KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN"

Transkripsi

1 KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN

2 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari subruang vektor Dapat menghitung kombinasi linier dan span Dapat mengetahui contoh aplikasinya Surabaya, 3 September 2012 RUANG VEKTOR 2 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 2

3 Ruang Vektor (bentuk Umum) RUANG VEKTOR 3

4 Ruang Vektor V adalah himpunan tidak kosong Didefinisikan 2 operasi terhadap obyekobyek di V: penjumlahan, notasi u + v perkalian skalar, notasi kv Catatan: perlu diingat bahwa penjumlahan tidak selalu seperti (2, 1) + (1, 3) = (3, 4) perkalian skalar tidak selalu seperti 5( 2, 1) = (10, 5) RUANG VEKTOR 4

5 Ruang Vektor V disebut ruang vektor jika dipenuhi 10 (sepuluh) aksioma berikut: 1. Jika u, v V maka (u + v) V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w 4. Ada vektor nol 0 V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u 5. Untuk tiap u V, ada vektor u V yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u + ( u) = ( u) + u = 0 6. Jika k adalah skalar dan u V, maka ku V 7. k (u + v) = ku + kv 8. (k+m)u = ku + mu 9. k(mu) = (km) u 10. 1u = u RUANG VEKTOR 5

6 Ruang Vektor perhatikan aksioma 1, 4, 5, 6 berikut: 1. Jika u, v V maka (u + v) V 4. Ada vektor nol 0 V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u 5. Untuk tiap u V, ada vektor u V yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u +(-u) = (-u) + u = 0 6. Jika k adalah skalar dan u V, maka k u V ruang vektor bukan ruang vektor ruang vektor bukan ruang vektor u -u u v v 0 -v u+v 0 1 u+v 6 0 u ku ku u 0 RUANG VEKTOR 6

7 Teorema 5.1.1: V merupakan ruang vektor, u V dan k adalah skalar. Maka 1) 0u = 0 2) k0 = 0 3) ( 1)u = -u 4) Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0 RUANG VEKTOR 7

8 Subruang (subspace) RUANG VEKTOR 8

9 Subruang : W merupakan subset dari V. W disebut subruang dari V jika dan hanya jika W adalah ruang vektor, di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan di V, artinya 1. Jika u, v W maka (u + v) W 6. Jika k adalah skalar dan u W, maka ku W RUANG VEKTOR 9

10 V V u W u 0 (u+v) u v (u+v) v W v (u+v) u (u+v) v 0 W subspacev RUANG VEKTOR 10 W bukan subspace V

11 Catatan: Setiap Ruang Vektor memiliki paling sedikit 2 subruang yakni; V sendiri adalah sebuah subruang, dan himpunan {0} yang merupakan vektor 0 yang dinamakan sebagai subruang nol. RUANG VEKTOR 11

12 Contoh Subruang (1) (Sumber: Howard Anton, Aljabar Linear 5e, Subspace, 1997) RUANG VEKTOR 12

13 Contoh Subruang (2) RUANG VEKTOR 13

14 Contoh Subruang (3) RUANG VEKTOR 14

15 Contoh Subruang (4) Tinjaulah vektor-vektor u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) di R 3. Perlihatkan bahwa w = (9, 2, 7) adalah kombinasi linear u dan v serta w, = (4, -1, 8) bukanlah kombinasi linear u dan v. Pemecahan: Kombinasi Linear? RUANG VEKTOR 15

16 Sub Ruang Hasil Jawaban SPL Himpunan dari semua vektor yang merupakan jawaban dari sistem persamaan homogen merupakan subruang di R n, dengan orde A adalah mxn. Contoh: Diberikan SPL homogin, x 1 +3x 2 5x 3 + 7x 4 =0 x 1 +4x 2 19x 3 +10x 4 =0 2x 1 +5x 2 26x 3 +11x 4 =0 Surabaya, 3 September 2012 RUANG VEKTOR 16 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 16

17 Matriks Eselon-nya : x x 3 4 variable bebas, misal : x3 = sdan x4 = t x2 = 4s 3t dan x1 = 3s + 2t Jawaban dalam bentuk vektor : x 1 3 s + 2 t 3 2 x 2 4s 3t 4 3 x = = = s + t x 3 s 1 0 x4 t 0 1 x = su + tv u = (3, 4,1, 0) dan v = (2, 3, 0,1) Subruang dari jawaban SPL Homogin disebut Ruang Jawab. Surabaya, 3 September 2012 RUANG VEKTOR 17 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 17

18 Kombinasi Linier (Linear Combination) & Rentang (Span) RUANG VEKTOR 18

19 Definisi: Vektor w disebut kombinasi linier dari v 1, v 2,, v n jika w = k 1 v 1 + k 2 v k n v n k 1, k 2,.. k n adalah skalar Teorema : Jika v 1, v 2,, v n merupakan himpunan vektor di V, maka 1. Himpunan dari semua kombinasi linier dari v 1, v 2,, v n, disebut himpunan W, adalah subspace V 2. W adalah subspace terkecil yang berisi v 1, v 2,, v n RUANG VEKTOR 19

20 Teorema : Jika v 1, v 2,, v r merupakan himpunan vektor di V, maka 1. Himpunan dari semua kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r, disebut himpunan W, adalah subspace V 2. W adalah subspace terkecil yang berisi v 1, v 2,, v r Bukti 1: W adalah subspace jika u, v W, maka (u + v) W Vektor u, v W; k i, c i, a i adalah skalar u = c 1 v 1 + c 2 v c r v r kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r v = k 1 v 1 + k 2 v k r v r kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r (u + v) = (c 1 + k 1 )v 1 + (c 2 + k 2 )v (c r + k r )v r = a 1 v 1 + a 2 v a r v r kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r RUANG VEKTOR 20

21 Teorema : Jika v 1, v 2,, v r merupakan himpunan vektor di V, maka 1. Himpunan dari semua kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r, disebut himpunan W, adalah subspace V 2. W adalah subspace terkecil yang berisi v 1, v 2,, v r Bukti 1: W adalah subspace jika u W, maka ku W Vektor u W; k, c i, d i adalah skalar u = c 1 v 1 + c 2 v c r v r kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r ku = kc 1 v 1 + kc 2 v kc r v r = d 1 v 1 + d 2 v d r v r kombinasi linier dari v 1, v 2,, v r RUANG VEKTOR 21

22 Contoh Subruang (4) Penyelesaian: (9,2,7) = k 1 (1,2,-1) + k 2 (6,4,2) SPL nya : k k 2 = 9 2k k 2 = 2 -k k 2 = 7 Jika diselesaikan, didapatkan k 1 = -3 dan k 2 = 2 Sehingga w = -3u + 2v Bagaimana dengan w? Surabaya, 3 September 2012 RUANG VEKTOR 22 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 22

23 Contoh : Nyatakanlah a=(7,7,9,11) sebagai kombinasi linier dari u 1 =(2,0,3,1),u 2 = (4,1,3,2) danu 3 = (1,3,-1,3) Jawab : Tentukanlah s 1,s 2, dan s 3 yang memenuhi : Dalam bentuk matriks dinyatakanlah sebagai : a = s1u1 + s2u1 + s3u s 1 + s 2 + s 3 = ATAU 2s 1 + 4s 2 + s 3 = 7 4s 2 + 3s 3 = 7 3s 1 + 3s 2 s 3 = 9 s 1 + 2s 2 + 3s 3 = 11 Surabaya, 3 September 2012 RUANG VEKTOR 23 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 23

24 Matriks lengkapnya : Matriks Eselonnya : s 3 = 3, s 2 = -2, dan s 1 = Dengan demikian dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari : a = 6u 2u + 6u RUANG VEKTOR 24 Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 24

25 Rentang: Jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear v 1, v 2,, v r maka kita mengatakan bahwa vektor-vektor tersebut merentang V Diketahui suatu Ruang Vektor V S = {v 1, v 2,, v r } dan S V W = { x x merupakan kombinasi linier vektor-vektor S artinya: x = k 1 v 1 + k 2 v k n v r } maka S adalah rentang (span) W RUANG VEKTOR 25

26 Contoh (1): Tentukan apakah v 1 =(1,1,2), v 2 =(1,0,1), dan v 3 =(2,1,3) merentang pada R 3 Contoh (2): Misalkan u=(2,0,-1,4) dan v=(2,-1,0,2). Tentukan apakah w=(-2,4,-3,4) merupakan span {u,v} Contoh (3): Diketahui u 1 =(2,0,-1,2,4), u 2 =(1,0,0,-1,2), dan u 3 =(0,1,0,0,-1). Apakah vektor-vektor tersebut span (merentang) w=(1,12,3,-14,-1)? RUANG VEKTOR 26

27 Latihan: 1. Nyatakanlah persamaan berikut sebagai Kombinasi Linear: p 1 =2 + x + 4x 2, p 2 =1 x + 3x 2, p 3 =3 + 2x + 5x 2 a. 5x 2 + 9x + 5 b. 3x 2 + 2x Nyatakanlah vektor berikut sebagai kombinasi linear dari: 3. Tunjukkan apakah polinomial berikut merentang P 2 p 1 =1 + 2x- x 2 p 2 =3 + x 2 p 3 =5 + 4x -x 2 p 4 =-2 + 2x - 2x 2 RUANG VEKTOR 27

PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1

PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1 PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor Dapat mengetahui definisi

Lebih terperinci

SUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd

SUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd SUBRUANG VEKTOR Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun Oleh : Kelompok 6/ III A4 1. Nina Octaviani Nugraheni 14144100115 2. Emi Suryani 14144100126

Lebih terperinci

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN KS091206 Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui apakah suatu vektor bebas linier atau tak bebas

Lebih terperinci

Operasi perkalian skalar merupakan suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada v dengan suatu objek ku, yang disebut

Operasi perkalian skalar merupakan suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada v dengan suatu objek ku, yang disebut RUANG VEKTOR REAL Aksioma ruang vektor, dinyatakan dlam definisi beikut, dimana aksiona merupakan aturan permainan dalam ruang vektor. Definisi : Jika V merupakan suatu himpunan tidak kosong dari objek

Lebih terperinci

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Baris Ruang Kolom Ruang Nol TIM KALIN

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Baris Ruang Kolom Ruang Nol TIM KALIN KS96 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Baris Ruang Kolom Ruang Nol TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mencari ruang baris, ruang kolom,

Lebih terperinci

Ruang Vektor. Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Ruang Vektor. Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor. Aljabar Linear dan Matriks 1

Ruang Vektor. Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Ruang Vektor. Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor. Aljabar Linear dan Matriks 1 Ruang Vektor Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor 1. Jika vektor vektor u, v V, maka vektor u + v V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)

RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT) 1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT) RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol

Lebih terperinci

Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut:

Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: Bagian 5. RUANG VEKTOR 5.1 Lapangan (Field) Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: 1. dan 2., 3.,

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR UMUM AKSIOMA RUANG VEKTOR

RUANG VEKTOR UMUM AKSIOMA RUANG VEKTOR 7//5 RUANG VEKTOR UMUM Yang dibahas.. Ruang vektor umum. Subruang. Hubungan dependensi linier 4. Basis dan dimensi 5. Ruang baris, ruang kolom, ruang nul, rank dan nulitas AKSIOMA RUANG VEKTOR V disebut

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 5 Ruang Vektor Ruang Vektor Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem Kontrol

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk

Lebih terperinci

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES Definisi : VECTOR SPACE Jika V adalah ruang vektor dimana u,v,w merupakan objek dalam V sebagai vektor, dan terdapat skalar k dan

Lebih terperinci

Ruang Vektor. Adri Priadana. ilkomadri.com

Ruang Vektor. Adri Priadana. ilkomadri.com Ruang Vektor Adri Priadana ilkomadri.com MEDAN SKLAR Misalkan diketahui bahwa K adalah himpunan, dan didefinisikan 2 buah operasi penjumlahan (+) dan perkalian (*). Maka K dikatakan medan skalar jika dipenuhi

Lebih terperinci

Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank

Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank khozin mu tamar 9 Oktober 2014 PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMEN- SI RUANG VEKTOR DAN RANK 1. Sistem koordinat (a) Ketunggalan scalar

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer

Aljabar Linier Elementer Aljabar Linier Elementer Kuliah 15 dan 16 11/11/2014 1 Materi Kuliah Kebebasan Linier Basis dan Dimensi 11/11/2014 Yanita, Matematika Unand 2 5.3 Kebebasan Linier Definisi Jika S = v 1, v 2,, v r adalah

Lebih terperinci

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan dapat menghitung perkalian

Lebih terperinci

0. Diperoleh bahwa: Selanjutnya dibuktikan tertutup terhadap perkalian skalar:

0. Diperoleh bahwa: Selanjutnya dibuktikan tertutup terhadap perkalian skalar: f g) f g C atau ( f g). Diperoleh bahwa: f g) ( f g) dg f ( f dg g) g dg f g Selanjutnya dibuktikan tertutup terhadap perkalian skalar: Ambil. f ) f C, R. Ditunjukkan bahwa. f C atau (. f ).. f ). diketahui

Lebih terperinci

HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M.

HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M. HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M.Pd Disusun oleh Matematika 5F Kelompok 5: ARLITA ROSYIDA 08411.081

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Sebagai acuan penulisan penelitian ini diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam sub bab ini akan diberikan beberapa landasan teori berupa pengertian,

Lebih terperinci

BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN

BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN 1. Definisi-1. Suatu ruang vektor adalah suatu himpunan objek yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang masing-masing menghasilkan

Lebih terperinci

8.1 Transformasi Linier Umum. Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari

8.1 Transformasi Linier Umum. Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari 8.1 Transformasi Linier Umum Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari ruang vektor V vektor W. Definisi Jika T: V W adalah suatu fungsi dari suatu ruang vektor V ke ruang vektor

Lebih terperinci

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah) Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak

Lebih terperinci

Pertama, daftarkan kedua himpunan vektor: himpunan yang merentang diikuti dengan himpunan yang bergantung linear, perhatikan:

Pertama, daftarkan kedua himpunan vektor: himpunan yang merentang diikuti dengan himpunan yang bergantung linear, perhatikan: Dimensi dari Suatu Ruang Vektor Jika suatu ruang vektor V memiliki suatu himpunan S yang merentang V, maka ukuran dari sembarang himpunan di V yang bebas linier tidak akan melebihi ukuran dari S. Teorema

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA

SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.

Lebih terperinci

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 7 Transformasi Linear Sub Pokok Bahasan Definisi Transformasi Linear Matriks Transformasi Kernel dan Jangkauan Aplikasi Transformasi Linear Grafika Komputer Penyederhanaan

Lebih terperinci

Aljabar Linier. Kuliah 3. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand

Aljabar Linier. Kuliah 3. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand