Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN

Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia didefiisika fugsi terdiferesial pada subhimpua suatu iterval Selajutya ditujukka bahwa kekotiua suatu fugsi merupaka syarat perlu agar fugsi terdiferesial Tekik pediferesiala tidak dibahas dalam modul ii Modul ii lebih meekaka segi teoriya daripada pegguaa praktis hitug diferesial Dua teorema yag sagat petig yaitu Teorema Rolle da Teorema Nilai Rata-rata megawali pembahasa teori hitug diferesial ii, selajutya dikembagka utuk membahas Atura L Hospital tetag peghituga limit, Teorema Taylor, da masalah ilai ekstrem Kaita atara keterdiferesiala suatu fugsi dega fugsi korespodesi satu-satu maupu dega fugsi mooto disajika khusus sebagai suatu teorema Adaya ilai derivatif di atara dua ilai derivatif suatu fugsi ditujukka sebagi Teorema Darbou Cotoh soal maupu soal-soal dalam latiha diharapka megajak para pembaca lebih memahami teori hitug diferesial, da megigat kembali kosep-kosep da teorema-teorema dalam aalisis yag perah dipelajari dalam buku Aalisis I Setelah mempelajari modul ii pembaca diharapka dapat: (a) memahami defiisi derivatif suatu fugsi; (b) memahami da megguaka teorema ilai rata-rata; (c) memahami da megguaka tada ilai fugsi derivatif; (d) megguaka teorema L Hospital; da (e) megguaka teorema Taylor

ANALISIS II D Kegiata Belajar Derivatif alam Buku Materi Pokok Aalisis I telah dibahas perihal fugsi, mulai dari fugsi yag berilai real yag didefiisika pada N, yaitu barisa, kemudia yag didefiisika pada subhimpua dari R Tetag ilai fugsi dikeal ilai defiisi, yaitu ilai meurut defiisi fugsi itu, da ilai limit Jika c aggota domai D R fugsi f da juga titik limit domai itu, didefiisika f kotiu di c apabila lim f ( ) f ( c ) Fugsi f dikataka c kotiu pada D jika f kotiu di setiap titik aggota D Dalam Aalisis I telah dibahas pajag lebar tetag sifat-sifat fugsi kotiu Dalam Modul ii aka dibahas tetag fugsi terdiferesial (differetiable) Utuk maksud ii aka dibahas kosep derivatif suatu fugsi yag didefiisika pada suatu iterval A DERIVATIF Defiisi Diberika fugsi f : a, b R f ( ) f ( c) Utuk c [ a, b ] dibetuk fugsi ( ) a b, c c Jika lim ( ) ada da real (berhigga) maka f dikataka terdiferesial c (differetiable) di c Nilai lim ( ) diotasika dega f () c yag c diamaka derivatif fugsi f di titik c Jika f () c ada da real utuk setiap c E [ a, b] dikataka f terdiferesial pada E Jadi, f terdefiisika di titik-titik pada[ abdi, ] maa limit ( ) utuk medekati titik itu ada da real, da diamaka fugsi derivatif dari f Tetu saja Ada memahami di ujug iterval[ ab, ] fugsi f terdiferesial di a atau di b apabila limit kaa lim ( ) ada da limit kiri lim ( ) ada a a

MATA43/MODUL 3 Cotoh Mudah pembaca pahami bahwa fugsi kosta f () k da g( ) terdiferesial pada R dega f( ) da g( ), R Cotoh Tetuka fugsi derivaif f utuk f :[, R ) dega f ( ) Jawab: Utuk maka t f ( ) lim ( t) lim lim t t t t t t Aka tetapi, f () lim tidak ada di dalam R, jadi f tidak t t terdiferesial di Fugsi f ( ) terdiferesial pada (, ) da f( ) utuk Cotoh 3 Buktika jika f ( ) si da g( ) cos maka f ( ) cos da g( ) si, R Bukti: Utuk R, t t si cos si tsi f ( ) lim ( t) lim lim cos t t t t t Demikia juga mudah dibuktika bahwa g( ) si Teorema Jika f :[ a, b] R terdiferesial di suatu titik c [ a, b] maka f kotiu di c Bukti: f ( t) f ( c) lim f ( t) f ( c) lim lim t c f ( c) tc tc tc tc

4 ANALISIS II Jadi, lim f ( t) f ( c) sehigga f kotiu di c tc Tetapi sebalikya tidak bear Fugsi g( ) kotiu tetapi tidak terdiferesial di, jika Fugsi g ( ) g( ) g(), jadi lim da, jika g( ) g() g( ) g() lim, sehigga lim tidak ada da g tidak terdiferesial di meskipu kotiu di Teorema tetag rumus-rumus derivatif kombiasi dari dua fugsi terdiferesial berikut ii buktiya sudah pembaca keal dalam kalkulus Teorema Jika fugsi f da g didefiiska pada [ abda, ] terdiferesial di titik c [ a, b] maka f g, f g, fg da f g terdiferesial di c da ( f g) ( c) f ( c) g( c) ; ( f g) ( c) f ( c) g( c) ; ( fg) ( c) f ( c) g( c) f ( c) g( c) ; da f f ( c) g( c) f ( c) g( c) () c g gc () asalka gc ( ) Teorema 3 (Atura Ratai) Diberika fugsi f :[ a, b] [ c, d], da g :[ c, d] R da c [ a, b] Jika f terdiferesial di c da g terdiferesial di f() c maka fugsi komposisi g f terdiferesial di c da mempuyai derivatif ( g f ) ( c) g( f ( c)) f ( c)

MATA43/MODUL 5 Bukti: Dibetuk fugsi g( y) g( f ( c)) g( f ( c)) hy ( ) y f () c jika y f ( c), y c, d jika y f ( c), y c, d Maka h :[ c, d] R kotiu di f() c karea diketahui bahwa g terdiferesial di f() c Demikia juga karea diketahui f terdiferesial di c maka f kotiu di c sehigga fugsi komposisi h f kotiu di c Jadi, lim( h f )( ) ( h f )( c) Jadi, c ( ) ( ) ( ) ( ) lim f f c f f c ( h f )( ) g( f ( c)) g( f ( c)) lim c c c c g( f ( c)) f ( c) Di lai pihak ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) lim f f c g f g f c f f c ( h f )( ) g( f ( c)) lim c c c f ( ) f ( c) c Dega demikia diperoleh ( g f ) ( c) g( f ( c)) f ( c) g( f ( )) g( f ( c)) lim ( g f ) ( c) c c Cotoh 4 si, utuk Didefiisika f( ), utuk Tetuka f ( ) utuk R Jawab: Fugsi f kotiu di, sebab utuk diperoleh si si sehigga lim f( ) da f kotiu di, sedagka utuk fugsi f merupaka hasil kali dua fugsi kotiu

6 ANALISIS II jadi juga kotiu Dega demikia, f kotiu pada R, sehigga syarat perlu utuk keterdiferesiala f dipeuhi (lihat Teorema ) Utuk dega megguaka atura pediferesiala hasilkali dua fugsi da atura ratai diperoleh f ( ) si cos si cos utuk Utuk = dega defiisi derivatif, dihitug f ( ) f () lim lim si tidak ada Jadi, f tidak terdiferesial di Dega demikia f terdiferesial pada R Cotoh 5 Buktika fugsi f dega terdiferesial pada R f ( ) cos utuk da f () Bukti: Fugsi f jelas kotiu utuk sebab merupaka hasilkali dua fugsi kotiu Utuk, f ( ) cos sehigga lim f ( ) f () da f kotiu di Syarat perlu utuk adaya derivatif di titik pada R dipeuhi Utuk maka f ( ) cos si da f ( ) f () f () lim lim cos Jadi, f terdiferesial pada R Dua teorema berikut sagat petig dalam peelaha fugsi real Pegguaa kedua teorema ii meghasilka mafaat dalam teori optimisasi, deret Taylor, letak ilai ol fugsi da dalam kawasa laiya

