MENENTUKAN NILAI LIMIT BARISAN KONTRAKTIF DENGAN MENGGUNAKAN RELASI REKURSIF SKRIPSI. Oleh : Muhamad Nur Huda NIM :

MENENTUKAN NILAI LIMIT BARISAN KONTRAKTIF DENGAN MENGGUNAKAN RELASI REKURSIF SKRIPSI Oleh : Muhaad Nu Huda NIM : 05000 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 008

MENENTUKAN NILAI LIMIT BARISAN KONTRAKTIF DENGAN MENGGUNAKAN RELASI REKURSIF SKRIPSI Diajua Kepada : Uivesitas Isla Negei Malag Utu Meeuhi Salah Satu Pesyaata Dala Mepeoleh Gela Sajaa Sais (S.Si) Oleh : Muhaad Nu Huda NIM : 05000 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 008

MENENTUKAN NILAI LIMIT BARISAN KONTRAKTIF DENGAN MENGGUNAKAN RELASI REKURSIF SKRIPSI Oleh : Muhaad Nu Huda NIM : 05000 Telah disetujui oleh : Dose Pebibig Usa Pagalay, M. Si. NIP. 50 37 40 Taggal 3 Maet 008 Megetahui Ketua Juusa Mateatia Si Haii, M. Si NIP. 05 38 3

MENENTUKAN NILAI LIMIT BARISAN KONTRAKTIF DENGAN MENGGUNAKAN RELASI REKURSIF SKRIPSI Oleh: Muhaad Nu Huda NIM. 05000 Telah Dipetahaa di Depa Dewa Peguji da Diyataa Diteia Sebagai Salah Satu Pesyaata Utu Mepeoleh Gela Sajaa Sais (S.Si) Taggal : Apil 008 Susua Dewa Peguji Tada Taga. Peguji Utaa : Abdussai, M.Pd NIP. 50 37 47 ( ). Ketua : Si Haii, M.Si NIP. 50 38 3 ( ) 3. Seetais : Usa Pagalay, M.Si NIP. 50 37 40 ( ) Megetahui da Megesaha Ketua Juusa Mateatia Si Haii, M.Si NIP. 50 38 3

MOTTO HIDUP adalah PERJUANGAN yag haus dieaga RINTANGAN yag haus dihadapi RAHASIA yag haus digali ANUGRAH yag haus dipeguaa HIKMAH yag haus diteua

Pesebaha Kaya ii Ku pesebaha epada Nee, Kae, Ibu da Ayahada teita Yag telah eyayagi da egasihiu setulus hati Sebeig ita da sesui do a. Kupesebaha epada O da tateu (Fathul Qoib, Quotul Aii) Seta adi-adiu tesayag (Siti Muaiah, Zul Baha) da eluaga besau yag teus edoogu utu teus aju

KATA PENGANTAR Assalau alaiu W. Wb. Segala puji bagi Allah SWT aea atas ahat, taui da hidayah-nya, peulis dapat eyelesaia peulisa sipsi sebagai salah satu syaat utu epeoleh gela Sajaa Sais (S.Si). Sholawat da sala seatiasa telipaha epada Nabi Muhaad SAW yag telah ebawa uat ausia dai duia egelapa da ebodoha euju duia yag peuh ahaya da eajua ilu pegetahua da teologi. Peulis eyadai bahwa baya piha yag telah bepatisipasi da ebatu dala eyelesaia sipsi ii. Utu itu, iiga do a da uapa teia asih yag sebesa-besaya peulis sapaia, utaaya epada:. Po. D. H. Ia Supayogo selau Reto Uivesitas Isla Negei Malag.. Po. Ds. Sutia B.S., SU, DS. selau Dea Faultas Sais da Teologi Uivesitas Isla Negei Malag. 3. Si Haii, M.Si. selau Ketua Juusa Mateatia Faultas Sais da Teologi Uivesitas Isla Negei Malag. 4. Usa Pagalay, M.Si. selau dose pebibig, aea atas bibiga, batua da esabaaya peulisa sipsi ii dapat teselesaia. 5. Ayah da ibuda teita yag telah ebeiu asih sayag, do a yag tulus seta duuga oal aupu ateial.

6. Adi-adiu tesayag (Siti Muaiah, Zul Baha) da eluaga besau yag teus edoogu utu teus aju. 7. Guuu, Doseu, tapau au taa bisa apa-apa da taa ada atiya. Sugguh egau pahlawa tapa tada jasa. 8. Saudaau (Hei, Lela, Ei) yag selalu bai hati, teiaasih atas ebesaaaya, Sahabatu (Wahid, Muslih, Fita, Evi, Ais, Diaa, Iul, Roya, Mubi, Lia) teia asih telah ebeiu waa dala hidupu, sehigga au tahu ati pesahabata da pesaudaaa, Tea-tea sepejuaga agata 00 yag telah ebeia duuga da pegalaa 9. Sahabat-sahabat PMII (Pegeaa Mahasiswa Isla Idoesia) hususya sahabat-sahabat Rayo Galileo, yag telah baya ebeia pegalaa da iluya utuu. 0. Seua piha yag telah ebatu dala peyelesaia sipsi ii. Seoga sipsi ii dapat beaaat da eabah ilu pegetahua bagi peulis hususya da pebaa uuya seta dapat ejadi ispiasi bagi pebaa yag igi egebaga ilu pegetahua. Wassalau alaiu W. Wb. 3 Maet 008 Peulis

