TURUNAN / DIFERENSIAL
4. Devinisi Turunan Derivati Turunan ungsi adala yang nilainya pada bilangan dan dideinisikan ole : ' lim0 untuk semua dengan limit tersebut ada.
Conto Andaikan cari 4? Penyelesaian : 6 '4 4 4 lim 0 0 lim [4 6] [4 6] lim lim 0 0
Keterdierensial Menunjukkan Kekontinuan Teorema A Jika c ada, maka kontinu di c
Bukti Kita perlu menunjukkan lim0 c, c c c c c
Karenanya lim lim c c c c c c lim lim lim c c c c c c c.0 ' c c c
Persamaan dideinisikan ole aturan '=lim 0 + - y = lim 0 Karena y = maka persamaan itu dapat pula dinyatakan dalam bentuk:
'=lim 0 Bentuk-bentuk lim 0 serta y lim 0 Lazim dinotosikan dengan d d yang disebut dengan notasi leibniz
Jadi untuk menyatakan turunan suatu ungsi = y dapat digunakan notasi-notasi berikut: d ' atau d Notasi d d dapat juga ditasirkan sebagai: d d d dy = dan = d d d d y
dimana d d teradap. Jadi menyatakan operasi turunan dy d dibaca turunan dari y teradap dan d d dibaca turunan teradap Jadi apabila ada persamaan +, maka dy d adala X
4. Aturan Pencarian Turunan Proses pencarian turunan suatu ungsi langsung dari deinisi turunan, yakni dengan menyusun asil bagi selisi dan mengitung limitnya.
Teorema A Aturan Fungsi Konstanta Jika =k dengan k suatu konstanta maka untuk sembarang, =0 D k 0
Bukti ' lim lim lim 0 0 0 k k 0 0
Teorema B Aturan Fungsi Identitas Jika = maka untuk sembarang, = D k
Bukti ' lim lim lim 0 0 0
Teorema C Aturan Pangkat Jika. maka n ' n, dengan n bilangan bulat positi, n D n n n
Bukti n n ' lim lim 0 0 n n n n n n n n n n 0... lim n n n n n n n n 0... lim
Di dalam kurung siku, semua suku kecuali yang pertama mempunyai sebagai aktor,seingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila mendekati nol, jadi ' n n Ilustrasi Teorema C D
Teorema D Aturan Kelipatan Konstanta Jika k suatu konstanta dan suatu ungsi yang terdeinisikan, maka k ' k. ' D[ k. ] k. D
Bukti Andaikan maka k F,. k k F F F. '. lim lim 0 0 k k. lim lim 0 0 '. k
Teorema E Aturan Jumla Jika dan g ungsi yang terdeerensialkan, maka g' g D[ g ] D Dg
Bukti Andaikan maka g F, / g g F ] [ [ lim 0 g g lim 0 g g lim lim 0 0 ' ' g
Teorema F Aturan Selisi Jika dan g ungsi yang terdeerensialkan, maka g' g D[ g ] D Dg
Bukti D[ g ] D[ g ] D D D[ g ] Dg D Dg
Conto D5 7 6 D5 7 D6 D5 D7 D6 5D 7D D6 5. 7. 0 0 7
Teorema G Aturan Perkalian Jika dan g ungsi yang terdeerensialkan, maka * g' g g ' D[ g ] Dg g D
Conto cari turunan dari 5 4 5 5 ] 5 [ 4 4 4 D D D 6 58 4 5 5 6 5 40 4 5 9 40 6 5
Teorema H Aturan Hasilbagi Jika dan g ungsi yang terdeerensialkan dengan Yaitu, maka g, 0 ' ' ' g g g g g Dg D g g D
Conto Cari turunan dari 7 5 7 7 5 7 7 5 5 7 7 5 D D D 7 0
Conto Buktikan aturan Pangkat berlaku untuk pngkat integral negati; yaitu D Penyelesaian n n n D n D n n.0. n n n n n n n n
4. Turunan Sinus dan Kosinus Fungsi =sindan g=cos keduanya dapat didierensialkan. Dsin cos Dcos sin
Conto Cari D sincos Penyelesaian D sincos Dsin Dcos cos sin
Pembuktian Dua Pernyataan Limit lim t 0 sin t t lim t 0 cost t 0
Conto lim0 t cost sin t...? cost sin t lim lim t0 t0 cost t sin t t 0 0
4.4 Aturan Rantai Aturan Rantai.Andaikan y=u dan u=g menentukan ungsi komposit y g g. Jika g terdierensialkan di dan terdierensialkan di u=g, maka terdierensialkan di dan g g' ' g g' yakni, D y D u yd u
Conto 60 Jika y 4, cari D y Penyelesaian : kita pikirkan ini sebagai 60 y u dan u 4 Jadi, D y Du y. Du 59 60u 4 60 4 4 59 4 4
4.5 Turunan Tingkat Tinggi Operasi pendierensialan mengambil sebua ungsi dan mengasilkan sebua ungsi baru. Jika kita dierensialkan mengasilkan ungsi lain dinyatakan ole dan disebut turunan kedua dari, dan seterusnya.
