BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis berupa definisi teorema sifat-sifat yang berhubungan dengan teori bilangan integer modulo aljabar abstrak masalah logaritma diskret sistem persamaan linear kompleksitas waktu asimptotik sebagai landasan teori untuk penulisan tugas akhir ini. 1 Teori Bilangan Definisi 1 Misalkan integer integer dengan menghasilkan integer dimana 0 pembagian dinotasikan (hasil pembagian dinotasikan pembagi bersama dari jika maka mod hasil gcd ( jika : Teorema 5 (Algoritme Euclidean Diberikan integer algoritme pembagian dapat dibentuk barisan persamaan berikut : 0 < < 0 < < 0 < 0 < disebut pembagi bersama terbesar (Menezes et al. 1997. oleh (sisa pembagian sehingga dikatakan sebagai pembagi bersama dari Definisi 4 Suatu integer non-negatif jika terdapat 1 maka pembagian. Sisa pembagian dinotasikan (Menezes et al. 1997. (gcd dari integer (notasi div (Menezes et al. 1997. Definisi 3 Suatu integer jika membagi. sedemikian sehingga Definisi 2 Jika integer. < < >.0Berdasarkan
gcd ( yang merupakan sisa terakhir tak nol dari proses dengan pembagian. Nilai dari menuliskan setiap dari ( sebagai kombinasi linear dari Definisi 6 Integer dapat diperoleh dengan (Lestari 2007. dikatakan prima relatif atau koprima jika gcd( 1 (Lestari 2007. 1 didefinisikan ( Definisi 7 (Fungsi- Euler Untuk banyaknya integer pada selang [1 ] yang prima relatif dengan disebut fungsi- Euler (Menezes et al. 1997.. Fungsi Teorema 8 (Sifat-sifat fungsi- Euler prima maka ( Jika Fungsi- Euler bersifat multiplikatif. Artinya jika gcd( ( ( ( 3. Jika ( 1 1 faktorisasi 1 prima sebagai produk dari kuasa prima yang khas: bilangan prima yang dari maka (Menezes et al. 1997. Fakta 9 (Teorema Dasar Aritmetika Setiap integer 1 maka berbeda 2dapat difaktorkan dimana integer positif (Menezes et al. 1997. 2 Integer Modulo Definisi 1 (Kongruensi modulo ditulis integer. jika dikatakan kongruen dengan membagi habis ( disebut modulus kongruensi (Menezes et al. 1997. Teorema 2 (Syarat-syarat Kekongruenan Untuk semua hal-hal di bawah ini benar. 1 jika hanya jika.selanjutnya ℤ mempunyai sisa yang sama jika dibagi dengan. 2 (refleksif 6
3 (simetri Jika 4 (transitif Jika 5 Jika maka. maka maka (Guritman et al. 2004. ekuivalensi integer {012 modulo sedemikian sehingga maka { } terdapat (Lestari 2007. Sistem residu tereduksi dimana gcd( 1 himpunan integer Selanjutnya setiap jika untuk setiap integer Definisi 5 (Sistem Residu Tereduksi Modulo modulo (Guritman et al. 2004.. Selanjutnya himpunan dinamakan sistem residu lengkap modulo satu hanya satu ℤ Definisi 4 (Sistem Residu Lengkap Modulo Jika disebut residu dari 1} yang dikenai operasi penjumlahan perkalian diperlakukan dalam modulo. Untuk. dinotasikan ℤ himpunan (kelas Definisi 3 Integer modulo. jika yang prima relatif dengan kongruen dengan suatu pada himpunan tersebut (Lestari 2007. Fakta 6 (Invers Misalkan ℤ. memiliki invers jika hanya jika gcd( 1 (Menezes et al. 1997. Definisi 7 (Invers Multiplikatif Misalkan modulo suatu integer ℤ sehingga ℤ Invers multiplikatif dari 1. Faktanya tidak semua anggota ℤ mempunyai invers ( belum tentu ada. Dalam hal bersangkutan ada maka dinotasikan disebut invertibel invers modulo disebut invers dari (Guritman et al. 1997. Definisi 8 (Pembagian Misalkan perkalian yang dengan modulo ℤ. Pembagian oleh yang terdefinisi jika modulo mempunyai (Menezes et al. 1997. 7
