KEKONVERGENAN PADA RUANG BERNORMA DAN RUANG HASIL KALI DALAM WINA DIANA 055400597 Taggal Sidag: 04 Februari 0 Periode Wisuda: Februari 0 Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Sulta Syarif Kasim Riau Jl. HR. Soebratas No.55 Pekabaru Diberika orma, (,. ) ABSTRAK, hasil kali dalam, (..,. ) ruag hasil kali dalam da diberika. X ruag berorma. Tujua dari tugas akhir ii adalah meujukka kekovergea pada ruag berorma da kekovergea pada ruag hasil kali dalam. Diperoleh juga bahwa barisa yag koverge kuat pada ruag berorma maka barisa tersebut koverge lemah pada hasil kali dalam. Kata Kuci: koverge, ruag berorma, ruag hasil kali dalam. xi
CONVERGENCE ON NORM SPACE AND INNER PRODUCT SPACE WINA DIANA 055400597 Date of Fial Exam: February 04, 0 Graduatio Cremoy Priod: Februari 0 Mathematic Departemet Faculty of Scieces ad Techology State Islamic Uiversity of Sulta Syarif Kasim Riau HR. Soebratas Street No. 55 Pekabaru Let (,. ) ABSTRACT, is ier product, (..,. ) be a ier product psace ad let. is orm, X be a orm space. At the ed of this assigmet will be show the kovergece i the orm space ad the covergece i the ier product space. It is also produced that the strog covergece squecesi the orm space the weak covergece squeces i the ier product. Keywords : covergece, ier product space, orm space.. xi
DAFTAR ISI Halama LEMBAR PERSETUJUAN... LEMBAR PENGESAHAN... LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL... LEMBAR PERNYATAAN... LEMBAR PERSEMBAHAN... ABSTRAK... ABSTRACT... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR LAMBANG... DAFTAR GAMBAR... ii iii iv v vi vii viii ix xi xiii xiv BAB I. PENDAHULUAN... I-. Latar Belakag... I-. Rumusa Masalah... I-.4 Tujua Peulisa... I-.5 Sistematika Peulisa... I- BAB II. LANDASAN TEORI... II-. Ruag Vektor... II-. Kekovergea pada Barisa Bilaga Riil... II-. Ruag Hasil Kali Dalam... II-9.4 Ruag Berorma... II- xi
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN... BAB IV. PEMBAHASAN KEKONVERGENAN PADA DAN RUANG BERNORMA RUANG HASIL KALI DALAM... III- IV- 4. Kekoverge pada Ruag Berorma... IV- 4. Kekoverge pada Ruag Hasil Kali Dalam... IV- 4. Kekoverge pada Ruag Berorma da Ruag Hasil Kali Dalam IV- BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN... V- 5. Kesimpula... V- 5. Sara... V- DAFTAR PUSTAKA DAFTAR RIWAYAT HIDUP xi
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Masalah Sejala dega perkembaga ilmu matematika, para pemikir matematika terus berusaha utuk megembagka teori-teori yag telah ada. Perkembaga ilmu matematika tersebut selalu bertambah maju dari zama ke zama. Sebagai cotoh perkembaga ilmu matematika adalah perkembaga ilmu aljabar. Aljabar telah diguaka matematikawa sejak beberapa ribu tahu yag lalu. Nama aljabar berasal dari kitab yag ditulis pada tahu 80 oleh matematikawa Persia berama Muhammad Ibu Musa Al-Kwarizmi dega judul Al-Kitab Al-Jabr Wal-Muqabala (yag berarti "The Compedious Book o Calculatio by Completio ad Balacig"), yag meerapka operasi simbolik utuk mecari solusi secara sistematik terhadap persamaa liier da kuadratik. Salah satu muridya, Omar Khayyam meerjemahka hasil karya Al-Khwarizmi ke bahasa Eropa. Aljabar bersama-sama dega geometri, aalisis da