Sistem Persamaan Linier (SPL)

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Sistem Persamaan Linier (SPL)"

Transkripsi

1 Sistem Persamaan Linier (SPL) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

2 Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi , oleh Adiwijaya. 2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres. 3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri. Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

3 Bahasan 1 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? 2 Solusi dari Persamaan Linier (PL) 3 Sistem Persamaan Linier (SPL) 4 Solusi dari SPL 5 Jenis-jenis Solusi SPL MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

4 Bahasan Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? 1 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? 2 Solusi dari Persamaan Linier (PL) 3 Sistem Persamaan Linier (SPL) 4 Solusi dari SPL 5 Jenis-jenis Solusi SPL MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

5 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Dasar Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut 2 ( ) + 5 = 11, atau mungkin MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

6 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Dasar Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut 2 ( ) + 5 = 11, atau mungkin 2x + 5 = 11. (1) MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

7 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Dasar Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut 2 ( ) + 5 = 11, atau mungkin 2x + 5 = 11. (1) Ekspresi (1) merupakan contoh persamaan linier satu peubah (variabel). Peubah yang ditinjau dalam hal ini adalah x. Secara umum, persamaan linier satu peubah berbentuk MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

8 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Dasar Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut 2 ( ) + 5 = 11, atau mungkin 2x + 5 = 11. (1) Ekspresi (1) merupakan contoh persamaan linier satu peubah (variabel). Peubah yang ditinjau dalam hal ini adalah x. Secara umum, persamaan linier satu peubah berbentuk ax + b = c, dengan a, b, c R dan a 0. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

9 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Dasar Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut 2 ( ) + 5 = 11, atau mungkin 2x + 5 = 11. (1) Ekspresi (1) merupakan contoh persamaan linier satu peubah (variabel). Peubah yang ditinjau dalam hal ini adalah x. Secara umum, persamaan linier satu peubah berbentuk ax + b = c, dengan a, b, c R dan a 0. Simbol x menyatakan peubah pada persamaan linier (PL) tersebut. Suatu bilangan real t merupakan solusi dari PL ax + b = c apabila MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

10 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Dasar Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut 2 ( ) + 5 = 11, atau mungkin 2x + 5 = 11. (1) Ekspresi (1) merupakan contoh persamaan linier satu peubah (variabel). Peubah yang ditinjau dalam hal ini adalah x. Secara umum, persamaan linier satu peubah berbentuk ax + b = c, dengan a, b, c R dan a 0. Simbol x menyatakan peubah pada persamaan linier (PL) tersebut. Suatu bilangan real t merupakan solusi dari PL ax + b = c apabila at + b = c. Sebagai contoh, 3 merupakan solusi dari PL (1) karena 2 (3) + 5 = 11. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

11 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Menengah Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi matematika berikut MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

12 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Menengah Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi matematika berikut 2x + 3y = 11. (2) Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

13 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Menengah Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi matematika berikut 2x + 3y = 11. (2) Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y. Sebelum Anda berkuliah, tentulah Anda pernah melihat bentuk ekspresi matematika berikut MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

14 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Menengah Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi matematika berikut 2x + 3y = 11. (2) Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y. Sebelum Anda berkuliah, tentulah Anda pernah melihat bentuk ekspresi matematika berikut 2x + 3y + 4z = 31. (3) Ekspresi (3) merupakan contoh PL tiga peubah, yaitu x, y, dan z. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

15 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Menengah Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi matematika berikut 2x + 3y = 11. (2) Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y. Sebelum Anda berkuliah, tentulah Anda pernah melihat bentuk ekspresi matematika berikut 2x + 3y + 4z = 31. (3) Ekspresi (3) merupakan contoh PL tiga peubah, yaitu x, y, dan z. Pada kuliah ini kita akan meninjau PL dengan n peubah untuk suatu n N. PL n Peubah MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

16 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? Persamaan Linier di Sekolah Menengah Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi matematika berikut 2x + 3y = 11. (2) Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y. Sebelum Anda berkuliah, tentulah Anda pernah melihat bentuk ekspresi matematika berikut 2x + 3y + 4z = 31. (3) Ekspresi (3) merupakan contoh PL tiga peubah, yaitu x, y, dan z. Pada kuliah ini kita akan meninjau PL dengan n peubah untuk suatu n N. PL n Peubah Persamaan linier n peubah x 1,..., x n adalah persamaan matematika berbentuk a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c, dengan a 1,..., a n R, c R, dan tidak semua a 1,..., a n bernilai nol. Syarat tidak semua a 1,..., a n bernilai nol perlu ditulis, karena jika tidak, kita bisa mendapatkan ekspresi matematika 0 = c, ini tidak menarik untuk dikaji. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

17 Bahasan Solusi dari Persamaan Linier (PL) 1 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? 2 Solusi dari Persamaan Linier (PL) 3 Sistem Persamaan Linier (SPL) 4 Solusi dari SPL 5 Jenis-jenis Solusi SPL MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

18 Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

19 Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a 1 t 1 + a 2 t a n t n = c. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

20 Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a 1 t 1 + a 2 t a n t n = c. Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1, 3) adalah MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

21 Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a 1 t 1 + a 2 t a n t n = c. Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1, 3) adalah solusi dari PL ini karena MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

22 Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a 1 t 1 + a 2 t a n t n = c. Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1, 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4, 1) MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

23 Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a 1 t 1 + a 2 t a n t n = c. Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1, 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4, 1) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) = 11. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

24 Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a 1 t 1 + a 2 t a n t n = c. Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1, 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4, 1) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) = 11. Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1, 3, 5) adalah MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

25 Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a 1 t 1 + a 2 t a n t n = c. Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1, 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4, 1) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) = 11. Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1, 3, 5) adalah solusi dari PL ini karena MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

26 Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a 1 t 1 + a 2 t a n t n = c. Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1, 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4, 1) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) = 11. Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1, 3, 5) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) + 4 (5) = 31. Selain itu, (4, 1, 5) MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

27 Solusi dari Persamaan Linier (PL) Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x 1,..., x n berikut a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c, suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a 1 t 1 + a 2 t a n t n = c. Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1, 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4, 1) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) = 11. Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1, 3, 5) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) + 4 (5) = 31. Selain itu, (4, 1, 5) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) + 4 (5) = 31. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

28 Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

29 Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

30 Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t, 5 2t)dengan t R merupakan solusi dari PL tersebut karena MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

31 Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t, 5 2t)dengan t R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

32 Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t, 5 2t)dengan t R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat mengatakan ( bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk 5 t 2, t) karena 2 ( ) 5 t 2 + t = 5. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