Definisi 9 Grup multiplikatif ℤ ℤ bilangan prima maka ℤ { 1 { ℤ gcd( 1}. Jika 1}(Menezes et al. 1997. gcd (. Persamaan Teorema 10 (Solusi Persamaan kongruen Misal kongruen mempunyai solusi dalam hal ini terdapat tepat modulo jika hanya jika 1; solusi ini semua kongruen solusi antara 0 / (Menezes et al. 1997. Teorema 11 (Teorema Sisa Cina Jika prima relatif satu sama lain kongruensi mempunyai solusi unik modulo mod ( (Menezes et al. 1997. (i (Teorema Euler Jika (ii Jika maka dari sistem kongruensi Teorema 2 integer. ℤ maka ( 1 Teorema 14 Misalkan untuk semua integer Jika 3. Untuk setiap integer 3 ( prima 1 maka (Menezes et al. 1997. (Teorema Fermat Jika gcd( 1 maka. produk bilangan prima berbeda jika mod dimana (Menezes et al. 1997. Teorema 13 Misalkan merupakan integer yang sembarang integer maka sistem Algoritme 12 (Algoritme Gauss s Solusi 11 dapat dihitung sebagai membagi 1. untuk semua integer. (Menezes et al. 1997. Struktur Aljabar Definisi 3.1 Operasi biner pada suatu himpunan ke yang membawa setiap ( ke suatu fungsi dari yang unik. Jadi 8
(. Karena juga berada dalam bawah operasi (Aliatiningtyas 200 memenuhi aksioma-aksioma berikut ini operasi bersifat assosiatif ( ada 3. unsur untuk setiap identitas. ada unsur (Aliatiningtyas 200 untuk ( pada sehingga. sehingga berlaku disebut grup komutatif jika operasi bersifat komutatif Definisi 3.3 Grup yaitu tertutup di dengan operasi biner disebut grup jika Definisi 3.2 (Grup Struktur aljabar maka dikatakan (Aliatiningtyas 200 Definisi 3.4 (Grup Hingga Order Suatu grup dikatakan berhingga jika banyaknya unsur berhingga. Banyaknya unsur dari grup hingga dinamakan order dari dinotasikan ℴ( (Aliatiningtyas 200 Definisi 3.5 (Order dari Unsur Grup Misalkan (notasi ℴ( integer positif grup. Jika tidak ada minimal sehingga bilangan yang demikian maka dikatakan order dari. Order tak hingga atau nol (Aliatiningtyas 200 Toerema 3.6 Berikut ini 3 sifat dasar yang berkaitan dengan pengertian order. Misalkan Misalkan grup grup ℴ( maka ada tepat 3. yaitu yang semuanya berbeda.. Jika ℴ( tak hingga maka semua kuasa dari berbeda. Artinya jika kuasa dari dua integer yang berbeda maka. Misalkan unsur dari grup hanya jika sehingga kelipatan dari ℴ(. Maka ( kelipatan jika artinya ada integer (Aliatiningtyas 2002; Guritman 2004. 9
Definisi 3.7 (Subgrup Misalkan dari jika. Maka grup grup dibawah operasi biner yang sama dengan operasi biner pada. (Aliatiningtyas 200 (Notasi : Definisi 3.8 (Grup Siklik Suatu grup hanya jika ada unsur ( berorder maka sehingga ℴ( dikatakan siklik jika disebut generator sedemikian sehingga ℤ}(Guritman 2004. Teorema 3.9 Jika grup ada siklik jika hanya jika (Guritman 2004. Teorema 3.10 (Teorema Lagrange s Jika subgrup disebut subgrup maka order dari grup hingga membagi order dari (Menezes et al. 1997; Aliatiningtyas 200 Definisi 3.11 (Ring Struktur aljabar dengan operasi disebut operasi penjumlahan operasi disebut operasi perkalian disebut ring jika memenuhi aksioma-aksioma berikut ini. 3. grup komutatif. Operasi perkalian bersifat assosiatif. Hukum distributif kiri berlaku : Hukum distributif kanan berlaku : ( (.. Unsur identitas terhadap dinotasikan dengan 0 disebut unsur nol. Selanjutnya Jika operasi perkalian bersifat komutatif ring komutatif. disebut Jika ada unsur identitas dibawah operasi perkalian (unsur ini disebut unsur kesatuan 1 dinotasikan 1 (Aliatiningtyas 200 Definisi 3.12 Misalkan ring. Himpunan bagian jika 1 1 dengan maka dari maka disingkat unkes disebut ring dengan unsur kesatuan merupakan ring dibawah operasi dalam dari ring disebut subring (Aliatiningtyas 200 10
