Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)

Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 1 / 43

Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya. 2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres. 3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri. 4 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh Kasiyah M. Junus dan Siti Aminah. 5 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh L. Y. Stefanus. Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 2 / 43

Bahasan 1 Motivasi 2 Definisi Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null 3 Basis untuk Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null 4 Rank dan Nulitas 5 Beberapa Teorema Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 3 / 43

Ruang Vektor Euclid dan Matriks Pada bagian ini kita akan mengkaji tiga ruang vektor penting yang berkaitan dengan matriks. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 5 / 43

Ruang Vektor Euclid dan Matriks Pada bagian ini kita akan mengkaji tiga ruang vektor penting yang berkaitan dengan matriks. Salah satu tujuannya adalah untuk memberi suatu pemahaman lebih mendalam mengenai keterkaitan antara penyelesaian suatu SPL dengan sifat-sifat matriks koefisiennya. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 5 / 43

Ruang Vektor Euclid dan Matriks Pada bagian ini kita akan mengkaji tiga ruang vektor penting yang berkaitan dengan matriks. Salah satu tujuannya adalah untuk memberi suatu pemahaman lebih mendalam mengenai keterkaitan antara penyelesaian suatu SPL dengan sifat-sifat matriks koefisiennya. Tujuan lain adalah memberi suatu keterkaitan antara ruang vektor Euclid dan sebuah matriks. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 5 / 43

Definisi Vektor-vektor Baris dan Kolom Suatu Matriks Definisi (Vektor-vektor baris dan kolom) Misalkan A adalah suatu matriks m n, a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =......, a m1 a m2 a mn vektor-vektor r 1 = [ a 11 a 12 a 1n ], r 2 = [ a 21 a 22 a 2n ],. r m = [ a m1 a m2 a mn ]. dalam R n yang dibentuk dari baris-baris A disebut sebagai vektor-vektor baris dari A. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 7 / 43

Kemudian vektor-vektor a 11 a 21 c 1 =., c 2 = a m1 a 12 a 22. a m2,..., c n = a 1n a 21. a mn dalam R m yang dibentuk dari kolom-kolom A disebut sebagai vektor-vektor kolom dari A. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 8 / 43

Contoh Misalkan M = 1 2 3 4 1 0 1 0 2 2 4 5, vektor-vektor baris dari M adalah: r 1 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 9 / 43

Contoh Misalkan M = r 1 = [ 1 2 3 4 ] = 1 2 3 4 1 0 1 0 2 2 4 5 1 2 3 4, vektor-vektor baris dari M adalah: = (1, 2, 3, 4), r 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 9 / 43

Contoh Misalkan M = r 1 = [ 1 2 3 4 ] = 1 2 3 4 1 0 1 0 2 2 4 5 r 2 = [ 1 0 1 0 ] = 1 2 3 4, vektor-vektor baris dari M adalah: = (1, 2, 3, 4), 1 0 1 0 = ( 1, 0, 1, 0), r 3 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 9 / 43

Contoh Misalkan M = r 1 = [ 1 2 3 4 ] = 1 2 3 4 1 0 1 0 2 2 4 5 r 2 = [ 1 0 1 0 ] = r 3 = [ 2 2 4 5 ] = 1 2 3 4 2 2 4 5, vektor-vektor baris dari M adalah: = (1, 2, 3, 4), 1 0 1 0 = ( 1, 0, 1, 0), = (2, 2, 4, 5). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 9 / 43

Kemudian vektor-vektor kolom dari M adalah c 1 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 10 / 43

Kemudian vektor-vektor kolom dari M adalah 1 c 1 = 1 = [ 1 1 2 ] = (1, 1, 2), 2 c 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 10 / 43

Kemudian vektor-vektor kolom dari M adalah 1 c 1 = 1 = [ 1 1 2 ] = (1, 1, 2), 2 c 2 = 2 0 2 = [ 2 0 2 ] = (2, 0, 2), c 3 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 10 / 43

Kemudian vektor-vektor kolom dari M adalah 1 c 1 = 1 = [ 1 1 2 ] = (1, 1, 2), 2 c 2 = c 3 = 2 0 = [ 2 0 2 ] = (2, 0, 2), 2 3 1 = [ 3 1 4 ] = (3, 1, 4), 4 c 4 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 10 / 43

Kemudian vektor-vektor kolom dari M adalah 1 c 1 = 1 = [ 1 1 2 ] = (1, 1, 2), 2 c 2 = c 3 = c 4 = 2 0 = [ 2 0 2 ] = (2, 0, 2), 2 3 1 = [ 3 1 4 ] = (3, 1, 4), 4 4 0 5 = [ 4 0 5 ] = (4, 0, 5). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 10 / 43

