Modul Iduksi Matematik da Teorema Biomial Sukirma I PENDAHULUAN duksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia dari bayak teorema dalam Teori Bilaga maupu dalam mata kuliah matematika laiya. Sedagka Teorema Biomial, selai sebagai dasar, bayak diguaka dalam peurua beberapa teorema da pemecaha masalah dalam matematika. Oleh karea itu, dalam mempelajari mata kuliah ii Ada diharapka dapat meerapka iduksi matematik da teorema biomial dalam pembuktia da dalam pemecaha soal-soal matematika. Secara lebih rici, setelah mempelajari modul ii, Ada diharapka dapat:. meetuka lagkah-lagkah yag harus ditempuh dalam pembuktia dega iduksi matematik;. meetuka basis iduksi dalam pembuktiaya; 3. meetuka lagkah iduksi dalam pembuktiaya; 4. terampil meerapka lagkah-lagkah pembuktia dega iduksi matematik; 5. meghitug koefisie biomial; 6. meetuka sifat-sifat koefisie biomial; 7. meerapka sifat-sifat koefisie biomial dalam pemecaha masalah terkait. Peguasaa kemampua-kemampua tersebut sagat petig bagi mereka yag aka mempelajari matematika karea bayak mata kuliah matematika yag megguaka prisip-prisip tersebut utuk meuruka teorema atau utuk pemecaha masalah. Hampir setiap modul berikutya.
. Teori Bilaga ati megguaka dua prisip tersebut, baik utuk membuktika teorema maupu utuk memecahka soal-soalya. Utuk membatu Ada dalam meguasai kemampua tersebut, dalam modul ii disajika uraia materi da cotoh-cotohya, latiha memecahka soal da tes pada tiap kegiata belajar. Modul ii terdiri dari kegiata belajar, yaitu sebagai berikut. Kegiata Belajar : Iduksi Matematik. Kegiata Belajar : Teorema Biomial. Agar Ada berhasil dega baik dalam mempelajari modul ii, ikutilah petujuk belajar berikut ii.. Bacalah dega cermat Pedahulua ii sehigga Ada memahami gambara secara global isi modul, utuk apa dipelajari, da bagaimaa mempelajariya.. Bacalah dega saksama uraia materi da cotoh-cotohya jika perlu carilah cotoh lai. Berilah tada-tada pada bagia-bagia yag Ada aggap petig. 3. Kuci utama agar berhasil dalam belajar matematika adalah kesaggupa utuk berlatih memecahka soal-soal. Oleh karea itu, kerjakalah soal-soal latiha baik secara idividual, dalam kelompok kecil atau dalam tutorial, utuk pematapa.
PAMA34/MODUL.3 I Kegiata Belajar Iduksi Matematik duksi Matematik merupaka salah satu argumetasi pembuktia suatu teorema atau peryataa matematika yag semesta pembicaraaya himpua bilaga bulat atau lebih khusus himpua bilaga asli. Perhatika cotoh peryataa-peryataa matematik berikut ii. Cotoh : + + 3 +... + = ( + ), utuk setiap bilaga asli. Bearkah peryataa ii? Utuk mejawab pertayaa ii, kita dapat mecoba dega mesubstitusika dalam peryataa itu dega sembarag bilaga asli. Apabila = maka peryataa itu mejadi =. ( + ), atau =, yaitu diperoleh suatu peryataa yag bear. Apabila = maka peryataa itu mejadi + =. ( + ), atau 3 = 3, yaitu diperoleh suatu peryataa yag bear. Apabila = 3 maka peryataa itu mejadi + + 3 =. 3(3 + ), atau 6 = 6, yaitu suatu peryataa yag bear pula. Ada dapat melajutkaya utuk = 4; 5; atau bilaga asli laiya da aka selalu memperoleh peryataa yag berilai bear. Apakah dega memberika beberapa cotoh dega substitusi pada peryataa semula da diperoleh peryataa-peryataa yag bear, sudah memberika bukti tetag kebeara peryataa tersebut? Dalam matematika, pemberia beberapa cotoh seperti itu buka merupaka bukti dari kebeara suatu peryataa yag berlaku dalam himpua semestaya. Peryataa pada cotoh di atas, himpua semestaya ialah himpua semua bilaga asli. Apabila kita dapat memberika cotoh utuk tiap bilaga asli pada
.4 Teori Bilaga peryataa tersebut da masig-masig memperoleh peryataa yag bear maka hal tersebut dapat merupaka bukti kebeara dari peryataa itu. Aka tetapi, hal ii tidak efisie da tidak mugki kita lakuka karea bayakya himpua bilaga asli ada tak berhigga. Lalu bagaimaa cara membuktika peryataa tersebut? Salah satu caraya ialah memadag ruas pertama dari peryataa itu sebagai deret aritmetika dega suku pertama a =, bedaya b =, suku terakhirya ialah U = da memiliki buah suku. Maka, jumlah deret itu adalah S = (a + U ) = ( + ) = ( + ), yaitu ruas kedua dari peryataa yag dibuktika. Cara lai utuk membuktika peryataa itu adalah dega iduksi matematik. Lagkah-lagkah pembuktia dega iduksi matematik adalah sebagai berikut. Misalka, p() adalah suatu proposisi yag aka dibuktika bear utuk setiap bilaga asli. Lagkah-lagkah pembuktiaya dega iduksi matematik sebagai berikut: Lagkah () : Ditujukka bahwa p(l) bear. Lagkah () : Diasumsika bahwa p(k) bear utuk suatu bilaga asli k da ditujukka bahwa p(k+) bear. Jika lagkah-lagkah () da () berhasil ditujukka kebearaya maka selajutya disimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli. Megapa demikia? Lagkah (), yaitu p(l) bear, da karea lagkah () maka p() bear pula. Selajutya karea p() bear, meurut lagkah () maka p(3) bear pula. Da meurut lagkah () lagi maka p(4) bear pula, da seterusya sehigga p() bear utuk setiap bilaga asli. Lagkah () di atas serig disebut basis (dasar) iduksi, da lagkah () disebut lagkah iduksi. Kita sekarag aka meerapka lagkah-lagkah pembuktia dega iduksi matematik itu utuk membuktika peryataa pada Cotoh di atas.
