ANALISIS KESTABILAN REAKTOR DENGAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN LIAPUNOV Hasan, Didi Gayani, Sudjami, Deden * ABSTRAK ANALISIS KESTABILAN REAKTOR DENGAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN LIAPUNOV. Telah dilakukan analisis berdasarkan persamaan Liapunov unuk menguji kesabilan dari daya reakor. Liapunov mengembangkan meode unuk menenukan sabilias dari suau sisem proses didasarkan dari energi yang disimpan. Sebelum dilakukan pengujian, maka erlebih dahulu diurunkan formulasi maemaik dari daya reakor, neuron precursor, emperaur pendingin dan emperaur bahan bakar. Dari formulasi maemaik ini maka dapa disusun persamaan keadaan dinamika reakor. Karena persamaan keadaan dari dinamika reakor merupakan persamaan non linier, maka pengujian kesabilan reakor dilaksanakan dengan menggunakan persamaan Liapunov kedua. Dari hasil perhiungan didapakan, unuk reakor yang beroperasi pada daya 000 Wa, maka didapakan harga deerminan dari F ˆ x -48668. Jadi reakor cukup sabil. Dengan sabilnya reakor, maka pengendalian reakor ersebu dapa dilakukan dengan lebih mudah. ABSTRACT STABILITY ANALYSIS OF REACTOR USING LIAPUNOV EQUATION. Sabiliy analysis has been carried ou, based on Liapunov Equaion o es he sabiliy of reacor power. Liapunov has developed a mehod o confirm he sabiliy of a sysem process of ha base on he energy preserved. Before any esing is performed, a mahemaical formula is precedingly derived from reacor power, neuron precursor, cooling sysem and fuel emperaure. From his mahemaical formula, a sae space equaion is consruced devoed o reacor dynamics. As he sae space equaion of reacor dynamics is non linier, he sabiliy es of reacor is performed using he second order of Liapunov equaion. From yielded calculaion, i is obained ha a reacor of ha are operaing a 000 Wa, hen yielded value of deerminan F ˆ x -48668. Thus reacor is sufficienly sable. Wih his reacor sabiliy, hen he conrolling of reacor can simply be performed. * Saf Penelii di P3TkN
NOTASI Perubah keadaan. U Masukan. N Jumlah neuron. C Konsenrasi neuron precursor. ρ Reakivias. β Fraksi neuron kasip. C c Panas jenis Fluida pendingin. C f Panas jenis bahan bakar. M c Bera Fluida pendingin. M f Bera bahan bakar dalam eras. T c Temperaur raa-raa pendingin. T f Temperaur raa-raa eras. W Laju alir massa fluida pendingin. α f Koefisien emperaur bahan bakar. α m Koefisien emperaur moderaor air. τ c Konsana waku fluida pendingin. τ f Konsana waku eras. Waku generasi neuron. λ Konsana peluruhan neuron. P Daya reakor V Fungsi Liapunov. Fx Marik Jacobi. PENDAHULUAN Sisem konrol merupakan sebuah sisem yang erdiri aas sau aau beberapa peralaan yang berfungsi unuk mengendalikan sisem lain yang berhubungan dengan sebuah proses. Dalam suau indusri, semua variabel proses seperi daya, emperaur dan laju alir harus dipanau seiap saa. Bila variabel proses ersebu berjalan idak sesuai dengan yang diharapkan, maka sisem konrol dapa mengendalikan proses ersebu sehingga sisem berjalan seperi yang diharapkan. Didalam reakor nuklir, sisem konrol dapa digunakan unuk mengendalikan fluks neuron dan daya. Sebelum dilakukan perancangan sisem konrol, erlebih dahulu harus dilakukan pengujian sifa kesabilan sabiliy erhadap sisem proses dalam reakor nuklir.
