Pengantar Fisika Statistik

Transkripsi

1 Pgatar Fiika Statitik utuk Mahaiwa (Dilgkapi cotoh oal) Dr.Eg. Mikrauddi Abdullah, M.Si. Program Studi Fiika- FMIPA Ititut Tkologi Badug 7

2 Utuk itriku Ati, da aak-aakku ia, Fatha, da Ardi

3 Kata Pgatar Buku ii diuu utuk mmbatu mahaiwa mmahami fiika tatitik lbih mudah. Uraia dibrika rici mugki, tahap dmi tahap, higga mahaiwa dapat mgikutiya dga mudah. Mata kuliah Fiika Statitik ampai karag maih madi momok bagi bagaia bar mahaiwa. Ktidaktrdiaa buku yag mlaka matri cara rici tampakya madi alah atu pybab tradiya bottl ck ktrlambata klulua mahaiwa akibat gagal dalam mylaika mata kuliah trbut. Buku ii haya mmbaha daar-daar Fiika Statitik utuk mmbrika bkal yag mmadai bagi mahaiwa utuk mmamahi fiika tatitik laut. Maih bayak kkuraga yag mucul di aa-ii. Olh kara kritik da ara yag mmbagu dari pmbaca agat diharapka utuk mympuraka ii buku ii. Puli agat brtrima kaih kpada rka-rka ama do di Program Studi Fiika-FMIPA ITB ata dukuga yag agat mmbatu puli mylaika buku ii. Trima kaih kpada para mahaiwa doktor di Program Studi Fiika (Imam Taufiq, Fourir Dzar Elabbar Latif, da Etvau K. Hulila) yag tlah mmbatu mgumpulka oal-oal yag agat brgua utuk mlgkapi ii buku ii. Trima kaih pula kpada para mahaiwa bimbiga puli yag bayak mmbatu dalam bayak hal. Badug Juli 7 Mikrauddi Abdullah i

4 Daftar Ii Bab Pdahulua Bab Statitik Mawll-Boltzma 4. Kofigurai pyuua itm klaik 4. Kofigurai dga probabilita makimum. Harga rata-rata 6.4 Barka pluag kofigurai makimum agat bar 9 Bab Ruag Faa. Dfiii ruag faa. Elm volum ruag faa. Ergi kitik 4.4 ytm dalam ruag faa 5.5 Mghitug umlah kadaa 7.6 Mtuka.7 Volum lm ruag faa diyataka dalam momtum da lau Bab 4 Mtuka Paramtr Sttitik 4. Mtuka paramtr β 4. Bagaimaa krgatuga β pada uhu? 7 4. Mtuka β dari rgi rata-rata Mtuka paramtr α 4 Bab 5 Statitik Bo-Eiti Sifat daar boo 46 ii

5 5. Kofigurai boo Kofigurai makimum Paramtr α utuk foto da foo 55 Bab 6 Statitik Frmi-Dirac 56 Bab 7 Rapat Kadaa Sitm Kuatum Ktidakpatia Hibrg Koordiat paial atu dimi Koordiat paial dua dimi Koordiat paial tiga dimi 7 Bab 8 Bbrapa Bara Ga Lau dga pluag makimum Lau rata-rata Lau root ma quar Ditribui partikl dalam bara lai 8 Bab 9 Aplikai Statitik Mawll-Boltzma Plbara pctrum akibat fk Dopplr Atom magtic dalam mda magt 9 9. Dipol litrik Mom magtic dga tiga arah oritai Mom magtic dga arah oritai mbarag Vibrai kii dalam krital 9.7 Hoppig Pramaa difui Eiti 9.9 Priip kipartii rgi 4 iii

6 Bab Aplikai Statitik Bo-Eiti 9. Radiai bda hitam 9. Kapaita kalor krital 5 Bab Aplikai Ditribui Frmi Dirac 8. Fugi ditribui Frmi-Dirac pada uhu K 8. Ditribui Frmi-Dirac pada uhu T > K 4. Itgral yag mgadug fugi Frmi-Dirac 4.4 Ergi rata-rata lctro 48.5 Kapita kalor logam 5.6 Emii trmioik 54 Bab Trmodiamika Ga 59. Etropi 59. Fugi partii Boltzma 6. Ugkapa rgi dalam fugi partii 6.4 Ergi bba Hlmholtz 64.5 Kapaita kalor 65.6 Prhituga fugi partii klaik 65.7 Etropi ga miklaik 67.8 Fugi partii total 68.9 Fugi partii ga miklaik 7. Trafomai dari pumlaha k itgral 7. Suptibilita paramagtic kuatum 74. Molkul diatomic 79 Bab Embl Kaoik 9 iv

7 . Embl 9. Ji mbl 9. Probabilita 95.4 Sifat-ifat trmodiamika 95.5 Ergi bba Hlmhotlz 96.6 Ugkapa lai utuk tropy 99.7 Fugi partii total.8 Prapa mbl kaoik utuk ga tidak idal 4.9 Pramaa kadaa. Fluktuai rgi Bab 4 Soal da Latiha Statitik Mawll-Boltzma 6 Bab 5 Soal da Latiha Statitik Bo-Eiti 7 Bab 6 Soal da Latiha Statitik Frmi-Dirac 66 Bab 7 Soal da Latiha Etropi 9 Bab 8 Soal da Latiha Ga Riil Bab 9 Soal da Latiha Sitm dga Itraki Lmah 4 Bab Soal da Latiha Embl Kaoik 76 v

8 Bab Pdahulua Proala yag rig mucul pada kuliah fiika tatitik di prgurua tiggi adalah ktidaktrdiaa buku rfri bahaa Idoia yag mmadai. Buku trbita luar gri yag biaa diguaka bagai rfri umumya tidak mmbaha topik cara dtail. Hal ii rig myulitka mahaiwa mmahami mata kuliah trbut. Brathu-tahu kuliah ii diaarka olh do pada mahaiwa-mahaiwa fiika, proala yag ama lalu mucul. Bahka mata kuliah trbut madi alah ato bottl ck yag mmprlambat klulua mahaiwa. Cara pmahama fiika tatitik brbda dga mata kuliah fiika lai prti glombag, trmodiamik, da mkaika. Dalam fiika tatitik kita aka baragkat dari proala abtrak yag barya mrupaka baha kaia orag matmatika prti prmutai da kombiai. Fiika tatitik dapat dipadag bagai proala tatitik matmatik yag dibrika yarat bata fii, higga proala matmatika muri madi mmiliki itrprtai fii. Diprluka abtraki yag cukup tiggi utuk mmahami proala trbut. Da tidak mua mahaiwa bia mlakukaya. Sbarya ktika kita brhadapa dga kumpula partikl-partikl ga, partikl atomik atau ub atomik laiya, kita tidak bia mghidari dari tatitik. Sbab, umlah partikl yag kita kai agat bar, yaitu ordya lbih dari partikl. Tiap partikl mmiliki am variabl utuk mdkripika dga lgkap kadaa grakya, yaitu tiga koordiat ruag da tiga kompo momtum. Sagat tidak mugki mlaka diamika partikl trbut atu pr atu dga umlah partikl yag luar biaa bayak, mkipu mgguaka mua komputr yag ada di duia aat ii. Pdkata yag dibrika olh fiika tatitik adalah mlihat ifat rata-rata dari partikl-parikl trbut tapa kita haru mlihat partikl cara idividual. Kara bragkat dari prola tatitik matmati, mahaiwa rig mgalami kulita mmulai mmahami fiika tatitik. Buku-buku yag trdia karag kurag mmbrika plaa yag mdtil higga tidak mmbrika batua yag cukup brarti kpada para mahaiwa utuk mmahami kop-kop trbut. Dari tahu k tahu mahaiwa ttap mgalami kulita mmahami mata kuliah ii, kara cara aalii yag brbda dga mata kuliah fiika laiya.

9 Tuua pulia buku ii adalah mmbrika plaa yag lbih rici kpada mahaiwa ttag purua pramaa-pramaa fiika tatitik brta bbrapa aplikaiya. Rumu-rumu dituruka cara lgkap dga plaa yag rici pula dga harapa mahaiwa dapat mmahami lbih la. Sampai aat ii kita kulita mmuka rfri yag mmbrika plaa yag lbih rici ttag purua pramaa-prmaa trbut. Mahaiwa trpaka haru mlakuka uaha yag luar biaa utuk mmahami kop-kop trbut da tidak arag bayak yag apati. Kara matri buku ii haya diprutukka bagi kuliah atu mtr, maka haya daar-daar tatitik yag dapat madi modal awal bagi mahaiwa utuk mmplaari fiika tatitik laut yag dibrika. Topik utama yag dibaha mliputi putua fugi ditribui Mawll-Boltzma, Bo-iti, da Frmi Dirac. Cotoh aplikai drhaa k tiga macam tatitik trbut uga dibrika. Kop ruag faa da krapata kada dalam ruag faa klaik rta ruag faa kuatum uga dibrika, kara kduaya diguaka utuk mghitug bara-bara trmodiamika. Agar mahaiwa mmiliki pmahama awal ttag mbl, maka alah atu i mbl dibaha di ii, yaitu mbl kaoik. Pada lagkah purua ditribui Mawll-Boltzma, Bo-Eiti, da Frmi-Dirac, modal tatitik yag dibutuhka haya prmutai. Olh kara itu topik yag mmbaha paag lbar ttag prmutai da kombiai prti yag diumpai di kulaih-kuliah tatitik yag brifat matmati tidak dibrika di ii. Hal ii dimakudka utuk mguragi bba mahaiwa higga mrka bia lbih trfoku kpada aplikai fii dari tatitik trbut. Sblum mauk k purua brbagai fugi ditribui mai kita dfiiika bbrapa itilah yag diguaka dalam buku ii. Prtama kita mdfiika itm. Trmiologi itm yag diguaka pada buku ii mgacu kpada partikl-partikl. Cotohya, ika kita mmbaha ttag ga maka itm adalah atom atau molkul ga. Utuk ga mootoik, itm adalah atom ga da utuk ga diatomik maka atau yag mgadug atom lbih bayak maka itm adalah molkul ga. Jika kita mmbaha ttag lktro dalam logam maka itm adalah lktro-lktro trbut. Jika kita baha ttag radiai bda hitam maka itm adalah foto. Jika kita baha gtara kii maka itm adalah foo.

10 Itilah kdua yag aka kita guaka adalah ambli. Ambli adalah kumpulah itm-itm. Jumlah itm dalam ambli agat bayak. Ordya kitar ama dga ord bilaga Avogadro. Jumlah itm yag agat bar ii mmugkika prdiki tatitik utuk ifat ambli madi agat akurat. Igat, tatitik maki tliti ika ampl yag dilibatka maki bayak.

11 Bab Statitik Mawll-Boltzma Ii Bab Ii Bab ii brii prumua tatitik Mawll-Boltzma utuk ambli yag mgadug itm (partikl) klaik. Cotoh partikl klaik adalah atom atau molkul-molkul ga. Tuua Bab Ii Tuua bab ii adalah mahaiwa mmahami bagaimaa pro mmbagu tatitik Mawll-Boltzma dga mgguaka priip tatitik muri yag digabugka dga priip kkkala dalam fiika prti kkkala rgi da umlah partikl. Apa Yag Prlu Dikuaai Lbih Dahulu Utuk mmahami purua fugi ditribui Mawll-Boltzma mahaiwa prlu mmahami priip prmutai utuk bda-bda yag dapat dibdaka, ifat yag dituukka olh buah bara yag ilaiya kkal (kota), rta bagaimaa mcari ilai makimum dari buah fugi.. Kofigurai Pyuua Sitm Klaik Kita aka bragkat dari aumi bahwa rgi yag dimiliki itm-itm dalam ambli diaggap trdiri ata tigkat-tigkat rgi. Tigkat-tigkat rgi trbut brada dalam rtaga dari ol ampai tak brhigga. Gambar. adalah ilutrai tigkat-tigkat rgi yag dimiliki ambli. Utuk itm klaik, prti atom ga, prbdaa rgi dua tigkat brdkata ε mdkati ol, atau i ε i. Prbdaa rgi yag mdkati ol mmiliki maka bahwa tigkat rgi itm klaik brifat kotiu. Sitm mmpati alah atu dari kadaa rgi di ata. Dalam itm klaik uga tidak ada bataa umlah itm yag dapat mmpati atu kadaa rgi. Satu kadaa rgi dapat aa koog, atau ditmpati olh atu itm, olh dua itm, da truya. Bahka mua itm brada pada atu kadaa rgi pu tidak dilarag. 4

12 ε ε - ε - ε r ε r ε r- ε 4 ε ε ε Gambar. Tigkat-tigkat rgi yag dimiliki ambli Agar ifat fii dari ambli dapat dittuka maka kita haru mgtahui bagaimaa pyuua itm pada tigkat-tigkat rgi yag ada rta probabilita kmucula maig-maig cara pyuua trbut. Pmahama ii prlu kara ilai trukur dari bara yag dimiliki ambli ama dga prata-rataa bara trbut trhadap mua kmugkia pyuua itm pada tigkat-tigkat rgi yag ada. Cara mghitug brbagai kmugkia pyuua itm rta probabilita kmuculaya madi mudah bila tigkat-tigkat rgi yag dimiliki ambli dibagi ata bbrapa klompok, prti diilutraika pada Gbr.. Tiap klompok mmiliki agkaua rgi yag cukup kcil. Klompok prtama mmiliki agkaua rgi Klompok kdua mmiliki agkaua rgi Klompok ktika mmiliki agkaua rgi... Klompok k- mmiliki agkaua rgi : ampai dε : dε ampai dε : dε ampai dε : (-)dε ampai dε 5

13 ... Klompok k- mmiliki agkaua rgi : ( )dε ampai d ε Ergi E M Klompok-M Ergi E Klompok- Ergi E Klompok- Ergi E Klompok- Gambar. Klompok-klompok rgi dalam ambli Satu klompok rgi mgadug umlah kadaa rgi. Jumlah kadaa rgi pada klompok yag brbda bia ama da bia brbda. Mialka umlah kadaa rgi pada tiap-tiap klompok trbut bagai brikut: Jumlah kadaa pada klompok prtama : g Jumlah kadaa pada klompok kdua : g Jumlah kadaa pada klompok ktiga : g... 6

14 Jumlah kadaa pada klompok k-... Jumlah kadaa pada klompok k- : g : g Ergi kadaa yag brbda dalam atu klompok umumya brbda. Ttapi kara prbdaa rgi kadaa yag brbda dalam atu klompok agat kcil (mdkati ol) maka kita dapat mgaumi bahwa rgi dalam atu klompok diwakili olh atu ilai rgi aa. Ergi trbut diaggap bagai rgi rata-rata kadaa dalam klompok yag bragkuta. Jadi, Ergi rata-rata klompok prtama : E Ergi rata-rata klompok kdua : E Ergi rata-rata klompok ktiga : E... Ergi rata-rata klompok k- : E... Ergi rata-rata klompok k-m : E M Mialka pada kofigurai trttu tiap-tiap klompok rgi tlah ditmpati olh umlah itm bagai brikut: Jumlah itm pada klompok rgi prtama : Jumlah itm pada klompok rgi kdua : Jumlah itm pada klompok rgi ktiga : 7

15 ... Jumlah itm pada klompok rgi k-... Jumlah itm pada klompok rgi k-m : : M Jumlah total itm dalam ambli adalah. Kara itm trbut trditribui pada mua klompok rgi maka trpuhi M (.) Ergi total ambli mmuhi U M E (.) Utuk mtuka ilai dari bara-bara yag dimiliki ambli kita haru mtuka brapa probabilita muculya maig-maig kofigurai dalam ambli. Tiap pyuua itm dalam ambli mmpuyai pluag kmucula yag pri ama. Dga dmikia, probabilita kmucula buah kofigurai badig dga umlah pyuua itm yag dapat dilakuka utuk mmbagu kofigurai trbut. Dga dmikia, mcari probabilita kmucula kofigurai dga kodii Ada itm pada klompok rgi Ada itm pada klompok rgi Ada itm pada klompok rgi. 8

16 .. Ada itm pada klompok rgi... Ada M itm pada klompok rgi M kival dga mcari brapa cara pyuua: itm pada g kadaa rgi di klompok rgi itm pada g kadaa rgi di klompok rgi itm pada g kadaa rgi di klompok rgi... itm pada g kadaa rgi di klompok rgi... M itm pada g M kadaa rgi di klompok rgi M Slautya kita aka mtuka umlah cara pyuua ytm-itm yag trbar pada tigkat-tigkat rgi di ata. Utuk makud trbut, mari kita mulai dga mgaggap mua kadaa rgi koog (tidak di tmpati itm) da di luar ada umlah itm yag aka diii pada kadaa-kadaa trbut. Di ii ada dua tahap pro yag tradi, yaitu: pro I adalah mmbawa buah itm dari luar k dalam ambli da pro II adalah myuu itm pada kmpompok-klompok rgi yag ada di dalam ambli. 9

17 Pro I: Mmbawa Buah Sitm k Dalam Ambli Mari kita hitug umlah cara yag dapat ditmpuh pada tiap pro prtama yaitu mmbawa buah itm dari luar k dalam ambli. Pro ii tidak brgatug pada kofigurai ambli. Yag trptig adalah bagaimaa mmbawa mauk buah itm k dalam ambli. Utuk mtuka umlah cara trbut, prhatika tahap-tahap brikut ii. i) Ambil atu itm dari daftar buah itm yag brada di luar ambli. Kita bba mmilih atu itm ii dari buah itm yag ada trbut. Jadi umlah cara pmiliha itm yag prtama kali dibawa mauk k dalam ambli adalah cara. ii) Stlah itm prtama dimaukka k dalam ambli maka tria - itm dalam daftar di luar. Ktika mmbawa mauk itm kduak dalam ambli kita dapat mmilih alah atu dari - buah itm dalam daftar. Jumlah cara pmiliha itm ii adalah - cara. iii) Bgitu truya. iv) Akhirya, ktika itm k- aka dimaukka k dalam ambli haya ada atu itm yag tria di luar. Tidak ada piliha-piliha yag mugki higga umlah cara mmaukka itm k- k dalam ambli adalah haya cara. v) Dga dmikia, umlah total cara mmbawa mauk buah itm k dalam ambli adalah ( ) ( )...! - Gambar. Cara mmbawa itm di luar mauk k dalam ambli

18 Pro II: Pyuua Sitm di Dalam Klompok-Klompok Ergi Slautya kita tiau pro kdua. Tahapa yag ditmpuh bagai brikut. i) Tiau klompok yag mgadug kadaa da ditmpati olh itm. Sbagai ilutrai lihat Gbr.. g g g - g Gambar. Mruka cara myuu itm pada g kadaa Ambil partikl prtama. Kita dapat mmpatka partikl ii tah di kadaa k-, kadaa k-, kadaa k-, da truya higga kadaa k- mmpatka partikl prtama pada klompok- yag mmiliki. Jadi umlah cara kadaa adalah cara. Stlah partikl- ditmpatka, kita ambil partikl. Partikl ii pu dapat ditmpatka di kadaa k-, kadaa k-, kadaa k-, da truya higga kadaa k-. Dga dmikia, umlah cara mmpatka partikl kdua uga g cara. Hal yag g ama uga brlaku bagi partikl k-, partikl k-4, da truya, higga partikl k-. Akhirya, umlah cara mmpatka partikl pada g buah kadaa adalah g g g g ( buah prkalia) g g g... g Sumlah g cara di ata cara impliit mgadug maka bahwa uruta pmiliha partikl yag brbda mghailka pyuua yag brbda pula. Padahal

19 tidak dmikia. Uruta pmiliha yag brbda dari umlah partikl yag ada tidak brpgaruh pada pyuua aalka umlah partikl pada tiap bagku ttap umlahya. Uruta pmiliha umlah partikl mghailka! macam cara pyuua. Dga dmikia, umlah riil cara pyuua partikl pada g buah kadaa haruya adalah g! Plaa yag ama uga brlaku bagi buah partikl yag diuu pada g kadaa. Jumlah cara pyuua partikl trbut adalah g! Scara umum umlah cara mmpatka partikl di dalam klompok rgi yag mgadug g kadaa adalah g! Akhirya umlah cara mditribuika cara brama-ama itm pada klompok dga kadaa, itm pada klompok dga g kadaa,.., itm pada kadaa adalah g g g M M g g g M...!!!! M g! Dga dmikia, umlah total cara mmpatka buah itm k dalam kofigurai

20 yag mgadug itm pada klompok dga kadaa, itm pada g klompok dga g kadaa,.., itm pada klopmok dga g kadaa adalah W g! (.) M! Kita tiau ambli yag triolai dari ligkuga. Tidak ada prtukara partikl maupu rgi atara ambli da ligkuga. Dga dmikia, umlah itm da rgi total U yag dimiliki ambli kota. Akibatya, M δ δ (.4) M δ U E δ (.5). Kofigurai Dga Probabilita Makimum Skarag kita mcari kofigurai yag mmiliki probabilita kmucula palig bar. Kita mgaggap bahwa kofigurai yag dibtuk olh itm-itm dalam ambli yag mghailka bara makrokopik adalah kofigurai dga probabilita makimum trbut. Cara yag dilakuka adalah mcari kumpula dmikia higga W makimum. Ttapi kara W mrupaka prkalia umlah faktor maka aka lbih mudah ika kita mmakimalka makimum maka W pu makimum. Kita prolh lw. Kara ika lw l W l! l M! g g g l! l! g...! M M M! g g g l! l l... l!! M M M!

21 M g! l! l { } M g! l l! l { M g! l l! l } } (.6) Kara baik maupu mrupaka bilaga-bilaga yag agat bar maka utuk mmprmudah prhituga kita dapat mgguaka pdkata Stirlig bagai brikut! l l l l higga kita dapatka btuk approkimai { M g W l l l l (.7) Dga dmikia, difrial dari madi lw { } M g W l l l l δ δ δ δ { } M g g l l l l δ δ δ δ δ M g l l δ δ δ δ { } M g l l δ δ 4

22 { } M g δ l l M g δ l (.8) Kara kita haru mrapka yarat bata kkkala rgi da umlah partikl, maka olui utuk dicari dga mrapka prgali Lagrag bagai brikut l U W βδ αδ δ (.9) Subtitui pramaa (.4), (.5), da (.8) k dalam pramaa (.9) diprolh l M M M E g δ β δ α δ yag dapat didrhaaka madi l M E g δ β α (.) Kara kodii ii brlaku utuk ilai brapapu maka haru trpuhi l E g β α E g α β l ( ) E g α β p yag mghailka ugkapa utuk bagai 5

23 ( α βe g p ) (.) Jadi kofigurai yag mmiliki pluag kmucula palig bar adalah yag mmiliki umlah itm pada tiap klompok rgi yag mmuhi pramaa (.). Gambar.4 adalah ilutrai yag mgambraka umlah partikl yag mmpati brbagai klompok rgi. ( M,g M,E M ) M g M p(αβe M ) (,g,e ) (,g,e ) g p(αβe ) g p(αβe ) (,g,e ) g p(αβe ) Gambar.4 Jumlah partikl yag mmpati tiap klompok rgi. Harga Rata-Rata Bayak kali kofugurai yag diprbolhka ktika mmpatka itm k dalam M klompok rgi. Cotoh kofugarai trbut adalah mua itm mmpati klompok rgi prtama dagka mua klompok rgi laiya koog, atau mua klompok ditmpati olh itm dalam umlah yag ama bayak, da bagaiya. Tiap kofigurai mmiliki pluag kmucula yag brbda-bda. Pluag kmucula trbar tradi pada kofigurai yag mgadug ytm pada tiap klompok rgi 6

24 yag mmuhi pramaa (.). Mialka X adalah alah atu ifat buah ambli. ilai X yag kita ukur mrupaka prata-rataa ilai X pada mua kofigurai yag mugki. Mialka ilai X brta pluag kmucula kofigurai dilukika pada Tabl.. Tabl. ilai X brta probabilita kmuculaya Kofigurai k-i ilai X Probabilita kmucula X(kofig-) P(kofig-) X(kofig-) P(kofig-) t X(kofig-t) P(kofig-t) R X(kofig-R) P(kofig-R) Prlu diprhatika di ii bahwa umlah kofigurai yag mugki tidak ama dga umlah itm atau umlah klompok rgi dalam ambli. ilai rata-rata X mmuhi hubuga X X ( kofig ) P( kofig ) X ( kofig ) P( kofig )... X ( kofig R) P( kofig R) P( kofig ) P( kofig )... P( kofig R) R X ( kofig t) P( kofig t) t R t P( kofig t) (.) Prhituga ilai X di ata agat ulit. amu apabila kita dapat muukka bahwa alah atu kofigurai yag mugki, yaitu kofigurai dga probabilita makimum, 7

25 mmiliki ilai yag auh lbih bar daripada probabilita kofigurai-kofigurai laiya, maka prhituga madi agat drhaa. Mialka P ( kofig t) P mak da trpuhi yarat-yarat brikut ii: P ( kofig ) << P ( kofig ) <<... P ( kofig R) << P mak P mak P mak maka X ( kofig ) P( kofig ) X ( kofig ) P( kofig )... X ( kofig R) P( kofig R) X ( kofig mak) P mak da P( kofig ) P( kofig )... P( kofig R) P mak Dga dmikia X X ( kofig mak) Pmak X ( kofig mak) (.) P mak Apa implikai pramaa (.)? Implikaiya agat bar, yaitu ilai rata-rata ifat ambli ama dga ilai ifat trbut pada kofigurai dga probabilita trbar. Krumita prata-ataa trhadap mua kofigurai yag mugki mucul tlah dirduki cara dratik haya dga mghitug ilai pada kofigurai makimum. Ii adalah hail yag luar biaa. 8

26 .4 Barka pluag kofigurai makimum agat bar Yag madi prtayaa kita adalah barkah probabilita dga kofigurai makimum mmiliki ilai yag agat bar daripada kofigurai laiya. Jika ya, brarti kita dapat mgguaka pramaa (.) bahwa ilai rata-rata ifat ambli ama dga ilai pada kofigurai makimum. amu ika tidak maka pydrhaaa yag kita impika tidak trwuud. Pada bagia ii kita aka prlihatka bahwa probabilita kofigurai makimum bbar-bar mmilkiki ilai yag auh lbih bar daripada kofigurai laiya. Mari kita uraika lw dga drt Taylor di kitar lwmak lw M M d lw lw lwmak δ δδq... (.4) d, q q, mak, makq, mak Kara W haya fugi variabl aa maka lw q δ, q d lw d (.5) Dga δ, q adalah dlta Krockr. Dga dmikia kita dapatka btuk aprokimai utuk lw lw M M d lw lwmak δ δ, d, q, mak q d lw d, mak q, mak δ δ q... M M d lw d lw lwmak δ... δ (.6) d d, mak, mak Pada titik makimum trpuhi 9

27 M d lw d, mak δ (.7) higga lw l M Wmak d lw d, mak δ... (.8) Dga mgguaka pramaa (.7) kita aka dapatka d lw d M ( l g l ) d lw d d q M d l g dq d l d q d M M d q δ, q q atau d lw d lw (.9) d d d Dga dmikia prmaaa (.8) dapat dituli madi lw lwmak δ M... W l W mak M δ... (.) Jika kita aumika bahwa utuk mua ilai pyimpaga umlah itm pada tiap klompok rgi trhadap umlah itm dalam kofigurai makimum ama maka

28 δ ξ higga diprolh W l W l mak W W mak M ξ ξ M... ξ Atau W Wmak p( ξ / ) (.) Sbagai ilutrai, mialka raio dviai umlah ytm pada tiap-tiap klompok rgi trhadap umlah pada kofigurai makimum adalah ξ -. Ii adalah raio pyimpaga yag agat kcil. Jumlah itm dalam uatu ambli ord dga bilaga Avogadro, atau. Dga ilai ii maka W W mak p ( / ) p( 5) Jadi dga raio dviai ξ - kali kofigurai makimum, probabilita pluag kofigurai trbut hampir ol. Hal ii mmbuktika bahwa ilai ifat ambli pada kofigurai makimum ama dga ilai rata-rata ifat ambli.

29 Bab Ruag Faa Ii Bab Ii Bab ii brii dikui ttag ruag faa, yaitu ruag yag mgadug koordiat poii da momtum. Kadaa grak buah bda barya lbih lgkap diyataka dalam koordiar ruag faa kara koordiat trbut klagu mmbrika iformai ttag poii da momtum partikl kaligu. Tuua Bab Ii Tuua bab ii adalah mahaiwa mmahami apa itu ruag faa, bagaimaa mcari volum ruag faa, da mtuka krapata kadaa dalam ruag faa. Mahaiwa uga mahir dalam mlakuka traformai krapata kadaa dari variabl momtum k variabl rgi. Apa Yag Prlu Dikuaai Lbih Dahulu ii. Tidak ada pgtahua pdahulua yag lbih khuu utuk mmahami ii bab. Dfiii Ruag Faa Sblum mauk lbih auh utuk mcari bara-bara fii uatu ambli, mari kita dikuika atu i ruag yag diamaka ruag faa. Ruag faa adalah ruag yag dibtuk olh ruag paial da ruag momtum atau ruah paial da ruag kcpata. Kita prlu mmahami ruag faa kara barya kadaa ytm tatitik yag tlah da aka kita baha adalah kadaa ytm trbut dalam ruag faa. Mialka kita mmiliki buah partikl. Poii partikl dapat ditragka dga lgkap olh tiga koordiat ruag, yaitu, y, da z. Ttapi poii aa tidak lgkap mdkripika diamika partikl. Kita uga mmrluka iformai ttag kcpata partikl trbut. Kcpata partikl dapat didfiiika dga lgkap olh tiga koordiat kcpata, yaitu v, v, da v. Dga dmikia, diamika buah partikl y z dapat dilaka cara lgkap olh am buah koordiat, yaitu tiga koordiat ruag:,

30 y, da z, rta tiga koordiat kcpata: v, v, da v. Kita dapat mggabugka y z am koordiat trbut dalam atu ugkapa, yaitu, y, z, v, v, v ). ( y z Kara momtum mrupaka prkalia maa da kcpata, yaitu r v p m maka altratif lai utuk mdkripika diamika partikl cara lgkap adalah mmbrika tiga koordiat paial da tiga koordiat momtum. Dalam dkripi ii, diamika partikl dapat dilaka dga lgkap ika tiga koordiat paial da tiga koordiat momtum dapat dittuka. Kam koordiat trbut digabug dalam atu ugkapa, y, z, p, p, p ). ( y z z p z y p y p Gambar. Ilutrai koordiat ruag faa. Ruag yag dirptaika olh koordiat poii aa dibut ruag paial. Ruag yag diugkapka olh koordiat momtum aa dibut ruag momtum. Ruag yag dirprtaika olh gabuga koordiat ruag da da momtum dibut ruag faa.. Elm volum ruag faa Jika ruag faa dibagu olh ruag paial tiga dimi da ruag momtum tiga dimi maka: Elm volum ruag paial adalah: dv ddydy

31 Elm volum ruag momtum adalah: dv p dpdp ydp Elm volum ruag faa madi: dγ dv dv ddydzdp dp p z y dp z Jika ruag faa dibagu olh ruag paial dua dimi da ruag momtum dua dimi maka: Elm volum ruag paial adalah: ds ddy Elm volum ruag momtum adalah: ds dp p dp y Elm volum ruag faa madi: dγ ds ds ddydp dp p y Jika ruag faa dibagu olh ruag paial atu dimi da ruag momtum atu dimi maka: Elm volum ruag paial adalah: dx d Elm volum ruag momtum adalah: dp dp p Elm volum ruag faa adalah: dγ dx dp ddp p Prhatika bahwa yag dimakud lm volum pada plaa di ata bia brmaka umum. Utuk kau tiga dimi, yag dimakud lm volum adalah lm volum yag umumya kita kal. Utuk kau dua dimi, yag dimakud lm volum adalah lm lua, dagka utuk kau atu dimi, yag dimakud lm volum adalah lm paag. dalam ruag faa yag dibatai olh kordiat-. Ergi Kitik Tiau lm kcil volum koordiat brikut ii: Atara ampai d Atara y ampai y dy Atara z ampai z dz Atara ampai p dp p Atara p y ampai p dp y y 4

32 Atara pz ampai p dp z z Volum ruag faa lm trbut adalah d Γ ddydzdp dp y dp z (.) Di dalam lm volum trbut, kompo momtum partikl adalah p, p y, da p z. Dga dmikia, rgi kitik partikl yag brada dalam lm volu m trbut adalah ( v v ) ([ mv ] [ mv ] [ mv ] ) E mv m v y z y ( p p p ) m y z (.) m z.4 Sitm Dalam Ruag Faa Di ata kita baha haya atu itm dalam ruag faa. Bagaimaa ika trdapat itm? Tiap itm aka mmiliki 6 koordiat faa yag bba yag trdiri dari koordiat ruag da koordiat momtum. Koordiat itm prtama, ) (, y, z p, p y, pz Koordiat ytm kdua (, y, z, p, p, p y z... da truya. Jika ytm prtama brada pada lm volum yag dibatai olh kordiatkoordiat brikut ii Atara ampai d Atara y ampai y dy Atara ampai z dz z ) 5

33 Atara p ampai p dp Atara p y ampai p y dpy Atara p z ampai p z dp z maka volum lm ruag faa yag madi lokai itm trbut adalah dγ ddydzdpdp ydpz Dga cara yag ama maka aka kita prolh lm volum ruag faa yag ditmpati itm kdua adalah dγ ddydzdpdp ydpz da truya. Dari hail ii maka kita dapatka lm total ruag faa yag ditmpati olh buah itm adalah d Γ d dy dz dp dp dp d dy dz dp dp dp... d i i i d dy dz dp i i dp y iy dp z iz y z dy dz dp dp y dp z i dγ i (.) Di dalam lm ruag fa trbut, rgi maig-maig itm adalah ( p p p ) E y m z ( p p p ) E y m... z 6

34 ( p p p ) E y m z Dga dmikia rgi total ytm yag mmpati ruag faa dalam prama (.) adalah E E E... E E i i i m ( p p p ) i iy iz (.4).5 Mghitug Jumlah Kadaa Pada purua fugi ditribui kita udah mmbagi rgi ata klompokklompok rgi dari kmlompok k- higga klompok k- M. Tiau buah itm dga rgi E ( p p p ) / m. Pulia rgi di a ta dapat dibalik bagai brikut y z p p y pz ( me ) (.5) Badigka pramaa (.5) dga pramaa utuk bola brikut ii X Y Z R (.6) Pramaa (.5) da (.6) pri ama. Pada pramaa (.5), yag brpra bagai ari-ari adalah me. Ii brarti, dalam koordiat momtum, ilai-ilai p, p y, da p yag mmbrika E yag kota adalah yag brada pada prmukaa bola z dga ari-ari me. Satu kulit bola mwakili atu ilai rgi. Maki bar ari-ari bola maka maki bar rgi yag dimiliki itm yag brada pada kulit bola momtum trbut. 7

35 p z me p y p Gambar. Bola pada ruag momtum. Jari-ari bola adalah me Jika kita bagi rgi ambli ata klompok-klompok rgi maka tiap klompok aka diwakili olh kulit bola dga ktbala t rttu. Mari kita ambil lm volum pada kulit bola dga ari-ari me da ktbala d ( me ). Lua kulit bola trbut adalah ( me ) πme S p 4π 8 (.7) Tbal kulit bola adalah d m ( me ) m d( E ) m E / de E / de (.8) Dga dmikia, volum kolit bola adalah dv p S pd ( me ) 8

36 m / / ( m) 8π me E de π E / de (.9) p z d( me ) me p y p Gambar. Elm volum dalam ruag momtum brupa kulit bola Volum ruag faa yag ditmpati olh itm momtum rta dalam lm volum paial dv ddydz adalah yag brada pada kulit bola dγ ddydz π / ( m) / E de (.) Volum ruag faa yag ditmpati olh itm pada mua ruag paial, ttapi ttap brada dalam kulit bola momtum diprolh dga mgitgralka pramaa (.) pada lm ruag paial. Hailya adalah Γ p πv ddydz π / ( m) / E de / ( m) / E de (.) 9

37 dga V ddydz ambli itu diri. adalah volum total ruag paial yag tidak lai mrupaka volum Kita blum mgtahui brapa krapata kadaa dalam ruag faa. Utuk mtara kita mgaggao krapata kadaa trbut adalah B. Jumlah kadaa dalam lm ruag faa Γ ama dga volum ruag faa dikali krapataya, yaitu p B Γ p ( ) / de πvb m E / (.) Jika klompok-klompok rgi yag kita bagu di dalam ambli diwakili olh kulit bola maka kita dapat myamaka g dalam pramaa (.) dga pramaa (.). Akhirya, kita dapatka ugkapa utuk g bagai B Γ p pada / / ( m) E de g πvb (.).6 Mtuka Stlah mgtahui btuk g dalam fugi kotiu yaitu yag trtuag dalam pramaa (.), lautya kita aka mtuka dalam btuk kotiu uga. Dalam btuk dikrit, hubuga atara da g adalah g α β E (.) Pada pramaa di ata, adalah umlah itm di dalam ambli. Skarag kita mdfiika karapat itm, yaitu umlah itm pr atua rgi. Utuk krapata ytm kita gubaka ymbol (E). Dga dmikia, umlah itm dalam kulit bola y ag dibatai olh rgi E da E de adalah E) de. Dga mggati dga da krapata kadaa dalam btuk kotiu bagai brikut ( E) de da g dg a pramaa (.) kita dapatka hubuga atara umlah itm (

38 ( E) de πvb ( m) / α β E / α βe ( m) / E de E / πvb de (.4).7 Volum Elm Ruag Faa Diyataka Dalam Momtum da Lau Pramaa (.) myataka lm volum ruag faa diyataka dalam variabl rgi. Kita uga dapat myataka lm volum trbut dalam variabl momtum atau lau. Kita mulai dari hubuga E p / m higga E / / p (.5) m de pdp (.6) m Subtitui pramaa (.5) da (.6) k dalam lm ruag faa diyataka dalam momtum bagai brikut. pramaa (.) diprolh ugkapa Γ π V p m / m ( m) / p pdp 4πVp dp (.5) Mgigat hubuga atara momtum da lau p mv maka dp mdv. Kokuiya, kita dapat muli lm ruag faa dalam koordiat poii bagai brikut, Γp 4πV ( mv ) (mdv) 4πVm v dv (.6)

39 g Dga mgguaka pramaa (.6) B Γ 4πBVm v dv da krapata kadaa madi p maka kita dapatka ( v) dv g 4πBVm v (4πBVm α βe dv α ) v α β ( mv mv / kt / ) dv (.7) Hail yag kita prolh di ata aka rig kita umpai pada bab-bab brikutya, khuuya aat mlakuka traformai dari pumlaha dikrit k itgral kotiu.

40 Bab 4 Mtuka Paramtr Statitik Ii Bab Ii Bab ii brii ptua paramtr α da β yag trdapat dalam fugi ditribui Mawll-Boltzma. Paramtr-paramtr trbut tlah diprkalka utuk mampug kkkala rgi da umlah partikl yag dimiliki ambli. Tuua Bab Ii Tuua bab ii adalah mahaiwa mmahami bagaimaa mtuka paramtr α da β dalam fugi ditribui Mawll-Boltzma da alaa-alaa yag diguaka dalam pro ptua paramtr-paramtr trbut. Apa Yag Prlu Dikuaai Lbih Dahulu Pmahama ttag ii Bab da Bab agat ptig utuk mgikuti plaa dalam bab ii. Juga pmahama ttag kop tropi yag diplaari di trmodiamika rta daar priip kipartii rgi yag diplaari pada ga idal uga agat mmbatu dalam mmahami ii bab ii. 4. Mtuka Paramtr β Ktika mcari kofigurai dga probabilita trbar, kita mmprkalka dua pgali Lagrag, yaitu α da β utuk mgakomodai yarat bata bahwa umlah itm da rgi ambli haru kota. Prtayaa brikutya adalah adakah maka fii paramtr-paramtr trbut? Iilah yag kita baha karag. Sudah kita tuukka bahwa umlah itm yag mmpati klompok rgi dga rgi rata-rata E da mgadug kadaa bayak g mmuhi pramaa α βe (.) yaitu g. Scara fii kita myakii bahwa tidak mugki ada itm yag mmiliki rgi tak brhigga. Olh kara itu ika E maka harulah. Ii haya mugki trpuhi ika paramtr β brilai gatif. Lalu, brgatug pada bara apakah β?

41 , T, T, T E, T Gambar 4. Dua buah ambli triolai digabug tlah mmbuka maig-maig atu iiya. Pada bata dua ambli diiika prtukara rgi ttapi tidak diiika prtukara partikl Stlah mgtahui bahwa ilai paramtr β haru gatif mari kita mcari btuk kpri dari paramtr trbut. Utuk mmprmudah mari kita tiau dua ambli triolai da brada pada uhu yag ama T. Kamaa uhu brmaka k dua ambli brada dalam ktimbaga trmal. Ambli prtama mmiliki itm da ambli kdua mgadug itm. Kmudia alah atu ii maig-maig ambli dilpa da dua ambli dikotakka pada ii yag dilpa trbut. Stlah dikotakka dua ambli madi buah ambli baru yag ttap triolai dari ligkuga. Mialka pada prmuka kotak dua ambli dipaag didig dmikia rupa higga tidak ada prtukara itm atara dua ambli amu prtukara rgi diprbolhka. Akibatya, blum da udah dua ambli diatuka, umlah partikl di ambli kiri maupu ambli kaa tidak brubah. Ttapi rgi yag dimiliki maig-maig ambli awal bia brubah (lihat Gbr. 4.). 4

42 Kara ambli gabuga triolai dari ligkuga maka prtukara rgi atar dua ambli awal tidak mgubah rgi total ambli gabuga. Dga pryarata di ata kita dapatka bbrapa kotrai brikut ii kota (4.) kota (4.) U U U E kota (4.) E Apabila kita yataka dalam btuk difrial, pramaa (4.) ampai (4.) brbtuk δ δ (4.4) δ δ (4.5) δ U E δ Eδ (4.6) Sblum k dua ambli digabug maka umlah pyuua itm pada kadaa-kadaa rgi di maig-maig ambli mmuhi W! g! (4.7) W! g! (4.8) Ktika dua ambli digabug maka probabilita pyuua itm-itm pada ambli gabuga trbut mrupaka prkalia probabilita pyuua pada maigmaig ambli awal, yaitu W W W 5

43 atau bila diugkapka dalam otai logaritma madi l l l W W W (4.9) Kita aka mcari kofigurai dga probabilita makium dga mmprhatika tiga kotrai pada pramaa (4.4) ampai (4.6). Ii myaratka pgala tiga pgali Lagrag α, α, da β. Syarat makimum mmuhi pramaa l U W βδ δ α δ α δ (4.) Dga mgguaka pramaa (4.9) maka l l l W W W δ δ δ W W l l δ δ (4.) Subtitui pramaa (4.4), (4.5), (4.6), da (4.) k dalam pramaa (4.) diprolh l l E E W W δ δ β δ α δ α δ δ yag dapat didrhaaka madi l l E W E W δ β α δ β α (4.) Agar pramaa (4.) lalu trpuhi utuk variai δ da δ brapa pu maka uku dalam kurug pada haru ol, atau 6

44 lw lw α βe (4.) α βe (4.4) Prama (4.) da (4.4) mgadug β yag ama. Ii mgiyaratka bahwa ika β mrupaka fugi paramtr trmodiamika maka paramtr yag mtuka β harulah yag tidak brubah blum da udah dua ambli digabug. Paramtr trbut haya uhu. Sblum da udah dua ambli digabug uhuya ama. Jadi kita impulka bahwa β haya mrupaka fugi uhu, atau β β (T ) (4.5) 4. Bagaimaa Kbrgatuga β Pada Suhu? Stlah kita mgtahui bahwa β mrupaka fugi uhu maka lagkah lautya adalah mtuka kbrgatuga β trhadap uhu. Utuk makud mari kita lihat ambli pada Gbr. 4. brikut ii. Di dalam ambli kita ltakka buah pmaa yag dapat muplai kalor k dalam ambli. dq Gambar 4. Kalor diuplai k dalam ambli 7

45 Ergi dalam yag dimiliki ambli adalah U. Jika k dalam ambli dibrika tambaha kalor dq maka kalor aka mgubah rgi dalam ambli da mlakuka kra pada ambli trbut. Hubuga atara prubaha rgi dalam, kalor yag dibrika da kra yag dilakuka mmuhi hukum II trmodiamika, yaitu du dq dw. Dga mgguaka dfiii dw pdv maka du dq pdv (4.6) Kara ada kmugkia volum ambli brubah ktika myrap kalor maka tigkat rgi dalam ambli uga mugki brubah. Akibatya, rgi rata-rata itm dalam atu klompok rgi, yaitu E, uga mugki brubah higga cara umum trpuhi δ E. Dga dmikia. Mgigat U E maka cara umum dalam btuk difrial dari U adalah δ U δe (4.7) Eδ Bagaimaa hubuga prama (4.6) da (4.7)? Maih igat plaara fiika modr aat mmbaha partikl kuatum yag trpragkap dalam kotak (umur potial)? Di itu dibaha bahwa tigkat rgi partikl dalam kotak brgatug pada ukura kotak. Maki bar ukura kotak maka tigkat-tigkat rgi maki rapat da madi kotiu ktika ukura kotak muu tak brhigga. Klakua rupa uga dapat ditrapka di ii. Ktika dalam ambli diuplai kalor, prubaha tigkat rgi dalam ambli mata-mata dibabka prubaha ukura paial ambli. Jadi, prubaha tigkat rgi dalam ambli, yaitu δ E mrupaka kotribui dari prubaha ukura ambli. Dga dmikia, korlai atara pramaa (4.6) da (4.7) madi bagai brikut: Suku prtama pada pramaa (4.7) mrupaka kotribui dari pmbria kalor 8

46 Suku kdua dalam pramaa (4.7) mrupaka kotribui dari prubaha volum ambli. Dga dmikia kita dapat mgambil kimpula brikut ii Eδ δq (4.8) δ E pdv (4.9) Jika kita mgaggap bahwa didig ambli agat tgar higga tidak tradi prubaha volum pada aat pyrapa kalor δ Q maka δ U δq (4.) Dga dmikia, yarat kofigurai dga probabilita makimum madi δ l W αδ βδq (4.) Utuk ambli yag triolai, umlah itm tidak brubah higga δ. Akibat dari pmbataa trbut maka pramaa (4.) madi δ l W βδq atau δ l W βδq (4.) Igat lw mrupaka buah fugi higga δ lw mrupaka difrial ati, yaitu mrupaka liih dua ilai brdkata. Ttapi δ Q buka mrupaka difrial ati. δ Q tidak dapat diyataka bagai liih dua ilai dari uatu fugi. Dga dmikia tampak bahwa rua kiri da kaa prmaaa (4.) tidak koit. Agar koit maka rua kaa pu haru mrupaka difrial ati. Dalam plaara trmodiamika, udah dibaha bahwa δ Q bia diubah madi difrial ati ika dibagi dga uhu. Jadi, walaupu δ Q buka difrial ati ttapi δ Q / T mrupaka 9

47 difrial ati. Di trmodiamika dibaha bahwa δ Q / T mrupaka buah bara trmodiamika yag brama tropi. Dga dmikia, agar rua kaa pramaa (4.) madi difrial ati maka harulah β / T. Da kara kita muukka bahwa β brharga gatif, maka btuk umum β bagai fugi uhu maadi β (4.) kt dga k buah kotata. ati aka kita buktika bahwa k tidak lai daripada kotata Boltzma. 4. Mtuka β dari Ergi Rata-Rata Cara lai mtuka paramtr β adalah mgguaka kop rgi rata-rata yag dituruka mgguaka tori kitik ga idal. Satu atom atau molkul ga yag haya mlakuka grak tralai dalam tiga arah koordiat ruag mmiliki rgi kitik rata-rata E kt (4.4) dga T uhu mutlak da k kotata Boltzma. Kita bia mdapatka rgi ratarata trbut dga mgguaka kop krapata kadaa yag tlah kita plaari pada bab trdahulu. Mari kita lakuka di ii. Dalam Bab kita udah muruka umlah partikl yag brada dalam agkaua rgi atara E ampai E de adalah ( E) de πvb ( m) / α βe / E de Ergi rata-rata partikl dapat diyataka dalam btuk 4

