PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI

Transkripsi

1 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Konstruksi Algoritme Aritmetik (5 ) Dengan Operasi Dibangkitkan Dari Sifat Grup siklik adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis. Bogor, Agustus 2009 Ahmadi NRP G

2 ABSTRACT AHMADI. The Construction of Arithmetic Algorithms ( ) Generated by Cyclic Group Properties. Supervised by SUGI GURITMAN and NUR ALIATININGTYAS. To construct a cryptographic algorithm, many arithmetic concepts are needed. ElGamal encryption for example, can be defined over cyclic group, the usual arithmetic concepts. If the use of this arithmetic is associated with security aspect, then it requires large computational work. This thesis aims to construct arithmetic algorithm as an alternative arithmetic that can be applied to any cryptographic scheme, especially public key scheme. This algorithm is imposed (5). Thus, the procedures to construct arithmetic algorithm from finite field are as follows. The first step is to choose primitive polynomial ( ) [ ]of lower degree. The second step is to find primitive root M(α) = 0, thus the equation ( ) = 0 has a root α in (5). The resulted arithmetic algorithms (5 ): addition, are computational procedures for standard operation in multiplication, division, invertion, and exponentiation. It can be concluded that (5) are better than standard algorithms constructed arithmetic algorithms because some operations can be reduced using primitive polynomial or cyclic group properties, and using reduction of zero. Keywords: arithmetic, cyclic group, (5), primitive polynomial, cryptography.

3 RINGKASAN (5 ) Dengan Operasi AHMADI. Konstruksi Algoritme Aritmetik Dibangkitkan Dari Sifat Grup siklik. Dibimbing oleh SUGI GURITMAN dan NUR ALIATININGTYAS. Masalah keamanan merupakan salah satu aspek penting dari sebuah sistem informasi. Untuk menjamin keamanan sebuah informasi yang bersifat rahasia diperlukan suatu teknik pengamanan baik secara fisik maupun non fisik. Salah satu teknik pengamanan secara non fisik yaitu dengan mengenkripsi informasi rahasia menggunakan teknik kriptografi. Kriptografi secara terminologi dasarnya terdiri dari dua tipe yaitu kriptografi simetrik dan kriptografi asimetrik atau sering disebut sebagai kriptografi kunci publik. Kunci simetris adalah jenis kriptografi yang paling umum digunakan. Kunci untuk membuat pesan yang disandikan sama dengan kunci untuk membuka pesan yang disandikan itu. Kunci asimetris merupakan pasangan kunci kriptografi yang salah satunya digunakan untuk proses enkripsi dan yang satu lagi untuk dekripsi. Contoh algoritme terkenal yang menggunakan kunci asimetrik adalah skema yang ditemukan oleh ElGamal pada tahun Skema ini didasarkan pada pemecahan problem logaritma diskret. Keamanan algoritme ini sangat tergantung pada pemilihan bilangan prima p. Semakin besar p maka algoritme ini akan semakin aman, akan tetapi semakin besar pula beban komputasi yang digunakan. Oleh karena itu pada masa sekarang, orang sudah mulai mencari alternatif lain untuk menggantikan aritmetik modular diantaranya ( ), kurva eliptik kriptografi, aritmetik yang dibangkitkan struktur finite field dan hipereliptik kriptografi. ( ) yang pernah Sebenarnya sudah banyak sekali penelitian tentang dilakukan, diantaranya adalah paper berjudul Montgomery Multiplication in GF(2k) menunjukkan operasi perkalian =.. dalam field GF(2k) dimana r adalah unsur tetap dari field dapat diimplementasikan lebih cepat dalam perangkat lunak dibandingkan dengan operasi perkalian standar (Koc, 1998), paper berjudul Analysis and Construction of Galois Field for Efficient Storage Reliability juga menganalisis adanya implementasi berdasarkan tabel dan teknik (2) (Greenan, 2007), dan optimasi operasi perkalian dan pembagian dalam thesis berjudul Konstruksi Algoritme Aritmetik (2) Dengan Operasi Perkalian Dibangkitkan Dari Sifat Grup Siklik menyebutkan bahwa algoritme aritmetik hasil konstruksi cukup cepat dalam perhitungan komputasinya (Rosdiana, 2009). Dalam thesis ini peneliti mencoba mengkonstruksi aritmetik yang berbeda (5) dan dengan pendekatan yang sama dari dari sebelumnya yaitu aritmetik konstruksi yang telah dilakukan oleh Ibu Sri Rosdiana (2009) yaitu (5) didasarkan pada sifat bahwa mendefinisikan sekaligus mengkonstruksi (5 ) merupakan grup siklik yang dibangkitkan dari akar primitif. Penelitian ini bertujuan mengkonstruksi finite field (5) dengan memperhatikan segi kecepatan dan kapasitas memori yang digunakan. (5 ) dalam penelitian ini langkah Untuk mengkonstruksi aritmetik pertama adalah dengan memilih polinomial primitif berderajat m atas Z5, misal

4 ( ) [ ] dimana ( ) =. Langkah kedua tentukan (5 ) unsur primitifnya misal α sehingga M(α) = 0. Lalu tentukan basisnya di sebagai ruang vektor atas Z5. Adapun basis dari polinomial primitifnya yaitu {1, α1, α2,, αm-1}. Sehingga (5 ) = {. 1 }. Kemudian,,, (5) ) ( semua unsur dari 5 direpresentasikan ke dalam bentuk ruang vektor berdimensi m atas. Algoritme hasil konstruksi terdiri atas Algoritme Penjumlahan, Algoritme Perkalian, Algoritme Invers, Algoritme Pembagian, dan Algoritme Eksponensial. Dari hasil penelitian yang telah dilakukan diperoleh kesimpulan : 1) Finite (5) dikonstruksi dari polinomial primitif. Untuk mengkonstruksi field algoritme aritmetik (5 ) dipilih polinomial primitif yang bersuku terkecil, hal ini akan mengakibatkan proses komputasi yang dijalankan lebih cepat dibandingkan dengan menggunakan polinomial primitif biasa. 2) Algoritme Reduksi Nol digunakan untuk mengurangi jumlah operasi pada sebuah algoritme. Algoritme ini digunakan pada Algoritme Penjumlahan, Algoritme Penjumlahan digunakan dalam Algoritme Perkalian, Algoritme Penjumlahan dan Algoritme Perkalian digunakan dalam Algoritme Invers, dan seterusnya. 3) Algoritme Geser Satu mampu mempercepat proses kerja suatu algoritme, karena pada algoritme ini hanya mengubah strukturnya saja dan menggeser bersifat konstan. Algoritme ini digunakan pada Algoritme Perkalian, Algoritme Perkalian digunakan dalam Algoritme Invers, dan seterusnya. 4) Algoritme aritmetik hasil konstruksi tidak membutuhkan ruang yang besar sehingga cukup cepat dalam komputasinya karena yang dipakai sebagai modulo digunakan polinomial primitif bersuku terkecil, melakukan reduksi nol yang berfungsi mengurangi jumlah operasi dalam algoritme, dan operasi geser satu. Kata kunci : algoritme, grup siklik, kriptografi. (5 ), akar primitif, polinomial primitif,

5 Hak cipta milik IPB, tahun 2009 Hak cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebut sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.

