7. Statistika Kuantum

7. Statitika Kuatum Pada bagia ii aka didikuika pmbahaa itm dga itaki ata molkul lmah ga idal caa mkaika kuatum. Fomulai poblm tatitik Fugi ditibui kuatum Klaifikai Sitm Patikl Fmio da Boo pada Fiika Patikl Statitik Maxwll-Boltzma Statitik foto Statitik Bo-Eiti Statitik Fmi-Diac Radiai bda hitam Koduki lkto dalam mtal 7.. Patikl Idtik da Simti yag Dipluka Ga tdii dai N patikl dalam volum V: Sbut: Q i koodiat gabuga poii da pi patikl k-i i kadaa kuatum patikl k-i Kadaa luuh ga: {,,,...} dga fugi glombag pada kadaa ii: Ψ Ψ [,,,..],,,... Q Q Q Q N M. Hikam, Statitika Kuatum 68

7... Klaifikai Sitm Patikl Bbapa kau:. Kau Klaik Statitik Maxwll Boltzma Dalam kau ii Statitik MB patikl dapat dibdaka ditiguihabl bapa pu jumlah patikl dapat mmpati kadaa tuggal yag ama tidak ada imti yag dibutuhka ktika dua patikl dituka B. Dkipi Mkaika Kuatum Simti jla dibutuhka ktika tjadi ptukaa patikl Patikl caa itiik tidak dapat dibdaka iditiguihibl Dapat tjadi pmbataa utuk mmpati kadaa tttu Kaa kadaa imti ii, kadaa kuatum at hubugaya dga pi patikl: a Spi bulat itgal pi b Spi tgah half itgal pi Dga dmikia tatitika mkaika kuatum tbagi dua: a Patikl dga Spi bulat Statitik Bo-Eiti Stiap patikl mmiliki momtum agula pi total diuku dalam uit h bilaga bulat: 0,,,, 4,... Fugi glombag total bifat imti, yaki Ψ Q j Q i Ψ Q i Q j Tidak dapat dibdaka tiap ptukaa patikl tidak mghailka kadaa bau b Patikl dga Spi klipata ½ Statitik Fmi-Diac Stiap patikl mmiliki momtum agula pi total diuku dalam uit h klipata ½ yaki,,... Fugi glombag total bifat atiimti, yaki Ψ Q j Q i Ψ Q i Q j Tidak dapat dibdaka Kaa ifat atiimti da patikl iditiguihabl maka dua atau lbih patikl tidak mugki pada kadaa yag ama. Piip kklui Pauli M. Hikam, Statitika Kuatum 69

Rumé: Klaik Kuatum Maxwll-Boltzma Bo-Eiti Fmi-Diac Ditiguihabl iditiguihabl, pi: 0,,,,4,... iditiguihabl pi:,,... Tak ada imti Simti atiimti Tak ada bataa jumlah Tak ada bataa jumlah Piip kklui Pauli mmpati atu kadaa mmpati atu kadaa cotoh: Foto, H 4 cotoh: Elkto, H Dalam pkmbaga lbih lajut galiai dai fmio da boo diamaka ayo, diii pi tidak lalu klipata gajil atau gap dai /. Foma ii tamati cukup jla di codd matt, amu tidak aka dibaha di kuliah Fiika Statitik. 7... Kaita Fmio da Boo pada Fiika Patikl Dalam kaita dga Fiika Patikl, Boo dai Bo-Eiti adalah patikl itaki yaki pmbawa itaki/gaya muut toi Mda Kuatum, mtaa Fmio dai Fmi-Diac adalah patikl mati, Fmio lbih padat. Modl Stada Fiika patikl mamalka adaya lima Boo fudamtal yaitu - Foto - Gluo ada 8 tip - Boo- - Boo-W ada dua macam yaki W - da W - Boo Higg tkofimai 99,9999% pada taggal 4 juli 0 di CERN Taggal 4 Juli 0: patikl Higg dijumpai pada tigkat 5 igma di wilayah maa kita 6 GV. Itu bati kpatia pmua patikl bau mcapai 99,9999%. "Ii mmag patikl bau. Kami tahu itu boo da itu boo tbat yag pah ditmuka," kata Jo Cadla, juubicaa CERN M. Hikam, Statitika Kuatum 70

Lbih lajut, bbapa fiikawa pcaya bahwa ada kmugkia boo bama gavito yag bkaita dga gavitai. Boo-boo kompoit dapat juga tjadi; hal ii tbtuk dga kombiai jumlah gap bbapa fmio. Cotoh, atom cabo- tdii dai 6 poto da 6 to, muaya fmio. Iti atom cabo-, olh kaa itu, mupaka boo kompoit. Mo, di lai pihak, adalah patikl yag tbuat caa kak dai quak, olh kaa itu mo juga boo kompoit. Sbagaimaa yag udah dibutka blumya, Fmio adalah patikl yag mmpuyai ilai pi kuatum tgah bilaga bilaga. Tidak pti boo, fmio mmuhi piip kklui Pauli yag bati fmio-fmio tidak mugki bada pada bilaga kuatum yag ama. Smtaa boo dipadag bagai patikl pataa gaya-gaya di alam, fmio dipadag bagai patikl lbih padat atau patikl-mati. Tdapat dua famili patikl-mati fudamtal yag mupaka fmio yaitu quak da lpto, kduaya mupaka patikl lmt yag tidak bia dipcah jauh yag diktahui olh aiti mjadi patikl lbih kcil. Elkto mupaka lpto, amu Modl Stada Fiika Patikl mujukka adaya tiga gai patikl, maig-maig lbih bat dai blumya. Tiga gai patikl ii dipdiki dga toi blum mka ditmuka dga kpim, ii cotoh yag agat bagu bagaimaa toi mamalka kpim dalam toi mda kuatum. Pada tiap gai tdapat dua flavo quak. Tabl bikut mujukka tip fmio fudamtal, muaya tlah dapat diobvai. Tabl: Famili Patikl Elmt utuk Fmio Fit Gatio Scod Gatio Thid Gatio Quak Up Quak MV Cham Quak. GV Top Quak 74 GV Dow Quak 7 MV Stag Quak 0 MV Bottom Quak 4. GV Lpto Elcto Nutio Muo Nutio Tau Nutio Elcto 0.5 MV Muo 06 MV Tau.8 GV Catata: utio mmpuyai maa kcil kali pakti tidak puya maa. Ttu aja tdapat fmio kompoit tbuat dai jumlah gajil fmio mjadika patikl bau, pti poto da uto. Pada pkmbaga Modl Stada Fiika Patikl, tlah mjadi jla bahwa gaya-gaya Fiikawa lbih uka dga itilah itaki dalam Fiika dapat dipcah mjadi mpat fudamtal: Elctomagtim Gavity M. Hikam, Statitika Kuatum 7

Wak ucla foc Stog ucla foc Gaya lktomagtik da itaki iti lmah pada tahu 960 diatuka olh Shldo L Glahow, bdu Salam, da Stv Wibg mjadi gaya tuggal dibut lctowak foc. Gaya ii dikombiai dga quatum chomodyamic yag mdfiiika gaya iti kuat adalah yag dimakud olh paa Fiikawa ktika bbicaa ttag Modl Stada Fiika Patikl. Salah atu lm kuci Modl Stada Fiika Patikl adalah gaug thoy yag bati tdapat tip-tip imti yag iht bada dalam toi; dga pkataa lai diamika itm ttap ama pada uatu tip tafomai. Suatu gaya bkja mlalui mda gaug ditamii dga uatu gaug boo. Bikut ii gaug boo yag tlah diamati utuk tiga tip gaya di alam: Elctomagtim photo Stog ucla foc gluo Wak ucla foc, W, ad W boo Lbih lajut, gavitai juga dapat ditulika dalam uatu gaug thoy, yag bati hau ada gaug boo yag mjadi pataa gavitai. Nama toiti gaug boo ii adalah gavito. Catata ttag pi: foto, gluo,, da W mmpuyai pi, Higg boo bpi 0, mtaa patikl-patikl fmio quak, lpto, utio mua bpiya /.Gavito -jika tdtki- aka bpi. Stadad Modl tidak mmiliki patikl fudamtal dga pi / 7... Cotoh Phituga Pobabilita Skaag kmbali k Fiika Statitik, upaya jla tijau kau patikl dga kadaa kuatum yag mugki ada tiga,,. Maxwll-Boltzma: B B B B B B B B B M. Hikam, Statitika Kuatum 7