Ada beberapa cara yang dapa digunakan unuk menguji kesabilan suau sisem proses. Salah sau meode yang banyak digunakan unuk menguji kesabilan sisem proses adalah persamaan Liapunov. Liapunov mengembangkan meode unuk menenukan sabilias dari sisem proses didasarkan dari pengamaan energi yang disimpan. Dengan menggunakan persamaan Liapunov, maka sabilias dari sisem proses yang berbenuk linier maupun non linier dapa dienukan. Tujuan dari penulisan makalah ini adalah unuk mengeahui kesabilan sisem proses dalam reakor. Jika reakor dalam keadaan sabil, maka pengonrolan sisem proses dalam reakor nuklir lebih mudah dilaksanakan. SISTEM KESTABILAN LIAPUNOV A.M. Liapunov, seorang ilmuan dari Rusia, elah mengembangkan meode unuk menenukan sabilias dari sisem proses didasarkan dari pengamaan energi yang disimpan. Menuru Liapunov, hubungan anara kesabilan dan energi adalah sebagai beriku:. Sisem sabil: bila energi yang disimpan makin lama makin kecil, maka osilasi yang erjadi juga semakin lama semakin kecil. 2. Sisem idak sabil: bila energi yang disimpan makin lama makin besar, maka osilasi yang erjadi semakin lama juga semakin besar. Supaya sisem proses ersebu dapa dianalisis kesabilannya, maka perlu dibua model maemais yang menghubungkan anara inpu, proses dan oupu. Model yang banyak digunakan adalah model persamaan keadaan. Benuk umum dari model persamaan keadaan adalah sebagai beriku: & f x Transpose dari fx adalah f x f f 2 K f n Menuru Liapunov, sisem akan sabil asimois secara uniform, bila:. Fungsi Liapunov aau Vx, pasi posiif. 2. Turunan fungsi Liapunov aau V & x, pasi negaif. Karena sisem dinamika reakor nuklir merupakan persamaan non linier, maka unuk menenukan persamaan Liapunov dapa dilakukan dengan cara sebagai beriku. Fungsi Liapunov di definisikan sebagai beriku: V x f x. f x 2 Turunan dari fungsi Liapunov adalah sebagai beriku: V& x f x. F x. f x + f x. F x. f x V& x f x. [ F x + F x ]. f x 3 V& x f x. Fˆ x. f x
Dimana: ˆ F x F x + F x Fx merupakan marik Jacobi yang harganya adalah sebagai beriku: 4 δf δf δf L δx δx2 δx n δf 2 δf2 δf F x L 2 δx δx δx 5 2 n M M δf f f n δ n δ L n δx δx δx 2 n Agar sisem proses sabil asimois, maka diperlukan syara sebagai beriku:. Vx pasi posiif 2. V & x pasi negaif Harga Vx pasi negaif jika F ˆ x juga berharga negaif Dengan menggunakan krieria Sylveser, maka dapa dikeahui apakah suau fungsi iu berharga negaif aau posiif. Menuru Sylveser, suau fungsi Yx pasi berharga posiif, bila deerminan dari semua minor uamanya berharga posiif.dan suau fungsi Yx pasi berharga negaif, bila deerminan dari semua minor uamanya berharga negaif. DINAMIKA REAKTOR NUKLIR Pengerian dari dinamika reakor nuklir eruama didasarkan pada sudi populasi neuron dalam reaksi nuklir beranai. Neuron dibangkikan oleh proses fisi, dan neuron hilang karena adanya serapan oleh ini dan adanya kebocoran. Dalam reaksi beranai, sekurang-kurangnya erdapa 45 isoop precursor neuron kasip yang berbeda. Dalam analisis reakor, precursor ini dikelompokkan ke dalam 6 kelas yang dicirikan oleh pendekaan waku paruh masing-masing. Unuk mempermudah perhiungan, maka neuron kasip dapa diasumsikan berada dalam sau group. Maka persamaan dinamika reakor dapa diulis sebagai beriku. P & ρ β. P + λ. C 6