6 ( KONSTRUKSI ALGORITME ARITMETIK DENGAN OPERASI DIBANGKITKAN DARI SIFAT GRUP SIKLIK AHMADI Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 )

7 Judul Tesis : Konstruksi Algoritme Aritmetik (5 ) Dengan Operasi Dibangkitkan Dari Sifat Grup siklik Nama : Ahmadi NRP : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr.Sugi Guritman. Ketua Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian : 20 Agusutus 2009 Tanggal Lulus :

8 PRAKATA Segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan segala rahmat dan karunia-nya, sehingga penulis dapat (5 ) menyelesaikan tesis yang berjudul Konstruksi Algoritme Aritmetik Dengan Operasi Yang Dibangkitkan Dari Sifat Grup siklik. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan tesis ini masih banyak terdapat kekurangan, hal ini karena peengetahuan yang dimiliki oleh penulis sangat terbatas. Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang sebesarbesarnya kepada yang terhormat 1. Bapak Dr. Sugi Guritman dan Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, MS selaku pembimbing, pendidik dan pengajar yang dengan penuh kesabaran memberikan bimbingan, arahan, nasehat serta motivasi kepada penulis. 2. Bapak Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. selaku penguji, pendidik dan pengajar yang telah memberikan saran dan kritikannya kepada penulis. 3. Departemaen Agama RI yang telah memberikan beasiswa kepada penulis untuk melanjutkan Sekolah Pascasarjana pada Institut Pertanian Bogor periode 2007 s.d Ketua Departemen, ketua Program Studi, dan seluruh staf pengajar serta staf administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang turut membantu proses penyelesaian tesis. 5. Kepala sekolah dan seluruh staf pengajar MTs At-Taqwa Gembongdadi yang turut mendoakan dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan tesis ini. 6. Istri dan kedua orang tua yang senantiasa mendoakan penulis disetiap waktu dalam menyelesaikan tesis. 7. Seluruh teman-teman yang turut membantu penyelesaian tesis. Penulis doakan semoga segala bantuan, bimbingan dan pengarahan yang diberikan mendapat ganjaran yang berlipat ganda dari Allah SWT, dan semoga tesis ini bermanfaat bagi kita semua. Amin. Bogor, Agustus 2009 Ahmadi

9 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Tegal pada tanggal 09 Januari 1980 dari ayah Kholil dan ibu Muninggar. Penulis merupakan putra kelima dari delapan bersaudara. Pendidikan dasar ditempuh di SD Negeri Karangjati 01 Tarub - Tegal lulus tahun 1993, MTs. Hasyim Ay ari Tarub lulus tahun Pendidikan atas ditempuh di SMA Hasyim Ay ari Tarub lulus tahun Pendidikan sarjana ditempuh di Jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Pancasakti Tegal lulus tahun Setelah lulus pendidikan sarjana, penulis menjadi staf pengajar di MTs. At- Taqwa Gembongdadi sebagai guru honorer sampai dengan sekarang. Pada tahun 2007 penulis mendapat kesempatan untuk melanjutkan sekolah ke jenjang yang lebih tinggi yakni Program Magister. Penulis melanjutkan belajar Program Magister pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor melalui beasiswa BUD Departemen Agama Republik Indonesia.

10 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom.

11 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL... xii DAFTAR GAMBAR... xiii DAFTAR ALGORITME. xiv DAFTAR LAMPIRAN xv BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Teori Grup Grup Siklik Grup Homomorfisme Dan Isomorphisme Ring Ring Polinomial Perluasan Field.. 10 BAB III PEMBAHASAN TEOREMA DAN LEMMA YANG DIBUTUHKAN DALAM KONSTRUKSI ARITMETIK GF(5 m ) Polinomial Minimum. 18 BAB IV KONSTRUKSI ALGORITME ARITMETIK GF(5 m ) Penjumlahan Polinomial Perkalian Polinomial Invers Polinomial Pembagian Polinomial Eksponen Polinomial 37 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA.. 40 LAMPIRAN. 41

12 DAFTAR TABEL Halaman (5) Finite Field 2. Representasi Finite Field (5)

13 DAFTAR ALGORITME Halaman 4.1 Pengetesan Polinomial Irredusibel Pengetesan Polinomial Primitif Penjumlahan Polinomial Reduksi Nol Kelipatan Vektor Geser Satu Perkalian Polinomial Negasi Vektor Pembagian Polinomial Tanpa Modulo m Invers Polinomial Pembagian Polinomial Eksponen Polinomial Modulus Bilangan Negatif 38

14 DAFTAR GAMBAR Halaman 1. Perluasan Field F (5 ) 2. Subfield dari 11 21

15 DAFTAR LAMPIRAN 1. Polinomial Primitif di dalam (5) 41

16 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah keamanan merupakan salah satu aspek penting dari sebuah sistem informasi. Untuk menjamin keamanan sebuah informasi yang bersifat rahasia diperlukan suatu teknik pengamanan baik secara fisik maupun non fisik. Salah satu teknik pengamanan secara non fisik yaitu dengan mengenkripsi informasi rahasia menggunakan teknik kriptografi. Kriptografi secara terminologi dasarnya terdiri dari dua tipe yaitu kriptografi simetrik dan kriptografi asimetrik atau sering disebut sebagai kriptografi kunci publik. Kunci simetris adalah jenis kriptografi yang paling umum digunakan. Kunci untuk membuat pesan yang disandikan sama dengan kunci untuk membuka pesan yang disandikan itu. Jadi pembuat pesan dan penerimanya harus memiliki kunci yang sama persis. Siapapun yang memiliki kunci tersebut termasuk pihak-pihak yang tidak diinginkan dapat membuat dan membongkar rahasia ciphertext. Contoh algoritme kunci simetris yang terkenal adalah DES (Data Encryption Standard). Karya ini menjadi alat keamanan komersial elektronik di banyak institusi keuangan di seluruh dunia hingga pertengahan tahun 1990-an. DES secara DES tak aman sejak juli Walaupun demikian DES telah melandasi prinsip-prinsip sandi simetrik modern yang dewasa ini muncul produk-produk penggantinya seperti : AES (Advanced Encryption Standard), Blowfish, 3DES, RC5, dan lain sebagainya. Kunci asimetrik merupakan pasangan kunci kriptografi yang salah satunya digunakan untuk proses enkripsi dan yang satu lagi untuk dekripsi. Semua orang yang mendapatkan kunci publik dapat menggunakannya untuk mengenkripsikan suatu pesan,data ataupun informasi, sedangkan hanya satu orang saja yang memiliki rahasia tertentu dalam hal ini kunci privat untuk melakukan pembongkaran terhadap sandi yang dikirim untuknya. Pada algoritme kunci publik ini, semua orang dapat mengenkripsi data dengan memakai kunci publik penerima yang telah diketahui secara umum. Akan tetapi data yang telah terenkripsi tersebut hanya dapat didekripsi dengan menggunakan kunci privat