Bo-Eiti: Fmi Diac: Bila didfiiika: pobabilita mmuka patikl pada kadaa ama ξ pobabilita mmuka patikl pada kadaa bbda Maka: 0 ξ MB ; ξ BE ; ξ FD 0 6 ti fii? Patikl BE mmiliki tdi lbih ba utuk bada pada kadaa yag ama dibadigka patikl klaik. Patikl FD mmiliki tdi utuk bbda atu ama lai. Fomulai Poblm Statitik: Bi labl kadaa kuatum yag mugki Nyataka gi patikl pada kadaa dga Nyataka jumlah patikl pada kadaa dga Bi labl mua kadaa yag mugki dga R Bila itaki lmah, maka gi bifat aditif: E R da bila jumlah patikl diktahui maka: N Utuk mgtahui ifat-ifat makokopi pti topi, fugi patii dapat dihitug: M. Hikam, Statitika Kuatum 7

M. Hikam, Statitika Kuatum 74 R R E R... da tuya haga ata-ata jumlah patikl, dipi dll. juga dapat diumuka: R R...... l Phituga dipi: Δ R R...... higga:... atau l tuya: l Δ dapat juga dituli: Δ 7.. Fugi Ditibui Kuatum Haga ata-ata jumlah patikl:

M. Hikam, Statitika Kuatum 75,...,......,...,...... dapat dituli:,...,...,...,... 7... Statitika Foto Tmauk Bo-Eiti tapa pmbataa jumlah patikl l / jumlah takhi ii mupaka dt gomti tak bhigga:... - mghailka: - - l dapat dituli: ig dibut bagai ditibui Plack.

Tapa kulita, fugi patii tatitika foto dapat dituli:... R... 0 0 0 kaa - maka l l 7... Statitik Maxwll-Boltzma Pada kau klaik tatitik Maxwll-Boltzma, fugi patii:... R jumlah utuk mua kadaa patikl dga juga mmptimbagka bahwa patikl dapat dibdaka phatika pmutai yag mugki Shigga utuk N patikl: N,...!!!... diii 0,,,,... dga tiki: N... Fugi patii dapat dituli: N...,...!!!... yag tidak lai mupaka biomial Nwto:... N atau l N l tuya: l Pamaa takhi N N 7... Statitik Bo-Eiti N dibut bagai ditibui Maxwll-Boltzma M. Hikam, Statitika Kuatum 76

Skali lagi fugi patii dibika olh:... R dga jumlah mua haga 0,,,,... utuk tiap Tidak pti foto, diii ada tiki: N Pmbataa ii myulitka valuai ilai. S Rif pag 46-48 fo dtail divatio Kita pkalka baa dmikia upa: αn ' N' N ' caa pdkata dipolh: l N αn l tuya dipolh: Rif 48 da l α N l α ; N α α dibut ditibui Bo-Eiti. Hubuga ataa potial kimia μ da α: F l μ kt ktα N N atau α μ Pada kau foto tidak tgatug N da α 0 7..4. Statitik Fmi-Diac Dga bataa 0 da utuk tiap dipolh: M. Hikam, Statitika Kuatum 77