DFTAR ISI Halaa MOTTO... i HALAMAN PERSEMBAHAN... ii KATA PENGANTAR... iii DAFTAR ISI... v ABSTRAK... vii BAB I PENDAHULUAN A. Lata Belag... B. Ruusa Masalah... 3 C. Tujua Peulisa... 3 D. Maaat Peulisa... 3. Bagi Peulis... 3. Bagi Pebaa... 3 3. Lebaga... 3 E. Batasa Masalah... 4 F. Metode Peulisa... 4 G. Sisteatia Peulisa... 5 BAB II KAJIAN TEORI A. Baisa... 6. Baisa Bilaga Riil... 6. Liit Baisa... 3. Baisa Tebatas... 6 4. Baisa Mooto... 3 5. Subbaisa... 4 B. Baisa Cauhy... 6 C. Baisa Kotati... 9

D. Relasi Reusi... 3 BAB III PEMBAHASAN A. Meetua Nilai Liit Baisa Kotati Megguaa Relasi Reusi... 37 BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesipula... 49 B. Saa... 50 DAFTAR PUSTAKA

ABSTRAK Huda, Muhaad Nu, 008. Meetua Nilai Liit Baisa Kotati Megguaa Relasi Reusi. Pebibig : Usa Pagalay, M.Si. Kata ui : Liit, Baisa otati, Relasi eusi Kosep dasa tetag liit baisa eupaa hal yag edasa dala aalisis ateatia. Feoea yag seig tejadi di dala eetua ilai liit suatu baisa adalah betu uu baisa tesebut sulit utu diuaia, isalya dala eetua ilai liit baisa otati yag eilii betu uu C, utu seua N, dega 0 < C <, C R. Pedeata peelitia yag diguaa adalah peilitia epustaaa atau studi leteatu. Peelitia dilaua dega aa egupula data da ioasi dega batua beaa-aa ateiil yag tedapat di pepustaaa. Pedeata ualitati, diguaa aea dala sipsi ii eousa pada posedu atau etode yag diguaa dala eetua ilai liit baisa otati. Data da ioasi yag sudah didapat aa diguaa utu eahai da egaji lebih dala tetag pegetia baisa otati seta posedu atau etode yag eudaha utu eetua ilai liit suatu baisa otati, yaitu dega egguaa elasi eusi. Adapu posedu didala eetua liit baisa otati dega egguaa elasi eusi adalah :. Mesubtitusia baisa utu epeoleh pesaaa aateisti.. Meai aa-aa aateisti dai psaaa aateisti. 3. Meetua solusi uu dilihat dai aa-aa aateisti yag dipeoleh. 4. Meliita betu solusi uuya. i

BAB I PENDAHULUAN A. Lata Belaag Dala ehidupa sehai-hai seig dijupai peasalaha yag beaita dega ateatia. Hal ii dapat dilihat dai bayaya peasalaha yag dapat diodela atau diaalisis egguaa ateatia. Oleh aea itu dipelua peahaa husus pada ateatia. Kosep ateatia tetag liit eupaa dasa dala eahai alulus dieesial, osep eovegea sebagai dasa aalisis, dipeeala elalui liit da baisa. Baisa bilaga eal adalah suatu ugsi dai hipua bilaga asli N e hipua bilga eal. (Batle da Shebet, 994: 67). Misal X ) adalah baisa bilaga eal. Suatu bilaga eal ( diataa liit dai X, jia utu asig-asig liguga dai V dai tedapat suatu bilaga asli K sehigga utu seua K, aa adalah aggota V. (Batle da Shebet, 994: 70). Di bidag bisis da eooi, teoi atau pisippisip baisa dapat di teapa utu egaalisis dala asus-asus yag eyagut peebaga da petubuha suatu ativitas bai itu ativitas di bidag idusti, euaga, biaya, haga ataupu pehituga petubuha pedudu. Di dala aalisis eal dieal aa-aa baisa salah satu di ataaya adalah baisa otati yag bebetu :

C, N Dega 0 < C < 0, bilaga C disebut ostata dai baisa otati ( ). (Batle da Shebet, 994: 04). Utu eetua ilai liit baisa otati biasaya saa dega eetua ilai liit seaa uu yaitu dega esubstitusia ilai yag sudah ditetua e betu uu baisa. Disii peasalaha yag seig tejadi di dala eetua liit sebuah baisa adalah jia betu uu baisa tesebut sulit diuaia atau diteua ilai liit yag bebetu ta tetu sepeti ilai liitya yag bebetu 0, 0. Jia diteua ilai liit tetetu aa dapat egguaa etode yag eghubuga dega tuua (atua L Hopital). Adaia ( ) li ( ) li aa li g ( ) ( ) li g ' ( ) ( ) ' (Puell, 003:7). Mesipu deiia tida seua asus dapat diselesaia dega atua L Hopital, di ataa otohya yag eilii betu ( ),. Utu eyelesaiaya pelu diguaa suatu etode yag husus yaitu dega eodelaya e dala betu elasi eusi, sehigga ilai liit dai baisa tesebut dapat dietahui dega lebih udah. Beagat dai lata belaag asalah di atas peulis tetai utu elaua peelitia dega judul Meetua Nilai Liit Baisa Kotati Megguaa Relasi Reusi.

B. Ruusa Masalah Bedasaa lata belaag di atas ada bebeapa aa osep da betu baisa, da etode utu eyelesaia peasalaha tetag baisa. Maa yag poo dala pebahasa ii adalah bagaiaa posedu utu eetua ilai liit suatu baisa otati egguaa elasi eusi? C. Tujua Peulisa Tujua dai peulisa ii adalah egetahui posedu utu eetua ilai liit baisa otati egguaa elasi eusi. D. Maaat Peulisa Adapu aaat dai peulisa ii adalah:. Bagi Peulis a. Mepeluas pegetahua tetag ajia ateatia hususya pada baisa.. Bagi Pebaa a. Meabah wawasa seta eigata pegetahua tetag ateatia hususya egeai atei baisa. b. Mepeluas aawala beii 3. Lebaga a. Hasil peulisa sipsi ii dihaapa dapat eabah baha epustaaa di lebaga hususya di Faultas Sais da Teologi