17 2 yang hanya diketahui oleh penerima. Contoh algoritme terkenal yang menggunakan kunci asimetrik adalah skema RSA yang ditemukan oleh Rivest, Shamir, dan Adleman pada tahun Skema ini didasarkan pada problem matematika yang sulit, yaitu pemecahan masalah faktorisasi integer besar. Bentuk praktis skema kunci publik lainnya ditemukan oleh ElGamal pada tahun Skema ini didasarkan pada pemecahan problem logaritma diskret. Keamanan algoritme ini sangat tergantung pada pemilihan bilangan prima p. Semakin besar p maka algoritme ini akan semakin aman, akan tetapi semakin besar pula beban komputasi yang digunakan. Oleh karena itu pada masa sekarang, orang sudah mulai mencari alternatif lain untuk menggantikan aritmetik modular diantaranya aritmetik yang dibangkitkan struktur finite field, kurva eliptik kriptografi, dan hipereliptik kriptografi. Teori finite field mulai diperkenalkan pada abad ke tujuh dan abad ke delapan, dengan tokoh matematikanya Pierre de Fermat ( ) dan Leonhard Euler ( ) dengan kontribusinya pada khusus teori struktur finite field. Teori secara umum tentang finite field mulai dikerjakan oleh Carl Friedrich Gauss ( ) dan Evariste Galois ( ), teori ini banyak dikembangkan dalam dunia aplikasi matematika, komputer, dan teori komunikasi. Sebenarnya sudah banyak sekali penelitian tentang yang pernah dilakukan, diantaranya adalah paper berjudul Montgomery Multiplication in GF(2 k ) menunjukkan operasi perkalian dalam field GF(2 k ) dimana r adalah unsur tetap dari field dapat diimplementasikan lebih cepat dalam perangkat lunak dibandingkan dengan operasi perkalian standar (Koc, 1998), paper berjudul Analysis and Construction of Galois Field for Efficient Storage Reliability juga menganalisis adanya implementasi berdasarkan tabel dan teknik optimasi operasi perkalian dan pembagian dalam (Greenan, 2007), dan thesis berjudul Konstruksi Algoritme Aritmetik Dengan Operasi Perkalian Dibangkitkan Dari Sifat Grup Siklik menyebutkan bahwa algoritme aritmetik hasil konstruksi cukup cepat dalam perhitungan komputasinya (Rosdiana, 2009).

18 3 Dalam thesis ini peneliti mencoba mengkonstruksi aritmetik yang berbeda dari sebelumnya yaitu aritmetik dan dengan pendekatan yang sama dari konstruksi yang telah dilakukan oleh Sri Rosdiana (2009) yaitu mendefinisikan sekaligus mengkonstruksi didasarkan pada sifat bahwa merupakan grup siklik yang dibangkitkan dari akar primitif. 1.2 Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan mengkonstruksi finite field dengan memperhatikan segi kecepatan yang didasarkan pada sifat-sifat grup siklik Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai algoritme aritmetik alternatif yang dapat digunakan pada algoritme-algoritme kriptografi yang selanjutnya dapat digunakan secara luas pada bidang teknologi informasi.

19 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi, lemma, dan teorema yang berkaitan dengan pembahasan Teori Grup Definisi 2.1. Struktur aljabar grup jika memenuhi aksioma-aksioma berikut: tertutup terhadap operasi biner disebut a) Operasi biner bersifat asosiatif: a bc a b c, untuk setiap a, b, c G. b) Terdapat unsur identitas e G, untuk * pada G sehingga berlaku a e e a a untuk setiap a G. 1 c) Untuk setiap a G ada unsur a G sehingga disebut invers a terhadap operasi *). 1 1 a a a a e. ( a -1 Grup G disebut grup komutatif atau grup abelian jika operasi * bersifat komutatif yaitu: a b b a, untuk semua a, b G. Grup berhingga yaitu grup yang kardinalitasnya berhingga. Dalam hal ini kardinalitas suatu grup G disebut dengan order dari G, dinotasikan ord G O G atau G. Definisi 2.2. Jika H himpunan bagian atas grup G adalah grup di bawah operasi G, maka H subgrup dari G. Teorema 2.3. (Uji satu langkah) Misalkan G grup dan H himpunan bagian yang tak kosong atas G. Maka H adalah subgrup atas G jika H tertutup di bawah operasi pembagian; yaitu jika bilamana atau

20 Teorema 2.4. (Uji dua langkah) Misalkan G grup dan H himpunan bagian tak kosong atas G. Maka, H disebut subgrup dari G jika bilamana (tertutup terhadap perkalian), dan bilamana (tertutup terhadap invers) Sebagai contoh, Z dan Q merupakan subgrup dari R terhadap operasi. Tentu saja Z Q R dan masing-masing merupakan grup terhadap operasi yang sama yaitu. Misal G sembarang grup, a G, dan n bilangan bulat positif, maka: a n : aa... a, n kali n a : a a... a, dan = (a n ) -1 a 0 : n kali e. Jika ada bilangan bulat tidak nol m sedemikian sehingga dari unsur a, notasi sedemikian sehingga m a 5 e, maka order Oa, didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil n n a e. Jika tidak ada bilangan bulat tidak nol n sedemikian n sehingga a e, maka dikatakan a mempunyai order di tak hingga (infinity). Ringkasan 2.5. Berikut ini 3 sifat dasar yang berkaitan dengan pengertian order. 1. Jika Oa n, maka ada tepat n kuasa dari a (power of a) yang masingmasing berbeda, yaitu 0 2 n a e, a, a,..., a Jika Oa tak hingga, maka semua kuasa dari a berbeda. Artinya, jika r dan s yaitu dua bilangan bulat yang berbeda, maka a r a s. 3. Misalkan a yaitu unsur dari grup G dan Oa n. Maka t a e jika dan hanya jika t yaitu kelipatan dari n (t kelipatan n artinya ada bilangan bulat q sehingga t=nq). Definisi 2.6. Misalkan H subgrup dari grup G. Himpunan bagian atas G disebut koset kiri atas H memuat. Sedangkan himpunan bagian atas G disebut koset kanan atas H memuat.

21 Teorema 2.7. (Teorema Lagrange) Misalkan H subgrup dari grup berhingga G. Maka order dari H adalah pembagi dari order G. Teorema 2.8. Order dari unsur grup berhingga G membagi order G. Jika H merupakan subgrup dari grup G, indeks dari H di dalam G diartikan sebagai jumlah koset dari H di dalam G, notasinya G : H. 6 sedangkang : H G H 2.2. Grup Siklik Grup G disebut siklik jika dan hanya jika ada unsur a G generator) sehingga n G a a n Z. Dalam kasus G grup aditif, dapat ditulis G a na n Z. Ringkasan 2.9. (Sifat-sifat Grup Siklik) 1. Jika grup G berorder n, maka G siklik jika dan hanya jika ada a G Oa n. 2. Setiap grup siklik yaitu abelian. 3. Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik. 4. Jika G a dan b G, maka O b O a. (a disebut sehingga 5. Jika G yaitu grup siklik berorder n dan suatu bilangan bulat k n, maka ada b G sehingga Ob k. 6. Misalkan G yaitu grup abelian berorder mn dengan m dan n prima relatif. Jika G mempunyai suatu unsur a dengan G yaitu grup siklik dengan G ab. Oa m dan b dengan Ob n, maka 7. r a yaitu generator dari G a dengan G n prima relatif. jika dan hanya jika r dan n 2.3. Grup Homomorfisme dan Isomorphisme

22 Misal G dan H grup. Suatu homomorfisma (grup) dari G ke H yaitu suatu fungsi f : G H sedemikian sehingga untuk sembarang a dan b di dalam G, f a f b f ab. Bayangan (Imej) dari f, dinotasikan Im f, yaitu Kernel dari f, dinotasikan ker f, yaitu Im f f G f x x G. ker f x G f x e (secara implisit e yaitu unsur identitas dari f). Sifat-sifat dasar homomorfisma dinyatakan dalam Ringkasan berikut ini. Ringkasan (Sifat-sifat Dasar Homomorfisma) Misalkan G dan H yaitu grup, f : G H 1. f e e. homomorfisma, maka sifat-sifat berikut dipenuhi. 2. untuk setiap a G. 3. Im f merupakan subgrup dari H. 4. ker f merupakan subgrup dari G. 7 Jika homomorfisme yang bijektif, maka f disebut isomorfisme Ring Struktur aljabar dengan dua operasi biner yang paling umum yaitu Ring. Definisi Ring R adalah himpunan dengan dua operasi dan x (disebut dengan penjumlahan dan perkalian) yang memenuhi aksioma-aksioma berikut: a. R, adalah grup abelian b. Operasi adalah asosiatif : untuk setiap a, b, c R. c. Berlaku hukum distributif atas R : Untuk setiap a, b, c R memenuhi dan