48 E E( E) de ( E) de E / ( ) / α βe π VB m E de πvb( m) πvb βe βe E E / / ( m) de de / α βe E / de πvb / α ( ) / α m βe βe E E / / de de (4.5) Mari kita laika itgral pada pada pramaa (4.5) dga mlihat pmbilag trlbih dahulu. Utuk mylaika itgral trbut kita mialka β E de d (4.6a) / E y (4.6b) Dga mlakuka itgral pada dua ii pramaa (4.6) diprolh β βe da dga mlakuka difrial pada pramaa (4.6b) diprolh dy E / de Slauta kita mgguaka atura ratai utuk itgral yd y dy. Dga atura ii maka kita dapat muli bagia pmbilag pramaa (4.5) bagai 4

49 βe E / de β βe E / β βe E / de β β / β β / β E / βe de (4.7) Kara β gatif maka β da muu ol lbih cpat daripada mmbarya / higga prkalia β /. Dga ifat ii maka uku prtama di ii kaa pramaa (4.7) yaitu yag brada di dalam kurug iku ilaiya ol da itgral pmbilag di pramaa (4.5) madi / βe / βe E de β E de (4.8) Subtitui pramaa (4.8) k dalam pramaa (4.5) didapatka rgi rata-rata ytm madi E βe βe E E / / de de β βe βe E E / / de de β Kara rgi rata-rata ii haru ama dga kt / maka / β kt / higga diprolh ugkapa utuk β β kt 4

50 yag pri ama dga pramaa (4.). Hail ii pu mmbuktika bahwa k barbar mrupaka kotata Boltzma kara braal dari ugkapa rgi rata-rata ytm. 4.4 Mtuka Paramtr α Stlah mgtaui ugkapa utuk g, kita iap mtuka paramtr pgali Lagrag α. Kita mulai dari hubuga g α β E. Slautya kita lakuka pumlaha utuk mua yag mugki α βe g α g βe Pumlaha di rua kiri adalah umlah total itm. Jadi α g βe (4.9) gati g Mari kita fokuka pada uku pumlaha di rua kaa pramaa (4.9). Kita dga btuk kotiu yag dibrika olh pramaa (.). Pumlaha lautya digati dga itgral pada mua agkaiau rgi yag mugki, yaitu daru E ampai E. Btuk itgral yag dimakud adalah α / βe / π VB E de ( m) ( ) / α m βe π VB E / de (4.) Utuk mylaika itgral (4.) mari kita mdfiiika β E y higga y E, (4.a) β 4

51 da de dy, (4.b) β E / / y β β / y / (4.c) Dga mubtitui pramaa (4.a) ampai (4.c) maka uku itgral di rua kaa pramaa (4.) madi βe E / / y / de y β dy β / y β y / dy / Γ β di maa Γ() adalah fugi gamma. Dapat dibuktika cara aalitik (walaupu agak paag) da uga udah ditablka bahwa ( / ) π / Γ higga / β / π E E de (4.) β Akhirya, ubtitui pramaa (4.) k dalam (4.) diprolh / / α π π VB ( m ) (4.) β Kara kita udah mmbuktika β / kt maka πvb / ( m) α ( kt ) / π 44

52 VB α ( πmkt ) / higga paramtr α α VB ( πmkt ) / atau α l (4.4) / VB( πmkt ) Higga aat ii kita udah lgkap mtuka paramtr-paramtr fugi ditribui klaik yag mula mrupaka pgali Lagrag yag diprkalka utuk mmprhitugka umlah partikl kota da rgi total kota. 45

53 Bab 5 Statitik Bo-Eiti Ii Bab Ii Bab ii brii prumua tatitik Bo-Eiti utuk ambli boo, yaitu partikl kuatum dga pi mrupaka klipata bulat dari boo adalah foto, foo, da atom hlium. h / π. Cotoh partikl Tuua Bab Ii Tuua bab ii adalah mahaiwa mmahami bagaimaa pro mmbagu tatitik Bo-Eiti dga mgguaka priip tatitik muri yag digabugka dga priip kkkala dalam fiika prti kkkala rgi da umlah partikl. Apa Yag Prlu Dikuaai Lbih Dahulu Utuk mmahami purua fugi ditribui Bo-Eit mahaiwa prlu mmahami priip prmutai utuk bda-bda yag tidak dapat dibdaka, ifat yag dituukka olh buah bara yag ilaiya kkal (kota), rta bagaimaa mcari ilai makimum dari buah fugi. Pmahama ttag purua ditribui Mawll- Boltzma uga mrupaka modal brharga utuk mmahami purua ditribui Bo- Eiti cara lbih mudah. 5. Sifat Daar Boo Pyuua partikl yag kita baha pada bab blumya brlaku utuk partikl dapat dibdaka. Partikl macam ii ikal dga partikl klaik. Cotoh partikl klaik adalah atom da molkul ga. Dapat dibdaka di ii buka brarti kita dapat mlihat dga mata tlaag bahwa ika ada dua partikl maka kita dapat mmbdaka maa partikl A da maa partikl B. Dga mata tlaag atau bahka dga mikrokop pu kita tidak dapat mmbdaka atu partikl dga partikl laiya. Dapat dibdaka di ii haya dari udut padag tori (kop). Jika ada dua patikl yag mmiliki rgi brbda diprtukarka maka kita mgagap aka mdapatka pyuua yag baru. 46

54 Kalau kita mlagkah k partikl ub atomik prti proto da lktro maka ifat dapat dibdaka hilag. Prtukara dua partikl yag mmpati tigkat rgi brbda tidak mghailka i pyuua baru. Dikataka partikl-partikl ii tidak trbdaka. Sifat partikl ub atomik yag tidak dapat dibdaka dapat dipahami dari kop glombag partikl. Paag glombag d Brogli partikl-partikl trbut mmuhi λ h / mv dga m maa partikl da v lau partikl. Kara m utuk partikl ub atomik agat kcil maka paag glombag λ cukup bar. Paag glombag yag bar mybabka fugi glombag dua partikl yag brdkata tumpag tidih (brimpita). Kalau dua fugi glombag tumpag tidih maka kita tidak dapat lagi mmbdaka dua partikl yag mmiliki fugi-fugi glombag trbut. Kodii balikya diumpai pada partikl klaik prti molkul-molkul ga. Maa partikl agat bar higga λ agat kcil. Akibatya tidak tradi tumpag tidih fugi glombag partikl-partikl trbut, higga cara priip partiklpartikl trbut dapat dibdaka. Aka kita lihat ati bahwa pada uhu yag agat tiggi partikl ub atomik brprilaku prti partikl klaik. Pada uhu yag agat tiggi kcpata partikl agat bar higga paag glombagya agat kcil. Akibatya, tumpag tidih glombag partikl-partikl madi hilag da partikl madi trbdaka. Sitm kuatum yag aka kita baha ada dua macam yaitu boo da frmio. Boo adalah itm yag mmiliki pi klipata bulat dari h / π. Sitm ii tidak mmuhi priip klui Pauli higga atu tigkat rgi dapat ditmpati olh partikl dalam umlah brapa pu. Sbalikya, frmio mmiliki pi yag mrupaka kalipata gail dari / ( h / π ). Sitm ii mmuhi priip klui Pauli. Tidak ada dua partikl atau lbih yag mmiliki kadaa yag ama. 5. Kofigurai Boo Mari kita mulai dga muuruka tatitik utuk boo. Statitik ii diamaka tatitik Bo-Eiti. Agar dapat mtuka fugi ditribui Bo-Eiti, kita trlbih dahulu haru mtuka kofigurai dga probabilita palig bar. Kofigurai ii mmiliki probabilita yag auh lbih bar daripada kofigurai- 47

55 kofigurai laiya higga ahmpir luruh waktu itm boo mmbtuk kofigurai trbut. Sifat rata-rata ambli dapat diaggap ama dga ifat pada kofigurai makimum trbut. Kita ttap mmbagi tigkat rgi itm-itm dalam ambli ata M klompok bagai brikut: Klompok- mmiliki umlah kadaa Klompok- mmiliki umlah kadaa... Klompok- mmiliki umlah kadaa da rgi rata-rata g E da rgi rata-rata g E g da rgi rata-rata E... Klompok-M mmiliki umlah kadaa g M da rgi rata-rata EM Kita aka mtuka brapa cara pyuua yag dapat dilakuka ika: Ada itm di klompok- Ada itm di klompok- Ada Ada M itm di klompok- itm di klompok-m 48

56 Mari kita tiau klompok- di maa trdapat kadaa da itm. Mari g kita aalogika atu kadaa bagai buah kuri da atu itm diaalogika bagai buah bda yag aka diltakka di kuri trbut. Satu kuri dapat aa koog atau mampug bda dalam umlah brapa aa. Utuk mghitug umlah pyuua bda, kita dapat mlakukaya bagai brikut. Lihat Gbr. 5.. Pyuua- Pyuua- Pyuua- Gambar 5. Pyuua bda da kuri aalog dga pyuua boo dalam tigkat-tigkat rgi. Utuk mrprtaika itm boo, bagia palig bawah haru lalu kuri. Dari Gbr 5., apa pu cara pyuua yag kita lakuka, yag brada di uug bawah lalu kuri kara bda haru diagga olh kuri (itm haru mmpati tigkat 49

57 rgi). Olh kara itu, ika umlah total kuri adalah g maka umlah total kuri yag dapat diprtukarka haya g kara alah atu kuri haru ttap di uug bawah. Brama dga partikl bayak, maka umlah total bda yag dapat diprtukarka dga ttap mmuhi ifat boo adalah ( g ) g. Akibatya, umlah cara pyuua yag dapat dilakuka adalah g )!. ( Kara itm boo tidak dapat dibdaka atu dga laiya, maka prtukara ama partikl da ama kuri tidak mghailka pyuua yag brbda. Jumlah pyuua bayak g )! cara impliit mmprhitugka umlah prtukara ( atar partikl da atar kuri. Jumlah prtukara atar partikl adalah! da umlah prtukara atar kuri adalah g!. utuk boo di dalam g kadaa hayalah Olh kara itu, umlah pyuua yag brbda ( g )! (5.)!! g Hal yag ama brlaku utuk klompok- yag mgadug g kadaa dga populai itm. Jumlah cara pyuua yag brbda ytm-it, k dalam kadaa-kadaa trbut adalah ( g )! ( 5.)!! g Trakhir higga kmpok rgi k-m, umlah cara pyua yag brbda utuk i tm dalam g M kadaa adalah M ( g M! g M M M )!! (5.) 5

58 Akhirya, umlah total cara pyuua yag brbda cara bramaa itm di dalam g kadaa, itm di dalam g,., M itm dalam g M kadaa adalah ( g )! ( g! g!! g )! ( g...!! g M M M M )!! M! g! ( g )! (5.4) Kita haru uga mmprhitugka umlah cara mmbawa itm dari luar utuk diditribuika k dalam tigkat-tigkat rgi di ata. Jumlah cara pgambila ytm adalah! cara. Kara itm tidak dapat dibdaka maka umlah trbut haru dibagi dg a!, higga umlah total cara mmbawa itm k dalam tigkat-tigkat rgi di dalam ambli adalah!/!. adalah Akhirya, kita dapatka umlah pyuua itm-itm dalam ambli boo W M! g! ( g )! (5.5) 5. Kofigurai Makimum Slautya kita aka mtuka kofigurai dga pluag kmucula palig bar. Ambil logaritma rua kiri da kaa pramaa (5.5) l W l M M l! g!! g! ( g )! ( g )! M ( g ) l l! l! l g! (5.6) Kmudia kita guaka pdkata Stirlig utuk mlakuka pydrhaaa bagai brikut 5

59 l( g )! ( g )l( g ) ( g ) l g! g l g l! l g Dga pdkata trbut maka pramaa (5.6) madi l W M [ ( g )l( g ) ( g ] ) g l g g l (5.7) Jumlah total itm rta rgi total ambli mmuhi M da U M E. Utuk ambli yag triolai higga tidak ada prtukara itm maupu rgi atara ambli da ligkuga. Jumlah itm maupu rgi ambli kotat. Pmbataa ii dapat diyataka dalam btuk difrial brikut ii M δ δ (5.8) M δu E δ (5.9) Kofigurai dga probabilita makimum diprolh dga mmakimumka l W. Dga mmprhatika kotrai pada pramaa (5.8) da (5.9) maka kofigurai dga probabilita makimum mmuhi δ l W αδ βδu (5.) Slautya dga mgambil difrial pramaa (5.7) kita prolh 5

60 [ M g g g W ) ( ) )l( ( l δ δ δ ] g g g δ δ δ δ l l (5.) Mari kita hitug uku pr uku yag trkadug dalam pramaa (5.). i) g g g g δ δ ) )l( ( ) )l( ( [ ] g g g g δ δ ) l( ) ( ) ( ) l( g g δ δ δ ) ( ) ( ii) l l g g g g δ δ iii) [ ] δ δ δ δ l l l l iv) Pramaa (5.) lautya madi [ ] [ ] M g W l ) l( l δ δ δ δ δ [ ] M g l ) l( δ M g l δ (5.) ara da maka K >> g >> g g higga pramaa (5.) dapat didrhaaka lbih laut madi M g W l l δ δ (5.) 5

61 Subtitui pramaa (5.8), (5.9), da (5.) k dalam prama (5.) diprolh l M M M E g δ β δ α δ atau l M E g δ β α (5.4) amaa di ata haru brlaku utuk mua variai K δ. Ii diami ika bagia di dalam kurug lalu ol, yaitu l E g β α atau ( ) E g α β p ( ) E g β α p ( ) [ ] p E g β α Da akhirya didapatka ugkpa utuk umlah populai pada tiap-tiap tigkat rgi bagai brikut ( ) p E g β α (5.5) 54

62 Tryata utuk ambli boo, paramtr β uga brbtuk β / kt. Dga dmikia, btuk lgkap fugi ditribui Bo-Eiti utuk ambli boo adalah p g ( α E / kt ) (5.6) 5.4 Paramtr α Utuk Photo da Phoo Kita prhatika utuk paramtr α pada pramaa (5.6). Ada atu kkhuua utuk ambli foto (kuatiai glombag lktromagtik) da foo (kutiai gtra atom dalam krital) da ii brimplikai pada ilai padamtr α. Dalam uatu kotak, foto bia dirap atau diciptaka olh atom-atom yag brada pada didig kotak. Akibatya, umlah foto dalam atu ambli tidak haru ttap. Jumlah foto bia brtambah, ika atom-atom di didig mmacarka foto da bia brkurag ika atomatom di didig myrap foto. Utuk itm macam ii pmbataa bahwa umlah total itm dalam ambli kota barya tidak brlaku. Pada purua fugi ditribui Bo-Eiti kita tlah mgaumika bahwa umlah itm dalam ambli lalu ttap, yaitu δ. Kotrai ii dimaukka dalam pramaa dga mmprkalka faktor pgali Lagrag α. Olh kara itu, agar kotrai ii tidak dibrlakuka utuk ambli dga umlah itm tidak ttap, prti foto atau foo maka ilai α haru diambil ol. Dga ilai ii maka fugi ditribui utuk itm macam ii madi g (5.7) p ( E / kt ) Fugi ditrubui yag diugkapka olh pramaa (5.7) aka kita pakai cara lagug ktika mmbaha ifat tatitik foto da foo (gtara kii). Aplikai-aplikai trbut aka kita baha dalam Bab. 55

63 Bab 6 Statitik Frmi-Dirac Ii Bab Ii Bab ii brii prumua tatitik Frmi-Dirac utuk ambli frmio, yaitu partikl kuatum dga pi mrupaka klipata gail dari h / 4π. Partikl ii mmiliki atu ifat kha, yaitu mmuhi priip klui Pauli. Bradarka priip ii maka tidak ada frmio yag bolh mmiliki kumpula bilaga kuatum yag ama. Satu kadaa rgi haya bolh ditmpati makimum olh dua frmio dga yarat arah pi haru brlawaa. Cotoh partikl frmio adalah lktro, proto, da poitro. Tuua Bab Ii Tuua bab ii adalah mahaiwa mmahami bagaimaa pro mmbagu tatitik Frmi-Dirac dga mgguaka priip tatitik muri yag digabugka dga priip kkkala dalam fiika prti kkkala rgi da umlah partikl. Apa Yag Prlu Dikuaai Lbih Dahulu Utuk mmahami purua fugi ditribui Frmi-Dirac mahaiwa prlu mmahami priip prmutai utuk bda-bda yag tidak dapat dibdaka, ifat yag dituukka olh buah bara yag ilaiya kkal (kota), rta bagaimaa mcari ilai makimum dari buah fugi. Pmahama ttag purua ditribui Mawll- Boltzma rta Bo-Eiti uga mrupaka modal brharga utuk mmahami purua ditribui Frmi-Dirac cara lbih mudah. 6. Kofigurai Frmio Kita udah muruka fugi ditribui utuk itm kuatum boo yag mmpuyai ifat bahwa bilaga kuatum pi mrupaka klipata bulat dari h / π. Pada bagia ii kita aka muruka fugi ditribui utuk itm kuatum frmio dga bilaga kuatum pi mrupaka klipata gail dari h / 4π. Salah atu ifat yag dimiliki frmio adalah trpuhiya priip klui Pauli. Tidak bolh lbih dari 56

64 atu frmio mmiliki kadaa kuatum yag ama. Satu kadaa haya bolh koog atau haya ditmpati olh atu frmio. Kokui dari priip kklui Pauli adalah umlah frmio haru lbih dikit atau ama dga umlah kadaa. Ii brbda dga itm klaik atau boo di maa tidak ada pmbataa umlah partikl yag mmpati kadaa trttu. Brapa pu umlah kadaa yag trdia, maka kadaa trbut dapat mampug partikl klaik maupu boo yag umlahya brapa pu. Utuk muruka fugi ditribui Frmi-Dirac kita pu aka mmulai dga mmbagi kadaa-kadaa ata klompok-klopok bagai brikut: Klopok- mgadug Klopok- mgadug Klopok- mgadug... kadaa dga rgi rata-rata g E kadaa dga rgi rata-rata g E g kadaa dga rgi rata-rata E Klopok-M mgadug... g M kadaa dga rgi rata-rata EM Jumlah itm yag mmpati maig-maig kadaa mialka itm mmpati kadaa- itm mmpati kadaa-... itm mmpati kadaa

65 M itm mmpati kadaa-m Kara atu kadaa makimum mampug atu itm maka haru trpuhi g, g,, g,, M g M. Slautya kita aka mtuka brapa cara myuu itm pada kadaa, itm pada g kadaa,, itm pada g kadaa. Tiau klompok-. Di ii ada kadaa da mampug itm. Kmbali kita g mgaalogika kadaa bagai kuri da itm bagai bda yag aka ditmpatka pada kuri-kuri trbut, prti diilutraika pada Gbr. 6.. M g M Pyuua- Pyuua- Pyuua- Gambar 6. Cotoh pyuua frmio aalog dga pyuua kuri. Sbagia kuri ditmpli bda (kadaa yag diii frmio) da bagia kuri koog (kadaa yag tidak ditmpati frmio). 58

66 Utuk mtuka umlah cara mmpatka bda pada kuri-kuri trbut, kita tmplka bda pada kuri-kuri tbut. Pada atu kuri haya bolh ditmplka atu bda. Pmpla ii mami bahwa tidak bolh lbih dari atu bda brada pada atu kuri. Akibatya kita dapatka: Ada buah kuri yag ditmpli bda Ada g buah kuri yag koog. Kmudia kita mlakuka prmutai mua kuri yag ada baik yag koog maupu yag ditmpli bda. Kara bda udah mmpl pada kuri maka prmutai tidak mmugkika muculya atu kuri yag mampug lbih dari atu bda. Jumlah kuri yag diprmutai adalah g kuri higga mghailka umlah prmutai bayak g! cara. Ttapi, kara ( g ) buah kuri koog tidak trbdaka da buah kuri yag ditmpli bda uga tidak dapat dibdaka maka umah prmutai g buah kuri haru dibagi dga prmutai ( g ) buah kuri koog da buah kuri yag ditmpli bda utuk mdapatka pyuua yag brbda. Jadi, uml ah pyuua yag brbda hayalah ( g g! )!! (6.) Dga cara yag ama kita daptka umlah cara pyuua itm pada g kadaa adalah ( g g! )!! (6.) Bgitu truya. Akhirya, umlah total cara pyuua cara brama-ama itm pada kadaa, itm pada g kadaa,, itm pada g kadaa adalah g M M 59

67 ( g g! )!! ( g g! )!...! ( g g M M! )! M M! M ( g )!! g! (6.) Slautya kita prlu mtuka brapa cara mmbawa itm dari luar utuk diditribuika k dalam kadaa-kadaa di dalam ambli. Sprti yag kita baha pada ambli boo, utuk partikl tidak trbdaka umlah cara trbut adalah! /!. Akhirya, umlah cara pyuua frmio utuk kofigurai di ata adalah W M ( g )!! g! atau dalam otai logaritma M g! l W l (6.4) (g )!! Jumlah total itm dalam ambli da rgi total ambli maig-maig M adalah da U E. Utuk itm triolai di maa tidak tradi M prtukara partikl maupu rgi atara ambli da ligkuga maka umlah partikl lalu kota da rgi total uga kota. Dga dmikia btuk difrial dari da U adalah M δ δ (6.5) M δu E δ (6.6) 6

68 Kofigurai dga probabilita makimum diprolh dga mmakimalka atau dga mmp m karah itu kita coba drhaaka pada pramaa (6.4). W W l rhatika kotrai pada pramaa (6.5) da (6.6). Sblu lw l lautya kita guaka pdkata Stirlig utuk mydrhaaka faktorial, yaitu M g g! l )! l(! l W S g g g g! l l ) ( ) )l( ( )! l( g g g g! l l Dga dmikia btuk dapat diaprokimai bagai brikut Slauya, ambil difrial k dua rua pramaa (6.7) ] (6.8) ari kita hitug atu pr atu uku dalam pramaa (6.8) i) lw M g g g g g g W l ) ( ) )l( ( l l M g g g g l ) )l( ( l (6.7) [ ] [ ] [ M g g g g W l ) )l( ( l l δ δ δ δ M [ ] [ ] l l g g g g δ δ 6

69 [ ] [ ] g g g g δ δ ) )l( ( ) )l( ( ii) [ ] g g g g δ δ ) l( ) ( ) ( ) ( ) l( iii) [ ] [ ] [ ] δ δ δ δ l l l l hail di ata maka btuk Dari W l δ dapat dituli dalam btuk lbih drhaa bagai brikut ) [ ] [ ] M g W l l( l δ δ δ [ ] M g l ) l( δ M g l δ (6.9) Kofigurai dga i utuk pramaa probabilita makimum diprolh dga mcari olu l U W βδ αδ δ, atau l M M M E g δ β δ α δ l M E g β α (6.) Agar pramaa (6.) lalu ol utuk variai δ yag mbarag maka haru trpuhi 6

70 g l α β E g p ( α βe ) yag mmbrika ugkapa utuk bagai g (6.) p ( α βe ) Brlaku uga pada fugi ditribui frmio bahwa paramtr β mmuhi β / kt. Dga paramtr ii maka kita dapat muli pramaa (6.) cara lbih kpliit bagai g (6.) p ( α / kt ) E Pramaa (6.) mrupaka btuk umum fugi ditribui Frmi-Dirac utuk frmio. 6

71 Bab 7 Rapat Kadaa Sitm Kuatum Ii Bab Ii Bab ii brii dikui ttag krapata kadaa ytm kuatum, yag mliputi boo da frmio. Salah atu prbdaa dga ytm klaik adalah trpuhiya priip ktidakpatia Hibrg pada ytm kautum. amu aka tampak bahwa, tidak ada prbdaa igifika atara krapata kadaa itm klaik da itm kuatuk. Prbdaa haya trltak pada kbradaa lm ruag faa miimal yag diiika bagi itm kuatum. Tuua Bab Ii Tuua bab ii adalah mahaiwa mmahami bagaimaa muruka krapata kadaa itm kuatum da bagaimaa mdapatka krapata kadaa trbut dari krapata kadaa itm klaik. Apa Yag Prlu Dikuaai Lbih Dahulu Utuk mmahami lbih baik ttag bab ii, makaiwa diharapka mmahami trlbih dahulu ii Bab. 7. Ktidakpatia Hibrg Stlah mmbaha bbrapa aplikai tatiti Mawll-Boltzma yag brlaku utuk partikl klaik, kita aka mmbaha bbrapa aplikai ambli kuatum yag diugkapka olh ditribui Bo-Eiti da Frmi-DiracD. amu, blum mlagkah lbih auh mmbaha bbrapa aplikai ambli kuatum trbut, mari kita ttuka dahulu krapata kadaa. Krapata kadaa madi ptig ktika kita aka mghitug bara-bara trmodiamika ambli trbut. Da yag palig rig kita umpai adalah ktika kita brpidah dari pumlaha yag brifat dikrit k itgral yag brifat kotiu. Kara mrupaka partikl kuatum maka pada boo maupu frmio kita haru mrapka priip-priip mkaika kuatum. Salah atu priip daar mkaika kuatum adalah priip ktidak patia Hibrg yag dapat dituli bagai 64

72 p h (7.) Priip ii myataka bahwa prkalia atara ktidakpatia momtum da poii tidak bolh lbih kcil dari kotata Plack. Implikaiya adalah kita tidak mugki mdfiiika buah kadaa kuatum ika kadaa trbut mmuat ukura momtum da ukura poii dmikia higga prkaliaya kurag dari h. Dga prkataa lai, ilai trkcil dari prkalia p da yag bia mdfiiiika buah kadaa adalah h. Dari hail ii kita lauya bia mtuka brapa umlah kdaa kuatum dalam ruag fa dga volum trttu. Kita aka mmbaha utuk ruag faa yag mgadug koordiat paial atu, dua, da tiga dimi. 7. Koordiat Spaial Spaial Satu Dimi Mialka kita mmiliki ambli yag haya bolh brgrak bba dalam atu arah. Poii partikl dalam ambli trbut diyataka dga koordiat. Dga dmikia, momtum partikl haya mmiliki atu kompo aa, yaitu. Elm kcil ruag faa yag dimiliki buah partikl dalam ambli trbut adalah d Γ ddp. Volum ruag faa utuk mua poii yag mugki diprolh dga p mlakuka itgral dγ pada mua ruag paial, Γ d dp Ldp (7.) p Dalam atu dimi, ukura miimum ruag faa yag diiika olh priip ktidakpatia Hibrg adalah Γ mi yag trdapat dalam lm ruag fa p Γ p adalah h. Olh kara itu, umlah kadaa Γp d Γ mi L h dp (7.) Jumlah kadaa pratua volum ambli madi 65

73 g( p ) dp d L dp (7.4) h Krapata kadaa trbut dapat uga diugkapka dalam variabl rgi partikl dga mgguaka hubuga ε p / m. Dga hubuga ii kita dapatka p m ε da dε m dε dp m (7.5) ε ε Subtitui pramaa (7.5) k dalam pramaa (7.4) diprolh ugkapa krapata kadaa pr atua volum bagai brikut m / g( ε ) dε ε dε (7.6) h Krapata kadaa trbut dapat uga diugkapka dalam variabl paag glombag partikl. Kita bragkat dari pramaa d Brogli p h / λ. Dari pramaa ii kita dapat dp hdλ / λ. Subtitui dp k dalam pramaa (7.5) da hilagka tada gatif maka kita dapatka h ( λ) dλ dλ h λ g λ dλ (7.7) 66

74 7. Koordiat Spaial Dua Dimi Skarag kita brlaut k ambli dalam kotak dua dimi dga ukura paag arah umbu da umbu y maig-maig L da L. Poii partikl dalam y ambli trbut diayataka olh koordiat da y aa. Akibatya momtum partikl haya mmiliki dua kompo aa, yaitu p da p. Elm ruag faa yag y dibatai koordiat ampai d, y ampai y dy, momtum p ampai p dp da p ampai p dp adalah y y y d Γ ddydp dp y. Volum ruag faa utuk mua poii yag mugki diprolh dga mgitgralka d Γ pada mua variabl paial, yaitu Γ d dy dp dp L L dp dp (7.8) p y y y Dalam ruag dua dimi, ukura miimum ruag faa yag diiika olh priip ktidakpatia Hibrg adalah Γ mi p y p y h h h. Dga dmikia, umlah kadaa yag trdapat dalam lm ruag faa Γ p adalah Γp L Ly d dpdp y (7.9) Γ h mi Prama (7.9) myataka umlah kadaa dalam lm momtum yag brada atara p ampai p dp da atara p ampai y p dp y y. Jadi ruag momtum brbtuk prgi paag dga ii-ii dp da dp. Cara lai adalah mmbuat y lm ruag momtum yag dibatai olh momtum total atara p ampai p dp di maa momtum total mmuhi p p p y (7.) 67

75 Elm ruag momtum trbut aka brupa buah cici dga ari-ari p da ktbala dp pri pada Gbr. 7. p z p dp p y Gambar 7. Elm ruag momtum brupa cici dga ari-ari p da ktbala dp Klilig cici trbut adalah dmikia, lua cici adalah K p πp dagka tbalya adalah dp. Dga ds p K dp πpdp (7.) p Dga mggati dpdp y pada prama (7.9) dga ds p pada pramaa (7.) diprolh d L Ly πpdp (7.) h 68

76 Krapata kada pr atua volum dua dimi (lua) adalah g ( p) dp d L L y πpdp (7.) h Kmbali kita igi myataka krapata kada dalam variabl rgi. Kita guaka pramaa rgi ε p / m higga p m ε (7.4a) dε m / dp m ε dε (7.4b) ε Subtitui pramaa (7.4a) da (7.4b) k dalam pramaa (7.) dirolh krapata kadaa bagai brikut g( ε ) dε π h ( ) m / m ε ε dε πm dε h (7.5) Sprti blumya, umlah kadaa trbut dapat diugkapka dalam variabl paag glombag dga mgguaka pramaa d Brogli p h / λ. Dari pramaa ii kita dapat dp hdλ / λ. Subtitui p da dp k dalam pramaa (7.) da hilagka tada gatif maka 69

77 g ( λ) dλ h h π λ hdλ λ π d λ (7.6) λ 7.4 Koordiat Spaial Tiga Dimi Skarag kita brlaut k ambli dalam kotak tiga dimi dga ukura paag ii arah umbu, umbu y, da umbu z maig-maig L, L, da L. y z Poii partikl dalam ambli trbut diyataka olh koordiat, y, da z. Dga dmikia, momtum partikl trdiri dari tiga kompo, yaitu p, p, da p. Elm y z kcil ruag faa di dalam ambli trbut adalah d Γ ddydzdp dp y dp z. Volum ruag faa utuk mua poii yag mugki adalah Γ d dydz dp dp dp L L L dp dp dp (7.7) p y z y z y z Dalam ruag tiga dimi, ukura miimum ruag faa yag diiika olh priip ktidakpatia Hibrg adalah Γ p y p z p h h h h. Akibatya, umlah kadaa yag trdapat dalam lm ruag fa mi y z Γ p adalah Γp L Ly Lz d dpdp ydp z (7.8) Γ h mi Prama (7.8) myataka umlah kadaa dalam lm momtum yag brada atara p ampai p dp, atara p ampai p z dp z y p dp da atara ampai. Jadi ruag momtum brbtuk balok dga ukura dp, dp, da dp. Cara lai adalah mmbuat lm ruag momtum yag dibatai olh momtum total atara p ampai p dp di maa momtum total mmuhi y y y p z z p p p y p (7.9) z 7

78 Elm ruag momtum trbut aka brupa buah kulit bola dga ari-ari p da ktbala dp prti diilutraika pada Gbr. 7. p z p dp p y p Gambar 7. Elm ruag momtum brupa kulit bola dga ari-ari p da ktbala dp Lua kulit bola trbut adalah 4πp da ktbalaya adalah dp. Volum kulit bola madi S p dv p S dp 4πp dp (7.) p Dga mggati dp dp dp pada prama (7.8) dga dv pada pramaa (7.) diprolh ugkapa lai umlah kadaa y z p 7

79 d L Ly Lz 4πp dp (7.) h Krapata kada pr atu volum adalah g ( p) dp d L L L y z p dp h 4 π (7.) Kmbali kita igi myataka krapata kada dalam variabl rgi. Kita guaka pramaa rgi ε p / m higga p m ε (7.a) dε m / dp m ε dε (7.b) ε Subtitui prama (7.a) da (7.b) k dalam pramaa (7.) diprolh krapata kadaa bagai brikut g( ε ) dε 4π h ( ) m / m ε ε dε 4π m / ε / dε (7.4) h Juga di ii kita aka myataka krapata kadaa dalam variabl paag glombag dga mgguaka pramaa d Brogli p h / λ. Dari pramaa ii kita dapatka dp hdλ / λ. Subtitui p da dp k dalam pramaa (7.) da hilagka tada gatif maka 7

80 g ( λ) dλ 4 h h hdλ π λ λ 4π d λ (7.5) 4 λ Brgatug pada maalah yag kita hadapi, kita bia mmilih fugi krapata kadaa yag maa aa. Piliha kita brgatug pada kmudaha dalam mcari olui. 7

81 Bab 8 Bbrapa Bara Ga Ii Bab Ii Bab ii brii dikui ttag bbrapa aplikai ditrubui Mawll-Boltzma utuk mtuka bbrapa bara yag dimiliki ga. Tuua Bab Ii Tuua bab ii adalah mahaiwa mmahami bbrapa bara bara ga yag dituruka dari fugi ditribui Mawll-Boltzma. Apa Yag Prlu Dikuaai Lbih Dahulu Utuk mmahami lbih baik ttag bab ii, mahaiwa diharapka mmahami trlbih dahulu Bab, Bab, da Bab Lau Dga Pluag Makimum Prtama kita aka ttuka lau ga yag mmiliki pluag makimum. Fugi ditribui Mawll-Boltzma mmprdiki bahwa pada uhu trttu lau partikl ga tidak ragam. Lau partikl ga brvariai dari ol ampai tak brhigga. Ttapi ada lau yag mmiliki pluag kmucula palig bar. Lau trbut brkaita dga lokai pucak ditribui Mawll-Boltzma bila diyataka dalam variabl lau. Gambar 8. adalah kurva krapata partikl ga bafai fugi lau pada brbagai uhu. Lau dga pluag kmucula palig bar trbut dittuka dga mmcahka pramaa d( v) dv (8.) Dga mgguaka variabl lau adalah (v) pada pramaa (.7) maka ditribui partikl dalam ( v) dv (4π BVm α ) v mv / kt dv 74

82 da dga mgguaka ugkapa α pada pramaa (4.4) kita dapatka ( v) dv 4π BVm VB(πmkT) / v mv / kt dv 4 / mv / kt v / πm (πkt) dv (8.) (v) T T < T < T T T v m v Gambar 8. Krapata partikl ga bagai fugi lau pada brbagai uhu. Brdaarka pramaa (8.) kita impulka 4πm ( v) (πkt) / / v mv / kt (8.) higga 75

83 d( v) 4πm / d dv ( πkt ) mv / kt mv / kt ( ) v v πkt / dv 4πm / mv / kt mv mv / v v / kt kt π 4 m / mv / kt / ( πkt ) mv v kt (8.4) Ji ka v m adalah lau dga pluag makimum maka pada v m trbut d / dv. Ii dipuhi ika v m mv kt m Yag mmbrika olui utuk lau dga pluag makimum kt v m (8.5) m 8. Lau Rata-Rata Slautya kita aka mtuka lau rata-rata molkul ga. Lau rata-rata didfiika bagai v v( v) dv ( v) dv 4πm 4πm / / ( πkt ) / ( πkt ) / v v mv / kt mv / kt v v dv dv 76

84 v v mv / kt mv / kt dv dv (8.6) Utuk mylaika pramaa (8.6) kita mialka ii maka mv / kt. Dga prmiala v kt m / v kt m / / dv kt m d kt m / / d Dga dmikia, itgral pada pmbilag di pramaa (8.6) dapat digati dga kt m / / kt m / d kt m kt m Γ() d Jika parmatr dalam fugi gamma mrupaka bilaga bulat maka Γ( ) ( )!. Dga dmikia, pmbialag dalam pramaa (8.6) brilai kt m kt Γ() m kt! m 77

85 Slautya kita lihat itgral pada pybut di pramaa (8.6). Dga mlakuka ubtitui yag ama dg di ata maka pybut trbut brubah madi / d m kt m kt / / d m kt Γ Γ / / m kt m kt / / 4 m kt m kt π π Akhirya lau rata-rata madi m kt m kt m kt v 4 / π π m kt π 8 (8.7) 8. Lau Root Ma Squar Lau root ma quar atau diigkat rm adalah lau yag diprolh dari pratarataa. Lau rm aka mtuka rgi kitik rata-rata atom atau molkul ga. Mari kita hitug dulu rata-rata dari. v v ) ( ) ( dv v dv v v v 78

86 ( ) ( ) / / / / / / 4 4 dv v v kt m dv v v kt m kt mv kt mv π π π π / / 4 dv v dv v kt mv kt mv (8.8) Dga mlakuka ubtitui rupa dga yag kita lakuka pada ub bab 8. dalam mcari lau rata-rata, itgral pada pmbilag dapat digati dga / d m kt m kt / 5 / d m kt Γ Γ Γ 5 5 / 5 / 5 / m kt m kt m kt 5 / 5 / 8 m kt m kt π π Bagia pybut pramaa (8.8) ama dga bagia pybut pada pramaa (8.6), da hail itgralya adalah / 4 m kt π Dga dmikia, rata-rata kuadrat lau madi 79

87 v π kt 8 m π kt 4 m 5 / / kt m (8.9) Akar dari v mrupaka lau rm, yaitu kt v rm v (8.) m Lau rm mtuka rgi kitik rara-rata molkul. Hal ii dapat kita prlihatka bagai brikut. Ergi kitik molkul yag mmiliki lau v mmuhi K mv /. Ergi kitik rata-rata adalah K kt mv m kt (8.) m 8.4 Ditribui Partikl Dalam Bara Lai Pramaa (8.) myataka umlah partikl yag mmiliki lau atara v ampai v dv. Kadag kita prlu mcarai umlah partikl yag mmiliki kompo lau ampai v aa, brapa pu lau v da v. Iformai ii diprluka mialya aat dv y mtuka bara-bara yag brkaita dga partikl yag brgrak dalam atu arah aa, miaya difui partikl paag batag. Utuk mdapatka ditrubui dalam fugi kompo kcpata kita lakuka purua ulag ugkapa kotiu dari. brikut z Kita tiau lm ruag fa yag brada atara koordiat-kordiat bagai Atara ampai Atara y ampai d y dy g v Atara Atara z p ampai ampai z dz p dp Atara p y ampai p dp y y 8

88 Atara pz ampai p dp z z Volum lm ruag faa trbut adalah d Γ ddydzdp dp dp. Da kara p, y z mv p y mv y, da p z mvz maka kita dapat muli dγ m ddydzdv dv dv (8.) y z Apabila kita mmbatai partikl haya brada atara v ampai v dv, atara v y ampai v dv, da atara v ampai y y z v dv aa, da tidak mmbatai ilai z z variabl ruag maka volum ruag faa diprolh dga mlakuka itgral mua variabl ruag da hailya adalah dγ pada Γ v, v, v y z m y ddydzdv z dv y dv z m Vdv dv dv (8.) Jika B adalah krapata kadaa maka kita dapat mggati bagai brikut g dalam btuk kotiu g B Γ Bm Vdv dv dv (8.4) v, v, v y z y z Kara adalah umlah itm yag mmpati kadaa g, maka bila kita mdfiiika v, v, v ) bagai btuk kotiu utuk mlaui traformai brikut ii, ( y z ( v, v, v ) dv y z dv y dv z α βe Dga mgguaka hubuga g da mggati da g dga variabl kotiuya maka didapat 8

89 α βe ( v, v y, vz ) dvdv ydvz Bm Vdvdv ydvz (8.5) Slautya kita mlakuka pggatia variabl bagai brikut ( v v ) E mv m v y β α kt BV ( πmkt ) / z Dga pggatia varibl di ata maka pramaa (8.5) madi ( v, v, v ) dv dv dv y z y z Bm Vdv dv y dv z BV ( πmkt ) / m v ( v v )/ kt y z m πkt / m v ( v v ) y z / kt dv dv y dv z (8.6) Slautya kita dapat mghitug umlah molkul yag mmiliki kompo kcpata atara v ampai v dv, brapa pu ilai v da v dga mgitgralka y z ) ( v, v y, vz dvdv ydvz y, pada mua ilai v da v yag mugki, yaitu dari z v y ampai v, da v ampai v. Hailya adalah y z z ( v ) dv ( v, v, v ) dv dv π m kt v v y / z vy vz y z ( v v ) m v y z / kt y dv dv z dv y dv z 8

90 / m πkt mvy / kt mvz kt mv kt dv / / y dv z vy vy dv Kita tiau itgral brikut ii bagai brikut mvy / kt vy dv y. Kita lakuka traformai variabl mv y kt η v y kt m / η dv y kt m / dη Dga traformai trbut maka itgral yag igi kita cari dapat dituli η η / kt m dη / η kt m η kt dη m / π πkt m / Dga cara pri ama kita aka dapatka vy mvz / kt dvz πkt m / Akhirya 8

91 / / / m πkt πkt mv / kt ( v ) dv πkt m m dv / mv / kt m πkt dv (8.7) Pramaa (8.7) myataka krapata partikl yag mmiliki kompo kcpata arah umbu atara v ampai v dv. 84

92 Bab 9 Aplikai Statitik Mawll-Boltzma Ii Bab Ii Bab ii brii cotoh aplikai tatitik Mawll-Boltzma pada umlah ambli drhaa yag mgadug partikl klaik da bbrapa prbadiga ramala mgguaka tatitik ii dga data pgamata. Tuua Bab Ii Tuua bab ii adalah mahaiwa mmahami bbrapa aplikai tatitik Mawll- Boltzma pada umlah ambli klaik da prbadiga hail ramala trbut dga data pgamata. Apa Yag Prlu Dikuaai Lbih Dahulu Utuk mmahami aplikai tatitik Mawll-Boltzma mahaiwa prlu mmahami priip daar tatitik Mawll-Boltzma, krapata kadaa klaik da bbrapa tkik itgral. 9. Plbara Spctrum Akibat Efk Dopplr Stlah muruka bbrapa i fugi ditribui utuk ytm klaik maupu kuatum karag kita aka mlihat bbrapa aplikai fugi ditribui trbut. Pada bab ii kita aka mlihat bbrapa aplikai fugi dirtibui Mawll-Boltzma. Pmbahaa trbut diharapka aka mmbrika ptuuk yag brarti kpada para mahaiwa dalam mrapka fugi ditribui Mawll-Boltzma dalam bbrapa bidag fiika. Efk Dopplr diumpai pada glombag buyi maupu glombag lktromagtik. Salah atu pa dari fk ii adalah ika umbr glombag mdkati pgamat maka paag glombag yag dikur olh pgamat lbih kcil daripada apabila umbr diam trhadap pgamat. Sbalikya, ika umbr glombag mauhi pgamat maka paag glombag yag diukur pgamat lbih bar daripada apabila umbr diam trhadap pgamat. Pritiwa ii dapat dilutraika pada Gbr

93 v λ λ w λ λ v umbr Glombag lbih paag Glombag lbih pdk Gambar 9. Jika umbr mdkati pgamat maka paag glombag yag diukur pgamat lbih pdk daripada yag dikluarka umbr. Sbalikya, ika umbr mauhi pgamat maka paag glombag yag dikur pgamat lbih paag daripada yag dikluarka umbr Khuu utuk glombag glombag lktromagtik, paag glombag yag dikur olh pgamat yag diam yag dihailka olh umbr umbr brgrak dga kcpata v trhadap pgamat adalah v λ λ o (9.) c dga λ paag glombag yag dikur pgamat, λ o adalah paag glombag yag dikur ika umbr glombag diam trhadap pgamat, da c adalah kcpata cahaya. Kita dfiiika tada kcpata yaitu v > ika umbr mdkati pgamat da v < ika umbr mauhi pgamat. Dalam atroomi, fk Doplr diguaka utuk 86

94 mgukur kcpata bitag-bitag. Brdaarka prgra paag glombag yag dipacarka bitag-bitag trbut maka kcpata rlatif bitag trhadap bumi dapat diprdiki mgguaka pramaa (9.). Kadaa awal Kadaa akhir Gbr 9. Atom mmacarka glombag lktromagtik ktika tradi traii lctro atar tigkat rgi Atom Mari kita prhatika buah atom yag mmiliki dua tigkat rgi (Gbr. 9.). trbut mmacarka pktrum glombag lktromagtik dga paag glombag trttu, but aa λ o, akibat traii lktro atar tigkat rgi atom trbut. Jika atom dalam kadaa diam maka paag glombag yag kita ukur adalah λ o, pri ama dga paag glombag yag dipacarka atom. Ttapi ika atom mdkati pgamat dga lau v maka paag glombag yag dikur pgamat adalah λ λ o ( v / c). Da balikya, ika atom mauhi pgamat dga lau v maka paag glomba g yag dikur pgamat adalah λ λ o ( v / c). Sbagai ilutrai, lihat Gbr. 9. Jika ada umlah atom yag diam maka glombag yag diukur pgamat mrupaka umlah glombag yag dipacarka olh mua atom. Paag glombag yag ditrima dari mua atom ama, yaitu λ o. Yag didtki olh pgamat hayalah glombag dga paag λ o ttapi mmiliki itita tiggi. Aka ttapi ika atom yag mmacarka glombag brgrak cara acak maka kompo kcpata k arah pgamat, yaitu v uga acak. Akibatya paag glombag yag diukur pgamat yag braal dari atu atom brbda dga yag diukur dari atom laiya. Pgamat aka mgukur glombag yag mmiliki paag yag brvariai dalam agkaua trttu. Ii brakibat pada plbara gari pktrum yag diamati. 87

95 λ o λ o v λ o λ λ o ( v / c ) v λ o λ λ o ( v / c ) v Gambar 9. Pgamat magkap paag glombag yag brbda-bda brgatug pada grak rlativ atara atom trhadap pgamat Slautya kita aka mtuka ditribui itita pktrum pada brbagai paag glombag. Kcpata atom ga pmacar pktrum mmuhi fugi ditribui Mawll-Boltzma kara mrupaka partikl klaik. Jumlah atom ga yag mmiliki kompo kcpata atara v dampai v dv adalah ( v ) dv m πkt / mv p dv (9.) kt Utuk mdapatka fugi ditribui variabl kcpata v k dalam variabl paag glombag itita maka kita haru mtraformai λ dga mgguaka pramaa Dopplr (9.). Apabila traformai trbut dilakuka maka ( v ) dv madi badig dga I ( λ) dλ, yag myataka itita glombag yag mmiliki paag atara λ ampai λ dλ. Dga dmikia kita prolh 88

96 / m mv I( λ ) dλ dv (9.) πkt p kt Dari prama (9.) kita dapatka λo λ v c λo dv c λ o dλ (9.4a) (9.4b) Subtitui prama (9.4a) da (9.4b) k dalam pramaa (9.) diprolh m I( λ) dλ πkt π m kt / / λ o λ m c λo p kt c mc λo λ p λo kt λ o c dλ λo dλ Yag lautya bia dituli dalam btuk lbih drhaa bagai mc λo λ I( λ) dλ I( λo )p λ kt λ d (9.5) o dga I( λ o ) adalah itita ktika λ λo. I( λ o ) tidak brgatug pada paag glombag ttapi brgatug pada bra lai prti uhu ga da maa atom ga. G ambar 9.4 adalah plot I (λ) bagai fugi λ pada brbagai uhu ga. Tampak bahwa itita trdtki di kitar λ o dga λ o mrupaka lokai pucak itita. Jika uhu diprbar maka pktrum maki lbar da ititaya maki lmah. Ii dibabka kara graka atom yag maki acak. 89

97 Spktrum ika mua atom diam Spktrum ika atom brgrak acak Gambar 9.4 Plot itita bagai fugi paag glombag pada brbgai uhu ga. 9. Atom Magtik Dalam Mda Magt Slautya kita aka baha uatu ambli yag mgadug kumpula atom yag mmiliki mom magt. Di dalam ambli trbut kita brika mda magtic B. Utuk mmprmudah kita aumika bbrapa ifat brikut ii: i) Tidak ada itraki atar atom. Itraki haya tradi atara atom dga mda magt luar yag dibrika. Ii adalah pydrhaaa yag cukup dratik kara barya atara mom magtic ada itraki. ii) Mom magtik atom haya bia mgambil alah atu dari dua arah oritai, yaitu arah mda magt atau brlawaa arah mda magt. Ilutrai dari aumi trbut tampak pada Gbr. 9.4 B Gambar 9.4 Dalam mda magt, mom magtik atom haya dapat mgambil alah atu dari dua arah oritai: arah atau brlawaa arah mda magt. 9