PAMA34/MODUL.5 Cotoh : asli. Buktika bahwa + + 3 +...+ = ( + ), utuk setiap bilaga Bukti: Misalka, p() meyataka + + 3 +...+ = ( + ) () p() adalah = ( + ), yaitu =, jelas bear. () Diasumsika bahwa p(k) bear utuk suatu bilaga asli k, yaitu: + + 3 +...+ k = k ( k + ) bear. Selajutya harus ditujukka bahwa p(k+l) bear, yaitu: + + 3 +...+ k ( k ) = ( k + )( k + ) Hal ii ditujukka sebagai berikut: + + 3 +...+ k ( k ) = ( 3... k) ( k ) k ( k + ) +( k +) (karea diasumsika) = ( k+)( k) ( k )( k ) Jadi, + + 3 +...+ k ( k ) = ( k )( k ), berarti p(k+l) bear. Sehigga p() bear utuk setiap bilaga asli. Jika kedua ruas pada cotoh tersebut dikalika maka diperoleh: + 4 + 6 +... + = ( + ) Coba buktika dega megguaka iduksi matematik bahwa peryataa ii bear utuk setiap bilaga asli.
.6 Teori Bilaga Cotoh 3: Hituglah + 3 + 5 +...+ ( -). Jawab: + 3 + 5 +...+ ( -) sebagai deret aritmetika dega suku pertama a =, beda b = da bayakya suku adalah serta suku terakhirya U = ( -). Maka, jumlaha tersebut dapat dihitug dega rumus jumlaha deret aritmetika, yaitu: S ( au ) ( ) S Jadi 35... () Aka tetapi, apabila kita lupa atau belum megerti rumus deret tersebut maka hal tersebut tidak dapat kita lakuka. Kita dapat membuat dugaa dega mecoba jumlah beberapa suku sebagai berikut = + 3 = 4 + 3 + 5 = 9 + 3 + 5 + 7 = 6 da seterusya. + 3 + 5 +... + 99 =? Tampak bahwa jumlaha-jumlaha ii merupaka bilaga kuadrat sempura. Sehigga kita bisa meduga bahwa: + 3 + 5 +... + (-) =. Aka tetapi, dugaa ii baru merupaka jawaba semetara sehigga harus dibuktika kebearaya. Pembuktiaya dapat dilakuka dega iduksi matematik sebagai berikut. Misalka, p() meyataka + 3 + 5 +... + ( -) =. () p() adalah =, jelas bear. () Dimisalka p(k) bear utuk suatu bilaga asli k, yaitu + 3 + 5 +... + (k -) = k, da ditujukka bahwa p(k+l) bear, yaitu + 3 + 5 +... + (k-) + (k + ) = (k + ).
PAMA34/MODUL.7 Hal ii ditujukka sebagai berikut: + 3 + 5 +... + (k - ) + (k + ) = k + k + = (k + l). Sehigga p(k + ) bear. Jadi, p() bear utuk setiap bilaga asli. Cotoh 4: Buktikalah bahwa utuk setiap bilaga asli berlaku: ( +)( +) 3... 6 Bukti: ( +)( +) Misalka, p() adalah 3... 6 (+)(.+) () p() adalah 6..3 6 Jadi, p() bear. () Diasumsika bahwa p(k) bear utuk suatu bilaga asli k, yaitu 3... k k(k +)(k +) Da harus ditujukka bahwa 6 p(k + ) bear, yaitu ditujukka bahwa 3... k (k ) (k +)(k + )(k +3). 6 Hal ii ditujukka sebagai berikut.
.8 Teori Bilaga 3... k (k ) k(k +)(k +) +(k +) 6 (k +) k(k +) +(k +) 6 (k +) (k + k +6k +6) 6 Jadi, p(k + ) bear. (k +)(k +7k +6) 6 (k +)(k +)(k +3). 6 Selajutya, dari lagkah-lagkah () da () disimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli. Notasi (sigma) Jumlaha utuk bilaga-bilaga yag teratur dapat ditulis lebih sigkat dega megguaka otasi (sigma). Berikut ii kosep, prisip da cotoh-cotoh pegguaa otasi. () k 3... k () k (k ) 35... () k (3) ck c k dega suatu kostata k k (4) a b ( a b ) l l l l l l l (5) d d d d... d d l ---- suku----
PAMA34/MODUL.9 Cotoh 5: 5 () k 3455 k 7 7 () 6i6 i6( 34567) 68 i= i= 6 (3) 0 00000060 t = 3 3 3 k k 3 (4) 3k 3 k 3( 3) ( ) 3 k k k Cotoh 6: Buktika bahwa (3k ) (3 ) utuk setiap bilaga asli. k Bukti: Misalka, p() meyataka k (3k ) (3 ) () p() adalah (3. k ) (3. ) k 3. (3. ) Jadi, p() bear. () Diasumsika p(t) bear utuk suatu bilaga asli t, yaitu: t (3k ) (3 t t) da ditujukka bahwa p(t+l) bear, yaitu: k t k (3k ) 3( t ) ( t ) (3t 5t ) Hal ii ditujukka sebagai berikut:
.0 Teori Bilaga t t (3k ) (3k ) 3( t ) k k (3 t t ) 3 t (3 t t 6 t ) (3 t 5 t ) Jadi, p(t+) bear sehigga p() bear utuk setiap bilaga asli. Cotoh 6 ii dapat dibuktika megguaka sifat-sifat otasi sebagai berikut: (3k) 3k k k k 3 k,megguaka cotoh, maka k 3 ( ) 3 3 4 3 Igat Cotoh bahwa k k 3... ( ) Cotoh 7: Buktika bahwa utuk setiap bilaga asli, 7 - selalu terbagi habis oleh 5. Bukti: Misalka p() meyataka 7 terbagi habis oleh 5, () p(l) adalah 7 - terbagi habis oleh 5, yaitu 5 terbagi habis oleh 5. Jadi, p(l) bear. () Diasumsika p(k) bear utuk suatu bilaga asli k, yaitu 7 k - k terbagi habis oleh 5. Da ditujukka bahwa p(k+) bear, yaitu 7 k+ - k+ terbagi habis oleh 5. Hal ii ditujukka sebagai berikut.