Definisi 3.13 (Ideal Misal ring disebut ideal jika memenuhi : a. b. (. (Aliatiningtyas 200 Teorema 3.14 (Ideal Utama Misalkan 1 { ring komutatif dengan unsur kesatuan. Suatu himpunan dilambangkan yang didefinisikan sebagai dibangun oleh merupakan } ideal. Ideal yang demikian disebut ideal utama yang (Rosdiana 2009. Definisi 3.15 Misalkan tidak kosong. Himpunan bagian ring ideal dari maka koset-koset aditif dari. Definisikan dengan / penjumlahan perkalian didefinisikan : ( Teorema 3.16 / (Aliatiningtyas 200 Definisi 3.17 Fungsi R berlaku ( ( ( ( {. Operasi } (Aliatiningtyas 200 merupakan ring disebut ring faktor dari oleh dari ring R ke ring R disebut homomorfisma jika ab (a b (a (b (ab (a (b Kernel {xr (x 0 } 0 unsur nol dari. Jika ada homomorfisma yang bijektif dari R ke R maka dikatakan R isomorfik dengan R dinotasikan : R R (Aliatiningtyas 200 Teorema 3.18 Misalkan θ: R R homomorfisma ring. Maka θ(r subring dari R Ker θ ideal dari R 3. Jika N ideal dari R maka θ(n juga ideal dari R (Aliatiningtyas 200 Definisi 3.19 (Polinomial Jika parameter atas ring komutatif maka polinomial dengan diekspresikan dalam bentuk : ( 11
dimana terbesar 0. disebut koefisien dari 0 disebut derajad pada 0 maka ( 0 maka (. Jika ( disebut (polinomial ( mempunyai derajad 0. Jika semua koefisien ( disebut polinomial nol derajadnya dinotasikan. ( dikatakan Polinomial (. Integer ( dinotasikan deg ( koefisien utama (leading coeffisien dari konstan dalam monik jika koefisien utamanya 1 (Menezes et al. 1997. Definisi 3.20 ℤ [x] himpunan semua polinomial dalam peubah x dengan koefisien dalam ring ℤ merupakan sebuah ring di bawah operasi penjumlahan perkalian polinomial (Fraleigh 2000. Definisi 3.21 (Polinomial Irredusibel Misal berderajad paling kecil ( ℤ[ ] polinomial ( dikatakan irredusibel atas ℤ jika f(x tidak dapat dinyatakan sebagai produk dari dua polinomial berderajad lebih kecil dari f(x dalam ℤ [ ]. Dan dikatakan redusibel jika faktorisasinya ada (Menezes et al. 1997. Definisi 3.22 Misal polinomial tak-nol ( ℎ( ℤ [ ]. Maka dari ( ℎ( dinotasikan gcd ( ( ℎ( polinomial monik berderajad terbesar dalam ℤ [ ]yang membagi 1997. ( ℎ( (Menezes et al. Teorema 3.23 (Teorema Faktor Jika ℤ ring komutatif dengan unsur kesatuan ( ℤ[ ] berderajad 1 maka ( 0 jika hanya jika faktor dari ( (Michaels 2000. Definisi 3.24 (Field Suatu ring yang komutatif ada unkes setiap unsur tak nolnya mempunyai invers (multiplikatif disebut lapangan (field (Aliatiningtyas 200 Definisi 3.25 (Subfield Jika field operasi penjumlahan perkalian di subfield dari memuat field (sedemikian sehingga sama dengan di disebut perluasan field dari maka disebut (Pretzel 199 12
Definisi 3.26 (Finite Field Suatu field dikatakan berhingga (finite field jika himpunannya memiliki banyak elemen yang berhingga. Order banyaknya anggota (Menezes et al. 1997. Teorema 3.27 Eksistensi kekhasan finite field. Jika F finite field maka F terdiri dari unsur dengan p prima Untuk setiap prima berorder pm ada finite field yang khas berorder pm. Field ini dinotasikan dengan GF(pm (Menezes et al. 1997. Teorema 3.28 Misal field berorder bilangan prima. Himpunan integer modulo dinotasikan dengan Teorema 3.29 Unsur tak-nol ( atau ℤ (Rosdiana 2009. ( membentuk sebuah grup di bawah operasi perkalian disebut grup perkalian dari ( (Menezes et al. 1997. Teorema 3.30 untuk setiap ( dinotasikan dengan ( grup siklik yang berorder Teorema 3.31 Finite