Definisi Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null Definisi Misalkan A adalah suatu matriks m n, maka 1 Subruang dari R n yang direntang/ dibangun oleh vektor-vektor baris A dikatakan sebagai ruang baris dari A, dinotasikan dengan row (A). 2 Subruang dari R m yang direntang/ dibangun oleh vektor-vektor kolom A dikatakan sebagai ruang kolom dari A, dinotasikan dengan col (A). 3 Subruang dari dari R n yang merupakan ruang penyelesaian dari SPL homogen Ax = 0 dikatakan sebagai ruang null dari A, dinotasikan dengan null (A). Ruang penyelesaian kadang-kadang juga disebut sebagai ruang solusi. Catatan Ruang kolom dari A juga dikatakan sebagai peta (image) dari A. Kita memiliki Im (A) = Peta (A) = col (A) = {y R m y = Ax untuk suatu x R n }. Ruang null dari A juga dikatakan sebagai inti atau kernel dari A. Kita memiliki ker (A) = inti (A) = null (A) = {x R n Ax = 0}. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 11 / 43

Teorema SPL Ax = b konsisten jika dan hanya jika b berada pada ruang kolom dari A. Misalkan Ax = b adalah suatu SPL dengan A berupa matriks m n. Teorema di atas menyatakan bahwa SPL Ax = b konsisten jika dan hanya jika b = α 1 c 1 + α 2 c 2 + + α n c n, untuk suatu α 1, α 2,..., α n R, dengan c i (1 i n) adalah vektor-vektor kolom dari A. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 12 / 43

Bukti Tulis A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n...... a m1 a m2 a mn. Akibatnya kita memiliki Ax = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 13 / 43

Bukti a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n Tulis A =...... Akibatnya kita memiliki. a m1 a m2 a mn a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n x n Ax =....... a m1 a m2 a mn x n a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n a 21 x 1 a 22 x 2 a 2n x n =...... a m1 x 1 a m2 x 2 a mn x n = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 13 / 43

Bukti a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n Tulis A =...... Akibatnya kita memiliki. a m1 a m2 a mn a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n x n Ax =....... a m1 a m2 a mn x n a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n a 21 x 1 a 22 x 2 a 2n x n =...... a m1 x 1 a m2 x 2 a mn x n a 11 a 21 = x 1. a m1 + x 2 a 12 a 22. a m2 + + x n a 1n a 2n. a mn MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 13 / 43

= x 1 c 1 + x 2 c 2 + + x n c n Jadi SPL Ax = b konsisten jika dan hanya jika terdapat x 1, x 2,..., x n sehingga b = x 1 c 1 + x 2 c 2 + + x n c n. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 14 / 43

Latihan 0 Latihan Misalkan Ax = b adalah SPL 1 3 2 1 2 3 2 1 2 x 1 x 2 x 3 = 1 9. 3 Periksa apakah b = (1, 9, 3) berada pada ruang kolom A. Jika ya nyatakan b sebagai kombinasi linier vektor-vektor kolom dari A. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 15 / 43

Solusi: Melalui OBE kita dapat memperoleh Lebih jauh, perhatikan bahwa x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 3. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 16 / 43

Solusi: Melalui OBE kita dapat memperoleh x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 3. Lebih jauh, perhatikan bahwa x 1 + 3x 2 + 2x 3 Ax = x 1 + 2x 2 3x 3 = x 1 2x 1 + x 2 2x 3 1 1 2 + x 2 3 2 1 + x 3 dengan mensubstitusikan x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 3, kita memiliki 1 1 3 2 9 = 2 1 1 2 + 3 3 3 2 1 2 2 3 2, MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 16 / 43

Basis untuk Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null Basis untuk ruang baris dan ruang null dapat diperoleh dengan meninjau teorema berikut. Teorema OBE tidak mengubah ruang baris dan ruang null dari suatu matriks. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 18 / 43

Basis untuk ruang kolom dapat diperoleh dengan meninjau dua teorema berikut. Teorema Misalkan A dan B adalah dua matriks yang ekivalen baris (artinya A dapat diperoleh melalui OBE dari B, dan sebaliknya). 1 Suatu himpunan vektor kolom dari A bebas linier jika dan hanya jika himpunan vektor kolom yang berpadanan dari B bebas linier. 2 Suatu himpunan vektor kolom dari A membentuk basis untuk ruang kolom A jika dan hanya jika himpunan vektor kolom yang berpadanan dari B membentuk basis untuk ruang kolom B. Teorema Jika A adalah suatu matriks yang berada dalam bentuk eselon baris, maka 1 vektor-vektor baris dengan 1 utama (vektor-vektor baris tak nol) membentuk basis untuk ruang baris A; 2 vektor-vektor kolom dengan 1 utama dari vektor-vektor baris membentuk basis untuk ruang kolom A. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 19 / 43

Contoh Misalkan M = 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 Basis bagi row (M) adalah. Matriks M berada pada bentuk eselon baris. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 20 / 43

Contoh Misalkan M = 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0. Matriks M berada pada bentuk eselon baris. Basis bagi row (M) adalah {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. Kemudian basis bagi col (M) diperoleh dari vektor kolom pada M yang bersesuaian dengan 1 utama pada M, yaitu MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 20 / 43

Contoh Misalkan M = 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0. Matriks M berada pada bentuk eselon baris. Basis bagi row (M) adalah {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. Kemudian basis bagi col (M) diperoleh dari vektor kolom pada M yang bersesuaian dengan 1 utama pada M, yaitu Jadi basis bagi col (M) adalah 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 20 / 43