PAMA34/MODUL. k+ k+ k k 7 - =7.7-. k k k k =7.7-.7 +.7-. k k k =7(7 - ) + (7-) k k k =7(7 - ) +.5 Telah diasumsika bahwa (7 k - k ) terbagi habis oleh 5. Maka 7(7 k - k ) terbagi habis oleh 5 pula. ( k.5) jelas terbagi habis oleh 5, sebab mempuyai faktor 5. Sehigga 7(7 k - k ) + k.5 terbagi habis oleh 5. Jadi 7 k+ - k+ terbagi habis oleh 5. Maka p(k + ) bear. Selajutya, dari lagkah-lagkah () da () dapat disimpulka bahwa 7 - terbagi habis oleh 5 utuk setiap bilaga asli. Cotoh 8: Misalka, bayakya eleme himpua S adalah (suatu bilaga asli). Berapakah bayakya semua himpua bagia dari S. Jawab: Misalka S = {a, a, a 3,..., a } Jika S = {a } maka himpua bagia dari S adalah da {a }. Sehigga bayakya himpua bagia dari S adalah. Coba periksalah bayakya himpua bagia dari himpua-himpua berikut ii! Bayakya himpua bagia dari S = {a, a } adalah 4. Bayakya himpua bagia dari S 3 = {a, a, a 3 ) adalah 8. Bayakya himpua bagia dari S 4 = {a, a, a 3, a 4 } adalah 6 da seterusya. Utuk melihat hal ii dega lebih jelas perhatika tabel.
. Teori Bilaga Table. Bayakya eleme S 0 3... Himpua S {a} {a,a} {a,a,a3}... { a,a,a3,,a} Himpua bagia dari S,{a},{a},{a},{a,a},{a},{a},{a3},{a,a},{a,a3},{a,a3},{a,a,a3}... Bayak himpua bagia dari S = 0 = 4 = 8 = 3... Tampak dalam kolom terakhir dari Tabel. tersebut bahwa bayakya himpua bagia tersebut merupaka perpagkata dari. Sehigga kita dapat meduga bahwa bayakya himpua bagia dari S = {a, a, a 3,..., a } adalah. Aka tetapi, dugaa ii harus dibuktika kebearaya. Aka kita buktika dega iduksi matematik. Misalka, p() meyataka bayakya himpua bagia dari S {a, a, a 3,..., a } adalah utuk setiap bilaga asli. () p() adalah bayakya himpua bagia dari S = {a } adalah. Hal ii bear, sebab himpua bagia dari S adalah da {a }. Jadi, p(l) bear. () Diasumsika p(k) bear utuk suatu bilaga asli k, yaitu bayakya himpua bagia dari S k ={a, a, a 3,..., a k ) adalah k da harus ditujukka bahwa p(k+l) bear, yaitu bayakya himpua bagia dari S k+ = {a, a, a 3,..., a k, a k+ } adalah k+. Telah diasumsika bahwa bayakya himpua bagia dari adalah S k adalah k. Maka, bayakya himpua bagia dari S k+ adalah bayakya himpua bagia dari S k ditambah dega bayakya himpua bagia dari S k+ yag buka merupaka himpua bagia dari S k, yaitu himpua-himpua bagia dari S k yag masig-masig dilegkapi dega eleme a k+, yaitu sebayak k pula. Jadi bayakya himpua bagia dari S k+ adalah k + k = k+. Sehigga p(k+) bear. Selajutya, dari lagkah-lagkah () da () dapat disimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli.