N α α N l l α ; da α dibut ditibui Fmi-Diac Rum: Nilai da fugi patii utuk bbagai ditibui Maxwll- Boltzma N f. patii l l N l l Foto Bo-Eiti Plack - - α l αn α l Fmi-Diac α l αn α l Plajai topik: Radiai bda hitam Rif, p.8-88 7.. Koduki Elkto dalam at Padat Tijau atom Natium lkto - 0 lkto mjadi co. M. Hikam, Statitika Kuatum 78

Ktika atom-atom ii mmbtuk zat padat: Co ttap bada di tmpatya, dagka lkto tlua mjadi lkto bba. Diii dapat dibdaka dua kadaa lkto: lkto co yag dapat dipadag tlokaliai lkto vali atau koduki yag mmiliki kadaa Bloch pada kluuha kital Bbapa foma fii makokopi pti koduktivita atau itivita dapat dijlaka dga mlihat lkto koduki. Utuk pdkata ptama, pilaku lkto ii dapat dipadag pti ga idal bati tidak ada itaki dai lua atau amaya. Namu kaa kotai lkto cukup tiggi, maka tidak dapat diguaka tatitik klaik. Statitik yag diguaka Fmi-Diac. Jumlah ata-ata patikl: α F diii tlah diguaka α F ktα baa ii dibut Egi Fmi uatu itm tlihat bahwa baa ii ama dga μ, potial kimia ga. Haga F da α dittuka olh kodii: M. Hikam, Statitika Kuatum 79

N F N : jumlah total patikl pada volum V Skaag kita lihat pilaku fugi Fmi : F F bagai fugi dai gi diuku dai gi tdah 0 Skaag kita phatika bbapa limit fii: Pada uhu tiggi atau kodii F <<, maka F >>> fugi ditibui F aka mjadi ditibui Maxwll-Boltzma. Pada kau ii kita lbih ttaik pada kodii balikya, yaki F F kt >> maka fii: bia pada uhu dah atau pada uhu kama amu gi Fmi jauh lbih ba dibadigka gi tmal F F Diii maih ada tiga kau ktim: a Bila << F maka F <<0 higga F b Bila >> F maka F >>0 F bpilaku pti ditibui Boltzma c Bila F maka F ½ Scaa kmatik dapat digambaka bb: F F F ½ Bila pada uhu ktim dah T 0 dga pkataa lai. kodii dapat digambaka: F M. Hikam, Statitika Kuatum 80

F F F F Mgapa bia dmikia? cukup jla caa matmati caa fii??? Pada uhu T 0 mua patikl bada pada goud tat kadaa daa dga gi tdah. Namu kaa piip kklui Pauli yag tidak mmpkaka patikl dalam kadaa ama, maka patikl-patikl mumpuk mgii kadaa daa yag mugki ampai mua patikl takomodai. Jadi kaa piip kklui Pauli, ga Fmi-Diac mmiliki gi ata-ata cukup ba mkipu pada uhu ol mutlak. Skaag kita hitug gi Fmi F F0 pada uhu ol. Egi tiap patikl bkaita dga momtum p hk. p h k m m Pada uhu T0 mua kadaa gi dah tpuhi ampai gi Fmi, yag bhubuga dga momtum Fmi, p hk. pf h k F F0 m m F F M. Hikam, Statitika Kuatum 8

Jadi pada T0 mua kadaa dga k <k F tii, dagka pada k>k F koog. k y k F F k x k z Ruag Egi Ruag Momtum Diii tdapat V kadaa talai p uit volum di uag-k π Shigga bola Fmi dga adiu k F bii: V 4 kadaa talai πk F π Kaa lkto pi ½ dapat mmiliki dua kadaa, maka: V 4 k F π N π Pmbuktia jumlah kadaa talai p-uit volum pada uag-k: V ρ d k d k π Fugi glombag patikl bba: ψ ik i k x x k y y k z z Ptimbagka uit volum kcil dga ii-ii L x, L y, L z dapat dibuktika: kx x; Lx π π π k y y; Ly kz z Lz Olh kaa itu jumlah kadaa talai utuk bilaga glombag ataa k da k dk adalah: M. Hikam, Statitika Kuatum 8