Conto 0 "" '' ' 8 ' ' 7 8 6 ' : 8 7 4 maka
4.6 Dierensial Terdeinisi Andaikan y= terdierensialkan di dan andaikan bawa d, dierensilkan dari peuba bebas, menyatakan pertambaan sembarang dari. Dierensil yang bersesuaian dengan dy dari peuba tak bebas y dideinisikan ole : dy ' d
Aturan Pangkat Andaikan r bilangan rasional sembarang, maka D r r r
Conto Cari dy jika y dy d
Rumus turunan
RUMUS-RUMUS TURUNAN
TRIGONOMETRI
Soal ke- Jika = + 4 maka nilai yang mungkin adala. A. C. 9 E. B. 6 D. 0
Pembaasan = + 4 = 6
Jawaban soal ke- Jika = + 4 maka nilai yang mungkin adala. A. C. 9 E. B. 6 D. 0
Soal ke- Nilai turunan pertama dari: = + 8 + 4 adala A. 8 + 5 D. 6 + 4 + 8 B. 4 E. 6 + 4 8 C. + 4
Pembaasan = + 8 + 4 = 6 + 4 8
Jawaban soal ke- Nilai turunan pertama dari: = + 8 + 4 adala A. 8 + 5 D. 6 + 4 + 8 B. 4 E. 6 + 4 8 C. + 4
Soal ke- Turunan ke- dari = -4+ Adala A. 4 + 5 D. 5 B. 4 5 E. 0 C. + 5
Pembaasan = -4+ = + 8 = 5 = 4 5
Jawaban soal ke- Turunan ke- dari = -4+ Adala A. 4 + 5 D. 5 B. 4 5 E. 0 C. + 5
Nilai A. B. C.4 5 5 5 dari - - Soal ke- 4 6 D.4 E. 4 5 5 - adala... - -
Pembaasan 6-6. 6- -. -- 4 5 - -
Jawaban Soal ke- 4 Nilai dari 6 - adala... A. 5 D.4 5 - B. 5 - E.4 5 - C.4 5 -
Soal ke- 5 Turunan ke - dari y 6 adala... A. C. E. B. D.
Pembaasan y 6 y 6 y y
Jawaban Soal ke- 5 Turunanke- dari y 6 adala... A. C. E. B. D.
