BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA Pada Bab sebelumya kita telah mempelajari beberapa ukura pemusata data, yaitu ukura yag memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat Pada bagia Bab ii kita aka mempelajari ukura peyebara data Ukura ii diguaka utuk megetahui variasi atau dispersi data, yaitu derajat peyebara data terhadap rata-rata Diatara ukura peyebara yag serig diguaka adalah rage, rata-rata deviasi, rage semiiterkuartil, rage percetil 10-90, da stadar deviasi 41 Rage Rage atau jagkaua suatu kelompok data didefiisika sebagai selisih atara ilai terbesar da ilai terkecil, yaitu rage := ilai terbesar ilai terkecil Cotoh 411 Rage atau jagkaua kumpula data 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12 adalah 12-2 = 10 Di sii 12 adalah ilai terbesar da 2 adalah ilai terkecil Utuk data dalam betuk tabel distribusi frekuesi, rage dihitug dega dua pedekata berikut, yaitu: a selisih atara tada kelas pada iterval kelas teratas da tada kelas pada iteval kelas teredah b selih atara batas atas kelas pada iterval kelas teratas da batas bawah pada iteval kelas teredah Cotoh 412 Diperhatika tabel distribusi berikut 1
Statistika Dasar by JHeradi 2 Kelas Tada Kelas (X) Frekuesi (f) 60-62 61 5 63-65 64 18 66-68 67 42 69-71 70 27 72-74 73 8 f = 100 Rage dihitug berdasarka kedua pedekata ii adalah: a Metoda 1: rage = 73-61 = 12 b Metoda 2: rage = 745-595 = 16 42 Rata-rata deviasi Pada Bab III telah didefiisika deviasi atau peyimpaga suatu data terhadap rata-rata Jumlah semua deviasi data terhadap rata-rata berilai ol Pada bagia ii simpaga data terhadap rata-rata diambil sebagai ilai mutlakya, yaitu X j X Jadi simpaga mutlakya tidak perah egatif Selajutya, rata-rata deviasi didefiisika sebagai rata-rata deviasi (RD) := 1 N X j X j=1 Cotoh 421 Diketahui data 2, 3, 6, 8, 11 Maka rata-rata deviasiya dihitug sebagi berikut: Selajutya, RD = x = 1 (2 + 3 + 6 + 8 + 11) = 6 5 2 6 + 3 6 + 6 6 + 8 6 + 11 6 5 = 4 + 3 + 0 + 2 + 5 5 = 28 Bila pada kumpula data tersebut terdapat f 1 data berilai X 1, sebayak f 2 berilai X 2, da seterusya terdapat f k berilai X K maka rata-rata deviasi dapat dihitug dega cara berikut: RD = 1 N K f j X j X j=1 43 Deviasi kuartil Deviasi kuartil atau retag semi-iterkuartil didefiisika sebagai DK := Q 3 Q1 2
Statistika Dasar by JHeradi 3 dimaa Q 1 da Q 2 masig-masig kuarti ke 1 da kuartil ke 3 Ada juga ukura peyebara yag disebut retag persetil 10-90, yaitu RP10-90 := P 90 P 10 44 Deviasi stadar da variasi Iilah kedua ukura peyebara data yag palig serig diguaka da palig jelas iterpretasiya Deviasi stadar atau simpaka baku didefiisika sebagai S := j=1 (X i X) 2 Kadagkala, simpaga baku didefiisika dega megguaka pembagi 1 buka seperti diatas, yaitu: S := j=1 (X i X) 2 1 Formula kedua diguaka utuk sampel, sdegaka formula sebelumya diguaka utuk populasi atau sampel yag berukura cukup besar Pejelasa teoritis megeai kedua formula ii aka dibahas pada statistika matematika Kuadrat dari simpaga baku disebut variasi Jadi variasi didefiisika sebagai: var := S 2 j=1 = (X i X) 2 Argume yag sama utuk pembagiya megguaka 1 Dega mudah dapat dibuktika bahwa S 2 = X 2 (X) 2 45 Sifat-sifat deviasi stadar 1 Jumlah deviasi kuadrat terhadap bilaga a didefiisika sebagai (X i a) 2 j=1 j=1 (X i X) 2 Jumlah ii aka mejadi miimum jika diambil a := X Jadi deviasi stadar s := merupaka akar dari rata-rata jumlah kuadrat deviasi (simpaga) miimum 2 Utuk data berdistribusi ormal, deviasi stadar dapat diguaka utuk megetahui peyebara data, yaitu:
Statistika Dasar by JHeradi 4 Gambar 41: Jarak 1 deviasi stadar dari mea Gambar 42: Jarak 2 deviasi stadar dari mea a 6827% data tersebar diatara X s da X + s b 9545% data tersebar diatara X 2s da X + 2s c 9973% data tersebar diatara X 3s da X +3s Terlihat pada Gam- Gambar 43: Jarak 3 deviasi stadar dari mea bar 43 bahwa jika suatu kumpula data membetuk distribusi ormal maka hampir semua data tersebar pada retag 6 deviasi stadar 3 Bila ada dua kelompok data, masig-masig berukura 1 da 2 dega variasi S 2 1 da S 2 2 da diasumsika keduaya mempuyai rata-rata yag
Statistika Dasar by JHeradi 5 sama maka variasi gabuga kedua kelompok data ii diberika oleh S 2 = 1S 2 1 + 2 S 2 2 1 + 2 4 Teorema Chebyshev megataka bahwa utuk k > 1, palig tidak ada (1 1 ) 100% data terletak diatara X ks da X + ks Utuk k = k 2 2 maka lebih dari(1 1 ) 100% = 75% data terletak di dalam iterval 4 [X 2s, X + ks] Pada teorema ii tidak disyaratka bahwa data harus berdistribusi ormal seperti pada sifat 2 di atas Utuk data yag telah tersaji dalam distribusi frekuesi, maka deviasi stadarya dihitug berdasarka rumus: s := fx 2 ( fx ) 2 dimaa X adalah tada kelas Cotoh 451 Diperhatika data 32 113 70 60 84 114 31 58 86 102 113 79 86 24 40 44 42 54 71 25 42 116 68 30 63 121 74 77 77 100 51 31 61 28 26 47 54 74 57 35 77 80 125 105 61 102 45 115 36 52 58 24 24 39 40 95 99 54 35 31 77 29 69 58 32 49 118 44 95 65 71 65 74 122 99 Dega megguaka peritah pada excel maka diperoleh beberapa ukura peyebara berikut: rata-rata deviasi(avedev)=2442 deviasi stadar(stdev)=292563 variasi sampel(var)=855932 variasi populasi(varp)=84452 Utuk melihat bagaimaa pola data ii meyebar, kita buat tabel distribusi da histogram dega ukura kelas S 30 da X 66 Diperoleh Tabel da gambar berikut Kelas Frekuesi (f) 6-36 16 37-66 25 67-96 19 97-126 15 total 75
Statistika Dasar by JHeradi 6 Gambar 44: Histogram dega ukura kelas deviasi stadar Diperhatika bayakya data yag terletak diatara X S da X + S adalah sebayak 25 + 19 = 44 data atau sekitar 58% data Kemudia, semua data terletak diatara X 2S da X + 2S Fakta ii tidak bertetaga dega sifat 2 diatas karea data kita tidak persis ormal Sedagka teorema Chebyshev terpeuhi Satu lagi iformasi yag dapat diketahui melalui deviasi stadar adalah semaki kecil deviasi stadar semaki bayak data yag megumpul di sekitar rata-rata 46 Skor Z atau ilai stadar Misalka kumpula data X i mempuyai rata-rata X da deviasi stadar S maka Z i yag didefiisika sebagai Z i := X i X S disebut skor Z atau ilai stadar dari X i Cotoh 461 Diperhatika kembali data pada cotoh di atas Nilai stadar dari data 70 adalah 70 6565 = 01486 Semaki dekat ilai data ke ilai ratarataya maka semaki dekat ke ol ilai stadarya Dalam bebebrapa kebu- 29253 tuha aalisis data diperluka utuk metrasformasi data ke dalam ilai stadarya Soal-soal Latiha 1 Utuk data pada cotoh 451, tetuka bayak data yag terletak pada retag:
Statistika Dasar by JHeradi 7 a X ± RD b X ± DK 2 Soal latiha 44 3 Soal latiha 411 4 Soal latiha 412 5 Soal latiha 414 6 Soal latiha 417 7 Soal latiha 442 8 Soal latiha 457 9 Soal latiha 463 10 Soal latiha 482