98 Kita aka mtuka brapa mom magtik total yag dihailka olh kumpula atom-atom trbut. Kita mulai dga mghitug rgi yag dimiliki maig-maig atom akibat itraki mom magtik dga magt luar. Itraki atara mom magtic µ r dga mda magt luar B r mmbrika tambaha rgi pada atom bar U r µ r B µ B coθ (9.6) Dga θ adalah udut atara mom magtik da mda magt. Kara haya ada dua arah oritai mom magtik yag diika, yaitu arah mda magt (θ ) da brlwaa dga arah mda magt ( θ π), maka tambaha rgi atom dga mom magtik rah mda magt adalah U µb (9.7) da tambaha rgi atom dga mom magtik brlawaa arah mda magt adalah U µb (9.8) Probabilita mdapatka atom dga arah mom arah mda magt badig dga U ) da probabilita mmuka atom dga arah mom brlawaa ( d ga arah mda magt badig dga U ). Dga dmikia, kita dapat muli ( P K ( U ) (9.9a) ( P K U ) (9.9b) 9

99 di maa K adalah fak tor pormaliai. Kara umlah total probabilita haru atu maka P P yag mmbrika ugkapa utuk factor ormaliai bagai brikut K ( U ) ( U ) (9.) Dga dmikia pramaa (9.9a) da (9.9b) dapat dituli madi P ( U ( U ) ) ( U ) (9.a) ( U ) P (9.b) ( U ) ( U ) Atom mrupaka partikl klaik yag mmuhi fugi ditribui Mawll- Boltzma. Olh kara itu probabilita maig-maig arah oritai mmuhi ( U ( U U µ B ) p p kt kt U ) p kt p µ B kt (9.a) (9.b) Subtitui prama (9.a) da (9.b) k dalam pramaa (9.) kita dapatka btuk kpliit dari probabilita bagai brikut P µb p kt µ B p p kt µ B kt (9.a) 9

100 P µ B p kt µ B p p kt µ B kt (9.b) Slautya kita mghitug mom magtik rata-rata atom. Kara haya ada dua arah oritai yag diiika maka mom magtik rata-rata atom dapat dihitug dga pramaa drhaa µ µ P µ P µ B µ B p p kt kt µ µ µ B µ B µ B p p p p kt kt kt µ B kt µ B p p kt µ µ B p p kt µ B kt µ B kt µ B µ B p p kt kt µ B ih kt µ µ µ B µ B µ B p p kt kt coh kt µb µ tah kt (9.4) Gambar 9.5 adalah plot µ bagai fugi uhu. Tampak bahwa ika T maka µ µ. Artiya bahwa pada uhu trbut mom magtik rata-rata mgambil arah yag ama. Ii tradi kara pada uhu yag mdkati ol, gtara trmal atom-atom madi agat kcil. Itraki dga mda magt luar dapat mmaka atom-atom mgambil arah oritai yag ama. 9

101 µ / µ T/(µB/k) Gambar 9.5 Mom gamtik rata-rata atom bagai fugi uhu. Sbalikya, pada uhu T maka µ. Ii akibat gtara atom-atom yag agat itif higga mda magt luar yag dibrika tidak aggup mgarahka mom-mom magt. Ergi trmal lctro auh mlampaui rgi itrkai dga mda magt. Arah mom magt atom-atom madi acak. Akibatya, umlah mom magt yag arah mda madi ama dga yag brlawaa arah mda. Juga tampak bahwa utuk uhu yag ama, µ maki bar ika mda maki bar. Ii dibabka pggua mda yag bar aka mmbrika pakaa yag lbih bar kpada atom-atom utuk myarahka mom magtikya. 9. Dipol Litrik Foma yag mirip dga atom magtik diumpai pula pada ambli mom dipol litrik. Mialka kita mmiliki umlah atom atau molkul i yag maig-maig mmiliki mom dipol p r. Di dalam ambli trbut kita brika mda litrk E. Kita igi m cari brapa mom dipol rata-rata yag dimiliki atom/molkul. Utuk kmudaha kita uga mgaumika bbrapa ifat brikut ii: 94

102 i) Tidak ada itraki atra ama dipol. Itraki haya tradi atra dipol dga mda litrik luar. ii) Tiap dipol haya bolh mgambil alah atu dari dua arah oritai, yaitu arah mda litrik da brlawaa arah dga arah mda litrik. Ergi itraki atara dipol dga mda litrik adalah U r r p E pe coθ (9.5) dga θ adalah udut atara mom dipol dga mda litrik. Jika dipol arah mda maka rgi itrakiya adalah U pe (9.6a) da ika brlawaa mda maka rgi itrkaiya adalah U pe (9.6b) Tampak bahwa btuk ugkapa rgi ii ama pri dga yag kita umpai pada atom magtik yag tlah kita baha di ub Bab 9.. Dga dmikia, pcaria mom dipol total pri ama dga aat kita mcari mom magtik total, haya dga mggati variabl-variabl yag kival bagai brikut p µ E B Dga mlakuka pggatia trbut akhirya kita dapatka mom dipol rata-rata atom madi 95

103 pe p p tah kt (9.7) 9.4 Mom Magtic Dga Tiga Arah Oritai Kita udah mmbaha mom magtic rata-rata ika haya ada dua oritai yag diiika, yaitu arah da brlawaa dga arah mda magt. Skarag kita dikit prlua aumi kita dga mgaggap bahwa ada tiga arah oritai mom magtik yag diika, yaitu arah mda magt, tgak luru mda magt, da brlawaa arah mda magt. Dari pramaa rgi itrkai atara mom magtic da mda magt U µ B coθ kita dapatka bahwa: i) Utuk mom yag arah mda, rgi itrakiya adalah U µ B ii) Utuk mom yag tgak luru mda, rgi itrakiya adalah U µb co( π / ) iii) Utuk mom yag tgal luru mda, rgi itrakiya adalah U µb Probabilita utuk mdapatka mom magtic pada brbagai arah trbut bagai brikut: i) Utuk mom yag arah mda U kt B kt P / µ / U / kt U / kt U / kt µ B / kt µ B / kt (9.8A) ii) Utuk yag tgak luru mda U kt P / U / kt U / kt U / kt µ B / kt µ B / kt (9.8b) iii) Utuk yag brlwaa dga arah mda 96

104 U / kt µ B / kt P U / kt U / kt U / kt µ B / kt µ B / kt (9.8c) Mom magtic yag arah mda mmbrika kotribui mom magtik µ, yag tgak luru mda mmbri kotribui mom magtik, da yag brlawaa dga arah mda mmbri kotribui mom magtik µ. Dga dmikia, mom magtik rata-rata adalah µ µ P P µ P µ B / kt µ B / kt µ µ µ B / kt µ B / kt µ B / kt µ B / kt µ B / kt µ B / kt µ µ B / kt µ B / kt µ B / kt µ B / kt µ µ B / kt µ B / kt µ B ih kt µ µ B coh kt (9.9) 9.5 Mom Magtic Dga Arah Oritai Smbarag Skarag kita mlagkah k kau yag lbih umum di maa arah oritai mom magtik bia m barag, buka dikrit prti yag kita baha blumya. Ttu aa pmbahaa aka dikit lbih rumit. Ttapi mari kita baha prlaha-laha. Sbagai ilutrai, lihat Gbr Mari kita mlihat mom magtik yag mmbtuk arah atara udut θ ampai θ dθ trhadap arah mda magt. Arah mda magt dipilih aar umbu z. Mom magtik dga arah oritai dmikia mmiliki rgi itraki 97

105 U ( θ ) µ B coθ. Kita aka mtuka brapa pluag mom magtic trbut brada pada udut dmikia. Ii dittuka olh dua faktor, yaitu faktor Mawll- Bolztam, da krapata kadaa. Coba kalia iri kulit bola yag dibatai olh udut θ ampai θ dθ da hitug lua iria trbut. Iria trbut brbtuk ligkara dga lbar trttu. R i θ R θ dθ Gambar 9.7 Mtuka rapat kadaa yag dibatai olh udut atara θ ampai θ dθ Mialka ar-ari bola adalah R. Jari-ari iria adalah r Riθ. Dga dmikia, klilig iria trbut adalah K πr πr iθ (9.) Klilig bola diri adalah πr. Klilig ii mcakup udut bar π, dagka iria diri haya mcakup udut bar d θ. Dga mgguaka prbadiga udut maka kita dapat mghitug tbal iria bagai brikut 98

106 dθ d πr Rdθ (9.) π Akhirya kita dapatka lua iria adalah ds Kd (πr iθ ) Rdθ πr iθdθ (9.) Lua kluruha kulit bola diri adalah S 4πR kadaa pada poii udut θ ampai θ dθ adalah. Dga dmikia, krapata ds πr iθdθ g( θ ) dθ S 4πR iθdθ (9.) Probalilita mdapatka atom dga arah oritai mom magtik atara θ ampai θ dθ adalah P ( θ )dθ U ( θ ) / kt g( θ ) dθ atau P( θ ) dθ C U ( θ ) / kt g( θ ) dθ (9.4) dga C adalah faktor pormaliai. Kara probabilita mdapatka atom pada mua oritai adalah maka atau π P ( θ ) dθ 99

107 π C U ( θ ) / kt g( θ ) dθ yag akhira mmbrika ugkapa utuk faktor pormaliai C π U ( θ ) / kt g( θ ) dθ (9.5) Ktika mom magtik mmbtuk udut θ maka kompo mom yag arah mda magt haya madi µ co θ. Dga dmikia, mom magtic rata-rata µ π ( µ coθ ) P ( θ ) dθ π ( µ coθ ) π U ( θ ) / kt U ( θ ) / kt g( θ ) dθ g( θ ) dθ π µ π coθ µ B coθ / kt µ B coθ / kt iθ dθ iθ dθ (9.6) U tuk mylaika itrgral (9.6) mari kita mialka prmiala ii maka µ B coθ / kt. Dga kt co θ (9.7a) µ B

108 kt i θ dθ d (9.7b) µ B µb Slautya kita mtuka bata itgral utuk. Jika θ maka da ika kt θ π maka µ B / kt. Subtitui pramaa (9.7a) da (9.7b) k dalam pramaa (9.6) kita prolh µ µ B / kt µ B / kt µ µ B / kt kt µ B µ B / kt kt d µ B kt d µ B kt B µ B / kt d kt α / kt B d α α α α α µ B / kt α µ B α µ B / kt (9.8) dga α µb / kt. Kita drhaaka lbih laut pramaa (9.8) bagai brikut kt α B α α α α ( ) ( ) α α ( ) µ α ktα α α α α B α α ( ) α ( ) µ α / cohα µ / α ihα α µ coth α (9.9) α

109 Dga mmprkalka fugi Lagvi, L( α) cothα α (9.) maka mom magtic rata-rata dapat dituli dalam btuk lbih igkat bagai brikut µ µl µb kt (9.) 9.6 Vibrai Kii Dalam Krital Atom-atom dalam krital lalu brvibrai. Atom-atom trbut dapat dipadag bagai kumpula oilator harmoik i. Kita aka mcari rgi rata-rata gtara atom dalam krital. K ita mgaggap bahwa tidak ada itraki atara atu atom dga atom laiya. Tiap atom dipadag bagai oilator harmoik bba. Murut mkaika kuatum, atom-atom yag brgtar tidak dapat mmiliki rgi mbarag. Ergi yag dimiliki oilator trbut brifat dikrit yag mmuhi ( ) hω ε / (9.) hga h h / π, ω adalah frkui karaktritik oilai, da adalah bilaga kuatum oilai dga ilai,,,.. Kita brkigia mcari rgi rata-rata gtara atom dga aumi bahwa ditribui oilator yag mmiliki rgi trttu mmuhi ditribui Mawll- ( ) hω Boltzma. Dga dmikia, pluag buah oilator mmiliki rgi ε / ε / kt adalah P atau P ε / kt C (9.)

110 dga C adalah kotata ormaliai. Pluag mdapatka oila tor pada mua tigkat rgi adalah atu. Pluag trbut adalah pumlaha mua P dari higga, atau P ormaliai dalam btuk. Pumlaha trbut mghailka ilai factor C ε / kt ( 9. 4) Ugkapa lgkap utuk bilaga kuatum adalah probabilita mmuka oilaor pada kadaa dga P ε / kt ε / kt (9.5) Stlah mdapatka ugkapa utuk pluag mdapatka oilator pada brbagai tigkat rgi maka kita dapat mghitug rgi rata-rata oilator bagai brikut ε ε P ε / kt ε / kt ε (9.6) Utuk mcari btuk pumlaha di ata mari kita gati / kt dga β. Pggatia trbut mybabka kita dapat muli pramaa 89.6) bagai

111 βε ε ε (9.7) βε Mari kita mialka Z βε (9.8) Jika kita difrialka Z trhadap β, kita prolh dz d dβ d β βε ε ε (9.9) Dga dmikia, kita dapat muli rgi rata-rata oilator bagai ε Z dz dβ d l Z (9.4) dβ Pramaa (9.4) mgiformaika pada kita bahwa utuk mcari rgi ratarata oilator, kita dapat mmulai dga mcari Z prti yag didfiiika dalam prama (9.8). Skarag marik kita mcari Z trbut. βε β ( ) Z / hω βhω / βhω (9.4) 4

112 Kalia igat umlah uatu drt gomtri brikut ii buka? Jika < maka brlaku... (9.4) Dga mmbadigka pramaa (9.4) da pramaa (9.4) kita idtifikai bahwa pada pramaa (9.4) kival dga kita dapat muli βhω pada pramaa (9.4). Dga dmikia Z βhω / βhω (9.4) Slauta kita dapat mmprolh pramaa-pramaa brikut ii, βhω ( ) βhω l Z l hω l Z β d d hω hω βhω βhω βhω ( ) βhω ( hω ) Dga dmikia, rgi rata-rata oilator madi ε d d hω hω l Z β hω hω βh ω hω h ω kt hω / βhω βhω (9.44) 5

113 hω / kt Tampak dari pramaa (9.44), ika T maka. Dga ifat ii maka hω hω ε. Ergi ε dibut rgi titk ol. 9.7 Hoppig Skarag kita aka tiau koduktivita uatu matrial ioik. Io-io dalam matrial macam ii mmpati poii yag ttap. Io-io trbut tidak dapat brgrak bba prti pada atom zat cair atau ga. Ttapi, ktika matrial trbut ditmpatka di atara dua lktroda da dibri bda potial maka ada aru yag mgalir dalam matrial. Bagaimaa mlaka foma ii? Mari kita baha. Kara io-io brada pada lokai ya g ttap da ulit brgrak maka kita dapat mgaggap bahwa maig-maig io trkurug dalam lmbah potial prti dilutraika pada Gbr. 9.8 ii. Gambar Gbr. 9.8 Io-io dalam matrial ioic dapat diaggap trkutug dalam lmbah potial Tiggi bukit potial mcrmika rgi ikat yag dimiliki io-io. Maki tiggi bukit potial maka maki kuat io-io trikat pada tmpatya. amu, mkipu io trikat pada poii tmpat maig-maig, io-io maih mmiliki pluag utuk brpidah k lokai lai dga cara mlocati bukit potial. Pritiwa ii dibut hoppig. 6

114 U o Gambar 9.9 Dua io brttagga dalam matrial ioik Utuk mlaka foma hoppig, mari kita lihat dua io brttagga prti yag diilutraika paga Gbr 9.9. Tiggi bukit potial adalah bukit potial ika mmiliki rgi tatitic Mawll-Boltzma, pluag io mmiliki rgi qu o adalah U o. Io dapat mlocati qu o, dga q muata fktif io. Brdaarka qu o / kt P C ( 9.45) dga C adalah faktor pormaliai. Io kiri da kaa mlihat bukit potial yag ama tiggiya. Pluag io kiri mlocat k kaa adalah P C qu o / kt (9.46a) da pluag io kaa mlocat k kiri adalah P qu kt C o / (9.46b) 7

115 Kara k dua pluag trbut ama maka cara total tidak ada locata io tto k kiri maupu k kaa. Akibatya, tidak ada aru dalam baha. Skarag pada matrial kita bri mda liatrik E k arah kaa. Pmbria mda ii mybabka potial pada tiap titik dalam matrial mgalami prubaha. Titik yag brada pada poii mgalami prubaha potial bar V ( ) E. Akibatya adaya mda trbut, tiggi bukit potial yag diamati dua io madi brbda prti diilutraika pada Gbr. 9. d U -Ed o / U o Ed / Gambar 9. Bukit potial mgalami ditori ktika dibri mda litrik Jika dimialka arak dua io brdkata adalah d maka kita dapatka hail brikut ii: i) Potial pada poii io blah kiri madi U V ( ) E (9.47) ii) Potial pada poii io blah kaa madi U V ( d) E ( d) E E d (9.48) 8

116 iii) Tiggi bukit potial madi U b d ( ) U o V U o E( d / ) U o E Ed / (9.49) iv) Tiggi bukit potial trhadap poii io kiri adalah Ed Ed U U b U U o E ( E) U o (9.5) iv) Tiggi bukit potial trhadap poii io kaa adalah Ed Ed U U b U U o E ( E Ed ) U o (9.5) Brdaarka potial-potial di ata maka kita dapatka hail laut brikut ii: i) Probabilita io kiri mlocat k kaa adalah P q U / kt q( U o Ed / ) / kt C C (9.5) ii) Probabilita io kaa mlocat k kiri adalah P q U / kt q( U o Ed / ) / kt C C (9.5) iii) Sliih probabilita io mlocat dari kiri k kaa adalah P P P qed / kt qed / kt ( ) / ) / kt qed / kt ( ) quo / kt C ( quo qed C (9.54) 9

117 Jika diaggap bukit potial agat tiggi higga qu o >> qed / maka kita dapat mgaprokimai madi qu o qed / qu. Dga aprokimai ii maka pramaa (9. 54) o qed / kt ( ) qu o kt P C (9.55) Krapata aru yag mgalir di dalam matrial badig dga liih probabilita di ata, atau J P, higga bia kita tuli qed / kt ( ) qu o / kt J ( T, E) J (9.56) o Jika mda yag ditrapka tidak trla lu bar, yaitu ika trpuhi qed << kt maka qed / kt aprokimai qed / kt dapat kita lakuka. Dga aprokimai trbut maka pramaa (9.56) dapat didrhaak madi qu qed o / kt J ( T, E) J o ( 9.57) kt Kita igat plaara ttag aru litrik bahwa ada hubuga atara krapata aru da mda, yaitu J σe (9.58) d ga σ dibut koduktivita litrik. Dga mmbadigka pramaa (9.57) da (9.58) kita dapatka ugkapa koduktivita litrik pada mda rdah utuk matrial ioik bagai σ J o qu o / kt qd kt

118 o Ea / kt σ (9.59) T D ga σ J o qd k da E. Bara E dikal dga ama rgi aktivai. o / a qu o Dalam kprim, biaay a koduktivita ditampilka dalam grafik koduktivita kala logaritmik trhadap kbalika uhu. Jika kita ambil logaritma dua ii pramaa (9.59) maka kita dapatka a Ea lσ lσ o l (9.6) T k T Gambar 9. adalah btuk kurva l σ bagai fugi / T. Btuk kurva macam ii rig diumpai dalam kprim. Kmi riga kurva adalah E a / k kaligu mtuka rgi aktivai. l σ /T Gambar 9. Btuk kurva koduktivita dalam kala logaritma trhadap / T

119 9.8 Pramaa Difui Eiti Slautya kita miau difui io di bawah pgaruh mda litrik. Pritiwa ii rig dimafaatka dalam pro lktrofori di maa mda litrik diguaka utuk mggrakka partikl-partikl brmuata dalam zat cair. Mari kita lihat buah ambli yag mgadug umlah io. Kita aggap tidak ada itraki atar io. Itraki haya tradi atara io da mda litrik yag ditrapka. Mialka muata mua io ama, yaitu q. Mialka pula arah mda litrik aar umbu. Difui yag aka kita baha haya difui dalam arah aar umbu. Kita mgaggap kuat mda litrik ama pada tiap titik dalam baha. Gaya yag dialami io yag brada pada poii adalah io yag brada pada poii adalah F qe higga Ergi potial yag dimiliki U ( ) qe (9.6) Kara io mrupaka partikl klaik maka ditribui Mawll-Boltzma diguaka higga kotrai io pada poii mmuhi U ( ) / kt ( ) C C qe / kt (9.6) di maa C mrupaka kotata ormaliai Dari kuliah ttag aru litrik kita udah mmplaari hubuga atara kcpata io dga kuat mda yag ditrapka, yaitu r r v µ E (9.6) dga µ adalah mobilita litrik. Utuk kau atu dimi maka kita bia drhaaka madi mda litrik adalah v µ E. Krapata aru pada poii yag diakibatka olh

120 J ( ) v( ) µ E( ) (9.64) Di ampig itu, kara tradi ktidakhomoga ditribui io maka tradi uga prgraka io akibat ktidakhomoga itu. Graka io akibat foma ii didbut difui. Krapata aru difui mmuhi r J d r D (9.65) d ga D dibut kotata difui da r iˆ / ˆ / y kˆ / z. Tada miu pada pramaa (9.65) mgiformaika bahwa arah alira io akibat difui brlawaa dga arah gradit krapata io. Artiya io mgalir dari lokai dga krapata tiggi k lokai dga krpata rdah. Lbih khuu lagi, utuk kau atu dimi, krapata aru difui dapat dituli d ( ) J d ( ) D (9.66) d Dga mgguaka pramaa (9.6) kita dapatka d( ) qe qe / C d kt kt qe ( ) kt Subtitui hail di ata k dalam pramaa (9.66) diprolh, J d qe ( ) D ( ) (9.67) kt Jika baha tidak dihubugka dga ragkaia luar maka tidak ada aru total yag mgalir dalam baha. Dga dmikia aru akibat mda litrik da akibat difui haru alig miadaka, atau

121 J J d qe µ E( ) D ( ) kt Yag mmbrika mobilita io bagai qd µ (9.68) kt Pramaa (9.68) dikal dga pramaa difui Eiti. 9.9 Priip Ekipartii Ergi Priip kipartii rgi myataka bahwa tiap draat kbbaa yag mmiliki rgi fugi dalam ugkapa fugi kuadratik dari variabl draat kkbaa mmbtika kotribui rgi rata-rata kpada partikl bar. Cotohya, buah partikl yag brgrak bba paag gari luru. Partikl trbut haya mmiliki atu draat kbbaa, yaitu momtum dalam atu arah. Ergi partikl mrupaka fugi kuadratik dari momtum. Dga dmikia rgi rata-rata yag diumbagka olh momtum trbut adalah kt / kt /. Jika partikl trbut haya dapat brgrak dalam atu gari luru di bawah pgaruh gaya pga maka, partikl trbut mmiliki dua draat kbba, yaitu poii da momtum. Draat kbbaa poii mmbrika rgi dalam btuk kuadratik (pramaa Hook) da drata kbbaa momtum uga mmbrika rgi dalam btuk kuadratik. Apabila dirata-rataka maka draat kkbabaa poii da momtum maig-maig myumbag kt / higga rgi rata-rata partikl adalah ( kt / ) kt. Pada bagia ii kita aka mmbuktika priip ii cara umum utuk draat kkbaa yag mbarag. Mialka uatu partikl mmiliki diugkapka dalam btuk umum f draat kkbaa. Ergi total partikl E Aξ Bη Cψ..., (9.69) 4

122 Di maa pumlaha mgadug f uku. A, B, C, da truya adalah kotata da ξ, η, ψ, da truya adalah variabl yag brkaita dga draat kbbaa. Variabl-varaibl trbut bolh poii, momtum, udut, atau apa aa. Dga mgaggap bahwa partikl trbut mmuhi fugi ditribui Mawll-Boltzma maka rgi rata-rata atu partikl adalah E E / kt E E / kt (9.7) Utuk mmudahka pylaia prama (9.7) mari utuk mtara kita kmbali mdfiiika β / kt da Z βe maka dz E dβ βe (9.7) Dga dmikia, rgi rata-rata partikl dapat dituli madi dz / dβ d E l Z (9.7) Z dβ Slautya kita fokuka pada pcaria Z. [ β ( Aξ Bη Cψ )] [ βaξ ] p[ βbη ] p[ βcψ ]... [ β ξ ] p[ βbη ] p[ βc ]... Z p... p p A ψ (9.7) Pylaia pumlaha di ata hampir tidak mugki dilakuka. amu pylaia dapat dilakuka dga mgati pumlaha dga itgral trhadap variablvariabl yag mrprtaika draat kbbaa. Kita lakuka pggatia bagai brikut 5

123 [ ] [ ] p βa ξ p βaξ ( g dξ ) (9.74) Pada pramaa (9.74) g adalah krapata kadaa yag brkaita dga variabl ξ. Dga dmikia pramaa (9.7) dapat dituli madi [ ] [ ] [ ]... Z ( g g g...) p βaξ dξ p βbη dη p βcψ dψ (9.75) Mari kita laika itgral prtama, yaitu p [ βaξ ] dξ. Utuk kmudaha kita mialka β Aξ. Igat, uku kaa uga gativ kara β gatif. Dga prmiala trbut maka ξ βa dξ d βa Dga dmikia p [ β Aξ ] dξ p[ ] p βa d βa [ ] π d βa π (9.76a) β 4A Dga cara pri ama kita aka dapatka 6

124 [ ] B d B p π η η β 4 β (9.76b) [ ] C d C 4 p π β ψ ψ β (9.76c) Z da truya. Akhirya kita dapatka ugkapa utuk bagai brikut... Z π π π (...) C B A g g g β β β ) ( ) ( / C B A g g g f π π π β ) ( l ) ( l l / C B A g g g Z f π π π β ) ( l ) l( C B A g g g f π π π β (9.77) Dga hail di ata maka prama (9.7) lautya madi ) ( l ) l( l C B A g g g d d d d f Z d d E π π π θ β β β (9.78) Smua uku di rua palig kaa pramaa (9.78) tidak mgadug β higga difrial trhadap β ol. Jadi kita haya dapatka ) l( β β d d f E kt f kt f f ) / ( β 7

125 f kt (9.79) Kara partikl yag kita baha mmiliki f draat kbbaa maka kita impulka bahwa tiap draat kbbaa myumbag rgi bar mmbuktika priip kipartii rgi. kt /. Jadi kita tlah 8

126 Bab Aplikai Statitik Bo-Eiti Ii Bab Ii Bab ii brii cotoh aplikai tatitik Bo-Eiti pada umlah ambli drhaa yag mgadug boo da bbrapa prbadiga ramala mgguaka tatitik ii dga data pgamata. Tuua Bab Ii Tuua bab ii adalah mahaiwa mmahami bbrapa aplikai tatitik Bo- Eiti pada umlah ambli boo da prbadiga hail ramala trbut dga data pgamata. Apa Yag Prlu Dikuaai Lbih Dahulu Utuk mmahami aplikai tatitik Bo-Eiti mahaiwa prlu mmahami priip daar tatitik Bo-Eiti, krapata kadaa kuatum da bbrapa tkik itgral.. Radiai Bda Hitam Stlah mmplaari bbrapa aplikai tatitic Mawll-Boltzma pada bab blumya, pada bab ii kita aka mmplaari bbrapa aplikai tatitic Bo-Eiti. Statitik ii ditrapka pada ambli boo, yaitu partikl kuatum dga pi yag mrupaka klipata bulat dari h/π. Cotoh boo adalah foto, foo, da atom hlium. Mari kita awali dga mmbaha atu topik yag agat populr dalam fiika yaitu radiai bda hitam. Tori ttag radiai bda hitam madai awal lahirya mkaika kuatum da fiika modr. Bda hitam mrupaka pyrap kaligu pmacar kalor trbaik kaligu pmacar kalor trbaik. Bda hitam dapat diaalogika bagai kotak yag brii ga foto. Jumlah foto dalam kotak tidak lalu kota. Ada kalaya foto dirap olh atom-atom yag brada di didig kotak da 9

127 balaikya atom-atom di didig kotak dapat mmacarka foto k dalam ruag kotak. Kara umlah foto yag tidak kota ii maka factor Bo-Eiti utuk ga foto E / kt adalah /( ), yag diprolh dga mgguaka α. Foto adalah kuatum glombag lktromagtik. Ekiti foto dirprtaika olh kbrada glombag brdiri dalam kotak. Krapata kdaa glombag brdiri dalam kotak tiga dimi tlah kita turuka dalam Bab 7, yag 4 trugkap dalam pramaa (7.5) yaitu 4πdλ / λ. Kara glombag lktromagik mmiliki dua kmugkia arah oilai (polariai) yag alig bba, maka krapata kdaa foto dalam kotak mrupaka dua kali krapata glombag taior, yaitu 8π ( λ) dλ dλ (.) λ g 4 Dga dmikia, umlah foto dga paag glombag atara λ ampai adalah λ dλ g( λ) dλ ( λ ) dλ (.) E / kt Kara rgi atu foro adalah glombag atara λ ampai λ dλ adalah E hc / λ maka rgi foto yag mmiliki paag hc E ( λ) dλ ( λ) dλ λ 8πhc 5 λ hc / kt dλ λ (.) Hukum Prgra Wi Gambar. adalah plot E (λ) bagai fugi λ pada brbagai uhu. Tampak bahwa E (λ) mula-mula aik, kmudia turu tlah mcapai ilai makimum pada

128 paag glombag mdifrial E(λ) λ m. Brapakah λ m? Kita dapat mtuka λ m dga trhadap λ da myamaka λ dga λ m, atau de( λ) dλ λ m (.4) Krapata daya [ watt/m ] Paag glombag [m] Gambar. Spktrum radiai bda hitam pada brbagai uhu Brdaarka pramaa (.) maka 8πhc E( λ ) (.5) 5 hc / λkt λ Utuk mmudahka difriai pramaa (.5) pramaa di ata kita mialka λkt / hc. Dga prmiala trbut maka kita dapat muli

129 5 ( kt E λ ) 8πhc (.6) 5 / hc ( ) de ( λ) de( λ) d kt de( λ) dλ d dλ hc d 5 kt 8 kt d π hc 5 ( / hc hc d ) (.7) Agar trpuhi de / dλ maka pada pramaa (.7) haru trpuhi d d / ( ) 5 (.8) Jika kalia lakuka difriai cara kama aka dapatka hubuga brikut ii. / ( 5 ) 5 (.9) ilai pada pramaa (.9) dapat dilaika dga brbagai cara. Jika kita mgguaka itruki Mathmatica (Wolfram Rarch), maka olui utuk yag mmui pramaa (.9) adalah,9497. Dga dmikia, λ m mmuhi hubuga λ m kt hc,9497 atau hc λ mt, 9497 (.) k

130 Dga mgguaka ilai kotata k,8 - J/K, h 6,65-4 J, da c 8 m/ maka kita prolh λ,8 m K (.) mt Pramaa (.) tidak lai daripada ugkapa hukum prgra Wi. Hukum ii mlaka hubuga atara uhu bda dga glombag dga itita makimum yag dipacarka bda trbut. Maki tiggi uhu bda maka maki pdk glombag yag dipacarka bda trbut, atau wara bda brgr k arah biru. Ktika padai bi mmaaka logam maka wara logam brubah cara tru mur dari mula mrah, kuig, hikau da lautya k biru-birua. Ii akibat uhu bda yag maki tiggi. Hukum prgra Wi tlah dipakai utuk mmprkiraka uhu bda brdaarka pctrum lktromagtik yag dipacarkaya. Ergi yag dipacarka bda diukur pada brbagai paag glombag. Kmudia itita trbut diplot trhadap paag glombag higga diprolh paag glombag yag mmiliki itita trbar. Paag glombag ii lautya ditrapka pada hokum prgra Wi gua mmprdiki uhu bda. Para atroom mmprkiraka uhu bitagbitag brdaarka pktrum rgi yag dipacarka olh bitag-bitag trbut. Pramaa Stfa-Boltzma Sbuah bda hitam mmacarka glombag lktromagtik pada mua agkaua frkui dari ol ampai tak brhigga. Haya itita glombag yag dipacarka brbda-bda. Ktika paag glombag muu ol, itita yag dipacarka muu ol. Juga ktika paag glombag muu tak brhigga, itita yag dipacarka uga muu tak brhigga. Itita glombag yag dipacarka mcapai makimum pada aat λ λm. Skarag kita aka mghitug rgi total yag dipacarka olh bda hitam. Ergi total trbut diprolh dga mgitgralka pramaa (.) dari paag glombag ol ampai tak brhigga, yaitu

131 E E( λ) dλ d 8 hc 5 hc / λkt λ λ π (.) Utuk mylaika itgral (.) mari kita mialka y hc / λkt. Dga prmiala trbut maka diprolh ugkapa-ugkapa brikut ii kt λ hc 5 λ λ y kt hc hc kt y 5 y 5 hc kt y dλ dy Skarag kita ttuka yarat bata yag brlaku bagi y. Saat λ maka y da aat λ maka y. Dga dmikia, dalam variabl y itgral (.) madi y y E π hc kt hc 5 kt hc y 8π hc y hc kt 4 ( hc / kty ) dy dy kt y dy π hc (.) hc 8 y Pramaa (.) mrupaka krapata rgi foto di dalam kotak. Hubuga atra krapata rgi yag diradai dga rgi foto dalam kotak adalah 4

132 c E rad E 4 4 kt y π hc y hc dy T 4 k y dy 4 π hc y (.4) hc Pramaa (.4) agat mirip dga pramaa Stfa-Boltzma ttag rgi yag diradiai bda hitam, yaitu 4 E rad σt dga σ kotata Stfa-Boltzma. Jadi, pada pramaa (.4) kita dapat myamaka 4 k y dy σ πhc (.5) y hc Dga mgguaka itruki Mathmatica drhaa kita dapatka y dy 6,4994 y Slautua, dga mmaukka ilai kotata-kotata lai k,8 - J/K, h 6,65-4 J, da c 8 m/ kita dapatka ilai kotata Stfa-Boltzma 8 σ 5,65 W/m K 4. Kapaita Kalor Krital Dalam krital atom-atom brvibrai. Jika dilaika dga mkaika kuatum maka rgi vibrai atom-atom dalam krital trkuatiai. Kuatiai gtara atom trbut dibut foo. Ergi foo dga bilaga kuatum adalah E ( / )hω. Kara umlah foo tidak kota maka fugi ditribui utuk 5

133 foo diprolh dga mgambil α. Fugi ditribui trbut pri ama dga fugi ditribui utuk foto. Kara frkui foo umumya mrupaka fugi bilaga glombag, κ, maka cara umum rgi total yag dimiliki foo dalam krital dapat dituli U hω( κ ) p κ [ hω( κ ) / kt ] (.6) Jika foo mmiliki umlah polariai da polariai k- p mmiliki frkui ω p (κ ), maka rgi total foo tlah mmprhitugka polariai trbut adalah U hω p ( κ ) p p κ [ hω ( κ) / kt ] p (.7) Pumlaha trhadap κ dilakuka dga aumi bahwa κ adalah itgr. Ttapi ika κ adalah variabl kotiu maka pumlaha trhadap κ dapat digati dga igral dga mlakuka trafprmai brikut ii κ g p ( κ)dκ (.8) Ttapi, kara ω mrupaka fugi κ maka kita dapat mgubah itgral trhadap κ madi itgral trhadap ω dga mlakuka traformai κ g p ( κ) dκ g p ( ω) dω (.9) Akhirya kita dapat muli ulag pramaa (.7) madi U hω g p ( ω) dω p p [ hω / k T ] B (.) 6

134 Dari dfiii rgi dalam dalam pramaa (.) maka kita dapat mtuka kapaita paa yag didfiiika bagai brikut du C v dt d dt p p g p g p ( ω) p hω [ hω / kt ] dω d ( ω) hωdω (.) dt p[ hω / kt ] Utuk mydrhaaka pramaa (.) mari kita lihat uku difrial dalam pramaa trbut. Utuk mmprmudah kita mialka trbut maka y hω / kt. Dga prmiala d dt d dy dy dt hω d kt dy d dt p d dt [ / ] y y hω kt kt dy y hω hω kt hω kt y ( ) y kt ( ) p[ hω / kt ] ( p[ hω / kt ] ) y hω d Dga dmikia, kapaita kalor dapat dituli C v h kt p g p p g hω ( ω) kt p ( ω) p[ hω / kt ] ( p[ hω / kt ] ) p[ hω / kt ] ( p[ hω / kt ] ) ω dω hωdω (.) 7

135 Modl Eti Utuk mcari kapaita kalor krital, Eiti mguulka modl bahwa mua phoo broilai dga frkui karaktritik yag ama, ω o. Dga aumi ii maka dapat kita tuli g ω) δ ( ω ω ) (.) p ( o di maa δ ω ω ) mrupaka fugi dlta Dirac. Dga modl ii kita dapatka ( o kapaita kalor krital utuk atu macam polariai aa bar p[ hω / kt ] ( p[ hω / kt ] ) h g( ω) ω dω kt C v p[ hω / kt ] ( p[ hω / kt ] ) h δ ( ω ωo ) ω dω kt h kt p[ hωo / kt ] ( p[ hω / kt ] ) o ω o (.4) Utuk krital dimi, trdapat tiga arah polariai foo yag mugki (arah umbu, y, da z). Dga mgaggap bahwa k tiga polariai trbut mmbrika umbaga rgi yag ama bar maka kapaita kalor total madi tiga kali dari yag tampak dalam pramaa (.4), yaitu madi C v h kt p[ hωo / kt ] ( p[ hω / kt ] ) o ω o (.5) Skarag kita tiau kau-kau khuu, yaitu ktika T da T. Dalam kodii T maka p [ / kt ] >> h higga p[ h / kt ] p[ h ω o / kt ] ω o ω o. Akibatya 8

136 C v h kt p[ hωo / kt ] ( p[ hω / kt ]) o ω o h ωo hωo kt / (.6) kt Prhatika uku pmbilag da pybut pada pramaa (.6). Jika T maka uku pybut T da uku pmbilag p[ h / kt ]. Ttapi uku pmbilag muu ol auh lbih cpat daripada uku pybut. Dga dmikia C ika T. v ω o Utuk kau balikya, yaitu T maka h / kt kita dapat ω o mgaprokimai hωo p [ h ωo / kt ] kt Dga aprokimai ii maka pramaa (.5) dapat dituli madi C v h kt hω / kt ( hω / kt ) o o ω o h kt kt h ω o ω o k ( ) A k ( Ak) R (.7) dga A bilaga Avogadro, umlah mol da R k A B kotata ga umum. Hail ii pri ama dga tori klaik dari Dulog-Ptit bahwa kapaita kalor pr atua mol mua padata adalah kota, yaitu R. Gambar. adalah prbadiga hail pgamata kapaita kalor ita (imbol) da prdiki dga modl Eiti. Trdapat kuaia yag baik atara prdiki modl trbut dga pgamata, khuuya ilai kapaita kalor yag 9

137 muu ol ika uhu muu ol da ilai kapaita kalor muu kotata Dulog-Ptit pada uhu tiggi. Gambar. Kapaita paa ita yag diprolh dari pgamata (imbol) da prdiki mgguaka modl kapaita paa Eiti (kurva) Modl Eiti dapat mlaka dga baik kbrgatuga kapaita paa trhadap uhu. Suai dga pgamata prim bahwa pada uhu muu ol kapaita paa muu ol da pada uhu agat tiggi kapaita paa muu ilai yag diramalka Dulog-Ptit. Aka ttapi, maih ada dikit pyimpga atara data kprim dga ramala Eit. Pada uhu yabg muu ol, hail kprim mmprlihatka bahwa kapaita paa brubah bagai fugi kubik (pagkat tiga) dari uhu, buka prti pada pramaa (.6). Olh kara itu prlu pympuraa pada modl Eiti utuk mdapatka hai yag pri ama dga kprim. Modl Dby Salah atu maalah yag mucul dalam modl Eiti adalah aumi bahwa mua foo brvibrai dga frkui yag ama. Tidak ada utifikai utuk aumi

138 ii. Aumi ii diguaka mata-mata kara kmudaha mdapatka olui. Olh kara ii hail yag lbih tpat diharapka mucul ika diaggap frkui foo tidak ragam. Aumi ii diguaka olh Dby utuk mmbagu tori kapaita paa yag lbih tliti. amu, blum mauk k tori Dby kita aka trlbih dahulu mmbaha krapata kadaa utuk kii dalam uaha mcari kpri yag tpat utuk g (ω). Frkui gtara kii dalam krital cara umum tidak kota, ttapi brgatug pada bilaga glombag. Pramaa yag myataka kbrgatuga frkui dga bilaga glombag diamaka pramaa dipri, ω ω(κ ). Dari pramaa dipri trbut dapat dituruka prama krapata kadaa (dibaha di kuliah zat padat) bagai brikut V κ g( ω) (.8) π dω / dκ Kbrgatuga ω trhadap κ kadag agat komplk. Sbagai cotoh, utuk krital atu dimi, kita prolh pram aa dipri ω ( C / m) ( coκa), dga m maa atom, C kotata pga gtara kii, da a arak atar atom dalam kii (priodiita). amu, ika κ agat kcil, atau paag glombag yag bar ( κ π / λ ), kita dapatka buah pramaa aprokimai ω vgκ (.9) dga v g dibut kcpata grup. Dalam mmbagu modl kapaita paa, Dby mgambil aumi bagai brikut: i) Frkui gtara kii mmuhi pramaa dipri ω v κ ii) Ada buah frkui makimum, ω m, yag bolh dimiliki foo dalam krital higga tidak ada foo yag mmiliki frkui di ata ω m. g

139 dω dκ Dari pramaa dipri (.9) kita dapatka bahwa utuk ω ωm, κ ω / vg da v g higga krapata kadaa pada pramaa (.8) madi g( ω) Vω πv. Akhirya ika digabug dga aumi kdua ttag adaya / g frkui makimum gtara foo diprolh ugkapa umum utuk krapata kadaa bagai brikut V ω, ω ω m g( ω) πv g (.) ω > ω m g(ω) g(ω) ω o ω m Modl Eiti Modl Dby Gambar. kurva krapata kadaa bagai fugi pada modl Eiti da Dby Prbdaa kurva krapata kadaa bagai fugi pada modl Eiti da Dby diprlihatka pad Gbr.. Brapa ilai ω m pada modl Dby? Utuk mtuka k ita kmbali kpada dfiii bahwa g (ω) adalah umlah kadaa pr atua frkui. Kara frkui makimum foo adalah ω m maka itgral g (ω) dari frkui ampai ω m mmbrika umlah total kadaa yag dimiliki foo, da itu ama dga umlah atom,. Jadi ω m

140 ω m ω m g( ω) d ω V πv V v g ω ω dω m π g ω dω V πv g ω m yag mmbrika ugkapa utuk frkui makimum 6πv g ω m (.) V Utuk kmudaha mari kita dfiiika uhu Dby, ii Θ D, brdaarka hubuga brikut k B Θ hω (.) D m Dga dfii di ata kita dapatka Θ D h v g k B 6π V / (.) Kita aumika bahwa kapaita kalor kii yag dihailka olh tiap polariai foo ama barya. Kara trdapat tiga polariai gtara yag mugkia maka pumlaha trhadap idk p dalam pramaa (.) mghailka tiga kali ilai pr polariai. Akibata, tada umai dapat digati dga ilai tiga da kita prolh kapaita paa yag diumbagka olh mua polariai madi

141 C v hω / kt h g( ω) ω dω kt hω / ( kt ) h kt h kt ωm ωm g( ω) V πv hω / kt h ω dω ( ) g( ω) hω / kt kt hω / kt ω ( ) m g ω hω / kt hω / kt ( ) h ω dω kt hω / kt ( ) ( hω / kt m ) ω hω / kt ω dω ω dω h V v kt ω m π g hω / kt hω / kt ( ) 4 ω dω (.4) Utuk mylaika itgral pada pramaa (.4) kita mialka hω / kt. Dga prmiala trbut maka ω kt h kt dω d h Slautya, yarat bata utuk dittuka bagai brikut. Jika ω maka da ika ω ω m maka utuk kapaita paa madi hωm / kt kθ D / kt Θ D / T. Dga dmikia, btuk itgral C v D h V kt kt πv kt h h g Θ / T 4 ( ) d 4 Vk T πv h g ΘD / T 4 ( ) d (.5) Brdaarka dfiii Θ D pada pramaa (.) maka kita dapat muli Θ D 6π h v g / k V atau Vk 4 T / πv gh k( T / Θ D ). Subtitui hubuga ii k 4

142 dapat prama (.5) kita prolh ugkapa kapaita kalor dalam btuk yag lbih brhaa bagai brikut C v ΘD / T 4 T 9 k d (.6) Θ D ( ) Slautya kita tiau bbrapa kau khuu yaitu ktika T da T. Jika T maka Θ T higga D / 4 T C 9k d Θ (.7) v D ( ) Bagia itgral tidak brgatug lagi pada T da hail itgral adalah buah bilaga. Jika kalia mgguaka program Mathmatica, aka diprolh hail itgral pada pramaa (.7) adalah 4 π d ( ) 5 (.8) Dga dmikia, utuk T diprolh C v 9π k T 5 Θ D AT (.9) dga 9 k A π (.4) 5Θ D 5

143 Pramaa (.4) agat uai dga hail kprim. Sbalikya, utuk T maka pybut pada pramaa (.6) dapat iaprokimai d da pada pmbilag dapat diaprokimai higga C v T 9 k Θ D ΘD / T 4 ( ) d Θ D / T T T Θ D 9k 9k Θ d D Θ D T k (.4) yag uga pri ama dga ramala Dulog-Ptit., Kapaita paa [mj mol - K - ] 7,78, 8,89 4,44,,66,99 5, 6,65 7,98 T [K ] Gambar.4 Kapaita kalor argo padat diukur pada uhu auh di bawah uhu Dby. Gari adalah hail rhituga mgguaka tori Dby (Kittl, hlm 5). 6

144 Gambar.4 adalah hail pgukura kapaita paa argo padat (titik-titik) brta kurva yag diprolh mgguaka modl Dby. Tampak bahwa ramala Dby ttag kbrgatuga kapaita kalor pada pagkat tiga uhu agat uai dga hail pgamata. 7

145 Bab Aplikai Ditribui Frmi Dirac Ii Bab Ii Bab ii brii cotoh aplikai tatitik Frmi-Dirac pada umlah ambli drhaa yag mgadug frmio da bbrapa prbadiga ramala mgguaka tatitik ii dga data pgamata. Tuua Bab Ii Tuua bab ii adalah mahaiwa mmahami bbrapa aplikai tatitik Frmi- Dirac pada umlah ambli frmio da prbadiga hail ramala trbut dga data pgamata. Apa Yag Prlu Dikuaai Lbih Dahulu Utuk mmahami aplikai tatitik Frmi-Dirac mahaiwa prlu mmahami priip daar tatitik Frmi-Dirac, krapata kadaa kuatum da bbrapa tkik itgral.. Fugi Ditribui Frmi Dirac Pada Suhu K Dalam Bab 9 da kita udah mmbaha umlah aplikai tatitik Mawll- Boltzma da Bo-Eiti maig-maig utuk ambli klaik da ambli boo. Kita mdapatka bbrapa prdiki tatitik trbut bruaia dga hail pgamata. Pada bab ii kita aka rampugka pmbahaa ttag aplikai tatitik dga mmprdiki bbrapa ifat frmio mgguaka tatitik Frmi-Dirac. Ada atu cirri yag marik dari fugi ditribui Frmi-Dirac yag tidak diumpai dapad ditrubui Mawll-Boltzma atau Bo-Eiti. Pada uhu K, fugi dtribui Frmi-Dirac tiba-tiba dikotiu pada rgi trttu (rgi makimum). Smua frmio trkumpul pada tigkat rgi di bawah rgi makimum trbut dga krapata yag pri ama. Tiap kadaa rgi diii olh dua frmio dga arah pi brlawaa. Di ata rgi bata trbut tidak ditmuka atu frmio pu. Artiya di ata rgi trbut, kadaa rgi koog. Sifat ii dapat dituukka bagai brikut. Kita dapat muli ulag fugi ditribui Frmi Dirac 8

146 f ( E) α βe dalam btuk yag lbih mudah, yaitu f ( E) p ( E E F ) kt (.) Pada pulia pramaa (.) kita tlah mggati β / kt da tlah mdfiika E F αkt. Paramtr dikal dga rgi Frmi. Tampak dari E F btuk f (E) bahwa E E maka f ( E) /, brapa pu uhu ambli. Dga F dmikia kita dapat mdfiiika bahwa rgi Frmi ama dga rgi ktika fugi ditribui mmiliki ilai tpat tgah. Hal yag marik mucul ktika ambli K. Dalam uhu trbut: i) Jika E > E F maka ( F F E E ) / kt ( E E ) / higga f ( E > EF, T ) (.) ii) Jika E < E F maka ( E EF ) / kt ( EF E) / higga f ( E < EF, T ) (.) Ii brarti pada T, fugi ditribui Frmi-Dirac brharga utuk mua rgi di bawah rgi Frmi da ol utuk mua rgi di ata rgi Frmi. Jika digambar, maka btuk fugi ditribui trbut paad T tampak pada Gbr.. 9

147 .. f(e) T F 5 K E/k [ 4 K] Gambar. Fugi ditrubui Frmi-Dirac Pada Suhu K. Ergi Frmi Prtayaa brikutya adalah bagaimaa kbrgatuga rgi Frmi trhadap bara-bara lai yag dimiliki ambli. Mari kita ttuka. Jumlah total frmio dapat dihitug dga itgral V ( E) de V g( E) f ( E) de (.4) Jumlah frmio trbut dapat dihitug dga mudah pada uhu K kara fugi ditribui frmi-diract mmiliki btuk yag drhaa. Jika prhituga dilakuka pada T mama 4

148 EF V g( E) f ( E) de V g( E) f ( E) de EF EF V g( E) de V g( E) de V E F EF g( E) de (.5) Dalam Bab 7 kita udah mdapatka ugkapa utuk krapata kadaa pr atua volum, yaitu g( E) π E h / / 4 m (.6) Khuu utuk lktro, kara atu kadaa dapat ditmpati dua frmio dga pi yag brlawaa, maka rapat kada utuk frmio ama dga dua kali ilai pramaa (.6). Dga dmikia pramaa (.5) dapat muli madi EF V h V 4π h 8π m / E F E m / / de E / de V / / 8π m E F (.7) h Kita dapat mydrhaak pramaa (.7) lbih laut madi 8πV m E h F / Da akhirya diprolh ugkapa utuk rgi Frmi pada uhu K bagai brikut 4

149 / h E F (.8) m 8 π V Slauta kita dapat mdfiiika uhu Frmi mlalu hubuga diprolh ugkapa utuk uhu Frmi pada uhu K bagai kt F E F maka T F E k F h mk 8πV / (.9),,,8 f(e),6,4, E/k [ 4 K] Gambar. Btuk fugi ditribui Frmi-Dirac pada brbagai uhu. Pada prhituga diguaka T F 5 K 4

150 . Ditribui Frmi Dirac Pada Suhu T > K Jika T > maka udah mulai ada frmio yag mmiliki rgi di ata rgi Frmi. Sbagai kokuiya, umlah frmio yag mmiliki rgi di bawah rgi frmi mulai brkurag. Ttapi blum ada frmio yag mmiliki rgi auh di ata rgi frmi da blum ada lktro yag mmiliki rgi auh di bawah rgi frmi miggalka tmpat mula. Akibatya tradi ditori fugi Frmi-Dirac haya di kitar rgi frmi aa. Ditori trbut haya brada pada darah yag ordya kitar kt di kitar rgi frmi. Gambar. adalah btuk fugi ditribui Frmi-Diract pada brbagai uhu..4 Itrgral Yag Mgadug Fugi Frmi-Dirac. Kita lautya aka rig brhadapa dga itgral yag mgadug fugi ditribui Frmi-Dirac. Mialka aat mghitug rgi rata-rata frmio, kita mgitgralka rgi dikali krapata kadaa dikali fugi Frmi-Dirac. Khuu utuk uhu di ata K, itgral yag mlibtaka fugi Frmi-Dirac ulit dilakuka. Suatu pdkata prlu ditmpuh utuk mdapatka hail itgral cara aalitik. Mmag, dga mgguaka oftwar yag uai, prti Mathmatica, kdala trbut dapat diatai dga mudah. Ttapi ktika igi mdapatka ugkapa cara aalitik drhaa, mau tidak mau kita mti mmcahka itgral trbut dga aprokimai yag raoabl. Pada bagia ii kita aka mcari btuk umum itgral yag brupa prkalia fugi Frmi-Dirak dga fugi mbarag. Btuk umum trbut dapat diprolh brkat bbrapa kkhaa dari ifat fugi Frmi-Dirac. Mari kita pcahka itgral btuk umum brikut ii I ϕ ( E) f ( E) de (.) Di maa ϕ (E) mbarag fugi dari E. Kita lautya mdfiika fugi brikut ii 4

151 E Ψ( E) ϕ ( E) de (.) Dari dfiii trbut kita mdapatka d Ψ ϕ( E) de (.) Dga mgguaka pramaa (.) maka pramaa (.) dapat dituli I f ( E) dψ (.) Slautya kita mgguaka dalil ratai utuk mguraika itgral (.). Dalil trbut brbtuk udv uv vdu. Dga dalil ii mapa pramaa (.) madi I df ( Ψ de de [ f E) Ψ( E) ] [ ) Ψ( ) f () Ψ() ] df f ( Ψ de (.4) de Ttapi, brdaarka dfiii fugi Frmi Dirac kita aka dapatka f ( ) da f ( ). Slautya brdaarka dfiii Ψ pada pramaa (.) kita dapatka Ψ( ) ϕ( E) de, da Ψ() ϕ( E) de. Dga dmikia pramaa (.4) madi df I ϕ ( E) de Ψ de de 44

152 Ψ df de de (.5) ktiga, yaitu Slautya kiya uraika Ψ (E) dalam drt Taylor di kitar higga uku E F dψ d Ψ Ψ ) (.6) ( E) Ψ( EF ) F F de E de F E ( E E ) ( E E F Brdaarka dfiii Ψ(E) dalam pramaa (.) maka kita dapatka E F Ψ( E ) ϕ ( E) de (.7) F dψ de ϕ(e) dψ higga ϕ( EF ) de E F (.8) d Ψ de dϕ higga de d Ψ de E F dϕ de E F (.9) Dga dmikia, pramaa (.6) madi Ψ EF dϕ ( E) ( E) de ϕ( EF ) F F de E ( E E ) ( E E ϕ ) (.) F Da pramaa (.5) dapat diaprokimai bagai I E F ϕ ( E) de ϕ( E F F ) dϕ de df de ( E E ) ( E E ) de E F F E F ϕ ( E) de df de de ϕ( E df de F F ) dϕ de df de ( E E ) de ( E E ) de E F F 45

153 E E F ϕ ( E) de df de dϕ de df de [ f ( ) f ()] ϕ( E ) ( E E ) de ( E E ) de F F E F ϕ ( E) de df de dϕ de [ ] ϕ( E ) ( E E ) de ( E E ) de F F df dϕ df ϕ ( E) de ϕ( EF ) ( E EF ) de ( E EF ) de de de (.) de F E F E F E F F df de F..5 T F 5 K. df/de E/k [ 4 K] Gambar. Kurva turua fugi Frmi-Dirac pada uhu 5 K. Prhatika itgral uku kdua di rua kaa pramaa (.). Fugi df / de mrupaka fugi gap di kitar E F, prti diprlihatka pada Gbr... Fugi ( E EF ) diri mrupaka fugi gail di kitar EF. Dga dmikia, prkalia df ( E EF ) mrupaka fugi gail di kitar E F higga itgral prkalia trbut de dalam darah dari E F E yag auh lbih kcil dari hailya ol. Dga dmikia kita prolh EF ampai E yag auh lbih bar dari 46

154 I E dϕ df ϕ ( E) de ( E EF ) de de (.) de F E F Slautya, dari fugi ditribui Frmi-Dirac kita aka dapatka df de p[ E EF ]/ kt ( p[ E E ]/ kt ) kt (.) F Utuk mylaika itgral di rua kaa pramaa (.) mari kita dfiika ( E E ) / F kt. Dga dfii trbut maka df de ( ) kt ( E EF ) ( kt) de kt d Slautya kita ttuka yarat bata utuk. Jika E maka E / F kt da ika E maka. Akhirya pramaa (.) dapat dituli bagai I E F dϕ ϕ ( E) de ( kt ) de ( ) E E / kt F F kt kt d E F dϕ ϕ ( E) de ( kt) de (.4) ( ) d E E / kt F F Utuk T kitar uhu kamar maka brlaku E F >> kt higga E F / kt. Dga dmikia I E dϕ ϕ ( E) de ( kt) de (.5) F ( ) d E F 47

155 Dgaa mgguaka Matmatica, kita dapat mtuka dga mudah bahwa itgral di rua kaa mmiliki hail π /. Jadi I E ϕ( E) de F dϕ de E F ( kt) π E F dϕ π ϕ( E) de ( kt) (.6) de 6 E F Pramaa (.6) adalah btuk umum yag aka kita guaka utuk mcari itgral yag mlibatka fugi Frmi-Dirac..5 Ergi Rata-Rata Ektro Slautya mari kita aplikaika btuk ugkapa pramaa (.6) utuk mcari bbrapa bara yag dimiliki frmio. Prtama kita aka mghitug rgi rata-rata lktro. Ergi rata-rata mmuhi E (.7) E g( E) f ( E) de g( E) f ( E) de Krapata kadaa lktro (kara mmiki dua arah pi) mmuhi / 8π m g( E) E h / Lihat bagia pmbilag pada pramaa (.7). Tampak di ii bawha / 8π m ϕ ( E) E h / 48

156 dϕ 8π m de h / E / π m h / E / E E F / F 8π m ϕ ( E) de h 8π h m / 5 5 / E F E / de Dga dmikia / / 8π m 5 / π m / π pmbilag E E ( kt) F F (.8) h 5 h 6 Kara umumya kt << E F maka uku kdua auh lbih kcil daripada uku prtama higga kita dapat mgaprokimai / 8 m 5 / pmbilag π E F (.9) h 5 Slautya kita lihat pybut pada pramaa (.7). Tampak di ii bahwa / 8π m ϕ ( E) E h / dϕ m m E de h h 8π / / / 4π / E E E F / F 8π m ϕ ( E) de h 8π h m / / E F E / de Dga dmikia kita dapatka 49

157 / / 8π m / 4π m / π pybut E E ( kt) F F (.) h h 6 Kara umumya kt << E F maka uku kdua auh lbih kcil daripada uku prtama higga maka kita dapat mgaprokimai / 8 m / pybut π E F (.) h Dga dmikia rgi rata-rata madi E pmbilag pybut 8π m h 8 π m h / / E 5 E 5 / F / F E F (.) 5 amu, ika kita mgambil ampai ord dua, maka rgi rata-rata diprolh dari pramaa (.8) da (.) yaitu E 8π m h 8π m h / / E 5 E 5 / F / F π m h 4π m h / / E E / F / F ( kt) ( kt) π 6 π kt π 4 EF kt π 4 EF EF (.) 5

158 Gambar.4 adalah rgi rata-rata lktro bagai fugi uhu. Tampak bahwa rgi rata-rata maki brtamha dga brtambahya uhu. Ii diakibatka maki bayakya lktro yag mmpati tigkat rgi di ata rgi frmi. Ergi rata-rata lktro [atua E F ] T F 5 K T [ 4 K] Gambar.4 Ergi rata-rata lktro bagai fugi uhu. Pada prhituga diguaka uhu frmi 5 K..5 kapaita Kalor Logam Jika trdapat lktro dalam ambli maka rgi total mua lktro pada mbarag uhu dapat diprolh dari pramaa (.) U E 5 5 kt π 4 EF kt π 4 EF EF (.4) 5

159 Jika uhu agat kcil dibadigka dga uhu Frmi maka higga pramaa (.4) dapat diaprokimai bagai brikut E F kt << F F F E kt E kt E U π π F F F E kt E kt E π π (.5) di maa kita tlah mgguaka atura biomia utuk uku kdua. Kara kita dapat mmprtahaka prkalia haya ampai uku yag mgadug ) ( E F kt << T. Dga aumi ii maka pramaa (.5) dapat diaprokimai lbih laut madi F F F E kt E kt E U π π 5 F F E kt E π (.6) Akhirya kita dapatka kapaita paa lktroik, yaitu kapaita paa yag diprolh dari umbaga rgi lktro adalah dt du C T E k F 5 π γt (.7) 5

160 dga γ π k / 5E F. Tampak dari prmaa (.7) bahwa kapaita kalor lktroik brubah cara liir trhadap uhu. Jika kita mmiliki logam maka kita mmiliki kaligu ambli foo (gtara atom) rta ambli frmio (lktro bba). Akibatya, kapaita kalor logam mdapat kotribui dari dua macam ambli trbut. Dga dmikia, pada uhu di bawah uhu Dby da di bawah uhu Frmi maka kapaita paa logam mmuhi prama umum C T γ AT (.8) Suku prtama diumbagka olh lktro (pramaa (.7)) da uku kdua diumbagka olh foo (pramaa (.9))., Gari: C/T,8,57 T C/T [mj/mol K ],5,,,, T [K ] Gambar.5 Kbrgatuga C /T trhadap T utuk logam kalium Pramaa (.8) udah dikofirmai cara kprim. Gambar.5 adalah kapaita paa kalium yag diprolh dari pgukura diyataka dalam fugi T. Brdaarka pramaa (.8) C /T C /T brgatug cara liir trhadap bagai Tampak kuaia yag baik atara data kprim da ramala tortik. Prpotoga T. 5

161 kurva dga umbu tgak (umbu C / T ) mmbrika ilai γ. Brdaarka pramaa (.7) maka dari ilai γ kita dapat mtuka rgi Frmi. Kmiriga kurva mmbrika ilai A. Brdaarka pramaa (.9) maka dari ilai A kita dapat mtuka uhu Dby..6 Emii Trmioik Pada uhu yag cukup tiggi lktro dapat kluar dari prmukaa logam. Pada uhu trbut bgaia lktro mmiliki rgi yag agat bar yag aggup mlwati potial pghalag di didig logam. Filam di dalam tabug iar katoda dipaaka agar lktro kluar dari logam filam. Elktro yag kluar kmudia ditarik dga mda liatrik yag cukup bar higga mumbuk matrial lumii pada layar utuk mghailka pot brcahaya. Prtayaa lautya adalah bagaimaa kbrgatuga aru lktro yag kluar miggalka prmukaa logam trhadap uhu? Ii yag aka kita kai karag. Kita mulai dga aumi bahwa logam mrupaka umur potial dga ktiggia didig E o. Sbagai ilutrai, lihat Gbr..6. Elktro mmpati tigkattigkat rgi dalam umur potial trbut. Pada uhu T, rgi makimum yag dimiliki lktro adalah E F (). φ E E F () Gambar.6 Elktro dalam logam dapat dipadag trpragkap dalam ubur potial dga ktiggia didig E o. 54

162 Elktro yag dag brgrak k arah prmukaa logam aka miggalka logam ika rgi kitik dalam arah trbut mlbihi E o. Mialka lktro dag brgrak k arah. Elktro aka lpa dari prmukaa logam trbut ika trpuhi mv > E o (.9) Jumlah lktro pr atua volum yag mmiliki kompo kcpata arah atara v ampai v dv adalah ( v ) dv ( v, v y, vz ) dv ydvz dv (.4) Utuk lktro, atu tigkat rgi dapat ditmpati olh dua lktro dga arah pi brlawaa. Shigga kita krapata lktro dapat dituli ( v, v m h m h y, v ) dv dv z f ( E) dv y ( EEF ) kt dv dv y dv dv z dv y z dv z dγ f ( E) h (.4) Kara kita trtarik pada lktro yag miggalka prmukaa logam maka foku prhatia kita adalah pada lktro yag mmiliki rgi cukup auh di ata rgi Frmi. Dga pmbataa ii maka kita dapat mgaprokimai ( E EF ) >> kt higga EF kt E / kt ( E EF ) kt ( EEF ) kt 55

163 da pramaa (.4) madi EF / kt E / kt ( v, v y, vz ) dvdv ydvz m dvdv ydvz (.4) h Subtitui pramaa (.4) k dalam pramaa (.4) kita prolh ( v ) dv m h EF / kt E / kt dv ydvz dv m EF / kt h m( v vy vz ) / kt dv ydvz dv m E kt mv kt F / y / mvz / kt mv / kt dv y dvz dv h (.4) Pramaa (.4) dapat dilaika dga mgguaka hubuga umum λ d π / λ. Dga mgguaka hubuga ii maka prama (.4) madi ( v ) dv m h π ( m / kt) π ( m / kt) EF / kt mv / kt dv 4 m kt EF / kt mv / kt π dv (.44) h Jumlah lktro yag migalka prmukaa logam tiap atua lua prmukaa tiap atua waktu dga agkaua kcpata atara v ampai v dv adalah v ( v ) dv 56

164 aalka trpuhi dihailka adalah mv > E o. Jika q adalah muata lktro maka rapat aru yag J mv E o qv ( v ) dv 4πm q h kt EF / kt mv v / E o mv / kt dv (.45) Utuk mylaika itgral (.45) mari kita mialka prmiala ii maka y mv / kt. Dga kt v dv dy (.46) m 5 J [ayua mbarag] 4 φ,5 V T [K] Gambar.7 Rapat aru trmioik bagai fugi uhu. Pada prhituga diguaka φ,5 V. 57

165 Slautya kita ttuka yarat bata utuk y. Syarat bata bawah mv / E o kival dga y Eo / kt. Syarat bata v kival dga y. Dga dmikia pramaa (.45) dapat dituli madi J 4πm q h kt EF / kt Eo / kt y kt m dy 4πmk T q h EF / kt y Eo / kt dy q q π h 4 mk T EF / kt Eo / kt π h 4 mk T ( Eo EF ) / kt kt AT φ / (.47) dga A kotata da φ E E mrupaka tiggi didig potial. Gambar.7 o F adalah cotoh kbrgatuga krapata aru trmioik trhadap uhu. Pada prhituga diguaka φ,5 V. 58

166 Bab Trmodiamika Ga Ii Bab Ii Bab ii brii dikui ttag bbrapa ifat trmidoamika ga yag diprolh dari prumua fiika tatitik. Pada focu pmbahaa pada ga maka aka ditkaka pada pgguaa ditrubui Mawll-Boltzma. Di ii aka diprkalka fugi partii yag mrupaka mbata pghubug atara tatitik da trmodiamika. Tuua Bab Ii Tuua bab ii adalah mahaiwa mmahami fugi partii da bagaimaa cara madapatka fugi partii trbut rta mgguaka fugi partii utuk muruka bara-bara trmodiamika ga. Apa Yag Prlu Dikuaai Lbih Dahulu Utuk mmahami lbih baik ttag bab ii, mahaiwa diharapka mmahami trlbih dahulu Bab, Bab, da Bab 4, Bab 8, da Bab 9. Pmahama kmbali matri kuliah trmodiamika uga agat mmbatu.. Etropi Kita udah mmbaha tiga macam tatitik maig-maig utuk partikl klaik (prti ga), boo, da frmio. Bara makrokopik yag udah kita ttuka dari tatitik-tatitik trbut baru trbata pada rgi da kapaita kalor. Pada bagia ii kita aka mauk lbih auh dga mcari hubuga atara tatitik dga barabara trmodiamika yag lai. Aka tampak bahwa prumua tatitik bar-bar dapat mlaka ifat trmodiamika ktika dibawa k kodii makrokopik. Prtama-tama mari kita dfiiiika buah bara trmodiamika yag brama tropi cara tatitik. Scara trmodiamika, tropi tlah didfiiika mlalui hubuga dq ds (.) T 59

167 Dga ds adalah prubaha tropi, dq adalah umlah kcil kalor yag ditrima ambli, da T adalah uhu ambli. Dari tropi trbut kita dapat muruka umlah bara trmodiamika yag lai. Prtayaa karag adalah bagaimaa mrumuka tropi cara tatitik? Mari kita baha di bab ii. Kita karag fokuka prhatia pada tatitik Mawll-Boltzma kara ambli yag aka kita baha lbih trfoku k ambli ga. Pada prumua tatitik Mawll-Boltzma kita udah mgaggap bahwa partikl ga dapat dibdaka atu dga laiya. Dga aumi ii maka probalilita pyuua buah partikl ga pada tigkat-tigkat rgi mmuhi W g! (.)! Prtayaa yag patut diauka di ii adalah apakah bar atu partikl ga dapat dibdaka dari partikl ga yag lai ika partikl-partikl trbut mrupaka molkul ga yag ama dari iotop yag ama pula? Pryataa trbut mugki mraguka. Olh kara itu, prhituga probabilita di ata trlalu bar dari yag haruya, yaitu apabila diaggap atu partikl tidak dapat dibdaka dari partikl lai. Jumlah cara mukar buah partikl ika partikl trbut dapat dibdaka adalah!. Dga dmikia, ika diaggap bahwa partikl-partikl ga dalam ambli tidak dapat dibdaka maka probalita pyuua partikl-partikl yag diugkapka dalam pramaa (.) haru dibagi! madi W g! (.) Sudah kita baha pada Bab bahwa kofigurai pyuua yag mmbrika α βε probabilita makimum truhi ika g. Pada kadaa ii kita prolh W. Scara tatitik tropi didfiiika bagai mak 6

168 S k l (.4) W mak Brdaarka pramaa (.) maka l W [ l g l!]. Kmudia kita mlakuka pydrhaaa dga mgguaka atura tirlig utuk logaritma faktorial da diprolh l W [ l g l ] g l (.5) Apabila mgguaka dalam kofigurai makimum maka kita prolh W yag apabila diyataka dalam kala logaritma diprolh btuk bagai brikut l W α mak [ ( α βε ) ] β ε α βe (.6) mak Dga mggati β / kt maka brdaarka pramaa (.4) kita dapatka tropi E S k α kt E kα k (.7) T. Fugi Partii Boltzma Salah atu bara yag agat ptig didfiiika adalah fugi partii. Bara ii tidak dapat diukur cara fii ttapi mrupaka mbata pghubug atara tatitik da trmodiamika (lihat Gbr. bagai ilutrai). Fugi partii utuk ambli yag mmuhi tatitik Mawll-Boltzma didfiiika bagai 6

169 Z g E / kt (.8) Pumlaha di ata dilakuka utuk mua pita rgi. Pita rgi k- mgadug umlah g kadaa. Jika kita lupaka pita-pita rgi da mgguaka tigkat-tigkat rgi cara idividual maka fugi partii (.8) dapat dituli madi Z i E i / kt (.9) Fiika Statitik Fugi Partii Z Trmidiamika Gambar. Fugi partii mrupaka mbata pghubug atara tatitik da trmodiamika Dalam kofigurai makimum kita mmiliki hubuga g α βε. Dari hubuga ii kita dapatka E / kt g βe α fugi partii (.8) dapat uga dituli dalam btuk g. Dga dmikia, pramaa Z α α α atau 6

170 Z α l (.) Dga mmaukka α di ata k dalam tropi yag diugkapka olh pramaa (.7) kita dapatka ugkapa lai utuk tropi, yaitu E Z S k l k (.) T. Ugkapa Ergi Dalam Fugi Partii Kita puhya igi mgguaka fugi partii bagai mbata atara taitik da trmodiamika. Dga dmikia, mua bara trmodiamika dapat mugki diyataka dalam fugi partii. Skarag kita aka mlihat hubuga atara rgi itm dga fugi partii. Kita bragkat dari dfiii E E d dβ α E g g α βe d dβ α βe ( ) α βe g d dβ g βe α d Z (.) dβ Dga mgguaka α yag didfiiika pada pramaa (.) maka kita dapat muli pramaa (.) bagai 6

171 E Z d Z dβ d l Z (.) dβ Slautya bila kita iga myataka dalam variabl uhu dga mgguaka hubuga β / kt maka diprolh d dβ dt dβ d dt kβ d dt k(/ kt) d dt d kt (.4) dt Subtitui (.4) k dalam (.) diprolh ugkapa rgi bagai brikut d E kt l Z (.5) dt.4 Ergi Bba Hlmholtz Ergi bba Hlmholtz didfiiika bagai F E TS (.6) Dga mgguaka btuk tropi pada pramaa (.) kita dapat muli E Z F E T k l k T Z kt l kt kt l Z kt l kt kt l Z kt ( l ) (.7) 64

172 Dga pdkata Stirlig kita dapatka l! l. Dga dmikia kita dapat muli btuk aprokimai utuk rgi bba Hlmholtz bagai F kt l Z kt l! kt l Z kt l! Z kt l! (.8).5 Kapaita Kalor Kapaita kalor pada volum ttap dapat dituruka dari rgi itm, yaitu de C v (.9) dt Slautya dga mgguaka ugkapa rgi dalam fugi partii pada pramaa (.5) kita dapatka C v d d kt l Z dt dt d d kt l Z kt dt dt l Z d d k T l Z T l Z dt dt (.).6 Prhituga Fugi Partii Klaik Tlah kita turuka pramaa rapat kadaa bagai brikut g( E) de BV π / ( m) / E de 65

173 Btuk pumlaha dalam fugi partii prti yag tampak pada pramaa (.5) dapat diyataka dalam btuk itgral dga trlbih dahulu mlakuka traformai bagai brikut g g( E) de Dga traformai trbut maka kita mdapatka btuk itgral utuk pramaa (.5) bagai brikut Z E / kt g( E) de BV / E / kt / π (m) E de BV π (m) ( kt ) / / π / BV ( mπkt) (.) Dga mgguaka pramaa (.) kita dapatka bbrapa hail brikut ii { BV ( m kt ) } / l BV ( m k) { } / lt l Z l π π (.) Dga mgguaka pramaa (.) k dalam pramaa (.5) kita dapatka ugkapa utuk rgi ga bagai brikut / { BV ( mπ k) } l d E kt l T dt kt T 66

174 kt (.) Pramaa (.) pri ama dga yag diprolh mgguaka priip kipartii rgi. Ga mmiliki tiga draat kkbaa rgi, yag diumbagka olh tiga komo momtum. Dga dmikia rgi rata-rata tiap molkul adalah kt /. Kara trdapat molkul maka rgi total ga mmuhi pramaa (.). Dga mgguaka fugi partii pada pramaa (.) maka tropi pada pramaa (.) madi / kt / BV (mπkt ) S k l k T 5 BV (m kt ) k k l π / (.4).7 Etropi Ga Smiklaik Pada ugkapa krapata kdaa yag tampak pada pramaa (.) kita tmui paramtr B yag blum diktahui ilaiya. Paramtr B myataka krapata kadda dalam ruag faa. Brdaarka ktidakpatia Hibrg, yaitu maka volum trkcil ruag faa yag dapat mgadug buah kadaa adalah p h Γ mi p p y p z y z h h h h Volum ruag faa miimum ii mgadug haya atu kada. Olh kara itu, krapata kadaa dalam ruag fa adalah B (.5) Γ h mi 67

175 Pgala kop kuatum dalam mtuka krapata kadaa utuk ga klaik mlahirka apa yag dibut formulai miklaik dari ga. Dalam formulai ii maka ugkapa krapata kdaa yag mmiliki rgi atara E ampai E de madi V π g( E) de ( m) / E / de (.6) h Da tropi ga madi pada pramaa (.4) madi S 5 V (mπkt ) k k l h / 5 V (mπkt) K l h / (.7) Ugkapa tropi pada pramaa (.7) dikal dga prama Sackur-Ttrod utuk tropi..8 Fugi Partii Total Slama ii pmbahaa kita difokuka pada ga yag tidak brtruktur. Pada ga macam ii partikl haya mmiliki rgi kitik tralai. Utuk ga yag btruktur prti molkul maka rgi yag dimiliki ga buka haya kitik tralai, ttapi uga kitik laiya prti vibrai da rotai. Sbagai ilutrai di ii kita aka kita baha ga yag mmiliki tiga macam rgi kitik, yaitu rgi kitik tralai, rotai, da vibrai. Kita aggap ga tidak mmiliki rgi potial. Utuk mtuka fugi partii total mari kita mulai dga mmialka i) Kada tralai k-i mmiliki rgi E i ii) Kada rotai k- mmiliki rgi E iii) Kada vibrai k- l mmiliki rgi Ergi total ga pada kadaa tralai k-i, rotai k- da vibrai k- l adalah E l 68

176 E( i,, E (.8) l) E i E l Dga btuk rgi (.8) maka fugi partii total ga madi Z il il E( i,, l) p kt E E kt i / kt / El / kt (.9) Jika pumlaha pada pramaa (.9) diuraika ata uku-uku maka tiap E Ei / kt El / kt uku mgadug faktor prkalia utuk mua kombiai ilai i,, da l. Dga adaya kombiai prti itu maka kita dapat mlakuka pydrhaaa prti brikut ii. / kt Lihat prkalia brikut ii i i l (...)( y y y...)( z z z...) l y z y z y z l... i y z... (.) Pada hail prkalia kita dapatka pumlaha yag tiap ukuya mgadug prkalia i y z l utuk mua kombiai ilai i,, da l. Pulaha uku-uku yag tiap ukuya mgadug prkalia y utuk mua kombiai ilai i, i z l, da l dapat diumpai pada pumlaha lipat tiga brikut ii. il i l yz yz yz... i y zl... (.) Brdaarka prama (.) da (.) kita impulka 69

177 l il i i l (.) i l Dga ifat pada pramaa (.) maka kita dapat muli fugi partii (.9) madi madi Z i E kt E / kt i / El / kt l Z (.) Z Z di maa Z Z Z i / kt (.4a) E i E / kt (.4b) l E l / kt (.4c) Pramaa (.) dapat diprlua k itm yag mgadug m i rgi. Fugi partii ambli trbut madi Z i il... q E i E El... E p kt Ei / kt Z m E / kt l El / kt... q mq Emq / kt Z Z Z... (.5).9 Fugi Partii Ga Smiklaik Ga mikalik mmiliki ifat bahwa partikl-partikl ga tidak dapat dibdaka atu dga laiya. Mialka ambli ga klaik mgadug partikl. Mialka 7

178 pada kofigurai trttu, yaitu kofigurai ( i,, l,..., r) rgi tiap-tiap partikl bagai brikut: Ergi partikl prtama: Ergi partikl kdua: Ergi partikl ktiga:... Ergi partikl k- : E E l E i E r Ergi total tm dalam kofigurai ii adalah E l... E (.6) ( i,,,..., r) E i E El r Dga dmikia, faktor Mawll-Boltzma adalah E( i,, l,..., r) E i E El... E p p kt kt r Da fugi partii total ytm ga trbut madi Z t mua kofigurai yag mugki E i E El... E p kt r (.7) Sblum mtuka pumlaha pada pramaa (.7), mari kita lihat prkalia dari drt-drt brikut ii Ω i Ei / kt E / kt l El / kt Er / kt... (.8) r 7

179 Ada umlah uku pada prkalia drt di ata yag barya haya prtukara idk partikl. Ttapi dga aggapa partikl tidak dapat dibdaka, prtukara trbut barya tidak mghailka kofigurai baru. Pada ugkapa miklaik, uku yag mgadug prtukara idk partikl tidak diprhitugka. Jika ada partikl maka ada bayak! kmucula kofigurai yag barya haya mukarka idk partikl. Olh kara itu umlah uku pada prkalia drt pramaa (.8) lbih bayak! kali dibadigka dga umlah uku pada pramaa (.7). Dga dmikia, pumlaha pada mua kofigurai pada pramaa (.7) dapat digati dga Z t E kt E / kt i / El / kt Er / kt... (.9)! i l r Kara partikl tidak dapat dibdaka maka tiap drt pada ii kaa mghailka Z. Kara ada buah drt yag dikalika dagka ilai mua drt ama, yaitu Z maka kita dapatka Z Z t (.4)! Pramaa (.4) mrupaka ugkapa fugi partii ga miklai.. Traformai Dari Pumlaha k Itgral Fugi partii dapat dihitug dga mudah mgguaka mtod itgral dibadigka dga mtod pumlaha dikrit. Utuk mghitug fugi partii dga mtod itgral mari kita mulai dga muli krapata kadaa pr atua rgi dalam modl mi klaik, yaitu g( E) de dpddp ydydpzdz (.4) h 7

180 Dga fugi krapata di ata maka fugi partii dapat ditraformai bagai brikut Z i E i / kt dp ddp E / kt y h dydp z dz (.4) Fugi partii total pada pramaa (.4) lautya dapat dituli madi Z Z Z...! t Z dp ddp dydp dz E kt y z! h! h / E / kt dp d dp E / kt y h dy dp dp z dz ( E E... E ) / kt dp ddp ydydpzdz... d dp dp y h d dy dp dp y z dy dz... E / kt dp d dp y dy dpz dz... dp d dp y dy dpz dz! h (.4) dp z dz dga E E E... E. Mialka rgi itm buka mrupaka fugi poii. Ergi macam ii dipuhi olh rgi kitik baik tralai, vibrai, maupu rotai. Dalam kau dmikia maka itgral trhadap poii dapat dipiahka dari itgral trhadap momtum. Itgral trhadap momtum bkra pada rgi yag mucul dalam faktor Mawll-Boltzma dagka itgral trhadap poii tidak bkra pada rgi. Dga dmikia pramaa (.4) dapat dituli madi Z! h... E / kt t dp dp ydpzdpdp ydpz dp dp y dp z! h d dydzddydz... d dy dz E / kt dp dp ydpzdpdp ydpz... dp dp y dp z 7

181 ! h d dydz ddydz... d dy dz E / kt dp dp ydpzdpdp ydpz... dp dp y dp z V V... V E / kt dp dp ydpzdpdp ydpz... dp dp y dpz V (.44)! h. Suptibilita Paramagtik Kuatum Dalam mkaika kuatum, momtum udut atom atau molkul trkuatiai da dirprtaika olh bilaga kuatum yag mrupaka bilaga bulat:,,,... Utuk tiap bilaga kuatum trdapat umlah bilaga kuatum magtik yag myrtaiya, m. Brdaarka atura mkaika kuatum, ilai-ilai m yag diprbolhka utuk tiap ilai adalah m -, - ( ), - ( ),..., -,,,..., ( ), ( ), (.45) Jadi, tiap atu ilai trdapat bayak ( ) bulah ilai yag diprbhka. Jika atom atau molkul ditmpatka dalam mda magtik B maka rgi potial magtik yag dimiliya adalah m U // µ B (.46) dga µ // adalah kompo mom magtik yag aar dga mda magtik yag mmuhi µ m µ // g B (.47) dga g dibut faktor-g Lad da µ B dibut magto Bohr. Utuk atu ilai aa atau bayak ( ) buah ilai m. Dga dmikia fugi partii molkul trbut adalah 74

182 Z m U / kt m m m gµ B / kt m B (.48) dga gµ B B / kt. Skarag kita tiau kau khuu di maa mda magtik tidak trlalu kuat. Dalam kodii ii maka aprokimai bagai brikut gµ B B << kt atau << higga kita dapat mlakuka ( m ) m (.49) m Subtitui pramaa (.49) k dalam pramaa (.48) diprolh Z m m ( m ) m m m (.5) m m Kita lihat ilai pumlaha maig-maig drt pada pramaa (.5). Jumlah uku pumlaha ama dga umlah bayak ilai yag dimiliki m, yaitu ( ) uku. Jadi m ( ) (.5) 75

183 m m ( ) ( ) ( ) ( ) (.5) Utuk mcari m m, mari kita lihat pumlaha brikut ii m m [ ] [ ( ) ] [ ( ) ]... ( )... ( ) ( ) (.5a) [ m ] [ ] [ ( ) ]... ( ) m... ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]... ( )... ( ) ( ) ( ) (.5b) Dga dmikia pguraga drt (.5b) da (,5a) mmbrika [ ] m m ( ) [ ] m m { [ m ] m } ( ) m { [ m m m ] m } ( ) m m m ( ) m m m ( ) m m m m ( ) ( ) m 76

184 atau m ( ) ( ) m m ( )( ) m (.54) Subtitui (.5), (.5) da (.54) k dalam pramaa (.5) kita prolh ( )( ) Z ( ) µ B ( )( ) g B ( ) 6 kt (.55) Brdaarka fugi partii pada pramaa (.55) maka kita dapat mtuka rgi magtik dga mgguaka pramaa E kt Z Z T. Mgigat T gµ B B kt maka Z gµ B Z B gµ B B ( )( ) T kt kt gµ B B ( )( ) gµ B kt kt B g µ B B k T ( )( ) higga rgi magtik adalah 77

185 E kt Z Z T kt g µ ( )( ) B B Z k T g µ B B ( )( ) kt Z g µ B B kt ( ) ( )( ) ( )( ) gµ B B 6 kt g µ B B kt ( ) ( ) gµ B B 6 kt (.56) Dalam kodii gµ B B << kt bagia pybut pada pramaa (.56) dapat didkati dga ( ) gµ B B 6 kt higga g µ B E B kt ( ) (.57) Slautya ika M adalah mom magt rata-rata dalam arah mda maka rgi magtik dapat dituli E MB (.58) 78

186 Dga mmbadigka pramaa (.57) da (.58) kita dapatka pramaa utuk mom magtik rata-rata M g µ B B ( ) kt (.59) Magtiai yag didfiika bagai mom dipol pr atua volum adalah M m V ( / V ) g µ B B ( ) kt g µ B B ( ) kt (.6) dga / V adalah krapata partikl. Akhirya kita dapatka uptibilita paramagtik madi m χ B g µ B ( ) kt (.6). Molkul Diatomik Ugkapa fugi partii agat dittuka olh btuk-btuk rgi rta kadaa-kadaa yag dimiliki molkul. Sbagai cotoh, utuk molkul diatomik, umlah rgi yag mugki dimiliki adalah rgi tralai, rgi rotai, rgi vibrai atar dua atom paag umbu molkul, rgi graka lktro di kitar iti, da rgi pi iti. Apabila dihitug dga mtod kuatum maka tigkat rgi rotai, vibrai, grak lktro, da pi iti trkuatiai. Haya rgi tralai yag dapat dilaka cara klaik. 79

187 Dga adaya lima macam rgi trbut maka fugi partii dibtuk olh lima fugi partii dari maig-maig kadaa. Fugi partii total dapat dituli Z Z Z Z Z Z (.6) tr r v dga Z tr adalah fugi partii tralai Z r adalah fugi partii rotai Z v adalah fugi partii vibrai Z adalah fugi partii lktroik Z adalah fugi partii pi iti Fugi partii yag udah kita baha lama ii barya adalah fugi partii tralai. Dga dmikia, tapa prlu prhituga ulag kita dapatka Z tr V ( πmkt ) / (.6) h Skarag kita ttuka fugi partii rotai. Jika I adalah mom iria molkul maka dga mmcahka prmaaa Schrodigr kita prolh tigkat-tigkat rgi rotai mmuhi h ( ) (.64) 8π I E dga adalah bilaga kuatum momtum udut total yag mrupaka bilaga bulat poitif. Utuk tiap ilai ada umlah arah momtum udut yag diiika. Arah trbut diyataka olh bilaga kuatum m. ilai m yag diiika adalah 8

188 m -, - ( ), - ( ),..., -,,,..., ( ), ( ), Jumlah kmugkia ilai yag dimiliki m trbut adalah ( ) buah. Jadi, utuk atu ilai rgi rotai trdapat bayak ( ) kadaa yag diprbolhka. Dga dmikia, dari ugkapa umum utuk fugi partii Z g rotai kita traformai E / kt maka utuk grak g ( ) E E h ( ) 8π I Dga dmikia fugi partii rotai dapat dituli madi Z r ( ) ( ) h / 8π IkT (.65) Slautya kita ttuka fugi partii vibrai atom. Tigkat rgi vibrai atom mmuhi pramaa E ( / )hω, dga,,,... dikal dga bilaga kuatum vibrai. Utuk atu ilai haya atu kadaa yag mugki (tidak ada dgrai). Dga dmikia, fugi partii vibrai dapat dituli Z v E / kt ( kt kt kt kt / ) hω / hω / hω / hω / hω / kt hω / kt (.66) hω / kt 8

189 E E Gambar. Elktro diilutraika brgrak pada orbit molkulr dga rgi diktrit. Bda rgi atara tigkat yag brdkata cukup bar. Utuk mtuka fugi partii lktroik mari kita lihat idaliai prti pada Gbr... Sbagai ilutrai kita mialka lktro-lktro dalam molkul brgrak pada orbit-orbit dga rgi yag trkuatiai. Mialka mula-mula lktro brada pada kadaa daar. Mialka rgi yag diprluka utuk mmitahka lktro: Dari kadaa daar k kadaa kitai prtama adalah E Dari kadaa daar k kadaa kitai kdua adalah E Dari kadaa daar k kadaa kitai ktiga adalah E da truya Mialka pula krapata kadaa maig-maig kadaa kitai bagai brikut Krapata kadaa kitai prtama adalah g Krapata kadaa kitai kdua adalah g Krapata kadaa kitai ktiga adalah g da truya 8

190 Maka fugi partii Z g E / kt dapat dituli madi E / kt E / kt Z g g g... (.67) o Skarag kita lakuka pydrhaaa bagai brikut. Sliih tigkat rgi dalam molkul ordya dalam lktrovolt. Sliih tigkat rgi kadaa daar k kadaa kitai prtama auh lbih kcil daripada liih tigkat rgi kitai lai k kadaa daar. Ttapi pada uhu kitar uhu kamar, rgi trmal kt ordya prratu lktrovolt. Dga dmikia ilai E i / kt umuya agat bar yag brakibat ilai agat kcil. ilaiya trbut maki kcil lagi utuk tigkat kitai yag lbih bar. Dga dmikia, bagai lagkah pydrhaaa kita dapat mlakuka aprokimai bagai brikut E i / kt Z E / kt go g (.68) Trakhir, fugi partii pi iti hampir tidak brgatug pada uhu. Suhu opraioal biaa kitar uhu kamar tidak mampu mmbrika pgaru yag brarti pada iti atom. Dga hail di ata maka fugi partii total dapat didkati dga Z V ( π mkt ) / ( ) h ( ) h / 8π IkT hω / kt E kt { g kt o g / Z hω / } (.69) Ergi molkul madi E kt Z kt Z T l Z T 8

191 IkT h T T kt 8 / ) ( ) ( l π { } kt E o kt kt Z T g g T T l l l / / / ω ω h h (.7) Kara hampir tidak brgatug pada uhu maka pramaa (.7) dapat didrhaaka lbih laut madi Z IkT h T T kt E 8 / ) ( ) ( l π { kt E o kt kt g g T T / / / l l ω ω h h } (.7) Skarag kita dfiiika uhu-uhu bagai brikut Ik h r 8π Θ k v hω Θ k E Θ Dga dfiii di ata kita dapat muli pramaa (.7) madi Θ T r T T kt E / ) ( ) ( l { } Θ Θ Θ T o T T v v g g T T / / / l l (.7) 84

192 Utuk mua molkul brlaku Θ r << Θ v << Θ. Sbagai ilutrai, utuk molkul hidrog Θ 85,5 K, Θ 6 4 K, da r v Θ 8 K. Skarag kita tiau ilai rgi pada brbagai agkaua uhu. Pada kau di maa T << Θ maka Θ T. Kara Θ r << Θ v << Θ dapat mgaprokimai maka didapat pula r Θv / T da Θ / T. Dga dmikia kita r / E kt T l T ( ) ( ) l T l T { g g } o kt kt T (.7) Brdaarka pramaa rgi kita dapat mtuka kapaita kalor madi de C v dt k (.74) Skarag kita tiau uhu pada agkaua Θ r << T << Θ v. Pada agkaua ii maka Θ T da Θ T higga kita dapat mgaprokimai v / / E kt T l T ( ) ( ) Θ r / T l T l T { g g } o kt l ( ) T T ( ) Θ r / T (.75) Sbagai pdkata, kita gati pumlaha trhadap dga itgral trhadap bagai brikut 85

193 Θ Θ / ) ( / ) ( ) ( ) ( d T T r r (.75) Ttapi kita dapat muli ) ( d d Dga dmikia pramaa (.75) dapat dituli madi [ ] Θ Θ / 4 / ) / ( / ) ( ) / ( ) ( d d T T r r Θ Θ / ) / ( 4 / ) / ( d T T r r (.76) utuk mylaika itgral (.76) mari kita mialka y /. Dga prmiala ii maka Θ Θ Θ Θ / 4 / / ) / ( 4 / ) / ( d d T T T T r r r r Θ Θ Θ Θ 4 / 4 / dy T dy T y r T y r T r r r T T r Θ Θ 4 / 86

194 Akhirya kita dapatka rgi pada agkaua uhu Θ r << T << Θ v kt T l T Θ r / 4T E T Θr (.77) Θ r / 4T Kara Θr << T << Θ v maka Θr / 4T da higga diprolh E kt T T l T Θ r kt lt l Θ kt T T T r T T 5 kt (.78) Kapaita paa pada agkaua uu ii adalah de C v dt 5 k (.79) Skarag kita tiau uhu pada agkaua T >> Θ. Pada agkaua ii maka v haya Θ / T yag trpuhi higga kita dapat mgaprokimai E kt T Θ l T l T v / T Θv / T l T ( ) ( ) Θ r / T { g g } o 87

195 Θ Θ Θ Θ T T r T v v r T T T T kt / / 4 / l l (.8) Kara maka da T Θ v >> / Θ T v / Θ T r higga 4 / Θ T r / Θ T v ( ) T T v v T v / / / Θ Θ Θ Dga dmikia, rgi ambli pada pramaa (.8) madi Θ Θ v r T T T T T kt E l l T T T kt kt 7 (.8) Kapaita paa pada agkaua uhu trbut adalah dt de C v k 7 (.8 Dari hail ii tampak bahwa kapaita paa ga mgalami prubaha ktika uhu diubah dari agat rdah k agat tiggi. Suhu agat rdah da agat tiggi trbut agat rlatif da brgatug pada i ga. Sbagai cotoh, utuk ga hidrog uhu agat rdah adalah uhu di bawah 85,5 K da agat tiggi adalah di ata 6 K. 88

196 Sdagka utuk ga klor, uhu agat rdah hampir tidak ada kara haru auh di bawah,5 K da uhu agat tiggi adalah auh di ata 85 K. Gambar. Kapaita paa ga diatomik pada darah agkaua uhu yag agat lbar Gambar. adalah ilutrai kurva kapaita kalor pada brbagai uhu. Tradi prubaha kapaita paa cara tagga di kitar uhu Θ r, Θ v, da Θ. Bar prubaha pada tiap tp adalah C v k. 89

197 Bab Embl Kaoik Ii Bab Ii Bab ii brii dikui ttag mbl da dikhuuka pada mbl kaoik. Slama ii tatitic yag kita baha haya dibatai pada tatitik buah ambli yag mmiliki yarat bata bahwa umlah partikl da rgi kota. Kita mmprloggar pryarata ii dga mmprkalka kop mbl. Pada bagia ii kita aka baha mbl kaoik di maa pryarata rgi ambli yag cotat tidak ditrapka. Kita haya mrapka pryarata bahwa umlah partikl yag dimiliki ambli kota. Tuua Bab Ii Tuua bab ii adalah mahaiwa mmahami kop mbl, khuuya mbl yag dibtuk olh ambli-ambli klaik yag mmuhi tatitik Mawll-Boltzma. Pmbahaa difokuka pada mbl kaoik di maa rgi ambli tidak cotat. Kmudia mgguaka kop trbut utuk muruka paramtr trmodiamika ga klaik. Apa Yag Prlu Dikuaai Lbih Dahulu Utuk mmahami lbih baik ttag bab ii, mahaiwa diharapka mmahami trlbih dahulu Bab, Bab, da Bab 4, Bab 8, da Bab 9 da Bab. Pmahama kmbali matri kuliah trmodiamika uga agat mmbatu.. Embl 9

198 Pmbahaa yag bayak kita lakuka pada bab-bab trdahulu tlah dibatai pada ambli partikl yag dicirika olh uhu, rgi, da umlah ytm yag ttap. Atar itm dalam ambli tidak ada itraki, kcuali tumbuka atar itm trbut. Walaupu cukup drhaa, modl ii tlah brhail mmprdiki dga baik bara-bara fii yag ditmui dalam trmodiamika prti rgi, tropi, rgi bba, da kapaita kalor. amu dmikia, kbrhaila modl trdahulu maih myiaka bbrapa proala yag prlu diawab. Salah atu maalah yag tidak dapat dilaka dga modl trbut adalah adaya fluktuai rgi dalam ambli. Ada bbrapa foma dalam ga yag prlu dilaka dga kop fluktuai rgi trbut. Fluktuai rgi mucul akibatya adaya prubaha rgi da kbradaa prubaha rgi tidak diiika dalam modl blumya. Modl-modl trdahulu mltakka daar aumi bahwa rgi diaggap kota. Olh kara itu kita prlu mmprlua modl tatitik yag kita baha blumya higga dapat dikit kluar dari bbrapa pmbataa pada modl trdahulu. Sblum mauk k modl tatitik yag diprlua mari kita dikuika uatu itilah yag dibut mbl. Kita udah baha bahwa kumpulah partikl atau ytm mmbtuk ambli. Statitik yag kita baha lama ii barya adalah klakua partikl dalam buah ambli aa. Da ambli trbut mmiliki bataa bahwa uhu, rgi, da umlah partikl di dalamya kota rta tida ada itraki atar partikl. Pada buah ambli trdapat umlah bar kofigurai pyuua partikl yag diiika. Ergi ambli dibagi ata pita-pita rgi. Pita rgi k- mmiliki rgi E, krapata kadaa g da umlah populai. Jumlah cara pyuua partikl dalam kofigurai trbut adalah 9

199 W g! (.)!,V,T Ambli Didig iolator Gambar. Sbuah mbl diuu olh umlah ambli Kompo dari buah ambli adalah partikl-patikl. Skarag kita igi mmbuat buah upr ambli yag kompoya buka partikl mlaika ambli-ambli. Kita mmbuat upr ambli higga mmiliki ifat-ifat brikut ii: i) Suhu upr ambli kotat. ii) Supr ambli dikat dari ligkuga higga tidak ada prtukara rgi da partikl atara upr ambli dga ligkuga. Dga dmikia rgi maupu umlah partikl dalam upr ambli kotat. Ttapi atar ambli yag madi kompo upr ambli trbut bia aa tradi prtukara rgi atau partikl. iii) Kara atu ambli bia mmiliki umlah bar kofigurai yag mugki maka umlah ambli yag myuu buah upr ambli haru dmikia rupa higga mua kofigurai yag mugki dimiliki buah ambli mmiliki 9

200 ambli rprtatif di dalam upr ambli trbut. Sbagai cotoh ika umlah partikl dalam buah ambli ada buah. Jika diaggap umlah kofigurai pyuua partikl dalam ambli trbut ada macam kofigurai maka umlah ambli yag myuu upr ambli ada buah higga tiap kofigurai ambli mmiliki ambli wakil dalam upr ambli. Supr ambli dga ifat di ata diamaka mbl. Scara kmatik, mbl dapat diilutraika pada Gbr... Ji Embl Ambli yag udah kita baha pada bab-bab trdahulu dapat uga dipadag bagai buah mbl. Kita bagi ambli trbut ata ambli-ambli yag lbih kcil higga ambli bar dapat dipadag bagai buah mbl. Ttapi mbl yag dibtuk mmiliki ifat yag lbih trbata lagi. Kara tidak ada fluktuai rgi maka tidak ada prtukara rgi atar ambli-ambli kcil yag dibuat. Juga tidak ada prtukara partikl atar ambli. Embl dga ifat yag agat trbata trbut diamaka mbl mikrokaoik. Jika bataa utuk mbl kita prloggar higga diiika utuk tradiya prtukara rgi atar ambli yag mmbagu mbl ttapi tidak diiika tradiya prtukara partikl atar ambli maka mbl trbut diamaka mbl kaoik. Jika pmbataa mbl diprloggar lagi higga di ampig prtukara rgi atar ambli uga diiika prtukara partikl atar ambli maka mbl yag kita bagu diamaka mbl kaoik bar (grad caoic). Pada mbl mikroaoik kita dapat mmadag tiap ambli lm 9

201 mbl trbut dikat olh didig iolator. Didig trbut tidak dapat ditmbu olh rgi atau maupu partikl. Pada mbl kaoik, kita dapat mmadag tiap ambli dikat olh didig koduktif paa prti logam higga rgi dapat mmbu didig trbut ttapi partikl tidak dapat mlwatiya. Da pada mbl kaoik bar kita dapat mgaggap atar ambli-ambli dikat olh diig prmabl, yaitu didig yag dapat dilwati rgi maupu partikl. Ilutrai k tiga mbl trbut tampak ada Gbr. Didig tidak dapat dilwati partikl da rgi Didig tidak dapat dilwati partikl ttapi dapat dilwati rgi Didig dapat dilwati partikl da rgi,v,t,v,t,v,t (a) Mikrokaoik (b) Kaoik (c) Kaoik Bar Gambar. (a) Abli-ambli dalam mbl mikrokaoik dibatai olh didig iolator, (b) abli-ambli dalam mbl kaoik dibatai olh didig koduktif paa, da (b) abli-ambli dalam mbl kaoik bar dibatai olh didig prmabl Stlah mdfiiika mbl, mari pada bab ii kita baha mbl i kdua yaitu mbl kaoik. Embl mikrokaoik tidak prlu dibaha lagi kara mua bab blumya pada daarya mmbaha mbl mikrokaoik. 94

202 . Probabilita Tiau ambli k-i yag mrupaka alah atu lm dari mbl kaoik yag aka kita baha. Mialka rgi ambli trbut adalah E i. Probabilita kmuculka ambli trbut dapat dituli p Ei / kt Ei / kt i atau pi C (.) dga C adalah kotata ormaliai yag brgatug pada uhu. Kara haru trpbuhi i p i maka i C Ei / kt C i Ei / kt yag mmbrika btuk ugkapa utuk C bagai brikut C (.) / kt Z i E i Brdaarka pramaa (.) da (.) kita dapatka ugkapa lgkap utuk p i bagai brikut p i Ei / kt (.4) Z.4 Sifat-Sifat Trmodiamika 95

203 Brikutya mari kita baha bara-bara trmodimika dari udut padag mbl kaoik. Prtama kita mghitug rgi yag dimiliki ambli dalam mbl trbut. Ergi rata-rata ambli mmuhi E Z E i p i i Ei / kt Ei i Z β i β E i Z i E Z Z β βei i Z i β l Z (.5) β βe i Kara β / kt maka T / kβ higga T β β T kβ T k( / kt) kt T T (.6) Dga dmikia rgi ambli pada pramaa (.5) dapat dituli madi E kt l Z (.7) T.5 Ergi Bba Hlmholtz Tlah kita dfiika pada bab trdahulu bahwa rgi bba Hlmholtz dmmuhi F E TS. Dga mlakuka difrial pada dua rua kita dapatka df de TdS SdT (.8) 96

204 Mari kita mlihat hukum I trmodiamika, yag uga mrupaka hokum kkkala rgi, de dq dw dq pdv (.9) Di ii kita mdfiiika dw pdv. Utuk pro yag rvribl maka brlaku dq TdS (.) Subtitui (.) k dalam (.9) diprolh de TdS pdv (.) Slautya kita ubtitui pramaa (.) k dalam pramaa (.9) higga diprolh btuk difrial dari rgi bba bagai brikut df ( TdS pdv ) TdS SdT pdv SdT (.) Jika F diyataka dalam fugi V da T maka difrial dari F mmuhi btuk umum 97

205 dt T F dv V F df V T (.) Apabila kita badigka btuk pramaa (.) da (.) maka kita impulka T V F p (.4) V T F S (.5) Subtitui S dari pramaa (.5) k dalam ugkapa rgi Hlmholtz maka kita dapat muli TS E F T F T E F T F T T F T E T F T T E (.6) Maukka ugkapa E dari pramaa (.7) k dalam pramaa (.6) didapat T F T Z T k l yag akhirya mmbrika ugkapa drhaa utuk rgi bba Hlmholtz brupa Z kt F l (.7) Dari pramaa (.5) da (.7) kita dapat muli btuk ugkapa utuk tropy 98

206 bagai F S T V k l Z kt l Z (.8) T.6 Ugkapa lai utuk tropi Dari ugkapa rgi bba Hlmholtz F E TS kita dapat muli E F S (.9) T Kita lauya mgguaka dfiii awal utuk rgi, yaitu E p i E i. i Mrgigat F adalah bara tapa idk da mgigat kamaa maka kita dapat muli i p i pi F F p F (.) i i i Subtitui E i p i E i da pramaa (.) k dalam pramaa (.9) diprolh S i p E i i T i p F i i pi ( Ei F) T i ( Ei F) pi T (.) Dari pramaa (.7) kita dapat muli 99

207 Z F / kt (.) Subtitui pramaa (.) k dalam pramaa (.4) kita prolh p i E / kt i F / kt ( F E /) kt i atau Ei F l pi (.) kt Subtitui pramaa (.) k dalam pramaa (.) diprolh ugkapa lai utuk tropi, yaitu S p ( k l ) i i p i k p i l p i (.4) i.7 Fugi Partii Total Skarag kita mghitug fugi partii total. Utuk makud trbut kita tiau buah ambli, but aa ambli k-i, yag mrupaka kompo dari mbl kaoik. Mialka umlah partikl dalam ambli trbut adalah da partikl-partikl pyuu ambli dapat dibdaka (partikl klaik). Jumlah partikl

208 dalam ambli trbut mmuhi (.5) da rgi yag dimiliki ambli adalah E i E (.6) Utuk ambli kaoik, lalu ttap ttapi E tidak lalu ttap. Jumlah cara pyuua partikl-partikl dalam ambli trbut adalah i W i! g! higga fugi partii madi Z W i i Ei / kt (.7) di maa idk i brgrak pada mua kofigurai yag bia dimiliki ambli. Pumlaha trhadap mua kofigurai yag mugki kival dga pumlaha pada mua kombiai yag mugki yag kita yataka dga ymbol { }. Jadi kita dapat muli

209 { } { } { } kt E W Z / { } kt E g p!! { } kt E g p!! [ ] { } kt E g /!! ( ) { } kt E g!! / (.8) Utuk mcari hail pumlaha pada pramaa (.8), mari kita tiau kau brkut ii ) ( )!! (!! )! (!!!! ) ( )!! (! )!! (!! )! (!!!! Dga mlihat pola di ata maka cara umum dapat kita tuli...! )! (!...! )! (!!!! ) (

210 ! )! (! (.9) Dga cara rupa pu aka kita dapatka btuk pumlaha yag ama utuk pumlaha tiga variabl, yaitu!!!! ) ( { }!!!! (.) Da hail ii bia diprumum lagi utuk pumlaha bayak uku, yaitu { }...!...!!!! { }!! (.) Dga mmbadigka pramaa (.8) dga pramaa (.) maka kita impulka bahwa pada pramaa (.), tidak lai daripada. Dga kamaa ii maka kita impulka bahwa fugi partii pada pramaa (.8) dapat dituli madi kt E g / kt E g Z / Z (.)

211 Utuk tm miklaik di maa partikl diaggap tidak dapat dibdaka maka umlah cara pyuua partikl-partikl adalah W i g! Dga mlakuka lagkah yag ama maka kita ampai pada kmipula btuk fugi partii ytm miklaik adalah Z Ztot (.)!.8 Prapa mbl kaoik utuk ga tidak idal Higga aai ii ga yag kita baha adalah ga idal. Tidak ada itraki atar partikl ga. Dga mgguaka kom mbl kaoik, kita diprbolhka utuk mmprkalka itraki atar partikl ga dalam ambli. Mialka rgi yag dimiliki partikl ga haya rgi kitik maka fugi partii haya mgadug rgi trbut. amu ika ada itraki atar partikl ga maka fugi partii dibagu dari rgi total brikut ii E m ( p py p z ) l> U l (.4) Pada pumlaha U kita myaratka l > utuk mghidari prhituga l gada. Suku dga l uga tidak dirtaka kara tidak ada itraki atara 4

212 partikl dga diriya diri. Kita aka mghitug fugi partii dga mtod itgral. Utuk makud trbut kita haru mgguaka karapata kdaa utuk mggati tada pumlaha madi tada itgral. Utuk ytm mi kuatum, krapata kdaa adalah dγ 6 / h dga dγ 6 d dy dz dp dp y dp z. Fugi partii madi Z! h ( p py pz ) / m p kt l> U l d dy dz dp dp y dp z (.5) Mari kita fokuka pada bagia itgral pramaa (.5) ( p py pz ) / m p kt ( p py p p mkt z ) dp l> dp U y l dp z d dy dz dp p l> kt U dp l y dp z d dy dz I p py pz p p p mkt mkt mkt dp dp y dp z (.6) di maa kita tlah mdfiiika 5

213 I U l l> p d dy dz (.7) kt Pramaa (.6) dapat dituli cara lbih drhaa dalam btuk prkalia brikut ii I p p mkt p p dp mkt p y p mkt p y p dp mkt p z p mkt dp dp y dp z p z p dp mkt I y z I p / mkt py / mkt pz / mkt ( dp ) ( dpy ) ( dpz ) (.8) Dga mgguaka hail yag udah kita plaari blumya yaitu λ d π / λ maka kita dapat muli p / mkt dp p y / mkt dpy p z / mkt dp z πmkt (.9) Kara ada buah prkalia dalam tada maka pramaa (.8) mmbrika hail bagai brikut I ( πmkt ) ( πmkt ) ( πmkt ) 6

214 I / / ( πmkt ) ( πmkt ) ( πmkt ) / ( πmkt ) I (.4) / Subtitui pramaa (.4) k dalam pramaa (.5) didapatka ugkapa utuk fugi partii madi Z / ( πmkt ) I (.4)! h Utuk mcari I mari kita lakuka produr brikut ii. Kita tuli U l / kt f ( r ) (.4) l Dga pulia trbut maka U l / kt l> l> U l / kt [ f ( r ) l ] l> (.4) Jika trpuhi kodii f ( ) << maka kita dapat mlakuka aprokimai r l [ f ( r )] l> (.44) l f ( rl) l> Dga mlakuka ubtitui pramaa (.4) da (.44) k dalam prama 7

215 (.7) kita dapatka btuk aprokimai utuk I bagai brikut I f ( rl) l> Mgigat itgral d dy dz l> d dy dz > d dy dz d dy dz f ( rl) l d dy dz f ( r l) d dy dz (.45) V da maka prama (.45) mmbrika hail mgadug buah uku prkalia I V f ( r l) d dy dz (.46) l> arak atar partikl mmuhi r l ( l ) ( yl y ) ( zl z ). Dga dmikia, f ( l ) haya mgadug am variabl, yaitu, y, z,, r l l l y, da z. Olh kara itu, dalam prkalia lm difrial d dy dz, haya am lm difrial aa yag bkra pada f ( r l ) dagka bayak 6 buah lm laiya tidak bkra pada f ( r l ). Dga ifat dmikia kita dapat muli I V l> k k l d dy dz k k k f ( r l ) d dy dz d dy dz l l l V l> V f ( r ) l d dy dz d dy dz l l l 8

216 V V l> f ( r ) l d dy dz d dy dz l l l (.47) Igat, tlah kita mlakuka itgral mama f ( r d dy dz d dy dz tidak lagi l) l l l mgadug idk maupu l kara variabl trbut habi diitgral. Akibatya, pumlaha pada rua kaa madi pumlaha dari uku-uku yag ilaiya ama, di maa ilai maig-maig uku trbut adalah f ( r l) d dy dz d dy dz l l l. Hail dari pumlaha trbut ama dga ilai uku kali bayak uku pumlaha. Bayakya uku pumlaha adalah ( ) /. Dga dmikia kita dapat muli I V V ( ) f ( rl) d dy dz d dy dz l l l (.48) Utuk mylaika itgral dalam pramaa (.48), kita prkalka variabl rlatif r r l. Dga mmprkalka variabl rlatif ii maka kita dapat mlakuka traformai brikut ii f ( rl) d dy dz dldyldzl f ( r) d r dldyldzl r V f r d r ( ) dldyldzl f ( r) d r r di maa av d r kita dapatka adalah lm volum dalam ruag rlatif da (.49) a f ( r) d r r. Akhirya 9

217 I V V ( ) av ( ) a V V (.5) U l Mialya rgi itraki atar partikl agat kcil higga brlaku / kt <<. Dga aumi ii maka kita dapat muli U l / kt U l kt (.5) Dga mmbadigka pramaa (.4) da aprokimai (.5) kita impulka f ( r l) U l kt (.5) / higga r r a / [ U ( r) / kt ] d r (/ kt) U ( r) d r a' kt. (.5) Subtitui pramaa (.5) k dalam prama (.5) diprolh ( ) a' I V V (5.54) kt Dga mgguaka pramaa (.4) da pramaa (.54) maka rgi bba Hlmholtz dapat dituli

218 F kt l Z / (πmkt) kt l l I! h (.55).9 Pramaa Kadaa Utuk ga idal kita udah mmiliki pramaa kadaa yag drhaa, yaitu pv kt. Skarag kita igi mcari pramaa kadaa utuk ga yag tidak idal yag dibaha di ata. Kita mulai dga mtuka tkaa ga dga mmaukka F pada pramaa (.55) k dalam pramaa (.4). Dari ugkapa rgi bba haya I yag mgadug bara volum. Olh kara itu kita dapat muli F p V T kt l V I I kt I V V kt V T T ( ) V ( ) V kt V V V ( ) V ( ) V a' / kt a' / kt kt ( ) a' / ktv V ( ) a' / ktv kt V a' / kt a' / kt ( ( ) a' / ktv )( ( ) a' / ktv )

219 kt V kt V ( ( ) a' / ktv ( ) a' / ktv ) ( ) a' ktv kt V ( ) a' V kt a'' (.56) V V Pramaa (.56) dapat dirorgaiai madi a' ' p V kt V a' ' p V kt V (.57) Pramaa (.57) agat mirip dga pramaa va dr Wall. Pramaa va dr Wall yag lgkap dapat diprolh dga mlakuka korki pada volum yaitu mguragi volum total dga umlah volum yag dimiliki molkul-molkul ga. Mialka volum total mua molkul ga adalah b. Prama va dr Wall dapat diprolh dga mggati V dga V b yaitu a p V b kt '' ( ( V b) ) (.58) Dga mgaggap bahwa b agat kcil dibadigka dga V maka kita dapat mgabaika b trhadap b pada pybut pramaa (.58). Sdagka pada pmbilag, b kita prtahaka kara walaupu ilaiya lbih kcil dari b ttapi ttap mmbri prubaha ilai yag igifika pada pramaa. Dga dmikia kita diprolh

220 a'' p ( V b) kt (.59) V Pramaa (.59) mrupaka pramaa va dr Wall yag lam ii kita kal.. Fluktuai Ergi Sprti udah kita iggug blumya, kara mbl kaoik mmugkika prtukara rgi atar ambli pyuuya, maka dapat tradi fluktuai rgi yag dimiliki olh maig-maig ambli. Di ii kita turuka flukuai rgi ambli dalam mbl kaoik. Flukuati rgi ambli k-i trhadap rgi rata-rataya dalat ditlui δ E E E (.6) i Kita kuadratka dua rua pramaa (.6) da diprolh δ E ( Ei E) Ei EiE E (.6) Kita lautya mlakuka prata-rataaa k dua rua pramaa (.6), yaitu δ E E i EiE E Ei EiE E Ei EE E E i E (.6)

221 Dalam mcari pramaa (.6) kita tlah mgguaka kamaa E E i da mgigat E kota maka E E. Sbluya kita udah mdapatka hubuga atara rgi da fugi partii, yaitu β Z Z E (.6) Skarag kita aka mcari ugkapa utuk i E. i kt E i kt E i i kt E i i i i i i i i Z E Z Z E p E E / / / β / β β Z Z Z i kt E i (.64) Subtitui (.6) da (.64) k dalam pramaa (.6) diprolh β β β β δ Z Z Z Z Z Z Z Z E (.65) Jika kita difrialka E pada pramaa (.6) trhadap β kita dapatka β β β β β Z Z Z Z Z Z E (.66) 4

222 Dga mmbadigka pramaa (.55) da (.66) kita impulka δ E E kt β E T kt C v (.67) Tampak dari pramaa (.67) bahwa braya fluktuai rgi brgatug pada kapaita kalor yag dimiliki ambli. Maki bar kapaita kalor maka maki bar fluktuai rgi yag tradi. Flkuktuai rgi uga aik cara kuadratik trhadap uhu. 5

223 Bab 4 Soal da Pylaia Statitik Mawll-Boltzma. Soal : a. Jlaka prbdaa atara tatitik Mawll-Boltzma dga tatitik laiya. Bagaimaa hubuga tatitik-tatitik trbut dga ktrbdaa dari partiklpartikl idtik? b. Jlaka mgapa prbdaa atara tip-tip tatitik trbut madi tak ptig pada uhu tiggi. Sbrapa tiggikah yag dikatagorika uhu tiggi trbut?. Solui : a. Statitik Mawll-Boltzma brlaku utuk itm trlokaliai, partikl-partikl alig trbdaka da umlah partikl yag dapat mgii atu kadaa tidak dibatai. Jumlah rata-rata partikl yag mgii tigkat rgi ε l mmuhi btuk umum a w p( α βε ) l l l dga w l adalah dgrai dari tigkat rgi k-l. Statitik Frmi-Dirac brlaku utuk itm yag trdiri ata frmio, partikl-partikl tak dapat trbdaka da mmuhi priip laraga Pauli. Satu kadaa haya dapat diii makimal dua partikl dga arah pi brlawaa. Jumlah rata-rata partikl yag mgii tigkat rgi ε l adalah a l w l ( l ) α βε Statitik Bo-Eiti brlaku utuk itm yag trdiri ata boo, partikl-partikl tak dapat trbdaka. Satu kadaa kuatum dapat diii olh partikl dalam umlah brapa pu. Jumlah rata-rata partikl yag mgii tigkat rgi ε l adalah 6

224 a l w l ( l ) α βε α b. Dari awaba blumya, pada >>, atau α <<, fugi tatitik Bo- Eiti da Frmi-Dirac madi w l l ( α βε l ) ( α βε l ) ± w w l ( α βε l ) Dga dmikia pada kodii trbut k tiga tip tatitik trbut madi ama. Mghigat α h, dga adalah krapata partikl maka kodii di π mkt. Soal : di ata trpuhi pada T / h >>. Dga dmikia, prbdaa atara ktiga tip πmk tatitik trbut madi tak ptig pada limit tmpratur tiggi di ata. Jlaka mgapa, tatitik Mawll-Boltzma tpat diguaka utuk kdua itm di bawah ii : a. Ga H 4 dalam uhu ruag da tkaa tadar (STP) b. Elktro da hol mikoduktor G pada STP (bad-gap V) Solui : a. Ga H 4 trmauk boo higga mmuhi tatitik Bo-Eiti. amu pada kadaa STP kita dapat mmprguaka tatitik Mawll-Boltzma kara trpuhi α <<. Mari kita ck α h πmkt / Kita mgguaka pramaa ga idal pv kt, atau / V p / kt. Dga dmikia 7

225 α / h p h πmkt kt πmkt / Pada STP maka T K, P atm 5 Pa. Dga mmaukka ilai trbut da α maa atom hlium maka diprolh 6 << b. Elktro da hol adalah frmio higga mmuhi fugi ditribui Frmi- ( ε µ ) / kt Dirac / [ ]. Dalam mikoduktor, paramtr µ dibut tigkat rgi frmi. Utuk kbayaka mikoduktor, lbar clah pita rgi di ata V da lokai rgi Frmi kitar tgah-tgah clah pita rgi. Dga dmikia ( ε µ ),5 V. Pada STP ilai rgi trmal kt,5 V. Dga dmikia ( ε µ ) / kt,5/,5 higga ( ε µ ) / kt >> atau fugi ditribui Frmi-Dirac utuk lktro da hol dalam mikoduktor dapat diaprokaimai dga / ditribui Mawll-Boltzma. ( ε µ ) / kt ( µ ε ) / kt yag mrupaka fugi. Soal : µ Tuukka bahwa ( ) λ utuk ga idal adalah valid utuk λ << ; µ p kt VQ adalah potial kimia, adalah dita ga, da ( / ) Q π adalah volum V h mkt kuatum. Solui : Dga pdkata λ << tatitik Mawll-Boltzma : kt ± ( ε µ )/ µ / kt ε / kt, tatitik Frmi-Dirac da Bo-Eiti aka madi Dita kadaa dari buah ga idal (dga tidak myrtaka kadaa pi) adalah : higga π ε ε ε ε h D( ) d ( m) d 8

226 D( ε) dε µ / kt ε / kt mkt λ λ π h V Yag muukka bahwa λ VQ 4. Soal : Q Sbuah baa kubik dga ii cm brii ga diatomik H pada tmpratur K. Stiap molkul H trdiri ata dua atom hidrog dga maa maig-maig,66-4 g, trpiah arak -8 cm. Ga trbut diaumika brifat prti ga idal. Abaika draat kbbaa vibrai. a. Hituglah kcpata rata-rata dari molkul-molkul trbut. b. Hituglah kcpata rotai rata-rata dari molkul trbut trhadap buah umbu yag tgak luru trhadap gari yag mghubugka kdua buah atom (aggap tiap atom bagai titik maa). c. Hituglah kapaita paa C v da C p. Solui : a. Jumlah draat kbbaa dalam itm ii adalah. Maka kt M v higga kt / M v v m b. Jumlah draat kbbaa rotai adalah. Maka: I ω kt dga r I m mr adalah mom iria dari molkul H, m adalah maa atom H, da r adalah arak atara kdua atom hidrog trbut. Maka diprolh : ω ω, / c. Kapaita paa molar : 9

227 5 Cv R J / mol K 7 Cp R 9 J / mol K 5. Soal : Carilah rapat probabilita ρ( E) utuk rgi E dari buah atom tuggal dalam ga mooatomik klaik tak-britraki yag brada dalam ktimbaga trmal. Solui : Ktika umlah atom dari ga trbut agat bar, kadaa itm dapat dirprtaika dalam buah fugi ditribui kotiu. Ktika itm mcapai ktimbaga trmal, probabilita buah atom mmiliki rgi E badig dga p(- E/ kt), dimaa E p /m, dga p adlaah momtum dari atom. Maka probabillita dari atom brada pada p da pdp adalah : Dari Diprolh Shigga Ap( p / mkt) d p( / ) p A p mkt d p A ( ) π mkt π E/ kt ( π kt ) Ap( p / mkt) d p E de Yag mghailka 6. Soal : ρ( E) E π ( kt ) E/ kt ρ( EdE )

228 Mialka rgi dari buah partikl dapat dirprtaika dalam btuk Ez ( ) dga z adalah kordiat, atau momtum, da dapat mmiliki ilai dari - ampai. az a. Tuukkalah bahwa rgi rata-rata tiap partikl utuk itm di ata yag mmuhi tatitik Boltzma adalah E kt / b. Sbutka priip kipartii rgi, da laka pula hubugaya dga Solui : prhituga di ata. a. Dari tatitik Boltzma, fugi ditribuiya adalah (z dapat brupa poii maupu momtum) : Ez ( ) f( z) p kt Shigga rgi rata-rata partiklya adalah E f( z) E( z) dz Ez ( ) p Ezdz ( ) kt Ez ( ) p dz kt dga mmaukka E kt / Ez ( ) az dari pramaa di ata, maka diprolh b. Priip kipartii rgi : Utuk itm partikl klaik dalam kadaa ktimbaga trmal pada tmpraturt, rgi rata-rata dari maig-maig draat kbbaa dari buah partikl tara dga kt. Dalam proala di ata, itm haya mmiliki draat kbbaa, maka rgi rata-rataya adalah kt. 7. Soal : Sbuah itm yag mmiliki tigkat rgi E da E mmiliki buah partikl. Partikl-partikl trbut mmpati tigkat rgi murut hukum itribui klaik.

229 a. Turuka ugkapa rgi rata-rata tiap partikl. b. Hituglah rgi rata-rata tiap partikl trhadap tmpratur pada aat T dat Solui : a. Ergi rata-rata buah partikl adalah : E u E β E β E β E β E Dga mgambil aumi E > E > da mtuka E E E, maka diprolh E E u β E β E b. Ktika T, maka β /kt β β ( )( ), diprolh u E E E E E E β E Ktika T, maka β / kt, diprolh ( β )( β ) ( ) β ( u E E E E E E E E 4 ) 8. Soal : Utuk buah itm klaik yag mmiliki tigkat rgi E da E mmiliki buah partikl, a. Turuka ugkapa kapaita paa pifik dari itm partikl. b. Hituglah kapaita paa pada limit T dat Solui : a. Kapaita paa pifik pr mol adalah E/ kt u u β E A A C R T β T kt E/ kt ( )

230 b. Ktika diprolh T E C R kt E / kt Ktika T diprolh R E C 4 kt 9. Soal : Tiga rgi trrdah dari buah molkul adalah E, E ε, E ε. Tuukkalah bahwa utuk tmpratur yag cukup rdah, haya trdapat tigkat rgi yag dapat trii (E da E ). Ttuka brapa rdah tmpratur yag dimakud. Solui : Mialya itm mmiliki partikl bayak buah, maka murut tatitik Boltzma, ε / kt, ε / kt, maka 9 ε/ kt ε/ kt Pada aat <, tak ada pgiia pada tigkat rgi, yaitu pada aat T < T c, haya E da E yag trii, maka hubuga 9 ε/ kt ε / kt

231 trpuhi. Jika, diprolh T c ε kl. Soal : Utuk kau buah itm yag mmiliki tiga rgi trrdah dari buah molkulya adalah E, E ε, E ε, carilah rgi rata-rata E dari molkul pada tmpratur T. Cari ugkapa C v bagai fugi dari T pada tmpratur tiggi da tmpratur rdah. Solui : Ergi rata-rata dari molkul trbut adalah ε E ε/ kt ε/ kt ( ) ε/ kt ε/ kt Sdagka kapaita paa pifikya adalah : βε βε βε E Rε ( 8 ) Cv A β T ( εβ βε ) Dga β /kt da A adalah bilaga Avogadro. Utuk tmpratur tiggi, kt ε, C 8 v 9 R ε kt T Utuk tmpratur rdah, kt ε, C Rε v ε / kt ( kt ). Soal : Sbuah itm dua kii brbda maig-maig trii olh atom dga pi yag troritai dmikia rupa higga rgiya dapat brilai ε,, - dga 4

232 probabilita yag ama. Atom-atom trbut tak alig britraki. Hituglah harga rata- rata mbl U da U utuk rgi itm U diaumika braal dari pi aa. Solui : Utuk atom tuggal, ugkapa brikut ii trpuhi : β β ε β β ε β β β β Da utuk itmya, β β U ε ε, β β U ( ) ε ε ε ε εε Kara εε ε ε, maka. Soal : U [ ] [ p β p( β) ] p( β) p( β) p β p( β) Hitug tmpratur dari buah itm yag trii 6. atom ga hlium pada tkaa atmofr. Solui : Dga mgguaka pramaa kadaa ga idal, diprolh T pv / k 4K. Soal : Hituglah tmpratur buahitm partikl yag trii tigkat-tigkat partikl tuggal da mmuhi tatitik Mawll_Boltzma yag mgalami kotak trmal dga rrvoir paa pada tmpratur T. Ditribui populai dalam tigkat-tigkat rgi odgrat dituukka dalam tabl di bawah. 5

233 Ergi (V) Populai. -.%.5-8.5%.9 - % % Solui : Ditribui populai dibrika olh ugkapa : p(( ε ε ) / kt) Shigga ε T ε k l ( ) Dga mgguaka ilai da yag tlah dibrika, diprolh ilai-ilai T brikut: 99.; 99.5; 99.; 99.5;.; 98.8 K Harga rata-rata T adalah T 99.4 K. 4. Soal : Dalam buah kprim kriogi, paa dialurka k ampl pada lau kota. watt. Etropi dari ampl trbut brtambah irig waktu prti yag dituukka dalam tabl di bawah. Hitug tmpratur ampl pada t 5. Waktu (c) Etropi (J/K) Solui : 6

234 Q S Lau rata-rata pgambila paa adalah q T T t, mghailka q T S t ilai S diprkiraka dga mgguaka itgral tgah pada t 5, diprolh t S t J / c. K Shigga, ilai T K. 5. Soal : Turuka ugkapa kapaita paa vibrai dari ga diatomik bagai fugi dari tmpratur. (Guaka h ω / k θ ). Lakuka dga mgguaka ugkapa fugi partii vibrai, mgvaluai da mgguaka hailya utuk mghitug ilai C vib. Solui : Tigkat rgi vibrai utuk ga diatomik adalah : εv h ω v v.. ( ),,,,. Fugi partiiya adalah : Z vib p [ βhω ( v )] v Ergi bba utuk mol ga trbut adalah : dga βh ω A A F AkTl Zvib hω l p( βh ω) β Ergi dalam dari itm ii adalah : [ ] F A A hω U F T hω T p( βhω ) 7

235 Shigga dapat dituruka ugkapa kapaita paa vibrai : C hω θ T ( ) kt T U, v 6. Soal : Ttuka limit tmpratur C vib utuk kau ga diatomik. Solui : Dari proala blumya, tlah dituruka ugkapa kapaita paa vibrai, yaitu : hω C R T ( ) kt U, v θ T Limit tmpratur tiggi T θ, atau, maka didapat : Cv R Limit tmpratur rdah T θ, atau, maka didapat : C R T T v ( θ / ) p( θ / ) 7. Soal : Oilator harmoik kuatum dimi (dga tigkat rgi daar h ω / dalam ktimbaga trmal dga rrvoir paa pada tmpratur T. a. Carilah ilai rgi rata-rata bagai fugi T. b. Carilah ilai akar kuadrat rata-rata dari fluktuai rgiya. c. Bagaimaa ilai-ilai kduaya pada limit kt hω da kt h ω Solui : Diktahui fugi partii itm trbut adalah : E hω z p p ( ) kt kt ih a. Ergi rata-rataya adalah : ( hω ) kt ) brada 8

236 hω hω coth T kt E kt l z b. Akar kuadrat rata-rata dari fluktuai rgiya adalah : E hω E T k T ih c. Pada limit kt h ω : E hω ( ) kt hω hω, E h ω p kt Pada limit kt h ω : E kt, E kt 8. Soal : Prhatika buah itm oilator kuatum tak britraki D dalam ktimbaga trmal pada tmpratur T. Tigkat rgi dari buah oilator diktahui brupa : E ( m ) γ / V, dga m,,,...; γ adalah kotata, V adalah volumd m a. Ttuka U da C v bagai fugi T. b. Skta U(T) da C v (T). Solui : Fugi partii itm ii adalah : βγ ( V ) βγ ( V ) p m z p cch m V p ( V ) β( ) γ βγ a. Ergi dalam itm ii adalah γ U l z coth β V γ coth V γ ( VkT ) βγ ( V ) Kapaita paa pifik pada volum kota adalah : 9

237 v γ γ ( VkT ) ( VkT ) U cv k cch T b. Skta U(T) da C v (T). U(T) Cv(T) γ V T T 9. Soal : Ergi kitic rata-rata dari atom-atom Hidrog dalam buah atmofr bitag (diaumika brada dalam ktimbaga trmal) adalah, V. a. Brapa tmpratur atmofr trbut dalam K b. Brapa raio umlah atom pada kadaa trkitai kdua () trhadap umlah pada kadaa daar. Solui : a. Tmpratur atmofr bitag trbut : 9 ε.6 T 7.7 K k.8 b. Tigkat rgi utuk atom Hidrog adalah :.6 V E

238 Dga mgguaka ditribui Boltzma, diprolh : E E p kt Dga mmaukka ilai-ilai brikut :.6.6 E V, E V, da kt ( / ) V 8 Maka didapat ilai : /.. Soal : Sbuah ga mooatomik trdiri ata atom-atom dga dua tigkat rgi dalam: kadaa daar dga dgrai g da kadaa trkitai rdah dga dgrai g pada rgi E di ata kadaa daar. Carilah kapaita paa pifik dari ga trbut. Solui : Brdaarka ditribui Boltzma, rgi rata-rata dari atom-atom trbut adalah: ε kt E ge E/ kt E / kt g g dga E adalah rgi dioiai kadaa daar (kadaa daar dipilih bagai titik ol rgi), maka c ε E/ kt v k E/ kt T T g g ge ge k E/ kt T g g gge k kt ( g g E/ kt E/ kt )

239 Soal Latiha. Jlaka mtod kprim yag dapat diguaka utuk mlakuka validai utuk ditribui Mawll-Boltzma.. Sbuah kolom ilidri briika ga pada tmpratur trttu (T) brputar trhadap umbu dga kcpata agulr yag kota. Turuka ugkapa fugi ditribui ktimbaga itm ii.. Mialka buah itm trdiri dari partikl yag tidak alig britraki (>>), dimaa rgi tiap partikl diaumika dua da haya mmiliki dua ilai yaitu da E (E>). Jumlah huia rgi pada tigkat da E adalah da. Ergi total itm trbut adalah U. a) Carilah tropi itm trbut. b) Carilah tmpratur bagai fugi dari U. Pada rtag brapa ilai o ama dga T<? c) Ktika buah itm tmpratur gatif mgalami kotak paa dga itm tmpratur poitif, dari arah maakah paaya mgalir? Mgapa? 4. Pada buah mda magt trdapat paramagt idal dga tropi SS CU, dga U adalah rgi itm pi da C adalah kotata dga paramtr mkaik itm yag ttap. a) Ttuka Ergi U itm pi trbut bagai fugi dari T, dga mgguaka dfiii fudamtal tmpratur. b) Gambarka grafik U v T utuk mua ilai T (-<T<). c) Jlaka cara igkat pgrtia fii mgapa tmpratur gatif trmauk bagia dari hail yag didapat.

240 5. Sbuah matrial trdiri dari partikl yag alig tidak trgatug da brada dalam pgaruh mda magtik ktral lmah H. Stiap partikl mmiliki mom magtik mµ lama brada dalam mda magtik trbut, dimaa m J, J-,, -J, -J, J mrupaka bilaga bulat, da µ adalah kotata. Sitm trbut brada dalam tmpratur T. a) Carilah fugi partii itm trbut. b) Hitug ilai rata-rata magtiai M matrial trbut. c) Carilah aimtot M utuk T yag brilai agat bar. 6. Mialka trdapat ga yag trdiri dari atom-atom pi-½ dga krapata atom pr volum atua. Stiap atom mmiliki mom magtik itriik µ da itraki atar atom dapat diabaika. Aumika bahwa itm trbut mmatuhi atura tatiktik klaik. a) Brapakah pluag mmuka atom dga µ paralll trhadap mda magtik H pada tmpratur mutlak T? b) Brapakah pluag mmuka atom dga µ ati paralll trhadap mda magtik H pada tmpratur mutlak T? 7. Sbuah itm paramagtik trdiri dari dipol magt. Stiap dipol mmiliki mom magtik µ yag mmatuhi atura klaik. Jika itm trbut pada tmpratur brhigga T brada pada mda magtik uiform H, ttuka: a) Iduki magtik itm trbut. b) Kapaita paa pada H kota 8. Mialka didalam mda magtik trdapat kii-kii kaku dari pi-½ atom yag dapat dibdaka. Spi trbut mmiliki dua buah kadaa (tat) dga rgi -µ H da

241 µ H utuk pi up ( ) da pi dow ( ), da brhubuga dga H. Sitm trbut brada pada tmpratur T. a) Ttuka fugi partii kaoik z utuk itm trbut. b) Ttuka total mom magtik M µ ( - _) itm trbut c) Ttuka tropi itm trbut. 9. Ga mooatomik idal dimaukka k dalam ilidr dga ari-ari a da tiggi L. Silidr trbut brotai dga kcpata agular ω dikitar aki imtriya da ga idal trbut brada dalam kadaa kuilibrum pada tmpratur T pada itm koordiat yag brotai dga ilidr trbut. Aumika bahwa atom-atom ga trbut mmiliki maa m, tidak mmiliki tigkat kbbaa itral, da mmatuhi atura tatitic klaik. a) Ttuka Hamiltoia pada itm koordiat yag brotai trbut b) Ttuka fugi partii itm trbut c) Ttuka umlah krapata rata-rata partikl bagai fugi dari r.. Sbutka hukum ditribui rgi Mawll-Boltzma. Dfiiika yarat-yaratya. Jlaka dimaa prapa yag alah dari hukum trbut.. Mialka atmofr bumi trdiri dari itrog muri pada ktimbaga trmodiamika dga tmpratur K. Hitug ktiggia di ata prmukaa laut dimaa krapata atmofr trbut ½ kali krapata atmofr pada prmukaa laut.. Miaka buah itm partikl tuggal mmiliki dua tigkat orbital yag kduaya mmiliki rgi yag ama. Ktika dua orbital trbut tidak trii, rgi itmya adalah ol. Ktika alah atu orbital trii olh atu partikl, rgiya adalah ε. 4

242 Mialka rgi itm auh lbih tiggi (tak higga) ktika kdua orbital trbut trii. Tuukka bahwa umlah rata-rata mbl partikl dalam tigkat trbut adalah: ( )/ ε µ τ. Tulika kpri drhaa utuk bagia itral dari fugi partii atom Hidrog triolai yag brada dalam itraki lmah dga buah rrvoir pada tmpratur T. Apakah kpri trbut divrg utuk T da utuk T? 4. Sbuah iti 7 4 mmiliki pi iti I. Aumika bahwa molkul diatomic dapat brotai ttapi tidak dapat brvibrai pada tmpratur biaa da graka lktroikya diabaika. Tmuka umlah ortho mlkul da para molkul pada buah ampl ga itrog (ortho kadaa pi imtri, para kadaa pi ati imtri). Srta laka apa yag tradi dga umlah molkul trbut apabila tmpratur dirdahka higga mdkati ol mutlak? 5. Molkul Hidrog biaa ditmuka dalam dua btuk, orthohidrog (pi iti paralll) da parahidrog (pi iti ati paralll). a) Stlah brada dalam ktimbaga pada tmpratur tiggi, ttuka fraki ga H yag parahidrog (aumika bahwa tiap variai Hidrog kbayaka brada pada kadaa rgi trdah). b) Pada tmpratur rdah hampi mua molkul orthohidrog brubah madi parahidrog. Jlaka mgapa rgi yagdilpaka olh tiap molkul yag brubah auh lbih bar dibadigka prubaha rgi pada flip pi iti. 6. Turuka ugkapa pramaa kadaa buah itm itm oilator kuatum tak britraki D dalam ktimbaga trmal pada tmpratur T. Tigkat rgi dari buah oilator diktahui brupa : E ( m ) γ / V, dga m,,,...; m 5

243 7. Sbuah itm ga yag trdiri dari atom-atom pi-½ dga krapata atom pr volum atua mmatuhi atura tatitik klaik. Stiap atom mmiliki mom magtik itriik µ da itraki atar atom dapat diabaika. a) Carilah rata-rata magtiai ga trbut baik yag brada pada limit tmpratur tiggi da limit tmpratur rdah. b) Ttuka uptibilita magtik χ dalam µ. 8. Turuka ugkapa kapaita paa pifik C(T) dari buah itm yag brupa molkul htrouklir diatomik mmiliki mom iria I (haya grak rotai yag diprhitugka). 9. Prkiraka probabilita buah pragko (maa. g) yag brada di ata ma pada tmpratur kamar ( K) aka trbag cara pota tiggi -8 cm di ata ma trbut. Hit: Jaga bayagka haya ada pragko, tapi umlah takhigga pragko yag tak alig britraki ditmpatka alig brblaha. Brika alaa bahwa kumpula pragko trbut mmatuhi ditribui Mawll-Boltzma.. Brapa bagia dari ga H pada prmukaa laut pada tmpratur K dapat lpa dari mda gravitai bumi? Mgapa maih trdapat ga H pada atmofr di ata prmukaa laut? 6

244 Bab 5 Soal da Pylaia Statitik Bo-Eiti. Soal : Sitm boo idtik tak brpi dga maa m brada dalam kotak dga volum V L pada tmpratur T >. Tulika kpri umum umlah partikl (ε) yag mmiliki rgi atara ε da εdε dalam fugi maa, rgi, tmpratur, potial kimia, volum da bara lai yag rlva. Tuukka pula bahwa pada limit ktika arak rata-rata d atar partikl agat bar dibadigka paag glombag d Brogli, ditribuiya madi ama dga ditribui Boltzma. Solui : Jumlah partikl diyataka bagai / πv( m) ε ( ε ) dε ( )/ kt h ε µ Kmudia, kara / πv( m) h V ( ε µ )/ kt π mkt h / µ kt ε dε maka µ V d kt λ λ Dga λ h/ πmkt adalah paag glombag d Brogli dari graka trmal dari partikl, da d V /. Dga dmikia pdkata d λ tara dga pdkaa p(-µ/kt). 7

245 . Soal : Utuk partikl dga lvl rgi dga maig maig dgrai adalah, ttukalah kofigurai fugi partii Z utuk tatitik tatitik Bo Eiti. Solui : Statitik Bo Eiti ε ε ε * * * * ε * * * * * * * * Total Ergi ε ε ε ε 4ε Ζ / kt ε / kt ε / kt ε / kt 4ε / kt. Soal : Dga mgguaka kpri imbolik pada Matlab, carilah kpri utuk F, S, E, Cv utuk kau oal o. di ata, da ttuka plot atara Cv trhadap T. Solui : Kara umlah partikl dittuka da umlah rgi tidak dittuka, diaumika bahwa yag ditiau adalah itm dalam mbl kaoik. Dalam mbl kaoik, brlaku 8

246 p i p() E / kt i yag myataka probabilita uatu ambly brada dalam kadaa (tat) i. Fugi partii total diyataka bagai: Ζ i E i / kt Dga da F kt l Ζ F S T V rta F E TS higga ( F / T ) E T T V diprolh Cv Dga Ζ E T F T T V / kt ε / kt ε / kt pada Matlab, diprolh hail brikut : ε / kt 4ε / kt, mgguaka kpri imbolik ym k T Ep F-k*T*log(*p(-*Ep/(k*T))*p(-*Ep/(k*T))*p(-*Ep/(k*T))*p(- *Ep/(k*T))*p(-4*Ep/(k*T))) QF/T Ergi-T^*diff(Q,T) Cvdiff(Ergi,T) 9

247 >> prtty(f) Ep Ep Ep Ep -k T log( p(- ---) p(- ---) p(- ---) p(-4 ---)) k T k T k T k T >> prtty(ergi) / Ep Ep Ep Ep p(- ---) Ep p(- ---) Ep p(- ---) k T k T k T T k \ k T k T k T Ep \ Ep p(-4 ---) k T / / / / \ k T / Ep Ep Ep Ep \ p(- ---) p(- ---) p(- ---) p(-4 ---) k T k T k T k T / >> prtty(cv) / Ep Ep Ep Ep p(- ---) Ep p(- ---) Ep p(- ---) k T k T k T T k \ k T k T k T Ep \ / Ep Ep Ep p(-4 ---) Ep p(- ---) Ep p(- ---) k T k T k T /(%) T k

248 4 k T / \ k T k T Ep Ep Ep Ep p(- ---) Ep p(- ---) Ep p(- ---) k T k T k T k T k T k T Ep Ep Ep \ Ep p(- ---) Ep p(-4 ---) Ep p(-4 ---) k T k T k T /(%) 4 4 k T k T k T / / Ep Ep Ep Ep p(- ---) Ep p(- ---) Ep p(- ---) k T k T k T - T k \ k T k T k T Ep \ Ep p(-4 ---) k T / / % / k T / Ep Ep Ep Ep % : p(- ---) p(- ---) p(- ---) p(-4 ---) k T k T k T k T 4

249 4. Soal : Ttukalah U da (PV) itm Boo dalam mbl Grad Kaoik! Solui : Btuk umum Grad Partitio Fuctio adalah Ζ W i p β µ k k Ek { i} k k () dga W i adalah fugi bobot yag brkaita dga fugi ditribuiya. Itrai i brkaita dga umlah partikl, k k i ( umlah partikl ). Pramaa () dapat dituli ulag dalam btuk ( tapa mmprhitugka faktor dgrai ) Z p[ ( µ ) { } k k β E ] () k k da utuk itm boo (tapa mmprhitugka faktor dgrai) didapatka β ( µ Ek ) β ( µ Ek ) Z (..) k k ( E k () β µ ) Pada itm trbut, brlaku umlah partikl mrupaka umlah rata rata partikl utuk kofigurai yag mugki, yaitu k k k β ( µ E ) k (4) higga, dga mmadag rapat kadaa dikitar rgi E adalah D(E), umlah partikl rata rata dapat uga ditulika bagai 4

250 D( E) de (5) β ( µ E) Pramaa ii mgabaika kadaa E yag dalam kadaa kuatum harulah mmpuyai bobot uga. Utuk mgakomodaiya, pramaa (5) aka brubah madi D( E) βµ de (6) ( βµ V β µ E) Suku tambaha itu aka mmpuyai ilai kadaa daar E ). (umlah partikl yag brada dalam Dga E h k m h π ml E Vπ, pramaa E h / / R, higga D( E) ( m) E (6) dapat ditulika bagai V / ) m π E de ( E h (7) β µ Dga mmialka / βe higga de β d da / E β /, pramaa (7) dapat dituli ulag bagai m V π h / m V π βh β / / / / z z z d d (8) Mgigat rlai... l bagia itgrad pramaa (8), dapat ditulika bagai l, higga l l, maka G / l / ( z) ( z ) l d (9) yag bila dikpaika aka mmbrika 4

251 G G / / ( ) / / z z d z d z ( z) zγ( ) / z Γ( ) / / z Γ( )... d () higga pramaa (8) dapat ditulika bagai V / m π Γ( ) g / ( z) () βh dga g / ( z) G / ( z). Pramaa ii dapat dituli ulag dga mmbrika Γ( ) ilai π Γ ( ) da diprolh rata rata partikl bagai / πm V g / ( z) βh () da dga mrapka paag glombag trmal λ πm βh / V g / ( z) () λ /, diprolh ilai ( pv ) dapat diprolh dga mrapka pv β lz, higga diprolh pv pv k k B B T l T k k l β ( β ( µ Ek ) µ Ek ) (4) yag dapat diubah dalam btuk kotiu madi 44

252 pv k T B pv k T B D( E)l m V π h / β ( µ E) E / de l β ( µ E) de (5) Pramaa (5) mgaumika bahwa partikl dga E tidak dirtaka mgigat bata bata itgral yag dipakai. Utuk mgikutkaya, pramaa (5) dapat dituli ulag madi pv k T B m V π h / / E l de l (6) β ( µ E) βµ V βµ βe Dga mrapka z da kmbali, dapat ditulika p k T B / m / π β h / l z d l V z Suku trakhir mmpuyai kotribui yag agat kcil. Dalam kau trburuk, utuk buah partikl, aka trdapat palig bayak Θ( l ) kadaa yag mmuhiya da utuk, aka palig bayak brilai. Suku trbut aka diabaika. Pramaa (6) aka kmbali k btuk pramaa (5) da dituli ulag madi p k T B / m / l( z d βh π ) (7) 4 yag dapat dikpai dga l( )... madi 4 45

253 / / / / / / d z d z d z h m T k p d z z z h m T k p B B β π β π (8) Pramaa (8) aka mmpuyai ilai ( ) l l B l z h m T k p 5 / / / Γ β π (9) Shigga diprolh ) ( 5 / 5 / / z g l z h m T k p l l B λ π β π () ilai rgi dapat diprolh dga V z Z U, l β, atau V z pv U, ) ( β β aka mmbrika ) ( ) ( 5 / 5 / ' / 5 / / ', 5 / z g V U z g V g V g V U V z λ β λ β λ λ β β λ () higga diprolh V U p () 5. Soal : 46

254 Hituglah prbdaa ord utuk ilai rata-rata rgi atara itm partikl oidtik tak brpi dga itm partikl boo idtik tak brpi pada d λ. Kdua itm ii brada dalam kotak dga volum VL da maa partikl m. Solui : Aprokimai ord prtama dibrika olh ( ε µ )/ kt ( ε µ )/ kt ( ) kt ( ε µ )/ rgi rata-rataya adalah / πv( m) µ / kt ε / kt E d h ε ε ε µ / kt ε / kt λ d kt ε ε ε 4 d 6. Soal : Prtimbagka buah itm mkaika-kuatum dari ga boo yag tak britraki da pi-ol, dga maa maig-maig partikl adalah m da bba brgrak dalam ruag dga volum V. Ttuka rgi da kapaita paa di darah tmpratur rdah. Jlaka mgapa pada tmpratur rdah, potial kimia prlu dibuat ama dga ol. Solui : Ditribui Bo yag diyataka olh ( )/ kt ε µ mgharuka ilai µ. Scara umum, π ( ) h / m d ( ε µ )/ kt ε ε 47

255 Pada aat tmpratur turu, potial kimia turu tru higga mcapai ilai, yag maa π ( m ) h ε / kt / ε dε Kodai Bo tradi pada aat tmpratur tru muru cara kotiu dga µ. Dga dmikia, pad limit tmpratur yag agat rdah, itm Bo dapat dikataka mmiliki µ. Jumlah partikl pada kadaa tak trkodai tak kkal. Dita rgi u da kapaita paa pifik c diprolh bb : u ε π ( m ) h ε / kt / εdε / π / / ( ) ( ) h m kt d / / u mkt c 5π k d T h 7. Soal : Cari kpri rgi utuk itm mkaika-kuatum dari ga foto (m). Tuukka bahwa rgiya brbadig luru dga T 4. Solui : Utuk ga foto, maka µ trpuhi pada tiap tmpratur, da ε h ω. Rapat kadaaya adalah ω dω, da dita rgiya adalah. π c u 4 hω h kt dω hω / kt d π c π c h 8. Soal : 48

256 Sbuah ga yag trdiri dari partikl Bo tak brpi brmaa m brada dalam ruag trtutup dga volum V da pada tmpratur T. Carilah kpri utuk dita kadaa partikl-tuggal D( ε ) bagai fugi rgi partikl tuggal ε. Sktaka hailya. Tulika pula kpri utuk rata-rata agka pgiia kadaa partikl tuggal, ε, bagai fugi ε, T, da potial kimia µ ( T ). Gambarka pula fugi ii dalam kta trbut, da idikaika di maa ltakε µ. Solui : Dari pryataa ε p /m da 4πV ε ε h D( ) d p d p diprolh 4πV D( ε ) dε ( m) ε h / /. da kpri utuk rata-rata agka pgiia kadaa partikl tuggal adalah ε ( µ ( ε µ )/ kt ) Skta hailya : 49

257 D( ε ) µ ε ε 9. Soal : Utuk kau yag ama dga o.8, tulika kpri itgral yag mtuka cara kpliit ilai µ ( T ). Solui : Dga ε p / m, maka 4πV ( π h) p dp ε / m V / dε ε ( ε µ )/ kt h π( ) ( π ) atau π / V ( mkt) h / / d ( µ ) Di maa / kt. ilai /V tak brubah pada aat T muru ilaiya, amu µ µ µ ( T ) brkurag tru higga mdkati ol.. Soal : 5

258 Dari hail yag diprolh dari oal o.9, prkiraka µ ( T ) utuk T < T C. Dkripika ilai ( ε, T) utukt < TC. Solui : Utuk boo, brlaku µ <. Pada aat T T, µ Pada aat yag ama, brlaku C ε > ε / kt da πv h / 5/ / ε ( m) ( kt) T Tc / d. Soal : Cari kpri utuk tmpratur traii Bo-Eiti T c utuk ga yag trdiri dari partikl Bo tak brpi brmaa m brada dalam ruag trtutup dga volum V da pada tmpratur T. Solui : Guaka bagai dita da T c bagai tmpratur kriti. Prhatika bahwa pada tmpratr T c potial kimia mdkati ol da umlah partikl pada kadaa daar uga maih mdkati ol, higga 5

259 / π / ε dε ( m ) ε / kt h / π / d ( mktc ) h di maa itgral / d A,6 higga h Tc mk π A / π. Soal : Prtimbagka buah itm ga boo yag idtik, tak britraki, da orlativitik. Jlaka apakah fk kodai Bo-Eiti dapat ditrapka dalam kau ga dua dimi maupu ga atu dimi. Solui : Kodai Bo-Eiti tradi pada aat µ. Utuk kau ga dua dimi, brlaku πma h ( ε µ )/ kt π ma l( ε µ )/ kt h l π ma kt h l l dε lµ / kt dε Jika µ, maka pramaa di ata divrg. Maka µ da kodai Bo-Eiti tak tradi pada ga dua dimi. Utuk kau ga atu dimi, brlaku 5

260 ml dε h ε ε µ ( )/ kt ( ) Jika µ, maka bagia itgral pada pramaa di ata divrg. Maka kali lagi µ da kodai Bo-Eiti tak tradi pada ga atu dimi.. Soal : Prtimbagka buah ga foto yag dibatai dalam volum V da dalam ktimbaga pada tmpratur T. Foto trbut mrupaka partikl tak brmaa, higga ε pc. a. Ttuka potial kimia dari ga. Jlaka. b. Ttuka bagaimaa umlah foto pada volum trbut brgatug pada Solui : tmpratur. a. Potial kimia dari ga foto adalah ol. Kara umlah foto tidak kkal pada buah ilai tmpratur da volum yag dibrika, umlah rata-rata foto dittuka olh F maka TV, F µ TV, b. Rapat kadaa dari itm ii adalah 8πVp h atau dp Vω dω π c 5

261 Shigga umlah fotoya adalah V ω π c V kt π c h T hω / kt dω α dα α 4. Soal : Tuukka bahwa utuk ga foto brlaku p U / V Solui : Rapat kadaa diyataka olh D( ) V d ε α ε ε, dga α adalah kotata. Dga βε ( ε ) ( ) l Ξ D l p l Ξ β V α ε ε l β diprolh p βε ( ) V V αε βε U /V εdε dε d 5. Soal : Dga mgguaka hukum I da II trmodiamika, rta hubuga p U / V, carilah ktrgatuga dita rgi trhadap tmpratur pada ga foto. 54

262 Solui : Utuk radiai trmal, brlaku UTV (, ) utv ( ) Dga mgguaka hubuga trmodiamika brikut : U p T p T T T V Dari pryataa trbut diprolh T u u u T atau u γt 4, dgaγ adalah kota 6. Soal : a. Tuukka bahwa umlah foto dalam kadaa timbag pada tmpratur T pada buah rogga dga volum V adalah V( kt/ hc) dikali buah kotata umrik. b. Guaka hail ii utuk mdapatkakpri kualitatif dai kapaita paa dari ga foto pada volum kota. Solui : a. Rapat kadaa foto diyataka olh V dg π c h ε dε higga 55

263 V π c h kt V α hc ε dε εβ dga β, kt α λ π dλ λ b. Rapat rgiya adalah u V π c h ε ε dε εβ kt ktv hc π λ dλ λ Shigga dari pryataa CV u, diprolh T CV T 7. Soal : Alam mta kita diligkupi olh radiai bda hitam K. Dalam padaga drhaa, radiai ii timbul dari kpai adiabatik dari bayak awa foto yag diproduki pada aat big-bag. a. Mgapa kpaiya karag brifat adiabatik, buka, mialya, iotrmal? b. Jika dalam tahu brikutya alam mta mgmbag bayak faktor dua, apa yag tradi dga tmpratur dari radiai bda hitam trbut? Solui : a. Awa foto mrupaka itm triolai, higga kpaiya brifat adiabati. b. Rapat rgi dari radiai bda hitam adalah u 4 αt, higga rgi totalya adalah 4 E VT. Dari pramaa TdS de pdv, brlaku 56

264 S E T VT T T V V Dga dmikia S VT kotata Utuk kpai adaiabatik rvribl, tropi S ttap, tak brubah. Dga dmikia, ktika volum V brubah madi dua kali lipat, T aka brkurag dga faktor () -/ higga tlah tahu, tmpraturya aka madi K T / 8. Soal : Utuk kau pada oal o. 6, Tulika itgral yag mtuka brapa bar ilai rgi pr mtr kubik yag brada dalam awa radiai ii. Prkiraka hailya dalam ord oul pr mtr kubik. Solui : Radiai bda hitam mmatuhi tatitika Bo-Eiti, maka E d p 8π c d pc pc 4 V β h h ( βc) Dga faktor myataka umlah polariai pr kadaa. Dga dmikia, E V π ( kt) J/m 5 ( hc) 4 9. Soal : Alam mta kita diligkupi olh radiai bda hitam (foto) pad tmpratur T K. Radiai ii diduga mrupaka piggala dari prkmbaga awal big-bag. Tulika kpri umlah dita cara aalitik bagai fugi T da kotata uivral. Bbrapa kofaktor umrik baikya dibiarka dalam btuk itgral tak brdimi aa. 57

265 Solui : Ditribui Bo dibrika olh : ( k ) ( βε ) k ( ) / Jumlah total foto adalah : V dk ( ) hck / β π π dga ε ( k) hkcutuk foto, da β dua arah. Shigga : κ B T. Faktor dua timbul kara adaya polariai kt B I V π hc dga I d d.4. Soal : Aggap alam mta kita mrupaka rogga fri dga radiu 8 cm da diligkupi olh didig yag tak-tmbu. Jika tmpratur dalam rogga adalah K, ttuka umlah foto yag ada di alam mtada rgi yag dikadug olh foto-foto trbut. Solui : Jumlah foto yag ada dalam frkui agulr dari ω ampai ωdω adalah V d d ω ω, β ω β π c h kt Jumlah total foto adalah : 58

266 V ω dω V d β ω/π π c h π c β 87 ( h) V kt. kt V π hc π hc π ( ) 7 π.5.5 Dga total rgiya adalah 4 V ω dω π k E c β ω π h 5 c.6 7 rg ( h ) VT 4 59

267 Soal Latiha. Tuukka bahwa kompribilita iotrmal κ T da kompribilita adiabati κ S dari ga idal Bo dibrika olh : κ T ( ) ( ) g z, κ g z kt g ( z) 5 kt g ( z) / / S / 5/ dga (/V) adalah dita partikl dalam ga.. Tuukka bahwa pada ga idal Bo brlaku : z 5 g5/( z) z T T g ( z) P /. Dga mgguaka hubuga da P V P CP CV T TVκT T V T P T V C / C κ / κ buktika bahwa P V T S 5 g5/( z) g/( z) γ CP / CV ( ) { g z } / 4. Hituglah ( P/ T ),( v µ / T ),( v µ / T ), P utuk ga idal Bo, da uilah apakah hailya uai dga hubuga-hubuga trmodiamika brikut : 6

268 P P µ CV VT T T T v da C µ T T P v 5. Kcpata uara dalam fluida dibrika olh w ( P/ ρ) S dga ρ adalah dita fluida. Tuukka bahwa utuk ga idal Bo brlaku : w 5kT g ( z) 5 u m g ( z) 9 dga 5/ ga. / u adalah kuadrat rata-rata kcpata partikl dalam 6. Tuukka bahwa utuk ga idal Bo brlaku u 4 g( z) g( z) u π g z { ( )} / dga u adalah kcpata partikl. Tiau utuk kadaa dimaa z da z. 7. Tuukka bahwa rgi rata-rata tiap foto dalam radiai bda hitam rogga agat dkat dga ilai,7kt. 8. Matahari dapat diaggap bagai bda hitam pada tmpratur 58 K, dga diamtr,4 9 m brarak,5 m dari bumi. a) Hitug itita radia total dari iar matahari pada prmukaa bumi. b) Sbrapa bar tkaa yag dilakuka pada prmukaa yag myrap mpura yag ditmpatka ormal trhadap iar matahari? 6

269 c) Jika buah atlit diaggap mmiliki prmukaa yag myrap mpura, da mghadap ormal trhadap iar maahari, brpakah tmpratur kival yag ditrima? 9. Guaka pramaa tkaa kitik ga umum P pu pada ga roto da uilah bahwa hail yag diprolh aka cocok dga hubuga Boltzma P kt.. Prtimbagka buah ga idal Bo dalam mda gravitai uiform. Tuukka bahwa foma kodai Bo-Eiti yag tradi pada tmpratur T C dibrika olh T C T C 8 π mgl 9 ζ ( ) ktc dga L adalah tiggi kotair da mgl kt C. /. Utuk kau ga idal Bo dalam mda gravitai uiform. Tuukka bahwa pada foma kodai Bo-Eiti, brlaku : 9 π mgl ( CV) T T C ζ ( ) k 8π ktc /. Prtimbagka ga idal Bo dalam mbl grad kaoik. Plaari fluktuai umlah partikl da rgi total E. Jlaka apa yag tradi ktika g trbut trdgrai tiggi.. Prtimbagka ga idal Bo yag dibatai olh lua A -D.Tulika ugkapa umlah partikl pada kadaa trkitai,, da umlah partikl pada kadaa daar,, dalam fugi z, T da A, da tuukka bahwa itm trbut tak mmuhi kodai Bo- Eiti kcuali pada T K. 6

270 4. Utuk kau yag ama dga o., tuukkalah bahwa ika A da ttap,, da, dalam ord, maka kodai tradi pada T h mkl l dga l ~ ( A/ ) adalah arak rata-rata atarpartikl dalam itm. 5. Prtimbagka kau ga idal Bo -dimi yag pktrum rgi partikl-tuggalya dibrika olh ε p dga adalah mbarag bilaga poitif. Jlaka ktrgatuga kodai Bo-Eiti trhadap da. Jlaka ifat-ifat trmodiamika itm trbut, yaitu : U P, CV( T ) k, da CP( T ) V k 6. Fugi partii kaoik radiai bda hitam dapat dituli olh : QV (, T) Q( ω, T) higga ω ω l QV (, T) l Q( ω, T) l Q( ω, T) g( ω) d ω dga Q adalah fugi partii oilator-tuggal da g( ω) dita kadaa. Dga mgguaka iformai trbut, hitug rgi Hlmholtz, P da U/V dari itm trbut. 7. Tuukka bahwa tropi tiap foto pada radiai bda hitam tak brgatug pada tmpratur, da dalam dimi paial d dibrika olh: 6

271 S ( d ) d d 8. Tabl di bawah muukka bbrapa ilai hail kprim T trhadap kapaita paa H 4 cair. ilai-ilai trbut diprolh pada kurva tkaa uap dari Hlium cair. Tmpratur ( K) Kapaita Paa (oul/g-dg) (a) Tuukka bahwa ifat kapaita paa pada tmpratur yag agat rdah mrupaka karaktritik ga foo. (b) Hitug kcpata uara di dalam Hlium cair pada tmpratur rdah. 9. Tuukka bahwa pramaa kadaa ga idal Bo dalam faa ga dapat ditulika dalam btuk kpai virial brikut : 64

272 Pv λ λ... kt 4 v 8 9 v. Tuukka dalam kau ga Bo tak-idal dalam faa ga, pramaa kadaaya dapat ditulika dalam btuk: Pv a λ λ... kt 4 λ v 8 v 65

273 Bab 6 Soal da Pylaia Statitik Frmi-Dirac. Pada tmpratur trttu, ditribui Frmi f(ε) dapat diyataka dalam aprokimai kaar bagai gari putu-putu bagaimaa tampak pada gambar. Brika plaa drhaa mgai muculya kapaita paa liar yag mucul dari aprokimai ii. f(ε) ε Solui : f(ε) A A G G ε B B C D(ε)f(ε) dituukka dga gari putu-putu pada gambar. Jika diguaka aprokimai trbut pada oal, D(ε)f(ε) mrupaka gari tbal pada gambar. Bda E atara rgi itral pada tmpratur T klvi da klvi bruaia dga bda atara ctr of gravity G dari gitiga ABC da ctr of gravity G dari gimpat AA B B trhadap umbu ε. Dga mulika BC αkt, dga α adalah ttapa yag brord atu, dapat ditulika koordiat utuk G da G bagai brikut : 66

274 G : OB ½ BB OB ½ αkt G : OB ⅓ BC OB ⅔ αkt Shigga dapat diprolh E αktd /6 αkt /6 α D(kT) Dga αktd brarti umlah lktro yag trkadug pada darah AA B B. Jika dipilih AC bagai tag dari kurva ditribui Frmi, maka diprolh αkt / f (µ) 4 kt. Shigga diprolh d E C dt 4 Dk T. Ditiau uatu mikoduktor itriik yag mmpuyai clah rgi (rgy gap) lbar E G, dga dita lktro koduki da dita hol p. Tuukka bahwa hubuga brikut dipuhi : π ( mmh ) p h / kt / EG / kt Tuukka pula bahwa potial Frmi dari itm lktro dapat diyataka dga : µ E G 4 m kt log m ika lktro koduki da hol diaumika brklakua bagai partikl bba dga maa fktif maig-maig m da m h. Awal ilai rgi diambil pada bagia ata pita yag trii dga aumi E G >>kt. Hitug ilai ( p) utuk kau : E G,7 V, T K, m h m m. h Solui : Jumlah total lktro dibrika olh : () β ( ε i µ ) β ( ε µ ) i Dga ε i mrupaka lvl rgi pada pita koduki da ε mrupaka lvl rgi pada pita trii. Pada kau mikoduktor itriik umlah total tat lktro ama dga, yaki Σ. Shigga dapat ditulika : i () β ( ε i µ ) β ( ε µ ) β ( ε µ ) 67

275 Pramaa ii muukka kamaa umlah lktro koduki da umlah hol dalam pita yag trii, yaki ε i da ε dapat ditulika bagai p. () ε i E G p /m, ε - p /m h (4) dga p adalah momtum partikl da da p dituukka olh dp, β ( E G µ p / m ) h p h dp. β ( µ p / mh ) Pada K, baik maupu p ama dga ol. Pada tmpratur yag tidak agat tiggi, hubuga E G -µ>>kt, da µ>>kt maih brlaku da ilai da p dapat diaggap kcil. Dga dmikia dapat diaumika ifat o-dgrai baik pada lktro koduki maupu hol. Shigga dapat diprolh (5) (6) ~ h / β ( EG µ p / m ) πm kt ( EG µ ) / kt dp. h, (6) ~ h m dp. h kt ( / m ) h / kt p π β µ p h µ. (7) Dari pramaa (7), (8) da () dapat dittuka µ/kt yaki, Dari (7) da (8) dapat ditulika / 4 mh kt kt E G / µ / (9) m Dari (9) dapat diprolh π ( mmh ) p. h / kt / m E / kt G () h µ E G 4 kt log () m Potial Frmi yag dittuka pramaa () agat dkat dga prtgaha clah rgi ika ilai log(m h /m ) brord atu da tmpratur brada di bawah ilai E G /k. Utuk E G,7 V, 68

276 E G /k brilai,8 4 K. Karaya pada tmpratur biaa hubuga E G /k>>t, E G -µ>>kt, da µ>>kt dipuhi. Dga ilai T K da m m h m, diprolh p 4,8 5 () / 4 -,4 / ~,6 cm -.. Ditiau mikoduktor tip- yag lvl door-ya brada E D dibawah daar dari pita koduki. Mial D, D da adalah brturut-turut umlah door, umlah lktro pada lvl door da umlah lktro koduki maig-maig pr atua volum. Turuka hubuga ( D D ) ED / kt D da tafirka arti fiiya. Di ii diaumika bahwa lvl door tidak dapat dihui olh dua lktro pada aat bramaa, itm lktro o-dgrat, da (πm * kt/h ) /, dga m * adalah maa lktro koduki. Solui: Ditiau ampl atu atua volum. Ergi bba lktro F pada lvl door dituukka olh pramaa D! D F D ED kt log. () D!( D D )! D E D kt D D D D log D log ( D D ) log () D D bilaga dalam logaritma pada uku kdua pramaa () brarti umlah total kofigurai lktro D (pi ataupu -) yag trditribui pada lvl door D. Pada pramaa () faktor ii didrhaaka dga mgguaka rumu Strilig. Potial kimia lktro µ pada lvl door dibrika olh pramaa Shigga F D µ E D kt log log, () D D D Atau D ( ED µ ) / kt D D. (4) 69

277 Smtara ituumlah lktro koduki dibrika olh pramaa µ kt D D. (5) ( ED µ ) / kt dp, dga (ε p /m * ) (6) ( ε ) / h Dimaa faktor mucul kara dgrai pi. Dga aumi dgrai lmah, pramaa (6) dapat ditulika bagai / ( ε µ ) / kt πm * kt µ / kt µ / dp.. h h Dga mglimiai µ pada pramaa (4) da (7), diprolh, ( D D ) ED / D kt Priip dari alur pmikira di ata tidak lai adalah ptua ktimbaga raki pada pramaa brikut. kt. (7) (8) D D (9) D brarti door dga lktroya, D door trioiai da adalah lktro koduki. Jika diguaka otai [D] D, [D ] D - D da [], maka pramaa (8) brbtuk hukum aki maa [ D ][ ] [ D] K(T ) () 4. Suatu lktro dalam mda magt H puya rgi ± µ B H uai dga kadaa mom magt pi parall atau ati parall trhadap mda. Hitug uptibilita paramagtik pi dari itm lktro bba pada K dga dgrai puh. Solui : Ergi lktro dapat ditulika bagai brikut ε p H m ± µ B () Dga tada ± brkaita dga dua arah mom magt pi. Pada K lkktro mduduki lvl rgi higga potial Frmi µ. Karaya rgi kitik lktro p/m dga pi 7

278 brilai atara higga µ -µ B H da yag pi brilai dari higga µ µ B H. Jumlahya dibrika olh pramaa Mom magt total dibrika olh 4πV. p, p µ µ B H h m 4πV. p h p m µ µ BH 4πV M µ B ( ) µ ( p ) B p (4) h Dga mgaumika bahwa µ >>µ B H, dapat diprolh 4 πv / / µ [{ ( )} { ( )} B m µ µ H m H ] B µ µ B (5) h 4πV µ ( ) / B M Hµ B mµ / µ... H..., (6) h µ Dga.4πV(mµ ) / /h. akhirya diprolh χ / kt. µ / B µ µ B () () 5. Mial uatu bara fiika I dari uatu itm lktro diyataka dga uatu itgral yag mgadug ditribui Frmi f(ε) I g( ε ) f ( ε ) dε ψ ( ε ) D( ε ) f ( ε ) dε, (g ψd) Dga D adalah dity of tat. Turuka rumu-rumu brikut ii ika dgrai cukup kuat : I T µ π k Tg'( µ ) O( T ), I µ T g( µ ) O( T ), I T π k Tψ '( µ ) D( µ ) O( T ). Solui : 7

279 ) ( ) ( µ ε β ε f, (β/kt) [ ] ), '( ) ( ) ( ε µ ε µ ε µ ε β µ ε β µ f T kt T f ). ( ' ε µ f f T ( ) ( )... ) '( ) ( 6 µ ε µ µ ε ε π ε ε ε µ ε g d d T k d f g T T I ), ( ) '( T O Tg k µ π () Da ). ( ) ( ) '( ) ( T O g d f g I T µ ε ε ε µ () Utuk g D, maka I. Dari hubuga dt T d d T µ µ µ Dapat diprolh ). ( ) ( ) ( ' T O D D T k T µ µ π µ () Brdaarka pramaa () dapat dilihat g da g pada pramaa () da (), µ dapat digati dga ilai µ pada K. Dapat pula diprolh hubuga µ µ µ T I T I T I T ) ( ) '( ) ( ) '( ) ( T O Tg k D D T k g µ π µ µ π µ ). ( ) ( ) '( T O D T k µ µ ψ π 6. Di dalam logam diaggap ada lktro yag dapat brpidah cara bba. Atomic hat dat krital a (volum atom 4 cm /mol) ama dga 4,5R ika diaumika adaya atu lktro bba pr atom da brlaku kipartii rgi bagaimaa brlaku dalam tatitik klaik. Tuukka ricia logikaya da laka mgapa atomic hat logam biaaya mgikuti hukum Dulog-Ptit da mgapa kotribui dari lktro bba tampak hampir ol, brlawaa dga kimpula blumya. 7

280 Solui: Sitm lkto bba yag diaggap bagai ga idal klaik puya kapaita`paa molar pada volum kota (C V ) ama dga /R bagai akibat dibrlakukaya kipartii rgi pada draat kbbaa tralaiya. Di lai pihak vibrai kii krital logam myumbag R trhadap ilai C V, kara dipuyai -6 draat kbbaa pr mol ( bilaga Avogadro) da dapat diprlakuka bagai itm oilator harmoik yag mgikuti tatitik klaik. Dga mumlahka kdua i trbut dapat diprolh 4,5 R bagai kapaita paa atom logam. Jika itm lktro diaggap bagai ga Frmi yag trdgrai, lktro mmpati pita koduki higga lvl pada ord potial Frmi µ kt (>>kt). Ergi trmal yag brod kt tidak dapat mgkitai lktro pada lvl yag lbih rdah k lvl yag lbih tiggi yag koog, kara adaya laraga Pauli. Haya lktro di dkat potial Frmi dapat myrap rgi trmal kt da brpidah k lvl lbih tiggi yag koog, kara ditribui Frmi trdgrai turu cara taam dari k dalam lag rgi lbar kt dikitar potial Frmi. Akibatya lktro yag dapat dikitai cara trmal brord T/T, da umbagaya pada kapaita paa atom brord / R T/T da dapat diabaika ktika T<<T. Dga aumi dity of tat brbtuk 4πV dp 8πV D ( ε ) ε h dε h / p (m ) Dapat diprolh ilai timai utuk µ bagai brikut / / µ h h / 4,66 VA rg. m 8 V 8m V π π () A Dga V A mruuk pada volum atom. Utuk a V A 4 cm da µ 5, - rg (, V), T µ /k,6 4 K. Suai dga hubuga T<<T hal ii dipuhi dga baik pada tmpratur biaa. 7. Ditiau uptibilita paramagtik pi dari ga lktro bba. Jlaka maka fii bda kualitatif atara ilai uptibilita trbut pada kau dgrai kuat da dgrai lmah. Jlaka pula maka dari raio atar kdua ilai trbut. Solui : 7

281 Pada kau o-dgrat, uptibilita magtik pi dibrika olh pramaa Sdagka utuk kau dgrat Raio atara kduaya χ µ B / kt, () χ / kt µ B. () χ χ Dapat diaggap bagai bilaga yag mwakili raio atara umlah lktro yag dapat mrima rgi trmal trhadap umlah total lktro yag trdiri ata ga Frmi yag agat trdgrai. Dga kata lai ika diaumika bahwa / (T/T ), lktro dapat diprlakuka cara klaik (tidak ada dgrai) da puya uptibilita magt bagaimaa pramaa (), maka aka diprolh hail bagaimaa pramaa (). Pybab klakua ii tidak lai adalah priip Pauli, buah lktro yag puya rgi ε tidak dapat myrap kuatum kitai trmal ika kadaa dga rgi ε kt tlah trii. amu, lktro yag mduduki darah rgi lbar kt dikitar potial Frmi dapat dikitai cara bba. T T () 8. Buatlah timai ilai kapaita paa lktro da uptibilita paramagtik pi (pr atua maa) dari Li da a. Aumika bahwa lktro vali kdua logam trbut dapat diaggap bagai lktro bba da guaka,54 g/cm da,97 g/cm bagai dita maig-maig dari Li da a. Solui : Rumu utuk ga Frmi idal dapat diguaka pada kau ii C V π k T / µ χ µ B / µ h µ m ( / πv ) / 8 Dga adalah umlah lktro pr atua maa. Jika dita adalah ρ, brat molkul M, umlah lktro vali z da bilaga Avogadro, dapat ditulika z /M da /V ρ, higga 74

282 / / / 4 8 / k m / z 4 z π ρ T,48 T cal/g.dg / / / / h M ρ M C V χ µ z M z ρ M / / / / B / π ρ,864 cg.mu/g / / / h Jika diambil ilai z, ρ,54 g cm -, M 7 utuk Li z, ρ,97 g cm -, M utuk a, diprolh Li : C V,579-4 T cal/g.dg, a : C V,66-4 T cal/g.dg, χ,488-6 cg.mu/g. χ,669-6 cg.mu/g. 9. Tuukka bahwa pramaa kadaa ga Frmi idal dapat ditulika bagai pv/u da turuka rumu utuk kompribilita ika dgrai kuat. Etimaika kompribilita krital a. Aumika bahwa krital a puya atu lktro bba pr atom da guaka ilai brikut : brat atom, dita,97 g/cm. Solui : Dga mgguaka fugi grad partii Ξ dapat ditulika β ( µ ε ) pv kt log Ξ kt D( ε ) dε log( ), () Dga D(ε) utuk lktro bba dibrika olh D ( ε ) Cε /, / C µ, Mlalui itgrai parial dapat diprolh / h µ. () m 8πV ( / / / β ( µ ε ) pv kt µ o ) ε dε log( ), [ ( )] ( ) / β ( µ ε ) ( ) / β ε µ ε log β ε dε / ( / kt / µ 75

283 ( ) E d f D f d / / ) ( ) ( ) ( / ε ε ε ε ε ε ε µ () Pada kau yag agat trdgrai, E dibrika olh pramaa, µ π µ π µ kt kt E (4) Shigga dapat ditulika..., 6 5 v T k v p µ π µ (5) Da kompribilita κ dibrika olh pramaa ( ) T T v p v p V V / κ, µ π µ µ π µ kt v v T k v (6) Pada K diprolh dy cm V V m h V v A A A /, / 5 / / π µ κ Utuk V A /,97 cm, diprolh ilai κ,7 - cm /dy.. Ditiau ampl logam yag mgadug atom da diaumika bahwa pita rgi logam ii yag dapat mampug lktro dihui olh - lktro. Tuukka bahwa kotribui lktro-lktro trbut trhadap ifat trmal logam kival dga ga lktro yag lvl rgiya adalah ε i da potial kimiaya adalah µ, dimaa ε i da µ adalah lvl rgi da potial kimia itm lktro. Solui : Sifat trmal ga lktro yag trdiri ata - lktro yag mduduki pita rgi trbut di ata dittuka olh rgi bba Hlmholtz ( ) i i kt F ) ( log ') ( ε µ β µ, () 76

284 ' kt µ Pramaa trbut dapat diubah madi btuk Da Atau F β ( ε i µ ) ( ') µ kt log i i i β ( µ ε i ) log( ). () ( ) ( µ ε i ) β ( ε i µ ) ( ) ( µ ε ) ε ' µ kt log, () i i ' ( ) ( ) ( ), (4) β ε i µ β µ ε i β µ ε i i i i ' ( ), ε ( µ ) i i i i (5) β i Suku Σ i ε i pada pramaa () mrupaka kotata da tidak brhubuga dga ifat trmal da dapat dihilagka dga mgubah ilai rgi ol. Pramaa () da (5) tidak lai adalah pramaa yag mtuka rgi bba Hlmholtz dari itm lktro yag mmpuyai rgi ε i dga potial kimia µ.. Jika ditiau pi lktro, buah lktro pada lvl door dapat mmiliki dua kadaa. amu, itraki Coulomb atar lktro mcgah lvl door utuk mampug dua buah lktro pada aat bramaa. Ttuka uptibilita magtik pi itm lktro pada lvl door dga aumi trbut. Solui : Fugi grad partii utuk lktro yag trditribui pada D door dituukka olh Ξ ( ED µ BH )/ kt ( ED µ ) D [ ( )] B H / kt λ µ kt ED / kt BH λ coh Tiga uku dalam kurug adalah kadaa koog, kadaa yag trii lktro dga pi poitif da kadaa dga pi gatif. λ p(µ/kt) mrupaka aktivita abolut lktro. Titik mula potial kimia µ, yag uga titik awal rgi, diambil pada daar pita koduki. Karaya D () 77

285 rgi lktro pada lvl door adalah E D µ B H atau E D - µ B H brgatug pada apakah pi lktroya poitif atau gatif. Dari pramaa () dapat ditulika ) / coh( ) / ih( log / / kt kt kt M B kt E B kt E B D D D H H H µ λ µ λ µ Ξ. () Utuk H kcil dapat diprolh bara pr atua volum, kt kt H M B D kt E B D D / ) ( µ µ χ µ. () Ii brarti bahwa D lktro dalam lvl door mgarahka piya pada mda magt cara idpd.. Ttuka potial kimia da kapaita paa ga Frmi idal (pi ½) rlativitik yag agat dgrat. Solui : Dga mulika ε cp, maka dapat dituruka hubuga bagai brikut ) ( ) ( 8 8 µ ε β µ ε β ε π π dp c h dp p h V, () ) ( ) ( 8 8 µ ε β µ ε β ε π ε π dp c h dp p h V E. () Utuk kau yag trdgrai kuat, dga g(ε) ε, dapat ditulika... ) )( ( 6 ) 7( 6 ) ( ) ( 4 kt kt d f µ π µ π µ ε ε ε () Utuk da diprolh,, 8 µ π πµ kt c h V (4) µ π µ π πµ kt kt c h V E (5) Dari pramaa (4) dapat diprolh 78

286 ,... µ π µ µ kt / 8 π µ hc,. V (6) Jika diubtituika k dalam pramaa (5), dapat diprolh,... 4 µ π πµ kt c h V E higga,... 4 µ π µ kt E (7) Da utuk kapaita paa pada volum ttap / / 7 /, hc T k T k k T E C V V π µ π (8) Suku prtama CV muuukka kbrgatuga trhadap uhu ama dga kau orlativitik, ttapi dga kofiiya madi ( ) mc h π / Trhadap kau yag o-rlativitik, artiya madi agat lbih bar.. Hitug potial Frmi µ da rgi itral E dari ga Frmi idal yag trdiri ata partikl brpi ½ higga uku ord T 4, utuk kau dgrai cukup tiggi. Solui : Dity of tat D(ε) utuk partikl bba dalam kotak brvolum V adalah ε π ε ε 4 ) ( dp p d d h V D, (p mε),. / / ε π h m V () Dga faktor mucul kara dgrai pi. Pada K kadaa rgi puhya trii higga lvl ε µ yag dittuka dga hubuga, 8 4 ) ( / / h m V d h m V d D µ π ε ε π ε ε µ µ () Atau, 8 / V m h π µ 79

287 Dga adalah umlah total partikl. Shigga dapat diprolh Pada tmpratur fiit, diprolh / / D ( ε ) ε / µ. () / f ( ε ) D( ε ) dε µ ε / f ( ε ) dε. (4) Mgguaka rumua utuk kau trdgrai, dga g(ε) ε /, dapat diprolh Shigga bahwa / , 5 µ π kt π E µ kt (5) µ 8 84 µ µ 4 4 5π kt π kt E µ.... (6) 5 µ 6 µ 4. Tuukka bahwa kapaita paa C V dari ga Frmi idal pada tmpratur yag cukup rdah dapat ditulika bagai brikut C V Di ii D(ε) dity of tat utuk atu partikl. µ π k TD( ) Solui : Pada K, dapat ditulika pramaa Pada T klvi, dapat ditulika pramaa Dari rumua utuk kau dgrat dapat ditulika Dga mguragka () dari () diprolh µ µ D ( ε ) dε. () D ( ε ) f ( ε ) dε. () D( ε ) dε π ( kt ) D'( µ )... () 6 8

288 µ π D ( ε ) dε ( kt) D'( µ ).... (4) 6 µ Pada tmpratur yag cukup rdah, dapat diharapka µ µ <<µ, µ higga dapat dilakuka aprokimai utuk pramaa (4) Shigga dapat diprolh Di lai pihak dapat pula diprolh hubuga ( µ µ ) D µ ) π ( kt) D'( µ ).... ( 6 d µ µ 6 π ( kt ) log D( ε ) (5) dε µ d E εf ( ε ) D( ε ) dε εd( ε ) dε 6π ( kt ) εd( ε )... (6) dε Slautya dapat pula diguaka aprokimai µ µ ε µ ε µ ( µ µ ) µ D( µ ) εd( ε ) dε π ( kt ) µ D'( µ ). εd( ε ) dε εd( ε ) dε Shigga akhirya didapat Da diprolh µ µ ( kt ) D( µ ), E εd( ε ) dε π (7) C E Jika diguaka hubuga ( ) / 6 TD( ). µ V π k T V 8πV D ( ε ) m ε, da D(µ ) / µ dapat diprolh h π T C V k (T µ /k) (8) T 6 5. Mial dity of tat lktro pada uatu ampl diaggap kota D utuk ε> (D utuk ε<) da umlah total lktro ama dga. (i). Hitug potial Frmi µ pada K. (ii). Turuka kodii bahwa itm o-dgrat. (iii). Tuukka bahwa kapaita paa badig dga T ika itm agat trdgrai. 8

289 Solui : (i). Pada K lvl rgi dihui lktro higga ε µ. Karaya (ii). Potial kimia dittuka olh hubuga D µ, higga µ /D. () Kodii yag mami tidak ada dgrai adalah Ktika hal trbut dipuhi, maka dari pramaa () Skarag kodii () kival dga D dε D. () β ( ε µ ) βµ >>. () β ( ε µ ) βµ dε. β /DkT<<. (4) Ii brarti bahwa umlah total lktro agat kcil dibadigka dga umlah lktro yag dapat ditampug dalam darah rgi lbar kt. Yag brarti bahwa kodii yag dibutuhka adalah << DkT umlah tat dalam itrval rgi kt. (iii). Utuk βµ>>, dari pramaa () diprolh µ µ D dε dε β ( ε µ ) µ D µ µ dε ε µ ) β ( µ β β dε ( ε µ ) dε ( ) ε µ D Ergi itral dibrika olh dy dy µ βy βy Dµ (6) εddε E β ( ε µ ) 8

290 µ µ ( ) εdε εdε D εdε β ( ε µ ) β ε µ µ D µ ( kt ) d Dµ π D( kt ). (7) Suku prtama pramaa (7) tidak brgatug pada tmpratur bagaimaa trdapat pada pramaa (6). Pada tmpratur rdah dapat diprolh de dt 6 π Dk T. (8) 6. Suatu ga idal yag trdiri ata buah frmio brpi-/ dikugkug dalam wadah brvolum V. Hitug limit tmpratur ol utuk (a). Potial kimia, (b). Rata-rata rgi pr partikl (c) tkaa, (d). Suptibilita pi Pauli. Tuukka bahwa dalam atua Gauia uptibilita dapat ditulika bagai µ / () V, dga µ () adalah potial kimia pada B µ tmpratur ol. Diaumika tiap Frmio puya itraki dga mda magt luar dalam btuk µ HS z, dga µ B adalah magto Bohr da S z adalah kompo-z pi. Solui : Kara pi Frmio ½, maka kompo z-ya puya dua arah yag mugki trhadapmda magt (up) da (dow), yag bruaia dga rgi adalah p ε ± µ B H. m ± µ B H. Shigga rgi partikl Pada T K, partikl diaggap mmpati mua lvl rgi di bawah rgi Frmi µ (). Karaya rgi kitik partikl brpi gatif trditribui diatara da µ () - µ H, da yag brpi poitif trditribui di atara da µ () µ H, umlahya adalah B B πv h 4 p πv p h 4,, p µ () µ B H m p µ () µ B H m 8

291 (a). Jumlah total partikl adalah πv (m) h Dga H, dapat diprolh potial kimia / / {[ µ () µ H ] [ µ () H ] }. 4 / B µ B / ( ) µ hm π (b). Utuk partikl dga kompo-z pi ½ da -½, momtum Frmiya adalah Ergi total yag bruaia adalah Shigga rgi rata-rata pr partikl adalah Utuk µ ( ) µ B H, E E E p p V { m[ µ () µ H ]} /, { m[ µ () µ H ]} /, P 4πV p E B H p h m µ E 5 πv p µ B H, p h m 4 B B dp 5 πv p µ, B H p h m 4 4πV h m 5 5 µ B H ( p p ) p p ( (c). Tkaaya adalah E p V T E µ 5 5 µ H µ B ( ). E µ (). µ () V 5V (d). Utuk µ ( ) µ B H, magtiaiya adalah µ () µ (). 5 M µ B µ B ( ) / V H χh. µ () V 84

292 µ Shigga. B χ µ () V 7. Ditiau modl ga Frmi dari iti atom. Kcuali kara priip Pauli, uklo dalam iti yag brat diaumika brgrak cara idpd dalam bola yag uai dga volum iti V. Partikl trbut diaggap mrupaka ga Frmi yag puhya trdgrai. Ambil A (umlah tro) Z (umlah proto), aumika Z, da hitug rgi kitik pr uklo, 4π E ki /A dga modl ii. Volum uklu dibrika olh V R A, R,4 cm. Solui : Dalam ruag momtum, Dga adalah krapata umlah tro. Jumlah tro total adalah 4V d h 4 πp dp A Dga p F adalah momtum Frmi. Ergi kitik total tro adalah Volum V dapat diyataka dalam dua cara E ki d 6π V p F p h p 6πV d m 5h dp 5 pf m V 4 pf A π R (π ) A 6π, (dga h h ) π / 9π Mmbrika ilai p F R 6MV. 8 mr 8. Bitag baag putih (whit dwarf) diaggap trdiri ata itm ga lktro trdgrai pada tmpratur ragam auh di bawah tmpratur Frmi. Sitm ii tabil trhadap krutuha gravitai paag lktroya tak-rlativitik. (a). Hitug krapata lktro dimaa momtum Frmi prpuluh maa diam lktro c. 85

293 (b). Hitug tkaa ga lktro trdgrai di bawah kodii ii. Solui : V 8π pf (a)., dp dga. h V h p p F m c da p F, Diprolh 8 mc π h 5,8 (b). Utuk ga Frmi yag agat trdgrai (di bawah aprokimai vali ol) diprolh Da E µ, 5 / m E pf p µ. 9,5 6 / V 5 5 m m.. 9. Ditiau uatu ga trdgrai yag trdiri ata buah lktro tak-britraki dalam volum V (T K). (a). Ttuka pramaa yag mghubugka tkaa, rgi da volum ga ii utuk kau rlativitik ktrm. (abaika maa lktro). (b). Utuk ga ral lktro (mial brmaa m) ttukalah kodii pada da V agar hail pada awaba oal (a) valid. Solui : Ergi ga lktro trdgrai tak-britraki adalah E 8π V p F εp h dp, Dga ε adalah rgi lktro tuggal, da p F adalah momtum Frmi p F ( / 8πV ) (a). Utuk kau rlativitik ktrm, ε cp, higga rgiya adalah / πcv 4 E p F, h h. 86

294 Da tkaa E p V T E V, yag mmbrika pramaa kadaa (b). Utuk lktro ral, pv E. ε Dga p adalah momtumya mmbrika hail mc ( mc ) ( pc) pc, E π cv Hail pada oal (a) dapat diaggap valid ika 4 [ p ( mcp ) ]/ h. F F p F mc, atau 8π mc. V h Baik atau V aka mmuhi kodii trbut. p. Ditiau ga Frmi pada tmpratur rdah kt µ() dga µ () adalah potial kimia pada T. Brika argumtai kualitatif ilai kpo yag domia pada uku yag brgatug pada tmpratur, utuk bara brikut ; (a). Ergi, (b). Kapaita paa, (c). Etropi, (d). rgi bba hlmholtz (). Potial kimia. ilai ol pada kala rgi trltak di orbital trdah. Solui : Pada tmpratur yag rdah, haya partikl yag rgiya trltak dalam ktbala ~ kt dkat prmukaa Frmi yag trkitai cara trmal. Ergi partikl yag dmikia brord kt. (a). E E( ) αkt. kt, dga α adalah kotata kbadiga. Shigga E E() kt. (b). C V E T V T T CV CV (c). Dari ds dt, dapat diprolh S T dt T. T (d). Dari F E TS, dapat diprolh F F() T. 87

295 (). Dari µ ( F pv ) / da p E / V, dga adalah umlah partikl total, diprolh µ µ () T. Soal Latiha. Ergi Frmi dari lktro koduki dalam logam lithium adalah 4,7 V diukur dari bagia daar pita koduki, brapa fraki lktro trbut yag trkitai trmal pada tmpratur K? Buat prkiraa kaar kapaita paa mol lktro trbut pada K.. Brapa raio rgi Frmi ga yag trdgrai puhya dari lktro-lktro yag tak alig britraki trhadap ga yag ama dari tro-tro yag tak alig britraki dga volum yag ama? Mgapa hal ii ptig dalam pmbtuka buah bitag tro? (raio maa tro trhadap lktro diambil bar ).. Suatu ga trdiri ata tiga atom dga ak trhadap tiga kadaa kuatum yag brbda dga rgi yag ama. Brapa bayak kadaa-mikro (microtat) yag brbda yag dapat dibtuk dari lvl-lvl kuatum trbut utuk kau ga Frmi-Dirac, dimaa atomya trbdaka tapi haya diprbolhka atu atom dalam tiap tat. 4. Utuk uatu ga lktro bba brdimi-d, hitug kompribilita trmal pada tmpratur ol κt(). yataka dalam umlah rata-rata partikl pr atua volum / V da rgi Frmi ε F. 5. Tuukka bahwa kapaita paa C V dari ga Frmi idal pada tmpratur yag cukup rdah dapat ditulika bagai brikut C V µ π k TD( ) 88

296 6. Utuk logam a ada kitar,6 lktro koduki/cm, yag brklakua prti ga lktro bba. (a) hitug ilai timai rgi frmi dalam a. (b). Brika ilai aprokimai kapaita paa lktro dalam a pada tmpratur kamar. 7. Turuka rumu utuk rgi kitik makimum lktro dalam ga Frmi tak-britraki yag trdiri ata buah lktro dalam volum V pada tmpratur ol. 8. Modl lktro bba utuk lktro koduki dalam logam tampakya aif ttapi rikali brhail. Diatara hal yag marik adalah, modl ii mmbrika prhituga yag mauk akal utuk kompribilita logam-logam trttu. Mial dibrika krapata umlah da rgi Frmi ε dari uatu ga Frmi tak-britraki pada tmpratur ol mutlak T K. Ttuka kompribilita trmal Dga V adalah volum da p adalah tkaa. V κ V p T, 9. Utuk ga Frmi-Dirac dapat didfiiika tmpratur T dimaa potial kimia ga ol (z). yataka T dalam tmpratur Frmi T F.. Tuukka bahwa utuk ga Frmi idal brlaku z z t P 5 T f f 5 / / ( z), ( z). Tuukka bahwa kompribilita trmal κ T da kompribilita adiabatik κ S dari uatu ga idal Frmi adalah f/ ( z) f ( z) κ T, κ T /, kt f ( z) 5kT f ( z) / Dga /V adalah krapata partikl ga. 5 /. Utuk ga idal Frmi, tiaulah ( P / T ), ( µ / T ) da ( µ / T ) da uilah apakah hailya mmuhi hubuga trmodiamika V V P 89