MATA43/MODUL 7 Teorema 4a (Teorema Rolle) Jika f :[ a, b] R kotiu pada iterval tertutup [ abda, ] terdiferesial pada iterval terbuka ( ab, ), da f ( a) f ( b) maka terdapat ( ab, ) sehigga f ( ) Bukti: Jika f ( ) f ( a), [ a, b] maka f( ) kosta pada [ absehigga, ] f ( ) Jika f tidak kosta maka meurut teorema tetag fugsi kotiu pada iterval tertutup terbatas, terdapat da dalam ( ab, ) sehigga f ( ) if{ f ( ) : [ a, b]} da f ( ) sup{ f ( ) : [ a, b]} Utuk f ( ) f ( ) titik maka f ( ) f ( ) da jika jika utuk suatu Jadi f ( ) f ( ) lim ilai limit ii harus sama, jadi Teorema 4b (Teorema Nilai Rata-rata) f ( ) f ( ) lim da _ Karea diketahui f terdiferesial di maka kedua f ( ) f ( ) f ( ) lim Jika f ;[ a, b] R kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ) maka terdapat ( ab, ) dega f ( ) f ( b) f ( a) ba Bukti: Dibetuk fugsi F( ) f ( ) A B pada [ ab, ] dega A da B dipilih f ( a) f ( b) sehigga F( a) F( b), jadi A da ba f ( b) f ( a) B f ( a) a ba ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b F f f a a f a ba

8 ANALISIS II Jadi F kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ) dega F( a) F( b) Meurut Teorema Rolle, terdapat ( ab, ) sehigga f ( b) f ( a) F ( ), jadi f ( ) ba Dalam bukti Teorema Rolle tersimpul suatu lagkah petig tetag ilai miimum (maksimum) di titik iterior iterval [ ab, ] yag kita agkat mejadi lemma berikut Lemma Jika fugsi f yag kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ) mempuyai ilai maksimum (miimum) di titik iterior ( a, b) maka f ( ) Cotoh 6 Buktika utuk h da berlaku ( h) h Bukti: Ditijau fugsi f ( ) yag kotiu da terdiferesial pada[, h] Meurut Teorema ilai Rata-rata terdapat (, h) dega f ( h) f () f ( ), jadi ( h) hf ( ) h h h karea diketahui da Teorema berikut adalah sebagai akibat teorema ilai rata-rata

MATA43/MODUL 9 Teorema 5 Jika f :[ a, b] R kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ) maka (i) f ( ), ( a, b) f fugsi korespodesi - pada [ ab, ] (ii) f ( ), ( a, b) f kosta (iii) f ( ), ( a, b) f aik tegas pada [ ab, ] (iv) f ( ), ( a, b) f turu tegas pada [ ab, ] (v) f ( ), ( a, b) f aik pada [ ab, ] (vi) f ( ), ( a, b) f turu pada [ ab, ] Bukti: (i) Fugsi f :[ a, b] R adalah fugsi korespodesi - jika y [ a, b] maka f ( ) f ( y) f ([ a, b]) Utuk a y b maka ( y, ) da f ( y) f ( ) ( y) f ( ) karea diketahui bahwa f ( t), t ( a, b) Jadi f korespodesi - pada [ ab, ] (ii) Utuk a y b, (, y) sehigga f ( y) f ( ) ( y) f ( ) Jadi f( ) kosta sama dega f( a ) (iii) Karea f ( t), t ( a, b) maka a y b (, y), f ( y) f ( ) ( y) f ( ) Jadi a y b f ( ) f ( y) sehigga f aik tegas pada [ ab, ] (v) Utuk a y b, (, y) sehigga f ( y) f ( ) ( y) f ( ) Jadi f aik pada [ ab, ] (iv) da (vi) berturut-turut dibuktika seperti (iii) da (v) Lemma Jika f da g fugsi berilai real yag kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ), da jika f ( ) g( ), ( a, b) maka terdapat k R sehigga f ( ) g( ) k, [ a, b] Bukti: Guaka Teorema 5 (ii) utuk fugsi f g Cotoh 7

ANALISIS II Jika f fugsi dari R ke dalam R da f ( ) f ( y) y utuk suatu p, buktika bahwa f kosta Bukti: f ( ) f ( y) p y y dega p f ( ) f ( y) p Jadi lim lim y sehigga f( ) utuk y y y sembarag R Meurut Teorema 5(ii) maka f kosta Cotoh 8 Jika f : ( a, b) R terdiferesial pada ( ab, ) da terdapat M sehigga f ( ) M, ( a, b) buktika bahwa: Bukti: (a) f kotiu seragam pada ( ab, ) (b) lim f( ) da lim f( ) ada a b f ( y) f ( ) f ( y) f ( ) (a) Karea lim f ( ) maka lim f ( ) y y y y, y ( a, b), ( ) ( ) f y f y f ( ) M y y ( a, b), y f ( y) f ( ) ( M ) y ii berlaku ( a, b) Karea f terdiferesial [jadi f kotiu, maka lim f ( y ) f ( ) ] y sehigga utuk semua, y ( a, b) da y f ( ) f ( y) ( M ) y Jika diberika da mi, maka, y ( a, b), M y f ( ) f ( y) Terbukti f kotiu seragam pada ( ab, ) p

MATA43/MODUL (b), y ( a, a ) f ( ) f ( y) Jika y tetap maka f ( y) f ( ) f ( y) Jadi E { f ( ) : ( a, a )} terbatas sehigga A if E da B sup Eada Tergatug kepada sifat fugsi f maka lim f( ) adalah A atau B Dega cara yag serupa ditetuka lim f( ) b a Cotoh 9 Buktika bahwa persamaa akar di dalam [,] 3 b 3 palig bayak mempuyai satu Bukti: Ditijau fugsi kotiu da terdiferesial pada [,] Fugsi derivatif ( ) 3 3, (,) Meurut Teorema 5(i) da (iv) f fugsi f korespodesi - da turu tegas pada [,] Karea f ( ) b f () b da f kotiu pada [,] maka persamaa tidak mempuyai akar di dalam [,] apabila b atau b Jika b da megigat f turu tegas, yaitu jika b da b, atau jika b da b maka persamaa mempuyai tepat satu akar di dalam [,] Jadi utuk semua ilai dari b persamaa 3 palig bayak mempuyai satu akar di dalam [,] 3 b Cotoh Jika f fugsi terdiferesial dari R ke dalam R dega f () da f ( ) f ( ), R, buktika bahwa f( ) pada R Bukti: Diadaika bahwa f tidak kosta ol pada R Karea f kotiu pada R maka himpua Z { : f ( ) } tertutup Meurut Teorema 5, Aalisis I, C Z memuat ( ab, ) dega a atau b atau keduaya dalam Z da f( ), boleh dimisalka f ( ), a b Ambil titik c b da ca da f ( d) maks f ( ) : [ a, c] Dega megguaka teorema ilai rata-rata da megigat f(d) > da f(a) =, maka

ANALISIS II f ( d) f ( d) ( d a) f ( ) ( d a) f ( ( d a) f ( ) ( d a) f ( ) ( d a) f ( d) dega ilai tertetu di atara a da d Jadi f ( d) ( d a) f ( d) Terjadi kotradiksi karea ( da) Cotoh Fugsi f da g mempuyai derivatif yag kotiu pada iterval I Tujukka bahwa jika fggf pada I, maka ilai-ilai ol f da g satu dega yag lai salig terpisah Bukti: Karea f da g mempuyai derivatif yag kotiu pada I, maka fugsi fg gf kotiu pada I Karea itu fg gf tidak mugki berubah tada pada I, sebab utuk perubaha tada ii fugsi ii harus berilai ol di suatu titik pada I, kotradiksi dega fggf pada I Adaika a da b dua ilai ol yag berturuta dari f Aka dibuktika terdapat tepat satu ilai ol c dari g da a c b Jadi f( ) utuk a b Karea fggf da f( a) maka ga ( ) Diasumsika f( ) utuk a b da ga ( ) terdiferesial pada ( ab, ) da Maka fugsi f( ) f g f f ( ) g( ) g( ) f ( ) ( ) g Jika fggf maka f g aik tegas pada ( ab, ), da ii tidak mugki terjadi f karea lim ( ) a g Jadi fggf da f g turu tegas pada ( ab, ) mulai dari melalui meuju ke Jadi f g berilai di tepat satu titik c ( a, b) da tepat ada satu ilai ol dari g di atara dua ilai ol dari f Karea pera f da g dalam masalah ii simetris, maka di atara dua ilai ol yag berturuta terdapat satu ilai ol dari f