UIN Malag sehigga dijadia sebagai saaa pegebaga wawasa eilua teutaa bidag ateatia E. Batasa asalah Utu epeudah dala pebahasa ii, peulis ebatasi pada:. Baisa bilaga eal. Relasi eusi liea hooge dega oeisie ostata. F. Metode Peulisa Dala hal ii peulis egguaa etode peelitia epustaaa atau peelitia liteatu, yaitu peelitia yag dilaua dega aa egupula data da ioasi dega batua beaa-aa ateeal yag tedapat di dala uag pepustaaa, sepeti buu-buu, ajalah, dooe-doue, atata, da isah-isah sejaah (Madalis, 995: 8). Dai asig-asig liteatu dipilah euut ategoi tetetu da dipilih yag sesuai dega peasalaha yag diagat. Adapu lagah-lagah yag dilaua peulis di dala peelitia ii adalah sebagai beiut:. Megupula atei da ioasi dega aa ebaa da eahai liteatu yag beaita dega peasalaha yag diagat yaitu eetua ilai liit baisa otati dega elasi eusi.. Dega adaya jaiga ioasi beupa iteet, aa peulis juga egabil da epelajai atei yag beaita dega baisa.

3. Meilah atau eilih atei yag dipeoleh sehigga dapat diguaa utu egaalisis da ejawab uusa asalah. G. Sisteatia Peulisa Sipsi ii ditulis dega 4 bab yag salig eduug, yaitu bab I pedahulua, bab II ajia teoi, bab III pebahasa, da bab IV peutup. Bab I Bab II Bab III Bab IV : : : : Pedahulua. Diousa pada lata belaag, uusa asalah yag tedii dai poo peasalaha, tujua peulisa, aaat peelitia bagi peulis, bagi pebaa, da bagi lebaga, batasa asalah, etode peulisa seta sisteatia peulisa gua epeudah dala peulisa ii. Kajia Teoi. Beisi tetag seputa baisa bilaga eal, Baisa Chauhy, baisa otati, da elasi eusi. Pebahasa. Beisia uaia tetag otoh-otoh yag eupaa baisa otati da eetua ilai liitya dega egguaa elasi eusi. Peutup. Beisi tetag esipula dai eseluuha hasil pebahasa yag telah dilaua sesuai dega uusa asalah da juga beisi tetag saa teait dega topi pebahasa yag ada.

BAB II KAJIAN TEORI A. Baisa. Baisa Bilaga Real Deiisi Baisa bilaga eal (baisa di R) adalah suatu ugsi dega doai hipua bilaga asli N e hipua bilaga eal R da dapat Cotoh diotasia dega : N R. (Batle da Shebet, 994: 67) Dibeia ugsi X : N R yag dideiisia dega X ( ), N aa X adalah baisa di R. Deiia juga, ugsi Y : N R yag dideiisia dega Y ( ) 3, N Maa Y juga eupaa baisa di R. Dega ata lai dai deiisi di atas bahwa baisa di R adalah baisa yag dipeoleh dega eetaa atau easaga tepat satu bilaga asli N e bilaga eal R. Bilaga eal yag dipeoleh disebut aggota atau elee baisa, atau ilai baisa, atau suu baisa. Biasaya utu eujua elee R yag dipasaga pada beiut, a, atau z. N diguaa sibol sebagai

Jia X : N R, adalah baisa, aa usu dai X pada diotasia dega, tida diotasia dega X ( ). Sedaga baisa itu sedii diotasia dega X, ( ), atau ( N ). Dega deiia baisa X da Y pada otoh (), asig-asig dapat diotasia X ( N ) da Y ( N ) 3. Pegguaa tada uug ii ebedaa ataa otasi baisa X ( N ) dega hipua { N} X ( N ). Sebagai otoh jia ( ) adalah baisa yag usuya selag-selig ataa - da, yaitu (,,,,... ) X, sedaga jia X { ) N} usu-usuya adalah - da, yaitu {, } X. ( adalah hipua yag Utu edeiisia baisa, adag usu-usu dala baisa ditulis seaa beuuta, sapai uus utu baisa tesebut tapa. Pehatia otoh beiut : Cotoh Jia dietahui baisa (,4,6,8,... ) X yag eyataa baisa baisa bilaga asli geap, diaa salah satu uus uuya adalah : X ( N ) : 3 Deiia juga dega baisa X (,,,...) yag eyataa baisa 3 5 bilaga asioal dega salah satu uus uuya X : N.

Kadag ala, uus uu dai suatu baisa dapat diyataa seaa eusi atiya usu atau suu petaa isalya ditetapa telebih dahulu eudia dibeia suatu uus utu ( ) dega telah dietahui. Cotoh 3 Baisa bilaga asli geap dapat diyataa dega uus: atau dega :, ( ); ( );, Beiut ii aa dipeeala suatu aa yag petig dala ebuat baisa bau dai baisa yag telah dietahui. Deiisi Misala X ( ) da ( y ) Y adalah baisa bilaga eal. Julah dai baisa X da Y, yag diotasia dega dideiisia dega: X Y, adalah baisa yag X ( y N ) Y : (Batle da Shebet, 994: 69) Cotoh 4 Misala X ( 3 : N ) (,4,7,0,... ) da Y ( : N ) (,4,6,8,... ) aa X Y ( 3,8,3,8,... ) ( 5 : N ).