33 Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t, 5 2t)dengan t R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat mengatakan ( bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk 5 t 2, t) karena 2 ( ) 5 t 2 + t = 5. Latihan Tentukan semua tupel bilangan real yang merupakan solusi dari PL 1 x + 2y = 8 2 x + y + z = 8 Solusi: MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

34 Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t, 5 2t)dengan t R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat mengatakan ( bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk 5 t 2, t) karena 2 ( ) 5 t 2 + t = 5. Latihan Tentukan semua tupel bilangan real yang merupakan solusi dari PL 1 x + 2y = 8 2 x + y + z = 8 Solusi: 1 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 2t, t), dengan t R, MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

35 Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t, 5 2t)dengan t R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat mengatakan ( bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk 5 t 2, t) karena 2 ( ) 5 t 2 + t = 5. Latihan Tentukan semua tupel bilangan real yang merupakan solusi dari PL 1 x + 2y = 8 2 x + y + z = 8 Solusi: 1 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 2t, t), dengan t R, karena 8 2t + 2t = 8. Jawaban lain adalah tupel ( ) t, 8 t 2. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

36 Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t, 5 2t)dengan t R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat mengatakan ( bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk 5 t 2, t) karena 2 ( ) 5 t 2 + t = 5. Latihan Tentukan semua tupel bilangan real yang merupakan solusi dari PL 1 x + 2y = 8 2 x + y + z = 8 Solusi: 1 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 2t, t), dengan t R, karena 8 2t + 2t = 8. Jawaban lain adalah tupel ( ) t, 8 t 2. 2 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 s t, s, t), dengan s, t R, MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

37 Solusi dari PL (2) Solusi dari Persamaan Linier (PL) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t, 5 2t)dengan t R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat mengatakan ( bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk 5 t 2, t) karena 2 ( ) 5 t 2 + t = 5. Latihan Tentukan semua tupel bilangan real yang merupakan solusi dari PL 1 x + 2y = 8 2 x + y + z = 8 Solusi: 1 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 2t, t), dengan t R, karena 8 2t + 2t = 8. Jawaban lain adalah tupel ( ) t, 8 t 2. 2 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 s t, s, t), dengan s, t R, karena (8 s t) + s + t = 8. Jawaban lain adalah tupel (s, 8 s t, t) atau (s, t, 8 s t). MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

38 Bahasan Sistem Persamaan Linier (SPL) 1 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? 2 Solusi dari Persamaan Linier (PL) 3 Sistem Persamaan Linier (SPL) 4 Solusi dari SPL 5 Jenis-jenis Solusi SPL MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

39 Sistem Persamaan Linier (SPL) Sistem Persamaan Linier (SPL) Sistem persamaan linier (SPL) adalah koleksi berhingga banyak persamaan-persamaan linier. Contoh MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

40 Sistem Persamaan Linier (SPL) Sistem Persamaan Linier (SPL) Sistem persamaan linier (SPL) adalah koleksi berhingga banyak persamaan-persamaan linier. Contoh x + y + z = 12 x + 2y + 3z = 24 Sistem Persamaan Linier a + b = 3 2a + 3b = 4 a + 8b = 12 x 1 +x 2 +x 4 = 3 +x 2 +x 3 = 4 x 1 +x 4 = 5 MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

41 Catatan: MZI Peubah (FIF Tel-U) juga disebut sebagai unknown SPL karena tidak diketahui Agustus nilainya / 27 Sistem Persamaan Linier (SPL) Sistem Persamaan Linier (SPL) Sistem persamaan linier (SPL) adalah koleksi berhingga banyak persamaan-persamaan linier. Contoh x + y + z = 12 x + 2y + 3z = 24 Sistem Persamaan Linier a + b = 3 2a + 3b = 4 a + 8b = 12 x 1 +x 2 +x 4 = 3 +x 2 +x 3 = 4 x 1 +x 4 = 5 Sistem persamaan linier dengan m persamaan dan n peubah (variabel/ unknown) x 1,..., x n dapat ditulis sebagai a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = c a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = c m Dalam SPL di atas, a ij merupakan koefisien untuk x j pada persamaan ke-i. Nilai dari a ij dan c i adalah bilangan real untuk setiap 1 i m dan 1 j n.

42 Bahasan Solusi dari SPL 1 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? 2 Solusi dari Persamaan Linier (PL) 3 Sistem Persamaan Linier (SPL) 4 Solusi dari SPL 5 Jenis-jenis Solusi SPL MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

43 Solusi dari SPL (1) Solusi dari SPL Kita telah melihat pengertian solusi dari suatu PL. Solusi dari SPL analog dengan solusi dari PL. Solusi SPL Diberikan SPL a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = c a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = c m (4) Suatu n-tupel (t 1, t 2,..., t n ) dikatakan solusi dari SPL (4) apabila (t 1, t 2,..., t n ) merupakan solusi dari semua PL yang ada pada SPL tersebut. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

44 Solusi dari SPL (2) Solusi dari SPL Dengan demikian, jika suatu n-tupel (t 1,..., t n ) adalah solusi dari SPL (4) maka kita memiliki bahwa semua ekspresi matematika berikut: bernilai benar. a 11 t 1 + a 12 t 2 + a 1n t n = c 1 a 21 t 1 + a 22 t 2 + a 2n t n = c a m1 t 1 + a m2 t 2 + a mn t n = c m MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

45 Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

46 Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) Apakah (5, 0, 0) merupakan solusi SPL di atas? MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

47 Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) Apakah (5, 0, 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

48 Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) Apakah (5, 0, 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 5) merupakan solusi SPL di atas? MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

49 Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) Apakah (5, 0, 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi = 5 pada PL (6) yang bernilai salah. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

50 Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) Apakah (5, 0, 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi = 5 pada PL (6) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 0) merupakan solusi SPL di atas? MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

51 Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) Apakah (5, 0, 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi = 5 pada PL (6) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 0) merupakan solusi SPL di atas? Ya, tinjau bahwa Kita memiliki MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

52 Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) Apakah (5, 0, 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi = 5 pada PL (6) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 0) merupakan solusi SPL di atas? Ya, tinjau bahwa Kita memiliki = 10 pada PL (5), ekspresi ini benar. Kita memiliki MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

53 Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) Apakah (5, 0, 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi = 5 pada PL (6) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 0) merupakan solusi SPL di atas? Ya, tinjau bahwa Kita memiliki = 10 pada PL (5), ekspresi ini benar. Kita memiliki = 5 pada PL (6), ekspresi ini benar. Kita memiliki MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