MATA43/MODUL 3 Tiga kasus utuk asumsi yag lai dibahas dega cara yag semacam Teorema 6 (Teorema Nilai Rata-rata Umum) Jika fugsi f da g kotiu pada [ abda, ] terdiferesial pada ( ab, ), maka terdapat ( ab, ) sehigga f ( b) f ( a) f ( ) g( b) g( a) g ( ) Bukti: Dibetuk fugsi h( ) [ f ( b) f ( a)] g( ) [ g( b) g( a)] f ( ) Maka h kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ) lagi pula h( a) h( b) Meurut Teorema Rolle terdapat ( ab, ) dega h( ) da terbuktilah teorema di atas Sebagai akibat dari teorema ilai rata-rata umum adalah Atura L Hospital yag sagat bermafaat utuk meghitug jeis-jeis tertetu tetag limit B ATURAN L HOSPITAL Teorema 7 (Atura L Hospital) Diberika fugsi f da g : ( ab, ) R da g( ) utuk ( a, b), ( ) da lim f L a g ( ) Jika lim f ( ) lim g( ) (i) a a atau lim f ( ) lim g( ) (ii) maka a a lim f( ) L a g ( ) Bukti: Diberika Maka sehigga utuk a a ketiga ketaksamaa berikut ii berlaku

4 ANALISIS II () f() () g () (3) f ( ) L L g( ) Jika a y a maka meurut Teorema 6 ( y, ) sehigga f ( ) f ( y) f ( ) L L g( ) g( y) g( ) Karea lim f ( ) lim g( ) da jika dalam (4) diambil a maka a a f( ) da g ( ) sehigga diperoleh a y a f( y) L g( y) utuk Jadi, jika diberika, sehigga, berlaku f( ) L g ( ) Jadi terbukti lim f( ) L a g ( ) Jika lim f ( ) lim g( ) diambil y tetap dalam (4) da dibetuk fugsi Maka a a g( y) g ( ) ( ) f( y) f( ) f ( ) g( ) g( y) f ( ) g( ) ( ) g( ) f ( ) f ( y), sehigga g( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) g( ) g( ) ( a y a ) Oleh karea (ii) maka lim ( ) sehigga, berlaku a ( ) utuk a a Karea maka ( ) utuk a a Megigat (ii) da (4) maka ( ), ( ) da f ( ) L g( ) utuk a a, sehigga diperoleh (4)

MATA43/MODUL 5 f ( ) f ( ) L ( ) L g( ) g( ) = f ( ) ( ) L ( ) L ( ) L g( ) f ( ) ( ) L L ( ) L g( ) Jadi terbukti bahwa jika lim f ( ) lim g( ) maka jika diberika a a tedapat, ( a, a ) Dega demikia telah dibuktika f( ) g ( ) berlaku L L lim f( ) L a g ( ) Jelas bahwa hasil di atas berlaku juga utuk limit kiri, selajutya hasil yag diperoleh utuk limit satu arah mudah diperluas utuk limit dua arah Atura L Hospital juga berlaku utuk limit tak higga da limit di tak higga Teorema 8 Diberika fugsi f da g terdiferesial pada ( ab, ) dega g ( ) da g( ) utuk ( a, b) da (i) jika lim f ( ) lim g( ) maka a a lim f ( ) (atau ) z a g ( ) lim f( ) (atau ); a g ( ) (ii) jika lim f ( ) lim g( ) maka lim f( ) (atau ) a a a g ( ) Bukti: (i) Diberika da M Maka terdapat sehigga f ( ), g( ), da f ( ) M utuk y a Pilih y da a y a maka g( ) ( y, ) da f ( y) f ( ) f ( ) M g( y) g( ) g( )

6 ANALISIS II Jika diambil y a maka diperoleh terdapat sehigga utuk a a berlaku f( ) M Jadi diberika g ( ) M f( ) M g ( ) ( ) Jadi, lim f a g ( ) (ii) Diberika M Maka sehigga berlaku tiga ketaksamaa f ( ) f ( ) M, g( ) M, M, ( a, a ) g( ) Dipilih y da a y a, maka, y da fugsi f( ) f( y) ( ) g ( ) g( y) sehigga f ( y) f ( y) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) g ( y ) g ( ) g ( ) Jadi, utuk y a diperoleh lim ( ) da f ( y) f ( ) lim lim a f ( ) a g( ) Teorema 9 ca Jika f da g terdiferesial pada ( b, ) dega g( ), g( ) utuk ( b, ) da f ( ) lim ( atau ) g ( ) (i) jika lim f ( ) lim g( ) maka (ii) jika lim f ( ) lim g( ) maka f( ) lim ; g ( ) f( ) lim g ( ) Dega megadaka perubaha seperluya teorema juga berlaku utuk Bukti:

MATA43/MODUL 7 Dega megadaka pegubaha variabel perhatika fugsi F da G t utuk t, dega F() t f b t da G() t g t utuk t b Maka kita mempuyai fugsi F da G terdiferesial pada, b dega lim f ( ) lim F( t) da lim g( ) lim G( t) t t F t f t f G t g ( )( / t ) g ( ) ( )( / ) ( ) ( ) ( ), jadi f ( ) F ( t) lim lim g ( ) t G ( t) Dega pegubaha variabel ii Teorema 9 berubah mejadi Teorema 8 Catata : Utuk mudahya Atura L Hospital ii diguaka utuk meghitug limit berbetuk atau dari f( ) g ( ), dega meghitug f ( ) f ( ) lim lim a g( ) a g( ) utuk a bilaga real, atau Atura L Hospital diguaka utuk meghitug limit betuk tak tetu atau da betuk tak tetu yag lai yag dapat dibawa ke betuk itu,,,, da dega melakuka maipulasi aljabar atau megguaka fugsi logaritma atau ekspoesial Sesugguhya tekik peghituga limit dega megguaka atura L Hospital sudah diberika dalam kuliah kalkulus, sehigga tidak perlu diulag lagi di sii Namu, ada baikya diberika beberapa cotoh Cotoh (a) Betuk si cos lim lim ;

8 ANALISIS II cos si cos lim lim lim / ; e e 3 lim lim (b) Betuk l 4 lim lim ; 3 3 6 6 5 lim lim lim lim e e e e cos l si lim(cos ) 6 lim lim si l lim(si ) (c) Betuk dibawa ke betuk si cos 7 lim lim lim si si si cos si lim cos si (d) Betuk dibawa ke betuk 8 l lim l lim lim lim ( ) (e) Betuk

MATA43/MODUL 9 t 9 Megigat kekotiua fugsi f () t e maka lim l l lim lim e e e (f) Betuk (g) Betuk lim l e e e lim, karea l lim lim lim lim l lim e e, karea l lim l lim lim lim C PENDIFERENSIALAN FUNGSI INVERS Diberika fugsi f fugsi korespodesi - pada iterval [ ab, ] Maka tetu saja f mempuyai fugsi ivers, da jika f juga terdiferesial, wajar jika timbul pertayaa tetag adaya derivatif dari fugsi ivers Teorema Diberika fugsi f :[ a, b] R yag terdiferesial pada [ ab, ] dega f( ) utuk semua [ a, b] Maka f ([ a, b ]) dega f ( f ) ( f ( )), [, ] f ( ) a b ada da terdiferesial pada Bukti:

ANALISIS II Eksistesi fugsi f sebagai akibat dari Teorema 5(a) Jika m if{ f ( ) : [ a, b]} da M sup{ f ( ) : [ a, b]} maka f ([ a, b]) [ m, M] Dimisalka y [ m, M ] dega y [ m, M ], y y, y y Dibetuk barisa fugsi dega f ( y) f kotiu pada [ mm, ] sehigga barisa da y barisa dega f ( y ), N Meurut teorema f ( y ) koverge ke f ( y) Karea f fugsi - maka Ii berakibat bahwa f ( y) f ( y) y y f ( ) f ( ) f ( ) Jadi, utuk f ( y), atau y f ( ) terbukti bahwa ( f ) ( f ( ) lim f ( ) f ( ) f ( ) Cotoh: y f ( ) ta terdiferesial pada,, f ( ) sec f ( y) arcta y, ( f ) ( y), y (, ) sec ta y Teorema berikut adalah Teorema Nilai Atara utuk fugsi derivatif Teorema (Teorema Darbou) Jika f terdiferesial pada [ ab, ] da suatu bilaga di atara f ( a) da f () b, maka palig sedikit ada satu titik c ( a, b) da f() c Bukti: Diadaika f ( a) f ( b) Didefiisika g pada [ ab, ] oleh g( ) f ( ) utuk pada [ ab, ] Karea g kotiu maka g mecapai ilai maksimum pada [ ab, ] Karea g( a) f ( a), maka meurut Lemma ilai maksimum tidak terjadi di a Dega cara sama karea g( b) f ( b) maka ilai maksimum tidak terjadi di b Oleh

MATA43/MODUL karea itu g mecapai maksimum di suatu titik c ( a, b) Sekali lagi meurut Lemma karea g mecapai maksimum di titik iterior iterval [ ab, ] di maa g terdiferesial maka g( c) f ( c) Jadi f() c Cotoh 3 Diberika restriksi fugsi sigum g dari [,] ke dalam R, utuk g( ), utuk, utuk Apakah ada fugsi yag terdiferesial pada [,] yag derivatifya sama dega g? ( ) Jawab: Adaika ada fugsi f dega f ( ) g( ) pada [,] Jadi f () da f () Dega demikia tidak ada ilai f ( ) di atara f () da f () Kotradiksi dega Teorema sebab diadaika f terdiferesial pada [,] jadi juga pada [,] Jadi tidak mugki ada fugsi yag derivatifya sama dega g ( ) pada [,] LATIHAN Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! Diberika fugsi f dari R ke dalam R dega f ( ) f ( y) ( y),, y R Buktika bahwa f fugsi kosta Diberika fugsi terdiferesial g dari R ke dalam R dega derivatif yag terbatas Ditetuka da didefiisika fugsi

ANALISIS II f ( ) g( ) Buktika bahwa f fugsi korespodesi - jika cukup kecil 3 Diberika fugsi f :[ a, b] R yag terdiferesial di c [ a, b] Buktika utuk yag diberika terdapat sehigga utuk y da a c y b berlaku f ( ) f ( y) f ( y) y 4 Buktika bahwa utuk da maka ( ) Kemudia utuk a da b buktika a b a ( ) b kesamaa berlaku jika da haya jika a b Petujuk: Tijaulah fugsi kotiu g( ) pada [, ) da terdiferesial pada (, ) 5 Jika c, c,, c, c kostata real da jika c c c c 3 ( ) Buktika bahwa persamaa sedikit mempuyai satu akar di atara da c c c c palig 6 Diberika f :[ a, b] R kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ) Buktika jika lim f ( ) A maka f ( a) ada da sama dega A a 7 Fugsi terdiferesial f :[ a, b] R dikataka terdiferesial seragam pada [ ab, ] jika utuk setiap yag diberika terdapat sehigga, y [ a, b] da y berlaku f ( ) f ( y) f ( y) y Buktika bahwa jika f terdiferesial seragam pada [ ab, ] maka f kotiu pada [ ab, ]

MATA43/MODUL 3 8 Diberika fugsi f :[,] R yag kotiu pada [,] da terdiferesial pada (, ), dega f (), f (), f () Buktika terdapat: (a) (,) da f ( ) ; (b) (, ) da f ( ) ; da (c) 3 (, ) da f( 3 ) 3 9 Tetag fugsi f diketahui bahwa : kotiu pada [, ); terdiferesial pada (, ), f () ; da f aik mooto f( ) Dibetuk fugsi g ( ) utuk Buktika bahwa g aik mooto Apakah fugsi yag didefiisika oleh, jika rasioal f( ), jika irasioal utuk [,] dapat mejadi derivatif sesuatu fugsi? Petujuk Peyelesaia Latiha Diberika Pilihlah maka utuk f ( ) f ( y) y y Jadi f ( y), y R sehigga f kosta utuk y sembarag Terdapat M sehigga g( ) M, R Maka f ( ) g( ) M Utuk M maka f ( ) 3 Jadi f ( ), R da meurut Teorema 5(i) f korespodesi - 3 Diberika f ( t) f ( c),, t c f ( c) f ( c) tc ()

4 ANALISIS II Utuk a c y b da y maka c c y c Jika tetap maka kotiu Jadi, f ( ) f ( y) f ( ) f ( c) lim sebab f fugsi yc y c f ( ) f ( c) f ( ) f ( y) f ( ) f ( c) c y c Megigat (), maka f ( ) f ( c) f ( ) f ( y) f ( ) f ( c) f ( c) f ( c) c y c Terbukti f ( ) f ( y) f ( c) y 4 Ditijau g( ), Karea maka gkotiu ( ) da terdiferesial dega ( ) utuk g Utuk ilai g( ) da utuk ilai g( ) Karea g fugsi kotiu da g ( ) aik tegas pada (,) maka g( ) g() atau ( ) Sekaligus terbukti bahwa dalam ketaksamaa ( ) kesamaa haya terjadi utuk a Jika diamb utuk a da b maka diperoleh b a b a ( ) b da kesamaa haya terjadi utuk a b yaitu a b c c c 5 Tijaulah fugsi f ( ) c da guaka Teorema Rolle 6 Diberika maka sehigga utuk a a berlaku f ( ) A

MATA43/MODUL 5 Karea f kotiu pada [ aa, ] da terdiferesial pada ( aa, ), maka utuk a a terdapat ( a, ) da f ( ) f ( a) f ( ) (Teorema Nilai Rata-rata) a ( ) ( ) Jadi diberika,, (, ) f f a a a A, a jadi f ( a) A 7 Karea f terdiferesial seragam pada [ ab, ] jika diberika,,, y [ a, b] da y maka f ( ) f ( y) f ( y) da y f ( y) f ( ) f ( ) y Jadi f ( ) f ( y) f ( y) f ( ) f ( ) f ( y) f ( y) f ( ) y y utuk semua, y [ a, b] da y Karea f ( ) f ( y) utuk y maka ( )( )(, y [ a, b], y f ( ) f ( y) ) Jadi f kotiu seragam pada [ ab, ] sehigga kotiu pada [ ab, ] 8 (a) Guaka Teorema Nilai Rata-rata pada iterval [,] (b) Guaka Teorema Nilai Rata-rata pada iterval [,] (c) Pada [, ] fugsi f terdiferesial dega f ( ) da f ( ) Meurut Teorema terdapat 3 (, ) (,) sehigga f( 3 ) karea f ( ) f ( ) 3 3 f ( ) f ( ) 9 Utuk maka g() f ( ) f( ) Jadi utuk y, g( y) g( ) ( y ) utuk suatu da y Meurut Teorema Nilai Rata-rata f( ) f() f ( ), jadi f( ) f( ) dega sebab diketahui f ()

6 ANALISIS II Karea f aik mooto maka f( ) f( ) Jadi utuk y berlaku f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( y) g( ) f( ) Terbukti g ( ) aik mooto utuk Kotradiksi dega Teorema (Darbou), karea jika h terdiferesial pada [,] da h( ) f ( ) maka h da h(), tetapi tidak ada, sehigga h( ) dega h h() Jadi tidak mugki ada fugsi f( ) mejadi fugsi derivatif dari fugsi yag maapu pada, jadi juga pada [,] RANGKUMAN Fugsi f :[ a, b] R terdiferesial di c [ a, b ] maka f kotiu di c Teorema Rolle: Jika f :[ a, b] R kotiu pada [ abda, ] terdiferesial pada ( ab, ) da f ( a) f ( b) maka terdapat ( ab, ) sehigga f ( ) 3 Teorema Nilai Rata-rata: Jika f :[ a, b] R kotiu pada[ abda, ] terdiferesial pada ( ab, ) f ( b) f ( a) maka terdapat ( ab, ) sehigga f ( ) ba 4 Jika fugsi f kotiu pada [ ab, ] da terdiferesiabel pada ( ab, ) mempuyai ilai maksimum (miimum) di titik iterior ( a, b ) maka f ( ) 5 Jika f :[ a, b] R kotiu pada [ abda, ] terdiferesial pada ( ab, ) maka (i) f ( ), ( a, b) f korespodesi - pada [ ab, ]

MATA43/MODUL 7 (ii) f ( ), ( a, b) f kosta pada [ ab, ] (iii) f ( ), ( a, b) f aik tegas pada [ ab, ] (iv) f ( ), ( a, b) f turu tegas pada [ ab, ] (v) f ( ), ( a, b) f aik pada [ ab, ] (vi) f ( ), ( a, b) f turu pada [ ab, ] 6 Teorema Nilai Rata-rata Umum: Jika f da g kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ) maka terdapat ( ab, ) sehigga f ( b) f ( a) f ( ) g( b) g( a) g ( ) 7 Atura L Hospital diguaka utuk meghitug limit berbetuk f( ) f ( ) f ( ) atau dari dega meghitug lim lim utuk a g ( ) a g( ) a g ( ) real atau (lihat Teorema 7, 8, 9) 8 Teorema Darbou: Jika f terdiferesial pada [ ab, ] da f ( a) da f () b maka terdapat c ( a, b) sehigga f() c di atara TES FORMATIF Coba kerjaka sediri terlebih dahulu, sebelum melihat jawaba! Diberika fugsi f :[ a, b] R terdiferesial pada ( ab, ) da terdapat M sedemikia higga f ( ) M, ( a, b ) buktika bahwa: (i) f kotiu seragam pada ( ab, ) (ii) lim f( ) da lim f( ) ada a b h Guaka Teorema Nilai Rata-rata utuk membuktika h utuk h Apakah ada cara yag lebih mudah utuk megerjaka ii?, jika rasioal 3 Diberika fugsi f dega rumus f( ), jika irasioal Apakah f () ada? Apakah f ( ) ada utuk?

8 ANALISIS II 4 p Tujukka bahwa lim p e da bulat positif p 5 Hituglah lim(cot / ) da lim l l lim utuk setiap bilaga p e 6 Jika f :[ a, b] R terdiferesial dalam ( ab, ) da ( a, b ) hituglah f ( h) f ( h) lim h h Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii Hituglah jawaba yag bear Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear % Jumlah Soal Arti tigkat peguasaa: 9 - % = baik sekali 8-89% = baik 7-79% = cukup < 7% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 8% atau lebih, Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar Bagus! Jika masih di bawah 8%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai

MATA43/MODUL 9 J Kegiata Belajar Teorema Taylor ika f suatu fugsi real yag terdiferesial pada [ abmugki, ] bahwa f juga fugsi terdiferesial pada beberapa atau semua titik pada [ ab, ] A DERIVATIF TINGKAT TINGGI Jika titik yag dimaksudka itu maka derivatif dari f di titik diyataka dega f ( ) da diamaka derivatif tigkat kedua dari f di titik Perlu diperhatika bahwa agar f ( ) ada, f ( ) harus ada di suatu kitar dari Derivatif-derivatif tigkat tiggi didefiisika secara iduktif dega () f f da f B SUKU BANYAK TAYLOR ( f ) utuk k,,, ( k) ( k) k Jika P( ) a a ak a suatu sukubayak berderajat, maka P ( ) k! a ( k ) k a ( ) ( k) a da ( k) k k k ( k P ) () k! a k Kita peroleh P ( ) ( k a P ) () / k! sehigga P ( ) mejadi k ( k) ( ) P() P() P () k P () P()!! k!! ( k) P () k k! k Dega cara yag serupa peyajia P ( ) dalam pagkat-pagkat ( ) dapat diperoleh P ( ) P ( k) k ( ) ( ) k k! Jika fugsi f :[ a, b] R mempuyai derivatif sampai tigkat di ( a, b) maka betuk yag sama utuk fugsi f, f ( ) P ( k) k ( ) ( ) k k!

3 ANALISIS II diamaka sukubayak Taylor derajat utuk fugsi f di sekitar Jika ( k) P ( ) k P fugsi sukubayak derajat dalam maka P( ) ( ), k! k tetapi tidak demikia halya utuk fugsi f yag buka sukubayak derajat Utuk fugsi f ii f ( ) f P R R ( k) k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k! di maa R( ) f ( ) P( ) diamaka sukusisa di Mudah dihitug ( k) ( k) ( k) bahwa R ( ) f ( ) P ( ) utuk k,,,, o Aka kita tetuka bagaimaa betuk sukusisa R () Kita betuk fugsi Q( ) ( ) Pehatika bahwa ( k ) R ( ) da Q ( ) ( k) utuk k,,,, Dega megguaka Teorema Nilai Rata-rata Umum (Teorema 6) diperoleh, R ( ) R ( ) R ( ) R ( ) utuk suatu Q( ) Q( ) Q( ) Q ( ) di atara da R ( ) R ( ) R ( ) R ( ) utuk suatu Q( ) Q( ) Q( ) Q di atara da ( ) Demikia seterusya diperoleh ( ) R ( ) R ( ) R ( ) R ( 3) R ( ) ( ) Q( ) Q( ) Q( ) Q ( ) Q ( ) 3 di maa suatu titik di atara k da k Aka tetapi, R ( t) f ( t) f ( ) da ( ) ( ) ( ) ( ) Q t t ( ) ( )!( ) sehigga ( ) ( ) R( ) f ( ) f ( ) ( ) ( )! Dega megguaka teorema ilai rata-rata pada betuk terakhir ii, diperoleh ( ) R ( ) f ( ) ( ) ( )! di maa suatu titik di atara da

MATA43/MODUL 3 Uraia di atas disajika sebagai Teorema Taylor dega suku sisa sebagai berikut Teorema (Teorema Taylor dega Suku Sisa) Diberika f :[ a, b] R yag mempuyai derivatif sampai tigkat pada ( ab, ) da ( a, b) Maka ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) R ( )!! ( ) f ( ) R ( ) ( ) ( )! dega suatu titik tertetu di atara da, da R () diamaka suku sisa ke- dalam peyajia f( ) ke dalam sukubayak Taylor dalam pagkat-pagkat ( ) Catata : Dalam kasus = Teorema Taylor ii mejadi Teorema Nilai rata-rata Utuk deret Taylor diamaka deret Maclauri Teorema Taylor memotivasi kita kepada suatu pertayaa berikut Jika f :[ a, b] R mempuyai derivatif dari segala tigkat dalam ( ab, ), fugsi semacam ii dikataka terdiferesial tak higga (ifiitely differetiable), apakah ( k) f ( ) hubuga atara f( ) dega deret tak higga ( ) k? Deret k! ii diamaka deret Taylor utuk f di sekitar titik Fugsi f( ) da deret ii aka sama jika da haya jika lim R ( ) utuk semua ( a, b) Teorema 3 k Jika fugsi f mempuyai derivatif dari semua tigkat dalam ( ab, ) da terdapat M sehigga ( a, b) maka berlaku ( k) k ( ) ( ) k k! ( k f ) () M, k,,,, ( a, b) utuk f ( ) f, ( a, b) ()