297 V V V T T T P VT C µ da. P P T T C µ. Tuukka bahwa kcpata uara w dalam uatu ga idal Frmi dibrika olh pramaa bagai brikut ). ( 9 5 ) ( ) ( 5 / 5 / u z f z f m kt w Dga (u ) adalah kuadrat rata-rata kcpata partikl dalam ga. Tiaulah w dalam limit z da badigka dga kcpata Frmi u F. 4. Hitug timai umrik rgi Frmi (dalam V) da tmpratur Frmi (dalam klvi) utuk itm brikut : (i). Elktro koduki dalam prak, timbal da alumiium. (ii). uklo dalam iti atom brat mial 8 Hg. 5. Dga mgguaka uku lai Sommrfld lmma, tuukka bahwa dalam aprokimai kdua potial kimia ga Frmi pada tmpratur rdah dibrika olh F F kt F kt ε π ε π ε µ 6. Ditiau ga Frmi idal dalam kotak brvolum V dalam ruag brdimi (dga pktrum rgi ). Tuukka utuk itm ii brlaku p ε (i).. U PV (ii).. ) ( ) ( ) ( ) ( ) / ( / / ) / ( z f z f z f z f k C V 7. Tuukka bahwa dalam kau dua dimi kapaita paa C V (,T) ga Frmi idal ama dga kapaita paa ga Bo idal utuk mua da T. 9

298 8. Tlaahlah paramagtim Pauli dari ga idal frmio dga mom magtik itriik µ * da pi Jh ( J,,...) da turuka pryataa utuk uptibilita ga pada tmpratur rdah da pada tmpratur tiggi. 9. Hitug fraki lktro koduki dalam tugt (ε F 9, V) pada K yag rgi kitikya ε mu / lbih bar dari W,5 V.. Tuukka bahwa kapaita paa uatu ga Frmi rlativitik dapat ditulika bagai ( ) / C V kt pf π,. k mc mc 9

299 Bab 7 Soal da Pylaia Etropi. Mial p adalah probabilita itm brada pada tat dga rgi E. Tuukka bahwa, ika tropi didfiiika bagai S k p log p, Maka ilai p yag mmbuat S makimum dibawah kodii bahwa rgi rata-rata itm adalah E, uai dga ditribui kaoik. Solui : Mcari ilai S makimum di bawah kodii p, () da E p E kota Haru diguaka mtod pgali Lagrag : kalika () da () maig-maig dga kotata λ da κ da tambahka kduaya kpada S. Kmudia dga mgaggap mua p alig bba, dimakimumka ilai S κ E λ. δ ( S κe λ) δ ( kp log p κe p λp ) ( k log p k κ E λ) δp ( δp )... Dga mmbuat kofii δp ama dga ol diprolh p κ p E k λ. k k p Kara ilai trbut poitif, maka kofii (δp ) adalah gatif da lalu diprolh () 9

300 makimum. Dittuka λ da κ dmikia higga mmuhi () da (). Kara cara umum E tidak mmpuyai ilai bata ata, maka κ< agar Σp da ΣE p kovrg. Dga mulika κ/k -β (β>), dari () dapat diprolh Dga dmikia diprolh λ / k βe λ / k p Z( β ). p βe. Z(β ). Badigka purua tropi pada otak orag yag dag mmbaca buku dga kaika tropi akibat pcahayaa (dga bola lampu litrik). Solui : Prubaha tropi yag mucul dari aimilai umlah I iformai (diukur dalam bit) adalah S k I. log Sbuah buku yag haya mgguaka abad lati da tada baca mmbutuhka kitar 5 karaktr yag brbda, higga dibutuhka 5 bit utuk mwakili tiap karaktr. Shigga kaduga iformai buah buku 4 halama dga 5 bari tiap halamaya da 7 karaktr di tiap bari adalah I bit. Maka S otak ~- -6 JK -. Di lai pihak bola lampu litrik yag mmacarka daya P mialya W k kitarya pada tmpratur T K mybabka pigkata tropi bar Pt S lampu ~ ~, t JK - T Dga t adalah waktu yag diprluka utuk mmbaca. Dga dmikia diprolh 9

301 S S otak lampu ~ t 9 * Dga t* adalah waktu diukur dalam atua am.. (a). Sumlah air awalya pada C dihubugka dga rrvoir paa pada tmpratur 9 C. Brapa prubaha tropi kluruha itm ktika air mcapai tmpratur rrvoir? yataka awaba dalam kapaita paa air C, dga aumi C tidak brgatug tmpratur. (b). Brapa prubaha tropi kluruha itm ika diguaka dua rrvoir utuk mmaaka air, prtama dari C k 5 C kmudia dari 5 C k 9 C. (c). Mugkika cara priip, air dapat dipaaka dari tmpratur awal T i k tmpratur akhir T f tapa mgubah tropi global? Solui : (a). Prubaha tropi air dapat dittuka dga mmbayagka uatu pro rvribl dimaa tmpratur aik cara ifiitimal. Pada tiap lagkah ifiitimal prubaha tropiya adalah ds Mmbrika prubaha tropi total dq T rv w T dt C T f dt T f S w C C l T T Ti i Rrvoir paa brada pada tmpratur ttap, maka prubaha tropiya hayalah S r Q T f T C f T T i i 94

302 Dga Q C(T f -T i ) adalah umlah total paa yag mgalir kluar rrvoir k dalam air. Dga ilai T f 6,5 K da T i 8,5 K diprolh S total S w S r,85 C. (b). Skarag pro dilakuka dalam dua tahap dga tmpratur atara mialya adalah T,5 K. Prubaha tropi air adalah S w T C l Ti T f C l T T f C l Ti Dga mmaukka prubaha tropi kdua rrvoir diprolh S total S w S r S r,49c. (c). Jla bahwa prubaha tropi aka lbih kcil ika pro dilakuka dalam dua tahap. Jika air dihubugka cara brturut-turut dga buah rrvoir air pada tmpratur T T i (/)(T f -T i ). Prubaha tropi air aka bar S w Cl(T f /T i ), tidak brgatug pada. Prubaha tropi rrvoir adalah S r C T T T C T i ( T f Ti ) /. ( / )( T T ) f i Pada limit ifiitimal,, umlaha madi itgral : lim( Sr) C T f Ti d Ti T f C l Ti S w. Shigga prubaha tropi ol. Hal ii mrupaka pro rvribl fiktif, dalam pro yag rvribl prubaha tropi ol. Diaumika bahwa rrvoir udah trdia da tidak diprhitugka prubaha tropi yag tradi utuk mmbuat rrvoir pada tmpratur trttu. 95

303 4. Ttuka tropi S(E,V,) ga idal yag trdiri ata partikl moatomik klaik dga rgi total ttap E yag trkurug dalam kotak brdimi-d dga volum V. Solui : Ga trbut mrupaka itm yag trtutup, da triolai cara trmal yag mrupaka mbl kaoik. Etropiya didfiiika bagai S klω dga Ω mrupaka umlah kadaa mikro dga rgi ttap E. Koordiat q i da momtum p i (i,,...,d) partikl klaik dapat diaggap kotiu higga prlu pagaa khuu. Didfiiika Ω(E,V,; E) bagai volum kulit bola dalam ruag faa pada darah rgi mpit atara E da E E. Dfiii tropi madi Ω( E, V, ; E) ( E, V, ; E) k l. h! S d Pada pryataa ii h adalah kotata mbarag dga dimi (paag momtum) da dimaukka agar argum dalam logarima madi tak-brdimi. (biaaya diidtifikai bagai ttapa Plack, utuk mmbadigkaya dga ga kuatum). Kara E kcil, maka Ω(E,V,; E) E Σ(E,V,) dga Σ(E,V,) adalah lua prmukaa dga rgi kota.faktor! Adalah faktor korki prhituga Boltzma utuk korki doubl coutig. Utuk mghitug Ω(E,V,; E) diyataka Ω E ν/ E dga adalah volum dalam ruag faa dga rgi ama atau kurag dari E. Hamiltoia itm utuk partikl brmaa m adalah higga Η d i p i m 96

304 d i i H E i p < me ν ( E, V, ) dp dq ν Faktor ν mucul dari hail itgrai pada koordiat. Itgral momtum adalah volum dari bola brdimi d dga ari-ari Shigga tropi dapat ditulika bagai d d R me. Shigga diprolh V (πme) ν ( E, V, ) ( d / ) Γ( d V (πme) S( E, V, ; E) k l d h d / d / / ) d E l l(!) l Γ. E Utuk yag bar dapat dilakuka aprokimai Stirlig l(!) l- higga diprolh ( 4,, ) l /. V πme d S E V k d dh p 5. Ditiau ga idal yag trdiri ata buah partikl kuatum moatomik dga rgi total ttap E brada dalam hyprkubu brdimi-d dga ii L. Utuk kau E auh lbih bar daripada rgi groud tat, ttuka tropi S(E,V,) da badigka hailya dga kau ga klaik. Solui : Sbuah partikl bba yag trpragkap dalam kotak hiprkubu puya fugi ig rgi ψ ( ) k L d / d i( k ) i i i 97

305 Agar fugi glombag ol baik pada i maupu i L, kompo-kompo vktor glombagya haru dibatai ilaiya k i i π/l, dga i adalah bilaga bulat poitif. Ergi kadaa ii adalah E ħ k /m (π ħ /ml ) Σ i i. fugi ig rgi utuk itm partikl adalah umlaha dari produk buah fugi partikl tuggal. Ergi totalya adalah E I h k i m d h k m ε d Dga ε π ħ /ml. Etropiya adalah S(E,V,) k l[ω(e,v,)], dga Ω(E,V,) umlah tat yag brbda dga rgi E. Utuk ε/e <<, maka E dapat diprlakuka bagai variabl kotiu da ika E auh lbih bar daripada rgi groud tat, maka bayak tat yag trdia. Utuk ruag itgr { } brdimi d dapat dibagi dalam l-l atu atua yag maig-maig mgadug atu tat. Jika diprbolhka adaya dikit ktidakpatia dalam E, maka umlah tat dga rgi ii dapat didkati dga baik bagai umlah l yag brpotoga dga bola brari-ari E atau dga luaa ε bola ii yaitu π d/ (E/ε) d/- /Γ(d/).Yag aka dihitug haya bagia bola yag puya ilai poitif aa yag mrupaka fraki / d dari kluruha bola da uga haru dibagi dga!, higga diprolh Ω( E, V, ) d d / π! Γ( d / ) E ε d / V! Γ( d / ) d / πme ε h E Dga V L d. Brbda dga prmukaa rgi pada ruag fa pada kau klaik, 98

306 prmukaa di ii tidak brdimi. Utuk partikl dga pi, aka ada tambaha faktor () uai dga umlah kofigurai pi yag brbda. Etropi utuk ga dga partikl brpi adalah d / πme d ε S( E, V, ) k l V l Γ l(!) l h E 6. Utuk kumpula buah oilator harmoik kuatum -dimi dga frkui ω da rgi total E, hitug tropi S. Solui : Utuk mmcahka maalah ii dga mgguaka mbl mikrokaoik, haru dihitug mua kadaa yag mugki pada itm utuk total rgi ttap. Ergi dari itm ii adalah E i Ei i ( ) h ω Dga i adalah umlah kuata rgi pada oilator k-i ( i,,...,). Dapat ditulika hal trbut bagai i E i i hω M. Jumlah tat yag mugki adalah umlah t dari bilaga bulat o-gatif { i } yag ditambahka higga madi M. Maalah ii dapat dilaika dga mgaggap oilator bagai kotak-kotak yag di dalamya dapat ditmpatka M buah bola yag tak trbdaka yag mwakili kuata rgi. Utuk mghitug bayakya cara yag mugki, kotak-kotak (oilator) diprlakuka bagai trbdaka da dapat diuu 99

307 dalam atu bari yag dipiahka olh - buah didig. Jika bola da didig trbdaka mua, umlah total cara utuk M - buah partikl adalah(m -)! Kara bolaya trbdaka atu ama lai da uga didigya, maka dibagi dga M! Utuk prmutai bola da (-)! Utuk prmutai didig. Dga dmikia umlah kadaa yag brbda adalah Ω( E, ) ( M )! ( E / hω / )! M!( )! ( E / hω / )!( )! Etropiya adalah S( E, ) k l[ Ω( E, )], pada limit trmodiamika E, dga E/ ttap. Dga mgguaka aprokimai Stirlig diprolh E E E E S ( E, ) k l l. hω hω hω hω 7. Tiaulah uatu itm partikl idtik trbdaka yag maig-maig mmpuyai dua kadaa dga rgi ε da ε. Guaka mbl mikrokaoik utuk mghitug tropi rata-rata pr partikl bagai fugi rgi rata-rata pr partikl pada limit itm yag agat bar. Solui : Embl mikrokaoik mdkripika itm triolai dga umlah partikl ttap da rgi total ttap E. Jumlah partikl da - maig-maig dga rgi ε da ε dikdala olh dua hubuga E ε - ε da -.Didfiiika bara E/ ε (proporioal dga rgi pr partikl) dapat ditulika bahwa ()/ da - (-)/. Fugi partii-ya adalah umlah mikrotat yag koit dga kdala trbut da ama dga umlah cara mmilih partikl dari, yaki

308 Ω( E, )!!.! Itrprtai ytrmodiamika dari mbl ii diprolh mlalui dfiii tropi S M (E,) k l[ω(e,)]. Pada limit yag agat bar dapat diguaka aprokimai Stirlig l! l- utuk mmprolh tropi pr partikl bagai S M lim k[l ( )l( ) ( )l( )]. 8. Tiaulah uatu itm partikl idtik trbdaka yag maig-maig mmpuyai dua kadaa dga rgi ε da ε. Guaka mbl kaoik utuk mghitug tropi rata-rata pr partikl bagai fugi rgi rata-rata pr partikl pada limit itm yag agat bar. Solui : Embl kaoik mdkripika itm dga umlah partikl yag kota da kotak dga hat bath pada tmpratur ttap. Fugi partiiya adalah βε βε ( ) βε βε Z ( T, ) ( ) Itrprtai trmodiamikaya mlalui rgi bba Hlmholtz F(T,) -ktl[z(t,)]. Etropi dalam mbl ii diprolh dari hubuga trmodiamika F U TS, dga rgi itral diidtifikai bagai ilai rrata U C E C ( l Z ) β ε tah( βε ). Ergi rata-rata pr partikl diidtifikai bagai U C / da paramtr U C / ε -tah(βε). Utuk mdapatka tropi bagai fugi, haru dilaika dahulu

309 hubuga tmpratur dalam : Shigga dapat diprolh U C ε F C S C βε l ) [ l l( ) l( )] kt l Z kt U C F T C [ l( ) l( ]. [ ( )l( ) ( )l( )] k l Etropi pr partikl adalah S C /. 9. Tiaulah uatu itm partikl idtik trbdaka yag maig-maig mmpuyai dua kadaa dga rgi ε da ε. Guaka mbl grad kaoik utuk mghitug tropi rata-rata pr partikl bagai fugi rgi rata-rata pr partikl pada limit itm yag agat bar. Solui : Embl grad kaoik mdkripika itm dalam kadaa kilibrium dga rrvoir, da dapat brtukar rgi da partikl. Rrvoir dicirika dga tmpratur trttu yaki T /kβ da potial kimia µ atau fugaita z βµ. Fugi partiiya adalah Z( T, µ ) z Z( T, ) z( βε βε ) Itrprtai trmodiamikaya mlalui grad potial Ω G (T,µ) ktl[z(t,µ)]. Etropi diprolh mlalui hubuga trmodiamika Ω TS-Uµ, dga umlah partikl da rgi itral diidtifikai bagai ilai rata-rata

310 G G z z βε βε ( l Z ) z( ) β z( βε βε ) U G E β βε βε ( l Z ) z( ) ε ε tah( βε ). G βε βε z( z ) G Fugi-fugi trmodiamika aka diyataka dalam U G / G ε -tah(βε) da G, higga prlu dilakuka pyuaia βε βµ [ l( ) l( )] G l l [ l( ) l( ) ]. G Da dapat diprolh U G G ε Ω G kt l Z kt l( ) G S G ( ΩG G µ T G ) l( G k l G l ( )l( ) ( )l( ). G G Pada limit G agat bar, diprolh tropi pr partikl SG lim k[l ( )l( ) ( )l( ) G G. Dga mgguaka mbl mikrokaoik, hituglah rgi bba Hlmholtz F(T,) bagai fugi tmpratur utuk itm buah partikl idtik trbdaka, maig-maig puya dua lvl rgi. Tiaulah limit T utuk rgi da tropiya.

311 Solui : Mial tiap partikl puya rgi ±ε da partikl puya rgi ε. Jumlah partikl dga rgi ε adalah - - da ika rgi total adalah E, maka ± (±E/ε)/. Jumlah mikrotat dga rgi E adalah umlah cara partikl (atau - ) dapat dipilih dari, yaki! Ω( E, )!( Btuk kompak tropi dapat diprolh pada limit trmodiamika, dalam hal ii diambil, da - agat bar. Dga mgguaka aprokimai Stirlig da hubuga di bawah ii. )! Dapat diprolh E ε S( E, ) k l Ω k[ l ( )l( )] Tmpratur dibrika olh pramaa S T E Dari hubuga trbut dapat diprolh ( ε / kt ) Fugi rgi bba Hlmholtz S ε k l ε ε E( T, ) ε tah kt F( T, ) E( T, ) TS( T, ) ε kt l( ε / kt Pada limit T diprolh bahwa, higga (,), - (,), E(,) -ε da S(,). Smua partikl brada rgi trdahya da tropi ol kara haya ada atu kadaa dga rgi miimum. Kara haru brilai diatara ol ). 4

312 da atu, S tidak mugki gatif, maka S adalah ilai miimumya.. Hitug volum dalam ruag faa yag ditmpati olh ga klaik ultrarlativitik -dimi yag trdiri ata buah partikl da brrgi ttap E. Ttuka tropiya. Solui : Diprbolhka adaya ktidakpatia kcil E pada rgi ga. Volum ruag faa yag ditmpati olh ga dibrika olh Ω( E, V, ; E) E ν ( E, V, ) / E, dga ν adalah volum darah D yag rgiya kurag dari atau ama dga E. Utuk partikl yag agat rlativitik, rgi diamya dapat diabaika, higga rgi total ga adalah H c p i i Dga p i p i, higga D adalah darah Σ i pi E/c da ν D i d q d i p i Kara poii da arah momtum partikl tidak dikdala, maka dapat ditulika utuk tiap partikl d qd p 4π V p dp, higga ν (4πV ) pi dp D i i (4πV ) I ( E). Utuk mgvaluai itgral I (E), ika momtum atu partikl ttap pada ilai trttu p, maka itgral utuk partikl iaya adalah I - (E-pc). Karaya dapat ditulika I ( E) E / c dpp I ( E pc). 5

313 Aalii dimioal muukka bahwa I (E) C (E/c), da dga mubtituika k dalam pramaa di ata mghailka hubuga rkurif utuk C : C c E E / c E dpp C p c d C ( ) ( )! C ()!. Dapat diprolh C d da olui utuk hubuga rkurif trbut adalah C /()!, mghailka ν 8πVE ( )! c 8πVE Ω ( )! c E. E Ktika bar dapat diguaka aprokimai Stirlig utuk mdapatka tropi : ( Ω 8πVE S E, V, ) k l l 4. k! 7 4 h h c. Utuk kumpula buah oilator harmoik dga frkui ω da rgi total E, hituglah tropiya, S. Solui : 6

314 Hamiltoia himpua buah oilator harmoik klaik adalah. i i i q m m p H ω Volum dalam ruag faa < E H i dp i dq i E ), ( ν Dilakuka ubtitui i i p m, i,...,., i i m q ω i,...,. Dalam variabl trbut, kdala rgi dapat ditulika bagai, da volumya adalah i i E 6. ) ( ), ( 6 D i E d E Γ π ω ω i ν Dga D adalah darah dimaa kdala dipuhi, da ia itgral adalah volum bola 6 dimi dga radiu. E R Utuk mghitug tropi diprluka volum Ω(E,; E) kulit rgi tbal E, yaitu. ) ( ), ( ) ;, ( E E E E E E E E Γ Ω π ω ν Utuk bar, aprokimai Stirlig mghailka tropi :. l l ), ( Ω h E k h k E S ω π Dalam mmprolh pramaa di ata oilator diaggap dapat dibdaka higga tidak dimaukka faktor /!. 7

315 . Ttuka btuk pramaa utuk tkaa P, dita rgi u da dita tropi pr atua volum dari radiai bda hitam dalam rogga brdimi-d pada tmpratur T. Solui : Fugi partii grad kaoik utuk foto adalah Z ( T, V ) { i } βε ii βε ii i i i ( βε i ) Dga i adalah labl kadaa partikl-tuggal brrgi ε i. Foto puya potial kimia ol kara umlah foto dalam rogga tidak kkal da tidak dapat mucul dalam dita probabilita kilibrium. Kara lvl rgi foto dalam rogga brukura makrokopik agat brdkata, dapat ditulika : l[ Z( T, V )] i l( βε i ) dε g( ε )l( Dga g(ε) adalah umlah kadaa pr atua itrval rgi. Dga aumi bahwa fugi glombag foto ol pada didig rogga hyprkubik brii L, momtum yag dibolhka adalah p (πħ/l) dga adalah vktor bilaga bulat poitif. Kara rgi foto adalah p c, umlah kadaa dga rgi kurag dari atau ama dga ε adalah (d-)(/ d ) dikalika dga volum bola brdimi-d dga radiu Lε/πħc, dimaa faktor d- mmugkika kadaa polariai. Shigga didapat βε ) g( ε ) d π d ε dγ( d d d d / / ) Lε πhc d d ( d ) Vε d Γ( d / )( hc π ) d advε d Da 8

316 l[ Z( T, V )] a V d dεε d l( βε ) a VI d d ( kt ) d Dga I d d d l( ). Bara-bara trmodiamikaya adalah kt P l Z ad I V (l Z) u da V β d ( kt) d d d I d ( kt) ( PV ) d ( d ) ad I d k( kt ) V T V 4. Brika argumtai umum mgapa da pada kodii bagaimaa tropi dari itm triolai A aka ttap kota atau aik. Utuk mudahya aggap bahwa A dapat dibagi madi ub itm B da C yag brhubuga cara lmah, tapi ttap dalam ktimbaga trmal itral. Solui : Aggap bahwa tmpratur kdua ub itm maig-maig adalah T B da TC, da TB TC. Suai dga dfiii tropi, ika ada prtukara rgi kcil E> atara kduaya (B da C), maka E E S B, SC, T T B, S S B S C ( TB T T T B C C ) E. Jika T B > T C, maka tidak ada ktimbaga trmal atara ub itm, da S >. Jika C 9

317 T B T C, maka kdua ub itm brada dalam ktimbaga trmal, maka S. 5. Tulika dfiii tatitik tropi da apa maka fiiya. Tiau uatu itm dua lvl yag trdiri ata partikl yag trditribui diatara dua kadaa ig da dga rgi ig E da E. Sitm brhubuga dga rrvoir paa pada tmpratur T. Jika uatu mii kuatum tuggal k dalam rrvoir tradi, populai brubah - da. Utuk >> da >>, ttuka prubaha tropi utuk : (a). Sitm dua lvl (b). Rrvoir (c). Turuka hubuga Boltzma utuk raio /. Solui : S k l Ω, dga Ω adalah umlah kadaa mikro itm. Scara fii tropi adalah ukura diordr dari itm. (a). Prubaha tropi itm dua lvl adalah S k l (! )!( (b). Prubaha tropi rrvoir adalah! k l k l k l )!!!. (c). Dari S S, S dapat diprolh E E T E E p kt 6. Dalam tori ldaka bar (Big Bag) alam mta, rgi radiai yag awalya trkugkug dalam ruag kcil mgalami kpai cara adiabatik cara imtri bola.

318 Radiai mgalami pdigia ktika brkpai. Turuka hubuga atara tmpratur T da ari-ari R dari volum bola radiai, muri brdaarka prtimbaga trmodiamika. Solui : Ekpaiya dapat diaggap bagai pro kuai tatik. Shigga du TdS pdv Dga mgguaka yarat adiabatik ds da pramaa utuk tkaa radiai p U/V, dapat diprolh du / U dv / V Shigga U V /. Krapata rgi radiai bda hitam adalah u U / V at 4 dga a adalah kotata. Shigga dapat ditulika 4 4 / 4 T V R, maka T R Atau dga kata lai RT kota. 7. Satu kilogram air dipaaka dga ritor dari o C k 99 o C padda tkaa kota ( atm). Buatlah timai utuk : (i). Prubaha rgi itral air (ii). Prubaha tropi air (iii). Faktor pigkata umlah kadaa kuatum yag dapat diak. Solui : (i). Prubaha rgi itral air adalah

319 U Mc T 79 7,9 4 kalori. (ii). Prubaha tropiya adalah Mc T S dt Mc l 9kalori / K. T T (iii). Dari hubuga Boltzma S k lω dapat ditulika Ω Ω S p k p(7 5 ). 8. Jika buah pita kart dirgagka cara adiabatik, tmpraturya aka aik.. Jika pita kart dirgagka cara iotrmal, apakah tropiya aka aik atau turu, atau ttap? Solui : Diaumika bahwa ika pita kart dirgagka bar d, uaha yag dilakuka pada kart adalah dw kd, Dga k adalah kofii latiita yag lbih bar dari ol. Dari rumu df-sdtkd, dapat diprolh hubuga Mawll S T k T Dga dmikia tropi pita kart ttap ama ika dirgagka cara iotrmal.. 9. Sbuah wadah brvolum V mgadug buah molkul ga idal yag diaga pada tmpratur ttap T da tkaa P. Ergi buah molkul dapat ditulika bagai brikut E ( p k, p y, p z ) ( p m p y p ) ε, z k

320 Dga ε k muukka lvl rgi bruaia dga kadaa itral molkul ga. (a). Tiau rgi bba F -ktlz, dga Z adalah fugi partii da k adalah ttapa Boltzma. (b). Jika ada wadah lai yag brtmpratur ama T, mgadug umlah molkul yag ama dari ga i yag ama dga tkaa P. yataka tropi total kdua ga dalam P, P, T, da. Solui : (a). Fugi partii partikl tuggalya adalah V h Ek / kt z k dp /. z πmkt V h. Dga z p( ε / kt ) mruuk pada lvl rgi itral. Dga mmprhitugka ifat iditiguihabl partikl, fugi partii itm buah partikl adalah / z V πmkt Z. z!! h Shigga F kt l Z πmkt kt lv l z l l! h

321 (b). S kl Z β l Z β V πmkt 5 kl l l l. z β z h β Jadi S S V πmkt 5 k l S h V πmkt 5 k l S h o o Dga S l z β l z. β Total tropiya adalah S S S V V πmkt 5 k l S o h. uatu ga idal yag trdiri ata buah atom tak brpi mmpati volum V pada tmpratur T. Tiap atom haya puta dua lvl rgi yag dipiahka dga rgi bar. Ttuka potial kimia, rgi bba da tropi itm. Solui : Ga idal klaik mmuhi kodii o-dgrai. Fugi partii ub itm adalah z p( βε ) p( βε ), ε ε, higga fugi partii itmya adalah Z βε βε [ z] ( ). 4

322 Ergi bbaya adalah F βε kt l Z kt l( βε ). Potial kimiaya adalah Tkaaya adalah F βε, l( βε µ T V kt ). p kt V l Z ε V βε βε ε V βε βε. Etropiya adalah S βε β kl z β l z k l! k l β βε B. SOAL. Aumika bahwa tropi S brgatug pada Ω(E) di dalam kulit bola rgi : S f(ω). Tuukka bahwa dari ifat pumlaha S da prkalia Ω dapat diprolh : S kotata log Ω.. Utuk ga idal klaik dalam wadah brvolum V, hitug rgi bba da tropi dga mgguaka mbl kaoik.. Tiaulah uatu ratai atu dimi yag trdiri ata >> gm. Mial paag tiap gm adalah a ika dimi paag dari gm aar dga paag ratai da ol ika dimi paag gm tgak luru paag ratai. Tiap gm puya dua kadaa, arah horiotal da arah vrtikal da tiap arah tidak trdgrai. Jarak atar uug ratai adalah. Ttuka tropi bagai fugi. 4. Ditiau uatu itm yag brada pada tmpratur K da ditambahka paa (hat) k dalamya. (a). Brapa prubaha tropi yag tradi? (b). Dga faktor brapakah 5

323 umlah tat yag dapat diak migkat? 5. Utuk mbarag itm, bara-bara brikut ii alig brkaita : umlah draat kbbaa V, prubaha tropi S, raio rgi trmal akhir trhadap rgi trmal awal E f /E i, raio umlah tat akhir trhadap umlah tat awal Ω f /Ω i. Di bawah ii ada tabl, dimaa tiap bari horiotal mwakili pro trttu pada uatu itm. Dapatkah ada ii bilaga-bilaga yag blum ditulika? v S (J/K) E f /E i Ω f /Ω i 4,,, 6. (a). Brapakah prubaha tropi lauta Atlatik (T 8 K, V,6 9 km ) ika ditambahka kuatita paa bar, oul? (b). Brapakah prubaha tropiya utuk kau cagkir air 8 K? (c). Dga faktor brapakah pigkata umlah tat yag mugki dimiliki kdua itm trbut maig-maig? 7. Suatu itm 4 partikl dga µ -, V pada tmpratur kamar (95 K). Ttuka faktor pigkata umlah tat yag dapat diak pada kau-kau brikut ii. (a). Jumlah partikl aik,% tapa pambaha rgi k dalam itm atau kra kpada itm. (partikl tambaha puya rgi total ol u ε trmal, da volum itm tidak brubah). 6

324 (b). Ditambahka atu partikl tak brrgi k dalam itm. 8. Sbuah bola kart mlakuka kotak dga rrvoir paa yag tmpraturya ttap kota pada K (dga dmikia dapat diaumika rgi itral kota). Pada tkaa, atm volumya myuut - m. (a). Brapa prubaha tropiya? (b). Dga faktor brapakah pigkata umlah tat yag dapat diak? (c). Ulagi prhituga utuk kau tmpratur C, tkaa, 5 Pa, da rduki volum - m. 9. Sbuah magt yag kotak dga rrvoir paa dga tmpratur ttap K, puya mom magt µ z - J/T da diltakka dalam mda magt luar brarah paag umbu z dga kuat mda B z, T. Mda magt luar diaikka % da mom magt iduki uga aik %. (a). Brapa prubaha tropiya? (b). Brapa faktor prubaha umlah tat yag dapat diak?. Utuk air dalam fa cair, pigkata tkaa yag bar haya aka mgubah volum dikit. Scara khuu tkaa da volum dihubugka dalam pramaa p A[B(-V/V )], dga A, B, da V adalah kotata. Tuukka bahwa tropi air brgatug pada volum. (aumika bahwa E, V, da adalah variabl bba, dga E badig dga T).. Ditiau rrvoir dga tmpratur, tkaa da potial kimia maig-maig T, p 7

325 da µ. Awalya tropiya dalah S, kmudia uatu itm kcil britraki dga rrvoir da mmidahka rgi, volum da partikl bar E, V, da. Ttuka bara di bawah ii dalam paramtr S, T, p, µ, E, V, da : (a). Etropi rrvoir yag baru S R. (b). Jumlah tat rrvoir yag dapat diak karag.. Utuk itm trttu, rgi tiap tat diyataka olh E kt[(c (/) l(β/β )- l(v/v )], Dga β da V adalah kotata ttap da C adalah koatata yag ilaiya trgatug pada tat. Hitug tropi rata-rata itm.. (a). Brapa prubaha total tropi ika mol ga hidrog pada tkaa p atm dicampur cara adiabatik dga mol hidrog pada tkaa p atm pada tmpratur yag ama? (b). Brapa prubaha total tropi ika kadaa yag ama dga (a) dibrlakuka dga ga yag brtkaa atm buka hidrog, ttapi hlium? 4. Buatlah kt diagram tropi-tmpratur dari rututa prubaha kuaitatik brikut utuk mol H 4 : (a). H awalya brupa caira pada tkaa atm dga titik didih ormal 4, K, kmudia brupa puhya madi uap pada tmpratur da tkaa yag ama. (b). Uap kmudia aik tmpraturya madi K pada tkaa atm. (c). Ga pada K da tkaa atm kmudia ditka cara iotrmal higga atm. 8

326 (d). H kmudia mlakuka kpai rvribl cara adiabatik higga tkaa atm. H kmudia mcapai tmpratur 4, K da mmbtuk campura caira da uap pada titik didih ormal. Hitug prubaha tropi H 4 pada tiap tahapa dga kalor lat pguapa H 4 adalah 9 Jmol - pada 4, K, kapaita paa molar ga H 4 pada tkaa kota adalah 5R/ da uap rta ga H 4 dapat diprlakuka bagai ga idal. (ttapa ga R 8, J K - mol - ). 5. Suatu zat padat iolator yag trdiri ata atom-atom idtik dga kadaa rgi yag diprbolhka adalah atu lvl o-dgrat pada ε da dua lvl dgrat pada rgi yag lbih tiggi ε. Tulika fugi partii zat padat trbut. Brapa ilai bata tropi mol zat padat trbut pada tmpratur tiggi da tmpratur rdah? 6. Suatu ga mulia padat puya ifat-ifat bagai brikut : tmpratur karaktritik kiiya kitar 8 K da iti atomya puya pi ½. Lvl-lvl rgi pi itiya dalam mda magt ol trpiah lbar - V. Buatlah timai tropi da kapaita paaya utuk mol zat trbut pada K. 7. Suatu bda aka didigika mgguaka mi Carot yag bkra brkbalika bagai rfrigrator. Hat bath pada tmpratur ttap T (tmpratur kamar) brlaku bagai pyrap paa (hat ik) dimaa mua paa mi dikumpulka. Kra W dilauka kpada mi utuk mgktrak paa dari bda yag aka didigika. Smua pro brifat rvribl idal tapa adaya kra atau kalor lai mauk atau kluar. Prubaha tropi bda dari T muu tmpratur akhir adalah S da 9

327 prubaha rgi itralya adalah U. Tuukka bahwa kra W yag dibutuhka (miimum) adalah U-T S. Bda yag didigika bia brupa uatu maa ga da pada kadaa akhir, ika tmpratur mmugkika dapat aa brupa caira. 8. Satu mol ga mpura dga C v R/ (tidak brgatug pada tmpratur) diambil dari tmpratur K da tkaa 5 Pa k 4 K da 8 5 Pa mlwati alur yag brbda. (). Dga volum kota mulai dari K k 4 K da kmudia cara iotrmal k tkaa akhir. () mulai dari tkaa kota dari K k 4 K kmudia cara iotrmal k volum akhir. Hitug kalor yag dirap atau dilpaka pada tiap lagkah umlah alabar utuk tiap alur. Badigka hal trbut dga prubaha tropi da tuukka bahwa prubaha tropi ama utuk kdua alur prubaha trbut. (l,69). 9. Satu kilogram air pada C diubah madi pada - C pada tkaa atm. Kapaita paa air pada tkaa kota adalah 4 JK - kg - da kapaita paa adalah JK - kg -, dagka kalor lbur pada C adalah,6 5 JKkg -. Brapa total prubaha tropi itm air-?. (a). Satu mol okig pada K mlakuka kpai dari ilidr brvolum 5 litr k ilidr koog dga volum yag ama (dibut kpai bba). Ktika tmpratur okig kmbali ragam madi K, brapa prubaha tropi okig (diaumika dapat diprlakuka bagai ga idal)? (b). Jika prubaha volum dari 5 litr madi litr tradi rvribl da iotrmal, brapa prubaha tropi okig? Brapa prubaha tropi hat bath yag diguaka utuk mmprtahaka tmpratur

328 kota?

329 Bab 8 Soal da Pylaia Ga Riil. Pada itm ga ral yag mgikuti Pramaa Va Dr Waal a ( p )( V b) RT, ttukalah harga harga kriti pada Critical Poit : V V c b, a P c da 7b 8a RTc 7b Solui : Pramaa kadaa Va Dr Waal a ( p )( V b) RT () V Btuk pramaa ii mmpuyai ilai ilai kriti T, P da V. Pada darah c c c kitar titik kriti brlaku V V V utuk P da T yag diktahui, V c higga dapat dibtuk pramaa ( V V c ) () atau dapat ditulika V V V c V V c V c () Pramaa () ii tara dga pramaa () yaitu a ( Pc )( V b) RT c yag dapat diyataka dga V a ab VP bp RT V V c c c V P bpv av ab RTV c c c

330 V higga av ab RT V bv (4) P P P c c c c dapat dituli dalam btuk RT a ab ( ). (5) P P P c V b V V c c c Prbadiga pramaa (4) da (6) mmbrika pramaa imulta, yaitu V RT b (6.a) c c Pc a V c (6.b) P V c c c ab P (6.c) Subtitui (6.b) pada (6.c) mghailka ( V ) V c c a V c P c V c b ab P c ab P c (7.a) Dga mmaukka (7.a) k (6.b) (b) a P c P a c 7b (7.b) Subtitui (7.a) da (7.b) pada (6.a) RT ( b) b c a 7b RT 7b b b a 9 c RT 7b b a 8 c

331 higga RT c 8a (7.c) 7b Pramaa (7.a),(7.b),(7.c) mrupaka harga harga kriti pada darah critical poit.. Molkul ga hydrog mmiliki dua draat kbbaa rotai yaitu dalam btuk ortho- ad para hydrog a. Dua lctro H para hydrog dalam btuk kadaa atiimtri. Momtum agulr orbital mmiliki harga gap adalah Ep h L( L ), dimaa L I,,4,. Tulika fugi partii rorai utuk igl para-hydrog b. Dalam ortho-hydrog, mmiliki kadaa dgrai klipata, adalah E h L( L ), dimaa L,,5,.. Tulika fugi partii rorai utuk I igl ortho-hydrog Solui : βh ( ) ( ) L L βh I L,,4,... I a. ( ) ( ψ ) Z L p βh ( ) ( )( ) L L βh I L,,5,... I b. ( ) ( ψ ) Z L p 4

332 . Suatu baha mgalami pai adiabatic, trutama bagaimaa variai prubaha tkaa trhadap volum. a. Tuuka bahwa : p CP V C Vκ S V T b. Dga mgguaka hail poit a, tuuka utuk ga idal dalam kodii C adiabatik pai pv γ adalah kotata, dimaa γ C P V Solui : a. S p V V S S p V p S S T V T T V V S T T p V V kalika pmbagi da pybut dga p V T ; p V S S T V T S T V T V p T p p T V S T p V V V S T p T T V p T p V Dga mgigat dvii ; 5

333 S S CV T ; Cp T T T V V V κt ; α V p V T T p p Maka ; Maka diprolh ; Cp T CV T αv T ( αv)( κ V) p CP V C Vκ S V T PV B 4. Murut pramaa ga ral, Ttuka ugkapa utuk RT V Solui : P V PV B RT B Bila diktahui pramaa ga ral P RT V V V atau RT RTB P RTV RTBV V Maka ; V P RTV RTBV V T RT V V RT B V V RTB T 6

334 5. Ttuka ugkapa bagi Solui : T V P brdaarka pramaa ga ral pada oal o.. PV B PV V B T RT V R V maka ; T PV ( V B ) V P V R PV atau T ( V ) R PV PV ( V B) ( V B) R R PV PV R V B R ( V B) PV V R V B ( V B) B 6. Prubaha talpi (H) pada tkaa ttap dapat dituli dalam btuk pramaa dh CP dt dimaa C P adalah kapaita paa itm pada tkaa kota da brgatug pada tmpratur murut pramaa C P a bt. Ttuka kpri dari Η dari tmpratur awal Ti k tmpratur akhir T f. Solui : P ( ) dh C dt atau dh a bt dt adt btdt H f Tf Tf dh a dt bt dt Hi Ti Ti Dga mgigat ; b b T dt T utuk, a a Maka ; 7

335 b H a T T T T ( f i) ( f i ) 7. Dga mgguaka pramaa U P T P V T T V. Brdaarka pramaa ga va dr Waal utuk ga ral, tuuka bahwa utuk ga ral U V T Solui : Utuk pramaa ga va dr Waal : RT a P V b V atau P R T V b V ( ) U R RT a T V V b V b V ( ) T V a V U Jadi, utuk ga ral brdaarka pramaa ga va dr Waal V T 8. Koofii ga Joul-Thompo brdaarka kprimt adalah µ J T P. Jika µ J Tp adalah kodii dibawah talpi. Apakah ada pgaruh tmpratur pada ga? Jlaka! Solui : T Aapabila ga pada kodii µ J T p, maka tradi pguraga P atau balikya ika H T dp p maka p. Maka dapat diimpulka bahwa P pada kau ii ada pgaruh tmpratur trhadap ga da upaya µ J Tf maka H T H dp dt haru poitif. 8

336 PV b 9. Pramaa ga ral, Tuuka bahwa utuk ga va dr Waal RT V kr β V b, ika diktahui bahwa T PH m Solui : β k PV b atau RT V V Jika Vm maka ; RT a P V b V m m RT a P V b V Shigga ; P RT a T H T Vm b Vm T β R PH k Vm b atau kr β V b m. Critical Phoma (Foma kriti) pada itm ga-liquid dittuka olh paramtr ktratura (ordr paramtr). Pada critical poit ga-liquid, ordr paramtr ii adalah prbdaa volum ( Volum Diffrc V ) fa fa yag coit yag cdrug brilai pada critical poit. Ttukalah critical pot δ itm Va Dr Waal! Solui : Critical Epot δ itm Va Dr Waal didfiiika bagai : / δ V P () Pryataa di ata mmpuyai maka bahwa V mmpuyai bagia igular proporioal dga P dalam ord / δ. Dga kata lai, hdak ditiau 9

337 rlai V c (P) dalam kadaa V. Pryataa () trbut dapat ditulika ulag bagai δ P V. () Dga dmikia δ dittuka olh ord P(V-V c ) miimal yag tidak igular. Pramaa kadaa itm Va Dr Waal diyataka olh a V b)( P ) k BT, () V ( yag dapat dibtuk madi k BT a P ( V b) V k ( ) B T V b av (4) Pramaa (4) dilaika dga pro kpai Taylor utuk mdapatka rlai yag didfiiika olh pramaa () madi P( V c ) P( V Vc ) P'( V )( V Vc ) P''( V )( V Vc ) P'''( V )( V Vc )... Dga ρ V, pramaa (4) dapat dibtuk P k BT b a ( ρ ) ρ (5) yag dituruka ord,, brturut turut adalah P k ρ B Tρ ( ρ b) aρ P 4 kbtρ ( ρ b) k BTρ ( ρ b) ρ a (6.a) (6.b) P 6k Bρ ρ 4 ( ρ (6.c) Dapat diprolh uga b) 5 k Tρ ( ρ b) B 6 4k Tρ ( ρ b) B 4

338 ρ V V ρ V V ρ 6V V 4 (7.a, 7.b, 7.c) Dga mmafaatka (6.a, 6.b, 6.c) da (7.a, 7.b, 7.c), dapat diprolh P'( V P Vc ) V V V C k T ( V B b) av V V C yag igular kara faktor V pada uku k-, P''( V P Vc ) V V V C 4k T ( V B b) 4k TV ( V B b) av V V C yag uga igular pada uku k-, da P P'''( V Vc ) V V VC 6k T( V b) B 7k TV ( V b) B 4k B TV ( V b) 4 V VC yag tryata tidak lagi igular. Hail di ata muukka bahwa uku drt Taylor yag mrupaka kpai P(V) tidak igular tlah ord k-. Maka dapat dikataka bahwa critical pot utuk ord paramtr itm ga-liquid ii adalah δ Soal da ( m ) Aumi bahwa pramaa ga ral dapat dituli ( ) ( ) b T ( ) db T,, P da Vm dt PV bt RT dga

339 . Tuuka bahwa ( ) db T R β Vm dt P Solui : ( m ) Diktahui bahwa ( ) V V RT P b T RT b T P ( ) ( ) ( ) PV bt RT atau RT P atau V b( T) ( ) V RT db T R β b( T ) V T P V T P V dt P db T R Vm dt P RT. Tuuka bahwa κ VP m Solui : V RT R κ b( T ) V P V P P V P RT VP m T a. Pramaa kadaa ga va dr Waal ( v b)( P ) k BT dimaa v adalah v volum pr partikl paa pifik C P k CV a ktv Solui : V v dga a da b adalah kotata. Tuuka bahwa ( vb) Brdaarka pramaa trmodiamika Td,

340 S S p TdS T dv T T dv CV dt V T T T V V S S V T ds T dp T T dp CP dt P T T T P P Dari kdua pramaa diata maka liih kdua pramaa diata madi ; V P CP CV dt T dp T dv T T ( ) Jika volum V kota maka ; V C C dt T dp ( ) P V T P ( ) P V atau dapat dituli kmbali madi ; V P v P CP CV T T T T T T P V P V a Jika diktahui bahwa ( v b)( P ) k BT, maka ; v P k T vb V v k k T a ab a a P P P v v v v Maka v P C C T ( ) P V T P T V k T a a P vb vb v v k kt a kt ( v b) v k a ( v b ) v ( ) ( ) ( v b) Soal omor 4-6 Partikl-partikl ga ral cr dalam volum V britraki dga fugi potial bagai

341 brikut :, U ( r), ika r > ika r < a, dga r adalah arak atar partikl. Pramaa kadaa ga trbut dapat ditulika dga batua mbl Kaoik bar bagai brikut : P kt m b m λ zm dga λ adalah paag glombag trmal, z : fugacity da b m adalah itgral clutr m. 4. Gambarka grafik clutr m yag aka brkotribui utuk m, da, lgkap dga lablya. Solui : ( f ) ( f ) ( f ) ( f f f ) ( f f f f f f ) ( f f f ), Gugu ; Gugu ;,, Gugu :,, da 5. Tulika rumu b m trbut da hituglah b da b utuk kau ii. Solui : Z m l v b, b m l { m } l ml λ l l λ V ( Jumlah mua gugu l yag mugki ) da kotrai/kdala : ml l l PV Pramaa kt diprolh dari hubuga dga Fugi partii grad Kaoik : 4

342 ml l G Z Z(,V,T) b { m } l ml λ l Z Z v ml m ml m m m m Z v Z v Z v Z b b b... G m m λ m m λ m m λ Diktahui bahwa : X Z G Zv, l p b l λ PV utuk kau ga ral l Z G kt da Z l ZG Z, maka ; l l ZV Zv l ZG l p b b l λ l λ da l lz v l ZG b, Z l λ higga ; PV kt l Z v, da lz V b l λ l l ZG b l λ Guaka drt kuaa : Dimaa ; l l Z b V l λ Zb Z b λ λ m m m Z a a a a λ Z b { Zb Z b Z b... } λ [ ( a a a..)b ( a a a.. ) b λ ( a a a..) b... ] 5

343 [ a b ( a b a b λ ) ( a b 4 a a b a b)..], Utuk, b, kofii, maka ; a λ, kofii a b a b Z λ λ 6 b λ 9 (8 a λ 6 b da a λ 9 (8 b b),, adi b b) Slautya : PV kt Z V b P ( l Z b ) l kt λ l l λ P kt λ Z b Z b Z b... λ ( ) [( a a..) b ( a a a..) a b ( a a a..) b... ] P kt λ [ a b (a b a b) (a b a a b a b )...], a λ, a λ 6 b da a λ 9 (8 b b) P kt λ [ λ λ 6 b λ 9 (4 b b ) ] [ λ b λ 6 (4 b b) ] atau P kt λ b λ 6 (4 b b), Maka diprolh ; A, A b da A 4 b b 6. Pramaa kadaa ga riil dapat uga diyataka bagai uraia drt virial bb : P A A A... kt dga /V. Turukalah ugkapa bagi A, A da A dalam b m. b lλ V [ ] dr V V V, 6

