Teori Himpunan Elementer

Transkripsi

1 Teori Himpunan Elementer Kuliah Matematika Diskret Semester Genap MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

2 Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1 Discrete Mathematics and Its Applications, Edisi 7, 2012, oleh K. H. Rosen (acuan utama). 2 Discrete Mathematics with Applications, Edisi 4, 2010, oleh S. S. Epp. 3 Mathematics for Computer Science. MIT, 2010, oleh E. Lehman, F. T. Leighton, A. R. Meyer. 4 Slide kuliah Matematika Diskret 1 (2012) di Fasilkom UI oleh B. H. Widjaja. 5 Slide kuliah Matematika Diskrit di Telkom University oleh B. Purnama. Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

3 Bahasan 1 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan 3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan 7 Produk Kartesius 8 Prinsip Inklusi-Eksklusi 9 Partisi Himpunan 10 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

4 Bahasan Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 1 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan 3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan 7 Produk Kartesius 8 Prinsip Inklusi-Eksklusi 9 Partisi Himpunan 10 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

5 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Definisi dan Notasi Himpunan Himpunan merupakan objek matematika yang sangat penting dan digunakan pada seluruh kajian matematika dan ilmu komputer modern. Definisi Sebuah himpunan adalah kumpulan objek-objek berbeda yang tak terurut. Objek-objek dalam himpunan tersebut disebut sebagai elemen, anggota, atau unsur himpunan. Dalam hal ini, himpunan tersebut dikatakan memuat atau mengandung elemen-elemennya. Dari definisi himpunan: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

6 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Definisi dan Notasi Himpunan Himpunan merupakan objek matematika yang sangat penting dan digunakan pada seluruh kajian matematika dan ilmu komputer modern. Definisi Sebuah himpunan adalah kumpulan objek-objek berbeda yang tak terurut. Objek-objek dalam himpunan tersebut disebut sebagai elemen, anggota, atau unsur himpunan. Dalam hal ini, himpunan tersebut dikatakan memuat atau mengandung elemen-elemennya. Dari definisi himpunan: Duplikasi elemen dalam suatu himpunan tidak diperhatikan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

7 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Definisi dan Notasi Himpunan Himpunan merupakan objek matematika yang sangat penting dan digunakan pada seluruh kajian matematika dan ilmu komputer modern. Definisi Sebuah himpunan adalah kumpulan objek-objek berbeda yang tak terurut. Objek-objek dalam himpunan tersebut disebut sebagai elemen, anggota, atau unsur himpunan. Dalam hal ini, himpunan tersebut dikatakan memuat atau mengandung elemen-elemennya. Dari definisi himpunan: Duplikasi elemen dalam suatu himpunan tidak diperhatikan. Urutan kemunculan elemen tidak diperhatikan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

8 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Notasi Himpunan Himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kapital: A, B, C,..., X, Y, Z, atau dengan indeks jika perlu, seperti: A 1, A 2,..., X 1, X 2,.... Anggota himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil: a, b, c,... x, y, z, atau dengan indeks jika perlu, seperti: a 1, a 2,..., x 1, x 2,.... Notasi x A menyatakan bahwa x adalah anggota A, atau dengan perkataan lain A memuat x. Notasi x A menyatakan bahwa x bukan anggota A, atau dengan perkataan lain A tidak memuat x. Notasi atau atau {} menyatakan himpunan kosong/ himpunan hampa, yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Dengan demikian proposisi matematika x selalu bernilai F dan proposisi matematika x selalu bernilai T. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

9 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Himpunan Contoh Misalkan A = {semar, gareng, petruk, bagong}, B = { finn, 10, 3 2, rey }, C = {9, {9}, {{9}}}. Kita memiliki: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

10 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Himpunan Contoh Misalkan A = {semar, gareng, petruk, bagong}, B = { finn, 10, 3 2, rey }, C = {9, {9}, {{9}}}. Kita memiliki: semar A, gareng A, arjuna A, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

11 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Himpunan Contoh Misalkan A = {semar, gareng, petruk, bagong}, B = { finn, 10, 3 2, rey }, C = {9, {9}, {{9}}}. Kita memiliki: semar A, gareng A, arjuna A, finn B, han B, luke B, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

12 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Himpunan Contoh Misalkan A = {semar, gareng, petruk, bagong}, B = { finn, 10, 3 2, rey }, C = {9, {9}, {{9}}}. Kita memiliki: semar A, gareng A, arjuna A, finn B, han B, luke B, 9 C, {9} C, {{9}} C, {{{9}}} C. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

13 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Kita memiliki: himpunan empat bilangan prima positif pertama: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

14 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Kita memiliki: himpunan empat bilangan prima positif pertama: {2, 3, 5, 7}, himpunan lima bilangan ganjil positif pertama: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

15 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Kita memiliki: himpunan empat bilangan prima positif pertama: {2, 3, 5, 7}, himpunan lima bilangan ganjil positif pertama: {1, 3, 5, 7, 9}, himpunan 100 bilangan genap positif pertama: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

16 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Kita memiliki: himpunan empat bilangan prima positif pertama: {2, 3, 5, 7}, himpunan lima bilangan ganjil positif pertama: {1, 3, 5, 7, 9}, himpunan 100 bilangan genap positif pertama: {2, 4, 6,..., 200}, himpunan bilangan bulat: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

17 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Kita memiliki: himpunan empat bilangan prima positif pertama: {2, 3, 5, 7}, himpunan lima bilangan ganjil positif pertama: {1, 3, 5, 7, 9}, himpunan 100 bilangan genap positif pertama: {2, 4, 6,..., 200}, himpunan bilangan bulat: {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

18 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Misalkan A 1 = {a, b}, A 2 = {a, {a, b}}, A 3 = {b, {a, {a, b}}}. Kita memiliki: 1 A 1 memuat dua anggota, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

19 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Misalkan A 1 = {a, b}, A 2 = {a, {a, b}}, A 3 = {b, {a, {a, b}}}. Kita memiliki: 1 A 1 memuat dua anggota, yaitu a dan b, 2 A 2 memuat dua anggota, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

20 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Misalkan A 1 = {a, b}, A 2 = {a, {a, b}}, A 3 = {b, {a, {a, b}}}. Kita memiliki: 1 A 1 memuat dua anggota, yaitu a dan b, 2 A 2 memuat dua anggota, yaitu a dan {a, b}, 3 A 3 memuat dua anggota, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

21 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Misalkan A 1 = {a, b}, A 2 = {a, {a, b}}, A 3 = {b, {a, {a, b}}}. Kita memiliki: 1 A 1 memuat dua anggota, yaitu a dan b, 2 A 2 memuat dua anggota, yaitu a dan {a, b}, 3 A 3 memuat dua anggota, yaitu b dan {a, {a, b}}. Akibatnya: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

22 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Misalkan A 1 = {a, b}, A 2 = {a, {a, b}}, A 3 = {b, {a, {a, b}}}. Kita memiliki: 1 A 1 memuat dua anggota, yaitu a dan b, 2 A 2 memuat dua anggota, yaitu a dan {a, b}, 3 A 3 memuat dua anggota, yaitu b dan {a, {a, b}}. Akibatnya: 1 a A 1, b A 1, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

23 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Misalkan A 1 = {a, b}, A 2 = {a, {a, b}}, A 3 = {b, {a, {a, b}}}. Kita memiliki: 1 A 1 memuat dua anggota, yaitu a dan b, 2 A 2 memuat dua anggota, yaitu a dan {a, b}, 3 A 3 memuat dua anggota, yaitu b dan {a, {a, b}}. Akibatnya: 1 a A 1, b A 1, 2 a A 2, A 1 A 2, b A 2, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

24 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Misalkan A 1 = {a, b}, A 2 = {a, {a, b}}, A 3 = {b, {a, {a, b}}}. Kita memiliki: 1 A 1 memuat dua anggota, yaitu a dan b, 2 A 2 memuat dua anggota, yaitu a dan {a, b}, 3 A 3 memuat dua anggota, yaitu b dan {a, {a, b}}. Akibatnya: 1 a A 1, b A 1, 2 a A 2, A 1 A 2, b A 2, 3 b A 3, A 2 A 3, a A 3, A 1 A 3. Contoh tersebut memperlihatkan bahwa sebuah himpunan bisa jadi merupakan anggota dari himpunan lain. Anggota himpunan juga dapat berupa himpunan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

25 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Cara Mendefinisikan dan Menulis Himpunan Himpunan dapat direpresentasikan dengan: 1 menggunakan daftar: 1 A = {x 1, x 2,..., x n} untuk himpunan dengan berhingga banyaknya anggota; 2 A = {x 1, x 2,...} untuk himpunan dengan tak berhingga banyaknya anggota. Tanda... digunakan untuk menunjukkan bahwa pola untuk anggota himpunan tersebut sudah jelas. 2 menggunakan notasi pembangun himpunan (set builder notation) dengan suatu predikat tertentu 1 A = {x P (x)} atau A = {x : P (x)} 2 A = {x S P (x)} atau A = {x S : P (x)}, dalam hal ini S adalah himpunan lain dalam konteks pembicaraan yang membatasi elemen-elemen dari himpunan yang dinotasikan. 3 Kadang-kadang S berupa himpunan universal atau himpunan semesta pembicaraan. Dalam hal ini A = {x S P (x)} dibaca sebagai: A memuat seluruh x di S yang memenuhi P (x). P (x) merupakan predikat uner dengan variabel x. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

26 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Notasi Pembentuk Himpunan Contoh Misalkan: 1 A = {w w bilangan bulat positif yang kurang dari 10}, 2 B = {x P (x) } dengan P (x) : x bilangan bulat ganjil antara 20 dan 30, 3 C = {y P (y)} dengan P (y) : y bilangan bulat positif yang habis membagi 10, 4 D = {z z faktor prima positif dari 12}. Maka: 1 A = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