3 ANALISIS II Bukti: Syarat perlu da cukup agar () bear adalah lim R ( ), ( a, b) f ( ) f R, ( k) k ( ) ( ) ( ) k k! dega f ( k ) ( ) ( ) k M k da k! k! Badigka dega deret suku positif koverge R ( ) adalah suku ke-(+), jadi M lim R ( ) lim, ( a, b)! M R ( ) (!)! M k! Cotoh 4 Berikut ii diberika beberapa deret Maclauri yag terkeal: (a) e!! (, )! k di maa 4 ( ) ( ) (b) cos, (, )! 4! ( )! ( )! 3 5 ( ) ( ) (c) si, (, ) s! 5! ( )! ( )! (d) cosh, (, )! ( )! ( )! 3 (e) sih, (, ) 3! ()! ()! (f), (,) (g) ( ) ( ), (,)

MATA43/MODUL 33 Bukti: (a) f ( ) e terdiferesial pada (, ) da utuk semua k,,, da berlaku k e e R ( ) dega R ( ) k k! ( )! da ilai tertetu di atara da ( k ) f ( ) e, (, ) ( k f ) () Jadi utuk tertetu dalam R Harus dibuktika utuk ilai tertetu ii lim R ( ) Jika telah ditetapka maka terdapat N N sehigga Jadi, e ( N )! N RN ( ) N M ( ) e ( ) N N RN RN M M ( N )! N N N dega N N RN( ) RN ( ) M M N3 N3 N p Demikia seterusya diperoleh RN p( ) M dega p Jadi lim R ( ) lim R ( ) M lim sehigga lim R ( ) Np p p utuk setiap yag diberika Dega demikia utuk setiap R terbukti (b) Jadi e k k k! f f f f (4 k) (4k ) (4 ) ( ) cos, ( ) cos, k ( ) si, ( ) cos, (4k f 3) ( ) si, ( k f ) ( ), k,,, R, maka meurut Teorema 3 lim R ( ), R

34 ANALISIS II Karea (4 k) (4k) (4k) (4k3) f (), f (), f (), f () maka ( ) f () ( ) Jadi ( ) 4 f () ( ) f ( ) cos, R ( )!! 4! ( )! (f) f ( ) ( ), ( k) ( k ) f ( ) k!( ) f () k f ( ) R ( ) R ( ), 3 f ( ) ( ), f ( )!( ), ( k) k ( ) k k! k R ( ) [ ],( ) Jadi, lim R ( ) k da terbukti bahwa ( ) k Rumus-rumus Maclauri yag laiya buktiya diserahka kepada pembaca C NILAI EKSTREM Fugsi f : D R dega DR dikataka mempuyai maksimum lokal di titik D, jika terdapat da utuk semua D N(, ) berlaku f ( ) f ( ) Miimum lokal didefiisika dega cara yag semacam Fugsi f dikataka mempuyai ekstrem di jika di titik itu f mempuyai maksimum atau miimum Dalam Lemma telah disajika syarat perlu adaya ekstrem dari fugsi f yag kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ) di titik iterior ( a, b) adalah f ( ) Bahwa syarat ii tidak cukup dapat diambil cotoh f ( ) da 3 meskipu terdiferesial pada [,] f () tetapi f tidak mecapai ekstrem titik iterior Baiklah kita tulis lagi lemma tersebut

MATA43/MODUL 35 Lemma 3 Jika f :[ a, b] R mempuyai ekstrem lokal di titik ( a, b) da jika f terdiferesial di maka f () Bukti: Diadaika f mempuyai miimum lokal di Utuk cukup dekat f ( ) f ( ) dega da aka kita jumpai bahwa yag f ( ) f ( berakibat f ) ( ) Utuk maka f ( ) Teorema 4 Jika f :[ a, b] R kotiu pada [ abda, ] mempuyai derivatif sampai tigkat ( ) pada ( ab, ) da di titik iterior ( a, b) berlaku sehigga ( ) f ( ) f ( ) f ( ) da ( ) ( ) f ( ), f kotiu di da gasal maka f mempuyai ekstrem lokal di, da ekstrem miimum jika f ( ) ( ), da ekstrem maksimum jika f Jika geap maka tidak terjadi ekstrem utuk f di titik ( ) ( ) Bukti: (a) Kasus utuk gasal, jadi geap ( ) f ( ) Maka f ( ) f ( ) R ( ) ( ) ( )! di atara da Utuk yag cukup kecil tada dari sama dega tada dari f ( ) ( ) utuk karea f di O karea geap maka utuk ii ilai f ( ) f ( ) jika f f ( ) ( ) ( ) Jadi, f mempuyai miimum di jika f ( ) ( ) ( ) da f ( ) f ( ) jika f ( ) utuk a b da ( f ) ( ) ( ) kotiu ( ) da maksimum jika

36 ANALISIS II (b) Kasus utuk geap, jadi gasal Dalam hal ii tada dari f ( ) f ( ) utuk tidak sama dega utuk, sehigga tidak terjadi ekstrem utuk f di titik Cotoh 5 Dalam Teorema 4 utuk kita mempuyai teorema yag sagat terkeal dalam kalkulus: Jika f :[ a, b] R di titik iterior ( a, b) mempuyai ilai f ( ) da f ( ) maka f mempuyai ilai ekstrem di, ekstrem itu maksimum jika f ( ) da miimum jika f ( ) Cotoh 6 Jika f :[ a, b] R terdiferesial da mempuyai maksimum (miimum) lokal di a, apakah perlu f ( a)? Jika tidak yataka da buktika syarat perlu utuk maksimum (miimum) lokal di a Bagaimaakah keadaaya di b? Jawab: Tidak perlu f ( a) Fugsi f maksimum lokal di a jika diberika,, [ a, b], a a berlaku f ( a) f ( ), jadi f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) Karea f ( a) ada maka f( a) lim a a a Dega demikia agar f mecapai maksimum lokal di a haruslah f( a) Syarat perlu utuk miimum lokal di a adalah f ( a) Dega cara yag serupa dapat ditujukka bahwa syarat perlu utuk maksimum lokal di b adalah f( b) da utuk miimum lokal di b adalah f( b) Syarat itu tidak cukup, misalya f ( ) si,,, f () Maka 4 f (), f 4, f 4 Karea f ( 4 k) ( 4 k)

MATA43/MODUL 37 da 4 f, k,,, maka f tidak mecapai (4k3) (4k3) maksimum atau miimum lokal di meskipu f (), tetapi f mecapai maksimum lokal di Cotoh 7 Diberika fugsi f :[ a, b] R kotiu pada [ ab, ] da terdiferesial pada ( ab, ) kecuali mugki di titik ( a, b) Jika tujukka bahwa f terdiferesial di da f ( ) L lim f ( ) L ada, Bukti: Diberika, maka terdapat sehigga utuk ( a, b), berlaku f ( ) L () Karea f kotiu di, maka f kotiu pada [, ] da [, ] terdiferesial pada (, ) da (, ) Meurut teorema ilai rata-rata utuk atau berlaku f ( ) f ( ) f ( ) utuk suatu di atara da Karea maka berlaku (), yaki Jadi f ( ) f ( ) f ( ) L L f ( ) f ( ) f ( ) lim L utuk, Cotoh 8 utuk Jika diberika f( ) e utuk buktika bahwa f () [Petujuk : guaka Cotoh 7]