54 Solusi dari SPL Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x + y + z = 10 (5) x + z = 5 (6) 2x + y + 3z = 15 (7) Apakah (5, 0, 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi = 5 pada PL (6) yang bernilai salah. Apakah (5, 5, 0) merupakan solusi SPL di atas? Ya, tinjau bahwa Kita memiliki = 10 pada PL (5), ekspresi ini benar. Kita memiliki = 5 pada PL (6), ekspresi ini benar. Kita memiliki 2 (5) (0) = 15 pada PL (7), ekspresi ini benar. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

55 Bahasan Jenis-jenis Solusi SPL 1 Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)? 2 Solusi dari Persamaan Linier (PL) 3 Sistem Persamaan Linier (SPL) 4 Solusi dari SPL 5 Jenis-jenis Solusi SPL MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

56 Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, Apakah SPL tersebut memiliki solusi? MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

57 Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

58 Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

59 Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi? Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

60 Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi? Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar grafik), MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

61 Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi? Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar grafik), substitusi, MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

62 Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi? Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar grafik), substitusi, eliminasi, MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

63 Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi? Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar grafik), substitusi, eliminasi, eliminasi-substitusi, atau MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

64 Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi? Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar grafik), substitusi, eliminasi, eliminasi-substitusi, atau metode lain (jika sudah pernah belajar). MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

65 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal) Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut x y = 6 (8) 2x + y = 6 (9) MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

66 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal) Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut x y = 6 (8) 2x + y = 6 (9) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

67 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal) Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut x y = 6 (8) 2x + y = 6 (9) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (8) dengan 2 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (9), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

68 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal) Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut x y = 6 (8) 2x + y = 6 (9) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (8) dengan 2 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (9), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu x y = 6 (10) 3y = 6 (11) MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

69 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal) Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut x y = 6 (8) 2x + y = 6 (9) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (8) dengan 2 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (9), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu x y = 6 (10) 3y = 6 (11) Dari persamaan (11), didapatkan y = 2. Kemudian dengan mensubstitusikan hasil ini ke persamaan (10) diperoleh x = 6 + y = 6 + ( 2) = 4. Jadi solusi dari SPL di atas adalah tupel (4, 2). Lebih jauh, tidak ada tupel lain yang merupakan solusi dari SPL di atas. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

70 Jenis-jenis Solusi SPL Representasinya secara Geometris... Solusi SPL x y = 6 dan 2x + y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R 2 ) yang merupakan perpotongan garis l 1 : x y = 6 dan l 2 : 2x + y = 6, yaitu (4, 2). MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

71 Jenis-jenis Solusi SPL Representasinya secara Geometris... Solusi SPL x y = 6 dan 2x + y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R 2 ) yang merupakan perpotongan garis l 1 : x y = 6 dan l 2 : 2x + y = 6, yaitu (4, 2). y x 4 MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

72 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL Tanpa Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut x + y = 4 (12) 3x + 3y = 6 (13) Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

73 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL Tanpa Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi. x + y = 4 (12) 3x + 3y = 6 (13) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

74 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL Tanpa Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi. x + y = 4 (12) 3x + 3y = 6 (13) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (12) dengan 3 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (13), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

75 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL Tanpa Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi. x + y = 4 (12) 3x + 3y = 6 (13) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (12) dengan 3 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (13), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu x + y = 4 (14) 0 = 6 (15) MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

76 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL Tanpa Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi. x + y = 4 (12) 3x + 3y = 6 (13) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (12) dengan 3 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (13), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu x + y = 4 (14) 0 = 6 (15) Persamaan (15) merupakan sebuah kontradiksi. Jadi SPL di atas tidak punya solusi. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

77 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL Tanpa Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi. x + y = 4 (12) 3x + 3y = 6 (13) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (12) dengan 3 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (13), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu x + y = 4 (14) 0 = 6 (15) Persamaan (15) merupakan sebuah kontradiksi. Jadi SPL di atas tidak punya solusi. Kita juga dapat memeriksa hal ini dengan mengalikan persamaan (12) dengan 3, sehingga didapatkan 3x + 3y = 4. Akibatnya, dari persamaan (13), diperoleh ekspresi 4 = 3x + 3y = 6, atau 4 = 6, suatu kontradiksi. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

78 Jenis-jenis Solusi SPL Representasinya secara Geometris... Solusi SPL x + y = 4 dan 3x + 3y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R 2 ) yang merupakan perpotongan garis l 1 : x + y = 4 dan l 2 : 3x + 3y = 6. Karena kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong, maka SPL yang bersesuaian tidak punya solusi. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

79 Jenis-jenis Solusi SPL Representasinya secara Geometris... Solusi SPL x + y = 4 dan 3x + 3y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R 2 ) yang merupakan perpotongan garis l 1 : x + y = 4 dan l 2 : 3x + 3y = 6. Karena kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong, maka SPL yang bersesuaian tidak punya solusi. y x 4 MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

80 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut 4x 2y = 1 (16) 16x 8y = 4 (17) MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

81 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut 4x 2y = 1 (16) 16x 8y = 4 (17) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

82 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut 4x 2y = 1 (16) 16x 8y = 4 (17) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

83 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut 4x 2y = 1 (16) 16x 8y = 4 (17) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu 4x 2y = 1 (18) 0 = 0 (19) MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

84 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut 4x 2y = 1 (16) 16x 8y = 4 (17) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu 4x 2y = 1 (18) 0 = 0 (19) Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

85 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut 4x 2y = 1 (16) 16x 8y = 4 (17) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu 4x 2y = 1 (18) 0 = 0 (19) Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y. Akibatnya solusi SPL sama dengan solusi dari persamaan (18), yaitu solusi PL 4x 2y = 1. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

86 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut 4x 2y = 1 (16) 16x 8y = 4 (17) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu 4x 2y = 1 (18) 0 = 0 (19) Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y. Akibatnya solusi SPL sama dengan solusi dari persamaan (18), yaitu solusi PL 4x 2y = 1. Dengan menyelesaikan persamaan ini dalam x, diperoleh x = 1+2y 4. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

87 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut 4x 2y = 1 (16) 16x 8y = 4 (17) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu 4x 2y = 1 (18) 0 = 0 (19) Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y. Akibatnya solusi SPL sama dengan solusi dari persamaan (18), yaitu solusi PL 4x 2y = 1. Dengan menyelesaikan persamaan ini dalam x, diperoleh x = 1+2y 4. Jadi solusi SPL adalah semua pasang ( 1+2t ( ) 4, t) dengan t R, atau dapat pula semua pasang t, 4t 1 2, dengan t R. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