27 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Notasi Pembentuk Himpunan Contoh Misalkan: 1 A = {w w bilangan bulat positif yang kurang dari 10}, 2 B = {x P (x) } dengan P (x) : x bilangan bulat ganjil antara 20 dan 30, 3 C = {y P (y)} dengan P (y) : y bilangan bulat positif yang habis membagi 10, 4 D = {z z faktor prima positif dari 12}. Maka: 1 A = {1, 2, 3,..., 8, 9}, 2 B = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

28 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Notasi Pembentuk Himpunan Contoh Misalkan: 1 A = {w w bilangan bulat positif yang kurang dari 10}, 2 B = {x P (x) } dengan P (x) : x bilangan bulat ganjil antara 20 dan 30, 3 C = {y P (y)} dengan P (y) : y bilangan bulat positif yang habis membagi 10, 4 D = {z z faktor prima positif dari 12}. Maka: 1 A = {1, 2, 3,..., 8, 9}, 2 B = {21, 23, 25, 27, 29}, 3 C = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

29 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Notasi Pembentuk Himpunan Contoh Misalkan: 1 A = {w w bilangan bulat positif yang kurang dari 10}, 2 B = {x P (x) } dengan P (x) : x bilangan bulat ganjil antara 20 dan 30, 3 C = {y P (y)} dengan P (y) : y bilangan bulat positif yang habis membagi 10, 4 D = {z z faktor prima positif dari 12}. Maka: 1 A = {1, 2, 3,..., 8, 9}, 2 B = {21, 23, 25, 27, 29}, 3 C = {1, 2, 5, 10}, 4 D = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

30 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Notasi Pembentuk Himpunan Contoh Misalkan: 1 A = {w w bilangan bulat positif yang kurang dari 10}, 2 B = {x P (x) } dengan P (x) : x bilangan bulat ganjil antara 20 dan 30, 3 C = {y P (y)} dengan P (y) : y bilangan bulat positif yang habis membagi 10, 4 D = {z z faktor prima positif dari 12}. Maka: 1 A = {1, 2, 3,..., 8, 9}, 2 B = {21, 23, 25, 27, 29}, 3 C = {1, 2, 5, 10}, 4 D = {2, 3}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

31 Bahasan Beberapa Himpunan Bilangan 1 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan 3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan 7 Produk Kartesius 8 Prinsip Inklusi-Eksklusi 9 Partisi Himpunan 10 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

32 Beberapa Himpunan Bilangan Beberapa Himpunan Bilangan Himpunan bilangan asli/ himpunan bilangan natural: dinotasikan dengan N, N, atau N. Dalam kuliah ini N = {1, 2, 3,...}. Meskipun demikian, banyak referensi ilmu komputer yang mendefinisikan N = {0, 1, 2, 3,...}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

33 Beberapa Himpunan Bilangan Beberapa Himpunan Bilangan Himpunan bilangan asli/ himpunan bilangan natural: dinotasikan dengan N, N, atau N. Dalam kuliah ini N = {1, 2, 3,...}. Meskipun demikian, banyak referensi ilmu komputer yang mendefinisikan N = {0, 1, 2, 3,...}. Himpunan bilangan cacah: dinotasikan dengan N 0, N 0, atau N 0. Dalam kuliah ini N 0 = {0, 1, 2, 3,...}. Setiap anggota himpunan bilangan asli juga anggota himpunan bilangan cacah. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

34 Beberapa Himpunan Bilangan Beberapa Himpunan Bilangan Himpunan bilangan asli/ himpunan bilangan natural: dinotasikan dengan N, N, atau N. Dalam kuliah ini N = {1, 2, 3,...}. Meskipun demikian, banyak referensi ilmu komputer yang mendefinisikan N = {0, 1, 2, 3,...}. Himpunan bilangan cacah: dinotasikan dengan N 0, N 0, atau N 0. Dalam kuliah ini N 0 = {0, 1, 2, 3,...}. Setiap anggota himpunan bilangan asli juga anggota himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan bulat: dinotasikan dengan Z, Z, atau Z, didefinisikan sebagai Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Setiap anggota himpunan bilangan cacah juga anggota himpunan bilangan asli. Himpunan bilangan bulat positif dinotasikan dengan Z + atau Z >0, kita memiliki Z + = {1, 2, 3,...}. Himpunan bilangan bulat positif sama dengan himpunan bilangan asli, sehingga Z + = N. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

35 Beberapa Himpunan Bilangan Himpunan bilangan rasional: dinotasikan dengan Q, Q, atau Q, didefinisikan sebagai Q := { a b a, b Z dan b 0}. Karena pada himpunan tidak terdapat duplikasi elemen, Q juga dapat didefinisikan sebagai Q := { a b a Z, b N, dan FPB (a, b) = 1}. Setiap bilangan bulat m dapat ditulis dalam bentuk m 1. Jadi setiap anggota himpunan bilangan bulat juga anggota himpunan bilangan rasional. Himpunan bilangan rasional positif dinotasikan dengan Q + atau Q >0. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

36 Beberapa Himpunan Bilangan Himpunan bilangan rasional: dinotasikan dengan Q, Q, atau Q, didefinisikan sebagai Q := { a b a, b Z dan b 0}. Karena pada himpunan tidak terdapat duplikasi elemen, Q juga dapat didefinisikan sebagai Q := { a b a Z, b N, dan FPB (a, b) = 1}. Setiap bilangan bulat m dapat ditulis dalam bentuk m 1. Jadi setiap anggota himpunan bilangan bulat juga anggota himpunan bilangan rasional. Himpunan bilangan rasional positif dinotasikan dengan Q + atau Q >0. Himpunan bilangan real (bilangan nyata): dinotasikan dinotasikan dengan R, R, atau R. Himpunan bilangan real mencakup seluruh bilangan yang dapat diukur secara kontinu. Himpunan bilangan real mencakup himpunan seluruh bilangan rasional (Q) dan himpunan seluruh bilangan irasional. Himpunan bilangan real positif dinotasikan dengan R + atau R >0. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

37 Beberapa Himpunan Bilangan Himpunan bilangan rasional: dinotasikan dengan Q, Q, atau Q, didefinisikan sebagai Q := { a b a, b Z dan b 0}. Karena pada himpunan tidak terdapat duplikasi elemen, Q juga dapat didefinisikan sebagai Q := { a b a Z, b N, dan FPB (a, b) = 1}. Setiap bilangan bulat m dapat ditulis dalam bentuk m 1. Jadi setiap anggota himpunan bilangan bulat juga anggota himpunan bilangan rasional. Himpunan bilangan rasional positif dinotasikan dengan Q + atau Q >0. Himpunan bilangan real (bilangan nyata): dinotasikan dinotasikan dengan R, R, atau R. Himpunan bilangan real mencakup seluruh bilangan yang dapat diukur secara kontinu. Himpunan bilangan real mencakup himpunan seluruh bilangan rasional (Q) dan himpunan seluruh bilangan irasional. Himpunan bilangan real positif dinotasikan dengan R + atau R >0. Himpunan bilangan kompleks: dinotasikan dengan C, C, atau C, didefinisikan sebagai C := { a + bi a, b R dan i 2 = 1 }. Setiap bilangan real dapat ditulis dalam bentuk a + 0i. Jadi setiap anggota himpunan bilangan real juga anggota himpunan bilangan kompleks. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

38 Bahasan Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 1 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan 3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan 7 Produk Kartesius 8 Prinsip Inklusi-Eksklusi 9 Partisi Himpunan 10 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

39 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn Himpunan Semesta (Universal) Himpunan Semesta (Univeral) Himpunan semesta/ himpunan universal merupakan himpunan yang berisi semua objek yang sedang kita tinjau. Himpunan semesta/ himpunan universal biasa ditulis dengan S atau U. Himpunan semesta/ himpunan universal dapat berbeda-beda, bergantung pada batasan objek yang kita tinjau. Contoh 1 Misalkan kita memakai himpunan universal U = {x (x N) (x 100)}, ini berarti kita hanya meninjau bilangan asli yang tidak lebih dari 100. Kita tidak boleh meninjau bilangan lain di luar U, contohnya 1, 101, ataupun 1 2, 2 Misakan kita memakai himpunan universal U = R, ini berarti kita hanya meninjau bilangan real, saja. Kita tidak boleh meninjau elemen lain di luar U, contohnya 2 maupun MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

40 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn Diagram Venn Diagram Venn Diagram Venn merupakan ilustrasi grafis dari keterkaitan antara beberapa himpunan ditinjau terhadap himpunan semesta tertentu. Misalkan kita memiliki himpunan semesta U = {α α termasuk 26 huruf dalam alfabet standar} dan V = {β β huruf vokal dalam alfabet standar}. Representasi diagram Venn dari hal ini adalah MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

41 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn Diagram Venn Diagram Venn Diagram Venn merupakan ilustrasi grafis dari keterkaitan antara beberapa himpunan ditinjau terhadap himpunan semesta tertentu. Misalkan kita memiliki himpunan semesta U = {α α termasuk 26 huruf dalam alfabet standar} dan V = {β β huruf vokal dalam alfabet standar}. Representasi diagram Venn dari hal ini adalah MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

42 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn Misalkan kita memiliki himpunan semesta U = {x (x N) (x 8)}, A = {1, 2, 3, 5}, dan B = {2, 5, 6, 8}. Representasi diagram Venn dari hal ini adalah MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

43 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn Misalkan kita memiliki himpunan semesta U = {x (x N) (x 8)}, A = {1, 2, 3, 5}, dan B = {2, 5, 6, 8}. Representasi diagram Venn dari hal ini adalah U A B MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

44 Bahasan Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 1 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan 3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan 7 Produk Kartesius 8 Prinsip Inklusi-Eksklusi 9 Partisi Himpunan 10 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

45 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Kesamaan Himpunan Definisi (Kesamaan Himpunan) Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, apabila A dan B memuat elemen-elemen yang sama. Selain itu, A dan B tidak sama dan ditulis dengan A B. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