Deiisi 3 Misala X ( ) da ( y ) Y adalah baisa bilaga eal. Selisih dai baisa X da Y, yag diotasia dega dideiisia dega: X Y, adalah baisa yag X ( y N ) Y : Cotoh 5 Deiisi 4 Cotoh 6 (Batle da Shebet, 994: 69) Misala X ( : N ) ( 3,4,5,6,... ) da Y ( : N ) (,4,6,8,... ) aa X Y (,0,,,... ) ( : N ). Misala X ( ) da ( y ) dai baisa X da Y, yag diotasia dega dideiisia dega: ( y N ) X Y : (Batle da Shebet, 994: 69) Misala X ( 3 : N ) ( 3,6,9,,... ) Y adalah baisa bilaga eal. Pealia da Y ( : N ) (,3,4,5,... ) aa X Y ( 6,8,36,60,... ) ( 3 3 : N ). X Y, adalah baisa yag

Deiisi 5 Cotoh 7 Deiisi 6 Misala ( ) X adalah baisa bilaga eal da R. Kelipata dai baisa X da, yag diotasia dega X, adalah baisa yag dideiisia dega: ( N ) X : (Batle da Shebet, 994: 69) Misala ( 3 : N ) (,4,7,0,... ) X da aa X (,8,4,0,... ) ( 6 4 : N ). Misala X ( ) da ( y ) Y adalah baisa bilaga eal, dega X Y 0. Pebagia dai baisa X da Y, yag diotasia dega, Y adalah baisa yag dideiisia dega: X Y X : N Y (Batle da Shebet, 994: 69) Cotoh 8 Misala X ( 3 : N ) (,4,7,0,... ) da Y ( : N ) (,4,6,8,... ) X 7 0 3 aa,,,,... : N. Y 6 8

. Liit Baisa Deiisi 7 Cotoh 9 Misala R bilaga eal, jia a adalah V a) { R a } ε ( < ε. (Batle da Shebet, 994: 4) a R da ε > 0 aa liguga ε dai Jia a 4 da ε, tetua liguga dai 4. Jawab : { R 4 } V (4) < { R < 4 < } { R 3 < < 5} Deiisi 8 Misal X ) adalah baisa bilaga eal. Suatu bilaga eal ( diataa liit dai X, jia utu asig-asig liguga dai V dai tedapat suatu bilaga asli K sehigga utu seua K, aa adalah aggota V. (Batle da Shebet, 994: 70) Jia adalah liit dai baisa X, aa diataa bahwa X ) ovege e (epuyai liit ). Jia baisa epuyai liit aa baisa tesebut diataa ovege, begitu juga sebaliya jia baisa tida epuyai liit aa baisa tesebut diataa divege. Ketia baisa X ( ) epuyai liit di R aa diotasia sebagai beiut : (

li X atau li( ) yag adag-adag disibola dega, diaa edeati bilaga utu Teoea Buti :. Liit suatu baisa bilaga eal adalah tuggal. Misala X ) baisa bilaga eal. ( Adaia X epuyai lebih dai satu liit. Misala da adalah liit dai X, dega. Misala ' V adalah liguga dai da '' V adalah liguga dai. Pilih ε, aa V ' V '' φ Kaea liit dai X aa ada bilaga asli ' K sehigga jia ' K aa: V ' Kaea liit dai X aa ada bilaga asli '' K sehigga jia '' K aa: V '' Abil K as{ K ', K '' } Maa ' K K sehigga ' K V da '' K K sehigga K V '' Beati V ' V '' Jadi V ' V '' φ Hal ii otadisi dega V ' V '' φ

Beati pegadaia salah Tebuti bahwa X epuyai liit tida lebih dai satu. Pada pedeiisia liit suatu baisa bilaga eal, asih diguaa istilah liguga. Dega deiia, asih diasa sulit utu eujua bahwa suatu baisa bilaga eal adalah ovege. Beiut aa dibeia suatu teoea yag euivale dega deiisi liit baisa. Teoea ii aa epeudah utu eujua bahwa suatu baisa bilaga eal adalah ovege atau divege. Teoea Misal X ( ) adalah baisa bilaga eal da R beiut euivale. a. X ovege e.. Peyataa b. Utu setiap V liguga dai tedapat bilaga asli K sehigga utu seua K, aa adalah aggota V.. Utu setiap ε > 0 tedapat bilaga asli K sehigga utu seua K,aa ε < < ε. d. Utu setiap ε > 0 tedapat bilaga asli K sehigga utu seua K, aa < ε. (Batle da Shebet, 994: 7) Buti :. ( a b) Dietahui X ovege e

Abil sebaag V liguga dai Kaea V liguga dai, sesuai dega deiisi 3, aa tedapat bilaga asli K sehigga utu seua K, aa aggota V. Kaea V diabil sebaag, aa utu setiap V liguga dai tedapat bilaga asli K sehigga utu seua aggota V.. ( b ) Abil sebaag ε > 0 Misala V adalah liguga dai K aa adalah Beati ada bilaga asli K sehigga utu seua V beati ε < < ε K, aa Kaea ε > 0 diabil sebaag beati utu setiap ε > 0 tedapat bilaga asli K sehigga utu seua K, aa ε < < ε. 3. ( d ) Abil sebaag ε > 0 Beati ada bilaga asli K sehigga utu seua V Kaea V beati ε < < ε. K, aa Kaea ε < < ε aa < ε

Kaea ε > 0 diabil sebaag beati utu setiap ε > 0 tedapat bilaga asli K sehigga utu seua K, aa < ε. 4. ( d a) Misala V sebaag Liguga dai Kaea ε > 0, beati ada bilaga asli K sehigga utu seua K, aa < ε < ε beati ε < < ε Beati bahwa utu seua K, aa ε < < ε Jadi V. Sesuai dai deiisi beati X ovege e. Cotoh 0 Tujua bahwa li 3 3 Jawab : Utu eujua li 3 3, Misal utu sebaag ε > 0, aa > 0 ε Kaea > 0, aa tedapat bilaga asli K dega ε K >. ε Jia K aa dipeoleh K, aa > ε

> ε < ε 3 3 < ε 3 3 < ε Kaea ε > 0, aa tedapat bilaga asli K sehigga utu seua K aa 3 3 < ε Sesuai dega teoea (d), tebuti bahwa li 3 3 3. Baisa Tebatas Deiisi 9 Misal X ) adalah baisa bilaga eal, X diataa tebatas jia ada ( bilaga eal M > 0 sedeiia higga M utu seua N. (Batle da Shebet, 994: 78) Bedasaa deiisi, aa baisa X ) tebatas jia da haya jia hipua { N} Cotoh 6 ( : dai baisa X tebatas di R. 3 Misala X,,,...,,.... 3 4