23 Ring R disebut komutatif jika perkaliannya bersifat komutatif. Ring R disebut mempunyai unsur kesatuan jika terdapat unsur dengan 8 Definisi Unsur bukan nol dari Ring komutatif R disebut pembagi nol jika ada unsur bukan nol sehingga Definisi Ring komutatif dengan unsur kesatuan disebut daerah integral jika tidak memuat pembagi nol Definisi Karakteristik Ring R adalah sekurang-kurangnya integer positif sehingga untuk setiap. Jika tidak ada, R disebut berkarakteristik 0. Teorema Karakteristik daerah integral adalah 0 atau prima. Teorema Di dalam sembarang Daerah Integral D dengan karakteristik p, p p p a b a b untuk semua unsur, a b D. Definisi Field adalah suatu Ring komutatif, ada unsur kesatuan 1 dan setiap unsur tak nolnya mempunyai invers (multiplikatif) Teorema Daerah integral yang berhingga adalah field. Akibat Untuk setiap bilangan prima p, Ring Z p integer modulo p, adalah field Definisi SubRing A dari Ring R disebut ideal dari R jika untuk setiap dan setiap, dan. Teorema Misal R Ring, I R, I tidak kosong. Himpunan bagian I disebut ideal jika memenuhi: a. b. dan dan. Untuk setiap Ring R, {0} dan R adalah ideal atas R. Ideal {0} disebut ideal trivial. Misalkan R Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan dibangun oleh.. Suatu himpunan merupakan ideal. Ideal yang demikian disebut ideal utama yang

24 Definisi Suatu ideal I atas Ring komutatif R disebut ideal prima atas R jika dan sehingga dan. Suatu ideal B atas Ring komutatif R 9 disebut ideal maksimal atas R jika B adalah ideal atas R dan maka B = A atau B = R. Misalkan Ring R dan I merupakan ideal dari R. Karena R merupakan grup terhadap penjumlahan dan I subgrup dari R, maka Ring faktor dapat ditulis sebagai. Teorema Misal R Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1. I ideal maksimal dari R. Maka R adalah field jika dan hanya jika I ideal maksimal. I Definisi Suatu homomorfisma dari Ring R ke Ring ' R yaitu suatu fungsi f : R R ' yang memenuhi, berlaku : a. f a b f a f b, dan b. f ab f a f b. Jika f surjektif, maka Kernel dari f didefinisikan dan range dari f didefinisikan ' R disebut bayangan homomorfik dari R. f x R f x ker 0, ran f f x x R. Jika f homomorfisma yang bijektif, maka f disebut isomorfisma. Dalam hal ini R dan ' R dikatakan isomorfik, dinotasikan Teorema Misal f x R f x f : R R ker 0 merupakan ideal dari R. ' Ring homomorfisma. Maka Teorema R I merupakan bayangan homomorfik dari R. Teorema (Teorema dasar homomorfisme) Misalkan ' f : R R merupakan epimorfisme, dan misalkan K yaitu kernel dari f. Maka.

25 Ring Polinomial Misalkan R Ring komutatif dengan unsur kesatuan, dan x simbol yang tak tetap. Setiap ekspresi berbentuk disebut polinomial dalam x dengan. Polinomial dalam x dapat ditulis dengan dan lain-lain. Misal merupakan sembarang polinomial, derajat dari polinomial yaitu bilangan terbesar n sehingga koefisien dari bukan nol dan dinotasikan dengan deg. Polinomial yang semua koefisiennya nol disebut polinomial nol, dan dinotasikan dengan Jika polinomial maka berderajat nol dan disebut polinomial konstan. Misalkan dan perkalian polinomial didefinisikan sebagai berikut :. Operasi penjumlahan dan Dimana Dimana, Jika R Ring, maka, untuk k = 0,, mn menotasikan himpunan semua polinomial dalam x yang koefisiennya ada di R dengan operasi penjumlahan dan perkalian seperti yang didefinisikan sebelumnya. Teorema Misal R Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1. Maka R[x] merupakan Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1. Teorema Jika R adalah daerah integral, maka R[x] adalah daerah integral.

26 11 Definisi Suatu polinomial irredusibel atas F bila f(x) tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian dimana keduanya berderajat lebih rendah dari f(x). Teorema Misal F field dan Ring polinomial F x. Jika f x, g ( x) F x dengan g x 0, maka ada polinomial unik q x, r ( x) F x sehingga f ( x) q x g x r x dengan r x 0 atau derajat r x derajat g x. Teorema Misal F field, I ideal tak nol di F[x], dan unsur jika dan hanya jika Ideal merupakan polinomial tak nol berderajat terendah di I. Teorema Semua ideal dari merupakan ideal utama Teorema Misal F field dan hanya jika. ideal maksimal jika dan irredusibel atas F. Teorema ideal maksimal jika dan hanya jika field Perluasan Field Definisi Jika E field yang memuat subfield F, maka E disebut perluasan field dari F. Definisi Misal E perluasan field dari field F dan c E. c disebut algebraic atas F jika f c 0 untuk f x F x yang tak nol. F E c Gambar 1. Perluasan Field F Definisi Misal E perluasan field dari field F dan c E algebraic atas F. Polinomial monik p x merupakan polinomial irredusibel dengan akar c atas F

27 dinotasikan dengan irr c, F c atas F dinotasikan dengan deg c, F 12 dan derajat dari polinomial irredusibel dengan akar Teorema Misal F subfield dari field E, c E dan x tak tentu (indeterminate). Pemetaan : c F x E yang didefinisikan dengan n c f x f c dimana f x a0 a1 x... anx, f x F x homomorfisma. Homomorfisma c x c serta c c a a, a F. Kernel atas homomorfisma merupakan disebut homomorfisma evaluasi dan berlaku merupakan himpunan semua polinomial sehingga. Jadi, kernel berisi semua polinomial sehingga c merupakan akar dari. Misalkan kernel dinotasikan sebagai, menurut Teorema 2.25 kernel untuk setiap homomorfisma merupakan ideal, sehingga merupakan ideal dari F[x]. Menurut Teorema 2.33 setiap ideal dari F[x] merupakan ideal utama. Karena merupakan ideal utama dan berdasarkan Teorema 2.32,, dengan polinomial berderajat terendah. Dengan Definisi 2.30 mudah untuk membuktikan bahwa merupakan polinomial irredusibel. Misalkan Sehingga, dimana. Hal ini tidaklah mungkin, karena merupakan polinomial berderajat terendah di dalam. Sehingga merupakan polinomial berderajat lebih tinggi dari Maka menurut Definisi 2.30, merupakan polinomial irredusibel. Karena setiap konstanta pengali dari ada di maka monik. Sehingga dapat disimpulkan bahwa merupakan polinomial minimum dari c atas F. Lalu bagaimana dengan Range dari?