38 ANALISIS II Bukti: lim f( ) lim e Dega meggati variabel t maka utuk diperoleh t da utuk diperoleh t Jadi lim f( ) lim t e Karea f () maka f kotiu di Dega demikia f kotiu pada [,] da terdiferesial pada iterval (,) kecuali mugki di titik di dalam (,) 3 t Utuk diperoleh f ( ), maka lim f ( ) lim t 3 e e Dega atura L Hospital utuk betuk diperoleh lim f( ) Meurut Cotoh 7 maka f () lim f ( ) Cotoh 9 (Atura Leibitz) ( ) ( ) ( ) Buktika ( ) k k k! fg C(, k) f g, k C(, k) k!( k))! Bukti : Aka dibuktika dega iduksi matematik Rumus bear utuk sebab () () () () () ( fg) C(,) f g C(,) f g f g fg Diasumsika rumus bear utuk r, jadi ( ) ( ) ( ) ( fg r kr ) C k r k ( r, k ) f g bear k ( r ) k r ( k) ( r k) k Berdasarka asumsi ii dibuktika ( fg) C( r, k) f g bear ( fg ) C ( r, k ) f g C ( r, k )[ f g f g ] ( r ) k r ( k ) ( rk ) k r ( k ) ( rk ) ( k ) ( r k ) k k, kr ( k) ( rk ) kr ( k) ( r k ) C( r, k) f g C( r, k) f g k k

MATA43/MODUL 39 dega meggati ideks k dega s pada pejumlaha yag pertama da k dega s pada yag kedua, diperoleh ( r) sr ( s) ( r s) sr ( s) ( r s) fg C ( r, s ) f g C ( r, s ) f g s s ( r) () () ( r) s r ( s) ( r s) s C( r, r) f g C( r,) f g [ C( r, s ) C( r, s)] f g Tetapi C( r, r) C( r, r ) da C( r,) C( r,) da r! r! C( r, s) C( r, s) s!( r s)! ( s)!( r s )! r! ( r )! [/ s /( r s )] C( r, s) ( s)!( r s)! s!( r s)! ( r) s r ( s) ( r s) Jadi ( fg) C( r, s) f g da terbuktilah rumus s Leibitz Cotoh Guaka Teorema Taylor dega utuk medekati 3, Diambil fugsi 3 3 f ( ) ( ) da 3 f ( ) di titik da Karea sehigga f ( ) P ( ) R ( ) R ( ) dega 9 5 3 f ( ) ( ) maka f (), f () 3 9 f ( ) 8 3 5 3 R ( ) utuk suatu di atara da 8 3! Jika diambil,3 maka ilai pedekata utuk 3,3 adalah P (,3),9 Karea maka 8 3 ( ) da 5 3 R ( ) (,3),7 8 6 Jadi kita peroleh 3,3,9,5 sehigga ilai pedekata kita teliti dua desimal di belakag koma Cotoh 5 Dekati ilai bilaga e dega ralat kurag dari ( Diambil f ( ) e da da Karea ) f ( ) e maka 3 9

4 ANALISIS II e P ( ) R ( ) R ( )!! dega R ( ) e utuk suatu di atara da ( )! Karea e 3 kita harus mecari sedemikia higga 3 ( )! 5 Jika 5 dihitug 9! 3688 3( ) sehigga 8 cukup memeuhi syarat utuk ralat yag dimita Karea 8! 43 maka tidak ada yag lebih kecil lagi dapat diguaka utuk ilai Jadi, kita peroleh e P(), 788 8! 8! dega ralat kurag dari 5 Carilah suku bayak Taylor P( ) dega suku sisa 3 R () 3 utuk fugsi f di 3 (a) f ( ) a b c d da, (b) f ( ) si da, (c) f ( ) /( ) da Tujukka bahwa jika maka 8 3 Tujukka bahwa cos utuk semua R 4 Kita igi medekati sius dega suku bayak pada [,] sehigga ralatya kurag dari, Tujukka bahwa diperoleh 3 5 si utuk 6 54 5 Diadaika bahwa I R suatu iterval terbuka da f ( ), I Jika c LATIHAN Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! I, tujukka bahwa bagia grafik fugsi f pada I tidak perah di bawah garis siggug pada grafik di titik ( c, f ( c ))

MATA43/MODUL 4 Petujuk Peyelesaia Latiha (a) (b) (c) f d c b a R 3 ( ), 3( ) si R ( ), R ( ) si da suatu bilaga di 3 4 6 3 3 4 atara da 4 cos R ( ), R ( ) cos da suatu bilaga di atara da 3 3 4 Diambil f ( ), 3 5 3 4 8 f (), f ( ) ( ), f ( ) ( ), f ( ) ( ) f ( ) R ( ), f ( ) R ( ) 8 3 5 3 ( ) ( ), 8 ( ) ( ) 6 R R dega bilaga tertetu di atara da Karea R( ), R( ) maka 3 f ( ) cos utuk R 8 f ( ) f () f () f () R ( ) R ( ) f ( ) 3 si 3 dega R ( ) 6 6 Utuk maka maka R ( ) Demikia juga utuk maka diperoleh R ( ) Jadi, cos utuk Jika maka 3 cos maka ketaksamaa cos dega sediriya bear Jadi ketaksamaa berlaku utuk semua R 4 f ( ) si, f ( ) cos, f ( ) si, f ( ) cos, (4) (5) f ( ) si, f ( ) cos, (4) (5) f (), f (), f (), f (), f (), f () (6) (7) f (), f (), (7) f ( ) 7 R6 ( ), suatu di atara da, sehigga 7! R6 ( ),, karea [,], sedagka 7! 54 6! 7

4 ANALISIS II 3 5 Jadi, si R6 ( ), da utuk [,] maka 6 3 5 si (, 6 54 5 Grafik fugsi f mempuyai persamaa y f ( ), I Garis siggug di ( c, f ( c )) adalah y g( ) dega g( ) f ( c)( c) f ( c ), I f ( ) Utuk I, f ( ) f ( c) f ( c)( c ) da suatu bilaga di atara c da Karea f ( ) utuk I maka f ( ) g( ) f ( ), da grafik f tidak perah di bawah garis siggug di titik ( c, f ( c )) RANGKUMAN Teorema Taylor Jika f :[ a, b] R mempuyai derivatif sampai tigkat da ( a, b) maka ( k) ( ) k f ( ) k f ( ) f ( ) ( ) R ( ), R ( ) ( k ) k! ( )! da titik tertetu di atara da ( k) k f ( ) k Deret Taylor: f ( ) ( ) jika da haya jika k k! lim R ( ) Teorema Nilai Ekstrem Jika f :[ a, b] R kotiu pada [ ab, ] da mempuyai derivatif sampai tigkat pada ( ab, ) da di titik iterior ( a, b) berlaku f ( ) f ( ) f ( ) da ( ) ( ) f ( ), ( ) f da da gasal, maka f mempuyai ekstrem lokal di, ekstrem itu miimum jika ( ) f ( ) da maksimum jika Jika geap tidak terjadi ekstrem di ( ) f ( )

MATA43/MODUL 43 TES FORMATIF Coba kerjaka sediri terlebih dahulu, sebelum melihat jawaba! Jika f ( ) 3 hituglah utuk R ilai f ( ) da f ( ) Tujukka bahwa f () tidak ada Megapa tidak memeuhi koklusi Teorema Rolle pada[,]? 3 Didefiisika fugsi f : R R oleh Apakah f () ada? Apakah f ( ) ada utuk?, jika rasioal f( ), jika irasioal 4 Jika f :[ a, b] R terdiferesial pada ( ab, ) da ( a, b) tetuka 5 Tujukka bahwa 6 Jika f : e R R buktika g( t) f ( t) f ( t) f ( h) f ( h) lim h h ( ) utuk jika f ( ) maks f ( ), g ( f ) terdiferesial di t dega, Petujuk: Guaka fugsi ( ), 7 Diketahui f :[, R ) da terdiferesial pada (, ) da diketahui bahwa lim f ( ) L Buktika bahwa: f ( h) f ( ) (a) utuk sembarag h > maka lim L; h (b) jika f ( ) k utuk maka L = ; f( ) (c) lim L 8 Diberika f :[,] R terdiferesial sedemikia higga tidak ada di maa f ( ) f ( ) Buktika bahwa himpua Z { : f ( ) } berhigga