88 Jenis-jenis Solusi SPL Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut 4x 2y = 1 (16) 16x 8y = 4 (17) Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu 4x 2y = 1 (18) 0 = 0 (19) Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y. Akibatnya solusi SPL sama dengan solusi dari persamaan (18), yaitu solusi PL 4x 2y = 1. Dengan menyelesaikan persamaan ini dalam x, diperoleh x = 1+2y 4. Jadi solusi SPL adalah semua pasang ( 1+2t ( ) 4, t) dengan t R, atau dapat pula semua pasang t, 4t 1 2, dengan t R. Persamaan berbentuk x = 1+2t 4 dan y = t, dengan t R disebut persamaan parametrik dari garis 4x 2y = 1. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

89 Jenis-jenis Solusi SPL Representasinya secara Geometris... Solusi SPL 4x 2y = 1 dan 16x 8y = 4 dapat direpresentasikan secara geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R 2 ) yang merupakan perpotongan garis l 1 : 4x 2y = 1 dan l 2 : 16x 8y = 4. Karena l 1 dan l 2 berimpit, maka semua titik pada l 1 (dan l 2 ) merupakan solusi SPL yang bersesuaian. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

90 Jenis-jenis Solusi SPL Representasinya secara Geometris... Solusi SPL 4x 2y = 1 dan 16x 8y = 4 dapat direpresentasikan secara geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R 2 ) yang merupakan perpotongan garis l 1 : 4x 2y = 1 dan l 2 : 16x 8y = 4. Karena l 1 dan l 2 berimpit, maka semua titik pada l 1 (dan l 2 ) merupakan solusi SPL yang bersesuaian. y x 4 MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

91 Jenis-jenis Solusi SPL Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis l 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 dan l 2 : a 2 x + b 1 y = c 2. Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

92 Jenis-jenis Solusi SPL Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis l 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 dan l 2 : a 2 x + b 1 y = c 2. Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu l 1 dan l 2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

93 Jenis-jenis Solusi SPL Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis l 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 dan l 2 : a 2 x + b 1 y = c 2. Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu l 1 dan l 2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL di atas tidak punya solusi. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

94 Jenis-jenis Solusi SPL Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis l 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 dan l 2 : a 2 x + b 1 y = c 2. Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu l 1 dan l 2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL di atas tidak punya solusi. l 1 dan l 2 berpotongan tepat di satu titik. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

95 Jenis-jenis Solusi SPL Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis l 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 dan l 2 : a 2 x + b 1 y = c 2. Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu l 1 dan l 2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL di atas tidak punya solusi. l 1 dan l 2 berpotongan tepat di satu titik. Ini berarti SPL di atas punya solusi unik (tunggal). MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

96 Jenis-jenis Solusi SPL Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis l 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 dan l 2 : a 2 x + b 1 y = c 2. Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu l 1 dan l 2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL di atas tidak punya solusi. l 1 dan l 2 berpotongan tepat di satu titik. Ini berarti SPL di atas punya solusi unik (tunggal). l 1 dan l 2 berimpit, sehingga titik potongnya adalah semua titik pada l 1 (dan l 2 ). MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

97 Jenis-jenis Solusi SPL Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis l 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 dan l 2 : a 2 x + b 1 y = c 2. Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu l 1 dan l 2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL di atas tidak punya solusi. l 1 dan l 2 berpotongan tepat di satu titik. Ini berarti SPL di atas punya solusi unik (tunggal). l 1 dan l 2 berimpit, sehingga titik potongnya adalah semua titik pada l 1 (dan l 2 ). Ini berarti SPL di atas punya tak hingga banyaknya solusi. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

98 Jenis-jenis Solusi SPL Representasinya Secara Geometris... MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

99 Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Definisi (SPL konsisten dan tak konsisten) Suatu SPL dikatakan konsisten jika SPL tersebut memiliki solusi (boleh satu atau lebih). SPL yang tidak punya solusi dikatakan SPL tak konsisten atau SPL inkonsisten. Mengapa disebut SPL inkonsisten? MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

100 Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Definisi (SPL konsisten dan tak konsisten) Suatu SPL dikatakan konsisten jika SPL tersebut memiliki solusi (boleh satu atau lebih). SPL yang tidak punya solusi dikatakan SPL tak konsisten atau SPL inkonsisten. Mengapa disebut SPL inkonsisten? Karena kita dapat memperoleh suatu kontradiksi pada SPL tersebut. Teorema Diberikan suatu SPL, maka hanya ada tiga kemungkinan solusi untuk SPL tersebut, yakni MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

101 Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Definisi (SPL konsisten dan tak konsisten) Suatu SPL dikatakan konsisten jika SPL tersebut memiliki solusi (boleh satu atau lebih). SPL yang tidak punya solusi dikatakan SPL tak konsisten atau SPL inkonsisten. Mengapa disebut SPL inkonsisten? Karena kita dapat memperoleh suatu kontradiksi pada SPL tersebut. Teorema Diberikan suatu SPL, maka hanya ada tiga kemungkinan solusi untuk SPL tersebut, yakni 1 SPL tersebut tidak punya solusi (tidak konsisten), MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

102 Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Definisi (SPL konsisten dan tak konsisten) Suatu SPL dikatakan konsisten jika SPL tersebut memiliki solusi (boleh satu atau lebih). SPL yang tidak punya solusi dikatakan SPL tak konsisten atau SPL inkonsisten. Mengapa disebut SPL inkonsisten? Karena kita dapat memperoleh suatu kontradiksi pada SPL tersebut. Teorema Diberikan suatu SPL, maka hanya ada tiga kemungkinan solusi untuk SPL tersebut, yakni 1 SPL tersebut tidak punya solusi (tidak konsisten), 2 SPL tersebut konsiten dan solusinya tunggal (hanya satu tupel yang memenuhi SPL tersebut), MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

103 Jenis-jenis Solusi SPL Jenis-jenis Solusi SPL Definisi (SPL konsisten dan tak konsisten) Suatu SPL dikatakan konsisten jika SPL tersebut memiliki solusi (boleh satu atau lebih). SPL yang tidak punya solusi dikatakan SPL tak konsisten atau SPL inkonsisten. Mengapa disebut SPL inkonsisten? Karena kita dapat memperoleh suatu kontradiksi pada SPL tersebut. Teorema Diberikan suatu SPL, maka hanya ada tiga kemungkinan solusi untuk SPL tersebut, yakni 1 SPL tersebut tidak punya solusi (tidak konsisten), 2 SPL tersebut konsiten dan solusinya tunggal (hanya satu tupel yang memenuhi SPL tersebut), 3 SPL tersebut konsisten dan solusinya tak hingga banyak. MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

104 Jenis-jenis Solusi SPL SPL Berdasarkan Solusinya MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus / 27

Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)

Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) OBE dan

Lebih terperinci

Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)

Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom,

Lebih terperinci

Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks

Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -

Lebih terperinci

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015

Lebih terperinci

Ruang Vektor Euclid R n

Ruang Vektor Euclid R n Ruang Vektor Euclid R n Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Oktober 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 1 / 38 Acknowledgements

Lebih terperinci

Rencana Perkuliahan. Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil MZI. Fakultas Informatika Telkom University. FIF Tel-U.

