beberapa varia, yaitu 0-1Kapsack, Kapsack Terbatas, da Kapsack Tak Terbatas. Ada berbagai macam algoritma yag dapat diguaka utuk memecahka masig- masig varia, da yag aka kita bahas pada tulisa ii adalah Algoritma Boud ad Brach yag diguaka utuk mejawab permasalaha 0-1 Kapsack. Algoritma Boud ad Brach siri adalah algoritma yag diguaka utuk mejawab berbagai masalah optimasi, terutama pada optimasi diskrit da kombiasioal. 2. Dasar Teori Teori dasar yag diguaka utuk membahas masalah: 2.1 Permasalaha Kapsack Permasalaha kapsack atau rucksack adalah permasalaha optimasi kombiatorial, ilustrasiya adalah : Diberika sekumpula barag, masig-masig dega berat da ilai, kita harus dapat meetuka jumlah dari masig-masig barag utuk dimasuka dalam sebuah wadah sehigga total beratya kurag dari sama dega berat yag telah ditetuka, da total ilaiya harus sebesar mugki. [1]. Permasalaha ii serig mucul dalam alokasi sumber daya dega daa yag terbatas. Permasalaha yag sama juga mucul dalam kombiatorik, teori kompleksitas, kriptografi, da matematika terapa. Pertayaa yag dapat mecermika permasalaha kapsack adalah dapatkah ilai palig sedikit V dapat dilewati dega berat W? Jika kita memiliki buah barag, dari 1 sampai. Masig-masig i barag memiliki ilai p i da berat w i. Dega asumsi berat tidak ada yag egatif. Da berat maksimum yag bisa ditaha oleh tas adalah W. Maka kita bisa meggambarka 3 variasi masalah kapsack sebagai berikut Permasalaha Kapsack 0-1 Merupaka permsalaha kapsack yag palig umum. Jumlah tiap barag i maksimum adalah 1. Jadi pada jawaba dari optimasi jumlah barag i tiap omorya haya bisa 0 atau 1. Modelya : Maksimum dari i=1 x i p i (1) Dega i=1 w i x i W, x i {0,1} (2) Permasalaha Kapsack Terbatas Jumlah tiap barag i maksimum adalah b i. Modelya : Maksimum dari i=1 x i p i (3)

2 Dega i=1 w i x i W, x i {0,1,, b i } (4) 3. Pembahasa Permasalaha Kapsack Tak Terbatas Jumlah tiap barag i tidak dibatasi. 2.2 Algoritma Brach ad Boud Brach ad Broud sagat mirip dega backtrackig pada poho utuk memecahka permasalaha. Perbedaaya adalah metoda brach ad boud tidak membatasi cara kita dalam melitasi poho da haya diguaka dalam permasalaha optimasi. Metode brach ad boud meghitug sebuah agka pada sebuah ode utuk meetuka apakah ode itu mejajika atau tidak. Agka yag didapat merupaka batas harga pada sebuah solusi yag bisa didapatka dega memperluas daerah luar ode. Jika batas yag didapatka tidak lebih baik dari harga dari solusi terbaik yag ditemuka sebelumya, maka ode itu tidak mejajika.[2] Diluar itu, maka ode mejajika. Karea harga optimal adalah miimum pada beberapa masalah da maksimum pada masalah laiya. Dega kata lebih baik kita maksudka lebih besar atau lebih kecil tergatug masalahya. Seperti pada kasus algoritma backtrackig, brach ad boud pada umumya bersifat ekspoesial, bagaimaapu utuk hal-hal yag besar algoritma ii sagat efisie. Algoritma backtrackig utuk memecahka 0-1 Kapsack sesugguhya adalah algoritma brach ad boud juga. Karea pada algoritma itu, fugsi yag mejajika meghasilka hasil yag salah jika harga dari batas kurag dari ilai maksimum semetara. Bagaimaapu juga sebuah algoritma backtrackig tidak megguaka keutuga sebearya dari brach ad boud. Selai megguaka batas utuk meetuka apakah sebuah ode mejajika atau tidak, kita bisa membadigka batas dari ode yag mejajika da megujugi aak dari ode dega batas yag palig baik. Dega cara ii kita bisa mapatka hasil optimal dega lebih cepat dari pada megujugi seluruh ode. Pekata ii disebut best-first search with brach-adboud pruig. Pekata ii merupaka modifikasi dari breadth-first search with brach ad boud pruig. Breadth-first search pada poho adalah cara pecaria pada poho dega megujugi akar, kemudia seluruh aak di tigkat 1, kemudia seluruh aak di tigkat 2, sampai aak di tigkat. Aak dikujugi dari kiri ke kaa. Utuk melihat implemetasi algoritma brach ad boud pada 0-1 kapsack kita bisa lihat pada breadth-first search with brach ad boud pruig da best-first search with brach ad boud pruig. 3.1 Breadth-First Search with Brach ad Boud Pruig Misalka diberi persoala 0-1 Kapsack dega =4 da W==16, serta Tabel 1 Cotoh Permasalaha 0-1 Kapsack Barag- i p i w i p i/ w i 1 40$ 2 20$ 2 30$ 5 6$ 3 50$ 10 5$ 4 10$ 5 2$ Pada cotoh di atas, barag telah diurut megecil sesuai dega p i/ w i dega megguaka breadth-first search with brach ad boud pruig cara kita megerjaka adalah : -membuat poho bier yag berisi kemugkia kombiasi barag pada ode. -Mejadika berat da keutuga sebagai berat total da keutuga total dari barag yag telah dimasuka dalam ode. -Megecek apakah sebuah ode mejajika atau tidak dega melihat boud da berat total. Jika ode ada pada level i da ode pada level k adalah ode yag membuat berat>w, maka berattotal= berat + batas= (keutuga + (5) k 1 j=1+1 w j (4) k 1 j=i+1 p j ) + (W berattotal)x p k w k Node tidak mejajika jika batas kurag dari sama dega keutuga maksimal semetara. Da ode juga tidak mejajika jika berat W (6) Ilustrasi dari poho yag dihasilka dapat dilihat pada gambar 1.