teori bilaga adalah cabag-cabag utama dalam matematika. Sekarag ii istilah aljabar mempuyai maka lebih luas daripada sekedar aljabar elemeter, yaitu meliputi ajabar abstrak, aljabar liier da sebagaiya. Para pemikir matematika terus berusaha utuk megembagka teori-teori yag telah ada, seperti kosep ruag hasil kali dalam, ruag berorma da ketaksamaa Cauchy-Schwarz. Pada peulisa ii aka dibahas tetag kosep kekovergea pada barisa riil, kekovergea pada ruag berorma da kekovergea pada ruag hasil kali dalam. Kosep kekovergea pada barisa bilaga riil pertama kali dibahas oleh Bartle da Sherbert (98). Seirig dega itu dikemukaka berbagai hasil tetag sifat-sifat ruag berorma da ruag hasil kali dalam yag dibahas oleh Ato (994), da selajutya dikembagka lagi oleh Guawa (00) yag megemukaka kosep ruag berorma- da ruag hasil kali dalam-. Setelah melihat da membaca hal tersebut di atas maka peulis tertarik utuk meulis sebuah skripsi dega judul Kekovergea pada Ruag Berorma da Ruag Hasil Kali Dalam I-
. Rumusa Masalah Berdasarka latar belakag di atas maka dapat dirumuska masalahya adalah, bagaimaa kosep kekovergea pada ruag berorma da ruag hasil kali dalam?.. Batasa Masalah Permasalaha yag aka dibahas dalam tulisa ii dibatasi haya pada meujukka kekovergea pada ruag berorma da ruag hasil kali dalam..4 Tujua Peulisa Tujua dari peulisa ii adalah meujukka bahwa koverge pada barisa bilaga riil dapat diperumum ke ruag berorma da ruag hasil kali dalam, kemudia melihat betuk kekovergea pada ruag berorma da ruag hasil kali dalam..5 Sistematika Peulisa Sistematika dalam pembuata tulisa ii mecakup 5 bab yaitu : Bab I : Pedahulua Bab ii berisi latar belakag masalah, rumusa masalah, tujua, da sistematika peulisa. Bab ll : Ladasa Teori Bab ii berisika iformasi tetag teori-teori yag diguaka dalam peulisa ataupu metode/teorema yag dipakai. Dalam peulisa tugas akhir ii, ladasa teori yag dipakai atara lai tetag ruag vektor, barisa bilaga riil, ruag berorma da ruag hasil kali dalam. Bab III : Metode Peelitia Bab ii berisika cara-cara atau lagkah-lagkah dalam meyelesaika permasalaha keterkaita kekovergea pada ruag berorma da ruag hasil kali dalam. I-
Bab IV : Pembahasa da Aalisa Bab ii berisika peyelesaia masalah keterkaita kekovergea pada ruag berorma da ruag hasil kali dalam. Bab V : Peutup Bab ii berisi kesimpula da sara. I-
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab II ii aka aka dibahas megeai teori-teori yag mejadi ladasa atau acua utuk bab seterusya. Teori-teori yag dibahas atara lai megeai ruag vektor, koverge pada barisa bilaga riil, ruag hasil kali dalam, da ruag berorma.. Ruag Vektor Defiisi. : (Howard Ato, 997) Ruag vektor atas lapaga R adalah himpua tidak kosog X dega dua operasi yaitu peambaha da perkalia dega skalar atas vektor-vektor sifat-sifat sebagai berikut :. x + y X,. x + y y + x ( sifat komutatif ),. x + ( y + z) ( x + y) + z ( sifat asosiatif ), 4. Ada sebuah vektor 0 X sehigga 0 + x x + 0, x, y, z X dega skalar k, l R yag memeuhi 5. x di X terdapat vektor balika dari x atau x sehigga x + ( x) ( x) + x 0, 6. Jika k skalar da x sebarag beda vektor di X maka kx berada di kx X, 7. k ( x + y) kx + ky ( sifat distributif ), 8. ( k + l) x kx + lx, 9. k ( lx) ( kl)( x), 0. Utuk sebarag real da utuk setiap x X berlaku x x. Defiisi. : (Howard Ato, 997) Dua vektor u u, u,..., u ) da ( v v, v,..., v ) pada ( R diamaka sama jika v, u v,..., u v sedagka u II-