28 13 Range Dari penjelasan di atas diperoleh merupakan epimorfisme, dengan polinomial irredusibel. Dengan menggunakan Teorema dasar homomorfisme, maka polinomial irredusibel maka. Menurut Teorema 2.34, jika merupakan ideal maksimal. Dan berdasarkan Teorema 2.35 dapat disimpulkan bahwa merupakan field. Karena maka juga merupakan field. Teorema Misal F field dan p x polinomial tak konstan di F x. Ada suatu perluasan field E dari F dan unsur c di E sehingga c akar dari p x. Definisi 2.41 V himpunan, F field, operasi di V yaitu penjumlahan dan perkalian skalar. V disebut ruang vektor atas F jika memenuhi aksioma berikut: 1. Untuk setiap a, b V terdapat tunggal c V sehingga tertutup terhadap penjumlahan: a b c. 2. Untuk setiap a, b, c V a b c a b c. bersifat asosiatif: 3. Terdapat tunggal identitas 0V, untuk setiap a V a 0 0 a a. 4. Untuk setiap a V terdapat tunggal invers b V a b b a 0, b a. 5. Untuk setiap a, b V bersifat komutatif: a b b a. 6. Untuk setiap k F dan setiap a V terdapat tunggal b V tertutup terhadap perkalian: ka b. 7. Untuk setiap k F dan setiap a, b V k a b ka kb. 8. Untuk setiap k, l F dan setiap a V 9. Untuk setiap k, l F dan setiap a V, k l a ka la.,., kl a k la sehingga sehingga sehingga

29 Untuk setiap a V, 1a a ; 1 unsur identitas di F,. Definisi Misal E perluasan field dari field F. Jika E ruang vektor atas F berdimensi hingga n, maka E disebut perluasan hingga berderajat n atas F. Derajat E atas F sama dengan n dinotasikan E : F n. Definisi Jika field E dibangun oleh unsur satu c atas field F: E F c, maka E disebut perluasan tunggal dari F dan unsur c disebut unsur primitif atau akar primitif untuk perluasan. Teorema Misal E F c deg c, F dengan c E algebraic atas F, dan n, n 1. Setiap unsur dari E F c dalam bentuk b b c... b c, dimana b F x. 1 n1 0 1 n1 i dapat dinyatakan secara unik Teorema Derajat dari atas F sama dengan derajat dari polinomial minimum dari c atas F. Sebagai contoh, i merupakan akar dari polinomial irredusibel atas R[x]. mempunyai derajat 2, menurut Teorema 2.44, dengan basisnya {1, i}. Setiap unsur dalam R[i] merupakan kombinasi linear dari 1 dan i yang berbentuk dimana dan dinotasikan dengan. Teorema Misalkan merupakan polinomial irredusibel berderajat m, maka adalah finite field berderajat. Operasi penjumlahan polinomial dan operasi perkalian polinomial dilakukan dalam modulo. Teorema Misal E perluasan field dari field F dan c E algebraic atas F. Jika deg c, F 1,,..., 2 n 1 c c c. n, maka F c ruang vektor atas F berdimensi-n dengan basis

30 15 Lemma Misal basis dari ruang vektor K atas F dan basis dari ruang vektor E atas K. Maka himpunan perkalian merupakan basis dari ruang vektor E atas field F.

31 BAB III PEMBAHASAN TEOREMA DAN LEMMA YANG DIBUTUHKAN DALAM KONSTRUKSI ARITMETIK GF(5m) Teori finite field mulai diperkenalkan pada abad ke tujuh dan abad ke delapan, dengan tokoh matematikanya Pierre de Fermat ( ) dan Leonhard Euler ( ) dengan kontribusinya pada khusus teori struktur finite field. Teori secara umum tentang finite field mulai dikerjakan oleh Carl Friedrich Gauss ( ) dan Evariste Galois ( ), teori ini banyak dikembangkan dalam dunia aplikasi matematika, komputer, dan teori komunikasi. (5), langkah pertama yang Dalam melakukan konstruksi finite field dilakukan adalah dengan memilih polinomial irredusibel berderajat 5 atas Z, misalkan ( ) ϵ Z[x]. Kenapa kita memilih polinomial irredusibel f(x)? karena dengan memilih polinomial irredusibel f(x), menurut Teorema 2.35 [ ]/ ( ) ( )merupakan field. Menurut Teorema 2.39 menurut { Teorema 2.44, [ ]/ ( ),, dapat }. [ ]/ (,)sehingga ditulis Langkah sebagai selanjutnya mengetes apakah polinomial irredusibel f(x) tersebut mempunyai akar atau tidak. Hasilnya dipergunakan untuk mengkonstruksi perluasan field F. Teorema berikut menjelaskan bahwa [ ]/ ( ) ). (5 ( ) Teorema 3.1. Misal p x yaitu polinomial irredusibel berderajat n atas Z p. ( )= Bukti:,,, merupakan field. Diketahui p x yaitu polinomial irredusibel berderajat m atas Z p. Misalkan : [ ] )( yaitu fungsi yang didefinisikan ( ) = ( ) Fungsi f dibawah operasi dan merupakan homomorfisma karena ( ( ) ( )) = ( ( ) ( )) =( = ( ) ( ( )) ( ) ( )) ( ( ) ( ( )) ( )) (. )

32 15 ( ( ). ( )) = ( ( ). ( )) =( = ( ) ( ( )). ( ) Fungsi f surjektif karena ambil ( sedemikian hingga Kernel dari f yaitu ( ) = ( ) ( )) = ={ ( ) ( ( )) ( )) ( ) ) terdapat ( ( ) ( ) [ ] =0 [ }( ) = ( ) ( )).( ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) = 0} Karena fungsi f homomorfisma dan surjektif maka f epimorfisma. Selanjutnya dengan memandang Teorema Dasar ( ). Menurut Teorema 2.35 F x [ ]/ ( ) homomorfisma maka p x ( ) juga field maka terbukti field. Akibat dari teorema di atas, maka (5) sebagai berikut. sehingga diperoleh representasi 1. field 2. field 3. (5) = {, ( ) field GF(5m),, (5) = {[,,, berdimensi m }. dapat dipandang sebagai vektor dengan koordinatnya },, sehingga,, ] Misal diberikan field hingga himpunan ) (5 },, (5) dapat dipandang sebagai ruang vektor atas dengan basis standar {1, {, [ ]/ ( ) unsur-unsur kita,,, dapat menulis }. (5) dan didefinisikan (5) yaitu (5) yang bukan nol dan dinotasikan dengan (5)\{0}. Dua teorema berikut menjelaskan bahwa (5) merupakan grup siklik multiplikatif dan mempunyai generator c yang merupakan unsur primitif dari Teorema 3.2. (5). Bukti: Dari Definisi field Karena ( ) merupakan grup siklik multiplikatif ber order ( ) merupakan grup multiplikatif. Misal ( ) ber order 1 maka c i mempunyai paling banyak nilai yang berbeda. r Z dengan 1 1 sedemikian sehingga 1. () 1

33 16 c r i ci c r ci c i ci c i c r ci c i 1 (Sifat Assosiatif) cr 1. Dapat disimpulkan r Z minimum sehingga O c r. Pilih c sehingga r sebesar mungkin. Akan ditunjukkan order l dari sembarang yaitu membagi r. Untuk sembarang prima, misal r a r ' dan () l b l ' dimana r ' dan l ' tidak dapat dibagi oleh. Maka c a mempunyai a order r ', l ' mempunyai order b, dan c l ' mempunyai order b r '. Dari sini diperoleh b a atau r tidak maksimal. Dapat disimpulkan setiap pangkat prima pembagi dari l juga pembagi dari r dan l r. () Maka setiap dibagi oleh x. F * 1 x x maka p n 1 memenuhi persamaan x r 1 0. Artinya x r 1 dapat Karena 1 diperoleh 1 dan. F * Teorema 3.3. Sembarang ( ) = =,, 1.,, )(,, =1 Sehingga ( ) memuat suatu unsur primitif. 1 tetapi diperoleh primitif atau akar Bukti: ( ) field berhingga berorder Misal siklik primitif. ( ). Dari Definisi 2.43 maka c merupakan unsur primitif atau akar Karena akibatnya. Ambil c sebagai generator grup (5 ) (5) merupakan sehingga (5) = 0, 1, grup siklik (5) = = 1,,,..., polinomial, dan representasi integer dalam ( )= 2,,...,. Sebagai. Tabel berikut ini menunjukkan adanya hubungan antara representasi elemen polinomial primitif multiplikatif, maka terdapat primitif, representasi basis (5) yang dibangun oleh

34 17 Tabel 1. finite field No Elemen primitif 0 =1 ( ) Representasi Basis Integer

35 Polinomial Minimum Kenapa kita perlu membahas polinomial minimum? Karena polinomial minimum menjamin bahwa polinomial tersebut adalah irredusibel dan jika berunsur primitif merupakan polinomial primitif. polinomial primitif inilah yang (5). akan kita gunakan dalam mengkonstruksi algoritme aritmetik Definisi 3.4. polinomial minimum M x dari c atas Z p merupakan polinomial monik berderajat terendah dengan koefisien dari Z p sehingga M c 0. Teorema 3.5. Misalkan m(x) adalah polinomial minimum dengan unsur α dalam finite field GF(pm). Maka (i) m(x) irredusibel (ii) jika α akar dari polinomial f(x) dengan koefisien didalam GF (p), maka m(x) membagi f(x) (iii) m(x) membagi (iv) derajat (v) Polinomial minimum berunsur primitif dari ( ) ( ) yang berderajat m merupakan polinomial primitif. Bukti : (i) Jika m(x) redusibel, maka ( )= ( ) ( Sebagai ). akibatnya ( ) =.0 Karena tidak memuat pembagi nol, maka ( ) = 0atau ( ) = 0.Hal ini kontradiksi dengan Definisi 3.4. Sehingga dapat ( p) olinomial irredusibel. disimpulkan bahwa (ii) Dengan menggunakan algoritma pembagian, dimana derajat dari ( )= ( )lebih rendah daripada derajat ( ) = 0, ( ). = Dan 0 karena derajat dari daripada derajat (,)maka ( ).0 (iii) Dari pembuktian sifat (ii) terbukti m(x) membagi () dan (iv) Karena Ada ( )= (. Maka ) = 0 dan terdapat,, ( )lebih rendah ( ) (.) } yang tak bebas linear. = {1, 2,, sehingga } merupakan polinomial berderajat mempunyai akar c sehingga derajat ( ), ( ) (.) Karena ( ) ruang vektor berdimensi m atas 1sembarang anggota yaitu {1, ( ) yang

36 19 () unsur primitif. Menurut sifat 1, polinomial minimum (v) Misal ( )berderajat d merupakan polinomial irredusibel. Dengan Teorema ( )untuk membangun field F ber order 3.1, gunakan memuat c dan semua unsur dari ( ), maka ( ), mengakibatkan menurut sifat 4, derajat =. Karena F. Selanjutnya Dua teorema berikut menegaskan tentang eksistensi dan ketunggalan dari (5). finite field Teorema 3.6. Semua field hingga ber order adalah isomorfik. Bukti: Misal F dan G field ber order dan. Misal ( )polinomial minimum dari F ( )polinomial minimum lain dari G. Menurut Teorema 3.3, F dan G merupakan unsur primitif atau akar primitif dari F dan dari G, dan dengan Teorema merupakan polinomial primitif. Dengan Teorema 3.5.3,. ( ). Dan dari Teorema 3.5.4, derajat ( ) sehingga dengan Teorema 3.1, field F dan G dapat dianggap memuat semua polinomial dalam dan berderajat n 1, yaitu memuat polinomial modulo (.)Maka dapat dikatakan pemetaan merupakan isomorfima pemetaan F G. 1, maka ada Teorema 3.7. Untuk sembarang p prima dan bilangan bulat tunggal field ber order yang dinotasikan dengan Bukti: Misal Untuk Untuk ( ). perluasan field hingga dari = 1, GF p Z p. ( ). (.. ) > 1bentuk F1 GF p. Akan dibuktikan ( ) field yang memuat semua akar dari. Misal f1 x faktor irredusibel berderajat 2 dari atas F1. Menurut atas F2. Menurut Teorema 3.1 dengan menggunakan p x f1 x dapat diperoleh field baru F2. Misal f 2 x faktor irredusibel berderajat 2 dari Teorema 3.1 dengan menggunakan p x f 2 x dapat diperoleh field baru F3..sampai diperoleh field Fr yang unik, memuat semua akar dari.

37 20 ( )= Sehingga diperoleh: = ( ) ( ) ( ) ( ). Berikut ini merupakan Teorema dan Lemma sub field dari Lemma 3.8. Jika n, r, s bilangan bulat dengan n 1, r 1, s 1, maka n s 1 n r 1 jika dan hanya jika s r. Bukti: Misal r Qs R dimana 0 R s. Qs n r 1 nqs R 1 1 nr 1 R n. n ns 1 ns 1 ns 1 ns 1 Maka n Qs 1 selalu dapat dibagi dengan n s 1. Teorema 3.9. i) GF p r memuat sub field (isomorfik dengan ) GF p s jika dan hanya jika s r. ii) Jika c GF p r, maka c GF p s jika dan hanya jika c p c. Untuk s sembarang field jika c 2 c, maka c yaitu 0 atau 1. Bukti: i) ) Misal c GF p s merupakan unsur primitif maka c p s 1 1 sehingga O c p s 1 Karena GF p s sub field GF p r maka c GF p r sehingga c p r 1 1. Berdasarkan sifat dasar ketiga dalam Ringkasan 2.3, maka p s 1 p r 1 dan selanjutnya dengan Lemma 3.11 mengakibatkan s r. ) Misal c GF p s merupakan unsur primitif maka c p s 1 1 sehingga O c p s 1. Dengan Lemma 3.11, karena s r diperoleh p s 1 p r 1. Karena p s 1 p r 1 dan GF p s sub field GF p r akibatnya c p sehingga c GF p r. s 1 1

38 21 ii) ) Diketahui c GF p r, maka c GF p s. Dari Teorema Fermat setiap unsur c GF p s memenuhi c p c. s ) Misalkan c GF p r dan diketahui c p c. Dari i) karena GF p s sub s field GF p r maka c GF p s. = =0 ( 1) = 0. Karena merupakan Daerah Integral dan tidak memuat pembagi nol diperoleh c 0 atau. 1=0 =1 Dari teorema di atas, kita bisa mengetahui bahwa sub field dari adalah (5 ), (5 ), (5 ), dapat digambarkan sebagai berikut : (5 ), (5 ), dan (5). Secara (5 ) jelas (5 ) (5 ) (5 ) (5 ) (5) (5 ) Gambar 2. Subfield dari (5 ) Untuk mencari polinomial monik dan irredusibel dalam teorema berikut ini. Teorema (5) digunakan =perkalian semua polinomial monik, irredusibel atas Z p yang derajatnya membagi m. Bukti: ) Misal M x polinomial irredusibel atas Z p berderajat d, dimana. Untuk kasus M x x trivial. Asumsi M x x. Gunakan M x untuk membuat field, maka M x merupakan polinomial minimum. Misalkan dan dari Teorema3.5.3: ( ) ( )=. Dengan memandang Lemma