344 b [ ( ) ], λ V b λ V d rd r f 6π r dr 4 πr f( r) dr λ ur ( ) kt ( ) λ 6π λ a r dr r dr ( ) ( ) a a 6π 6π π rdr a a λ λ λ b [ ( ) ], 6 6λ V Soal Latiha. Tuuka raio ( pv / RT ) pada kritikal poit utuk ga dimaa pramaa kadaaya (Pramaa Ditrici ) p ( V b) RT p ( a/ RTV) awaba cara umrik. da tuuka. Satu mol ga ga atiaa maati pramaa ga va dr Waal. Jika molar rgi itral u ct a/ V ( V adalah molar volum da a adalah kotata pramaa kadaa da c adalah kotata. Ttukalah molar kapaita paa C da C v p RT a. Pramaa ga va dr Waal adalah P, ttukalah koofii ( V b) V kpai trmal α 4. Dga mgguaka pramaa ga ral va dr Waal, tuuka molar kapaita paa pada volum kota adalah haya fugi dari tmpratu 5. Tuuka dga mgguaka pramaa ga ral va dr Waal prbdaa molar 7

345 kapaita paa pada tkaa ttap da volum ttap. 6. Ttuka koofii Joul-Thomo dr Waal. T P H brdaarka pramaa ga ral va 7. Dga mgguaka prama ga ral va dr Waal buktika bahwa E a V V T 8. Suatu itm mmiliki rgi total U( S V ) β S,, α p dga α da V β adalah kotata dagka S, V da maig-maig tropi, volum da umlah partikl. Ttukalah potial kimia µ bagai fugi dari dari tmpratur da tkaa. 9. Pramaa Sackur-Ttrod S( U V ) / V 4π mu 5,, k l h mrupaka gambara dari pramaa tropi ga idal mooatomik. Jlaka mgapa kodii ii tidak brlaku utuk ga ral? a. Pramaa ga idal va dr Waal ( V b)( P ) k BT V dga tmpratur Boyl T Boyl. Ktika tmpratur ii dihilagka pada koofii virial uku kdua, ga idal aka ama dga ga ral di kitar T Boyl. Dga mgguaka kritikal tmpratur dari pramaa ga va dr Waal, ttuka harga T Boyl. Dga mgguaka hubuga trmodiamika buktika utuk lktro ga κ T V V p T µ T dga / V 8

346 . Soal omor -6 Utuk kau kritikal kpo ; Brdaarka pramaa ga va dr Waal ttuka ;. Kritikal poit α 4. Kritikal poit β 5. Kritikal poit γ 7. Tuuka tropy S( E, V, ) dari ga ral dga partikl klaik mooatomik dga rgi total E ttap yag bradada dalam kotak d-dimi dga volum V. Brika kimpula dari pramaa kadaa ga ii dga aumi adalah agat bayak 8. Ga ral dga partikl dga rgi total E ttap Yag brada dalam kotak hiprkubik d dimi dga paag ii L. Dga mgaumika bahwa E agat bar dibadigka dga groud tat rgy, Ttuka probailita ditmukaya partikl dga momtum p dalam ga ii? 9. Suatu kotak mgadug ga idal klaik dga volum V ttap da didig kotak myrap bagia. Tiap-tiap bagia dapat myrap ampai dua partikl dga rgi tiap-tiap rapa ε. Jumlah partikl adalah ttap da lbih bar dari. Guaka mbl grad kaoik utuk muuka pramaa kadaa ga da ttuka umlah rata-rata pyrapa partikl dga bata T da T. Suatu ga A dga partikl brmaa m, ika prmukaa ara A dalam btuk dimi ga idal pada tmpratur T di prmukaa ara. Ergi rapa partikl p ε ε dimaa p ( p, py) da ε rgi ikat prmukaa pr partikl. m Dga mgguaka aprokimai da aumi bahwa partikl tak dapat dibdaka. Ttuka potial kimia µ rapa ga. 9

347 Bab 9 Soal da Pylaia Siatm dga Itraki Lmah. Jlaka apa yag dimakut dga mbl kaoik? Solui : Embl kaoik adalah itm dga bayak partikl pada tiap itm adalah ama da mrupaka bilaga kota da tmpratur tiap itm ( buka rgi ) adalah ama da mrupaka bilaga kota. Dga kata lai itm yag mmpuyai ilai (bayak partikl) dga volum (V) da tmpratur (T) yag ttap. Kodii ii mmprbolhka kmugkia adaya prtukara rgi atara itm da buah mbl da uga itraki atar partikl dalam buah itm.. Sbuah itm dga dua partikl (A da B) yag dapat dibdaka. Maig-maig partikl mmpuyai dua kadaa ilai ig rgi ε da ε ε. a. Tulika fugi partii itm b. Tulika fugi partii alah atu partikl c. Tulika fugi partii oitractig particl d. Tulika probability itm utuk kadaa yag mugki. Ergi rata-rata itm f. Ergi bba pr partikl g. Etropi pr partikl Solui : 4

348 Kadaa I II III VI Mikro ε B A A B A B A B ε a. Fugi Partii 4 ZT (, ) i βε β () βε βε b. Fugi partii alah atu partikl βε β () βε Z( T, ) i βε βε βε c. Tulika fugi partii oitractig particl ZT (, ) ZT (, ) d. Probability itm utuk kadaa yag mugki p Z( T,) da βε 4

349 p βε Z( T,) βε βε. Ergi rata-rata itm ε u E piε i i -βε -βε f. Ergi bba pr partikl ( ) f ktl Z T, ktl βε g. Etropi pr partikl f βε βε kl ( ) k T V βε. Sbuah itm dga dua partikl (A da B) yag dapat dibdaka da maig-maig partikl mmpuyai tiga kadaa ilai ig rgi ε, ε ε da ε ε. Gambarka kadaa yag mugki da tulika fugi partiiya rta fugi rgi bbaya. Solui : Kad. Mikro I II III IV V VI VII VIII IX ε B A B A A B B A A B A B 4

350 A B A B A B ε 4 Fugi Partii Z 5 i βε β () βε βε βε βε 4βε βε βε βε 4βε Jika β kt, maka Z ε ε ε 4ε kt kt kt kt Fugi Hlmholtz F kt l Z kt l ( ε kt ε kt ε kt 4ε kt ) 4. Sbuah itm dga dua partikl (A da B) yag tak dapat dibdaka da maig-maig partikl mmpuyai tiga kadaa ilai ig rgi ε, ε ε da ε ε. Gambarka kadaa yag mugki da tulika fugi partiiya rta fugi rgi bbaya. Solui : 4

351 Kadaa I II III IV V VI Mikro ε ε 4 Fugi Partii Z 5 i βε β () βε βε βε 4βε βε βε βε 4βε Jika β kt, maka Z ε ε ε 4ε kt kt kt kt Fugi Hlmholtz F kt l Z 44

352 kt l ( ε kt ε kt ε kt 4ε kt ) 5. Tuuka bahwa dalam mbl kaoik, fluktuai rgi bar E kt Cv. Solui : E < E >< E > Diktahui bahwa ; E l Z atau β Z E Z β Maka ; Z < E > da Z β < E > Z Z β Maka ; ( ) l E E < E >< E > Z Z Z Z β Z β β β Diktahui bahwa ; β da k B T C V E T Maka ; ( E) E k β B T E T 45

353 ( E) k T B C V atau E kt Cv 6. Tuuka bahwa dalam mbl kaoik, fluktuai rgi rlatif bar E E ~. Solui : Diktahui bahwa fluktuai rgi dalam mbl kaoik adalah E kt Cv, Maka ; E kt Cv E E Jika itm agat bar maka diambil ~ da V ~, maka kota da ika C v da E adalah variabl ktiv maka C V ~, adi ; V adalah E ~ E 7. Dga mgguaka mbl kaoik, tulika ifat-ifat trmodiamika kuatum oilator harmoik dimi dalam ktimbaga dga tmpratur ruag T yag mmiliki tigkat rgi Solui : ε ω (,,,...) h Fugi Partii ambl Kaoik : Z p ( β E) Dimaa ; ε ω (,,,...) h, maka 46

354 Z p β ω h atau (...) Z β h ω β h ω β h ω, Diktahui bahwa drt gomtri ;..., dimaa β h ω, maka ; Fugi partiiya madi ; h Z β ω β h ω Fugi hmholtzya : βhω F ktl Z ktl βhω βhω kt βhωl ( ) βhω hω kt l ( ) Etropi ; F S hω ktl T T βhω k l βhω Ergi itral oilator : βhω ( ) βhω ( ) β T hω β h ω E l Z atau E kt l Z 8. Ergi oilator harmoik dimi dga tatu kadaa adalah ε ( ½ )hf, 47

355 dga h : ttapa Plack, F : frkui,,,,... dt. Mialka kita mmiliki buah itm yag trdiri dari buah oilator harmoik dimi idtik yag tak trbdaka da bia diaggap tak alig britraki. a. Tulika fugi partii kaoik utuk itm tb da drhaaka higga diprolh btuk aalitik (clod form). b. Tulika uga aprokimai bagi fugi partii trbut utuk T tiggi (T >> hf/k) da T trdah (T << hf/k). Solui : a. ε,y,z ( y z ) hf, dga, y, z,,,,... p( β ( ) ) y z Z hf y z β hf y βhf βhf βhf ( ) ( ) ( ) y z z hf ( β ) ilai utuk hf β, maka ; Z β hf β hf ( ) βhf βhf βhf βhf, Utuk partikl dalam -D, diprolh ; Z ( Z)!! βhf βhf 48

356 b...., da..., maka : βhf βhf βhf... da βhf..., T tiggi (T ) atau β rdah (β ) : lim Z lim ( Z) lim!! β β β βhf βhf βhf βhf! kt ( βhf )!! hf T rdah (T )atau β tiggi (β ) : lim Z lim ( Z) lim β β! β! βhf βhf β hf hf kt!! 9. Brdaarka oal omor, hituglah ; a. Ergi rata-rata itm trbut. b. Hitug uga aprokmai ilai ig rgi tb utuk T tiggi da T rdah. c. Kapaita paa pada volum ttap. 49

357 d. Hitug uga aprokmai kapaita paa tb utuk T tiggi da T rdah.. Turuka uga ugkapa bagi tropi. Solui : a. Ergi rata-rata E l Z β βhf βhf βhf βhf l l β! β! l l β! β βhf βhf hf βhf βhf hf βhf coth βhf βhf b. Aprokmai ilai ig rgi tb utuk T tiggi da T rdah. T tiggi (T ) atau β rdah (β ) : 5

358 hf β hf lim E lim coth β β βhf βhf hf lim β βhf βhf hf kt β hf β T rdah (T ) atau β tiggi (β ) : hf βhf lim E lim coth β β βhf βhf hf lim β βhf βhf hf c. Kapaita paa pada volum ttap C V U β E E T T T β V 5

359 hf βhf coth kt β hf hf βhf cc h kt hf β hf k cch kt βhf βhf k cch d. Aprokmai kapaita paa utuk T tiggi da T rdah. T tiggi (T ) atau β rdah (β ) : βhf βhf limcv lim k cc h β β βhf k lim β ih k R βhf T rdah (T ) atau β tiggi (β ) : 5

360 βhf βhf β lim CV lim k cc h β βhf k lim β hf kt ih βhf k lim β βhf βhf β hf β hf k atau hf k kt βhf atau. Etropi F S T dimaa ; V F ktl Z, da Maka ; Z! βhf βhf S k ( Tl Z) kl Z T l Z T T Diktahui bahwa ; T E l Z l Z β β T l Z l kt Z kβ T T Maka ; 5

361 E l Z T kt Jadi ; E S kl Z kt l Z kl Z T T βhf βhf hf β hf kl coth! T. Suatu itm oilator harmoik dimi yag mmiliki hamiltoia H p i mω q i dga tmpratur ruag T. Ttukalah : i m a. Fugi partii kaoik b. Ergi bba Hmholtz c. Potial kimia d. Etropy. Ergi Solui : a. Fugi partii kaoik Fugi partiai mbl kaoik dalam ruag faa adalah :! h Z d qd p β H q p p( (, )) Maka ; Fugi partii itm ii adalah : 54

362 p Z( T, V,) p β mω q dpdq h m / / π πm h βmω β π βω βhω Dga h h π b. Ergi bba Hmholtz ( ) Z t, V, Z( T, V,) FTV (,, ) ktl ZTV (,,) kt l βhω hω kt l kt c. Potial kimia µ ( TV ) d. Etropi (,, ),, F T V hω VT, ktl kt hω kt l kt 55

363 l ZTV (,, ) S kl Z( T, V, ) kt T hω k l k kt hω k l kt V,. Ergi E l ZTV (,, ) kt T V, T kt kt hω kt l. Tulika pramaa Schrodigr utuk ga idal mooatomik atu dimi rta tulika fugi partii kaoik da Fugi Hlmholtzya Solui : 56

364 Partikl dalam Sumur Potial (-D) I V II V III V ψi ψii L Syarat Bata : V() utuk < < L ψ ada utuk atau L ψ Pramaa Shcrodigr : H ψ() E ψ() h d h d V ( ) ψ() Eψ(), V() m d m d ψ() Eψ() ψ ( ) d ψ ( ) d dimaa ; k me h me d ψ ( ) h ψ ( ) d k ( ) d ψ d k ψ() d d k ψ() d d d ik ik ψ() d ψ() ψ ik ψ atau ψ() Ai(k) B co(k) ik dga yarat bata : ψ( ) B da ψ( L) A i(k L), A, i(k L) k L π k π, dimaa ilai,,,... L ψ() π i ( ), L L Jadi ; me k h me h π L atau 57

365 π h E ml Fugi Partii ambl Kaoik : Z p ( β E) π h Dimaa ; E, maka ml Z π h p β ml π h Jika dimialka ; c, maka ; ml Z p dimaa : ( βc ) β c β c d π, maka βc Z ml π p( βc ) βπ h Fugi Hlmholtz : ml π F ktl Z ktl βπ h. Tulika pramaa Schrodigr utuk ga idal mooatomik dalam kotak kubu brvolum V (dga ii L) rta tulika fugi partii kaoik da Fugi 58

366 Hlmholtzya Solui : Syarat Bata : V(,y,z) < < < < < < ; ;,, ψ ψ kotak diluar L z da L y L Pramaa Shcrodigr : H ψ() E ψ(), utuk partikl dalam kotak ) ( V dz d dy d d d m h ψ Eψ, V(,y,z) dz d dy d d d m h ψ(,y,z) E ψ(,y,z), Kara yarat bata parabl dalam koordiat kartiu, maka ; ψ(,y,z) ψ() ψ(y) ψ(z) dz d dy d d d m h ψ() ψ(y) ψ(z) E ψ() ψ(y) ψ(z) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dz z d z dy y d y d d ψ ψ ψ ψ ψ ψ h me L L L 59

367 Maka ; d ψ( ) d ψ( ) d ψ( y) d ψ( z) y k ψ( y) dy ψ( z) dz k k k k, z k ψ ( ) d ψ ( ) d ; k y ψ ( y) d ψ ( y) dy da k z ψ ( z) d ψ ( z) dz Utuk ; k ψ ( ) d ψ ( ) d ( ) d ψ d k ψ() d d k ψ() d d d ik d ik ψ() ψ ψ() ik ψ ik atau ψ() A i (k ) B co (k ) Dga yarat bata L, maka ; maka ; k y ψ( ) B da ψ( L) A i (k L) ; A Si (k L) k L π atau k y π da kz L ψ(,y,z) ψ() ψ(y) ψ(z) π, L z π L 6

368 Jadi ; ψ(,y,z) L i ( π y π ) i ( ) i ( z π ), L L L k k k y k z me π h L y π L z π L atau,... E,y,z π h ml y z ( ) ; dimaa ilai, y, z,, Fugi Partii ambl Kaoik : Z y z p ( βe) E,y,z π h ml dimialka ; c Z y z y ( ), π h ml p z E,y,z c( ) ( β c ( )), dimaa : c β cy β βc z y z y z y z c β c d β π, maka βc c Z β 8 π βc 8 ml π βπ h 6

369 Z ml π 8 βπ h Fugi Hlmholtz : F kt l Z kt l [ 8 ml π βπ h ]. Dalam ga idal rgi itm tapa itraki atar molkul adalah (, ) H q p pi, ttukalah : m i a. Ergi bba Hmholtz b. Potial kimia c. Etropi Solui : Fugi partii dalah ga idal adalah : ( ) β / m p i i Z d q d p! h atau V ZTV (,, ) ZTV (,, mkt!! h ( ) ( π ) / Diktahui bahwa rrata paag glombag d Brogli partikl ga pada tmpratur trttu adalah : h λ, π mkt maka fugi partii dapat dituli kmbali madi ; 6

370 ZTV (,, ) V! λ a. Ergi bba Hmholtz V / F ktl Z ktl ( π mkt)! h h kt l atau / V( π mkt) λ kt l V b. Potial kimia F µ kt l( Z) VT, kt l V h ( π mkt) λ kt l V / c. Etropi F S kl Z T VT, ( ) h 5 kt l / V ( π mkt) V 5 k l λ 6

371 4. Dga mgguaka mbl kaoik, ttuka kcpata ditribui partikl dalam ga idal. Solui : Probablita atu partikl dalam ruag faa dga momtum p da koordiat q adalah : ρ( q, p) p (, ) ZTV (,,) { βh q p } Dga ; ZTV (,,) ( π mkt) / p m V h da h λ, maka ; π mkt ρ( q, p) p (, ) V / ( π mkt ) h λ V β { βh q p } Probabilita ditmuka atu partikl dga momtum atara p da pdp, da koordiat q da qdq adalah ; h ρ ( ) q, p d qd p Dimaa ; h adalah volum ruag faa, maka ; Kcpata ditribui utuk mua poii adalah ; ( ) p m λ β m f vdv dv dq h V m π kt / β p m d v 5. Dga mgguaka koordiat polar da mbl kaoik, ttuka kcapata 64

372 rata-rata kcpata partikl dalam ga idal. Solui : Ditribui kcpata dalam koordiat polar adalah : / p m β m f v dv 4π v dv ( ) π kt m π kt / mv kt 4π v dv Probabilita kcpata yag cocok utuk ditribuí kcpata makimal, ika ; ( ) df v dv v Maka ; m v v atau kt v kt m Kcpata rata-rata adalah : v ( ) vf v dv / m kt 4π π kt m y y dy Dimaa ; mv y, kt Jika y y dy Γ(), maka ; 65

373 v / m kt 4π π kt m 8kT mπ 6. Dga mgguaka koordiat polar da mbl kaoik, ttuka rgi kitik ga idal. Solui : Diktahui bahwa, Kcpata rata-rata adalah : v ( ) vf v dv / m kt 4π π kt m y y dy Maka kuadrat kcpata rata-rata adalah ; v ( ) v f v dv / 5/ m kt 4π π kt m / y y dy Jika ; / y 5 5 y dy Γ π, maka ; / 5/ m kt 5 v 4π π kt m kt m Jadi, rgi kitik bar ; π 66

374 kt kt Ekitik mv m m 7. Ga idal dga partikl dalam kitimbaga trmodiamika dga rvoar paa pada tmpratur T. Jika diktahui bahwa probabilita mbl kaoik adalah ε dw A p d kt Γ dga Γ adalah volum ruag faa bar / Γ AV ε. Ttukalah probabilita dw( E ) pada itm trbut dga E adalah rgi pada itrval de Solui : Diktahui bahwa ; ε / dw A p d Γ da Γ AV ε, maka ; kt / ε dγ AV dε ε AV ε dε Dga mgitgralka da ampaka pramaa ama dga, maka ilai kotata dapat diprolh : cot ε ε p dε kt Mialka ; ε t da z, maka kt Dga mgguaka fugi Gamma, diprolh ; 67

375 ε t z t dt Γ z ( ) Maka diprolh : ( ) dw E ε. ε p kt kt Γ 8. Murut pramaa Baromtric aprokimai prtama utuk tkaa atmofr di pucak aka mrduki / tkaa udara. Gga aumi bahwa tmpratur udara adalah uiform da maa molar udara adalah M, buktika bahwa Solui ; Dga mgaumika kadaa rgi pada ktiggia z bar U z mgz, maka kotrai kolom udara brdaarka mbl kaoik adalah ; mgz kt ( ) kt ( z) dga kotrai mgz o Dga mgguaka pramaa ga idal yag brhubuga dga kotrai da tkaa ; PV kt P kt V Jika kt ~ V, maka ; mgz kt Pz z ( ) ( ) P() mgz kt 9. Suatu itm dga ga ctrifugal yag brradiu R yag diguaka utuk mmiahka campura ga dari luar. Pmiaha atara dua i ga dga maa 68

376 m da m. Jika rotai trifugal dga kotata kcpata agular adalah ω. Dga mgguka mbl kaoik, ttuka koofii pmiaha q yag barya ; q r R r Dimaa, Solui : da adalah kotrai yag brhubuga dga i ga. Ergi rotai partikl dalam itm trifugal dga arak r dari puat rotai adalah : mω r Ur () Ditribui kaoik adalah mrupaka fugi dari radiu, bar ; r () U( r) kt mω r kt Dimaa mggambarka kodii ormaliai r, maka hubuga dga koofii parai adalah : mω R kt mω R kt ( m m) ω R p kt q. Dalam itm magtik modl Iig d, dga kodii yarat bata da tapa mda magtik, fugi partii kaoik adalah ; 69

377 Z( β, ) pβj i i,,..., ± i a. Buktikalah Z ( β ) [ βj ], coh( ) b. Ttukalah fugi rgi pr pi dalam β da J c. Ttukalah kapaita paa pr pi dalam β da J Solui : a. Buktikalah Z ( β ) [ βj ], coh( ) Z( β, ) pβj ηi,,... ± ± i,,... ± ± i i η ± i p ( βjη ) βj βj ( ) i i coh ( β J ) ( β J ) p coh i ( β Jη ) i b. Ttukalah fugi rgi pr pi dalam β da J E l Z β ( coh ( β J ) ) l β l coh β ( ( β J) ) ( β J ) ( β J ) ( β J ) ih J coh J tah 7

378 c. Ttukalah kapaita paa pr pi dalam β da J C E T β E β T ( J tah ( β J )) β kt J tah J tah kt β tah ( β J ) ( β J ) ( β ) k J J 7

379 A. Soal Tapa Jawaba. Dga mgguaka rgi bba Hmholtz F(, V, T) dari ytm trmodiamika, buktika bahwa ; F F V F V VT, T,. Buktika bahwa T l Z T V T V CP CV k > l Z V T. Prlihatka bahwa utuk ga idal ; S Z l T l Z k T P 4. Ergi oilator harmoik dimi dga tatu kadaa adalah ε ( ½ )hυ, dga h : ttapa Plack, υ : frkui,,,,... dt. Mialka kita mmiliki buah itm yag trdiri dari buah oilator harmoik dimi idtik yag tak trbdaka da bia diaggap tak alig britraki. c. Tulika fugi partii kaoik utuk itm tb da drhaaka higga 7

380 diprolh btuk aalitik (clod form). d. Tulika uga aprokimai bagi fugi partii trbut utuk T tiggi (T >> hυ/k) da T trdah (T << hυ/k). 5. Brdaarka oal omor 5, hituglah ; a. Ergi rata-rata itm trbut. b. Hitug uga aprokmai ilai ig rgi tb utuk T tiggi da T rdah. c. Kapaita paa pada volum ttap. d. Hitug uga aprokmai kapaita paa tb utuk T tiggi da T rdah.. Turuka uga ugkapa bagi tropi. 6. partikl ga idal mooatomik hipottik dimi trltak dalamm kotak (rctagl) brukura L L L mmiliki tmpratur T. Maa tiap partikl m da lua kotak L. Prlakuka itm bagai kumpula partikl idtik (tak bia dibdaka) da tak alig britraki. a. Tulika hamiltoia partikl aa da laika utuk mcari tatu ig da rgi yag trkait. b. Tulika hamiltoia total itm trbut ( partikl) da tulikalah fugi ig itm (tapa mmprhatika imtri)rta rgiya. c. Tulika fugi kaoik itm trbut. 7. Prlihatka utuk fugi partii ( ) kt Z V, T 8π V! hc utuk ga mooatomik dga hubuga atara rgi da momtum bar ε pc, dga c adalah kcpata cahaya. 7

381 8. Buktika utuk kau partikl yag brgrak dalam ruag dimi, mmiliki fugi partii bar : kt Z ( L, T) L ( )! hc 9. Suatu it martikl idtik yag mmiliki kadaa rgi yaitu ±ε. Guaka mbl kaoik da ttuka tropi rata-rata pr partikl da fugi rgi rata-rata pr partikl.. Ttuka fugi korlai utuk itm magtik dimaa,,,... dga fugi partii kaoik adalah ; Z( β, ) pβj i i,,..., ± i. Brdaarka oal omor, tuuka bahwa fluktuai rata-rata magtiai bar ; ( δ ) i i tah( β J ). Prlihatka bahwa utuk matrial magtik, kapaita paa dga kotata mda H da magtiai M mmiliki hubuga ; H M C C T H M T M T H. Buktika bahwa utuk baha paramagtik mmatuhi hukum Curi C H CH CM T 4. Suatu itm magtik pi ½ mmiliki rgi E µ B µ B dga ±, dga mgguaka mbl kaoik, ttukalah magtiai da iothmal uptibilitaya. 74

382 5. Suatu itm dga Hamiltoia i i yag mmiliki probabilita H ε kadaa mikro µ { i }. Ttukalah fugi partii da rgi bba Hlmholtzya. 6. Brdaarka awaba omor 4, ttukalah tropi da rgi itralya. 7. Kadaa makro ga idal kaoik M ( TV,, ) kadaa mikro { pi, qi} Hlmholtzya. dga pi H i da m µ uur ur. Ttukalah fugi partii da rgi bba 8. Brdaarka awaba omor 5, ttukalah tropi da da potial kimiaya 9. Suatu itm magtik dga mda itral B uv da Hamiltoia H. Jika pi adalah ½ dga kadaa mikro pi digambarka dga variabl Iig { } σ ± da M µ σ i i dga µ mom magt mikrokopik. Jika tidak ada itraki atar pi ( H), ttukalah probabilita kadaa mikro da fugi partii Gib-ya.. Brdaarka oal omor 8, ttukalah magtiai rata-rata da uptibilitaya. 75

383 Bab Soal da Pylaia Embl Kaoik. Jlaka apa yag dimakut dga mbl kaoik? Solui : Embl kaoik adalah itm dga bayak partikl pada tiap itm adalah ama da mrupaka bilaga kota da tmpratur tiap itm ( buka rgi ) adalah ama da mrupaka bilaga kota. Dga kata lai itm yag mmpuyai ilai (bayak partikl) dga volum (V) da tmpratur (T) yag ttap. Kodii ii mmprbolhka kmugkia adaya prtukara rgi atara itm da buah mbl da uga itraki atar partikl dalam buah itm.. Sbuah itm dga dua partikl (A da B) yag dapat dibdaka. Maig-maig partikl mmpuyai dua kadaa ilai ig rgi ε da ε ε. a. Tulika fugi partii itm b. Tulika fugi partii alah atu partikl c. Tulika fugi partii oitractig particl d. Tulika probability itm utuk kadaa yag mugki. Ergi rata-rata itm f. Ergi bba pr partikl g. Etropi pr partikl Solui : 76

384 Kadaa I II III VI Mikro ε B A A B A B A B ε a. Fugi Partii 4 ZT (, ) i βε β () βε βε b. Fugi partii alah atu partikl βε β () βε Z( T, ) i βε βε βε c. Tulika fugi partii oitractig particl ZT (, ) ZT (, ) d. Probability itm utuk kadaa yag mugki p Z( T,) da βε 77

385 p βε Z( T,) βε βε. Ergi rata-rata itm ε u E piε i i -βε -βε f. Ergi bba pr partikl ( ) f ktl Z T, ktl βε g. Etropi pr partikl f βε βε kl ( ) k T V βε. Sbuah itm dga dua partikl (A da B) yag dapat dibdaka da maig-maig partikl mmpuyai tiga kadaa ilai ig rgi ε, ε ε da ε ε. Gambarka kadaa yag mugki da tulika fugi partiiya rta fugi rgi bbaya. Solui : Kad. Mikro I II III IV V VI VII VIII IX ε B A B A A B B A A B A B 78

386 A B A B A B ε 4 Fugi Partii Z 5 i βε β () βε βε βε βε 4βε βε βε βε 4βε Jika β kt, maka Z ε ε ε 4ε kt kt kt kt Fugi Hlmholtz F kt l Z kt l ( ε kt ε kt ε kt 4ε kt ) 4. Sbuah itm dga dua partikl (A da B) yag tak dapat dibdaka da maig-maig partikl mmpuyai tiga kadaa ilai ig rgi ε, ε ε da ε ε. Gambarka kadaa yag mugki da tulika fugi partiiya rta fugi rgi bbaya. Solui : 79

387 Kadaa I II III IV V VI Mikro ε ε 4 Fugi Partii Z 5 i βε β () βε βε βε 4βε βε βε βε 4βε Jika β kt, maka Z ε ε ε 4ε kt kt kt kt Fugi Hlmholtz F kt l Z 8

388 kt l ( ε kt ε kt ε kt 4ε kt ) 5. Tuuka bahwa dalam mbl kaoik, fluktuai rgi bar E kt Cv. Solui : E < E >< E > Diktahui bahwa ; E l Z atau β Z E Z β Maka ; Z < E > da Z β < E > Z Z β Maka ; ( ) l E E < E >< E > Z Z Z Z β Z β β β Diktahui bahwa ; β da k B T C V E T Maka ; ( E) E k β B T E T 8

389 ( E) k T B C V atau E kt Cv 6. Tuuka bahwa dalam mbl kaoik, fluktuai rgi rlatif bar E E ~. Solui : Diktahui bahwa fluktuai rgi dalam mbl kaoik adalah E kt Cv, Maka ; E kt Cv E E Jika itm agat bar maka diambil ~ da V ~, maka kota da ika C v da E adalah variabl ktiv maka C V ~, adi ; V adalah E ~ E 7. Dga mgguaka mbl kaoik, tulika ifat-ifat trmodiamika kuatum oilator harmoik dimi dalam ktimbaga dga tmpratur ruag T yag mmiliki tigkat rgi Solui : ε ω (,,,...) h Fugi Partii ambl Kaoik : Z p ( β E) Dimaa ; ε ω (,,,...) h, maka 8

390 Z p β ω h atau (...) Z β h ω β h ω β h ω, Diktahui bahwa drt gomtri ;..., dimaa β h ω, maka ; Fugi partiiya madi ; h Z β ω β h ω Fugi hmholtzya : βhω F ktl Z ktl βhω βhω kt βhωl ( ) βhω hω kt l ( ) Etropi ; F S hω ktl T T βhω k l βhω Ergi itral oilator : βhω ( ) βhω ( ) β T hω β h ω E l Z atau E kt l Z 8. Ergi oilator harmoik dimi dga tatu kadaa adalah ε ( ½ )hf, 8

391 dga h : ttapa Plack, F : frkui,,,,... dt. Mialka kita mmiliki buah itm yag trdiri dari buah oilator harmoik dimi idtik yag tak trbdaka da bia diaggap tak alig britraki. a. Tulika fugi partii kaoik utuk itm tb da drhaaka higga diprolh btuk aalitik (clod form). b. Tulika uga aprokimai bagi fugi partii trbut utuk T tiggi (T >> hf/k) da T trdah (T << hf/k). Solui : a. ε,y,z ( y z ) hf, dga, y, z,,,,... p( β ( ) ) y z Z hf y z β hf y βhf βhf βhf ( ) ( ) ( ) y z z hf ( β ) ilai utuk hf β, maka ; Z β hf β hf ( ) βhf βhf βhf βhf, Utuk partikl dalam -D, diprolh ; Z ( Z)!! βhf βhf 84

392 b...., da..., maka : βhf βhf βhf... da βhf..., T tiggi (T ) atau β rdah (β ) : lim Z lim ( Z) lim!! β β β βhf βhf βhf βhf! kt ( βhf )!! hf T rdah (T )atau β tiggi (β ) : lim Z lim ( Z) lim β β! β! βhf βhf β hf hf kt!! 9. Brdaarka oal omor, hituglah ; a. Ergi rata-rata itm trbut. b. Hitug uga aprokmai ilai ig rgi tb utuk T tiggi da T rdah. c. Kapaita paa pada volum ttap. 85

393 d. Hitug uga aprokmai kapaita paa tb utuk T tiggi da T rdah.. Turuka uga ugkapa bagi tropi. Solui : a. Ergi rata-rata E l Z β βhf βhf βhf βhf l l β! β! l l β! β βhf βhf hf βhf βhf hf βhf coth βhf βhf b. Aprokmai ilai ig rgi tb utuk T tiggi da T rdah. T tiggi (T ) atau β rdah (β ) : 86

394 hf β hf lim E lim coth β β βhf βhf hf lim β βhf βhf hf kt β hf β T rdah (T ) atau β tiggi (β ) : hf βhf lim E lim coth β β βhf βhf hf lim β βhf βhf hf c. Kapaita paa pada volum ttap C V U β E E T T T β V 87

395 hf βhf coth kt β hf hf βhf cc h kt hf β hf k cch kt βhf βhf k cch d. Aprokmai kapaita paa utuk T tiggi da T rdah. T tiggi (T ) atau β rdah (β ) : βhf βhf limcv lim k cc h β β βhf k lim β ih k R βhf T rdah (T ) atau β tiggi (β ) : 88

396 βhf βhf β lim CV lim k cc h β βhf k lim β hf kt ih βhf k lim β βhf βhf β hf β hf k atau hf k kt βhf atau. Etropi F S T dimaa ; V F ktl Z, da Maka ; Z! βhf βhf S k ( Tl Z) kl Z T l Z T T Diktahui bahwa ; T E l Z l Z β β T l Z l kt Z kβ T T Maka ; 89

397 E l Z T kt Jadi ; E S kl Z kt l Z kl Z T T βhf βhf hf β hf kl coth! T. Suatu itm oilator harmoik dimi yag mmiliki hamiltoia H p i mω q i dga tmpratur ruag T. Ttukalah : i m a. Fugi partii kaoik b. Ergi bba Hmholtz c. Potial kimia d. Etropy. Ergi Solui : a. Fugi partii kaoik Fugi partiai mbl kaoik dalam ruag faa adalah :! h Z d qd p β H q p p( (, )) Maka ; Fugi partii itm ii adalah : 9

398 p Z( T, V,) p β mω q dpdq h m / / π πm h βmω β π βω βhω Dga h h π b. Ergi bba Hmholtz ( ) Z t, V, Z( T, V,) FTV (,, ) ktl ZTV (,,) kt l βhω hω kt l kt c. Potial kimia µ ( TV ) d. Etropi (,, ),, F T V hω VT, ktl kt hω kt l kt 9

399 l ZTV (,, ) S kl Z( T, V, ) kt T hω k l k kt hω k l kt V,. Ergi E l ZTV (,, ) kt T V, T kt kt hω kt l. Tulika pramaa Schrodigr utuk ga idal mooatomik atu dimi rta tulika fugi partii kaoik da Fugi Hlmholtzya Solui : 9

400 Partikl dalam Sumur Potial (-D) I V II V III V ψi ψii L Syarat Bata : V() utuk < < L ψ ada utuk atau L ψ Pramaa Shcrodigr : H ψ() E ψ() h d h d V ( ) ψ() Eψ(), V() m d m d ψ() Eψ() ψ ( ) d ψ ( ) d dimaa ; k me h me d ψ ( ) h ψ ( ) d k ( ) d ψ d k ψ() d d k ψ() d d d ik ik ψ() d ψ() ψ ik ψ atau ψ() Ai(k) B co(k) ik dga yarat bata : ψ( ) B da ψ( L) A i(k L), A, i(k L) k L π k π, dimaa ilai,,,... L ψ() π i ( ), L L Jadi ; me k h me h π L atau 9

401 π h E ml Fugi Partii ambl Kaoik : Z p ( β E) π h Dimaa ; E, maka ml Z π h p β ml π h Jika dimialka ; c, maka ; ml Z p dimaa : ( βc ) β c β c d π, maka βc Z ml π p( βc ) βπ h Fugi Hlmholtz : ml π F ktl Z ktl βπ h. Tulika pramaa Schrodigr utuk ga idal mooatomik dalam kotak kubu brvolum V (dga ii L) rta tulika fugi partii kaoik da Fugi 94

402 Hlmholtzya Solui : Syarat Bata : V(,y,z) < < < < < < ; ;,, ψ ψ kotak diluar L z da L y L Pramaa Shcrodigr : H ψ() E ψ(), utuk partikl dalam kotak ) ( V dz d dy d d d m h ψ Eψ, V(,y,z) dz d dy d d d m h ψ(,y,z) E ψ(,y,z), Kara yarat bata parabl dalam koordiat kartiu, maka ; ψ(,y,z) ψ() ψ(y) ψ(z) dz d dy d d d m h ψ() ψ(y) ψ(z) E ψ() ψ(y) ψ(z) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dz z d z dy y d y d d ψ ψ ψ ψ ψ ψ h me L L L 95

403 Maka ; d ψ( ) d ψ( ) d ψ( y) d ψ( z) y k ψ( y) dy ψ( z) dz k k k k, z k ψ ( ) d ψ ( ) d ; k y ψ ( y) d ψ ( y) dy da k z ψ ( z) d ψ ( z) dz Utuk ; k ψ ( ) d ψ ( ) d ( ) d ψ d k ψ() d d k ψ() d d d ik d ik ψ() ψ ψ() ik ψ ik atau ψ() A i (k ) B co (k ) Dga yarat bata L, maka ; maka ; k y ψ( ) B da ψ( L) A i (k L) ; A Si (k L) k L π atau k y π da kz L ψ(,y,z) ψ() ψ(y) ψ(z) π, L z π L 96

404 Jadi ; ψ(,y,z) L i ( π y π ) i ( ) i ( z π ), L L L k k k y k z me π h L y π L z π L atau,... E,y,z π h ml y z ( ) ; dimaa ilai, y, z,, Fugi Partii ambl Kaoik : Z y z p ( βe) E,y,z π h ml dimialka ; c Z y z y ( ), π h ml p z E,y,z c( ) ( β c ( )), dimaa : c β cy β βc z y z y z y z c β c d β π, maka βc c Z β 8 π βc 8 ml π βπ h 97

405 Z ml π 8 βπ h Fugi Hlmholtz : F kt l Z kt l [ 8 ml π βπ h ]. Dalam ga idal rgi itm tapa itraki atar molkul adalah (, ) H q p pi, ttukalah : m i a. Ergi bba Hmholtz b. Potial kimia c. Etropi Solui : Fugi partii dalah ga idal adalah : ( ) β / m p i i Z d q d p! h atau V ZTV (,, ) ZTV (,, mkt!! h ( ) ( π ) / Diktahui bahwa rrata paag glombag d Brogli partikl ga pada tmpratur trttu adalah : h λ, π mkt maka fugi partii dapat dituli kmbali madi ; 98

406 ZTV (,, ) V! λ a. Ergi bba Hmholtz V / F ktl Z ktl ( π mkt)! h h kt l atau / V( π mkt) λ kt l V b. Potial kimia F µ kt l( Z) VT, kt l V h ( π mkt) λ kt l V / c. Etropi F S kl Z T VT, ( ) h 5 kt l / V ( π mkt) V 5 k l λ 99

407 4. Dga mgguaka mbl kaoik, ttuka kcpata ditribui partikl dalam ga idal. Solui : Probablita atu partikl dalam ruag faa dga momtum p da koordiat q adalah : ρ( q, p) p (, ) ZTV (,,) { βh q p } Dga ; ZTV (,,) ( π mkt) / p m V h da h λ, maka ; π mkt ρ( q, p) p (, ) V / ( π mkt ) h λ V β { βh q p } Probabilita ditmuka atu partikl dga momtum atara p da pdp, da koordiat q da qdq adalah ; h ρ ( ) q, p d qd p Dimaa ; h adalah volum ruag faa, maka ; Kcpata ditribui utuk mua poii adalah ; ( ) p m λ β m f vdv dv dq h V m π kt / β p m d v 5. Dga mgguaka koordiat polar da mbl kaoik, ttuka kcapata 4

408 rata-rata kcpata partikl dalam ga idal. Solui : Ditribui kcpata dalam koordiat polar adalah : / p m β m f v dv 4π v dv ( ) π kt m π kt / mv kt 4π v dv Probabilita kcpata yag cocok utuk ditribuí kcpata makimal, ika ; ( ) df v dv v Maka ; m v v atau kt v kt m Kcpata rata-rata adalah : v ( ) vf v dv / m kt 4π π kt m y y dy Dimaa ; mv y, kt Jika y y dy Γ(), maka ; 4

409 v / m kt 4π π kt m 8kT mπ 6. Dga mgguaka koordiat polar da mbl kaoik, ttuka rgi kitik ga idal. Solui : Diktahui bahwa, Kcpata rata-rata adalah : v ( ) vf v dv / m kt 4π π kt m y y dy Maka kuadrat kcpata rata-rata adalah ; v ( ) v f v dv / 5/ m kt 4π π kt m / y y dy Jika ; / y 5 5 y dy Γ π, maka ; / 5/ m kt 5 v 4π π kt m kt m Jadi, rgi kitik bar ; π 4

410 kt kt Ekitik mv m m 7. Ga idal dga partikl dalam kitimbaga trmodiamika dga rvoar paa pada tmpratur T. Jika diktahui bahwa probabilita mbl kaoik adalah ε dw A p d kt Γ dga Γ adalah volum ruag faa bar / Γ AV ε. Ttukalah probabilita dw( E ) pada itm trbut dga E adalah rgi pada itrval de Solui : Diktahui bahwa ; ε / dw A p d Γ da Γ AV ε, maka ; kt / ε dγ AV dε ε AV ε dε Dga mgitgralka da ampaka pramaa ama dga, maka ilai kotata dapat diprolh : cot ε ε p dε kt Mialka ; ε t da z, maka kt Dga mgguaka fugi Gamma, diprolh ; 4

411 ε t z t dt Γ z ( ) Maka diprolh : ( ) dw E ε. ε p kt kt Γ 8. Murut pramaa Baromtric aprokimai prtama utuk tkaa atmofr di pucak aka mrduki / tkaa udara. Gga aumi bahwa tmpratur udara adalah uiform da maa molar udara adalah M, buktika bahwa Solui ; Dga mgaumika kadaa rgi pada ktiggia z bar U z mgz, maka kotrai kolom udara brdaarka mbl kaoik adalah ; mgz kt ( ) kt ( z) dga kotrai mgz o Dga mgguaka pramaa ga idal yag brhubuga dga kotrai da tkaa ; PV kt P kt V Jika kt ~ V, maka ; mgz kt Pz z ( ) ( ) P() mgz kt 9. Suatu itm dga ga ctrifugal yag brradiu R yag diguaka utuk mmiahka campura ga dari luar. Pmiaha atara dua i ga dga maa 44

412 m da m. Jika rotai trifugal dga kotata kcpata agular adalah ω. Dga mgguka mbl kaoik, ttuka koofii pmiaha q yag barya ; q r R r Dimaa, Solui : da adalah kotrai yag brhubuga dga i ga. Ergi rotai partikl dalam itm trifugal dga arak r dari puat rotai adalah : mω r Ur () Ditribui kaoik adalah mrupaka fugi dari radiu, bar ; r () U( r) kt mω r kt Dimaa mggambarka kodii ormaliai r, maka hubuga dga koofii parai adalah : mω R kt mω R kt ( m m) ω R p kt q. Dalam itm magtik modl Iig d, dga kodii yarat bata da tapa mda magtik, fugi partii kaoik adalah ; 45

413 Z( β, ) pβj i i,,..., ± i a. Buktikalah Z ( β ) [ βj ], coh( ) b. Ttukalah fugi rgi pr pi dalam β da J c. Ttukalah kapaita paa pr pi dalam β da J Solui : a. Buktikalah Z ( β ) [ βj ], coh( ) Z( β, ) pβj ηi,,... ± ± i,,... ± ± i i η ± i p ( βjη ) βj βj ( ) i i coh ( β J ) ( β J ) p coh i ( β Jη ) i b. Ttukalah fugi rgi pr pi dalam β da J E l Z β ( coh ( β J ) ) l β l coh β ( ( β J) ) ( β J ) ( β J ) ( β J ) ih J coh J tah 46

414 c. Ttukalah kapaita paa pr pi dalam β da J C E T β E β T ( J tah ( β J )) β kt J tah J tah kt β tah ( β J ) ( β J ) ( β ) k J J 47

415 A. Soal Tapa Jawaba. Dga mgguaka rgi bba Hmholtz F(, V, T) dari ytm trmodiamika, buktika bahwa ; F F V F V VT, T,. Buktika bahwa T l Z T V T V CP CV k > l Z V T. Prlihatka bahwa utuk ga idal ; S Z l T l Z k T P 4. Ergi oilator harmoik dimi dga tatu kadaa adalah ε ( ½ )hυ, dga h : ttapa Plack, υ : frkui,,,,... dt. Mialka kita mmiliki buah itm yag trdiri dari buah oilator harmoik dimi idtik yag tak trbdaka da bia diaggap tak alig britraki. c. Tulika fugi partii kaoik utuk itm tb da drhaaka higga 48

416 diprolh btuk aalitik (clod form). d. Tulika uga aprokimai bagi fugi partii trbut utuk T tiggi (T >> hυ/k) da T trdah (T << hυ/k). 5. Brdaarka oal omor 5, hituglah ; a. Ergi rata-rata itm trbut. b. Hitug uga aprokmai ilai ig rgi tb utuk T tiggi da T rdah. c. Kapaita paa pada volum ttap. d. Hitug uga aprokmai kapaita paa tb utuk T tiggi da T rdah.. Turuka uga ugkapa bagi tropi. 6. partikl ga idal mooatomik hipottik dimi trltak dalamm kotak (rctagl) brukura L L L mmiliki tmpratur T. Maa tiap partikl m da lua kotak L. Prlakuka itm bagai kumpula partikl idtik (tak bia dibdaka) da tak alig britraki. a. Tulika hamiltoia partikl aa da laika utuk mcari tatu ig da rgi yag trkait. b. Tulika hamiltoia total itm trbut ( partikl) da tulikalah fugi ig itm (tapa mmprhatika imtri)rta rgiya. c. Tulika fugi kaoik itm trbut. 7. Prlihatka utuk fugi partii ( ) kt Z V, T 8π V! hc utuk ga mooatomik dga hubuga atara rgi da momtum bar ε pc, dga c adalah kcpata cahaya. 49

417 8. Buktika utuk kau partikl yag brgrak dalam ruag dimi, mmiliki fugi partii bar : kt Z ( L, T) L ( )! hc 9. Suatu it martikl idtik yag mmiliki kadaa rgi yaitu ±ε. Guaka mbl kaoik da ttuka tropi rata-rata pr partikl da fugi rgi rata-rata pr partikl.. Ttuka fugi korlai utuk itm magtik dimaa,,,... dga fugi partii kaoik adalah ; Z( β, ) pβj i i,,..., ± i. Brdaarka oal omor, tuuka bahwa fluktuai rata-rata magtiai bar ; ( δ ) i i tah( β J ). Prlihatka bahwa utuk matrial magtik, kapaita paa dga kotata mda H da magtiai M mmiliki hubuga ; H M C C T H M T M T H. Buktika bahwa utuk baha paramagtik mmatuhi hukum Curi C H CH CM T 4. Suatu itm magtik pi ½ mmiliki rgi E µ B µ B dga ±, dga mgguaka mbl kaoik, ttukalah magtiai da iothmal uptibilitaya. 4

418 5. Suatu itm dga Hamiltoia i i yag mmiliki probabilita H ε kadaa mikro µ { i }. Ttukalah fugi partii da rgi bba Hlmholtzya. 6. Brdaarka awaba omor 4, ttukalah tropi da rgi itralya. 7. Kadaa makro ga idal kaoik M ( TV,, ) kadaa mikro { pi, qi} Hlmholtzya. dga pi H i da m µ uur ur. Ttukalah fugi partii da rgi bba 8. Brdaarka awaba omor 5, ttukalah tropi da da potial kimiaya 9. Suatu itm magtik dga mda itral B uv da Hamiltoia H. Jika pi adalah ½ dga kadaa mikro pi digambarka dga variabl Iig { } σ ± da M µ σ i i dga µ mom magt mikrokopik. Jika tidak ada itraki atar pi ( H), ttukalah probabilita kadaa mikro da fugi partii Gib-ya.. Brdaarka oal omor 8, ttukalah magtiai rata-rata da uptibilitaya. 4

419 Daftar Putaka Poito, A. J., A Itroductio to Statitical Phyic for Studt, Lodo: Logma (967) Zmaky, M. W. ad R. H. Dittma, Kalor da Trmodiamika, Badug: Prbit ITB (986) Kittl, C., Itroductio to Solid Stat Phyic 7 th d., w York: Joh Wilry & So (996) 4