X tebatas aea ada bilaga eal sehigga, Teoea 3 Buti utu seua N. Baisa bilaga eal yag ovege adalah tebatas. (Batle da Shebet, 994: 78) Misal X ( : N) adalah baisa bilaga eal da li( ) Pilih ε Maa ada K N sehigga utu seua K belau <. Dega etasaaa segitiga dipeoleh <, utu seua K Pilih as{,,...,, } M, 3 Maa dipeoleh bahwa M utu seua N. Teoea 4 Buti: Tebuti, jia X ovege aa X tebatas. ( ( Misal X ) da Y y ) adalah baisa bilaga eal yag asigasig ovege e da y. Maa pejulaha dai baisa X da Y yag diotasia dega XY ovege e y. (Batle da Shebet, 994: 78) Abil ε > 0 sebaag

Maa ada K, K N sehigga utu seua K belau ε < da utu seua K belau y y ε < pilih K as K, K } aa utu { K dipeoleh ( y ) ( y) y y ε ε < ε Kaea ε > 0 diabil sebaag aa disipula bahwa XY ovege e y. Teoea 5 Buti: ( ( Misal X ) da Y y ) adalah baisa bilaga eal yag asigasig ovege e da y. Maa selisih dai baisa X da Y yag diotasia dega X-Y ovege e -y. (Batle da Shebet, 994: 78) Abil ε > 0 sebaag Maa ada K, K N sehigga utu seua K belau

ε < da utu seua K belau y y ε < Pilih K as K, K } Maa utu { K dipeoleh ( y ) ( y) y y y y ε ε < ε Kaea ε > 0 diabil sebaag, aa disipula bahwa X-Y ovege e -y. Teoea 6 ( ( Misal X ) da Y y ) adalah baisa bilaga eal yag asigasig ovege e da y. Maa pealia dai baisa X da Y yag diotasia dega XY ovege e y. (Batle da Shebet, 994: 78) Buti: y y ( y y) ( y y) ( y y) y( )

y y y Kaea X ovege aa X tebatas. Jadi ada bilaga eal M > 0 sehigga M, utu seua N. Pilih M as{ M, y } Dipeoleh y y M y y M Abil ε > 0 sebaag Maa ada K, K N sehigga utu seua K belau ε < M da utu seua K belau ε y y < M Pilih K as K, K } Maa utu { K dipeoleh y y M y y M < M ε M M ε M ε Kaea ε > 0 diabil sebaag, aa disipula bahwa XY ovege e y.

Teoea 7 Buti : Misal X ) adalah baisa bilaga eal yag ovege e. Dega ( R. Maa pealia sala dega baisa X yag diotasia dega X ovege e. (Batle da Shebet, 994: 78) Misal Y ( : N ) (,,,... ) Maa Y eupaa baisa osta yag ovege e y Teoea 8 Sesuai dega teoea (6), aa baisa YX ovege e y. Jadi baisa X ovege e. Misal X ) adalah baisa bilaga eal yag ovege e. Jia ( ) z ( Z baisa bilaga eal ta ol yag ovege e z 0, aa pebagia dai baisa X da Z yag diotasia dega Z X ovege e z. (Batle da Shebet, 994: 78) Buti : Aa ditujua bahwa baisa ( z ) ovege e z Kaea li ( z ) z, aa ada bilaga asli K sehigga utu seua K belau

z z < a a < z z z z < a, K Maa a < z z z z a, utu seua K < Sehigga dipeoleh z z a z, utu seua K. Jadi <, utu seua K. z z Dega deiia z z z z z z z z z z < z z z abil ε > 0 sebaag Maa ada K N sehigga utu seua K belau z z < ε z Pilih K as{ K, K }, aa utu seua K belau z z < ε Kaeaε > 0 aa dapat disipula bahwa ovege e Z z

Dega deiia, sesuai dega teoea (7) aa X X ovege e Z Z z z 4. Baisa Mooto Deiisi 0 Misal ( ) adalah baisa bilaga eal. Baisa ( ) diataa baisa ooto ai, jia, N Cotoh (Batle da Shebet, 994: 87) 3 Misala ( ), N 3 Sehigga ( ),,,...,,... N 7 0 6 8 Deiisi 7 0 3 Kaea < < 3 <... < <... 6 8 aa ( ) eupaa baisa ooto ai. Misal ( ) adalah baisa bilaga eal. Baisa ( ) diataa baisa ooto tuu, jia, N (Batle da Shebet, 994: 87)

Cotoh 3 Misala ( ), N,,,..., 5 0 Sehigga ( ),..., N Kaea > > 3 >... > >... 5 0 aa ( ) eupaa baisa ooto tuu. 5. Subbaisa Beiut ii aa dieala deiisi suatu subbaisa dai baisa bilaga eal. Deiisi dai subbaisa ii seig diguaa utu eetua eovegea da edivegea dai suatu baisa. Deiisi Cotoh 4 Misal ( ) X adalah baisa bilaga eal, da <...... baisa bilaga asli ooto ai. Maa X ( ) (Batle da Shebet, 994: 94) Jia ( ), N R 3,4,5,6,...,,..., N Tetua subbaisa dai ( ) < < ' disebut subbaisa dai X.