Rencana Perkuliahan. Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil MZI. Fakultas Informatika Telkom University. FIF Tel-U. Rencana Perkuliahan Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Rencana Perkuliahan Agustus 2015 1 / 22 Acknowledgements

Lebih terperinci

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bentuk umum persamaan linear dengan n peubah diberikan sebagai berikut : a1 x1 + a2 x2 +... + an xn = b ; a 1, a 2,..., a n R merupakan koefisien dari persamaaan dan x 1,

Lebih terperinci

Pertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks

Pertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan

Lebih terperinci

Pertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT

Pertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui

Lebih terperinci

5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.

5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel. 1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y

Lebih terperinci

PERSAMAAN & SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PERSAMAAN & SISTEM PERSAMAAN LINEAR PERSAMAAN & SISTEM PERSAMAAN LINEAR Persamaan Sistem Persamaan Linear DEFINISI PERSAMAAN Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan. Sedangkan kalimat matematika tertutup

Lebih terperinci

Teori Himpunan Elementer

Teori Himpunan Elementer Teori Himpunan Elementer Kuliah Matematika Diskret Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 1 / 72 Acknowledgements

Lebih terperinci

Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :

Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi

Lebih terperinci

BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu

BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang

Lebih terperinci

Logika Proposisi 1: Motivasi Pohon Urai (Parse Tree)

Logika Proposisi 1: Motivasi Pohon Urai (Parse Tree) Logika Proposisi 1: Motivasi Pohon Urai (Parse Tree) Kuliah Logika Matematika Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Logika Proposisi

Lebih terperinci

Logika Proposisi 3: Translasi Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi Masalah Dalam Inferensi Logika Proposisi

Logika Proposisi 3: Translasi Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi Masalah Dalam Inferensi Logika Proposisi Logika Proposisi 3: Translasi Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi Masalah Dalam Inferensi Logika Proposisi Kuliah Logika Matematika Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University

Lebih terperinci

ALJABAR VEKTOR MATRIKS. oleh: Yeni Susanti

ALJABAR VEKTOR MATRIKS. oleh: Yeni Susanti ALJABAR VEKTOR MATRIKS oleh: Yeni Susanti Materi SPL : Definisi, Solusi, SPL Nonhomogen, SPL Homogen, Matriks Augmented, Bentuk Eselon Baris (Bentuk Eselon baris Tereduksi), Eliminasi Gauss (Eliminasi

Lebih terperinci

Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem

Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem Kuliah Pemodelan Sistem Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016

Lebih terperinci

dimana a 1, a 2,, a n dan b adalah konstantakonstanta

dimana a 1, a 2,, a n dan b adalah konstantakonstanta Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Secara umum persamaan

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 7

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 7 Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan

Lebih terperinci

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

Lebih terperinci

Sistem Persamaan linier

Sistem Persamaan linier Sistem Persamaan linier 5.1 Sistem Persamaan Linier Dua Peubah (Variabel) Bentuk Umum: a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Dimana a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2 R. Himpunan pasangan berurutan (x, y)

Lebih terperinci

Logika Predikat (Kalkulus Predikat)

Logika Predikat (Kalkulus Predikat) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) Kuliah (Pengantar) Metode Formal Semester Ganjil 2015-2016 M. Arzaki Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus

Lebih terperinci

Sistem PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN linier

Sistem PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN linier Materi W4a Sistem PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN linier Kelas X, Semester 1 A. Sistem Persamaan Linier dengan Dua Variabel www.yudarwi.com A. Sistem Persamaan Linier dengan dua Variabel Bentuk umum : ax

Lebih terperinci

02-Pemecahan Persamaan Linier (1)

02-Pemecahan Persamaan Linier (1) -Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4:

Lebih terperinci

MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR

MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR 4.. Pendahuluan. Sistem Persamaan Linear merupakan salah satu topik penting dalam Aljabar Linear. Sistem Persamaan Linear sering dijumpai dalam semua bidang penyelidikan

Lebih terperinci

Solusi Sistem Persamaan Linear Ax = b

Solusi Sistem Persamaan Linear Ax = b Solusi Sistem Persamaan Linear Ax = b Kie Van Ivanky Saputra April 27, 2009 K V I Saputra (Analisis Numerik) Kuliah Sistem Persamaan Linier c April 27, 2009 1 / 9 Review 1 Substitusi mundur pada sistem

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL

SISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) SISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X

Lebih terperinci

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

ALJABAR LINEAR ELEMENTER BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.

Lebih terperinci

Modul 05 Persamaan Linear dan Persamaan Linear Simultan

Modul 05 Persamaan Linear dan Persamaan Linear Simultan Modul 05 Persamaan Linear dan Persamaan Linear Simultan 5.1. Persamaan Linear Persamaan adalah pernyataan kesamaan antara dua ekspresi aljabar yang cocok untuk bilangan nilai variable tertentu atau variable

Lebih terperinci

Penyelesaian Teka-Teki Matematika Persegi Ajaib Menggunakan Aljabar Lanjar

Penyelesaian Teka-Teki Matematika Persegi Ajaib Menggunakan Aljabar Lanjar Penyelesaian Teka-Teki Matematika Persegi Ajaib Menggunakan Aljabar Lanjar Gaudensius Dimas Prasetyo Suprapto / 13514059 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SISTEM PERSAMAAN LINEAR SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks

Lebih terperinci

Jenis Jenis--jenis jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir

Jenis Jenis--jenis jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir Jenis-jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir Diskripsi Mata Kuliah Memperkenalkan unsur-unsur fungsi ialah variabel bebas dan variabel terikat, koefisien, dan konstanta, yang saling berkaitan satu

Lebih terperinci

A. Sistem Persamaan Linier dengan dua Variabel

A. Sistem Persamaan Linier dengan dua Variabel Jurnal Materi Umum Peta Konsep Peta Konsep Daftar Hadir MateriA SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER Kelas X, Semester 1 Sistem Persamaan Linier Dua Variabel Tiga Variabel Sistem Pertidaksamaan linier

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Berkembangnya jaman yang semakin maju dan modern turut dipengaruhi oleh perkembangan ilmu pengetahuan yang dimiliki manusia. Hal tersebut dapat dilihat secara nyata

Lebih terperinci

Aplikasi Aljabar Lanjar untuk Penyelesaian Persoalan Kriptografi dengan Hill Cipher

Aplikasi Aljabar Lanjar untuk Penyelesaian Persoalan Kriptografi dengan Hill Cipher Aplikasi Aljabar Lanjar untuk Penyelesaian Persoalan Kriptografi dengan Hill Cipher Nursyahrina - 13513060 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl.