utuk pejumlaha u + v didefiisika dega u + v u + v, u + v,..., u + v ) da ( jika k adalah sebarag skalar, maka perkalia skalar ku didefiisika dega ku ( ku, ku,..., ku disebut dega operasi-operasi baku pada ). Operasi peambaha da perkalia skalar dalam defiisi ii R. Defiisi. : (Howard Ato, 997) Jika u u, u,..., u ) da v v, v,..., v ) ( ( adalah sebarag vektor pada R, maka hasil kali dalam Euclidis (Euclidea ier product) u. v didefiisika dega u. v u v + u v +... + u v. Cotoh : Diberika hasil kali dalam Euclidis dari vektor u da v masig-masig adalah u (,,6) da v (7,,). Tetuka hasil kali dalam Euclidisya. Jawab : Hasil kali dalam Euclidis pada u. v u v + u v +... + u v ( )( 7) + ( )( ) + ( 6)( ) ( 7 ) + ( 6) + ( 6) 5 R adalah maka ilai 5 disebut sebagai hasil kali dalam Euclidis.. Koverge pada Barisa Bilaga Riil Defiisi.4 : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Barisa bilaga riil (barisa di R) adalah fugsi dari himpua bilaga asli N yag daerah hasilya terdapat dalam himpua bilaga riil R. II-
Defiisi.5 : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Barisa ( x ) dikataka koverge ke x atau ( x ) x asli K ( ε ) sehigga utuk setiap K( ε ) lim, jika utuk setiap ε > 0 terdapat bilaga sehigga x x < ε. Defiisi.6 : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Barisa ( x ) dikataka terbatas jika terdapat bilaga riil m > 0 sehigga x < M utuk semua N. Defiisi.7 : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Misal X adalah bilaga riil, ) Utuk setiap ε > 0 ligkuga dari x adalah himpua { a R : x a } V ε x < ε, ) Ligkuga dari x adalah semua usur yag terdapat pada ligkuga ε da x, utuk ε > 0. Defiisi.8 : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Misalka ( x ) barisa pada bilaga riil, ( x ) dikataka mempuyai limit ke x jika utuk setiap ε > 0 terdapat bilaga riil K( ) N terdapat x limit barisa ( x ) maka ( ) Jika barisa ( x ) koverge ke x dapat ditulis : ( ) x lim atau bisa juga ditulis x x. x ε sahigga K( ε ) da ( ) v ( x) x ε. Jika x koverge ke x (barisa mempuyai limit). Cotoh.:. Tetuka apakah barisa ( ) x adalah barisa koverge! + 7 II-
Jawab : lim ( x ) lim + 7 / + / lim / + 7 / + / lim + 7 / + / + 7 / jadi barisa ( ) mempuyai limit yaitu. x adalah barisa koverge kerea barisa tersebut + 7. Tetuka apakah barisa ( ) Peyelesaia : x adalah barisa koverge atau tidak! + 7 lim ( x ) lim + 7 lim / + / 7 / lim / + 7 / / + 7 / 0 II-4
karea barisa ( ) x tidak mempuyai limit maka barisa tersebut diverge. + 7 Selajutya aka ditujukka barisa terbatas da ketuggala limit. Teorema. : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Jika barisa ( x ) koverge maka barisa tersebut terbatas. Bukti : Diketahui barisa ( x ) dalah barisa koverge, kataka ( x ) x da terdapat lim. Ambil ε, N. Berdasarka sifat ilai mutlak maka dari x x < ε diperoleh x < x +, utuk setiap N. Pilih { x, x, x,,,,, x } M sup +. karea x < x + maka berlaku x < M utuk semua N. maka terbukti bahwa ( x ) terbatas Teorema. : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Jika barisa ( x ) koverge, maka ( x ) palig bayak haya mempuyai satu limit, dega kata lai limitya tuggal. Bukti : Diketahui ( x ) barisa koverge, aka dibuktika bahwa barisa koverge mempuyai satu limit. II-5
adaika lim( ) x' x da lim( ) x" x dega x' x", aka ditujukka x ' x" sehigga utuk sebarag terdapat K ", sedemikia higga dipilih max{ K', K" } K. ε > o terdapat K ', sedemikia higga ε x x" < utuk setiap K". dega megguaka ketaksamaa segitiga, maka utuk x' x" x' x + x x" x' x + x x" ε ε < + ε K diperoleh : ε x x' < da oleh karea ε > 0 sebarag, maka x ' x" 0 yag berarti x ' x". Kotradiksi dega pegadaia x' x". Jadi terbukti bahwa limitya tuggal. Defiisi.0 : Barisa ( ) terdapat H ( ) N m x x < ε. x diamaka barisa Cauchy jika utuk setiap ε > 0 ε sehigga utuk setiap m N, dega m H ( ε ), berlaku Lemma. : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Jika barisa ( x ) koverge, maka ( x ) barisa Cauchy. Bukti : Diketahui ( x ) adalah barisa koverge da misalka ( ) x koverge ke x, aka dibuktika bahwa barisa bilaga riil yag koverge merupaka barisa Cauchy (utuk sebarag ε > 0 maka dipeuhi x x < ε ). m II-6
ε Ambil sebarag ε > 0, maka terdapat K N ε x < sehigga jika ε K, maka x, oleh karea itu jika H ( ε ) K da jika m H ( ε ) diperoleh: x xm < x x + x xm < x x + x x ε ε < + < ε m ε,, maka karea berlaku utuk sebarag ε > 0 berlaku x x < ε, maka terbukti bahwa ( x ) adalah barisa Cauchy. m Defiisi. : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Barisa ( x ) pada bilaga riil, dikataka koverge lemah ke x jika utuk setiap ε > 0 terdapat K ( ε ) N, bila K( ε ) ( x ) f ( ) < ε f x. da f adalah fugsi pada bilaga riil sehigga Cotoh.: Selidiki apakah barisa bilaga riil ( ) dega f ( x) si x barisa yag koverge lemah atau tidak! x π merupaka Jawab : π Diketahui ( ) da f ( x) si x, aka ditetuka f ( x ) x π si. II-7
Berdasarka defiisi maka aka dibuktika : π f x ( x ) f ( x) < ε si si < ε ε > 0, maka > 0 ε Archimedes maka didapat K( ε ) K π si ( ε ). Misalka K ( ε ) adalah bilaga asli dega megguaka sifat maka aka didapat : K( ε ) > π si x + ε si > π si x + ε si π si < si x + ε maka π si si x < ε karea terbukti ( x ) f ( x) < ε si si x < ε π ( ) dega f ( x) si x x >, utuk setiap N dega si x + ε π f, maka barisa bilaga riil adalah koverge lemah. Defiisi. : (Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert, 000) Barisa ( x ) pada bilaga riil, dikataka koverge kuat jika terdapat x ( x ) sehigga berlaku : lim x x 0. II-8
Cotoh.: Selidiki apakah barisa lim 0 adalah koverge kuat. Jawab : Utuk ε > 0, maka > 0 ε Misalka K ( ε ) adalah bilaga asli dega ( ε ) ( ε ) K, maka aka didapat K( ε ) dega demikia. >, sehigga ε 0 < ε, sehigga < ε, jadi barisa tersebut koverge kuat. K >, utuk setiap N maka ε > da < ε, ε. Ruag Hasil Kali Dalam vektor vektor riil. Telah dibahas sebelumya megeai hasil kali dalam Euclidis pada ruag R. Selajutya aka dibahas megeai otasi hasil kali dalam dari sebarag Defiisi. : (Ato Howard, 994) Misalka X ruag liier atas lapaga R suatu pemetaa dari X X ke R yag ditulis.,. disebut hasil kali dalam bila memeuhi sifat-sifat berikut :. x, x 0; x, x 0 jika da haya jika x 0,. x, y y, x utuk setiap x, y X,. α x, y α x, y utuk setiap x, y X da α R, 4. x + y, z x, z + y, z utuk setiap x, y, z X. II-9