46 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Kesamaan Himpunan Definisi (Kesamaan Himpunan) Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, apabila A dan B memuat elemen-elemen yang sama. Selain itu, A dan B tidak sama dan ditulis dengan A B. A = B jika & hanya jika (jikka) formula logika predikat x (x A x B) bernilai benar. Contoh Misalkan: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, B = {x x faktor positif dari 12}, C = {1, 2, 3}, D = {1, 2, 2, 3, 3, 3}. Maka kita memiliki: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

47 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Kesamaan Himpunan Definisi (Kesamaan Himpunan) Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, apabila A dan B memuat elemen-elemen yang sama. Selain itu, A dan B tidak sama dan ditulis dengan A B. A = B jika & hanya jika (jikka) formula logika predikat x (x A x B) bernilai benar. Contoh Misalkan: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, B = {x x faktor positif dari 12}, C = {1, 2, 3}, D = {1, 2, 2, 3, 3, 3}. Maka kita memiliki: A = B, C = D, A C, A D, B C, B D. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

48 Himpunan Bagian Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Definisi (Himpunan Bagian) MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

49 Himpunan Bagian Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Definisi (Himpunan Bagian) Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian/ subhimpunan/ subset dari B, ditulis dengan A B, apabila setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B. Selanjutnya B dikatakan superset dari A dan ditulis dengan B A. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

50 Himpunan Bagian Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Definisi (Himpunan Bagian) Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian/ subhimpunan/ subset dari B, ditulis dengan A B, apabila setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B. Selanjutnya B dikatakan superset dari A dan ditulis dengan B A. A B jikka formula logika predikat x (x A x B) bernilai benar. Definisi (Himpunan Bagian Sejati) MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

51 Himpunan Bagian Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Definisi (Himpunan Bagian) Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian/ subhimpunan/ subset dari B, ditulis dengan A B, apabila setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B. Selanjutnya B dikatakan superset dari A dan ditulis dengan B A. A B jikka formula logika predikat x (x A x B) bernilai benar. Definisi (Himpunan Bagian Sejati) Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian sejati/ subhimpunan sejati/ subset sejati (proper subset) dari B, ditulis dengan A B atau A B, apabila A B tetapi A B. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

52 Himpunan Bagian Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Definisi (Himpunan Bagian) Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian/ subhimpunan/ subset dari B, ditulis dengan A B, apabila setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B. Selanjutnya B dikatakan superset dari A dan ditulis dengan B A. A B jikka formula logika predikat x (x A x B) bernilai benar. Definisi (Himpunan Bagian Sejati) Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian sejati/ subhimpunan sejati/ subset sejati (proper subset) dari B, ditulis dengan A B atau A B, apabila A B tetapi A B. A B jikka formula logika predikat x (x A x B) x (x B x A) bernilai benar. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

53 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Diagram Venn untuk hubungan A B dapat diilustrasikan sebagai berikut. U A B MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

54 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Contoh Misalkan: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {x (x N) (x + 5 < 10)}, = {}. Maka: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

55 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Contoh Misalkan: Maka: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {x (x N) (x + 5 < 10)}, = {}. 1 A, B, C, dan, serta A, B, C, tetapi tidak benar bahwa, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

56 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Contoh Misalkan: Maka: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {x (x N) (x + 5 < 10)}, = {}. 1 A, B, C, dan, serta A, B, C, tetapi tidak benar bahwa, 2 B A dan B A, karena 5 A tetapi 5 B, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

57 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Contoh Misalkan: Maka: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {x (x N) (x + 5 < 10)}, = {}. 1 A, B, C, dan, serta A, B, C, tetapi tidak benar bahwa, 2 B A dan B A, karena 5 A tetapi 5 B, 3 C A, C A (karena 5 A tetapi 5 C), C B, dan B C (karena B = C). Contoh Untuk himpunan-himpunan bilangan, kita memiliki N N 0 Z Q R C. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

58 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Lebih Jauh Tentang Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Teorema Untuk setiap himpunan A berlaku: 1 A, 2 A A. Bukti Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Teorema Apabila A dan B adalah dua himpunan, maka A = B jika & hanya jika A B dan A B. Bukti Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

59 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Teorema Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku: jika A B dan B C, maka A C. Bukti Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

60 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan Untuk setiap pernyataan berikut, pilih T bila pernyataan tersebut benar, atau F bila pernyataan tersebut salah. 1 {1, 3, 5} = {3, 5, 1} T F 2 {1, 3, 5} = {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5} T F 3 {1, {1}, {{1}}} = {1} T F 4 {1} {1, {1}} T F 5 = { } T F Solusi: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

61 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan Untuk setiap pernyataan berikut, pilih T bila pernyataan tersebut benar, atau F bila pernyataan tersebut salah. 1 {1, 3, 5} = {3, 5, 1} T F 2 {1, 3, 5} = {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5} T F 3 {1, {1}, {{1}}} = {1} T F 4 {1} {1, {1}} T F 5 = { } T F Solusi: Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

62 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan Untuk setiap pernyataan berikut, pilih T bila pernyataan tersebut benar, atau F bila pernyataan tersebut salah. 1 {1, 3, 5} = {3, 5, 1} T F 2 {1, 3, 5} = {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5} T F 3 {1, {1}, {{1}}} = {1} T F 4 {1} {1, {1}} T F 5 = { } T F Solusi: Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan. Nomor 2: T, karena duplikasi anggota himpunan tidak diperhatikan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

63 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan Untuk setiap pernyataan berikut, pilih T bila pernyataan tersebut benar, atau F bila pernyataan tersebut salah. 1 {1, 3, 5} = {3, 5, 1} T F 2 {1, 3, 5} = {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5} T F 3 {1, {1}, {{1}}} = {1} T F 4 {1} {1, {1}} T F 5 = { } T F Solusi: Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan. Nomor 2: T, karena duplikasi anggota himpunan tidak diperhatikan. Nomor 3: F, karena himpunan {1, {1}, {{1}}} memuat tiga anggota, yaitu 1, {1}, dan {{1}}; sedangkan {1} hanya memuat satu anggota, yaitu 1. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

64 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan Untuk setiap pernyataan berikut, pilih T bila pernyataan tersebut benar, atau F bila pernyataan tersebut salah. 1 {1, 3, 5} = {3, 5, 1} T F 2 {1, 3, 5} = {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5} T F 3 {1, {1}, {{1}}} = {1} T F 4 {1} {1, {1}} T F 5 = { } T F Solusi: Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan. Nomor 2: T, karena duplikasi anggota himpunan tidak diperhatikan. Nomor 3: F, karena himpunan {1, {1}, {{1}}} memuat tiga anggota, yaitu 1, {1}, dan {{1}}; sedangkan {1} hanya memuat satu anggota, yaitu 1. Nomor 4: T, karena 1 {1} dan 1 {1, {1}}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

65 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan Untuk setiap pernyataan berikut, pilih T bila pernyataan tersebut benar, atau F bila pernyataan tersebut salah. 1 {1, 3, 5} = {3, 5, 1} T F 2 {1, 3, 5} = {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5} T F 3 {1, {1}, {{1}}} = {1} T F 4 {1} {1, {1}} T F 5 = { } T F Solusi: Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan. Nomor 2: T, karena duplikasi anggota himpunan tidak diperhatikan. Nomor 3: F, karena himpunan {1, {1}, {{1}}} memuat tiga anggota, yaitu 1, {1}, dan {{1}}; sedangkan {1} hanya memuat satu anggota, yaitu 1. Nomor 4: T, karena 1 {1} dan 1 {1, {1}}. Nomor 5: F, karena tidak memuat anggota apapun; sedangkan { } memuat satu anggota, yaitu. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

66 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan: Hubungan antar Dua Himpunan Latihan Isilah tempat yang telah disediakan dengan: =,,,,, atau X jika hubungan =,,,, tidak dapat ditentukan. (1) { } {{}} (2) {0} (3) {, { }} { } (4) {1} {{1}, {{1}}, {{{1}}}} (5) {{}} {} (6) { } {0} MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

67 Solusi Latihan Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 1 Karena = {}, maka { } = {{}}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

68 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Solusi Latihan 1 Karena = {}, maka { } = {{}}. 2 Karena A untuk sembarang himpunan A, maka {0}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

69 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Solusi Latihan 1 Karena = {}, maka { } = {{}}. 2 Karena A untuk sembarang himpunan A, maka {0}. 3 Karena { } dan {, { }}, maka { } {, { }}, atau {, { }} { }. Kita juga dapat mengatakan bahwa {, { }} { } karena { } adalah anggota dari {, { }}. Jadi ada dua jawaban benar, yaitu dan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

70 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Solusi Latihan 1 Karena = {}, maka { } = {{}}. 2 Karena A untuk sembarang himpunan A, maka {0}. 3 Karena { } dan {, { }}, maka { } {, { }}, atau {, { }} { }. Kita juga dapat mengatakan bahwa {, { }} { } karena { } adalah anggota dari {, { }}. Jadi ada dua jawaban benar, yaitu dan. 4 {1} {{1}, {{1}}, {{{1}}}}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

71 Solusi Latihan Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 1 Karena = {}, maka { } = {{}}. 2 Karena A untuk sembarang himpunan A, maka {0}. 3 Karena { } dan {, { }}, maka { } {, { }}, atau {, { }} { }. Kita juga dapat mengatakan bahwa {, { }} { } karena { } adalah anggota dari {, { }}. Jadi ada dua jawaban benar, yaitu dan. 4 {1} {{1}, {{1}}, {{{1}}}}. 5 Karena {{}} {} dan {{}} {}, maka ada dua jawaban benar, yaitu dan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

72 Solusi Latihan Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 1 Karena = {}, maka { } = {{}}. 2 Karena A untuk sembarang himpunan A, maka {0}. 3 Karena { } dan {, { }}, maka { } {, { }}, atau {, { }} { }. Kita juga dapat mengatakan bahwa {, { }} { } karena { } adalah anggota dari {, { }}. Jadi ada dua jawaban benar, yaitu dan. 4 {1} {{1}, {{1}}, {{{1}}}}. 5 Karena {{}} {} dan {{}} {}, maka ada dua jawaban benar, yaitu dan. 6 { } adalah himpunan yang memuat tepat satu anggota, yaitu himpunan kosong. Himpunan {0} juga himpunan yang memuat tepat satu anggota, yaitu 0. Jelas bahwa { } {0}, dengan perkataan lain tidak terdapat hubungan =,,,, antara { } dan {0}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

