. FUNGSI KUADRAT A. Persamaan Kuadrat 1) Bentuk umum persamaan kuadrat : ax + bx + c =, a ) Akar akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus: x 1, b D, D = b 4ac a 3) Jumlah, selisih dan hasil kali akar akar persaman kuadrat Jika x 1, dan x adalah akar akar persamaan kuadrat ax + bx + c =, maka: a) Jumlah akar akar persamaan kuadrat : x 1 x a b b) Selisih akar akar persamaan kuadrat : D x 1 x, x 1 > x a c) Hasil kali akar akar persamaan kuadrat : x 1 x d) Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan jumlah dan hasil kali akar akar persamaan kuadrat c a a. 1 x ( 1 1 x x = x x ) ( x ) b. 3 3 1 x 3 ( 1 1 1 x x = x x ) 3( x x )( x ) Catatan: Jika koefisien a dari persamaan kuadrat ax + bx + c =, bernilai 1, maka 1. x 1 + x = b. x x D 1 3. x 1 x = c 4) Nilai determinan persamaan kuadrat : D = b 4ac 5) Pengaruh determinan terhadap sifat akar: a) Bila D >, maka persamaan kuadrat memiliki akar real yang berbeda b) Bila D =, maka persamaan kuadrat memiliki akar real yang kembar dan rasional c) Bila D <, maka akar persamaan kuadrat imajiner (tidak memiliki akar akar)
B. Pertidaksamaan Kuadrat 1) Bentuk BAKU pertidaksamaan kuadrat adalah ax + bx + c, ax + bx + c, ax + bx + c <, dan ax + bx + c > Adapun langkah penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut: 1. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk baku (jika bentuknya belum baku). Cari nilai pembentuk nolnya yaitu x 1 dan x (cari nilai akar akar persamaan kuadratnya) 3. Simpulkan daerah himpunan penyelesaiannya: No Pertidaksamaan Daerah HP penyelesaian Keterangan a > b + + + + + + x 1 x Hp = {x x < x 1 atau x > x 1 } + + + + + + x 1 x Hp = {x x x 1 atau x x 1 } Daerah HP (tebal) ada di tepi, menggunakan kata hubung atau x 1, x adalah akar akar persaman kuadrat ax + bx + c = c < d + + + + + + x 1 x Hp = {x x 1 < x < x } + + + + + + x 1 x Hp = {x x 1 x x } Daerah HP (tebal) ada tengah x 1, x adalah akar akar persaman kuadrat ax + bx + c = 1. UN 1/E5 Persamaan kuadrat x + 4px + 4 = mempunyai akar akar x 1 dan x. Jika 1x x1 x x = 3, maka nilai p =... A. 4 B. C. D. 4 E. 8 Jawab : C. UN 1/C37 Akar akar persamaan kuadrat x ax 4 adalah p dan q. Jika p pq q 8a, maka nilai a = A. 8 B. 4 C. 4 D. 6 E. 8 Jawab : C 14
3. UN 1/D49 Persamaan kuadrat x + (m 1)x 5 = mempunyai akar akar x 1 dan x. Jika 1 x + x x 1 x = 8m,maka nilai m =. A. 3 atau 7 B. 3 atau 7 C. 3 atau 7 D. 6 atau 14 E. 6 atau 14 Jawab : B 4. UN 1 PAKET A/ UN 11 PAKET 1 Akar akar persamaan kuadrat x + mx + 16 = adalah dan. Jika = dan, positif maka nilai m = A. 1 D. 8 B. 6 E. 1 C. 6 Jawab : A 5. UN 9 PAKET A/B, UN 1 PAKET B Akar akar persamaan kuadrat x + (a 1)x + = adalah α dan. Jika α = dan a > maka nilai a = A. D. 6 B. 3 E. 8 C. 4 Jawab : C 6. UAN 3 Jika akar akar persamaan kuadrat 3x + 5x + 1 = adalah dan, maka nilai 1 1 sama dengan A. 19 D. 4 B. 1 E. 5 C. 3 Jawab : A 7. UAN 3 Persamaan kuadrat (k + )x (k 1)x + k 1 = mempunyai akar akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah 9 1 A. E. 8 5 B. 9 8 C. 5 D. 5 Jawab : D 15