Jawab: 3 ( ),,,...,,... R 3,4,5,6,.. Misala Y adalah subbaisa dai ( ) aa: Y,,,... 3, 4, 5, 6... 3, 3, 4,..., 5,... adalah subbaisa dai ( ). Teoea 9 Misal ( ) baisa bilaga eal da R. Jia ( ) ovege e bilaga eal, aa sebaag subbaisa dai ( ) juga ovege e. (Batle da Shebet, 994: 94) Buti : Misal ( ) sebaag subbaisa dai ( ) Aa dibutia bahwa: li( ) yaitu ε > 0 K N < ε, K Abil ε > 0 sebaag aa K N < ε, K Dietahui, N Jia K aa K sehigga belau < ε, K Jadi ( ) ovege e.

B. Baisa Cauhy Deiisi 3 Misala ( ) baisa bilaga eal. ( ) disebut baisa Cauhy jia utu setiap ε > 0 ada K N sehigga jia, N da, K aa < ε (Batle da shebet,994: 00) Seaa siboli deiisi tesebut dapat ditulis dega: ( ) baisa Cauhy ε > 0 K N < ε,, K. Teoea 0 Jia ( ) baisa bilaga eal yag ovege aa ( ) baisa Cauhy. (Batle da shebet,994: 00) adalah Buti : Misala ( ) ovege e aa ε Abil ε > 0 sebaag, aea ε > 0 aa 0 > Sehigga ε K N <, K Jia, K aa ε < da ε <

ε ε < ε Jadi ε > 0 K N < ε,, K Teoea Setiap baisa Cauhy pada bilaga eal adalah tebatas (Batle da shebet,994: 0) Buti : Misala ( ) sebaag baisa Cauhy. Abil ε aa K N <,, K <,, K <,, K,, K Pilih,, K K aa dipeoleh, K K Pilih as{,,..., K, } L aa belau, 3 K

L, N Sehigga tebuti bahwa setiap baisa Cauhy adalah tebatas Teoea Setiap baisa Cauhy pada bilaga eal adalah ovege (Batle da shebet,994: 0) Buti : Abil ( ) sebaag baisa Cauhy Meuut teoea () bahwa setiap baisa Cauhy adalah tebatas aa ( ) epuyai sub baisa isala ( ) Aa dibutia bahwa ( ) ovege e yag ovege sebut e Abil ε > 0 Kaea ε > 0 Cauhy aa ε K N <,, K Kaea ( ) ovege e aa Pilih as{ } K K, K aa: K N ε <, K Jia, K aa ε < da ε <

ε ε < ε Jadi ε > 0 K N < ε, K Cotoh 5 Jawab : Dega deiia tebuti bahwa setiap baisa Cauhy adalah ovege. 3, tujua bahwa baisa Cauhy. Misala ( ) Kaea telah dibutia bahwa ( ) ovege, aa sesuai dega teoea (0), 3 adalah baisa Cauhy. C. Baisa Kotati Deiisi 4 Cotoh 6 Baisa ( ) diataa beisa otati jia tedapat ostata C dega 0 < C < 0, sehigga belau, C N (Batle da Shebet, 994: 04) 3 Misal baisa ( ). da 0 < <, N. Tujua bahwa 7 adalah baisa otati.

Jawab: 3 ( ) ( 3 ) 7 7 3 3 7 7 7 3 3 Kaea 0 <, aa sehigga < 7 < < 3 7 <. Teoea 3 Buti : Jadi adalah baisa otati dega 3 C. 7 Setiap baisa otati ( ) eupaa baisa Cauhy da ovege. (Batle da Shebet, 994: 04) Misal baisa ( ) adalah baisa otati aa utu suatu C, 0<C< belau C C

3... C C C Selajutya aa dibutia baisa otati adalah baisa Cauhy. Utu > aa :... Dega etasaaa segitiga dipeoleh... Dai baisa otati didapata C 3 C C Maa ( ) 3... C C C ( )... C C C Dega egguaa uus julah deet geoeti diaa C a da C aa dipeoleh: C C C Kaea 0 < < C da > aa, C C

Kaea 0 < < C da bahwa li ( ) 0 Misala diabil ε > 0 aa C, aa C < δ., N belau C < ε C beati bahwa ( ) eupaa baisa Cauhy. Kaea baisa otati eupaa baisa Cauhy, sedaga setiap baisa Cauhy adalah ovege, aa baisa otati pasti ovege. D. Relasi Reusi Relasi eusi adalah suatu topi petig da eai dala obiatoi. Baya peasalaha dala ateatia, hususya obiatoi dapat diodela e dala betu elasi eusi. Suatu baisa dideiisia seaa eusi jia odisi awal baisa ditetua, da suu-suu baisa selajutya diyataa dala hubugaya dega sejulah suu-suu yag sudah diyataa sebeluya. Deiisi 5 Misal N, elasi eusi liea dega oeisie ostata ode dapat ditulis dala betu... ( 0 ) diaa,,..., 0, ostata da ( ) suatu ugsi dala, 0. Jia pesaaa ( ) 0 ode da jia ( ) 0 (Sutao, 005: 50), aa disebut elasi eusi liea hooge disebut elasi eusi ta hooge ode.

Cotoh 7 3 adalah sebuah elasi eusi liie ode dega oeisie ostata. 3 5 5 adalah sebuah elasi eusi liie ta hooge ode dega oeisie otata. Solusi dai elasi eusi adalah sebuah baisa p, p R. Sebuah ( P ) disebut solusi esplisit pesaaa... 0, 0 pada iteval I, jia ( P ) tedeiisi pada I da bila disubtitusia utu e dala... 0 eeuhi pesaaa tesebut utu 0 setiap dala iteval I.. Teoea 4 Misal, R da jia dibeia ( ) p da ( q ) dua solusi dai pesaaa... 0 A, B R aa S, diaa 0 s A p p p... p ) B( q q q... q ), N ( juga solusi... 0 (Sutao, 005: 5) 0 Buti : Misal jia ( p ) da ( q )... 0 aa 0 baisa bilaga eal, dua solusi dai pesaaa