Lebih terperinci

Aljabar Linear dan Matriks. Semester Pendek TA 2010/2011 S1 Teknik Informatika. Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom.

Aljabar Linear dan Matriks. Semester Pendek TA 2010/2011 S1 Teknik Informatika. Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom. 1. Introduction Mata Kuliah: Aljabar Linear dan Matriks Semester Pendek TA 2010/2011 S1 Teknik Informatika Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom. Sistem Persamaan Linear Sistem Linear m kali n : suatu himpunan

Lebih terperinci

SUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd

SUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd SUBRUANG VEKTOR Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun Oleh : Kelompok 6/ III A4 1. Nina Octaviani Nugraheni 14144100115 2. Emi Suryani 14144100126

Lebih terperinci

Dalam bentuk SPL masalah ini dapat dinyatakan sebagai berikut:

Dalam bentuk SPL masalah ini dapat dinyatakan sebagai berikut: SISTEM PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat fungsi eksponensial, trigonometri, logaritma serta tidak melibatkan suatu hasil kali peubah atau akar peubah atau

Lebih terperinci

MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI

MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI 214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar

Lebih terperinci

WARP PADA SEBUAH SEGITIGA

WARP PADA SEBUAH SEGITIGA Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 3 Hal. 26 33 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND WARP PADA SEBUAH SEGITIGA ABDUL ZAKY, MAHDHIVAN SYAFWAN Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan

Lebih terperinci

Penerapan Sistem Persamaan Lanjar dalam Penyetaraan Reaksi Kimia

Penerapan Sistem Persamaan Lanjar dalam Penyetaraan Reaksi Kimia Penerapan Sistem Persamaan Lanjar dalam Penyetaraan Reaksi Kimia Nugroho Satriyanto 1351038 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha

Lebih terperinci

6 Sistem Persamaan Linear

6 Sistem Persamaan Linear 6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus

Lebih terperinci

Pertemuan 13 persamaan linier NON HOMOGEN

Pertemuan 13 persamaan linier NON HOMOGEN Pertemuan 13 persamaan linier NON HOMOGEN 10 Metode CRAMER Aljabar Linier Hastha 2016 10. PERSAMAAN LINIER NONHOMOGEN 10.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara

Lebih terperinci

Syarif Abdullah (G ) Matematika Terapan FMIPA Institut Pertanian Bogor.

Syarif Abdullah (G ) Matematika Terapan FMIPA Institut Pertanian Bogor. Syarif Abdullah (G551150381) Matematika Terapan FMIPA Institut Pertanian Bogor e-mail: syarif_abdullah@apps.ipb.ac.id 25 Maret 2016 Ringkasan Kuliah ke-6 Analisis Numerik (16 Maret 2016) Materi : System

Lebih terperinci

Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 4) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear

Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 4) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 4) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan

Lebih terperinci

Secara umum persamaan linear untuk n peubah x 1, x 2,, x n dapatdinyatakandalambentuk: dimanaa 1, a 2,, a n danbadalahkonstantakonstanta

Secara umum persamaan linear untuk n peubah x 1, x 2,, x n dapatdinyatakandalambentuk: dimanaa 1, a 2,, a n danbadalahkonstantakonstanta Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnyatidakmemuateksponensial, trigonometri(sepertisin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Secara umum persamaan linear

Lebih terperinci

SYARAT PERLU DAN CUKUP SISTEM PERSAMAAN LINEAR BERUKURAN m n MEMPUNYAI SOLUSI ABSTRACT

SYARAT PERLU DAN CUKUP SISTEM PERSAMAAN LINEAR BERUKURAN m n MEMPUNYAI SOLUSI ABSTRACT SYARAT PERLU DAN CUKUP SISTEM PERSAMAAN LINEAR BERUKURAN m n MEMPUNYAI SOLUSI Aryan Zainuri 1, Syamsudhuha 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika

Lebih terperinci

Course of Calculus MATRIKS. Oleh : Hanung N. Prasetyo. Information system Departement Telkom Politechnic Bandung

Course of Calculus MATRIKS. Oleh : Hanung N. Prasetyo. Information system Departement Telkom Politechnic Bandung Course of Calculus MATRIKS Oleh : Hanung N. Prasetyo Information system Departement Telkom Politechnic Bandung Matriks dan vektor merupakan pengembangan dari sistem persamaan Linier. Matriks dapat digunakan

Lebih terperinci

(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66

(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66 MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi

Lebih terperinci

BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER

BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER 4.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x

Lebih terperinci

Solusi Persamaan Linier Simultan

Solusi Persamaan Linier Simultan Solusi Persamaan Linier Simultan Obyektif : 1. Mengerti penggunaan solusi persamaan linier 2. Mengerti metode eliminasi gauss. 3. Mampu menggunakan metode eliminasi gauss untuk mencari solusi 1. Sistem

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI ( FUNGSI LINIER, GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER )

MATEMATIKA EKONOMI ( FUNGSI LINIER, GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER ) MATEMATIKA EKONOMI ( FUNGSI LINIER, GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER ) KELOMPOK 2 1. UMAR ATTAMIMI (01212043) 2. SITI WASI ATUL MUFIDA (01212096) 3. DEVI PRATNYA. P. (01212078) 4. POPPY MERLIANA

Lebih terperinci

Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut:

Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: Bagian 5. RUANG VEKTOR 5.1 Lapangan (Field) Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: 1. dan 2., 3.,

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINIER

SISTEM PERSAMAAN LINIER SISTEM PESAMAAN LINIE PESAMAAN LINIE Sebuah garis dalam bidang dan y secara umum dapat ditulis dalam bentuk a + a y = b Secara lebih umum didefinisikan sebuah persamaan linier dengan n buah variabel a