Cotoh.4 : Tujukka bahwa operasi perkalia titik-titik stadar di dalam! R merupaka hasil kali Jawab : Aka ditujukka bahwa perkalia titik stadar memeuhi keempat aksioma hasil kali dalam, yaitu : misalka x ( x, x x ), y ( y, y y ), ( z, z z ),. x, y y, x ( x y) x, y., ( x y + x y + x ) y ( y x + y x + y ) x z,, x, y, z R. y, x. x, x 0 ( x x) x, x. x, x 0 ( x + x + ) 0 x ( x + x + x ) 0, x ( 0,0,0) 0. α x, y α x, y ( x y) α x, y α. ( α x y + αx y + αx ) α( x.y) y II-0
α x, y 4. x + y, z (( x + y). z) (( x + y, x + y, x + y )(. z, z z )), (( x z + y z ) + ( x z + y z ) + ( x z + y )) z ( x z + x z + x z ) + ( y z + y z + y ) z ( x. z) + ( y. z) x, z y, z karea keempat aksioma terpeuhi maka operasi perkalia titik-titik stadar di merupaka hasil kali dalam. R.4 Ruag Berorma Defiisi.4 : (Ato Howard, 994) Jika X adalah ruag liier atas lapaga R adalah fugsi berilai riil da. dikataka orma pada X jika memeuhi 4 aksioma berikut :. x 0 utuk semua x X,. x 0 jika da haya jika x 0,. α x α x utuk semua x X da α R, 4. x + y x + y ( ketaksamaa segitiga ). pasaga ( ; ) X disebut dega ruag liier berorma dega orma. Cotoh.5 : Misalka X ruag liier atas lapaga R dega medefiisika x x + x + x, aka dibuktika bahwa x x + x + x dimaa x X. adalah orma dega x ( x, x x ), II-
Jawab :. x 0 Misalka X ruag liier atas lapaga R, ambil sebarag x X da x x + dimaa x + x + x 0 dega kata lai x 0. + x x. x 0 jika da haya jika x 0 Terlebih dahulu kita harus membuktika bahwa x 0 maka haruslah x 0. Misalka X ruag liier atas lapaga R dega diketahui bahwa x 0 sehigga x x + x + x 0, utuk setiap x X dimaa x x, x 0, sehigga utuk x + x + x 0, haruslah ilai x x x 0 dega kata lai ilai dari x 0. Selajutya aka ditujukka bahwa x 0 jika x 0. x x 0 x + x + x 0 + 0 + 0, x 0. α x α x α x αx + + αx αx α x + α α x 4. x + y x + y + α x α x ( x + x + ) x Ambil sebarag ilai y X dega y ( y, y y ) sehigga, x + y x + + y + x + y + x y II-
x + + y + x + y + x y x + + x + x + y + y y x + y sehigga diperoleh x + y x + y karea keempat aksioma terpeuhi maka x x + x + x merupaka orma pada ruag liier X atas lapaga R. Teorema. : (Ketaksamaa Cauchy-Schwarz) Jika x da y adalah vektor pada ruag hasil kali dalam maka : x, y x, x y, y. Bukti : Diketahui x da y adalah vektor pada ruag hasil kali dalam, aka ditujukka bahwa x, y x, x y, y. Misalka x 0, maka x, y x, x 0, sehigga ketaksamaa Cauchy-Schwarz aka terpeuhi jika x 0. Misalka a x, x, b x, y da c y, y da misalka t sebarag bilaga riil, sehigga: 0 tx + y, tx + y t x, x + tx, y + y, tx + y, y x, x t + x, y t + y, y at + bt + c Ketaksamaa ii meyataka bahwa poliom kuadrat at + bt + c tidak mempuyai akar, baik akar riil maupu akar iterasi, sehiggga diskrimiaya harus memeuhi b 4ac < 0 dega meggatika pemisala keofisie a, b, c memberika 4 x, y 4 x, x y, y < 0, sehigga diperoleh x, y < x, x y, y. Maka ketaksamaa Cauchy-Schwarz terpeuhi II-