C & β.. P λ. C 7 DINAMIKA REAKTOR DALAM DAERAH DAYA TINGGI Unuk operasi reakor dalam daerah daya inggi, maka umpan balik reakivias dan emperaur idak boleh diabaikan. Represenasi inpu-oupu reakor merupakan lup eruup. Umpan balik yang erjadi pada reakor adalah sebagai beriku:. Umpan balik emperaur elemen bakar. Koefisien emperaur elemen bakar dapa diulis sebagai beriku: δρ α f T f 8 δt f 2. Umpan balik pada air pendingin yang juga berfungsi sebagai moderaor. Koefisien emperaur air pendingin yang juga berfungsi sebagai moderaor dapa diulis sebagai beriku: δρ α m T m 9 δtc 3. Umpan balik peracunan enon. Peracunan enon erjadi bila reakor sudah beroperasi lebih dari 7 jam. Dalam makalah ini reakor dianggap baru saja beroperasi sehingga pengaruh dari peracunan enon diabaikan. Pada kondisi demikian, reakivias yang masuk pada reakor adalah reakivias eksernal dan reakivias dari umpan balik emperaur bahan bakar dan pendingin. Jadi reakivias dalam reakor adalah: ρ ρ eks + α f T f + α m T c Dengan demikian persamaan perubahan daya reakor dapa diulis sebagai beriku: P P& β. P + λ. C + ρeks + α f. T f + αm. Tc 0 MODEL DINAMIKA PERPINDAHAN PANAS Model dinamika perpindahan panas dilakukan dengan jalan memasukkan prinsip-prinsip keseimbangan energi pada bahan bakar dan pada fluida pendingin.. Keseimbangan energi dalam bahan bakar dapa diulis sebagai beriku: dt f M f. C f. P P d
2. Keseimbangan energi pada fluida pendingin dapa diulis sebagai beriku:.. 2 P P d dt C M c c 2 T T R P c f 3. 2 2 T T C W P i c c 4 Harga T i relaif kecil dan konsan sehingga dapa diabaikan. Konsana waku eras dan konsana waku fluida pendingin adalah sebagai beriku: τ f R. M f. C f 5 τ c R. M c. C c 6 Karena ρ eks merupakan sesuau yang dimasukkan dari luar proses dinamika reakor, maka ρ eks merupakan inpu U dalam sisem dinamika reakor. Harga daya, konsenrasi neuron precursor dan emperaur dari waku ke waku selalu berubah. Dengan menyaakan: ρ eks U ; P ; C 2 ; T f 3 ; T c 4 Maka persamaan dinamika reakor dapa diulis dalam benuk persamaan keadaan sebagai beriku: & & & & M C W M U F m F F f f c c c 2 3 4 2 3 4 0 0 0 0 0 2 0 0 0 + + β λ α α β λ τ τ τ τ Aau BU A.. + & 7 ANALISIS KESTABILAN REAKTOR Persamaan dinamika reakor merupakan persamaan non linier. Unuk menganalisis daya reakor maka dapa digunakan persamaan Liapunov bagian kedua. Persamaan yang digunakan unuk menganalisis kesabilan daya reakor adalah sebagai beriku:. Persamaan daya reakor Persamaan daya reakor dapa diliha pada persamaan 7. Unuk menganalisis kesabilan reakor, maka cukup diperhaikan pada sisem anpa
masukan U0. Selanjunya jika didefinisikan konsane-konsane sebagai beriku: a β ; b λ α f α c ; d m e ; M f. C f f τ f g ; τ c 2. W h + τ c M c Maka persamaan dinamika reakor dapa diulis sebagai beriku: & f -a. + b. 2 + c.. 3 + d.. 4 & 2 f 2 a. b. 2 & 3 f 3 e. f. 3 + f. 4 & 4 f 4 g. 3 h. 4 2. Persamaan Marik Jacobi Fx Persamaan marik Jacobi Fx dapa diurunkan dengan menggunakan persamaan 5 dan persamaan 7. Hasil dari penurunan ersebu adalah sebagai beriku: a + c + d 4 b c d 3 a b 0 0 F x e 0 f f o 0 g h 8 Transpose dari marik Jacobi adalah sebagai beriku: F x 0 0 0 c. f g 0 d. f h 0 a + c. 3 + d. 4 a e b b 9
Fˆ x F x + F x 2 a + c 3 + d 4 a + b c + e d a + b 2 b 0 0 F$ x c + e 0 2 f f + g d 0 f + g 2 h 20 HASIL DAN PEMBAHASAN Harga konsana dan perubah keadaan yang digunakan dalam reakor TRIGA Mark II Bandung adalah sebagai beriku: 000 Wa ; 2 500 n / cm 3 3 3 0 C ; 4 27 0 C β 0,0027 ; 0,000028 deik λ 0,0768 deik ; M f 69.500 gram. C f 0,005899 cal / gr 0 C ; M c 9605.000 gram. α f - 0,0000306 k / k.c ; α m - 0,00054 k / k.c - τ f,5 deik ; τ c 25,2 deik W 9600 gr / deik Maka besarnya F ˆ x adalah: 630, 24 260, 78 09, 99 9280 260, 78 0, 536 0 0 F$ x 09, 99 0, 333 0, 705 9280 0 0, 7056 0, 08 Unuk mengeahui apakah F ˆ x berharga posiif, nol aau negaif, maka dapa digunakan krieria Sylveser sebagai beriku. P -630,24 < 0 P P2 630, 24 260, 78 De De P P 260, 78 0, 536 2 22 De F ˆ x -48668 < 0-67755 < 0