Lebih terperinci

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP ) Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Kelas/ Semester : X/ Ganjil Alokasi Waktu : 2 x 45 menit

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP ) Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Kelas/ Semester : X/ Ganjil Alokasi Waktu : 2 x 45 menit RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP ) Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Kelas/ Semester : X/ Ganjil Alokasi Waktu : x 45 menit I. Standar Kompetensi 1.1 Memecahkan masalah yang berkaitan

Lebih terperinci

Part II SPL Homogen Matriks

Part II SPL Homogen Matriks Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a

Lebih terperinci

1 King s Learning. Nama Siswa. Kelas KOMPETENSI DASAR: x = 4. Untuk x = 4 disubstitusikan ke persamaan (1) 4 y = 2 y = 4 2. y = 2

1 King s Learning. Nama Siswa. Kelas KOMPETENSI DASAR: x = 4. Untuk x = 4 disubstitusikan ke persamaan (1) 4 y = 2 y = 4 2. y = 2 Nama Siswa Kelas : : KOMPETENSI DASAR: 3.3 Mendeskripsikan konsep sistem persamaan linier dua dan tiga variable serta pertidaksamaan linier dua variabel dan mampu menerapkan berbagai strategi yang efektif

Lebih terperinci

Aljabar Linier & Matriks. Tatap Muka 2

Aljabar Linier & Matriks. Tatap Muka 2 Aljabar Linier & Matriks Tatap Muka 2 Matriks Matriks adalah susunan segi empat siku siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung siku. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matriks

Lebih terperinci

Membentuk Algoritma untuk Pemecahan Sistem Persamaan Lanjar secara Numerik

Membentuk Algoritma untuk Pemecahan Sistem Persamaan Lanjar secara Numerik Membentuk Algoritma untuk Pemecahan Sistem Persamaan Lanjar secara Numerik Bervianto Leo P - 13514047 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk

Lebih terperinci

Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015

Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER. Kelas B JUMAT Ruang i.iii.3. Kelas A JUMAT Ruang i.iii.3

ALJABAR LINIER. Kelas B JUMAT Ruang i.iii.3. Kelas A JUMAT Ruang i.iii.3 ALJABAR LINIER ALJABAR LINIER Kelas B JUMAT 08.00 Ruang i.iii.3 Kelas A JUMAT 09.45 Ruang i.iii.3 Referensi Utama: Elementary Linear Algebra Howard Anton Chris Rores John Wiley, ninth edition Chapter 1

Lebih terperinci

MATRIKS INVERS MOORE-PENROSE DALAM PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

MATRIKS INVERS MOORE-PENROSE DALAM PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS INVERS MOORE-PENROSE DALAM PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER SKRIPSI Disusun Oleh : IDA MISSHOBAH MUNIR RAHAYU J2A 004 019 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2

Lebih terperinci

Bentuk umum : SPL. Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN. Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN TUNGGAL BANYAK

Bentuk umum : SPL. Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN. Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN TUNGGAL BANYAK Bentuk umum : dimana x, x,..., x n variabel tak diketahui, a ij, b i, i =,,..., m; j =,,..., n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel. SPL Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN

Lebih terperinci

PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier

PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Lebih terperinci

Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks

Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks 1 Jika A adl matriks nxn yg invertible, untuk setiap matriks b dgn ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu x = A -1 b

Lebih terperinci

ALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM PERSAMAAN INTERVAL LINEAR

ALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM PERSAMAAN INTERVAL LINEAR Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 313 322. ALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM

Lebih terperinci

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) LOGO

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) LOGO Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) LOGO Tujuan Pembelajaran Mengetahui Penerapan SPLTV dalam kehidupan Mengetahui Pengertian & Bentuk Umum SPLTV Mengetahui SPLTV Homogen Menemukan Bentuk Geometri

Lebih terperinci

Matematika: Aljabar (Persamaan Linear) 11/15/2011 ALJABAR. Oleh Syawaludin A. Harahap SUB POKOK BAHASAN. Syawaludin A. Harahap 1

Matematika: Aljabar (Persamaan Linear) 11/15/2011 ALJABAR. Oleh Syawaludin A. Harahap SUB POKOK BAHASAN. Syawaludin A. Harahap 1 MATA KULIAH : MATEMATIKA KODE MATA KULIAH : UNM10.103 SKS : 2 (1-1) 1) ALJABAR Oleh Syawaludin A. Harahap UNIVERSITAS PADJADJARAN FAKULTAS PERIKANAN DAN ILMU KELAUTAN JATINANGOR 2011 SUB POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

Sistem-sistem Persamaan (Linear dan Non Linear)

Sistem-sistem Persamaan (Linear dan Non Linear) Sistem-sistem Persamaan (Linear dan Non Linear) Pendekatan Menu Restoran Oleh: Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D. 27 Bab 3 Sistem-Sistem Persamaan A. Pengantar Di dalam Aljabar representasi suatu besaran

Lebih terperinci

MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 9-10 METODE KONTRADIKSI & METODE KONTRAPOSISI (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Metode Pembuktian Lainnya Pada bab-bab sebelumnya kita telah

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1

Aljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1 Aljabar Linear Elementer MA SKS 7//7 : MA- Aljabar Linear Jadwal Kuliah Hari I Hari II jam jam Sistem Penilaian UTS 4% UAS 4% Quis % 7//7 : MA- Aljabar Linear Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab

Lebih terperinci

FUNGSI, SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MENGGAMBAR GRAFIK

FUNGSI, SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI, SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MENGGAMBAR GRAFIK TUGAS MATEMATIKA EKONOMI DISUSUN OLEH : DENY PRASETYA 01212074 IAN ANUGERAH 01212035 M. UMAR A 01212016 ARON GARDIKA 01212140 SAIFUL RAHMAN 01212020

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world).

II. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world). 5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemodelan Matematika Definisi pemodelan matematika : Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SISTEM PERSAMAAN LINEAR Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan

Lebih terperinci

Pemanfaatan Matriks dalam Penyeimbangan Persamaan Reaksi Kimia

Pemanfaatan Matriks dalam Penyeimbangan Persamaan Reaksi Kimia Pemanfaatan Matriks dalam Penyeimbangan Persamaan Reaksi Kimia Chalvin 13514032 1 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,

Lebih terperinci

BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR MATERI A. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN YANG MEMUAT NILAI MUTLAK Dalam matematika, sesuatu yang nilainya selalu positif

Lebih terperinci

Penyelesaian : Latihan : Tentukan persamaan garis a. Melalui (3, 0) dan (0, 6) b. Melalui (0, 1) dan (4, 0) c. 3 x

Penyelesaian : Latihan : Tentukan persamaan garis a. Melalui (3, 0) dan (0, 6) b. Melalui (0, 1) dan (4, 0) c. 3 x Latihan : Tentukan persamaan garis a. Melalui (3, 0) dan (0, 6) b. Melalui (0, 1) dan (4, 0) c. y 3 x 9 3. Hubungan dua buah garis Letak dua buah garis y = m 1 x + c 1 dan y = m 2 x + c 2 dalam satu bidang

Lebih terperinci

TRANSFORMASI LINEAR. Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear. Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd

TRANSFORMASI LINEAR. Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear. Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd TRANSFORMASI LINEAR Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun oleh : Kelompok 7/ Kelas III A Endar Alviyunita 34400094 Ahmat Sehari ---------------

Lebih terperinci

MENENTUKAN PERPANGKATAN MATRIKS TANPA MENGGUNAKAN EIGENVALUE

MENENTUKAN PERPANGKATAN MATRIKS TANPA MENGGUNAKAN EIGENVALUE MENENTUKAN PERPANGKATAN MATRIKS TANPA MENGGUNAKAN EIGENVALUE Rini Pratiwi 1*, Rolan Pane 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Lebih terperinci

GRUP ALJABAR DAN -MODUL REGULAR SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: FITRIA EKA PUSPITA

GRUP ALJABAR DAN -MODUL REGULAR SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: FITRIA EKA PUSPITA GRUP ALJABAR DAN -MODUL REGULAR SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: FITRIA EKA PUSPITA 07934028 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS PADANG 2011 ABSTRAK Misalkan

Lebih terperinci

ELIMINASI GAUSS MAKALAH. Untuk Memenuhi Tugas Terstruktur Mata Kuliah Metode Numerik Dosen Saluky M.Kom. Di Susun Oleh: Kelompok VII Matematika C/VII

ELIMINASI GAUSS MAKALAH. Untuk Memenuhi Tugas Terstruktur Mata Kuliah Metode Numerik Dosen Saluky M.Kom. Di Susun Oleh: Kelompok VII Matematika C/VII ELIMINASI GAUSS MAKALAH Untuk Memenuhi Tugas Terstruktur Mata Kuliah Metode Numerik Dosen Saluky M.Kom Di Susun Oleh: Kelompok VII Matematika C/VII Anggota : 1. Eko Kurniawan P. (59451064) 2. Siti Nurhairiyah

Lebih terperinci

PERSAMAAN & PERTIDAKSAMAAN

PERSAMAAN & PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN & PERTIDAKSAMAAN PERTEMUAN III Nur Edy, PhD. Tujuan Mengaplikasikan konsep persamaan dan pertidaksamaan Pokok Bahasan: Persamaan (Minggu 3 dan 4) Pertidaksamaan (Minggu 3 dan 4) Harga mutlak

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP ) Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Kelas/ Semester : X/ Ganjil Alokasi Waktu : 2 x 45 menit

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP ) Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Kelas/ Semester : X/ Ganjil Alokasi Waktu : 2 x 45 menit RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP ) Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Kelas/ Semester : X/ Ganjil Alokasi Waktu : 2 x 45 menit I. Standar Kompetensi 1.1 Memecahkan masalah yang berkaitan

Lebih terperinci

Keunggulan Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Dekomposisi LU dalam Komputerisasi

Keunggulan Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Dekomposisi LU dalam Komputerisasi Keunggulan Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Dekomposisi LU dalam Komputerisasi Elvina Riama K. Situmorang 55) Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau

BAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah

Lebih terperinci

SOLUSI REFLEKSIF DAN ANTI-REFLEKSIF DARI PERSAMAAN MATRIKS AX = B

SOLUSI REFLEKSIF DAN ANTI-REFLEKSIF DARI PERSAMAAN MATRIKS AX = B SOLUSI REFLEKSIF DAN ANTI-REFLEKSIF DARI PERSAMAAN MATRIKS AX = B Arrohman 1, Sri Gemawati 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Lebih terperinci

Kumpulan Soal,,,,,!!!

Kumpulan Soal,,,,,!!! Kumpulan Soal,,,,,!!! Materi: Matriks & Ruang Vektor 1. BEBAS LINEAR S 3. BASIS DAN DIMENSI O A L 2. KOMBINASI LINEAR NeXt FITRIYANTI NAKUL Page 1 1. BEBAS LINEAR Cakupan materi ini mengkaji tentang himpunan

Lebih terperinci

HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M.

HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M. HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M.Pd Disusun oleh Matematika 5F Kelompok 5: ARLITA ROSYIDA 08411.081

Lebih terperinci

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI DOOLITTLE

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI DOOLITTLE Jurnal Sains, Teknologi Industri, Vol. 11, No. 2, Juni 2014, pp. 166-174 ISSN 1693-2390 print/issn 2407-0939 online PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI DOOLITTLE

Lebih terperinci

DIAGONALISASI MATRIKS HILBERT

DIAGONALISASI MATRIKS HILBERT Jurnal UJMC, Volume 3, Nomor 2, Hal 7-24 pissn : 2460-3333 eissn : 2579-907X DIAGONALISASI MATRIKS HILBERT Randhi N Darmawan Universitas PGRI Banyuwangi, randhinumeric@gmailcom Abstract The Hilbert matrix

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)

RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT) 1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT) RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2 Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut

Lebih terperinci

2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com

2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com 2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut

Lebih terperinci

Pendahuluan Perkuliahan Pemodelan Sistem

Pendahuluan Perkuliahan Pemodelan Sistem Pendahuluan Perkuliahan Pemodelan Sistem Kuliah Pemodelan Sistem Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Pendahuluan Perkuliahan Januari

Lebih terperinci

SILABUS MATEMATIKA Nama Sekolah : SMA NEGERI 4 OKU Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : XII / IPA Semester : I (GANJIL)

SILABUS MATEMATIKA Nama Sekolah : SMA NEGERI 4 OKU Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : XII / IPA Semester : I (GANJIL) Standar Kompetensi SILABUS MATEMATIKA Nama Sekolah : SMA NEGERI 4 OKU Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : XII / IPA Semester : I (GANJIL) Kompetensi Dasar Materi Ajar Kegiatan Pembelajaran Indikator

Lebih terperinci

Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini.

Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. . INVERS MTRIKS Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. a. RNK MTRIKS Matriks tak nol dikatakan mempunyai rank r jika paling

Lebih terperinci