44 ANALISIS II 9 Diberika f :[ a, b] [ a, b] terdiferesial pada ( ab, ) da terdapat,, sehigga f () t utuk t ( a, b) Buktika bahwa f mempuyai titik tetap yag tuggal dalam [ ab, ] Diberika fugsi f : (,) R terdiferesial dalam [,] da f ( ), (,) Buktika barisa koverge jika f Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii Hituglah jawaba yag bear Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear % Arti tigkat peguasaa: 9 - % = baik sekali 8-89% = baik 7-79% = cukup < 7% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 8% atau lebih, Ada dapat meeruska dega Modul berikutya Bagus! Jika masih di bawah 8%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar ii, terutama bagia yag belum dikuasai

MATA43/MODUL 45 Kuci Jawaba Tes Formatif Tes Formatif (i) Utuk sembarag y di dalam ( ab, ) maka f ( y) f ( ) f ( )( y ) utuk suatu ( y, ) Jadi f ( y) f ( ) f ( ) y M y Jika diberika maka, y ( a, b ) dega y Terbukti f kotiu seragam pada (, ) M berlaku f ( f ( ) ab (ii) Fugsi f terbatas pada ( aa, ), sebab utuk, y ( a, a ) da y tetap berlaku f ( ) f ( y ) Tergatug pada kelakua fugsi di dekat a maka lim f( ) ada yaki supremum atau ifimum dari a himpua ilai f( ) disekitar dekat a itu Ada buktika sediri bahwa lim f( ) ada b Dipadag fugsi f ( ) utuk [, h ], maka 3 h f ( h) f () utuk suatu (, h ) Jadi h h f ( h) f () Utuk a da b berlaku h da karea a b a b Karea h da h h h bear maka h juga bear f( h) f () lim h Diberika h h f ( h) f () Utuk h rasioal h, utuk h irasioal h f ( h) f () h Jadi jika diberika terdapat

46 ANALISIS II sehigga utuk h berlaku f ( h) f () h, yag f ( h) f () berarti bahwa f () lim h h Sekarag diselidiki utuk Dibedaka utuk rasioal da irasioal (i) Jika rasioal da h rasioal maka f ( h) f ( ) ( h) lim lim ; jika h irasioal maka h h h h lim h h tidak ada Jadi utuk da irasioal f ( ) tidak ada (ii) Utuk irasioal f ( y) f ( ) y Utuk y rasioal maka lim lim tidak ada, y y y y f ( y) f ( ) utuk y irasioal maka lim lim Jadi utuk y y y y da irasioal maka f ( ) tidak ada Dari (i) da (ii) diperoleh bahwa utuk maka f ( ) tidak ada p p p p! 4 Dega atura L Hospital lim lim lim ; e e e l lim lim p p p 5 Dega atura L Hospital ta cos si lim(cot / ) lim lim lim ta ta cos si cos si lim cos si l lim l lim lim lim

MATA43/MODUL 47 f ( h) f ( h) f ( h) f ( ) f ( ) f ( h) h h 6 lim lim h h f ( h) f ( ) f ( t) f ( ) lim lim h t h t f ( ) Tes Formatif 3 jika, f( ) 3 jika 3 maka f ( ) jika, 3 jika da 6 jika, f ( ) 6jika f ( ) f () 6 lim lim 6, sedagka f ( ) f () 6 lim lim 6 f ( ) f () Karea kedua ilai limit ii tidak sama maka lim tidak ada, jadi f () tidak ada, Karea f( ),, maka f ( ),, da f () tidak ada Meskipu f kotiu pada [, ] da f() f() tetapi tidak terdiferesial pada (, ) (sebab f () tidak ada), jadi hipotesis dalam Teorema Rolle tidak dipeuhi oleh f, sehigga koklusi bahwa terdapat (,) da f ( ) tidak dipeuhi 3 Nilai f () Utuk da rasioal, ada barisa y, y irasioal, da y da lim f( y ) f ( ) da irasioal dapat dibuat barisa rasioal, lim f ( z) f ( ) Demikia juga utuk z z tetapi Kedua peryataa ii meujukka bahwa

48 ANALISIS II f diskotiu di (lihat Teorema 8 (b), buku Aalisis I) Karea f tidak kotiu di maka f ( ) tidak ada (lihat Teorema ) Agar f () ada perlu f ( ) ada di sekitar, karea f ( ) tidak ada utuk, jadi f () pasti tidak ada 4 Utuk h, da megigat f terdiferesial di maka f ( h) f ( h) f ( h) f ( ) f ( h) f ( ) lim lim lim h h h h h h ( ) ( ) ( ) f f f 5 f ( ) e ( ), f ( ) e Utuk, f( ) da f( ) turu tegas pada (,) Utuk, f( ) da f( ) aik tegas (,) f () da f () f( ) mecapai maksimum di Jadi e ( ), (,] da e, (,] t, t 6 Fugsi () t t, t mempuyai derivatif () t, t, t f ( ), f ( ) g( ) [ f ( )] ( f ( ) da f ( ), f( ) Jadi f ( ) f ( ), jika f( ) g( ) ( t)( f ) ( ) t f ( ) f ( ) f ( ), jika f( ) 7 Jika diberika, maka terdapat M sehigga M maka f ( ) L f ( h) f ( ) a Utuk M da h maka f ( ) utuk h suatu da h Karea M maka M berlaku

MATA43/MODUL 49 f ( h) f ( ) L h f ( ) L Terbukti bahwa f ( h) f ( ) lim L h b f ( h) f ( ) k k Jika lim f ( ) k maka lim h h c Utuk M meurut Teorema Nilai Rata-rata f ( ) f ( M ) f ( )( M ) utuk suatu da di atara M da f ( ) f ( M) M Maka ( ) f ( ) f ( ) f ( M ) M L L f ( ) M f( M) ( f ( ) L) L( M Jadi, f ( ) f ( ) L f ( ) L L M f( M) Dapat dipilih KM sehigga da M L utuk K Dega demikia utuk K M berlaku f( ) f( ) L 3 Jadi lim L 8 Diadaika Z { [,]: f ( ) } tak higga Oleh karea [,] kompak maka mempuyai sifat Bolzao-Weierstrass, yaki setiap ifiite subset dari [,] mempuyai titik limit di dalam [,] Jadi p [,] da p titik limit Z Utuk setiap kitar N( p, ) memuat takhigga titik-titik Z Meurut teorema Rolle di atara dua

5 ANALISIS II titik Z memuat titik ol dari f Jadi N( p, ) memuat tak higga titiktitik di maa derivatif f berilai ol Jadi p titik limit himpua F { [,]: f ( ) } Karea f kotiu pada [,] maka Z tertutup jadi pz da f( p) Utuk setiap,, [,] da ( ) ( ) f f p p f ( p) p f terdiferesial di p da f( p) f( ) f ( p) p Tetapi p titik limit Z sehigga y Z, jadi f( y) da y p f( y) f ( p) y p sebab f ( p) Jadi f ( p) Dega demikia jika Z tak higga terdapat titik p [,] dega f ( p) f ( p) Terjadi kotradiksi sehigga Z harus berhigga 9 Utuk da y dalam [ ab,, ] di atara da y da f ( ) f ( y) y f ( ) Jadi,, y [ a, b] berlaku f ( ) f ( y) y dega Meurut Defiisi 94, Aalisis I, f fugsi kotraksi dari himpua kompak [ ab, ] kepada [ ab, ] sehigga f mempuyai titik tetap yag tuggal di dalam [ ab, ] (Teorema 9,8, Aalisis I) f f f ( ), ( ( ) ( ) Jadi N berlaku k S k k k S, dega S barisa suku-suku positif yag koverge, sebab S jumlah k k parsial dari deret da p yag koverge (Lihat p Cotoh 44, Modul 4, Aalisis I) Jadi N berlaku S S da terbukti bahwa barisa koverge

MATA43/MODUL 5 Daftar Pustaka Bartle, Robert G & Sherbert, Doald R (99) Itroducto to Real Aalysis Joh Wiley & Sos, Ic DePree, Joh D & Swartz, Charles W (988) Itroductio to Real Aalysis Joh Wiley & Sos, Ic Rudi, Walter (976) Priciples of Mathematical Aalysis McGraw-Hill Kogakusha, Ltd