KALKULUS MULTIVARIABEL II Integral Garis Medan Vektor dan (Minggu ke-8) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia
1 Integral Garis Medan Vektor 2 Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk Integral Garis Kebebasan Lintasan
Diberikan kurva mulus pada R 2 dengan rumus parameter x = x(t) y = y(t) z = (t) a t b, dengan merupakan kurva yang terorientasi secara positif. Titik awal kurva adalah A = (x(a), y(a)) dan titik ujung kurva adalah B = (x(b), y(b)). Diperhatikan integral garis dengan bentuk f(x, y, z) dx + g(x, y, z) dy + h(x, y, z) dz dengan f, g, dan h merupakan fungsi kontinu bernilai pada.
Misal 1 F fungsi pada, dengan F(x, y, z) = f(x, y, z)i + g(x, y, z)j + h(x, y, z)k, menyatakan vektor gaya yang dikerjakan pada suatu partikel di sepanjang kurva 2 r = x(t)i + y(t)j + z(t)k menyatakan vektor posisi titik R = (x(t), y(t), z(t)) pada kurva 3 T(R) menyatakan vektor singgung satuan kurva di titik R = (x(t), y(t), z(t))
Besarnya usaha yang dibutuhkan untuk memindahkan partikel dari titik R ke titik S di sepanjang kurva dengan panjang busur RS adalah s ( s cukup kecil) mendekati (F(R) T(R)). s.
Ditinjau partisi P = {t 0, t 1, t 2,..., t n } pada [a, b] dengan a = t 0 < t 1 < t 2 < < t n = b. Partisi P membagi kurva ke dalam n kurva bagian i, dengan i merupakan kurva dengan titik awal P i 1 = (x(t i 1 ), y(t i 1 ), z(t i 1 )) dan titik ujung P i = (x(t i ), y(t i ), z(t i )).
Misalkan s i menyatakan panjang kurva i dan P menyatakan norma partisi P. Diperhatikan jumlahan Riemann berikut n i=1 (F(P i 1 ) T(P i 1 )). s i. Diperoleh bahwa besarnya usaha yang diperlukan untuk memindahkan partikel dari titik A ke titik B di sepanjang kurva adalah lim n P 0 i=1 (F(P i 1 ) T(P i 1 )). s i yang disebut integral garis medan vektor F di sepanjang kurva dari A ke B dan dituliskan dengan (F T) ds.
Dengan memperhatikan bahwa T = dr ds, integral di atas dapat ditulis sebagai F dr, dengan dr = dxi + dyj + dzk. Lebih lanjut, dengan memandang F(x, y, z) = f(x, y, z)i + g(x, y, z)j + h(x, y, z)k diperoleh bahwa F dr = f(x, y, z) dx + g(x, y, z) dy + h(x, y, z) dz. Ruas kanan persamaan di atas, dapat dikerjakan seperti mengerjakan integral garis fungsi bernilai real.
Pendefinisian integral garis medan vektor pada ruang berdimensi 2 pada dasarnya sama dengan pendefinisian integral garis medan vektor pada ruang berdimensi 3. Pendefinisian dilakukan dengan cara yang analog dengan ruang berdimensi tiga, namun dengan menghilangkan faktor z.
ontoh Soal 1 Tentukan nilai integral garis F dr, jika diketahui kurva yang diberikan oleh fungsi bernilai vektor r, dengan F(x, y) = xyi + 3y 2 j dan r(t) = 11t 4 i + t 3 j, 0 t 1. 2 Diberikan medan gaya F pada R 2 dengan F(x, y) = (x 3 y 3 )i + xy 2 j dan kurva dengan rumus parameter x = t 2, y = t 3, 1 t 0. Tentukan besarnya usaha yang diperlukan untuk memindahkan partikel dari titik awal hingga titik ujung kurva.
Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk Integral Garis Kebebasan Lintasan Terkait Lintasan Diberikan fungsi f K R 2 R (atau f K R 2 R) kontinu pada domainnya dan kurva, 1, dan 2 pada K. 1 Jika = 1 + 2, yaitu titik ujung 1 merupakan titik awal 2 (perhatikan gambar), maka f(x, y) ds = f(x, y) ds + f(x, y) ds. 1 2
Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk Integral Garis Kebebasan Lintasan Terkait Lintasan 2 Jika = 1 2 dengan 1 2 =, maka f(x, y) ds = f(x, y) ds + f(x, y) ds. 1 2
Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk Integral Garis Kebebasan Lintasan Terkait Lintasan 3 Didefinisikan kurva sebagai kebalikan dari kurva, yaitu titik awal kurva adalah titik ujung kurva dan titik ujung kurva merupakan titik awal kurva (perhatikan gambar). Diperoleh bahwa f(x, y) ds = f(x, y) ds.
Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk Integral Garis Kebebasan Lintasan Teorema Fundamental Misalkan kurva mulus sepotong-sepotong yang secara parametrik diberikan oleh r = r(t), a t b, dengan titik awal r(a) dan titik ujung r(b). Jika fungsi bernilai real f memiliki vektor gradien f yang kontinu pada suatu himpunan terbuka yang memuat, maka f(r) dr = f(b) f(a).
Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk Integral Garis Kebebasan Lintasan Definisi Integral Bebas Lintasan Diketahui F kontinu pada suatu himpunan terbuka dan terhubung D. Integral F dr dikatakan bebas lintasan jika untuk sebarang dua titik A dan B anggota D dan setiap kurva 1 dan 2 pada D yang memiliki titik awal A dan titik akhir B, berlaku 1 F dr = 2 F dr.
Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk Integral Garis Kebebasan Lintasan Teorema Terkait Kebebasan Lintasan Diketahui D himpunan terbuka dan terhubung. Misalkan medan vektor F kontinu pada D. Tiga pernyataan berikut ekuivalen. 1 F dr bebas dari lintasan dalam D. 2 Terdapat fungsi bernilai real f sehingga F(r) = f(r) untuk setiap r di D. 3 F dr = 0 untuk setiap lintasan tertutup dalam D.