73 Bahasan Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 1 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan 3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan 7 Produk Kartesius 8 Prinsip Inklusi-Eksklusi 9 Partisi Himpunan 10 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

74 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Kardinalitas Himpunan (Berhingga) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan: Contoh A dikatakan himpunan berhingga (finite set) jikka A memuat tepat n anggota, untuk suatu bilangan bulat tak negatif n; dalam hal ini, n dikatakan sebagai kardinalitas dari A, dan dinotasikan dengan A, n (A), atau #A, A dikatakan himpunan tak berhingga (infinite set) jikka A bukan himpunan berhingga. Jika A = {m N m < 10 dan m ganjil}, maka A = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

75 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Kardinalitas Himpunan (Berhingga) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan: Contoh A dikatakan himpunan berhingga (finite set) jikka A memuat tepat n anggota, untuk suatu bilangan bulat tak negatif n; dalam hal ini, n dikatakan sebagai kardinalitas dari A, dan dinotasikan dengan A, n (A), atau #A, A dikatakan himpunan tak berhingga (infinite set) jikka A bukan himpunan berhingga. Jika A = {m N m < 10 dan m ganjil}, maka A = 5. = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

76 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Kardinalitas Himpunan (Berhingga) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan: Contoh A dikatakan himpunan berhingga (finite set) jikka A memuat tepat n anggota, untuk suatu bilangan bulat tak negatif n; dalam hal ini, n dikatakan sebagai kardinalitas dari A, dan dinotasikan dengan A, n (A), atau #A, A dikatakan himpunan tak berhingga (infinite set) jikka A bukan himpunan berhingga. Jika A = {m N m < 10 dan m ganjil}, maka A = 5. = 0, { } = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

77 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Kardinalitas Himpunan (Berhingga) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan: Contoh A dikatakan himpunan berhingga (finite set) jikka A memuat tepat n anggota, untuk suatu bilangan bulat tak negatif n; dalam hal ini, n dikatakan sebagai kardinalitas dari A, dan dinotasikan dengan A, n (A), atau #A, A dikatakan himpunan tak berhingga (infinite set) jikka A bukan himpunan berhingga. Jika A = {m N m < 10 dan m ganjil}, maka A = 5. = 0, { } = 1, {{ }} = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

78 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Kardinalitas Himpunan (Berhingga) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan: Contoh A dikatakan himpunan berhingga (finite set) jikka A memuat tepat n anggota, untuk suatu bilangan bulat tak negatif n; dalam hal ini, n dikatakan sebagai kardinalitas dari A, dan dinotasikan dengan A, n (A), atau #A, A dikatakan himpunan tak berhingga (infinite set) jikka A bukan himpunan berhingga. Jika A = {m N m < 10 dan m ganjil}, maka A = 5. = 0, { } = 1, {{ }} = 1, {, { }, {{ }}} = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

79 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Kardinalitas Himpunan (Berhingga) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan: Contoh A dikatakan himpunan berhingga (finite set) jikka A memuat tepat n anggota, untuk suatu bilangan bulat tak negatif n; dalam hal ini, n dikatakan sebagai kardinalitas dari A, dan dinotasikan dengan A, n (A), atau #A, A dikatakan himpunan tak berhingga (infinite set) jikka A bukan himpunan berhingga. Jika A = {m N m < 10 dan m ganjil}, maka A = 5. = 0, { } = 1, {{ }} = 1, {, { }, {{ }}} = 3. N, Z, Q, R, C adalah contoh himpunan tak berhingga. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

80 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Ekuivalensi Dua Buah Himpunan Definisi Dua buah himpunan A dan B dikatakan ekuivalen, ditulis A B, bila kardinalitasnya sama. Bila A dan B berhingga, maka A B bila A = B. Contoh Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 4, 6, 8} memenuhi sifat A B tetapi A B karena A = B = 4. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

81 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = { MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

82 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

83 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

84 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

85 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. P ( ) = { MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

86 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. P ( ) = { }. P ({ }) = { MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

87 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. P ( ) = { }. P ({ }) = {, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

88 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. P ( ) = { }. P ({ }) = {, { }}. P ({, { }}) = { MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

89 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. P ( ) = { }. P ({ }) = {, { }}. P ({, { }}) = {, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

90 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. P ( ) = { }. P ({ }) = {, { }}. P ({, { }}) = {, { }, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

91 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. P ( ) = { }. P ({ }) = {, { }}. P ({, { }}) = {, { }, {{ }}, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

92 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. P ( ) = { }. P ({ }) = {, { }}. P ({, { }}) = {, { }, {{ }}, {{, { }}}}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

93 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Teorema Jika A adalah suatu himpunan dengan A = n, maka P (A) = 2 A = 2 n. Bukti Bukti dapat diperoleh melalui induksi matematika dan diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

94 Bahasan Operasi Himpunan 1 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan 3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan 7 Produk Kartesius 8 Prinsip Inklusi-Eksklusi 9 Partisi Himpunan 10 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

95 Operasi Himpunan Beberapa Operasi Himpunan Standar Definisi Misalkan A dan B adalah dua himpunan, maka 1 Gabungan (union) dari A dan B, dinotasikan dengan A B, didefinisikan sebagai A B := {x x A atau x B}atau A B := {x (x A) (x B)}; 2 Irisan (intersection) dari A dan B, dinotasikan dengan A B, didefinisikan sebagai A B := {x x A dan x B}atau A B := {x (x A) (x B)}; Jika A B =, maka A dan B dikatakan saling lepas (disjoint)dan dapat ditulis A//B. 3 Selisih (difference) dari A dan B, dinotasikan dengan A \ B, A B, atau A B, didefinisikan sebagai A B := {x x A dan x B}atau A B := {x (x A) (x B)}; 4 Xor atau beda simetris (symmetric difference) dari A dan B, dinotasikan dengan A B didefinisikan sebagai A B := {x (x A) (x B)}, sehingga A B := (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B). MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

96 Operasi Himpunan Definisi Jika A ditinjau pada himpunan semesta pembicaraan S, maka komplemen dari A, dinotasikan dengan A, A C, Ā, atau S A, didefinisikan sebagai A C := {x S x A}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

97 A B Operasi Himpunan Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U. Kita memiliki A B = {x U : (x A) (x B)}. Diagram Venn untuk A B diilustrasikan sebagai berikut. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

98 A B Operasi Himpunan Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U. Kita memiliki A B = {x U : (x A) (x B)}. Diagram Venn untuk A B diilustrasikan sebagai berikut. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

99 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

100 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2 A = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

101 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2 A = {1, 2, 3, 4}. 3 A S = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

102 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2 A = {1, 2, 3, 4}. 3 A S = S. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

103 A B Operasi Himpunan Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U. Kita memiliki A B = {x U : (x A) (x B)}. Diagram Venn untuk A B diilustrasikan sebagai berikut. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

104 A B Operasi Himpunan Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U. Kita memiliki A B = {x U : (x A) (x B)}. Diagram Venn untuk A B diilustrasikan sebagai berikut. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

105 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8}, maka: 1 A B = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

106 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8}, maka: 1 A B = {3, 4}. 2 B C = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

107 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8}, maka: 1 A B = {3, 4}. 2 B C = {5, 6}. 3 A C = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

108 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8}, maka: 1 A B = {3, 4}. 2 B C = {5, 6}. 3 A C =, karena tidak ada x S yang memenuhi (x A) (x C). Akibatnya kita dapat menulis A//C (A dan C saling lepas/ disjoint). 4 A B C = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

109 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8}, maka: 1 A B = {3, 4}. 2 B C = {5, 6}. 3 A C =, karena tidak ada x S yang memenuhi (x A) (x C). Akibatnya kita dapat menulis A//C (A dan C saling lepas/ disjoint). 4 A B C =, karena tidak ada x S yang memenuhi (x A) (x B) (x C). Perhatikan bahwa: (A B) C = {3, 4} {5, 6, 7, 8} = dan A (B C) = {1, 2, 3, 4} {5, 6} =. Kita tidak dapat menulis A//B//C karena A dan B tidak saling lepas, begitu pula dengan B dan C. 5 A = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

110 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8}, maka: 1 A B = {3, 4}. 2 B C = {5, 6}. 3 A C =, karena tidak ada x S yang memenuhi (x A) (x C). Akibatnya kita dapat menulis A//C (A dan C saling lepas/ disjoint). 4 A B C =, karena tidak ada x S yang memenuhi (x A) (x B) (x C). Perhatikan bahwa: (A B) C = {3, 4} {5, 6, 7, 8} = dan A (B C) = {1, 2, 3, 4} {5, 6} =. Kita tidak dapat menulis A//B//C karena A dan B tidak saling lepas, begitu pula dengan B dan C. 5 A =, karena tidak ada x S yang memenuhi (x A) (x ). Nilai kebenaran dari x selalu F. 6 A S = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

111 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8}, maka: 1 A B = {3, 4}. 2 B C = {5, 6}. 3 A C =, karena tidak ada x S yang memenuhi (x A) (x C). Akibatnya kita dapat menulis A//C (A dan C saling lepas/ disjoint). 4 A B C =, karena tidak ada x S yang memenuhi (x A) (x B) (x C). Perhatikan bahwa: (A B) C = {3, 4} {5, 6, 7, 8} = dan A (B C) = {1, 2, 3, 4} {5, 6} =. Kita tidak dapat menulis A//B//C karena A dan B tidak saling lepas, begitu pula dengan B dan C. 5 A =, karena tidak ada x S yang memenuhi (x A) (x ). Nilai kebenaran dari x selalu F. 6 A S = A, karena jika x A S maka x memenuhi (x A) (x S), akibatnya haruslah x A, sehingga diperoleh A S = A. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

112 A B Operasi Himpunan Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U. Kita memiliki A B = {x U : (x A) (x B)} = {x U : (x A) (x B)}. Diagram Venn untuk A B diilustrasikan sebagai berikut. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