8. UN 1/C37 Persamaan kuadrat x ( m ) x m 4 mempunyai akar akar real, maka batas nilai m yang memenuhi adalah A. m atau m 1 B. m 1 atau m C. m < atau m > 1 D. < m < 1 E. 1 < m Jawab : A 9. UN 1/E5 Persamaan kuadrat x ( + m)x + (3m + 3) = mempunyai akar akar tidak real. Batas batas nilai m yang memenuhi adalah... A. m 1 atau m D. 1 < m < B. m < 1 atau m > E. < m < 1 C. m < atau m > Jawab : D 1. UN 1/E5 Persamaan kuadrat x p 4x + p= mempunyai dua akar real berbeda.batas batas nilai p yang memenuhiadalah. A. p atau p 8 B. p < atau p > 8 C. p < 8 atau p > D. p E. 8 p Jawab : B 11. UN 11 PAKET 1 Grafik y = px + (p + )x p + 4, memotong sumbu di dua titik. Batas batas nilai p yang memenuhi adalah a. p < atau p > b. p < 5 atau p > c. p < atau p > 1 d. < p < 5 5 e. < p < 1 1. UN 11 PAKET 46 Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax + x + (a 1), a memotong sumbu di dua titik berbeda. Batas batas nilai a yang memenuhi adalah a. a < 1 atau a > b. a < atau a > 1 c. 1 < a < d. < a < 1 e. < a < 1 Jawab : (d) 16
B. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Jika diketahu x 1 dan x adalah akar akar dari persamaan kuadrat ax + bx + c =, maka persamaan kuadrat baru dengan akar akar dan, dimana = f(x 1 ) dan = f(x ) dapat dicari dengan cara sebagai berikut: 1. Menggunakan rumus, yaitu: x ( + )x + = catatan : Pada saat menggunakan rumus ini harus Anda harus hafal rumus : a. b. x x 1 x 1 x c a b a. Menggunakan metode invers, yaitu jika dan simetri, maka persamaan kuadrat baru adalah: 1 1 a( ) b( ) c, dengan 1 invers dari catatan: Pada saat menggunakan metode invers Anda harus hafal rumus: (a + b) = a + ab + b 1. UN 11 PAKET 1 akar akar persamaan kuadrat 3x 1x + = adalah dan. Persamaan kuadrat baru yang akar akarnya ( + ) dan ( + ). adalah a. 3x 4x + 38 = b. 3x + 4x + 38 = c. 3x 4x 38 = d. 3x 4x + 4 = e. 3x 4x + 4 = Jawab : a. UN 11 PAKET 46 Persamaan kuadrat x 3x = akar akarnya x 1 dan x. Persamaan kuadrat baru yang akar akarnya (3x 1 + 1) dan (3x + 1) adalah a. x 11x 8 = b. x 11x 6 = c. x 9x 8 = d. x + 9x 8 = e. x 9x 6 = Jawab : a 17
3. UN 1 PAKET A/B Jika p dan q adalah akar akar persamaan x 5x 1 =, maka persamaan kuadrat baru yang akar akarnya (p + 1) dan (q + 1) adalah A. x + 1x + 11 = D. x 1x + 7 = B. x 1x + 7 = E. x 1x 7 = C. x 1x + 11 = Jawab : D 4. UN 9 PAKET A/B akar akar persamaan kuadrat x + 3x = adalah dan. Persamaan kuadrat baru yang akar akarnya dan adalah A. 4x + 17x + 4 = D. 9x + x 9 = B. 4x 17x + 4 = E. 9x x 9 = C. 4x + 17x 4 = Jawab : B 5. UN 7 PAKET A Jika x 1 dan x adalah akar akar persamaan x x + =, persamaan kuadrat baru yang akar akarnya x 1 dan x adalah A. x + 8x + 1 = D. x 8x = B. x + 8x + = E. x x + 8 = C. x + x + 8 = Jawab : C 6. UN 7 PAKET B Persamaan kuadrat x + 3x 5 =, mempunyai akar akar x 1 dan x. Persamaan kuadrat baru yang akar akarnya (x 1 3) dan (x 3) adalah a. x + 9x + 8 = b. x + 9x + 8 = c. x 9x 8 = d. x 9x + 8 = e. x + 9x 8 = 7. UN 5 Diketahui akar akar persamaan kuadrat x 4x + 1 = adalah dan. Persamaan kuadrat baru yang akar akarnya dan adalah A. x 6x + 1 = D. x + 6x 1 = B. x + 6x + 1 = E. x 8x 1 = C. x 3x + 1 = Jawab : A 8. UN 4 Persamaan kuadrat yang akar akarnya dan 1 adalah A. x 3x = D. x + 3x + = B. x + 3x = E. x 5x + = C. x 3x + = 18
C. Menenetukan persamaan grafik fungsi kuadrat 1. Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik (x e, y e ) dan sebuah titik tertentu (x, y): (x e, y e ) (x, y). Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu di dua titik (x 1, ), (x, ), dan melalui sebuah titik tertentu (x, y): y = a(x x e ) + y e (x, y) (x 1, ) (x, ) y = a(x x 1 ) (x x ) 1. UN 8 PAKET A/B Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik A(1, ), B(3, ), dan C(, 6) adalah a. y = x + 8x 6 b. y = x + 8x 6 c. y = x 8x + 6 d. y = x 8x 6 e. y = x + 4x 6. UN 7 PAKET A Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah a. y = x + 4x + 3 b. y = x + 4x + c. y = x + x + 3 d. y = x + 4x 6 e. y = x + x 5 Jawab : c 19