39 22 3.8, karena 1 maka 1. Oleh karena itu 1 ) Misal M x pembagi dari ( ) Akan ditunjukkan. Asumsi. 1 dan., polinomial irredusibel, dan berderajat d. ( ) ( ) 1 1. Gunakan M x field GF p d ber order p d. Misal c GF p d akar dari untuk membuat M x dan GF p d merupakan unsur primitif dapat dinyatakan a0 a1c a2 c 2... ad 1c d 1 M x Karena c akar dari. maka =. (*) (menurut Teorema 2.44) ( )=0 maka = 1. Dari (*) dan Teorema 2.16: diperoleh =0 = =0 a b = Berdasarkan sifat dasar ketiga dalam Ringkasan 2.5 maka p = ap bp = 1. pd 1 pn 1. Selanjutnya dengan Lemma 3.8 diperoleh d n. Dari teorema di atas kita dapat mencari polinomial irredusibel dan polinomial (5) sebagai berikut : monik dalam Untuk =1 ( )= Untuk = = ( =2 ( )= = ( ( = = ( = 1)( 2)( 3)( 4 2)( 4 4) 3)( 2 ( 3)( 1)( ( 2)( 4 = ( ( 2)( 2 Dan seterusnya = 3)( ( 4) = ( 3)( = 4)( 1)( 1)( 4) 4) ( 4) 1)( 4) 4)( 1)( 1)( 4) 2)( 1)( 3 3 4)( 4)( 2)( 4 2) 4)( 3) 1) 2)

40 23 Untuk memeriksa bahwa polinomial yang diperoleh merupakan polinomial irredusibel dan polinomial primitif digunakan dua teorema berikut ini. Teorema Jika p adalah prima dan m adalah intejer positif, maka berlaku : 1) Produk dari semua polinomial irredusibel monik dalam Ζp[x] yang derajatnya membagi m atau faktor dari m sama dengan. 2) Misalkan f(x) adalah polinomial berderajat m dalam Ζp[x], maka f(x) ( ), irredusibel atas Ζp[x] jika dan hanya jika setiap 1 Bukti : = 1, untuk. Untuk 1) Misalkan f(x) polinomial irredusibel atas Ζp berderajat m, dimana kasus f(x) = x trivial. Asumsi ( ).Gunakan f(x) untuk membuat field GF(pm), maka f(x) merupakan polinomial minimum. Misalkan ( ) = ( ) dan dari Teorema maka Lemma 3.8 dan karena maka 1. Dengan memandang 1 1 dan 1. Dengan demikian ( ) 1. Asumsi ditunjukkan bahwa ( ) ( ) 1. Gunakan f(x) () adalah akar () merupakan unsur primitif maka menurut Teorema dari f(x) dan 2.43 dapat dinyatakan sebagai adalah akar dari f(x), maka. = = 1. Dari (*) dan Teorema 2.17 maka ( =0 = ( )=0. )= = (*). Karena α =0. Selanjutnya berdasarkan Lemma 3.8 maka diperoleh. 2) Berdasarkan Teorema ), bahwa setiap intejer positif membagi k. Jadi = sehingga diperoleh : Berdasarkan sifat ketiga pada Ringkasan 2.5 maka polinomial. Sebaliknya misalkan untuk membuat field GF(pm) ber order pm. Misalkan =, polinomial irredusibel dan berderajat m. Akan f(x) pembagi dari. = , maka adalah produk dari semua irredusibel monik berderajat (, ( )) adalah pasti produk dari semua faktor linear f(x). Jika f(x) tidak mempunyai faktor linear maka (, ( ))

41 24 adalah pasti produk dari semua faktor irredusibel quadratik dari f(x). Jika f(x) tidak irredusibel maka harus dapat dibagi oleh beberapa polinomial /2 dan jika g(x) adalah faktor irredusibel berderajat paling banyak /2. Jadi irredusibel dari f(x) berderajat minimum (misalkan k), maka (, ( )) 1. Hal ini kontradiksi dengan Sebaliknya jika f(x) adalah irredusibel, maka untuk setiap 1 cukup dites pengandaian., ( ) = 1,. Jadi untuk mengetes f(x) adalah irredusibel, hal ini, ( ) = 1 untuk setiap intejer positif 1. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa f(x) adalah irredusibel Teorema Misalkan p adalah bilangan prima dan misalkan mempunyai faktor-faktor prima yang berbeda dari pm-1 adalah r1, r2,, rt maka polinomial irredusibel 1 ( ) berlaku ( )[ ] adalah 1( Bukti : primitif jika dan hanya jika untuk setiap ( )) 1 adalah Misalkan p adalah bilangan prima dan misalkan faktorisasi dari r1, r2,, rt, dimana r1, r2,, rt adalah polinomial irredusibel atas GF(p)[x]. Akan dibuktikan bahwa jika x adalah unsur primitif atas GF(pm)* maka berlaku ( ) untuk setiap 1 1 Misalkan d dinotasikan order dari x. Kita tahu bahwa d adalah pembagi dari 1 dan x adalah primitif jika dan hanya jika Pertama, andaikan bahwa 1 1/ sehingga pasti ( ) untuk 1 1 dan < 1( dan juga 1. ( )) untuk beberapa i, maka jelas bahwa 1. Sebaliknya, andaikan bahwa 1)/. Dengan demikian kontradiksi dengan pernyataan bahwa 1. Karena d adalah pembagi dari 1 maka terdapat polinomial irredusibel ri dimana 1 sedemikian sehingga ri adalah pembagi dari ( adalah pembagi ( = 1)/. Tetapi ini berakibat bahwa d 1 ( ) 1( ( )). Hal ini

42 BAB IV ( ) KONSTRUKSI ALGORITME ARITMETIK (5) dapat Seperti yang telah dijelaskan dalam Bab III, bahwa direpresentasikan ke dalam bentuk polinomial dan vektor. Demi kemudahan komputasi dalam tesis ini digunakan representasi vector. Berikut ini diberikan ilustrasi operasi penjumlahan dengan representasi vektor. Misalkan diberikan vektor ( )= 2 3 ( ) = 22 (0 2) dan 3 vektor =(0, 1, 2, 3) sebagai representasi dari =(2, 2, 3, 1) sebagai reprentasi dari (5), maka dalam =(0, 1, 2, 3) (2, 2, 3, 1) = (5,1 2) (5,2 3) (5,3 1) 5 = (2, 3, 0,. 4) Untuk mengkonstruksi aritmetik GF (5m) dalam penelitian ini langkah pertamanya adalah dengan memilih polinomial primitif berderajat m atas Z5, misal ( ) [ ] dimana ( )= sehingga diperoleh unsur primitif α dengan M(α) = 0. Kemudian, tentukan basis dari GF(5m) sebagai ruang vektor atas Z5, yaitu {1, α1, α2,, αm-1}. Dengan demikian, diperoleh (5 ) = { himpunan Kemudian semua unsur dari vektor berdimensi m atas,,, }. (5) (5 ) direpresentasikan ke dalam bentuk ruang. Tabel berikut ini menunjukkan adanya hubungan antara representasi elemen primitif, representasi basis polinomial, representasi vektor penta, dan representasi integer dalam (5 ) yang dibangun oleh polinomial primitif ( )= 2 Tabel 2. Representasi finite field No. 1 Elemen primitif 0 () Representasi Basis Vektor penta Integer 0 (0, 0) 0