Contoh Misalkan M = 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0. Matriks M berada pada bentuk eselon baris. Basis bagi row (M) adalah {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. Kemudian basis bagi col (M) diperoleh dari vektor kolom pada M yang bersesuaian dengan 1 utama pada M, yaitu 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0. Jadi basis bagi col (M) adalah {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)}. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 20 / 43

Contoh Misalkan M = 0 0 0 1 1 1 1 1 1. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 21 / 43

Contoh Misalkan M = 0 0 0 1 1 1 1 1 1. Melalui OBE kita dapat mereduksi M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk eselon baris: M = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 21 / 43

Contoh Misalkan M = 0 0 0 1 1 1 1 1 1. Melalui OBE kita dapat mereduksi M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk eselon baris: M = 1 1 1 0 0 0. 0 0 0 Akibatnya basis bagi row (M ) adalah MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 21 / 43

Contoh Misalkan M = 0 0 0 1 1 1 1 1 1. Melalui OBE kita dapat mereduksi M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk eselon baris: M = 1 1 1 0 0 0. 0 0 0 Akibatnya basis bagi row (M ) adalah {(1, 1, 1)}. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M ). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 21 / 43

Contoh Misalkan M = 0 0 0 1 1 1 1 1 1. Melalui OBE kita dapat mereduksi M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk eselon baris: M = 1 1 1 0 0 0. 0 0 0 Akibatnya basis bagi row (M ) adalah {(1, 1, 1)}. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M ). Jadi basis bagi row (M) adalah {(1, 1, 1)}. Kemudian basis bagi col (M ) adalah MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 21 / 43

Contoh Misalkan M = 0 0 0 1 1 1 1 1 1. Melalui OBE kita dapat mereduksi M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk eselon baris: M = 1 1 1 0 0 0. 0 0 0 Akibatnya basis bagi row (M ) adalah {(1, 1, 1)}. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M ). Jadi basis bagi row (M) adalah {(1, 1, 1)}. Kemudian basis bagi col (M ) adalah {(1, 0, 0)}. Karena vektor (1, 0, 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalah MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 21 / 43

Contoh Misalkan M = 0 0 0 1 1 1 1 1 1. Melalui OBE kita dapat mereduksi M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk eselon baris: M = 1 1 1 0 0 0. 0 0 0 Akibatnya basis bagi row (M ) adalah {(1, 1, 1)}. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M ). Jadi basis bagi row (M) adalah {(1, 1, 1)}. Kemudian basis bagi col (M ) adalah {(1, 0, 0)}. Karena vektor (1, 0, 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalah {(0, 1, 1)}. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 21 / 43

Latihan 1 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks A berikut. 1 2 5 0 3 A = 0 1 3 0 0 0 0 0 1 0. 0 0 0 0 0 Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 22 / 43

Latihan 1 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks A berikut. 1 2 5 0 3 A = 0 1 3 0 0 0 0 0 1 0. 0 0 0 0 0 Solusi: Matriks A dalam bentuk eselon baris, maka berdasarkan teorema yang telah dijelaskan kita memiliki basis untuk row (A) adalah {r 1, r 2, r 3 }, dengan r 1 = (1, 2, 5, 0, 3), r 2 = (0, 1, 3, 0, 0), r 3 = (0, 0, 0, 1, 0), basis untuk col (A) adalah {c 1, c 2, c 4 }, dengan c 1 = (1, 0, 0, 0), c 2 = ( 2, 1, 0, 0), c 4 = (0, 0, 1, 0). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 22 / 43

Kemudian untuk menentukan basis bagi ker (A), kita memiliki SPL x 1 2x 2 + 5x 3 + 0x 4 + 3x 5 = 0 x 2 + 3x 2 + 0x 4 + 0x 5 = 0 x 4 + 0x 5 = 0 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 23 / 43

Kemudian untuk menentukan basis bagi ker (A), kita memiliki SPL x 1 2x 2 + 5x 3 + 0x 4 + 3x 5 = 0 x 2 + 3x 2 + 0x 4 + 0x 5 = 0 x 4 + 0x 5 = 0 Misalkan x 3 = s dan x 5 = t, kita juga memiliki x 4 = 0, x 2 = 3s, dan x 1 = 2x 2 5x 3 3x 5 = 2 ( 3s) 5s 3t = 6s 5s 3t = 11s 3t. Jadi jika x ker (A), maka x = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 23 / 43

Kemudian untuk menentukan basis bagi ker (A), kita memiliki SPL x 1 2x 2 + 5x 3 + 0x 4 + 3x 5 = 0 x 2 + 3x 2 + 0x 4 + 0x 5 = 0 x 4 + 0x 5 = 0 Misalkan x 3 = s dan x 5 = t, kita juga memiliki x 4 = 0, x 2 = 3s, dan x 1 = 2x 2 5x 3 3x 5 = 2 ( 3s) 5s 3t = 6s 5s 3t = 11s 3t. Jadi jika x ker (A), maka x = ( 11s 3t, 3s, s, 0, t) dengan s, t R atau x = s ( 11, 3, 1, 0, 0) + t ( 3, 0, 0, 0, 1). Akibatnya basis bagi ker (A) adalah MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 23 / 43