3. UN 7 PAKET B Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah (,4) 1 A. y = x + 4 D. y = x + x + 4 B. y = x + 3x + 4 E. y = x + 5x + 4 C. y = x + 4x + 4 Jawab : C 4. UN 6 (3, 8) (5, ) Grafik fungsi pada gambar di atas mempunyai persamaan a. y = x 1x + 8 b. y = x + 1x 1 c. y = x 1x + 1 d. y = x 6x + 5 e. y = x + 6x 5 5. UN 4 ( 1, ) (, 1) Persamaan grafik parabola pada gambar adalah a. y 4y + x + 5 = b. y 4y + x + 3 = c. x + x + y + 1 = d. x + x y + 1 = e. x + x + y 1 = Jawab : e
6. EBTANAS 3 Grafik fungsi kuadrat dengan titik balik ( 1, 4) dan melalui titik (, 3), memotong sumbu di titik a. (, 3) b. (, ½ ) c. (, ) d. (, 1½ ) e. (, 1) Jawab : a 7. EBTANAS Suatu fungsi kuadrat f(x) mempunyai nilai maksimum 5 untuk x =, sedang f(4) = 3. Fungsi kuadrat tersebut adalah a. f(x) = ½ x + x + 3 b. f(x) = ½ x + x + 3 c. f(x) = ½ x x 3 d. f(x) = x + x + 3 e. f(x) = x + 8x 3 8. UN 8 PAKET A/B Pak Bahar mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang, dengan lebar 1 m kurangnya dari setengah panjangnya. Apabila luasnya 4 m, maka lebarnya adalah meter a. 6 b. 5 c. 4 d. e. 1 Jawab : e 9. UAN 4 Untuk memproduksi x unit barang per hari diperlukan biaya (x 8x + 15) ribu rupiah. Bila barang tersebut harus dibuat, biaya minimum diperoleh bila per hari diproduksi sebanyak unit a. 1 b. c. 5 d. 7 e. 9 1
D. Kedudukan Garis Terhadap Kurva Parabola Kedudukan garis g : y = mx + n dan parabola h : y = ax + bx + c ada tiga kemungkinan seperti pada gambar berikut ini. g A(x 1, y 1 ) B(x, y ) A(x 1, y 1 ) g g h h h g memotong h di dua titik g menyinggung h g tidak memotong dan tidak menyingggung h TEOREMA Dimisalkan garis g : y = mx + n dan parabola h : y = ax + bx + c. Apabila persamaan garis g disubstitusikan ke persamaan parabola h, maka akan diperoleh sebuah persamaan kuadrat baru yaitu: y h = y g ax + bx + c = mx + n ax + bx mx+ c n = ax + (b m)x + (c n) =.Persamaan kuadrat baru Determinan dari persamaan kuadrat baru tersebut adalah: D = (b m) 4a(c n) Dengan melihat nilai deskriminan persamaan kuadrat baru tersebut akan dapat diketahui kedudukan garis g terhadap parabola h tanpa harus digambar grafiknya terlebih dahulu yaitu: 1. Jika D >, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real, sehingga garis g memotong parabola h di dua titik berlainan. Jika D =, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang kembar, sehingga garis g menyinggung parabola h 3. Jika D <, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real, sehingga garis g tidak memotong ataupun menyinggung parabola h.
1. UN 9, 1 PAKET A/B Grafik fungsi kuadrat f(x) = x + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi adalah a. 4 b. 3 c. d. 3 e. 4 Jawab : d. PRA UN 1 soalmatematik.com P 1 Parabola y = (a + 1)x + (3a + 5)x + a + 7 menyinggung sumbu, nilai a yang memenuhi adalah. a. 5 atau 3 b. 5 atau 3 c. 3 1 atau 5 d. 1 atau 5 3 e. 1 atau 3 5 Jawab : d 3. PRA UN 1 soalmatematik.com P Agar garis y = x + 3 menyinggung parabola y = x + (m 1)x + 7, maka nilai m yang memenuhi adalah. a. 5 atau 3 b. 5 atau 3 c. 3 atau 5 d. 1 atau 17 e. 1 atau 17 3