Lemma. : Ketaksamaa pada teorema dapat ditulis dalam betuk determia matrik sebagai berikut : x, x x, y y, x y, y 0. Bukti : Diketahui persamaa Cauchy-Schwarz. Aka ditujukka bahwa persamaa tersebut dapat ditulis dalam determia matrik, yaitu x, x x, y y, x y, y 0 dari hubuga x, y < x, x y, y, maka x, x y, y x, y 0 karea x, y < x, y y, x maka x, x y, y x, y y, x 0 jadi x, x y, x x, y y, y Defiisi : Jika V adalah sebuah ruag hasil kali dalam, maka orma (pajag) vektor x diyataka oleh x da didefiisika oleh x x, x. Jika pajag berada pada R maka x x + x sedagka pada R maka + x x x x +. Defiisi : Jika V adalah sebuah ruag hasil kali dalam, maka jarak atara dua titik vektor u da v diyataka oleh d ( u, v) da didefiisika oleh d( u v) u v jarak dua titik di u,u R maka ( ) u da ( ),. Jika v v,v da diberika d ( u v) ( u v ) + ( u v ) u v, sedagka jarak dua titik di R maka II-4
u ( u, u u ) da ( v, v v ) d, v da diberika, ( u, v) ( u v ) + ( u v ) + ( u v ) u v Defiisi : Ruag liier X adalah suatu himpua yag memiliki aggota vektor da skalar pada lapaga (field) K dega dua operasi yaitu operasi pejumlaha da perkalia sebagai berikut:. F ( x + y) F( x) + F( y). ( kx) kf( x) F. Cotoh : Misalka F R R adalah fugsi yag didefiisika oleh F ( u, v) ( x, x + y, x y) da jika u ( ) da ( ) ( x + x y ), y x, y u + v +. Tujukka bahwa F adalah ruag liier. v x, y maka Jawab : Diketahui F R R adalah fugsi yag didefiisika oleh F ( u, v) ( x, x + y, x y) da jika u ( ) da ( ) ( x + x y ), y x, y u + v +, aka ditujukka bahwa F adalah ruag liier. v x, y maka utuk meujukka bahwa F merupaka ruag liier harus memeuhi aksioma sebagai berikut :. F ( u + v) F( u) + F( v) [( x + x ), ( x + x ) + ( y + y ) ( x + x ) ( y + y )], ( x, x + y, x y ) + ( x, x + y x y ), ( u) F( v) F + II-5
. F ( kx) kf( x) ( kx, kx + ky kx ky ) k, ( x, x + y x y ) kf( u), karea kedua aksioma terpeuhi maka terbukti bahwa F adalah sebuah ruag liier. II-6
BAB III METODOLOGI PENELITIAN Peulisa skripsi ii peulis megguaka metodologi studi literatur terhadap referesi-referesi yag berkaita dega kekovergea pada barisa bilaga riil, kekovergea pada ruag hasil kali dalam da kekovergea pada ruag berorma. Dimulai dega memahami defiisi tetag barisa bilaga riil da kekovergea barisa bilaga riil, memahami defiisi tetag ruag hasil kali dalam da memberika cotoh da memahami defeisi tetag ruag berorma serta memberika cotoh. Setelah itu dilajutka dega pembuktia teorema-teorema, lemma da proposisi yag berhubuga dega pembahasa da dilajutka dega melihat kekovergea ruag hasil kali dalam kekovergea pada ruag berorma. Flowchart metodologi peelitia : Koverge barisa bilaga riil Ruag hasil kali dalam Ruag berorma Membuktika teorema-teorema yag berhubuga Koverge pada ruag berorma da ruag hasil kali dalam Gambar.. Flowchart metodologi peelitia
BAB IV PEMBAHASAN Pada bab ii aka dibahas megeai pembahasa permasalaha yaitu meujukka betuk kekovergea pada ruag berorma da ruag hasil kali dalam. 4. Kekovergea pada Ruag Berorma Defiisi 4.. : Barisa ( x ) di dalam ruag berorma X dikataka koverge lemah ke x jika terdapat x X, maka utuk setiap ' f X : lim f ( x ) f ( x) 0. Defiisi 4.. : Barisa ( x ) di dalam ruag berorma X dikataka koverge kuat ke x jika terdapat x X, sehigga lim x 0 x, utuk setiap x X. setiap > 0 Utuk meyataka koverge lemah juga bisa ditulis x w x, jika utuk ε terdapat K( ε ) N da bila > K( ε ) maka f ( x ) f ( x) < ε. Cotoh : Terdapat ( m, ) Ambil ( x ) x x f M x m si x si x M si x R ruag berorma, dega orma m x x M x m π π M π da siπ siπ 0 0 aka koverge ke x. M M siπ 0 + x x x x +. f R R m m : x dega IV-