Kemudian untuk menentukan basis bagi ker (A), kita memiliki SPL x 1 2x 2 + 5x 3 + 0x 4 + 3x 5 = 0 x 2 + 3x 2 + 0x 4 + 0x 5 = 0 x 4 + 0x 5 = 0 Misalkan x 3 = s dan x 5 = t, kita juga memiliki x 4 = 0, x 2 = 3s, dan x 1 = 2x 2 5x 3 3x 5 = 2 ( 3s) 5s 3t = 6s 5s 3t = 11s 3t. Jadi jika x ker (A), maka x = ( 11s 3t, 3s, s, 0, t) dengan s, t R atau x = s ( 11, 3, 1, 0, 0) + t ( 3, 0, 0, 0, 1). Akibatnya basis bagi ker (A) adalah {( 11, 3, 1, 0, 0), ( 3, 0, 0, 01)}. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 23 / 43

Latihan 2 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks A berikut. 1 3 4 2 5 4 A = 2 6 9 1 8 2 2 6 9 1 9 7. 1 3 4 2 5 4 Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 24 / 43

Latihan 2 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks A berikut. 1 3 4 2 5 4 A = 2 6 9 1 8 2 2 6 9 1 9 7. 1 3 4 2 5 4 Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks A menjadi matriks A yang berada dalam bentuk eselon baris, A = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 24 / 43

Latihan 2 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks A berikut. 1 3 4 2 5 4 A = 2 6 9 1 8 2 2 6 9 1 9 7. 1 3 4 2 5 4 Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks A menjadi matriks A yang beradadalam bentuk eselon baris, 1 3 4 2 5 4 A = 0 0 1 3 2 6 0 0 0 0 1 5. 0 0 0 0 0 0 Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (A) adalah {r 1, r 2, r 3 }, dengan MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 24 / 43

Latihan 2 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks A berikut. 1 3 4 2 5 4 A = 2 6 9 1 8 2 2 6 9 1 9 7. 1 3 4 2 5 4 Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks A menjadi matriks A yang beradadalam bentuk eselon baris, 1 3 4 2 5 4 A = 0 0 1 3 2 6 0 0 0 0 1 5. 0 0 0 0 0 0 Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (A) adalah {r 1, r 2, r 3 }, dengan r 1 = (1, 3, 4, 2, 5, 4), r 2 = (0, 0, 1, 3, 2, 6), r 3 = (0, 0, 0, 0, 1, 5). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 24 / 43

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A ) adalah {c 1, c 3, c 5}, dengan MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 25 / 43

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A ) adalah {c 1, c 3, c 5}, dengan c 1 = (1, 0, 0, 0), c 3 = (4, 1, 0, 0, ), c 5 = (5, 2, 1, 0). Dengan demikian basis untuk col (A) adalah {c 1, c 3, c 5 }, dengan MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 25 / 43

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A ) adalah {c 1, c 3, c 5}, dengan c 1 = (1, 0, 0, 0), c 3 = (4, 1, 0, 0, ), c 5 = (5, 2, 1, 0). Dengan demikian basis untuk col (A) adalah {c 1, c 3, c 5 }, dengan c 1 = (1, 2, 2, 1), c 3 = (4, 9, 9, 4), c 5 = (4, 2, 7, 4). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 25 / 43

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A ) adalah {c 1, c 3, c 5}, dengan c 1 = (1, 0, 0, 0), c 3 = (4, 1, 0, 0, ), c 5 = (5, 2, 1, 0). Dengan demikian basis untuk col (A) adalah {c 1, c 3, c 5 }, dengan c 1 = (1, 2, 2, 1), c 3 = (4, 9, 9, 4), c 5 = (4, 2, 7, 4). Karena ruang yang direntang oleh vektor-vektor kolom A sama dengan ruang yang direntang oleh vektor-vektor baris A T, kita juga dapat mencari basis bagi col (A) dengan cara mencari basis bagi row ( A T ). Salah satu bentuk EB dari A T adalah MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 25 / 43

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A ) adalah {c 1, c 3, c 5}, dengan c 1 = (1, 0, 0, 0), c 3 = (4, 1, 0, 0, ), c 5 = (5, 2, 1, 0). Dengan demikian basis untuk col (A) adalah {c 1, c 3, c 5 }, dengan c 1 = (1, 2, 2, 1), c 3 = (4, 9, 9, 4), c 5 = (4, 2, 7, 4). Karena ruang yang direntang oleh vektor-vektor kolom A sama dengan ruang yang direntang oleh vektor-vektor baris A T, kita juga dapat mencari basis bagi col (A) dengan cara mencari basis bagi row ( A ) T. Salah satu bentuk EB dari A T adalah 1 2 2 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 25 / 43

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A ) adalah {c 1, c 3, c 5}, dengan c 1 = (1, 0, 0, 0), c 3 = (4, 1, 0, 0, ), c 5 = (5, 2, 1, 0). Dengan demikian basis untuk col (A) adalah {c 1, c 3, c 5 }, dengan c 1 = (1, 2, 2, 1), c 3 = (4, 9, 9, 4), c 5 = (4, 2, 7, 4). Karena ruang yang direntang oleh vektor-vektor kolom A sama dengan ruang yang direntang oleh vektor-vektor baris A T, kita juga dapat mencari basis bagi col (A) dengan cara mencari basis bagi row ( A ) T. Salah satu bentuk EB dari A T adalah 1 2 2 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 akibatnya {(1, 2, 2, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0)} adalah basis bagi col (A)., MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 25 / 43