PAMA34/MODUL.3 Perhatika lagi cotoh-cotoh di atas. Pembuktia dega iduksi matematik harus megikuti dua lagkah, yaitu lagkah () sebagai basis (dasar) iduksi, da lagkah () merupaka lagkah iduksi. Kedua lagkah ii harus ditaati, apabila megguaka cara pembuktia dega iduksi matematik. Kadag-kadag basis/dasar iduksi tidak diambil =, tetapi diambil = r utuk r >, sesuai dega permasalaha yag dihadapi. Utuk ii perhatika cotoh berikut ii. Cotoh 9: Buktika bahwa, utuk setiap bilaga asli 4. Bukti: Misalka p() adalah. () p(4) adalah 4 4 maka p(4) bear () Misalka, p(k) bear utuk suatu bilaga asli k 4, yaitu k k, da harus ditujukka bahwa p(k+) bear, yaitu (k + ) k+ Hal ii ditujukka sebagai berikut. (k+) = k + k + < k. k = k+. Jadi, p(k+l) bear. Selajutya, dari lagkah-lagkah () da () dapat disimpulka bahwa bear, utuk setiap bilaga asli 4. LATIHAN Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! ) Buktika bahwa utuk setiap bilaga asli berlaku 4+0+6+...+(6-) = (3+). ) Buktikalah. +.3 + 3.4 + + ( + ) = 3 ( + )( + ) utuk setiap bilaga asli. 3) Buktika + 3 + 5 + + ( -) = asli. 4) Buktika bahwa utuk setiap bilaga asli berlaku: 3 (4 -) utuk setiap bilaga
.4 Teori Bilaga.....3 3.4 ( ) 5) Buktikalah bahwa utuk setiap bilaga asli berlaku:....3 3.5 5.7 ()( ) 6) Buktikalah bahwa utuk setiap bilaga asli berlaku 3 k k k k 7) Buktika bahwa a) > +, utuk setiap bilaga bulat. b) > 3, utuk setiap bilaga bulat > 9. 8) Buktikalah bahwa utuk setiap bilaga asli berlaku a) l 4 terbagi habis oleh 7 b) 3 4 + 6 terbagi habis oleh 3 Petujuk Jawaba Latiha Apabila Ada meemui kesulita dalam megerjaka soal-soal latiha tersebut, Ada dapat megikuti petujuk/rambu-rambu peyelesaiaya berikut ii. ) Misalka p() adalah 4 + 0 + 6 +... + (6-) = (3+). () p(l) adalah 4 = (3. + ). Jadi p() jelas bear. () Diasumsika bahwa p(k) bear utuk suatu bilaga asli k, yaitu 4 + 0 + 6 +... + (6k-) = k(3k+). Da harus ditujukka bahwa p(k + ) bear, yaitu: 4 + 0 + 6 +... + (6k-) + (6k + 4) = (k + )(3k+4). Hal ii ditujukka sebagai berikut. 4 + 0 + 6 +... + (6k - ) + (6k+4) = k(3k + ) + (6k + 4) = 3k + 7k + 4 = (k + )(3k + 4). Jadi, p(k+l) bear. Dari lagkah-lagkah () da () disimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli.
PAMA34/MODUL.5 ) Misalka, kesamaa tersebut dega p(), yaitu:. +.3 + 3.4 + + ( + ) = 3 ( + l)( + ) () Periksalah bahwa p(l) bear. () Asumsikalah bahwa utuk suatu bilaga asli, p() bear, yaitu:. +.3 + 3.4 + + ( + ) = 3 ( + )( + ) Da tujukkalah bahwa p( + ) bear, yaitu. +.3 + 3.4 + + ( + ) + ( + )( + ) = ( + )( + )( + 3) 3 Hal ii ditujukka sebagai berikut.. +.3 + 3.4 +... + ( + ) + ( + )( + ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) 3 = ( + l)( + )( + 3) 3 Jadi, p(+l) bear utuk suatu bilaga asli. Selajutya dari lagkah-lagkah () da () disimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli. PERHATIAN: Pada cotoh-cotoh dalam uraia materi megguaka simbol k utuk meyataka suatu bilaga asli tertetu. Pada peyelesaia ii diguaka simbol. Ada dapat megguaka simbol laiya, utuk meujuk suatu bilaga asli tertetu. 3) Misalkalah kesamaa itu dega p(), yaitu: +3 +5 + +(-) = 3 (4 -) () Periksalah bahwa p(l) bear. () Asumsikalah bahwa p() bear, utuk suatu bilaga asli, yaitu: +3 +5 + +(-) = 3 (4 -) Tujukkalah bahwa p(+) bear, yaitu: +3 +5 +... +(-) + (+) = 3 (+)(4 +8+3) Tujukkalah kebeara kesamaa ii, yaitu bahwa p(+l) bear utuk suatu bilaga asli. Selajutya, tariklah kesimpula bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli.
.6 Teori Bilaga 4) Misalkalah kesamaa tersebut dega p(), yaitu:.....3 3.4 ( ) () Periksalah bahwa p(l) bear () Asumsikalah bahwa p() bear utuk suatu bilaga asli,.....3 3.4 ( ) Selajutya tujukkalah bahwa p(+l) bear, yaitu.....3 3.4 ( ) ( )( ) Hal ii ditujukka sebagai berikut.....3 3.4 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Ii telah meujukka bahwa p(+) bear utuk suatu bilaga asli. Selajutya, dari dua lagkah tersebut disimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli. 5) Misalkalah kesamaa itu dega p(), yaitu:....3 3.5 5.7 ()( ) () Tujukkalah bahwa p(l) bear. () Asumsikalah bahwa p() bear, yaitu:....3 3.5 5.7 ()( ) Tujukkalah bahwa p(+) bear, yaitu:....3 3.5 5.7 ()( ) ( )( 3) 3 Cobalah membuktika kebeara kesamaa terakhir ii. Selajutya, berdasarka dua lagkah tersebut, Ada dapat meyimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli.