0 p p... p p 0 q q... q q pesaaa pesaaa 0 p p p... p diali dega A da 0 q q q... q diali dega B sehigga di dapat A B aa... A 0 p A p A p p... B 0 q Bq Bq q 0 0 S A( p p p... p ) B( q q q... q ) ( A p A p... A p ) ( B0q Bq... 0 B q ( Ap Bq ) ( Ap Bq )... ( Ap 0 Bq ) ) S S... 0 S S aateisti. 0 S Jadi { s } adalah solusi dai elasi eusi. Selajutya aa dibahas peasalaha eai ( p ) dega pesaaa isal, R utu i,,3,..., da adalah sebaag bilaga, i i N,, 0, aa pesaaa ejadi... 0 0

0... o apabila dibagi dega dipeoleh 0... 0 disebut pesaaa aateisti dai 0... 0 da dai pesaaa 0... 0 dipeileh ilai...,,,, 3 yag disebut aa-aa pesaaa aateisti. Teoea 5 i. Jia pesaaa 0... 0 eilii aa-aa pesaaa aateisti yag bebeda,...,,, 3, aa { } p adalah solusi utu sebaag ostata R A A A A,...,,, 3 sedeiia sehigga solusi uuya adalah ( ) ( ) ( ) ( ),...,,3,... 3 3 A A A A p ii. Jia pesaaa 0... 0 eilii aa-aa aateisti yag saa,..., 3 aa { } p adalah solusi utu sebaag ostata R A A A A,...,,, 3 sedeiia higga solusi uuya ( ) ( ) ( ) ( ),...,,3,... 3 3 A A A A p iii. Jia pesaaa 0... 0 eilii aa-aa pesaaa yag oples, isal i β α da β α ( ) ( ) i B i A p β α β α

( osθ i siθ ) B( osθ ai siθ ) A A ( os θ i si θ ) B ( os θ i si θ ) ( Aos θ Aisi θ ) ( B os θ Bi si θ ) (( A B)os θ i( A B) si θ ) aa solusi uuya adalah p ( C θ ic si θ ) C A B, C i( A B). (Sutao, 005: 53) os diaa

BAB III PEMBAHASAN A. Meetua Nilai Liit Baisa Kotati Megguaa Relasi Reusi Adapu lagah-lagah utu eetua ilai liit baisa dega egguaa elasi eusi adalah:. Subtitusia utu epeoleh pesaaa aateisti... 0. 0. Meetua aa-aa aateisti dai pesaaa aateisti... 0. 0 3. Meetua betu solusi uuya dilihat dai aa-aa aateisti yag dipeoleh yaitu : Jia eilii aa-aa pesaaa aateisti yag bebeda,, 3,,,3,...,..., aa ( ) P adalah solusi utu sebaag ostata A, A, A3,..., A R sedeiia sehigga solusi uuya 3 3 adalah p A ( ) A ( ) A ( )... A ( ),,,3,... Jia eilii aa-aa aateisti yag saa 3...,,,3,... aa ( P ) adalah solusi utu sebaag ostata A, A, A3,..., A R sedeiia higga solusi uuya p A ( ) A ( ) A ( )... A ( ),,,3,... 3 3

4. Meetua ilai eovegeaya dega eliita betu solusi uuya. Selajutya aa dibeia otoh-otoh baisa, eudia aa ditujua bahwa baisa tesebut adalah baisa otati da eai ilai liit baisa otati egguaa elasi eusi. Cotoh Jawab : Misal 0 < < α, baisa ( ) dega ( α ) tujua bahwa ( ) adalah baisa otati? tetua liitya jia dietahui 0,, da 0 <? ( α ( α ) ) ( α ( α ) ) ( α ) ( α ) α α α,, α ( α ) aea, da 0 < aa α ( ) Jadi ( ) adalah baisa otati dega ( α ) C. Keudia ( ) bisa ditapila dala betu elasi eusi dega lagah-lagah :

. Substitusia sehigga dipeoleh pesaaa aateisti α ( α ) adalah α ( α ) apabila dibagi dega aa dipeoleh α ( α ) atau α ( α ) 0. Dai pesaaa α ( α ) 0 aateistiya yaitu : dipeoleh aa-aa pesaaa, α ± α ± ( α ) 4( α ) ( α ) Jadi aa-aa aateistiya adalah da ( α ) 3. Kaea aa betu solusi uuya adalah ( ), 0,,,... p α utu eai da, isal p 0 0 da p aa dipeoleh siste pesaaa yag bebetu 0 ( ) α sehigga dipeoleh : ( α ) 0 α 0 α

eudia di substitusia e solusi uuya, aa dipeoleh. ( α ) 0 0 p α α α ( ) 4. Selajutya aa ditetua ilai ovegesiya dega eliita solusi uu di atas yaitu : ( α ) 0 0 li p li li α α ( α ) aea < sehigga 0 0 li α α α aa li ( α ) 0 ( α ) ( α ) li p ( α ) 0 α 0 α ( 0) ( α ) 0 α Jadi ilai liit dai ( ) ( α ) 0.` α α α, adalah Cotoh Misal bilaga Fiboai,,... dideiisia seaa eusi dega, 3 :,,, tetua ilaiya?. Tujua li ada, da

Jawab : aea baisa ai aa ( ) 0 atau dega disubstitusia e di dapat dega idusi ateati di dapat 3 baisa, eupaa baisa otati dega C, jadi li ada (ovege).