Soal ke- 6 Jika = maka nilai adala A. + D. 4 + 6 B. 6 E. 4 4 + 6 C. 6 +
Pembaasan = = = 6 = 6 = 64 4+ = 4 4 + 6
Jawaban Soal ke- 6 Jika = maka nilai adala A. + D. 4 + 6 B. 6 E. 4 4 + 6 C. 6 +
Soal ke- 7 Turunan pertama dari = 5 adala A. 0 0 D. 5 4 0 + B. 00 0 E. 5 4 0 + C. 00 0
Pembaasan = 5 = 5 0 = 0 5 = 00 0
Jawaban Soal ke- 7 Turunan pertama dari = 5 adala A. 0 0 D. 5 4 0 + B. 00 0 E. 5 4 0 + C. 00 0
Soal ke- 8 Turunan pertamadari A. -4 8 B. -4 C.4-4 - E.4 4 D.4-4 4 adala... - -
Pembaasan 4 4 8 4 4 4
Jawaban Soal ke- 8 Turunanpertamadari A. -4 8 D. 4 4- adala... 4 B. C. -4 4-4 - E. 4 4 - -
Soal ke- 9 Turunan pertama dari = 6 + adala A. D. 9 B. 6 E. 9 + C. 6 +
Pembaasan = 6 + Cara : Misal : U = 6 U = 6 6 V = + V =
Pembaasan Seingga: = 6 6++ +6. = 6 + 6 + 6 = 9
Pembaasan = 6 + Cara : = - +6 6 = 9 + = 9
Jawaban Soal ke- 9 Turunan pertama dari = 6 + adala A. D. 9 B. 6 E. 9 + C. 6 +
Soal ke- 0 Turunanpertamadari adala... 4- A.6 B.6 C.4-8 8-8 - D.4 E. 6-8- - - 8
Pembaasan Misal U U V V : 4-4 - 4
Pembaasan Maka: U V - V UV 4 4 4
Pembaasan 8 6 8 6 8
Jawaban Soal ke- 0 Turunan pertama dari A.6 B.6 C. 4-8 8-8 - adala... 4 - D. 4 E. 6-8 - - - 8
Diketaui Jika 5 A. 4 B. 4.Nilai C. D. Soal ke- - 4 yangmungkinadala... E. 6
Pembaasan = 4 + 6 = 6 4 Jika = 4
Pembaasan Maka : 4 4 4 8 6 6 6 6 8 8 6 4 4
Jawaban Soal ke- Diketaui Jika 5 A. 4 B. 4.Nilaiyangmungkinadala... C. D. - 4 E. 6
Soal ke- Diketaui = 5 ++7. Nilai - Adala. A. -9 D. -7 B. -7 E. 7 C. -7
Pembaasan = 5 + 7 = 0 Maka untuk - adala - = 0-+ - = -0+ - = -7
Jawaban Soal ke- Diketaui = 5 ++7. Nilai - Adala. A. -9 D. -7 B. -7 E. 7 C. -7
Soal ke- Diketaui Nilai A. B. - - 6 adala... C. D. 0-4 E. 5 6 6
Pembaasan -6 5-6 " 6-5 " - Makauntuk " adala...
Pembaasan - 6 6 - - " " "
Soal ke- 4 Turunanpertamadari A. B. C. D. E. 8-8 - 8-8 - 8-5 - 5-4 - 4-4 4 6 adala...
Pembaasan 5 5 6 6 4 8 4 6 4 4 6 4 6. 4
Jawaban Soal ke- 4 Turunan pertama dari A. 8-5 - 4 6 adala... B. 8-5 C. 8 - - 5 4 D. 8 - - 5 4 E. 8 - - 5 4
Soal ke- 5 Diketaui 6 untuk makanilai yangmungkinadala... A. B. C. D. 4 E. 5
Pembaasan - untuk 6 maka: -
Pembaasan 4 6 6 4 8 4 4 8 8 4
Diketaui makanilai A. B. Jawaban Soal ke- 5 6 C. D. 4 untuk yangmungkinadala... E. 5
Soal ke- 6 Turunanpertamadari: 4-8 adala... A. 4 C. 8- E. 8 4 B. 8 D. 8-4
Pembaasan 4-8 - - 8 4
Pembaasan 4 8 4
Jawaban Soal ke- 6 Turunanpertamadari: 4-8 adala... A. 4 C. 8- E. 8 4 B. 8 D. 8-4
Soal ke- 7 Turunan untuk A. B. - - 5 y adala... pertama. Maka nilai C. D. 0 dari E. y 5 - yang mungkin 6
Pembaasan y y y y y 6 5 5-6 5-6 6 6 5-6 05-6 5
Pembaasan Untuk y 50 50-60 60 6 50 5 6 50, maka:
Jawaban Soal ke- 7 Turunan untuk A. B. - - 5 y adala... pertama. Maka nilai C. D. 0 dari E. y 5 - yang mungkin 6
SELAMAT BELAJAR
LATIHAN TUGAS
TRIGONIMETRI