PAMA34/MODUL.7 6) Kita aka membuktika bahwa telah megeal bahwa k Sehigga kita harus meujukka bahwa k = ( + ) 4 k 3 k k k k. Pada cotoh, kita k = + + 3 +... + = ( + ) 3 Misalka kesamaa terakhir ii dega p(). () Tujukkalah bahwa p(l) bear. () Asumsikalah bahwa p() bear utuk suatu bilaga asli, da tujukkalah bahwa p(+) bear, yaitu: 3 k = ( + ) ( ) 4 k Kesamaa terakhir ii ditujukka sebagai berikut. 3 3 3 k = k +( ) k k ( ) ( ) 4 3 ( ) ( 4( )) 4 ( ) ( ) 4 Hal ii kita telah meujukka bahwa p( + ) bear utuk suatu bilaga asli. Selajutya, Ada dapat meyimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli, berdasarka dua lagkah di atas. 7) a) Kita harus membuktika bahwa > +, utuk setiap bilaga bulat maka sebagai dasar iduksi adalah =. Misalka, ketaksamaa ii dega p(). () Tujukkalah bahwa p() bear. () Asumsikalah bahwa p() bear utuk suatu bilaga ash, da Ada harus meujukka bahwa p(+l) bear, yaitu: ( + ) > +
.8 Teori Bilaga Coba tujukkalah ketaksamaa terakhir ii! Sehigga p(+) bear utuk suatu bilaga asli. Selajutya, berdasarka dua lagkah iduksi tersebut dapat disimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli. 7) b) Kita harus membuktika bahwa > 3, utuk setiap bilaga bulat > 9 maka sebagai basis iduksi adalah = 0. Misalka, ketaksamaa ii dega p(). () Tujukkalah kebeara dari p(0). () Asumsikalah bahwa p() bear utuk suatu bilaga ash > 9, da tujukkalah bahwa p ( + ) bear, yaitu: + > ( + l ) 3 Hal ii ditujukka sebagai berikut. + =. > ( + 9 )3. > ( + )3. 3 > ( +) 3 Jadi, p(+l) bear Selajutya berdasarka dua lagkah tersebut dapat disimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli > 9. 8) a) Kita aka membuktika bahwa utuk setiap bilaga ash berlaku 4 terbagi habis oleh 7. Dimisalka bahwa p() meyataka 4 terbagi habis oleh 7. () Tujukkalah bahwa p(l) bear. () Asumsikalah bahwa p(k) bear utuk suatu bilaga asli k, yaitu k 4 k terbagi habis oleh 7. Da kita harus meujukka bahwa p(k + ) bear, yaitu: l l k+ 4 k+ terbagi habis oleh 7. Kebeara peryataa ii ditujukka sebagai berikut. k+ 4 k+ = k. 4 k. 4 = k. k.4+ k.4 4 k. 4 = k.7 + 4( k 4 k ) Pada kesamaa terakhir ii, berilah alasa bahwa p(k + ) bear. Sehigga Ada dapat meyimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli. b) Kita aka membuktika bahwa utuk setiap bilaga asli berlaku 3 4 + 6 terbagi habis oleh 3 Misalkalah bahwa p() adalah 3 4 + 6 terbagi habis oleh 3 () Mudah sekali utuk meujukka bahwa p() bear.
PAMA34/MODUL.9 () Asumsika bahwa p(k) bear, yaitu k 3-4k + 6 terbagi habis oleh 3. Da tujukkalah bahwa p(k+) bear, yaitu (k+l ) 3 4(k+l) + 6 terbagi habis oleh 3 Hal ii ditujukka sebagai berikut. (k+l) 3 4(k+) + 6 = (k 3 4k + 6) + 3 (k + k + ) Memperhatika kesamaa terakhir ii da asumsi yag telah diambil mudah utuk memberi alasa bahwa p(k+l) bear. Sehigga kita dapat meyimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli. RANGKUMAN Iduksi matematik merupaka salah satu metode/cara pembuktia yag absah dalam matematika. Meskipu amaya iduksi matematik, amu metode ii merupaka pealara deduktif. Pembuktia dega iduksi matematik berkeaa dega pembuktia pada peryataaperyataa yag semestiya adalah himpua bilaga bulat atau lebih khusus himpua semua bilaga asli. Misalka, peryataa: p() adalah suatu proposisi yag berlaku utuk setiap bilaga asli. Pembuktia kebeara dari peryataa ii dega megguaka iduksi matematik megikuti lagkah-lagkah sebagai berikut. Lagkah (): Ditujukka bahwa p(l) bear. Lagkah (): Diasumsika bahwa p(k) bear utuk suatu bilaga asli k >, da ditujukka bahwa p(k + ) bear. Apabila kedua lagkah tersebut berhasil maka kita dapat meyimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli. Lagkah () disebut basis (dasar) iduksi da lagkah () disebut lagkah iduksi. Basis iduksi tidak mesti diambil =, tetapi diambil sesuai dega permasalaha yag dihadapi atau peryataa yag igi dibuktika. Misalka, aka dibuktika bahwa p() berlaku utuk setiap bilaga asli t. Maka, lagkah-lagkah pembuktiaya dega iduksi matematik sebagai berikut. Lagkah (): Ditujukka bahwa p(t) bear. Lagkah (): Diasumsika bahwa p(k) bear utuk suatu bilaga asli k t, da ditujukka bahwa p(k + ) bear. Apabila kedua lagkah ii berhasil maka kita dapat meyimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli t.
.0 Teori Bilaga TES FORMATIF Pilihlah satu jawaba yag palig tepat! ) Misalka, kita aka membuktika peryataa: 3 < - utuk setiap pada suatu himpua bagia dari himpua semua bilaga asli dega metode iduksi matematik maka basis iduksi yag diambil adalah =. A. B. C. 3 D. 4 ) Basis iduksi dalam membuktika bahwa p(), yaitu! > utuk setiap dari suatu himpua bagia dari himpua semua bilaga asli adalah. A. p(l) B. p() C. p(3) D. p(4) 3) Suku ke dari deret 4 + 0 + 6 + +... adalah. A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4 4) Jumlah suku pertama dari deret 4 + 0 + 6 + +... adalah. A. (3 + ) + 4 B. ( ) + 4 C. 3( ) + 4 D. ( + ) + 4 5) Misalka, p() adalah asli maka p( + ) adalah. (k ) (4 ) utuk setiap bilaga k 3 A. k 3 (k ) ( )(4 8 3)
PAMA34/MODUL. B. C. D. k k k 3 (k ) ( )(4 3) 3 (k ) ( )(4 8 3) 3 (k ) ( )(4 3) 6) Apabila p() adalah (+)!> + maka p( + ) adalah. A. ( + )!> + + B. ( + )!> + C.!( + ) > ( + ) + D. ( + )!( + ) > + 7) Jika t maka jumlah suku pertama dari deret a + at + at + adalah. at ( ) A. t B. C. D. a( t ) t a( t ) t a( t ) t 8) Apabila p() adalah A. = B. = (i ) (4 ) maka p() adalah. i 3 C. = 3 D. = 3 9) Jumlah suku pertama dari deret 3 + 5 + 7 + adalah. A. ( + ) + 3 B. + 3
. Teori Bilaga C. ( + )+ 3 D. ( + ) + 3 3 0) Apabila p() adalah t ( i) maka p(+) adalah. A. B. C. D. t il t il 3 ( t) ( i) 3 t ( i) t il 3 ( t ) t ( i ) ( i ) t il 3 t ( i) t il Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 00% Jumlah Soal Arti tigkat peguasaa: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.