Dari perhiungan diaas dapa diliha, deerminan semua minor uama dari F ˆ x berharga negaif. Maka menuru krieria Selveser, F ˆ x pasi negaif. Karena F ˆ x berharga negaif, maka V & x juga berharga negaif Fungsi Liapunov yang diperoleh adalah sebagai beriku. V x f x. f x Vx f 2 + f 2 2 + f 2 2 3 + f 4 Vx > 0 aau Vx pasi berharga posiif. Unuk harga-harga daya yang lain, maka besarnya harga deerminan F ˆ x dapa diliha pada abel sebagai beriku: Tabel : Hasil perhiungan Deerminan F ˆ x sebagai fungsi daya reakor. No Daya Wa De F ˆ x 2 3 5 000 3000 4000-48668 -67347,95-27207,03 Dari abel diaas dapa diliha, semakin besar daya, maka harga deerminan dari F ˆ x semakin kecil dan selalu negaif. Karena F ˆ x berharga negaif, maka V & x juga berharga negaif. Vx merupakan fungsi kwadra dari f, f 2, f 3 dan f 4. Jadi harga Vx selalu posiif. KESIMPULAN Dari uraian diaas maka dapa disimpulkan sebagai beriku:. Dengan menggunakan persamaan Liapunov, maka didapakan harga-harga sebagai beriku. Vx berharga posiif V & x berharga negaif. Dengan demikian dapa disimpulkan bahwa reakor yang dikaji dalam makalah ini adalah berada dalam keadaan sabil. 2. Unuk mengendalikan suau sisem proses, maka sisem proses ersebu harus sabil. Dengan sabilnya reakor, maka reakor ersebu akan lebih mudah unuk dikendalikan.
DAFTAR PUSTAKA. Brogan, W.L., Modern conrol heory, Prenice-Hall, Inc., New Yersey, 985 2. Lewis, F.L., Opimal Conrol, John Wiley & Sons, Inc., New York, 986 3. Weaver, L.E., Reacor Dynamics and Conrol, American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, 968 4. Lewis, E.E., Nuclear Power Reacor Safey, John Wiley & Sons, Inc., New York, 977 5. TRIGA Saff, Insrucion Manual for he Torrey Pines TRIGA Reacors, General Aomic Co., California, 976 6. Sage, A.P., Opimum Sysem Conrol, Prenice-Hall, Inc., New York, 986
DISKUSI HUDI HASTOWO. Apa yang dimaksud dengan energi yang disimpan? Dimana disimpan? Hal ini dianyakan karena reakor merupakan sisem pembangki energi, sehingga secara eoriis selalu ada enaga dan daya yang diproduksi. 2. Mohon dierangkan mengapa koefisien reakivias feedback semua diabaikan? Hal ini jauh dari kenyaaan yang ada. 3. Maksud aau ujuan ulisan/peneliian ini unuk apa? HASAN. Energi yang disimpan yaiu energi yang dihasilkan dari proses ersebu lalu inpu-nya dihilangkan. 2. Dalam makalah ini, koefisien reakivias feedback semuanya dihiung. Hanya saja perhiungannya dilakukan secara berahap mulai dari daya rendah lalu feedback emperaur bahan bakar dan pendingin. 3. Tujuan penulisan ilmiah adalah selama ini sisem insrumenasi dan konrol yang digunakan di reakor selalu menggunakan konrol PID Proporsional, Inegral, Diferensial. Kami ingin mengembangkan sisem konrol PID menjadi sisem konrol opimal. Dalam sisem konrol opimal model yang dipakai adalah model persamaan keadaan. Unuk menganalisis kesabilannya digunakan persamaan Liapunov. Dalam makalah ini dianalisis apakah dengan menggunakan persamaan Liapunov, reakor sabil apa idak. Bila sabil, maka sisem konrol opimal dapa dierapkan di reakor. WIRYADI. Apakah ada formulasi maemaika yang menyaakan hubungan anara deerminan dengan kecepaan ercapainya kesabilan? Kalau ada bagaimana formulasinya? 2. Dapakah dienukan variabel-variabel mana yang dan besarnya berpengaruh erhadap ercapainya kondisi sabil? HASAN
. Dalam persamaan Liapunov, hanya dianalisis apakah sisem ersebu sabil kesabilan. 2. reakor, dari nilai Fx maka yang paling besar pengaruhnya adalah: α P dx α m. p koefisien emperaur moderaor daya reakor. : HASAN 2. : Solo, 0 Okober 958 3. : P3TkN - BATAN 4. : - 5. : seelah SMA sampai sekarang ITS, Jurusan Teknik Elekro S ITB, Jurusan Rekayasa Nuklirinsrumenasi & konrol 6. : - Saf Penelii BATAN - Dosen di STT Mandala, Bandung Organisasi Professional