ESTIMSI MISSIG DT DM MUTIRIT BERDSRK DT G TERMTI Hutrisah S.M Sitohag, Pro. I Ktut Budaasa, Ph.D. Jurusa Matatika, Fakultas Martatika da Ilu Pgtahua la, UES Kapus Ktitag 603,Surabaa Eail : hutrisa-sitohag@ahoo.co.id,ktutbudaasa@ahoo.co BSTRK Missig data adalah iorasi ag tidak trsdia dala sbuah subk atau kasus. Foa issig data baak dijupai dala survi. Baak hal ag babka trjadia issig data. Shigga trkadag bbrapa pihak trttu gabaika, ghapus sbagia variabl ag gadug issig. Mgigat data sagat ahal da brharga, aka plitia ii, duga paratr ag buat ugsi liklihood aksiu utuk data ag sluruha traati da juga diaati sbaak aggota sbagai sapl (dga <), dga gguaka data traati aka ilai harapa brsarat data tidak traati juga aka aksiu. lgorita EM adalah salah satu tod ag agai kasus issig. Ktika algorita EM ghasilka ilai pduga paratr aka pduga paratr trsbut rupaka ilai tuggal ag ttap. Kata kuci : Missig data, Maksiu liklihood, lgorita kspktasi aksiu (EM).. PEDHUU Prasalaha issig data rupaka prasalaha ag sudah ucul sjak laa. Missig data prtaa kali diprkalka olh Orchard da Woodbur (97). Missig data rupaka iorasi ag tidak trsdia dala sbuah subk atau kasus. Dala Statistical Packag or Th Sosial Scic (SPSS) issig data adalah adaa sl sl kosog pada satu atau bbrapa variabl. Baak hal ag babka trjadi issig data, sprti pralata ag tidak brugsi dga baik, ksalaha kais, polaka dari rspod utuk jawab kuisior, da tidak adaa jawaba dari stiap prtaaa ag spsiik shigga tidak gtahui variabl ag diprasalahka. Prisip issig data tlah baak ditrapka utuk lsaika brbagai asalah prdiksi da pduga paratr. Baak ahli atatika plajari ttag prluasa kosp trsbut. Salah satua pada jural statistik ag brjudul ot O Th Missig alu Pricipl d Th EM-lgorith For Estiatio d Prdictio I Saplig Fro Fiit Populatios With Multioral Suprpopulatio Modl ag disusu olh S. Zacks dari., US da Josar Rodriguz dari Brazil Th Uivrsit o Sao Paulo. Brdasar jural trsbut skripsi ii bahas gai stiasi issig data dala ultivariat brdasarka data ag traati. Brtujua utuk gstiasi ugsi liklihood utuk sluruh data traati da data sbaak data sapl traati shigga pduga paratra aksiu.. Modl liir brdistribusi oral utuk ugsi liklihood pada data traati sbaak dga <. Tulisa ii rupaka hasil ragkua da kolaborasi dari disi da tora pada subr [4]da [8].. KJI PUSTK Pada bab ii aka dibahas gai bbrapa disi, tod ag aka diguaka sbagai ladasa tori pada pbahasa.. Missig Data Missig data adalah iorasi ag tidak trsdia utuk sbuah subk (kasus). Dala Statistical Packag or th Social Scic (SPSS) issig data adalah adaa sl-sl kosog pada satu atau bbrapa variabl. Tujua data issig utuk prdiksi da dapatka cara pggatia suatu ilai kostata trhadap ilai ag issig.. Pola issig data da bbrapa jis pola data issig aitu :