PAMA34/MODUL.3 K Kegiata Belajar Teorema Biomial ita aka megigat kembali pegertia kombiasi dari sejumlah r objek yag diambil dari objek. Bayakya kombiasi dari r objek yag diambil dari objek (r ) adalah:! C(, r) r ( r)! r! Cotoh:. Misalka, ada 5 objek, yaitu a, b, c, d da e. Apabila dari 5 objek ii diambil 3 objek maka bayakya cara pegambila 3 objek tersebut adalah 5 5!..3.4.5 0 cara. 3!.3! (.)(..3) Sepuluh cara pegambila itu adalah abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, da cde.. Misalka, dalam suatu kotak terdapat 3 kelereg merah da 4 kelereg putih. Apabila kita megambil 3 kelereg merah dari dalam kotak tersebut maka bayakya cara pegambila ada 3 3!..3 cara. 3 0!.3!...3 Aka tetapi, apabila kita megambil 3 kelereg dari dalam kotak itu maka bayakya cara pegambila ada 7 7! 7.6.5 35 cara. 3 4!.3!..3 Jika kita megambil 4 kelereg dari dalam kotak tersebut maka bayakya cara pegambila ada 7 7! 7.6.5 35 cara. 4 3!.4!..3
.4 Teori Bilaga 3. Misalka, ada tiga kotak yag masig-masig berisi satu bola merah da satu bola putih. Dari tiap-tiap kotak diambil satu bola sehigga terambil tiga bola. Bayakya cara pegambila 3 bola tersebut, agar terambil bola merah semua ada 3 3 cara. Bayakya cara pegambila 3 bola 3 tersebut, agar terambil dua bola merah ada 3 cara. Bayakya cara 3 pegambila 3 bola itu, agar terambil satu bola merah ada 3 cara. Bayakya cara pegambila 3 bola itu, agar tak terambil bola merah 3 ada 0 cara. Cotoh terakhir ii aka diguaka utuk meyataka suku bayak yag merupaka pejabara dari (m + p) 3. Perpagkata ii dapat diyataka sebagai perkalia berulag dega 3 faktor sama, yaitu: (m + p)(m + p)(m + p) = mmm + mmp + mpm + pmm + ppm + pmp + mpp + ppp Setiap suku dari ruas kaa kesamaa ii terdiri dari 3 faktor da masig-masig faktor berturut-turut diambil dari faktor pertama, faktor kedua da faktor ketiga dari ruas pertama. Memperhatika Cotoh 3 di atas maka 3 bayakya suku dega tiga m adalah 3, 3 bayakya suku dega dua m ada 3, 3 bayakya suku dega satu m ada 3, da 3 bayakya suku tapa m ada 0 Pada kesamaa terakhir itu jika suku-suku sejeisya dijumlahka maka aka diperoleh
PAMA34/MODUL.5 (m + p) 3 = m 3 + 3m p + 3mp + p 3 Koefisie-koefisie suku-suku dari ruas kaa dari kesamaa terakhir ii dapat diyataka dega kombiasi-kombiasi bayakya m dalam tiap sukuya sehigga kesamaa itu dapat ditulis sebagai berikut. 3 3 3 3 3 3 3 ( p m) p mp m p m 0 3 Dega argumetasi yag mirip dega ilustrasi di atas, kita dapat meuliska kesamaa-kesamaa berikut ii. Coba periksalah kebearaya! ( a x) a x 0 ( a x) a ax x 0 3 3 3 3 ( a x) a a x ax x 0 3 3 3 3 4 4 4 4 ( a x) a 4 4 4 0 a x a x ax x 3 4 3 3 4 0 k k k ( a x) a a x a x... a x... x Kesamaa-kesamaa tersebut baru merupaka dugaa karea kesamaakesamaa itu, khususya kesamaa terakhir diperoleh dega pealara iduktif. Maka, kesamaa itu perlu dibuktika kebearaya. Kita aka membuktika kebeara kesamaa tersebut, tetapi kita perlu beberapa persiapa berikut ii. Dari rumus kombiasi di atas, yaitu:! C(, r) r ( r)! r! Kita dapat memahami bahwa:! r r!( r)!