113 A B Operasi Himpunan Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U. Kita memiliki A B = {x U : (x A) (x B)} = {x U : (x A) (x B)}. Diagram Venn untuk A B diilustrasikan sebagai berikut. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

114 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

115 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} = {1, 2}. 2 B A = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

116 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} = {1, 2}. 2 B A = {3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4} = {5, 6}. 3 S A = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

117 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} = {1, 2}. 2 B A = {3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4} = {5, 6}. 3 S A = {x N : x 10} {1, 2, 3, 4} = {x S : (x S) (x A)} = {5, 6, 7, 8, 9, 10} = A C. 4 A S = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

118 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} = {1, 2}. 2 B A = {3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4} = {5, 6}. 3 S A = {x N : x 10} {1, 2, 3, 4} = {x S : (x S) (x A)} = {5, 6, 7, 8, 9, 10} = A C. 4 A S = {1, 2, 3, 4} {x N : x 10} = {x S : (x A) (x S)} =. 5 A = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

119 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} = {1, 2}. 2 B A = {3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4} = {5, 6}. 3 S A = {x N : x 10} {1, 2, 3, 4} = {x S : (x S) (x A)} = {5, 6, 7, 8, 9, 10} = A C. 4 A S = {1, 2, 3, 4} {x N : x 10} = {x S : (x A) (x S)} =. 5 A = {1, 2, 3, 4} = {x S : (x A) (x )} = {1, 2, 3, 4}, karena x selalu bernilai T. 6 A = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

120 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} = {1, 2}. 2 B A = {3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4} = {5, 6}. 3 S A = {x N : x 10} {1, 2, 3, 4} = {x S : (x S) (x A)} = {5, 6, 7, 8, 9, 10} = A C. 4 A S = {1, 2, 3, 4} {x N : x 10} = {x S : (x A) (x S)} =. 5 A = {1, 2, 3, 4} = {x S : (x A) (x )} = {1, 2, 3, 4}, karena x selalu bernilai T. 6 A = {1, 2, 3, 4} = {x S : (x ) (x A)} =, karena x selalu bernilai F. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

121 A B Operasi Himpunan Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U. Kita memiliki A B = (A B) (A B) = (A B) (B A) = {x U : (x A) (x B)}. Diagram Venn untuk A B diilustrasikan sebagai berikut. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

122 A B Operasi Himpunan Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U. Kita memiliki A B = (A B) (A B) = (A B) (B A) = {x U : (x A) (x B)}. Diagram Venn untuk A B diilustrasikan sebagai berikut. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

123 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

124 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 5, 6}, B A = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

125 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 5, 6}, B A = {1, 2, 5, 6}. 2 A S = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

126 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 5, 6}, B A = {1, 2, 5, 6}. 2 A S = {x S : (x A) (x S)} = (A S) (A S) = S A = {5, 6, 7, 8, 9, 10} = A C. 3 A = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

127 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 5, 6}, B A = {1, 2, 5, 6}. 2 A S = {x S : (x A) (x S)} = (A S) (A S) = S A = {5, 6, 7, 8, 9, 10} = A C. 3 A = {x S : (x A) (x )} = (A ) (A ) = A = {1, 2, 3, 4} = A. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

128 A, A C, atau Ā Operasi Himpunan Misalkan A adalah himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U. Kita memiliki A = Ā = AC = {x S : x A}. Diagram Venn untuk A C diilustrasikan sebagai berikut. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

129 A, A C, atau Ā Operasi Himpunan Misalkan A adalah himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U. Kita memiliki A = Ā = AC = {x S : x A}. Diagram Venn untuk A C diilustrasikan sebagai berikut. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

130 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 Ā = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

131 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 Ā = {x S : x A} = {5, 6, 7, 8, 9, 10}. 2 B = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

132 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 Ā = {x S : x A} = {5, 6, 7, 8, 9, 10}. 2 B = {x S : x B} = {1, 2, 7, 8, 9, 10}. 3 S = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

133 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 Ā = {x S : x A} = {5, 6, 7, 8, 9, 10}. 2 B = {x S : x B} = {1, 2, 7, 8, 9, 10}. 3 S = {x S : x S} =. 4 = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

134 Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 Ā = {x S : x A} = {5, 6, 7, 8, 9, 10}. 2 B = {x S : x B} = {1, 2, 7, 8, 9, 10}. 3 S = {x S : x S} =. 4 = {x S : x } = S. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

135 Hukum-hukum Aljabar Himpunan Misalkan A, B, dan C adalah himpunan yang ditinjau atas himpunan semesta pembicaraan S. A = A Sifat identitas A S = S Sifat dominasi A S = A A = ( A A = A Sifat idempoten ) A C C = A Sifat komplementasi A A = A A B = B A Sifat komutatif A B = B A (A B) C = A (B C) Sifat asosiatif (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C) Sifat distributif A (B C) = (A B) (A C) (A B) C = A C B C Hukum De Morgan (A B) C = A C B C A (A B) = A Sifat absorpsi A (A B) = A A A C = S Sifat komplemen A A C =

136 Dari kuliah Logika Matematika, kita dapat memperoleh analogi berikut: Pada Himpunan Pada Logika ( ) C = S (himpunan semesta) T (himpunan kosong) F Dengan operator perbandingan aritmetika, kita memiliki analogi dengan, dengan <, dengan, dan dengan >. Kemudian karena pada logika proposisi memenuhi sifat komutatif dan asosiatif, kita memiliki teorema berikut. Teorema (Sifat komutatif dan asosiatif.) Misalkan A, B, C adalah tiga himpunan yang ditinjau pada semesta S, maka 1 A B = B A. 2 (A B) C = A (B C).

137 Operasi Himpunan Latihan 2: Operasi Himpunan Latihan Diberikan himpunan semesta S = {x N 0 : x 10}, himpunan A = {x S : x genap}, himpunan B = {x S : x < 7}, dan himpunan C = {x S : x > 3}. Tentukan: 1 A B C 2 A B C 3 (A B) C 4 A (B C) 5 A B 6 (A B) C 7 A (B C) 8 A A C MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

138 Solusi Operasi Himpunan 1 Perhatikan bahwa B C = {x S : (x < 7) (x > 3)} = S. Jadi A B C = A S = S. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

139 Solusi Operasi Himpunan 1 Perhatikan bahwa B C = {x S : (x < 7) (x > 3)} = S. Jadi A B C = A S = S. 2 Perhatikan bahwa B C = {x S : (x < 7) (x > 3)} = {x S : 3 < x < 7} = {4, 5, 6}. Jadi A B C = {4, 6}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

140 Solusi Operasi Himpunan 1 Perhatikan bahwa B C = {x S : (x < 7) (x > 3)} = S. Jadi A B C = A S = S. 2 Perhatikan bahwa B C = {x S : (x < 7) (x > 3)} = {x S : 3 < x < 7} = {4, 5, 6}. Jadi A B C = {4, 6}. 3 A B = {x S : (x A) (x B)} = {8, 10}. Jadi (A B) C = {x S : x {8, 10} x C} =. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

141 Solusi Operasi Himpunan 1 Perhatikan bahwa B C = {x S : (x < 7) (x > 3)} = S. Jadi A B C = A S = S. 2 Perhatikan bahwa B C = {x S : (x < 7) (x > 3)} = {x S : 3 < x < 7} = {4, 5, 6}. Jadi A B C = {4, 6}. 3 A B = {x S : (x A) (x B)} = {8, 10}. Jadi (A B) C = {x S : x {8, 10} x C} =. 4 B C = {x S : (x B) (x C)} = {0, 1, 2, 3}. Jadi A (B C) = {x S : x A x {0, 1, 2, 3}} = {x A : x > 3} = {x S : (x genap) (x > 3)} = {4, 6, 8, 10}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

142 Solusi Operasi Himpunan 1 Perhatikan bahwa B C = {x S : (x < 7) (x > 3)} = S. Jadi A B C = A S = S. 2 Perhatikan bahwa B C = {x S : (x < 7) (x > 3)} = {x S : 3 < x < 7} = {4, 5, 6}. Jadi A B C = {4, 6}. 3 A B = {x S : (x A) (x B)} = {8, 10}. Jadi (A B) C = {x S : x {8, 10} x C} =. 4 B C = {x S : (x B) (x C)} = {0, 1, 2, 3}. Jadi A (B C) = {x S : x A x {0, 1, 2, 3}} = {x A : x > 3} = {x S : (x genap) (x > 3)} = {4, 6, 8, 10}. 5 A B = {x S : x A B dan x A B} = {1, 3, 5, 8, 10}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

143 Solusi Operasi Himpunan 1 Perhatikan bahwa B C = {x S : (x < 7) (x > 3)} = S. Jadi A B C = A S = S. 2 Perhatikan bahwa B C = {x S : (x < 7) (x > 3)} = {x S : 3 < x < 7} = {4, 5, 6}. Jadi A B C = {4, 6}. 3 A B = {x S : (x A) (x B)} = {8, 10}. Jadi (A B) C = {x S : x {8, 10} x C} =. 4 B C = {x S : (x B) (x C)} = {0, 1, 2, 3}. Jadi A (B C) = {x S : x A x {0, 1, 2, 3}} = {x A : x > 3} = {x S : (x genap) (x > 3)} = {4, 6, 8, 10}. 5 A B = {x S : x A B dan x A B} = {1, 3, 5, 8, 10}. 6 (A B) C = {x S : x (A B) C dan x (A B) C} = {1, 3, 4, 6, 7, 9}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

144 Solusi Operasi Himpunan 1 Perhatikan bahwa B C = {x S : (x < 7) (x > 3)} = S. Jadi A B C = A S = S. 2 Perhatikan bahwa B C = {x S : (x < 7) (x > 3)} = {x S : 3 < x < 7} = {4, 5, 6}. Jadi A B C = {4, 6}. 3 A B = {x S : (x A) (x B)} = {8, 10}. Jadi (A B) C = {x S : x {8, 10} x C} =. 4 B C = {x S : (x B) (x C)} = {0, 1, 2, 3}. Jadi A (B C) = {x S : x A x {0, 1, 2, 3}} = {x A : x > 3} = {x S : (x genap) (x > 3)} = {4, 6, 8, 10}. 5 A B = {x S : x A B dan x A B} = {1, 3, 5, 8, 10}. 6 (A B) C = {x S : x (A B) C dan x (A B) C} = {1, 3, 4, 6, 7, 9}. 7 B C = {x S : x B C dan x B C} = S {4, 5, 6} = {0, 1, 2, 3, 7, 8, 9, 10}. Jadi A (B C) = {x S : x A (B C) dan x A (B C)} = {1, 3, 4, 6, 7, 9}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

145 Solusi Operasi Himpunan 1 Perhatikan bahwa B C = {x S : (x < 7) (x > 3)} = S. Jadi A B C = A S = S. 2 Perhatikan bahwa B C = {x S : (x < 7) (x > 3)} = {x S : 3 < x < 7} = {4, 5, 6}. Jadi A B C = {4, 6}. 3 A B = {x S : (x A) (x B)} = {8, 10}. Jadi (A B) C = {x S : x {8, 10} x C} =. 4 B C = {x S : (x B) (x C)} = {0, 1, 2, 3}. Jadi A (B C) = {x S : x A x {0, 1, 2, 3}} = {x A : x > 3} = {x S : (x genap) (x > 3)} = {4, 6, 8, 10}. 5 A B = {x S : x A B dan x A B} = {1, 3, 5, 8, 10}. 6 (A B) C = {x S : x (A B) C dan x (A B) C} = {1, 3, 4, 6, 7, 9}. 7 B C = {x S : x B C dan x B C} = S {4, 5, 6} = {0, 1, 2, 3, 7, 8, 9, 10}. Jadi A (B C) = {x S : x A (B C) dan x A (B C)} = {1, 3, 4, 6, 7, 9}. 8 A A C = { x S : x A A C dan x A A C} = {x S : x S dan x } = S. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

146 Operasi Himpunan Gabungan dan Irisan yang Diperumum Karena sifat asosiatif, A (B C) [berturutan A (B C)] maupun (A B) C [berturutan: (A B) C] dapat ditulis sebagai A B C [berturutan: A B C]. Secara umum, gabungan dari A 1, A 2,..., A n dapat ditulis sebagai n A i = {A i, i = 1,..., n} = A 1 A 2 A n. i=1 Kemudian, irisan dari A 1, A 2,..., A n dapat ditulis sebagai n A i = {A i, i = 1,..., n} = A 1 A 2 A n. i=1 Operasi gabungan maupun irisan juga boleh melibatkan tak hingga banyaknya himpunan, gabungan dari A 1, A 2,... ditulis sebagai A i = A 1 A 2, sedangkan irisan dari A 1, A 2,... ditulis sebagai i=1 A i = A 1 A 2. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72 i=1

147 Operasi Himpunan Latihan: Gabungan dan Irisan yang Diperumum Latihan Diberikan himpunan semesta N, dan himpunan A i = {x x bilangan ganjil dan x 2i}. 1 Tentukan A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 2 Tentukan 100 i=1 A i. 3 Tentukan 100 i=1 A i. Solusi: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

148 Operasi Himpunan Latihan: Gabungan dan Irisan yang Diperumum Latihan Diberikan himpunan semesta N, dan himpunan A i = {x x bilangan ganjil dan x 2i}. 1 Tentukan A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 2 Tentukan 100 i=1 A i. 3 Tentukan 100 i=1 A i. Solusi: 1 A 1 = {x x 2} = {1}. A 2 = {x x 4} = {1, 3}. A 3 = {x x 6} = {1, 3, 5}. A 4 = {x x 8} = {1, 3, 5, 7}. A 5 = {x x 10} = {1, 3, 5, 7, 9}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

149 Operasi Himpunan Latihan: Gabungan dan Irisan yang Diperumum Latihan Diberikan himpunan semesta N, dan himpunan A i = {x x bilangan ganjil dan x 2i}. 1 Tentukan A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 2 Tentukan 100 i=1 A i. 3 Tentukan 100 i=1 A i. Solusi: 1 A 1 = {x x 2} = {1}. A 2 = {x x 4} = {1, 3}. A 3 = {x x 6} = {1, 3, 5}. A 4 = {x x 8} = {1, 3, 5, 7}. A 5 = {x x 10} = {1, 3, 5, 7, 9} i=1 A i = {1} {1, 3} {1, 3, 5} {1, 3, 5,..., 199} = {1, 3, 5,..., 199} = A 100, karena A 1 A 2 A 3 A 100. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

150 Operasi Himpunan Latihan: Gabungan dan Irisan yang Diperumum Latihan Diberikan himpunan semesta N, dan himpunan A i = {x x bilangan ganjil dan x 2i}. 1 Tentukan A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 2 Tentukan 100 i=1 A i. 3 Tentukan 100 i=1 A i. Solusi: 1 A 1 = {x x 2} = {1}. A 2 = {x x 4} = {1, 3}. A 3 = {x x 6} = {1, 3, 5}. A 4 = {x x 8} = {1, 3, 5, 7}. A 5 = {x x 10} = {1, 3, 5, 7, 9} i=1 A i = {1} {1, 3} {1, 3, 5} {1, 3, 5,..., 199} = {1, 3, 5,..., 199} = A 100, karena A 1 A 2 A 3 A i=1 A i = {1} {1, 3} {1, 3, 5} {1, 3, 5,..., 199} = {1} = A 1, karena A 1 A 2 A 3 A 100. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

151 Operasi Himpunan Xor (Beda Simetris) yang Diperumum Karena bersifat asosiatif, maka kita memiliki definisi n A i = A 1 A 2 A n dan i=1 A i = A 1 A 2 i=1 Latihan Diberikan himpunan semesta N, dan himpunan A i = {x x bilangan ganjil dan x 2i}, tentukan 5 i=1 A i. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

152 Operasi Himpunan Solusi: Kita memiliki 5 A i = i=1 MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

153 Operasi Himpunan Solusi: Kita memiliki 5 A i = A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 i=1 = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

154 Operasi Himpunan Solusi: Kita memiliki 5 A i = A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 i=1 = {1} {1, 3} {1, 3, 5} {1, 3, 5, 7} {1, 3, 5, 7, 9} = {3} {1, 3, 5} {1, 3, 5, 7} {1, 3, 5, 7, 9} = {1, 5} {1, 3, 5, 7} {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 7} {1, 3, 5, 7, 9} = {1, 5, 9}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

155 Bahasan Produk Kartesius 1 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan 3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan 7 Produk Kartesius 8 Prinsip Inklusi-Eksklusi 9 Partisi Himpunan 10 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

156 Produk Kartesius Produk Kartesius Himpunan merupakan koleksi objek yang tidak mempedulikan urutannya. Untuk merepresentasikan kumpulan objek terurut, dibutuhkan struktur yang berbeda. Definisi (n tupel terurut (ordered n-tuple)) n tupel terurut (a 1, a 2,..., a n ) adalah kumpulan objek terurut dengan a 1 sebagai komponen pertama, a 2 sebagai komponen kedua, dan seterusnya hingga a n adalah komponen ke-n. Jika n = 2, maka 2 tupel terurut (a 1, a 2 ) disebut pasangan terurut/ pasangan berurutan. Dua n tupel terurut (a 1,..., a n ) dan (b 1,..., b n ) dikatakan sama jikka a i = b i untuk setiap i = 1, 2,..., n. Contoh Kita memiliki (1, 2, 3) (1, 3, 2). Definisi Misalkan A dan B adalah dua himpunan, hasil kali kartesius dari A dan B, dinotasikan dengan A B, didefinisikan sebagai himpunan A B := {(a, b) a A dan b B}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

157 Produk Kartesius Contoh Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {2, 3, 6}, maka A B = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

158 Produk Kartesius Contoh Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {2, 3, 6}, maka A B = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

159 Produk Kartesius Contoh Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {2, 3, 6}, maka A B = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), (3, 2), (3, 3), (3, 6), MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

160 Produk Kartesius Contoh Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {2, 3, 6}, maka A B = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), (3, 2), (3, 3), (3, 6), (5, 2), (5, 3), (5, 6)}. B A = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

161 Produk Kartesius Contoh Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {2, 3, 6}, maka A B = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), (3, 2), (3, 3), (3, 6), (5, 2), (5, 3), (5, 6)}. B A = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

162 Produk Kartesius Contoh Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {2, 3, 6}, maka A B = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), (3, 2), (3, 3), (3, 6), (5, 2), (5, 3), (5, 6)}. B A = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

163 Produk Kartesius Contoh Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {2, 3, 6}, maka A B = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), (3, 2), (3, 3), (3, 6), (5, 2), (5, 3), (5, 6)}. B A = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (6, 1), (6, 3), (6, 5)}. Jadi A B B A. Definisi Misalkan A 1, A 2,..., A n adalah n buah himpunan, hasil kali kartesius dari A 1, A 2,..., dan A n, dinotasikan dengan A 1 A 2 A n, didefinisikan sebagai himpunan A 1 A 2 A n := {(a 1, a 2,..., a n ) : a i A i untuk setiap i = 1, 2,..., n}. Apabila A 1 = A 2 = = A n = A, maka A A A ditulis dengan A n. Kita juga dapat menulis n i=1 A i = A 1 A 2 A n. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

164 Bahasan Prinsip Inklusi-Eksklusi 1 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan 3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan 7 Produk Kartesius 8 Prinsip Inklusi-Eksklusi 9 Partisi Himpunan 10 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

165 Prinsip Inklusi-Eksklusi Prinsip Inklusi-Eksklusi Dua Himpunan Teorema Jika A dan B adalah dua himpunan berhingga, maka A B = A + B A B dan A B = A B A B = A + B A B A B = A + B 2 A B. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