43 =1 1 (1, 0) 1 (0, 1) 5 34 (3, 4) (2, 4) (2, 3) (4, 4) 24 2 (2, 0) 2 2 (0, 2) (1, 3) (4, 3) 19 4 (4, 1) 9 33 (3, 3) 18 4 (4, 0) 4 4 (0, 4) 20 2 (2, 1) 7 3 (3, 1) 8 32 (3, 2) 13 1 (1, 1) 6 3 (3, 0) 3 3 (0, 3) (4, 2) (1, 2) (1, 4) (2, 2) 12 Bagaimana memilih polinomial primitif? Sebagaimana telah dijelaskan sebelumnya, polynomial primitif adalah polinomial irredusibel yang akarnya adalah generator dari GF(5)*. Oleh karena itu, diperlukan pemilihan polinomial

44 27 irredusibel terlebih dahulu. Sesuai dengan Teorema 3.14, diperoleh Algoritme pengetesan polinomial irredusibel sebagai berikut : Algoritme 4.1. Pengetesan polinomial irredusibel Deskripsi : Mengetes Vektor Apakah Irredusibel atau Redusibel Input : Vektor A Output : True atau False = ( /2)dibulatkan ke bawah 1. a = banyaknya unsur A 1, 2. W = [0, 1] 3. Untuk I dari 1 sampai m, lakukan secara berulang : 3.1. W = W pangkat 5 modulo A 3.2. U= Jumlahkan W dengan [0, 4] menggunakan algoritme H = FPB(U,A) 3.4. h = banyaknya unsur H 3.5. jika h > 1, maka return(false) 4. Return (True) Setelah kita mendapatkan polinomial irredusibel, kemudian memeriksa apakah polinomial irredusibel yang didapatkan tersebut merupakan polinomial primitif atau bukan. Untuk memeriksa polinomial irredusibel adalah primitif, digunakan Algoritme 4.2. Berdasarkan Teorema 3.15 diperoleh Algoritme 4.2 sebagai berikut :

45 28 Algoritme 4.2. Pengetesan polinomial primitif Deskripsi : Mengetes Vektor Irredusibel Apakah Primitif atau Bukan Input : Vektor A Output : True atau False 1. m = banyaknya unsur A 1, h = 5m 1 2. F = faktorkan h 3. a = banyaknya unsur F 4. Untuk i dari 1 sampai a, lakukan secara berulang 4.1. k = h/i 4.2. H = [0, 1] pangkat k modulo A 4.3. Jika H = [1], maka return(false) 5. Return(True) Untuk mempercepat komputasi, dipilih polinomial primitif yang bersuku (5) terkecil. Hal ini sangatlah beralasan, sebab operasi pada finite field dilakukan dalam modulo f(x), dimana f(x) merupakan polinomial primitif. Dengan memilih polinomial primitif bersuku terkecil akan mengakibatkan proses komputasi yang dijalankan lebih cepat dibandingkan dengan menggunakan polinomial primitif biasa. Adapun polinomial primitif yang sudah diperoleh dapat dilihat di Lampiran I. 4.1 Penjumlahan Polinomial Seperti telah dijelaskan di atas, solusi yang digunakan di sini dengan menggunakan representasi vektor penta. Misal diberikan dua sembarang fungsi polinomial ( )= dan ( )= maka bentuk field penjumlahannya adalah sebagai berikut : Fungsi =[, =[, ( ) ( ) =( polinomial,,,, ], a(x) sedangkan )( ) direpresentasikan fungsi ( sebagai polinomial b(x) ) vektor penta sebagai vektor ]. Operasi penjumlahan yang digunakan di sini yaitu instruksi

46 29 xor. Sebagai contoh, diberikan sembarang fungsi polinomial 2 4 ( ): ( ): ( )=2 dan = [3, 2, 2, 0, 4] ( ) = 32. Maka bentuk representasi vektor penta dan bentuk representasi vektor penta = [2, 0, 0, 0, 1]. Untuk menghemat pemakaian ruang yang besar dalam komputasi, maka dilakukan reduksi nol pada vektor A atau B. Pada contoh di atas, vektor A dan vektor B memiliki elemen yang sama, maka penjumlahannya sebagai berikut : C = AB = [(32) mod 5, (20) mod 5, (20) mod 5, (00) mod 5, (41) mod 5] = [0, 2, 2, 0, 0]. Setelah diperoleh Vektor C, kemudian dilakukan reduksi nol sehingga : = [0, 2, 2]. Algoritme 4.3. Penjumlahan polinomial Deskripsi : Menambahkan vektor A dan B dalam modulo 5 Input =[ : Vektor,,,,, ] intejer positif m Output : Vektor =[, ], 1. Tentukan vektor A, dan vektor B 2. Jika 3. Jika B= [0], maka C = A 4. =[, vektor,, ], dan =[0], maka C = B Jika s=t, maka 4.1. ) ={[( }5] ) 5, ( ) 5,, ( 4.2. Lakukan reduksi nol dengan menggunakan algoritme Jika s < t, maka 5.1. ={[( Lainnya 6. Return (C) = {[( ) ) 5, ( 5, ( ) ) 5,, 5,, ]}5 5]} Pembentukan Algoritme 4.3. ini didasarkan pada Teorema Keistimewaan Algoritme ini adalah pada setiap melakukan operasi selalu melibatkan Algoritme Reduksi Nol. Algoritme Reduksi Nol dapat mengurangi

47 30 jumlah operasi pada konstruksi algoritme-algoritme aritmetik berikutnya sehingga secara otomatis akan mampu mempercepat proses komputasi. Hal ini mengakibatkan banyaknya operasi pada Algoritme 4.4 ini dapat diminimalkan sehingga akan mempercepat proses komputasinya. Algoritme 4.4. Algoritme Reduksi Nol Deskripsi : Mereduksi nol pada posisi sebelah kanan Input : Vektor T dan bilangan posotof t. Output : Vektor 1. T = R, t = banyaknya unsur T 2. Untuk j selama T[t] = 0 dan t >1, lakukan berulang 2.1. Ganti unsur ke-j dari vektor T dengan himpunan kosong 2.2. t = t Return (R) Algoritme Reduksi Nol di atas jika digunakan pada sebuah algoritme dapat mengurangi jumlah operasi pada algoritme itu sendiri sehingga secara otomatis akan mampu mempercepat proses komputasi. Cara kerja Algoritme ini adalah menghilangkan anggota sebuah vektor yang terletak di sebelah kanan dan bernilai nol. 4.2 Perkalian Polinomial Dua algoritme berikut ini yaitu Algoritme 4.5 dan Algoritme 4.6 digunakan untuk menunjang Algoritme Perkalian sehingga proses komputasi yang digunakan akan lebih baik daripada melakukan perkalian biasa. Algoritme 4.5. Kelipatan vektor Deskripsi : Mengalikan vektor A dengan skalar n Input : Vektor Output : Vektor =[,,, ], dan intejer positif 1. Jika n = 0, maka return([0]) 2. Jika n = 1, maka return(a) 3. Selainnya 4. Return (C) =( ) 5 {0, 1,..., 4}