.6 Teori Bilaga Jadi, r r Teorema. Jika r maka r r Teorema ii serig disebut sifat simetrik dari koefisie biomial. Sifat ii membatu kita utuk meghitug lebih mudah ilai suatu kombiasi. Cotoh: ) ) 0 0 0.9 90 8. 30 30 30.9.8 4060 7 3..3 Teorema. Jika k da r bilaga-bilaga asli dega k > r maka k k k r r r Bukti: k k k! k! r r ( k r )!( r )! ( k r)! r! k! r k!( k r ) ( k r)! r! k!( r k r ) ( k r)! r! k!( k ) ( k )! ( k r)! r! ( k r)! r! k k k r r r
PAMA34/MODUL.7 Sekarag kita siap utuk membuktika kebeara pejabara suku dua berpagkat di atas dega megambil a = da x = a, yag selajutya disebut Teorema Biomial. Teorema.3 (Teorema Biomial) 3 ( a) a a a... a... a 0 3 k k setiap bilaga asli. utuk Bukti: Kita buktika dega iduksi matematik. () Utuk =l maka ( a) a a 0,bear. () Diasumsika bahwa peryataa bear utuk = k, yaitu: k k k k k r k k ( a) a a... a... a 0 r k Selajutya, aka ditujukka bear utuk = k +. k k ( a) ( a) ( a) k k k k k a a... a ( a) 0 k k k k k k a k k k k a.. 0 0.. a a k k k k k k k k k k a a... a a 0 k k k Dari lagkah-lagkah () da () dapat disimpulka bahwa teorema terbukti bear utuk setiap bilaga asli. Koefisie-koefisie a pada ruas kaa pada Teorema.3 disebut koefisie biomial. Cotoh: ) Koefisie x 9 dari pejabara ( + x) adalah..0 660 9..3
.8 Teori Bilaga ) Koefisie x 8 dari uraia (x + ) adalah.0.9 65 3..3 Apabila pada teorema biomial tersebut a = maka diperoleh kesamaa ( )...... 0 3 k...... 0 3 k Kesamaa terakhir ii diyataka sebagai teorema berikut ii. Teorema.4 Jika suatu bilaga asli maka...... 0 3 k Selajutya perhatika peurua rumus berikut ii. k! k!. k m ( k)! k! ( k m)! m!! ( m)!. ( m)! m! ( m k m)!( k m)! m m k m Rumus yag diperoleh ii diyataka sebagai teorema berikut ii. Teorema.5 Jika, m da k bilaga-bilaga asli dega > k > m maka k m k m m k m Utuk memperjelas maka dari teorema ii, perhatikalah cotoh berikut ii.
PAMA34/MODUL.9 Cotoh: Suatu perkumpula terdiri da 5 orag. Aka dibetuk suatu pegurus dari perkumpula tersebut yag terdiri 5 orag da orag di ataraya sebagai pegurus iti. Maka, bayakya piliha pegurus itu adalah: 55 5.4.3.. 5.4. 30030 5...3.4.5. Pemiliha tersebut dapat pula dilakuka dega memilih orag pegurus iti da 5 orag da selajutya utuk melegkapi pegurus itu dipilih 3 orag da 3 orag (yag orag telah terpilih sebagai pegurus iti). Maka, bayakya piliha pegurus ii adalah: 53 5.4 3... 30030 3....3 5 5 5 3 Tampak di sii bahwa 3 Pada Teorema.5 tersebut, apabila m = maka diperoleh: k k k Hubuga ii diyataka sebagai teorema berikut ii. Teorema.6 Jika da k bilaga-bilaga asli dega k maka k k k Koefisie-koefisie biomial pada teorema biomial di atas dapat kita susu secara rekursif, seperti tampak pada Gambar., da serig disebut segitiga Pascal sebagai berikut:
.30 Teori Bilaga Gambar. Bilaga-bilaga pada segitiga Pascal tersebut dapat dibagu tapa proses rekursif dega otasi kombiatorik seperti tampak pada Gambar.. Perhatika aak paah 5 pada Gambar. da Gambar.. Aak paah 5 itu meujukka bahwa 3 4 5 6 +3+6+ 0=0 atau 3 Gambar..
PAMA34/MODUL.3 Fakta ii secara umum dapat dituliska sebagai berikut: k k k k 3 k r k r... k k k k k k Aak paah 6 pada Gambar. da Gambar. berturut-turut meujukka bahwa 3 4 5 6 +3+6+ 0=0 atau 0 3 3 Fakta ii secara umum dapat diyataka sebagai berikut k k k k 3 k r k r... 0 3 r r Selajutya, dua fakta ii diyataka sebagai teorema berikut ii Teorema.7 Jika da k bilaga-bilaga asli dega k maka k k k k 3 k r k r a)... 0 3 r r k k k k 3 k r k r b)... k k k k k k Buktikalah teorema 7 tersebut, sebagai latiha! (Guaka iduksi matematik) Cotoh: 3 Buktikalah bahwa..3 +.3.4 + 3.4.5 +... + (-)(-) = 3! 4 k! 3! k! k Jawab: ( k )( k ) k 3! ( k 3)! ( k 3)!3! 3
.3 Teori Bilaga Maka, jumlaha pada ruas kiri dalam soal tersebut dapat diyataka sebagai berikut: 3 4 5 3 4 5 3! 3! 3!... 3! 3!... 3 3 3 3 3 3 3 3 3!, sesuai teorema.7b) di atas. 4 Cotoh: + + Buktikalah bahwa + + 3 + 4 +... + = + 3 Jawab: Perhatika bahwa k dapat ditulis sebagai k = k(k - ) + k. Sehigga ruas kiri dari soal tersebut dapat ditulis sebagai (.0+ ) + (. + ) + (3. + 3) + (4.3 + 4) +... + (( - ) + ) = (. + 3. + 4.3 +... + ( - )) + ( + + 3 + 4 +... + ) 3 4 ((... 3 ) (... ) 3 Cotoh: Buktikalah bahwa...... 0 4 3 5 Jawab: Pada teorema biomial di atas jika a = maka diperoleh... ( )... ( ) () 0 3 k k k... ( ).. 0 3 k. ( ) 0...... 0 4 3 5
PAMA34/MODUL.33 Selajutya, megigat teorema 4 diperoleh...... 0 4 3 5 LATIHAN ) Tujukkalah bahwa + + 3 + 4 + + = ) Buktikalah bahwa ( k ) k k +. 3) Buktika bahwa 3... 3 4) Hituglah Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! k ( k ) k( k ) 5) Buktikalah bahwa... 3 0 6) Hituglah... 0 3 4 7) Hituglah deret berikut ii yag hasilya diyataka dalam otasi kombiasi.. +.3 + 3.4 + 4.5 +...+ ( + ) k 8) Hituglah ( ) k k k Petujuk Jawaba Latiha ) Pada Kegiata Belajar Cotoh dalam modul ii bahwa jumlaha itu adalah + + 3 +... + = ( ).