166 Prinsip Inklusi-Eksklusi Latihan Misalkan terdapat 1467 mahasiswa di suatu gedung, 97 orang di antaranya sedang mempelajari Kalkulus, 68 orang sedang mempelajari Matematika Diskrit, dan 12 orang sedang mempelajari keduanya. Ada berapa banyak mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit? Solusi: Misalkan K = {x : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Kalkulus}, M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Matematika Diskrit}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

167 Prinsip Inklusi-Eksklusi Latihan Misalkan terdapat 1467 mahasiswa di suatu gedung, 97 orang di antaranya sedang mempelajari Kalkulus, 68 orang sedang mempelajari Matematika Diskrit, dan 12 orang sedang mempelajari keduanya. Ada berapa banyak mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit? Solusi: Misalkan K = {x : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Kalkulus}, M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Matematika Diskrit}. Kita memiliki K = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

168 Prinsip Inklusi-Eksklusi Latihan Misalkan terdapat 1467 mahasiswa di suatu gedung, 97 orang di antaranya sedang mempelajari Kalkulus, 68 orang sedang mempelajari Matematika Diskrit, dan 12 orang sedang mempelajari keduanya. Ada berapa banyak mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit? Solusi: Misalkan K = {x : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Kalkulus}, M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Matematika Diskrit}. Kita memiliki K = 97, M = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

169 Prinsip Inklusi-Eksklusi Latihan Misalkan terdapat 1467 mahasiswa di suatu gedung, 97 orang di antaranya sedang mempelajari Kalkulus, 68 orang sedang mempelajari Matematika Diskrit, dan 12 orang sedang mempelajari keduanya. Ada berapa banyak mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit? Solusi: Misalkan K = {x : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Kalkulus}, M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Matematika Diskrit}. Kita memiliki K = 97, M = 68, dan K M = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

170 Prinsip Inklusi-Eksklusi Latihan Misalkan terdapat 1467 mahasiswa di suatu gedung, 97 orang di antaranya sedang mempelajari Kalkulus, 68 orang sedang mempelajari Matematika Diskrit, dan 12 orang sedang mempelajari keduanya. Ada berapa banyak mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit? Solusi: Misalkan K = {x : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Kalkulus}, M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Matematika Diskrit}. Kita memiliki K = 97, M = 68, dan K M = 12. Akibatnya banyaknya mahasiswa di gedung itu yang sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit adalah K M = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

171 Prinsip Inklusi-Eksklusi Latihan Misalkan terdapat 1467 mahasiswa di suatu gedung, 97 orang di antaranya sedang mempelajari Kalkulus, 68 orang sedang mempelajari Matematika Diskrit, dan 12 orang sedang mempelajari keduanya. Ada berapa banyak mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit? Solusi: Misalkan K = {x : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Kalkulus}, M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Matematika Diskrit}. Kita memiliki K = 97, M = 68, dan K M = 12. Akibatnya banyaknya mahasiswa di gedung itu yang sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit adalah K M = K + M K M = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

172 Prinsip Inklusi-Eksklusi Latihan Misalkan terdapat 1467 mahasiswa di suatu gedung, 97 orang di antaranya sedang mempelajari Kalkulus, 68 orang sedang mempelajari Matematika Diskrit, dan 12 orang sedang mempelajari keduanya. Ada berapa banyak mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit? Solusi: Misalkan K = {x : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Kalkulus}, M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Matematika Diskrit}. Kita memiliki K = 97, M = 68, dan K M = 12. Akibatnya banyaknya mahasiswa di gedung itu yang sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit adalah K M = K + M K M = = 153. Jadi banyaknya mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit ada sebanyak MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

173 Prinsip Inklusi-Eksklusi Latihan Misalkan terdapat 1467 mahasiswa di suatu gedung, 97 orang di antaranya sedang mempelajari Kalkulus, 68 orang sedang mempelajari Matematika Diskrit, dan 12 orang sedang mempelajari keduanya. Ada berapa banyak mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit? Solusi: Misalkan K = {x : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Kalkulus}, M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Matematika Diskrit}. Kita memiliki K = 97, M = 68, dan K M = 12. Akibatnya banyaknya mahasiswa di gedung itu yang sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit adalah K M = K + M K M = = 153. Jadi banyaknya mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit ada sebanyak = 1314 orang. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

174 Prinsip Inklusi-Eksklusi Prinsip Inklusi-Eksklusi Tiga Himpunan Angka 1 merah: daerah yang terlibat ketika A dihitung, angka 1 hijau: daerah yang terlibat ketika B dihitung, angka 1 biru: daerah yang terlibat ketika C dihitung. Terlihat bahwa daerah yang beririsan dihitung lebih dari sekali. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

175 Prinsip Inklusi-Eksklusi Mengurangkan dengan A B : dua 1 merah diambil, dengan A C : dua 1 biru diambil, dengan B C : dua 1 hijau diambil. Perhitungan hampir benar, kecuali pada daerah di mana ketiga himpunan sama-sama beririsan. Maka perlu ditambahkan A B C. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

176 Prinsip Inklusi-Eksklusi Jadi kita memiliki A B C = A + B + C ( A B + A C + B C ) + ( A B C ). MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

177 Prinsip Inklusi-Eksklusi Latihan Di suatu gedung ada sebanyak 115 mahasiswa yang mempelajari Matematika Diskrit, 71 mahasiswa yang mempelajari RPL, dan 56 mahasiswa yang mempelajari PBO. Di antara mereka semua, 25 mahasiswa mempelajari Matematika Diskrit dan RPL, 14 mahasiswa mempelajari Matematika Diskrit dan PBO, serta 9 mahasiswa mempelajari RPL dan PBO. Jika terdapat 196 mahasiswa yang mempelajari salah satu dari kuliah Matematika Diskirt, RPL, atau PBO, berapa orang yang mempelajari ketiga mata kuliah tersebut sekaligus? MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

178 Prinsip Inklusi-Eksklusi Solusi: Misalkan M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskrit}, R = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPL}, P = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBO}. Kita memiliki M = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

179 Prinsip Inklusi-Eksklusi Solusi: Misalkan M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskrit}, R = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPL}, P = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBO}. Kita memiliki M = 115, R = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

180 Prinsip Inklusi-Eksklusi Solusi: Misalkan M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskrit}, R = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPL}, P = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBO}. Kita memiliki M = 115, R = 71, P = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

181 Prinsip Inklusi-Eksklusi Solusi: Misalkan M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskrit}, R = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPL}, P = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBO}. Kita memiliki M = 115, R = 71, P = 56, M R = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

182 Prinsip Inklusi-Eksklusi Solusi: Misalkan M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskrit}, R = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPL}, P = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBO}. Kita memiliki M = 115, R = 71, P = 56, M R = 25, M P = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

183 Prinsip Inklusi-Eksklusi Solusi: Misalkan M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskrit}, R = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPL}, P = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBO}. Kita memiliki M = 115, R = 71, P = 56, M R = 25, M P = 14, dan R P = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

184 Prinsip Inklusi-Eksklusi Solusi: Misalkan M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskrit}, R = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPL}, P = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBO}. Kita memiliki M = 115, R = 71, P = 56, M R = 25, M P = 14, dan R P = 9. Selain itu karena terdapat 196 mahasiswa yang paling setidaknya mengambil salah satu dari kuliah tersebut, kita memiliki M P R = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

185 Prinsip Inklusi-Eksklusi Solusi: Misalkan M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskrit}, R = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPL}, P = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBO}. Kita memiliki M = 115, R = 71, P = 56, M R = 25, M P = 14, dan R P = 9. Selain itu karena terdapat 196 mahasiswa yang paling setidaknya mengambil salah satu dari kuliah tersebut, kita memiliki M P R = 196. Dari prinsip inklusi-eksklusi kita memiliki M P R = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

186 Prinsip Inklusi-Eksklusi Solusi: Misalkan M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskrit}, R = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPL}, P = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBO}. Kita memiliki M = 115, R = 71, P = 56, M R = 25, M P = 14, dan R P = 9. Selain itu karena terdapat 196 mahasiswa yang paling setidaknya mengambil salah satu dari kuliah tersebut, kita memiliki M P R = 196. Dari prinsip inklusi-eksklusi kita memiliki M P R = M + P + R MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

187 Prinsip Inklusi-Eksklusi Solusi: Misalkan M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskrit}, R = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPL}, P = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBO}. Kita memiliki M = 115, R = 71, P = 56, M R = 25, M P = 14, dan R P = 9. Selain itu karena terdapat 196 mahasiswa yang paling setidaknya mengambil salah satu dari kuliah tersebut, kita memiliki M P R = 196. Dari prinsip inklusi-eksklusi kita memiliki M P R = M + P + R ( M P + M R + P R ) MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

188 Prinsip Inklusi-Eksklusi Solusi: Misalkan M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskrit}, R = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPL}, P = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBO}. Kita memiliki M = 115, R = 71, P = 56, M R = 25, M P = 14, dan R P = 9. Selain itu karena terdapat 196 mahasiswa yang paling setidaknya mengambil salah satu dari kuliah tersebut, kita memiliki M P R = 196. Dari prinsip inklusi-eksklusi kita memiliki M P R = M + P + R Jadi M P R = ( M P + M R + P R ) + M P R 196 = ( ) + M P R. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

189 Prinsip Inklusi-Eksklusi Solusi: Misalkan M = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskrit}, R = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPL}, P = {x : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBO}. Kita memiliki M = 115, R = 71, P = 56, M R = 25, M P = 14, dan R P = 9. Selain itu karena terdapat 196 mahasiswa yang paling setidaknya mengambil salah satu dari kuliah tersebut, kita memiliki M P R = 196. Dari prinsip inklusi-eksklusi kita memiliki M P R = M + P + R Jadi M P R = 2. ( M P + M R + P R ) + M P R 196 = ( ) + M P R. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

190 Bahasan Partisi Himpunan 1 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan 3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan 7 Produk Kartesius 8 Prinsip Inklusi-Eksklusi 9 Partisi Himpunan 10 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