Karena ker (A) = ker (A ), untuk memperoleh basis bagi ker (A), kita dapat meninjau solusi SPL A x = 0, yaitu x 1 3x 2 +4x 3 2x 4 +5x 5 +4x 6 = 0 +x 3 +3x 4 2x 5 6x 6 = 0 +x 5 +5x 6 = 0 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 26 / 43

Karena ker (A) = ker (A ), untuk memperoleh basis bagi ker (A), kita dapat meninjau solusi SPL A x = 0, yaitu x 1 3x 2 +4x 3 2x 4 +5x 5 +4x 6 = 0 +x 3 +3x 4 2x 5 6x 6 = 0 +x 5 +5x 6 = 0 Misalkan x 2 = r, x 4 = s, dan x 6 = t, kita memiliki x 5 = 5t x 3 = 3s + 2 ( 5t) + 6t = 3s 4t x 1 = 3r 4 ( 3s 4t) + 2s 5 ( 5t) 4 (t) = 3r + 14s + 37t. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 26 / 43

Karena ker (A) = ker (A ), untuk memperoleh basis bagi ker (A), kita dapat meninjau solusi SPL A x = 0, yaitu x 1 3x 2 +4x 3 2x 4 +5x 5 +4x 6 = 0 +x 3 +3x 4 2x 5 6x 6 = 0 +x 5 +5x 6 = 0 Misalkan x 2 = r, x 4 = s, dan x 6 = t, kita memiliki x 5 = 5t x 3 = 3s + 2 ( 5t) + 6t = 3s 4t x 1 = 3r 4 ( 3s 4t) + 2s 5 ( 5t) 4 (t) = 3r + 14s + 37t. Jadi jika x ker (A), x = (3r + 14s + 37t, r, 3s 4t, s, 5t, t) dengan r, s, t R. Akibatnya x = r (3, 1, 0, 0, 0, 0) + s (14, 0, 3, 1, 0, 0) + t (37, 0, 4, 0, 5, 1). Akibatnya basis bagi ker (A) adalah {(3, 1, 0, 0, 0, 0), (14, 0, 3, 1, 0, 0), (37, 0, 4, 0, 5, 1)}. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 26 / 43

Latihan 3 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks M berikut. 1 1 2 0 M = 1 1 2 0. 1 0 1 1 Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 27 / 43

Latihan 3 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks M berikut. 1 1 2 0 M = 1 1 2 0. 1 0 1 1 Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk eselon baris, M = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 27 / 43

Latihan 3 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks M berikut. 1 1 2 0 M = 1 1 2 0. 1 0 1 1 Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk eselon baris, 1 0 1 1 M = 0 1 1 1 0 0 0 0 Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (M) dan row (M ) sama, yaitu adalah {r 1, r 2 }, dengan MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 27 / 43

Latihan 3 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks M berikut. 1 1 2 0 M = 1 1 2 0. 1 0 1 1 Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk eselon baris, 1 0 1 1 M = 0 1 1 1 0 0 0 0 Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (M) dan row (M ) sama, yaitu adalah {r 1, r 2 }, dengan r 1 = [ 1 0 1 1 ], r 2 = [ 0 1 1 1 ]. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 27 / 43

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (M ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada M yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A ) adalah {c 1, c 2}, dengan MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 28 / 43

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (M ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada M yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A ) adalah {c 1, c 2}, dengan c 1 = 1 0 0, c 2 = 0 1 0 Dengan demikian basis untuk col (M) adalah {c 1, c 2 }, dengan. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 28 / 43

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (M ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada M yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A ) adalah {c 1, c 2}, dengan c 1 = 1 0 0, c 2 = 0 1 0 Dengan demikian basis untuk col (M) adalah {c 1, c 2 }, dengan 1 1 c 1 = 1 1, c 2 = 1 0. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 28 / 43

Karena ker (M) = ker (M ), untuk memperoleh basis bagi ker (M), kita dapat meninjau solusi SPL M x = 0, yaitu MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 29 / 43

Karena ker (M) = ker (M ), untuk memperoleh basis bagi ker (M), kita dapat meninjau solusi SPL M x = 0, yaitu 1 0 1 1 x 1 0 1 1 1 x 2 x 0 0 0 0 3 = 0 0 0 x 4 x 1 +x 3 +x 4 = 0 +x 2 +x 3 x 4 = 0 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 29 / 43

Karena ker (M) = ker (M ), untuk memperoleh basis bagi ker (M), kita dapat meninjau solusi SPL M x = 0, yaitu 1 0 1 1 x 1 0 1 1 1 x 2 x 0 0 0 0 3 = 0 0 0 x 4 x 1 +x 3 +x 4 = 0 +x 2 +x 3 x 4 = 0 Misalkan x 3 = s dan x 4 = t, maka x 2 = s + t dan x 1 = s t. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 29 / 43