.34 Teori Bilaga ) Ruas kaa dari kesamaa ii, jika diyataka dalam otasi kombiasi adalah ( k) k k sama dega teorema.4. 3) Teorema Biomial diderivatifka ke a 3 ( a) a a a... a... a 0 3 k 4) k k ( a) a 3 a... a... 3 k a Pada kesamaa terakhir ii jika a = maka diperoleh seperti yag diigika. ( k )!3! k ( k ) k( k ) 3! ( k )!3! 3 sehigga k ( k ) k( k ) 7 k k 3 Selajutya, guaka teorema.7 b) da diperoleh 7 4 5) Tulislah teorema Biomial kembali da substitusi a dega. Apakah Ada memperoleh kesamaa berikut ii?... 3 0 6)... 0 3 4... (...) 0 4 3 5. 3. ( k )!! k 7) Perhatika bahwa kk ( )! ( k )!! sehigga
PAMA34/MODUL.35 k. +.3 + 3.4 + 4.5 +...+ ( + ) = k, guaka teorema.7b) = 3 8) Igat bahwa k k k sehigga k k ( ) k ( ) 0 k k k k (igat cotoh terakhir pada kegiata belajar ii) RANGKUMAN. Bayakya kombiasi r objek yag diambil dari objek adalah:! C(, r) r ( r)! r!. Jika r maka r r 3. Jika k da r bilaga-bilaga asli dega k > r maka k k k r r r 4. Teorema Biomial 3 k ( a) a a a... a... a 0 3 k, utuk setiap bilaga asli. 5. Jika suatu bilaga asli maka a....... 0 3 k b....... 0 4 3 5 6. Jika, m da k bilaga-bilaga asli dega > k > m maka k m k m m k m
.36 Teori Bilaga 7. Jika da k bilaga-bilaga asli dega > k maka k k k 8. Jika da k bilaga-bilaga asli dega > k maka a. k k k k 3 k r k r... 0 3 r r b. k k k k 3 k r k r... k k k k k k TES FORMATIF Pilihlah satu jawaba yag palig tepat! ) Jika da k bilaga-bilaga asli da > k maka k A.! ( k )! k! B.! k! C.! k!( k)! D. k! ( k)!! ) Dega otasi kombiatorik, (k -)(k-)k(k + ) ditulis sebagai. A. k 4! 4 B. k 4 C. k 4 D. k 4! 4
PAMA34/MODUL.37 3) 4) 5) 9 9 5 4. A. 9 3 B. 0 5 C. 9 6 D. 0 6 5 6 7 9... 5 5 5 5. A. 0 6 B. 0 5 C. 9 6 D. 9 4 0 0... 0 0. A. 0 9 B. 0
.38 Teori Bilaga C. D. 9 0 6) Koefisie dari suku yag memuat a 9 dari pejabara (a + ) 5 adalah 9 A. 6 B. C. D. 5 6 4 9 4 6 7) Apabila (a - b) l diuraika maka koefisie dari suku yag memuat ab 0 adalah. A. B. 64 C. 04 D. 0 8) ( )( + ) =. A. 3 3 B. C. D. 3 3 3
PAMA34/MODUL.39 9) 9 0 6. A. 0 6 B. 0 9 6 C. 0 6 6 D. 0 5 5 0) 0 6 6 A. 09 6 B. 00 6 C. 09 5 D. 00 5 Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 00% Jumlah Soal
.40 Teori Bilaga Arti tigkat peguasaa: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, Ada dapat meeruska dega modul selajutya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.
PAMA34/MODUL.4 Kuci Jawaba Tes Formatif Tes Formatif ) D. Jika disubstitusi dega,, da 3 meghasilka peryataaperyataa yag salah. ) D. Apabila disubstitusi dega,, da 3 meghasilka peryataaperyataa yag salah. 3) C. U, 4, U = 4 +.6, U 3 = 4 +.6, da seterusya. 4) C. S = 4, S = 4+.6, S 3 = 4+3.6, S 4 = 4+6.6,...,S = 4+ (-)6. 5) B. Pada ruas kaa, batas atas tada sigma mejadi + da pada ruas kiriya, digati dega +. 6) A. Gatilah dega + da diuraika. 7) A. Deret geometri dega suku awal a da rasio t. 8) B. Substitusi dega. 9) B. Kerjaka seperti petujuk omor 4. 0) B. Gatilah batas atasya dega +. Tes Formatif ) C. Igat rumus kombiasi C(,k). 4!( k )! k ) D. 4! 4!( k 3)! 4 3) B. Igat Teorema.. 4) A. Igat Teorema.7 b) 5) D. Igat Teorema.7 a) 6) B. Terapka teorema Biomial da guaka sifat simetrik. 7) A. Terapka teorema Biomial. 3!( )! 8) C. ( )( ) 3 3!( )! 9) D. Terapka Teorema.6. 0) C. Guaka Teorema.5.
.4 Teori Bilaga Daftar Pustaka Apostol, Tom M. (983). Itroductio to Aalytic Number Theory. New York: Joh Wiley & sos. Burto, David M. (986). Elemetary Number Theory Revised Pritig. Bosto: Ally ad Baco, Ic. Dudley, Uderwood. (969). Elemetary Number Theory. Sa Fracisco: W.H. Freema ad Compay. Rose, Keeth H. (993). Elemetary Number Theory ad Its Applicatios, Third Editio. New York: Addisio-Wesley Publishig Compay. Shapiro, Harold N. (995). Itroductio to the Theory of Numbers. New York: Spriger-Verlag. Sukirma. (00). Pegatar Teori Bilaga. Yogyakarta: FMIPA Uiversitas Negeri Yogyakarta.. Teori Bilaga. Jakarta: Proyek Peigkata Mutu Guru SLTP, 994/995. Tucker, Ala. (980). Applied Combiatorics Secod Editio. New York: Joh Wiley & Sos.