Jawab : Aka ditujukka bahwa ( x ) f ( x) < δ maka > 0. δ f atau si π si x < δ, utuk δ > 0, Misalka K ( δ ) adalah bilaga asli, dega megguaka sifat Archimedes maka diperoleh : K ( δ ) > si x, utuk setiap N + δ K( δ ) > siπ si x + δ > siπ si x + δ si π si x + δ maka : > si π si x < δ ( x ) f ( x) < δ f siπ dega K( δ ), maka : utuk x... xm buktiya aalog. Dega kata lai utuk setiap berlaku lim f ( x ) f ( x ) 0 i,,... m i i Diperoleh lim f ( x ) f ( x) 0 m [ f ( x ) f ( x ) + f ( x ) f ( x ) +... + f ( x ) f ( x )] 0 lim m m 0 + 0 +... + 0 0 atau lim f ( x ) f ( x) 0 m IV-
4. Kekovergea pada Ruag Hasil Kali Dalam Defiisi 4. : Barisa ( x ) pada ruag hasil kali dalam X dikataka koverge lemah ke x jika terdapat x X,sehigga utuk setiap > 0 ' > K( ε ), maka utuk setiap f X : f ( x ) f ( x), y < ε ε terdapat K( ) N utuk setiap ε da bila y X. Defiisi 4.4 : Jika barisa ( x ) pada ruag hasil kali dalam X dikataka koverge kuat ke x, jika : lim x, y 0 x, utuk setiap y X. Dari pembahasa di atas, maka selajutya adalah suatu peryataa yag berbetuk proposisi yag meyataka hubuga atara kekovergea pada ruag berorma da kekovergea pada ruag hasil kali dalam. 4. Kekovergea pada Ruag Berorma da Ruag hasil Kali Dalam Proposisi 4. : Jika barisa ( x ) pada ruag berorma X koverge kuat, maka barisa ( x ) koverge lemah ke x pada ruag hasil kali dalam. Bukti : Diketahui ( x ) barisa pada ruag berorma koverge kuat. Aka ditujukka bahwa barisa yag koverge kuat pada ruag berorma merupaka koverge lemah pada ruag hasil kali dalam. Dari ketaksamaa segitiga didapat : x x, y x x. y, y karea ( ) x koverge kuat ke x maka x 0 x 0 x x, y 0 x ( x ) f ( x), y 0 f, utuk setiap f X ' x IV-
sehigga diperoleh ( x ) f ( x), y 0 f, yag merupaka koverge lemah. Proposisi 4. : Jika ( x ) pada ruag hasil kali dalam X koverge lemah ke x da x ', maka x x', dimaa x da x ' aggota X. Bukti : Diketahui ( x ) koverge lemah ke x da x '. Aka ditujukka bahwa x x', utuk x da x ' aggota X. Jika x, y x, y maka pada saat yag sama x, y x', y,utuk setiap x, y X. Dari keuika limit pada barisa bilaga riil, didapat : x, y x', y ( x) y f ( x' ) y f,, ( x) f ( x' ), y 0 f, utuk setiap x, y X. f ( x) f ( x' ) 0 ( x) f ( x' ) f ( x) f ( x' ) f, maka x x' Lemma 4.: Pada ruag hasil kali dalam jika x, y x y., x x da y y maka IV-4
Bukti : Aka ditujukka bahwa jika ketaksamaa Schwarz, didapat : x, y x, y x, y x, y + x, y x, y x x da y y maka x, y x y, dari, x, y y + x x, y karea x x 0 da y y 0 dimaa, maka didapat x y y + x x y 0 x, y x, y 0 x, y x y, IV-5
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Megakhiri peulisa ii dapat diambil kesimpula da sara dari pembahasa da aalisa yag telah dipaparka pada bab sebelumya. 5. Kesimpula Di dalam barisa bilaga riil berlaku sifat kekovergea, baik koverge kuat maupu koverge lemah. Begitu juga dalam ruag berorma da ruag hasil kali dalam. Betuk kekovergea pada barisa bilaga riil, pada ruag berorma da ruag hasil kali dalam adalah sebagai berikut :. Koverge lemah dalam barisa bilaga riil : utuk setiap > 0 ε terdapat K( ε ) N, bila K( ε ) bilaga riil sehigga f ( x ) f ( x) < ε.. Koverge kuat dalam barisa bilaga riil : utuk ( ) x x sehigga berlaku : lim x 0.. Koverge lemah dalam ruag berorma : utuk setiap x ' f X : lim f ( x ) f ( x) 0 4. Koverge kuat dalam ruag berorma : lim x 0 x, utuk setiap x X. 5. Koverge lemah dalam ruag hasil kali dalam : utuk setiap utuk setiap da f adalah fugsi pada ' f X berlaku ( ) ( ) ε 6. Koverge kuat dalam ruag hasil kali dalam : x lim x, y 0, utuk setiap y X.. f x f x, y <. V-