Karena ker (M) = ker (M ), untuk memperoleh basis bagi ker (M), kita dapat meninjau solusi SPL M x = 0, yaitu 1 0 1 1 x 1 0 1 1 1 x 2 x 0 0 0 0 3 = 0 0 0 x 4 x 1 +x 3 +x 4 = 0 +x 2 +x 3 x 4 = 0 Misalkan x 3 = s dan x 4 = t, maka x 2 = s + t dan x 1 = s t. s t Jadi jika x ker (A), maka x = s + t s dengan r, s, t R. Akibatnya t x = s 1 1 1 0 + t 1 1 0 1. Sehingga bagi ker (A) adalah MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 29 / 43

Karena ker (M) = ker (M ), untuk memperoleh basis bagi ker (M), kita dapat meninjau solusi SPL M x = 0, yaitu 1 0 1 1 x 1 0 1 1 1 x 2 x 0 0 0 0 3 = 0 0 0 x 4 x 1 +x 3 +x 4 = 0 +x 2 +x 3 x 4 = 0 Misalkan x 3 = s dan x 4 = t, maka x 2 = s + t dan x 1 = s t. s t Jadi jika x ker (A), maka x = s + t s dengan r, s, t R. Akibatnya t x = s 1 1 1 0 + t 1 1 0 1 {( 1, 1, 1, 0), ( 1, 1, 0, 1)}.. Sehingga bagi ker (A) adalah MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 29 / 43

Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 31 / 43

Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 31 / 43

Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti). Mengingat row ( A T ) = col (A) dan col ( A T ) = row (A), dari suatu matriks A dan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 31 / 43

Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti). Mengingat row ( A T ) = col (A) dan col ( A T ) = row (A), dari suatu matriks A dan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A, row (A), MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 31 / 43

Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti). Mengingat row ( A T ) = col (A) dan col ( A T ) = row (A), dari suatu matriks A dan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A, row (A), ruang kolom A, col (A), MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 31 / 43

Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti). Mengingat row ( A T ) = col (A) dan col ( A T ) = row (A), dari suatu matriks A dan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A, row (A), ruang kolom A, col (A), ruang null A, null (A), dan MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 31 / 43

Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti). Mengingat row ( A T ) = col (A) dan col ( A T ) = row (A), dari suatu matriks A dan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A, row (A), ruang kolom A, col (A), ruang null A, null (A), dan ruang null A T, null ( A T ). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 31 / 43

Definisi Rank dan Nulitas Teorema Misalkan A adalah suatu matriks dengan entri-entri berupa bilangan real, maka dim (row (A)) = dim (col (A)). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 32 / 43

Bukti MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 33 / 43

Bukti Misalkan A adalah suatu bentuk EB dari A, dari teorema sebelumnya kita memiliki dim (row (A)) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 33 / 43

Bukti Misalkan A adalah suatu bentuk EB dari A, dari teorema sebelumnya kita memiliki dim (row (A)) = dim (row (A )) dan dim (col (A)) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 33 / 43

Bukti Misalkan A adalah suatu bentuk EB dari A, dari teorema sebelumnya kita memiliki Kita juga memiliki dim (col (A )) = dim (row (A)) = dim (row (A )) dan dim (col (A)) = dim (col (A )). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 33 / 43

Bukti Misalkan A adalah suatu bentuk EB dari A, dari teorema sebelumnya kita memiliki dim (row (A)) = dim (row (A )) dan dim (col (A)) = dim (col (A )). Kita juga memiliki dim (col (A )) = # 1 utama pada A. Akibatnya dim (row (A )) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 33 / 43

Bukti Misalkan A adalah suatu bentuk EB dari A, dari teorema sebelumnya kita memiliki dim (row (A)) = dim (row (A )) dan dim (col (A)) = dim (col (A )). Kita juga memiliki dim (col (A )) = # 1 utama pada A. Akibatnya dim (row (A )) = # baris tak nol pada A = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 33 / 43

Bukti Misalkan A adalah suatu bentuk EB dari A, dari teorema sebelumnya kita memiliki dim (row (A)) = dim (row (A )) dan dim (col (A)) = dim (col (A )). Kita juga memiliki dim (col (A )) = # 1 utama pada A. Akibatnya dim (row (A )) = # baris tak nol pada A = # 1 utama pada A = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 33 / 43

Bukti Misalkan A adalah suatu bentuk EB dari A, dari teorema sebelumnya kita memiliki dim (row (A)) = dim (row (A )) dan dim (col (A)) = dim (col (A )). Kita juga memiliki dim (col (A )) = # 1 utama pada A. Akibatnya Jadi dim (row (A )) = # baris tak nol pada A = # 1 utama pada A = dim (col (A )). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 33 / 43

Bukti Misalkan A adalah suatu bentuk EB dari A, dari teorema sebelumnya kita memiliki dim (row (A)) = dim (row (A )) dan dim (col (A)) = dim (col (A )). Kita juga memiliki dim (col (A )) = # 1 utama pada A. Akibatnya Jadi dim (row (A )) = # baris tak nol pada A = # 1 utama pada A = dim (col (A )). dim (row (A)) = dim (row (A )) = dim (col (A )) = dim (col (A)). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 33 / 43