Nilai liit, dapat di tetua egguaa elasi eusi dega lagah-lagah sebagai beiut :. Substitusia sehigga dipeoleh pesaaa aateisti adalah apabila dibagi dega aa dipeoleh atau 0. Dai pesaaa 0 dipeoleh aa-aa pesaaa aateistiya yaitu :, ± ± () 4() 5 Jadi aa-aa aateistiya adalah 5 da 5 3. Kaea aa betu solusi uuya adalah 5 5 p,,,... utu eai da, isal p da 3 p aa dipeoleh siste pesaaa yag bebetu 5 5

6 5 6 5 4 4 3 dipeoleh 8 5 5 da 3 8 5 3 9 5. 7 5 Keudia, disubstitusia e pesaaa uuya sehigga dipeoleh : p 8 5 3 8 5 5 5 3 9 7 5 5 5 4. Selajutya aa ditetua ilai ovegesiya dega eliita solusi uu di atas yaitu : li p 8 5 li 3 8 5 5 5 3 9 li 7 5 5 5 8 5 3 8 5 li 5 5 3 9 7 5 li 5 5 aea 5 li 0 5 da li 0 aa li p 0 jadi ilai liit, adalah 0.

Cotoh 3 Jawab : 3 Misal 0 da, 0 3 ovege, da tetua ilai liitya?, butia bahwa ( ) Utu ebutia bahwa ( ) eilii liit, diguaa elasi eusi sehigga di dapat 3 3 3 3 3( ) ( 3 )( 3 ) 3 Baisa ( ) eupaa baisa otati dega Keudia di iteasia da di dapat. 3 3 0 3.4 dietahui utu 0,,,3,..., jia ( ) eilii liit, isal li,, sehigga dapat ditetua ilai liit 3, 3 0 dega elasi euesi didapat pesaaa

3 3 3 0 jadi adalah solusi positi dai pesaaa uadat sehigga dipeoleh ( 3) 3 Jadi ilai liit, 0 3 adalah ( 3). Cotoh 4 Jawab : Misal baisa ( ) dega ( ) yag ovege e,, tujua bahwa ( ) adalah baisa otati da tetua liitya jia dietahui 0, da 0 <? ( ) ( ) Kaea 0, da 0 < Sehigga

Jadi ( ) adalah baisa otati dega C. Kaea ( ) bisa ditapila dala betu elasi eusi aa :. Subsitusia sehigga dipeoleh pesaaa aateisti ( ) adalah apabila dibagi dega aa dipeoleh atau 0.. Dai pesaaa 0 dipeoleh aa-aa pesaaa aateistiya yaitu : 0 ( ) 0 Jadi aa-aa aateistiya adalah da. 3. Kaea aa betu solusi uuya adalah P,,,3,... Utu eai da, isal p 0 da p aa dipeoleh siste pesaaa yag bebetu

yag epuyai solusi da 3 5 eudia di 3 subsitusia e solusi uuya, aa dipeoleh p 5 3 3. 4. Selajutya aa ditetua ilai ovegesiya dega eliita solusi uu di atas yaitu : li P 5 li 3 3 5 li li 3 3 5 li 3 3 5 3 5 3 Jadi ilai liit dai ( ) (0) 3 5, ( ), N adalah 3 Cotoh 5 Misal ( ) sebuah baisa bilaga eal dega 0, 0 butia ( ) epuyai liit da tetua ilaiya?

Jawab : Abil ( ) ( ), pesaaa ( ) epuyai solusi pada iteval 0 < <, dibeia dega ' p. ( ) < ( ) 4 utu 0 < <, aa ditujua utu, p ( ) ( p) 4 p Dega iteasi dipeoleh p 4 p 4 p Jadi baisa ( ) epuyai ilai liit

BAB IV PENUTUP A. Kesipula Suatu baisa eal ( ) diataa baisa otati jia tedapat ostata C, dega 0 < C < sehigga belau, C, N. Utu eetua ilai liit suatu baisa otati dapat egguaa elasi eusi. Relasi eusi liie dega oeisie ostata ode dapat ditulis dala betu 0... ( ), diaa 0,,,..., ostata da 0, ugsi diset da () suatu ugsi tehadap, 0. Jia ( ) 0 aa disebut elasi eusi hooge ode da jia ( ) 0 disebut elasi eusi ta hooge ode Nilai liit baisa otati dapat ditetua dega etode elasi eusi yag aa solusi uu dai elasi eusi eupaa uus uu suu e- baisa otati. Adapu lagah-lagah utu eetua ilai liit baisa otti dega egguaa elasi eusi adalah :. Subsitusis edala betu elasi eusi hooge utu epeoleh pesaaa aateisti.. Meai aa-aa aateisti dai pesaaa aateistiya.

3. Meetua betu solusi uuya dilihat dai aa-aa aasteisti yag dipeoleh. 4. Meetua ilai ovegesiya dega eliita betu solusi uuya. B. Saa Peulis saaa epada pebaa hususya bagi ahasiswa juusa ahasiswa juusa ateatia aga egebaga ajia tetag eovegea pada baisa, hususya dala eetua ilai liit baisa otati egguaa elasi eusi ta hooge aea sipsi ii haya tebatas pada elasi eusi liie hooge ooisie ostata.

DAFTAR PUSTAKA Batle, R.G ad Shebet, D.R. 98. Itodutio to Real Aalysis, d ed. New Yo: Joh Wiley ad sos. Flethe P. Hoyle H, Waye, C. P. 99. Fudatio o Disete Matheati. Bosto: Pws Ket Publishig Copay. Hutahaea, Eedi. 989. Aalisis Real II. Jaata: Peebit Kauia Uivesitas Tebua. Hutahaea, Eedi. 994. Sei Mateatia Fugsi Riil. Badug: Peebit ITB Liu, G. L. Dasa-dasa ateatia diset, edisi edua. Jaata: Gaedia. Madalis. 995. Metode Peelitia Suatu Pedeata Poposal. Jaata: PT Asaa. Puell, Edwi J. 003. Kalulus Jilid. Jaata: Peebit Elagga. Siag, Jog Je. 00. Mateatia Disit da Apliasiya Pada Ilu Kopute. Yogyaata: Adi. Soeati, R. 993. Matei Poo Aalisis Real I. Jaata: Peebit Kauia Uivesitas Tebua. Sutao, Hei, d. 005. Mateatia Disit. Malag: UM Pess.