ρ d L L k Δ x Δ y Δ z x dk x π y L dk y z dk z π π L xlylz k x k y k z π V d k π Rif pag 5-58 fo mo dtail Stuya: / N k F π V jadi λ π F π k F π V N / dai hal tbut, gi Fmi pada uhu ol mutlak: / h k 0 F h N F π m m V pa mafaat baa ii? adakah baa makokopi tuku yag dapat dikaitka dga baa ii? atu diataaya: kapaita paa lktoik zat padat. E CV T V Kalau lkto mgikuti ditibui Maxwll-Boltzma, maka E NkT CV Nk atau R da ttu aja kalau diguaka ditibui Fmi-Diac, btuk ii aka jauh bbda. Mgikuti ditibui FD, gi ata-ata lkto: E F Kaa jaak ataa lvl-lvl gi agat dkat, maka jumlah dapat digati mjadi itgal: E F ρ d ρ d F 0 M. Hikam, Statitika Kuatum 8

diii ρ d kapata kadaa yag bada pada gi ataa da d. Evaluai itgal ρ d dga kadaa kt << aka mghailka: F 0 π E E o kt ρ0 F0 dga dmikia E π CV k ρ0 F0 T T Hail ii bbda dga pumua klaik MB yag mujukka bahwa C V kota. Kalau dimaukka: ρ dipolh: CV d V dk V m 4πk d π d 4π h π kt kn F0 d umua takhi ii tyata uai dga hail kpim. Btuk yag lbih umum ugguhya ada uku-uku T od tiggi: C V T B T Pumua ii dapat dipolh dga valuai itgal pdkata kt <<. F 0 ρ d tapa Cotoh oal: Hituglah ba pajag glombag Fmi utuk 4,x0 lkto yag bada dalam kotak cm! Hitug gi Fmi! Bila lkto digati to, hitug pajag glombag da gi Fmi! dalam kau takhi, aggap momtum ttap ama Jawab: V 4 Jumlah total patikl adalah: N πk F π higga bilaga glombag Fmi: / N k F π V da pajag glombag Fmi: M. Hikam, Statitika Kuatum 84

/ / π V 8π V λ F π k F π N N 6 / 8π 0-9,5x0 m,5 Å 4, 0 x Egi Fmi: / pf h kf h N 9 F π,54 0 J m m m V 0,96 V Jika lkto digati to: λ F,5 Å mlkto da F to F 5,x0-4 V m to Soal-oal Latiha: 7.. Utuk atom Natium yag mmiliki kita,6x0 lkto koduki p cm, cailah gi Fmi Natium da pkiaka kapaita paa lktoik pada uhu kama. 7.. Th th lowt gy lvl of a ctai molcul a E 0, E, da E 0. Show that at ufficitly low tmpatu how low? oly lvl E da E a populatd. Fid th avag gy E of th molcul at tmpatu T. Fid th cotibutio of th lvl to th pcific hat p-mol, C v, ad ktch C v a fuctio of T. ggap patikl mmuhi tatitika Boltzma 7. Suatu itm ga tdii dai N molkul idtik yag tidak bitaki dalam uatu wadah bvolum V pada uhu T. Stiap molkul mmiliki 4 kmugkia kadaa ital yaki atu kadaa daa da tiga kadaa tkitai yag mmiliki ba gi yag ama tdgai. Pada kadaa daa gi ital molkul adalah it 0, mtaa pada kadaa kitai mmiliki it. Egi total utuk p atu molkul dapat dituli bagai it m a Cai fugi patii itm,! b Cai gi ata-ata utuk atu molkul ga,! c Cai kapaita paa C V da buat kta C V thadap T! M. Hikam, Statitika Kuatum 85