pola data issig uivariat, pola ultivariat orspo, pola data issig ooto, pola data issig tapa strutur khusus, pola atchig pattr, pola aktor aalisis..3 susi kais issig data itll da Rubi (987) gklasiikasi kais issig data dala tiga hal aitu: Missig Copltl at Rado (MCR), Missig at Rado (MR), da o-igorabl..4 Modl rgrsi liir ultivariat Modl rgrsi liir p Jika ditulis dala btuk atriks : p p p p p p ii adalah vktor pgaata ag trdiri atas populasi. Diaa vktor trsbut diaati sbaak- dga brarti ag tidak traati sbaak -. Shigga vktor da dapat dipartisi sbagai brikut : Diaa : da.5 Maksiu liklihood stiator Mtod ME (Maiu iklihood Estiator) adalah suatu tod paksira paratr ag dapat diguaka utuk aksir paratr suatu odl ag diktahui distribusia. Sbagaiaa diktahui bahwa taksira paratr lalui tod ME adalah lakuka turua parsial ugsi liklihood trhadap paratr ag aka ditaksir., diasusika Misal odl liir brdistribusi oral aka ugsi liklihood data traati adalah pada Diaa, stiasi ugsi liklihood (ME) dari, aka aksiu jika = ˆ, dga ˆ..6 lgorita EM lgorita (EM) rupaka tod ag diguaka utuk uka paratr-paratr aiu liklihood dari distribusi hipua data ag diktahui, jika hipua data trsbut icoplt atau puai ilai ag hilag (issig valu).. Pada bbrapa prasalaha data icoplt, distribusi data lgkap (coplt) dapat dihitug dga : P P P Prsaaa diatas dga ilai dapat dituliska sbagai brikut : l log P c l, dga c adalah kostata sbarag. Johso da Wichr (00) ataka bahwa EM algorita trdiri atas tahap prdiksi (prdictio stp) tahap stiasi (stiatio stp) da tahap aksiu (aiatio stp). Subatriks brordo Subatriks Subatris Subatriks brordo brordo brordo.7 Turua atriks Jika vktor da vktor
3 Maka didiisika : Bbrapa siat turua atriks :. Jika aka da. Jika atriks prsgi da shigga da 3. Jika atriks sitri aka shigga 3. PEMBHS Pada pbahasa brikut bbrapa prasalaha aka dibahas aitu gstiasi ugsi liklihood utuk sluruh data traati shigga pduga paratra aksiu, gstiasi ugsi liklihood jika sbaak data sapl traati da gstiasi ugsi liklihood data ag tidak traati 3. Mgstiasi Fugsi iklihood Utuk Sluruh Data Traati. Pada tora brikut aka dibuktika jika data ag diguaka traati sluruha brdistribusi oral ktika suatu populasi traati sluruha, da kudia dicari pduga paratr ag buat ugsi liklihood aksiu. Tora 3. Jika dibrika ugsi liklihood ag brdistribusi oral diaati sbaak, aka pduga paratr aka aksiu jika ˆ. Utuk dapatka ˆ aka dicari ugsi liklihood dga galika trhadap logarita atural, diprolh sbagai brikut : l l l l l l (3..) Slajuta cari ilai pduga ag akiuka ugsi liklihood trsbut. Dilakuka dga uruka parsial trhadap paratr, kudia prsaaa hasil turua disaadgaka ol. Utuk turua parsial l trhadap paratr adalah : l l ME diprolh jika 0 l atau 0 Brdasar siat turua atriks aka Kara atriks sitris aka juga sitri.jadi. Dga dikia,