field setiap elemen (Saeki 1997. ( ( perluasan field ℤ berderajad akar polinomial tak-konstan di ℤ [.] Maka ada perluasan field sedemikian sehingga ( 0 (Fraleigh 2000. perluasan field ℤ. ( 0 untuk beberapa polinomial tak-nol atas ℤ maka 1 berlaku ( (Menezes et al. 1997. Teorema 3.32 Misalkan ℤ field misalkan Definisi 3.33 berbentuk atas dari ℤ ada disebut algebraic atas ℤ jika ( ℤ[ ]. Jika tidak algebraic ( ℤ[ ] polinomial irredusibel berderajad Maka ℤ [ ]/ ( finite field dengan order perkalian polinomial dilakukan dalam modulo ℤ ( polinomial transcendental atas ℤ (Fraleigh 2000. Teorema 3.34 Misal.. Penjumlahan ( (Menezes et al. 1997. 13
( ℤ[ ]berderajad Definisi 3.35 Suatu polinomial irredusibel polinomial primitif jika disebut ( (Menezes et al. 1997. generator dari Definisi 3.36 Misal E perluasan field dari field ℤ c E algebraic atas ℤ. Polinomial irreducible untuk c atas ℤ dari polinomial monik ( dinotasikan dengan irr(c ℤ derajad dari polinomial irreducible untuk c atas ℤ dinotasikan dengan deg(c ℤ (Rosdiana 2009. ℤ ( dengan Teorema 3.37 Misal ℤ deg unik dalam bentuk Setiap unsur 2009. Teorema 3.38 berderajad dari Diberikan ( 0 ( algebraic atas ℤ ℤ ( dapat dinyatakan secara ℤ (Rosdiana dimana polinomial ( ℤ [ ] irredusibel ℤ [ ]/ ( ℤ ( { grup field. Pada V didefinisikan aturan penjumlahan aturan perkalian skalar. disebut ruang vektor atas ℤ untuk semua }(Michaels 2000. Definisi 3.39 (Ruang Vektor Misal Untuk setiap jika memenuhi aksioma berikut. setiap tertutup terhadap perkalian : di bawah operasi penjumlahan abelian. setiap terdapat tunggal Untuk setiap 3. Untuk setiap 4. Untuk setiap 5. Untuk setiap 1 ; 1 unsur identitas di setiap ( setiap ( (... sehingga (Rosdiana 2009. Definisi 3.40 Misalkan V ruang vektor atas skalar misalkan A {v1 v2... vn} himpunan yang terdiri atas n vektor dalam V. A disebut bebas linear jika ( ni ci vi 0 ( i I {12 n} ci 0. Ingkarannya A disebut terpaut linear jika ( ni ci vi 0 j I {12 n} cj 0 (Guritman 2005. 14
Definisi 3.41 Misalkan V ruang vektor atas { } himpunan berhingga vektor-vektor di dalam V. Untuk menyatakan bahwa V ruang yang direntang oleh vektor-vektor pada himpunan B dituliskan. Artinya integer. Definisi 3.42 Misalkan V ruang vektor atas B himpunan berhingga vektor-vektor di dalam V. Dikatakan B basis untuk V jika B bebas linear V B (Guritman 2005. ℤ. Jika deg basis {1 4 ℤ maka ℤ ( ruang vektor atas ℤ berdimensi- dengan } (Rosdiana 2009. Masalah Logaritma Diskret Definisi 4.1 (Logaritma Diskret Misalkan. Logaritma diskret generator integer unik 0 (Menezes et al. 1997. Teorema 4.2 Misalkan Misal log ( algebraic atas perluasan field dari field ℤ Teorema 3.43 Misal log. dengan basis dinotasikan log 1 sedemikian generator grup siklik sebuah integer. Maka log ( grup siklik berorder (log mod (Menezes et al. 1997. hingga berorder 0 2sehingga. log mod Definisi 4.3 (Masalah Logaritma Diskret Diberikan bilangan prima generator dari ℤ ℤ. Masalah logaritma diskret menentukan (Menezes et al. 1997. Definisi 4.4 (Masalah Logaritma Diskret diperumum Diberikan grup siklik berorder generator menentukan 0 1sehingga Lemma 4.5 Jika order dari tidak kongruen modulo modulo (Lestari 2007.. Masalah logaritma diskret (Menezes et al. 1997. maka 1 saling 15