191 Partisi Himpunan Partisi Himpunan Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan-himpunan bagian dikatakan partisi dari A, bila memenuhi: A 1 A, A 2 A,..., A n A 1 A i, untuk setiap i = 1,..., n 2 A 1 A 2 A n = n i=1 A i = A dan 3 A i A j = untuk setiap i dan j yang berbeda. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

192 Partisi Himpunan Contoh Misalkan A = {1, 2, 3..., 10}. Maka koleksi himpunan{{1, 2, 3}, {4, 5}, {6, 7, 8}, {9, 10}} maupun {{1}, {2, 3, 5, 7}, {4, 6, 8, 10}, {9}} MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

193 Partisi Himpunan Contoh Misalkan A = {1, 2, 3..., 10}. Maka koleksi himpunan{{1, 2, 3}, {4, 5}, {6, 7, 8}, {9, 10}} maupun {{1}, {2, 3, 5, 7}, {4, 6, 8, 10}, {9}} adalah partisi dari A. Sedangkan koleksi himpunan {{1, 2, 3, 4}, {4, 5, 6}, {6, 7, 8}, {8, 9, 10}} maupun {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8}} MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

194 Partisi Himpunan Contoh Misalkan A = {1, 2, 3..., 10}. Maka koleksi himpunan{{1, 2, 3}, {4, 5}, {6, 7, 8}, {9, 10}} maupun {{1}, {2, 3, 5, 7}, {4, 6, 8, 10}, {9}} adalah partisi dari A. Sedangkan koleksi himpunan {{1, 2, 3, 4}, {4, 5, 6}, {6, 7, 8}, {8, 9, 10}} maupun {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8}} keduanya bukan partisi dari A. Catatan Untuk himpunan yang kardinalitasnya tak berhingga, maka banyaknya partisi juga harus tak berhingga. Ekspresi n i=1 A i diganti dengan i=1 A i. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

195 Partisi Himpunan Latihan: Partisi Latihan Diberikan himpunan S = {u, m, b, r, o, k, c, s}. Periksa apakah koleksi himpunan berikut merupakan partisi dari S. 1 {{m, o, c, k}, {r, u, b, s}} 2 {{c, o, m, b}, {u, s}, {r}} 3 {{b, r, o, c, k}, {m, u, s, t}} 4 {{u, m, b, r, o, c, k, s}} 5 {{b, o, o, k}, {r, u, m}, {c, s}} 6 {{u, m, b} {r, o, c, k, s}, } 7 {{b, u, m}, {c, o, r, k, s}} Solusi: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

196 Partisi Himpunan Latihan: Partisi Latihan Diberikan himpunan S = {u, m, b, r, o, k, c, s}. Periksa apakah koleksi himpunan berikut merupakan partisi dari S. 1 {{m, o, c, k}, {r, u, b, s}} 2 {{c, o, m, b}, {u, s}, {r}} 3 {{b, r, o, c, k}, {m, u, s, t}} 4 {{u, m, b, r, o, c, k, s}} 5 {{b, o, o, k}, {r, u, m}, {c, s}} 6 {{u, m, b} {r, o, c, k, s}, } 7 {{b, u, m}, {c, o, r, k, s}} Solusi: (1) ya, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

197 Partisi Himpunan Latihan: Partisi Latihan Diberikan himpunan S = {u, m, b, r, o, k, c, s}. Periksa apakah koleksi himpunan berikut merupakan partisi dari S. 1 {{m, o, c, k}, {r, u, b, s}} 2 {{c, o, m, b}, {u, s}, {r}} 3 {{b, r, o, c, k}, {m, u, s, t}} 4 {{u, m, b, r, o, c, k, s}} 5 {{b, o, o, k}, {r, u, m}, {c, s}} 6 {{u, m, b} {r, o, c, k, s}, } 7 {{b, u, m}, {c, o, r, k, s}} Solusi: (1) ya, (2) tidak, karena k hilang, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

198 Partisi Himpunan Latihan: Partisi Latihan Diberikan himpunan S = {u, m, b, r, o, k, c, s}. Periksa apakah koleksi himpunan berikut merupakan partisi dari S. 1 {{m, o, c, k}, {r, u, b, s}} 2 {{c, o, m, b}, {u, s}, {r}} 3 {{b, r, o, c, k}, {m, u, s, t}} 4 {{u, m, b, r, o, c, k, s}} 5 {{b, o, o, k}, {r, u, m}, {c, s}} 6 {{u, m, b} {r, o, c, k, s}, } 7 {{b, u, m}, {c, o, r, k, s}} Solusi: (1) ya, (2) tidak, karena k hilang, (3) tidak, karena t S, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

199 Partisi Himpunan Latihan: Partisi Latihan Diberikan himpunan S = {u, m, b, r, o, k, c, s}. Periksa apakah koleksi himpunan berikut merupakan partisi dari S. 1 {{m, o, c, k}, {r, u, b, s}} 2 {{c, o, m, b}, {u, s}, {r}} 3 {{b, r, o, c, k}, {m, u, s, t}} 4 {{u, m, b, r, o, c, k, s}} 5 {{b, o, o, k}, {r, u, m}, {c, s}} 6 {{u, m, b} {r, o, c, k, s}, } 7 {{b, u, m}, {c, o, r, k, s}} Solusi: (1) ya, (2) tidak, karena k hilang, (3) tidak, karena t S, (4) ya, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

200 Partisi Himpunan Latihan: Partisi Latihan Diberikan himpunan S = {u, m, b, r, o, k, c, s}. Periksa apakah koleksi himpunan berikut merupakan partisi dari S. 1 {{m, o, c, k}, {r, u, b, s}} 2 {{c, o, m, b}, {u, s}, {r}} 3 {{b, r, o, c, k}, {m, u, s, t}} 4 {{u, m, b, r, o, c, k, s}} 5 {{b, o, o, k}, {r, u, m}, {c, s}} 6 {{u, m, b} {r, o, c, k, s}, } 7 {{b, u, m}, {c, o, r, k, s}} Solusi: (1) ya, (2) tidak, karena k hilang, (3) tidak, karena t S, (4) ya, (5) ya ({b, o, o, k} = {b, o, k}), MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

201 Partisi Himpunan Latihan: Partisi Latihan Diberikan himpunan S = {u, m, b, r, o, k, c, s}. Periksa apakah koleksi himpunan berikut merupakan partisi dari S. 1 {{m, o, c, k}, {r, u, b, s}} 2 {{c, o, m, b}, {u, s}, {r}} 3 {{b, r, o, c, k}, {m, u, s, t}} 4 {{u, m, b, r, o, c, k, s}} 5 {{b, o, o, k}, {r, u, m}, {c, s}} 6 {{u, m, b} {r, o, c, k, s}, } 7 {{b, u, m}, {c, o, r, k, s}} Solusi: (1) ya, (2) tidak, karena k hilang, (3) tidak, karena t S, (4) ya, (5) ya ({b, o, o, k} = {b, o, k}), (6) tidak, karena tidak diperbolehkan, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

202 Partisi Himpunan Latihan: Partisi Latihan Diberikan himpunan S = {u, m, b, r, o, k, c, s}. Periksa apakah koleksi himpunan berikut merupakan partisi dari S. 1 {{m, o, c, k}, {r, u, b, s}} 2 {{c, o, m, b}, {u, s}, {r}} 3 {{b, r, o, c, k}, {m, u, s, t}} 4 {{u, m, b, r, o, c, k, s}} 5 {{b, o, o, k}, {r, u, m}, {c, s}} 6 {{u, m, b} {r, o, c, k, s}, } 7 {{b, u, m}, {c, o, r, k, s}} Solusi: (1) ya, (2) tidak, karena k hilang, (3) tidak, karena t S, (4) ya, (5) ya ({b, o, o, k} = {b, o, k}), (6) tidak, karena tidak diperbolehkan, (7), ya. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

203 Bahasan Pembuktian Matematis Terkait Himpunan 1 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan 3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan 7 Produk Kartesius 8 Prinsip Inklusi-Eksklusi 9 Partisi Himpunan 10 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

204 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan Bukti Matematis Terkait Himpunan Bukti matematis terkait himpunan dilakukan dengan memakai definisi-definisi kesamaan himpunan, himpunan bagian, dan operasi-operasi himpunan. Ingat kembali dari kuliah Logika Matematika bahwa bukti matematis dapat berupa: bukti langsung, bukti dengan kontraposisi, atau bukti dengan kontradiksi. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

205 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan Teorema Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Jika A B = dan A (B C), maka A C. Bukti MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

206 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan Teorema Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Jika A B = dan A (B C), maka A C. Bukti Akan dibuktikan bahwa A C, yang berarti: untuk setiap x A maka x C. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

207 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan Teorema Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Jika A B = dan A (B C), maka A C. Bukti Akan dibuktikan bahwa A C, yang berarti: untuk setiap x A maka x C. Misalkan x A, karena A (B C), maka x B C. Ini berarti x B atau x C. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

208 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan Teorema Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Jika A B = dan A (B C), maka A C. Bukti Akan dibuktikan bahwa A C, yang berarti: untuk setiap x A maka x C. Misalkan x A, karena A (B C), maka x B C. Ini berarti x B atau x C. Karena A B =, maka tidak mungkin x memenuhi x A dan x B. Akibatnya tidak mungkin x B. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

209 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan Teorema Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Jika A B = dan A (B C), maka A C. Bukti Akan dibuktikan bahwa A C, yang berarti: untuk setiap x A maka x C. Misalkan x A, karena A (B C), maka x B C. Ini berarti x B atau x C. Karena A B =, maka tidak mungkin x memenuhi x A dan x B. Akibatnya tidak mungkin x B. Oleh karenanya haruslah x C. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72

210 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan Teorema Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Jika A B = dan A (B C), maka A C. Bukti Akan dibuktikan bahwa A C, yang berarti: untuk setiap x A maka x C. Misalkan x A, karena A (B C), maka x B C. Ini berarti x B atau x C. Karena A B =, maka tidak mungkin x memenuhi x A dan x B. Akibatnya tidak mungkin x B. Oleh karenanya haruslah x C. Dengan demikian jika x A dengan A B = dan A (B C), maka x C. Jadi A C. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari / 72