Diprolh prsaaa karatristik : 0 ii kival dga : Maka,. Jadi, pduga paratr ag aksiuka ugsi liklihood adalah : ˆ. Dga dikia tora trbukti. 3. Mgstiasi Fugsi iklihood Jika Sbaak Data Sapl Traati Misalka dari populasi ag braggotaka sbaak, tidak suaa traati. Brarti ada data ag tidak traati atau hilag ( issig ). Misalka data ag traati haa sbaak dga <. Brarti ag tidak traati sbaak. Shigga vktor da dapat dipartisi sbagai brikut : Fugsi liklihood dari, didasarka atas subatriks pgaata adalah : Tora 3. Fugsi ˆ aka aksiu jika ˆ dga. alog dga bukti tora 3. Tora brikut adalah kspktasi (ilai harapa ) subvktor acak jika dibrika subvktor da. Tora 3.3 E, B, diaa da B Fugsi padat pluag dala adalah : da 4, K dga K K K K K, shigga, / a, K dga a. Dga dikia, E K, Kara a B da E, B aka Dga dikia tora trbukti., 3.3 Mgstiasi ugsi liklihood data ag tidak traati jika dibrika data trati. Dari pduga pada tora 3. da ilai harapa dibrika da pada tora p 3.3, kita diisika suku barisa sbagai brikut : p ( ) p B p Diaa atriks ag tria sbarag bilaga. Slajuta klai : Jika aka : (3..5)
Bukti (3..5) tlah dibuktika dala pplid Multivariat Statistical alsis [4, hal. 70] olh Johso da Wichr. Didisika vktor ag tri tria adalah ugsi dala sbagai brikut : Jlas bahwa liit dari barisa H B p p adalah titik ttap dari ugsi utuk H. Slajuta aka ditujukka bahwa pduga dari titik ttap ugsi Tora 3.4 H ˆ H adalah tuggal aitu ˆ. adalah tuggal. Bukti: Misalka Q Maka, Q Sbuah titik (ilai) rupaka sbuah titik ttap jika da haa jika : Q B Ii kival dga : Q B Slajuta dari (3..5) diprolh: Shigga, ˆ adalah titik ttap ag tuggal da kovrg k. Dga dikia tora trbukti. 4. PEUTUP 4. Sipula Brdasarka ruusa asalah da hasil pbahasa sblua, diprolh bbrapa ksipula sbagai brikut :. Mgstiasi ugsi liklihood utuk sluruh data traati shigga pduga paratra aksiu dapat diprolh dga tod aksiu liklihood.. Pduga paratr utuk sluruh data traati da ag sbagia traati trata brbda. 3. Utuk gstiasi ilai harapa brsarat dibutuhka data traati da paratr. p 4. iit dari barisa p adalah titik ttap dari ugsi titik ttap ugsi utuk H da pduga dari H adalah tuggal. 4. Sara Dala plitia ii pulis haa bahas ttag gstiasi paratr ag buat ugsi liklihood aksiu dga gguaka aiu liklihood da pdkata algorita EM. Bagi para pbaca ag trtarik gbagka dapat gguaka tod lai. DFTR PUSTK [] drso, T.W. Itroductio To Multivariat Statistical alsis. Scod Editio. [] Dpstr,. P., aird,.m da Rubi, D.B. (977) Maiu iklihood Fro Icoplt Data ia Th EM lgorith (with discssio). Joural o th Roal Statistical Socit, Sris B, -38.49-6. [3] Howll, David. C..Pgobata Data Hilag. (Oli),(il:///E:/scic%0dirc%0issi% 0valu/hub/pgobata%0dt%0hilag.ht) (diakss 3 Mart 0). [4] Johso, Richard.. da Wichr, Da W. pplid Multivariat Statistical alsis, Sith Editio. Madiso : Uivrsit o Wiscosi ad Tas & M Uivrsit. [5] itt, R.J. ad Rubi, D.B (00). Statistical alsis Missig Data. Wil Sris i Probabilit ad Statistic. Wil-Itrscic [Jho Wil & Sos], Hobok, J, Scod Editio. [6] Maa, Hill, Tapa tahu. SPSS Missig alu alsis 7.5. (Oli),(http://www. spss.co ) (diakss si, 8 oktobr 0). [7] Schar, J.. (997) alsis o Icoplt Multivariat Data. Chapa & Hall, odo.dpartt O Statistics Th Pslvaia Stat Uivrsit US. [8] Zacs, S. Da Rodriguz, Josar. (986) ot O Th Missig alu Pricipl d Th EM-lgorith For Estiatio d Prdictio I Saplig Fro Fiit Populatios With Multioral Suprpopulatio Modl. Joural O Th Roal Statistics & Probabilit ttrs 4 (986) 35-37 orth Hollad. 5