3 0/0/115 40/2/115 0/0/ Best-First Search with Brach ad Boud Pruig 70/7/ /17/0 70/7/80 80/12/80 70/7/70 Gambar 1. Poho bier dari proses breadth-first search with brach ad boud pruig Keteraga: a/b/c, a=keutuga b=berat c=batas 90/12/98 40/2/98 100/17/0 90/12/90 40/2/50 30/5/82 80/15/82 30/5/40 Hasil optimasi diberi wara abu-abu. Node palig atas adalah akar (0,0), ode di bawahya diberi level i (1 sampai 4). Dari kiri ke kaa diberi omor j (1 da seterusya)u. Jadi ode 40/2/115 disebut ode (1,1) da (0/0/82) disebut ode (1,2). Node dega berat lebih dari W maka batasya aka diisi 0 da aak-aakya tidak perlu diperiksa, perhatika ode (3,1) da (4,3). Algoritma breadth-first search with brach ad boud pruig [2] procedure breadth_first_search_with_brach_ad_boud (T:state_space_tree; var best: umber); var Q : queue_of_ode; u,v: ode; begi iitialize(q); v:=root of T; equeue(q,v); best:= value(v); while ot empty (Q) do dequeue(q,v) for each child u of v do if value(u) is better tha best the best:=value (u) ; if boud(u) is better tha best the equeue(q,u) ; 0/0/60 Pada umumya, strategi breadth-first-search tidak memiliki keutuga dari backtrackig. Tapi kita bisa meigkatka pecaria kita dega megguaka batas tidak haya utuk meetuka apakah ode itu mejajika atau tidak. Setelah megujugi semua aak dari sebuah ode, kita bisa melihat ode maa saja yag mejajika utuk dikujugi. Igat kembali bahwa ode yag mejajika adalah ode yag memiliki batas yag lebih baik dari solusi semetara. Dega cara ii, serig kita dapat meemuka solusi optimal lebih cepat dari pada dega megecek satu persatu. Sebagai cotoh, jika kita megerjaka soal yag sama dega cotoh pada breadth-first search with brach ad boud pruig. Berattotal da batas kita hitug dega cara yag sama, da cara peggambara per ode juga sama. Hasil pu sama yaitu ode yag diberi wara. Tapi hasil yag diperoleh adalah seperti di bawah 70/7/ /17/0 70/7/80 40/2/115 0/0/115 0/0/82 90/12/98 40/2/98 100/17/0 90/12/90 40/2/50 Gambar 2. Poho bier dari proses best-first search with brach ad boud pruig Keteraga: a/b/c, a=keutuga b=berat c=batas Lagkah-lagkah yag dilakuka utuk mapatka poho di atas adalah : 1. Kujugi ode (0,0) (akar) Masuka keutuga da berat mejadi $0 da 0 Hitug batasya dega rumus (5) yag telah diberika Set solusi semetara (maxprofit)=0 2. Kujugi ode (1,1) Hitug keutuga da berat mejadi $40 da 2

4 Karea beratya 2 da kurag dari sama dega 16, da keutuga lebih dari maxprofit, maka maxprofit = $40 Hitug batasya mejadi $ Kujugi ode (1,2) Hitug keutuga da berat mejadi $0 da 0 Hitug batasya mejadi $82 4. Meetuka ode yag mejajika, ode yag belum dikembagka dega batas terbesar Karea ode (1,1) memiliki batas $115 da ode (1,2) memiliki batas $82, ode (1,1) adalah ode yag belum dikembagka dega batas terbesar, maka (1,1) ode yag mejajika. Kareaya kita aka megujugi aak-aakya 5. Kujugi ode (2,1) Hitug keutuga da beratya mejadi $70 da 7 Karea beratya 7 kurag dari sama dega 16, harga W, da keutugaya kebih besar dari $40, harga maxprofit, maka maxprofit = $70 Hitug batasya mejadi $ Kujugi ode (2,2) Hitug keutuga da beratya mejadi $40 da 2 Hitug batasya mejadi $98 7. Meetuka ode yag belum dikembagka yag mejajika dega batas terbesar Node yag didapat adalah (2,1). Kareaya kita aka megujugi aak-aakya. 8. Kujugi ode (3,1) Hitug keutuga da beratya mejadi $120 da 17 Mejadika (3,1) sebagai ode yag tidak mejajika karea beratya lebih besar dari 16, harga W, dega mejadika batas= 0$ 9. Kujugi ode (3,2) Hitug keutuga da beratya mejadi $70 da 7 Hitug batasya mejadi $ Meetuka ode yag belum dikembagka yag mejajika dega batas terbesar Node yag didapat adalah (2,2). Kareaya kita aka megujugi aak-aakya. 11. Kujugi ode (3,3) Hitug keutuga da batasya mejadi $90 d 12 Karea beratya 12 kurag dari sama dega 16, harga W, da keutugaya kebih besar dari $70, harga maxprofit, maka maxprofit = $90 Pada tigkat ii, ode (1,2) da (3,2) mejadi tidak mejajika karea batasya $82 da $80 kurag dari sama dega $90, harga dari maxprofit yag baru Hitug batasya mejadi $ Kujugi ode (3,4) Hitug keutuga da beratya mejadi $40 da 2 Hitug batasya mejadi $50 Meetuka bahwa ode ii tidak mejajika karea batasya, $50, kurag dari sama dega $90, maxprofit. 13. Meetuka ode yag belum dikembagka yag mejajika dega batas terbesar Tiggal satu ode yag belum dikembagka, ode yag mejajika adalah ode (3,3). Maka kita aka megujugi aak-aakya. 14. Kujugi ode (4,1) Hitug keutuga da beratya mejadi $100 da 17 Meetuka bahwa ode (4,1) tidak mejajika karea 17 lebih besarsama dega 16, harga W. 15. Kujugi ode (4,2) Meghitug keutuga da beratya mejadi $90 da 12 Meghitug batasya mejadi $90 Meetuka bahwa ode (4,2) tidak mejajika karea batasya $90 kurag dari sama dega $90, harga maxprofit. Dau dari poho secara otomatis mejadi tidak mejajika karea batas mereka tidak dapat melebihi maxprofit. Karea sudah tidak ada ode yag belum dikembagka da mejajika. Maka proses selesai da maxprofit = $90. Dega lagkah-lagkah ii, maka jumlah ode yag harus kita periksa berkurag dari17 pada breadth-first search mejadi 11 pada best-first search. Da utuk kasus dega skala yag lebih besar, perbedaa yag terlihat aka semaki besar. Walaupu begitu tidak ada jamia bahwa ilai best yag keluar di tegah adalah optimasi dari permasalaha 0-1 Kapsack. Sehigga tetap saja proses ii harus ditelusuri sampai akhir. Pada peerapaya, best-first search aka lebih baik megguaka atria prioritas (priority queue). Pada priority queue, eleme dega prioritas tertiggi selalu dihilagka pada proses selajutya. Pada best-first search eleme dega prioritas tertiggi adalah ode dega batas terbaik. Algoritma best-first search with brach ad boud pruig [2] procedure best_first_search_with_brach_ad_boud (T:state_space_tree; var best: umber);

5 var PQ : priority_queue_of_ode; u,v: ode; begi iitialize(pq); v:=root of T; best:= value(v); isert(pq,v); while ot empty (PQ) do remove(pq,v) if boud(v) is better tha best the for each child u of v do if value(u) is better tha best the best:=value (u) ; if boud(u) is better tha best the isert(pq,u) ; [3] Jea Clause, Brach ad Boud Algorithms -Priciples ad Examples Departmet of Computer Sciece, Uiversity of Copehage, 4-19 [4] , Brach ad Boud 20ad%20Boud.htm (Taggal akses: 19 Desember 2009, pukul WIB) [5] , Brach ad Boud (Taggal akses: 19 Desember 2009, pukul WIB) Selai megguaka priority queue, telah ditambahka fugsi utuk meghapus ode dari priority queue, ii aka terjadi jika sebuah ode sudah diaggap tidak lagi mejajika, maka dia aka dihapus. IV. KESIMPULAN Dari seluruh pejelasa di atas, di ambil kesimpula : Kapsack adalah permasalaha kombiasi yag melibatka optimasi, da terdapat 3 variasi masalah dilihat dari jumlah tiap barag i yag ditagai. Yaitu 0-1 Kapsack, Kapsack Terbatas, da Kapsack Tak terbatas. Algoritma Brach ad Boud dalam pemecaha 0-1 Kapsack mirip dega backtrackig dalam pecaria di poho Ada dua macam Algoritma Brach ad Boud dalam masalah 0-1 Kapsack, yaitu breadth-first search with brach ad boud pruig da best-first search with brach ad boud pruig. Pemecaha masalah 0-1 Kapsack meguaka Algoritma Brach ad Boud melibatka kombiatorial, optimasi, da poho. REFERENSI [1] , Kapsack Problem, (Taggal akses: 19 Desember 2009, pukul WIB) [2] Richard E. Neapolita dkk, Foudatio of Algorithms, D.C. Heath ad Compay, 1996.