generator dari ℤ maka untuk setiap Teorema 4.6 Misalkan sehingga (Lestari 2007. ( Teorema 4.7 Setiap unsur (Rosdiana 2009. Lemma 4.8 Andaikan. Dipilih menggunakan iterasi untuk ada dibangkitkan oleh prima memenuhi ekivalen dengan akar dari persamaan : ( 1 sedemikian yang khas pada rentang 0 terdapat integer ℤ sehingga atau ( himpunan hingga diketahui ada fungsi untuk membangkitkan barisan ( untuk 0. Ada > 0 sehingga Lemma 4.9 Andaikan bahwa 1 dengan sehingga. Jika barisan menggunakan iterasi maka hasilnya akan sama dengan barisan ( ( untuk (Safaat 2007. bilangan-bilangan 0 bebas dipilih dari himpunan {1 2 }. Peluang bahwa setiap bilangan 1 berbeda 5 1 1 (Safaat 2007. Sistem Persamaan Linear Definisi 5.1 Suatu persamaan linear dalam peubah (variabel persamaan dengan bentuk dimana bilangan-bilangan real peubah. Dengan demikian maka suatu sistem linear dari dalam persamaan peubah satu sistem berbentuk : dimana semuanya bilangan-bilangan real (Leon 1998. 16
Definisi 5.2 Suatu sistem persamaan linear dikatakan homogen jika konstantakonstanta di ruas kanan semuanya nol. Sistem-sistem homogen selalu konsisten (Leon 1998. Teorema 5.3 Sistem persamaan linear homogen > taktrivial jika 6 (Leon 1998. memiliki penyelesaian Algoritme Berlekamp s Q-matrix Algoritme 6.1 Algoritme Berlekamp s Q-Matrix Input : Polinomial monik bebas kuadrat Output : Faktorisasi Untuk Bentuk matriks 3. Tentukan basis setiap 5. { ( }. Untuk 1 dalam ( d alam polinomial irredusibel monik. matriks identitas 4. ( b erderajad 0. 1 hitung polinomial untuk ruang null pada matriks (. Banyaknya faktor irredusibel pada [ ]. mod ( dengan (. lakukan langkah berikut : 5.1 Untuk setiap polinomial ℎ( degℎ( > 1 lakukan langkah berikut Hitung gcd (ℎ( 6. untuk setiap ganti ℎ( pada dengan semua polinomial hasil perhitungan gcd yang berderajad Hasilnya polinomial-polinomial F yang berupa faktor-faktor irredusibel 7 ( ( (Menezes et al. 1997. Kompleksitas Waktu Asimptotik Algoritme aritmetik yang dihasilkan dalam penelitian ini akan dianalisis dari segi fungsi kompleksitas waktu (time-complexity function yaitu sebagai fungsi untuk mengukur banyaknya operasi dalam suatu algoritme yang mempunyai variabel input. Yang dimaksud dengan banyaknya operasi banyaknya operasi dasar (jumlah kurang kali bagi ditambahkan dengan assignment perbandingan (ekspresi logika (Guritman 2004. Hal ini perlu 17
untuk mengetahui kinerja algoritme. Kinerja algoritme akan tampak untuk besar bukan pada kecil. Langkah pertama dalam pengukuran kinerja algoritme membuat makna sebanding. Gagasannya dengan menghilangkan faktor koefisien di (. Sebagai contoh andaikan bahwa kompleksitas waktu dalam ekspresi terburuk dari sebuah algoritme pertumbuhan dibandingkan 2 ( sebanding dengan 2 ( 2 suku 6 6. Suku-suku yang tidak mendominasi perhitungan pada rumus mengabaikan koefisien 2 ditulis ( ( berorder paling besar ( Teorema ( untuk 7.2 polinom derajad besar 1 menjadi tidak berarti ( dapat diabaikan sehingga kompleksitas waktu Definisi 7.1 Untuk ( (. ( ( (dibaca ( ( bila terdapat konstanta C Bila (dengan ( ( artinya ( sedemikian sehingga (Munir 200 ( maka ( ( (Munir 200 Setelah mendefinisikan fungsi ( untuk suatu algoritme kemudian dengan Tabel Oh-Besar (Menezes et al. 1997 kita tentukan order dari sebagai ukuran efisiensi algoritme yang bersangkutan. Dalam tabel berikut diberikan beberapa bentuk Oh-Besar yang sering muncul dalam aplikasi analisis algoritme (Guritman 2004. Urutan batasan lebih baik disusun dari atas ke bawah. Tabel 7.1 Oh-Besar Bentuk Oh-Besar Nama O(1 O(log2 n O(n O(n log2 n O(n2 O(n3 m O(n m 0 1 2... O(cn c > 1 O(n! konstan logaritmik linear n log2 n kuadratik kubik polinomial eksponensial faktorial 18
19