Selai itu juga berlaku juga koverge lemah pada ruag berorma merupaka koverge kuat pada ruag hasil kali dalam. 5. Sara Dalam skripsi ii haya dibahas tetag kekovergea pada ruag berorma da ruag hasil kali dalam, bagi yag tertarik utuk melajutka skripsi ii dapat megembagka tetag kekovergea pada ruag berorma- da ruag hasil kali dalam- atau ruag berorma- k da ruag hasil kali dalam- k. V-
KEKONVERGENAN PADA RUANG BERNORMA DAN RUANG HASIL KALI DALAM TUGAS AKHIR Diajuka sebagai Salah Satu Syarat utuk Memperoleh Gelar Sarjaa Sais pada Jurusa Matematika Oleh : WINA DIANA 055400597 FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU PEKANBARU 0
DAFTAR PUSTAKA Ato, Howard, Elemetary Liear Algebra, The Uited State of Amerika, 994. Bartle, R.G da Sherbert, D.R, Itroductio to Real Aalysis, Joh Wiley ad sos, Ic, USA, 000. Guawa, Hedra, O Coverge i -Ier Product Space, Buleti of the Malaysia Mathematical Siece Sosiety, Malaysia, 00. Http://persoal.fmipa.itb.ac.id/hguawa/files/009/bab0-b.pdf, Pegatar Aalisis Fourier da Teori Aproksimasi, Diakses pada taggal 5 februari 00. Http://e.wikipedia.org/wiki/Ier_Product_Space, Diakses pada taggal 4 Maret 00.
DAFTAR GAMBAR Halama. Flowchart metodologi peelitia... III- xiv
DAFTAR LAMBANG. : Ruag Berorma. : Ruag Hasil Kali Dalam ε : Epsilo : Sehigga : Terdapat xiv
DAFTAR RIWAYAT HIDUP Peulis dilahirka pada taggal 06 Februari 987 di Desa Kota Ita, Kabupate Roka Hulu sebagai aak pertama dari tiga bersaudara pasaga Bapak Muri da Ibu Nurlisa. Peulis meyelesaika Pedidika Formal pada Sekolah Dasar Negeri 00 Desa Kota Ita sampai kelas tiga, kemudia pidah ke Sekolah Dasar Negeri 007 Pagaratapah Darussalam sampai selesai pada tahu 999. Pada tahu 00 meyelesaika Pedidika Lajuta Tigkat Pertama di SLTP Negeri 04 Ngaso, Ujugbatu da meyelesaika Pedidika Meegah Atas dega jurusa Ilmu Pegetahua Alam (IPA) di SMA Negeri Ujugbatu pada tahu 005. Setelah meyelesaika pedidika SMA, pada tahu yag sama peulis melajutka Pedidika ke Pergurua Tiggi di Uiversitas Islam Negeri Sulta Syarif Kasim Pekabaru Riau da lulus di Fakultas Sais da Tekologi dega Jurusa Matematika. Pada tahu 008 peulis megikuti Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Sugai Piag Kecamata Tambag Kabupate Kampar. Pada tahu 009, tepatya pada semester VIII peulis melaksaaka Kerja Praktek di SMP Negeri 0 Pagaratapah Darussalam, dega judul Aplikasi Paired Compariso utuk Membadigka Tigkat Kecerdasa Siswa dibawah bimbiga Ibu Rahmadei S.Si da Ibu Elwis Asmel, S.Pd dari taggal 0 April 009 sampai 0 April 009 da disemiarka pada taggal 8 Jui 009. Peulis diyataka lulus dalam ujia sarjaa dega judul Kekovergee pada Ruag Berorma da Ruag Hasil Kali Dalam dibawah bimbiga Ibu Fitri Ariyai, M.Sc. pada taggal di Fakultas Sais da Tekologi Jurusa Matematika. xiv