Definisi Rank dan Nulitas Dari teorema yang telah dijelaskan, kita dapat mendefinisikan rank dan nulitas dari suatu matriks sebagai berikut. Definisi Apabila A adalah suatu matriks dengan entri-entri real, maka dimensi bersama untuk ruang baris dan ruang kolom dari A disebut sebagai rank dari A dan dinotasikan dengan rank (A). Dengan perkataan lain rank (A) = dim (row (A)) = dim (col (A)) = dim (Im (A)). Selanjutnya dimensi untuk ruang null dari A disebut sebagai nulitas dari A dan dinotasikan dengan nulitas (A). Dengan perkataan lain nulitas (A) = dim (null (A)) = dim (ker (A)). Catatan Untuk sembarang matriks A, secara intuitif kita dapat mengatakan bahwa rank (A) adalah banyaknya baris (atau kolom) yang bebas linier pada A. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 34 / 43

Latihan 4 Latihan Tentukan rank dan nulitas dari matriks A apabila Solusi: A = 1 2 0 4 5 3 3 7 2 0 1 4 2 5 2 4 6 1 4 9 2 4 4 7. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 35 / 43

Latihan 4 Latihan Tentukan rank dan nulitas dari matriks A apabila A = 1 2 0 4 5 3 3 7 2 0 1 4 2 5 2 4 6 1 4 9 2 4 4 7 Solusi: Kita dapat mereduksi A menjadi matriks A yang berada dalam bentuk EB sebagai berikut 1 2 0 4 5 3 A = 0 1 2 12 16 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Akibatnya diperoleh rank (A) = 2.. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 35 / 43

Kemudian karena ker (A) = ker (A ) = { x R 6 A x = 0 } kita memiliki SPL berikut MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 36 / 43

Kemudian karena ker (A) = ker (A ) = { x R 6 A x = 0 } kita memiliki SPL berikut x 1 +2x 2 +4x 4 +5x 5 3x 6 = 0 +x 2 2x 3 12x 4 16x 5 +5x 6 = 0 misalkan x 3 = q, x 4 = r, x 5 = s, x 6 = t, diperoleh MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 36 / 43

Kemudian karena ker (A) = ker (A ) = { x R 6 A x = 0 } kita memiliki SPL berikut x 1 +2x 2 +4x 4 +5x 5 3x 6 = 0 +x 2 2x 3 12x 4 16x 5 +5x 6 = 0 misalkan x 3 = q, x 4 = r, x 5 = s, x 6 = t, diperoleh Jadi x 2 = 2q + 12r + 16s 5t, x 1 = 4q + 28r + 37s 13t. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 36 / 43

Kemudian karena ker (A) = ker (A ) = { x R 6 A x = 0 } kita memiliki SPL berikut x 1 +2x 2 +4x 4 +5x 5 3x 6 = 0 +x 2 2x 3 12x 4 16x 5 +5x 6 = 0 misalkan x 3 = q, x 4 = r, x 5 = s, x 6 = t, diperoleh Jadi x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = q x 2 = 2q + 12r + 16s 5t, x 1 = 4q + 28r + 37s 13t. 4 1 1 0 0 0 + r 28 12 0 1 0 0 + s 37 16 0 0 1 0 + t 13 5 0 0 0 1 Oleh karenanya basis bagi ker (A)adalah {(4, 1, 1, 0, 0, 0), (28, 12, 0, 1, 0, 0), (37, 16, 0, 0, 1, 0), ( 13, 5, 0, 0, 0, 1)}. Jadi nulitas (A) = 4., MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 36 / 43

Latihan 5 Latihan Tentukan rank dan nulitas dari matriks M apabila 1 2 1 1 M = 1 2 3 1. 1 2 2 1 Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 37 / 43

Latihan 5 Latihan Tentukan rank dan nulitas dari matriks M apabila 1 2 1 1 M = 1 2 3 1. 1 2 2 1 Solusi: Kita dapat mereduksi M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk EB sebagai berikut 1 0 2 0 M = 1 1 0 1 2 2 0 0 1 0 Akibatnya diperoleh rank (A) = 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 37 / 43

Kemudian karena ker (M) = ker (M ) = { x R 4 M x = 0 } kita memiliki SPL berikut MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 38 / 43

Kemudian karena ker (M) = ker (M ) = { x R 4 M x = 0 } kita memiliki SPL berikut x 1 0 2 0 1 1 1 0 1 x 2 0 2 2 x 0 0 1 0 3 = 0. 0 x 4 x 1 2x 3 = 0 +x 2 + 1 2 x 3 + 1 2 x 4 = 0 +x 3 = 0 Jadi diperoleh x 3 = 0, x 1 = 0, dan jika x 4 = t, maka x 2 = 1 2t. Akibatnya x 1 0 0 x 2 x 3 = 1 2 t 0 = t 1 2 0. x 4 t 1 Oleh karenanya basis bagi ker (M)adalah {( 0, 1 2, 0, 1)} = {(0, 1, 0, 2)} = {(0, 1, 0, 2)}. Jadi nulitas (M) = 1. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 38 / 43

Beberapa Teorema Penting Teorema Jika A adalah sebarang matriks dengan entri real, maka rank (A) = rank ( A T ). Bukti MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 40 / 43

Beberapa Teorema Penting Teorema Jika A adalah sebarang matriks dengan entri real, maka rank (A) = rank ( A T ). Bukti rank (A) = dim (row (A)) = dim ( col ( A T )) = rank ( A T ).. Teorema Jika A adalah sebarang matriks dengan real berukuran m n, maka rank (A) + nulitas (A) = n. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 40 / 43

Bukti Kita dapat mereduksi A menjadi matriks A yang berada dalam bentuk EB. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 41 / 43

Bukti Kita dapat mereduksi A menjadi matriks A yang berada dalam bentuk EB. Berdasarkan teorema sebelumnya, rank (A) = rank (A ) dan nulitas (A) = nulitas (A ). Selanjutnya pandang SPL A x = 0. SPL ini memiliki m persamaan dan n variabel. Kita definisikan variabel utama sebagai variabel yang bersesuaian dengan sebuah 1 utama dan parameter sebagai variabel yang tidak terkait dengan 1 utama. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 41 / 43

Bukti Kita dapat mereduksi A menjadi matriks A yang berada dalam bentuk EB. Berdasarkan teorema sebelumnya, rank (A) = rank (A ) dan nulitas (A) = nulitas (A ). Selanjutnya pandang SPL A x = 0. SPL ini memiliki m persamaan dan n variabel. Kita definisikan variabel utama sebagai variabel yang bersesuaian dengan sebuah 1 utama dan parameter sebagai variabel yang tidak terkait dengan 1 utama. Kita memiliki Mengingat (# variabel utama) + (# parameter) = (# seluruh variabel) (# 1 utama) + (# parameter) = n rank (A) + (# parameter) = n. nulitas (A) = nulitas (A ) = dim (ker (A )) = # parameter pada solusi SPL A x = 0, kita mendapatkan rank (A) + nulitas (A) = n. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 41 / 43

Teorema Jika A adalah suatu matriks dengan entri-entri real berukuran m n, maka 1 rank (A) sama dengan banyaknya variabel utama (variabel yang bersesuaian dengan 1 utama) dari solusi Ax = 0. 2 nulitas (A) sama dengan banyaknya parameter dari solusi Ax = 0. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 42 / 43

Keterkaitan antara Rank dan Nulitas untuk A dan A T Misalkan A adalah suatu matriks real berukuran m n maka MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 43 / 43

Keterkaitan antara Rank dan Nulitas untuk A dan A T Misalkan A adalah suatu matriks real berukuran m n maka 0 rank (A) min {m, n}. Dari teorema-teorema penting yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila A adalah suatu matriks real berukuran m n dengan rank (A) = r, maka kita memiliki dim (row (A)) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 43 / 43

Keterkaitan antara Rank dan Nulitas untuk A dan A T Misalkan A adalah suatu matriks real berukuran m n maka 0 rank (A) min {m, n}. Dari teorema-teorema penting yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila A adalah suatu matriks real berukuran m n dengan rank (A) = r, maka kita memiliki dim (row (A)) = r dim (col (A)) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 43 / 43

Keterkaitan antara Rank dan Nulitas untuk A dan A T Misalkan A adalah suatu matriks real berukuran m n maka 0 rank (A) min {m, n}. Dari teorema-teorema penting yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila A adalah suatu matriks real berukuran m n dengan rank (A) = r, maka kita memiliki dim (row (A)) = r dim (col (A)) = r dim ( row ( A T )) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 43 / 43

Keterkaitan antara Rank dan Nulitas untuk A dan A T Misalkan A adalah suatu matriks real berukuran m n maka 0 rank (A) min {m, n}. Dari teorema-teorema penting yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila A adalah suatu matriks real berukuran m n dengan rank (A) = r, maka kita memiliki dim (row (A)) = r dim (col (A)) = r dim ( row ( A T )) = r dim ( col ( A T )) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 43 / 43

Keterkaitan antara Rank dan Nulitas untuk A dan A T Misalkan A adalah suatu matriks real berukuran m n maka 0 rank (A) min {m, n}. Dari teorema-teorema penting yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila A adalah suatu matriks real berukuran m n dengan rank (A) = r, maka kita memiliki dim (row (A)) = r dim (col (A)) = r dim ( row ( A T )) = r dim ( col ( A T )) = r dim (null (A)) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 43 / 43

Keterkaitan antara Rank dan Nulitas untuk A dan A T Misalkan A adalah suatu matriks real berukuran m n maka 0 rank (A) min {m, n}. Dari teorema-teorema penting yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila A adalah suatu matriks real berukuran m n dengan rank (A) = r, maka kita memiliki dim (row (A)) = r dim (col (A)) = r dim ( row ( A T )) = r dim ( col ( A T )) = r dim (null (A)) = n r dim ( null ( A T )) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 43 / 43

Keterkaitan antara Rank dan Nulitas untuk A dan A T Misalkan A adalah suatu matriks real berukuran m n maka 0 rank (A) min {m, n}. Dari teorema-teorema penting yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila A adalah suatu matriks real berukuran m n dengan rank (A) = r, maka kita memiliki dim (row (A)) = r dim (col (A)) = r dim ( row ( A T )) = r dim ( col ( A T )) = r dim (null (A)) = n r dim ( null ( A T )) = m r MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November 2015 43 / 43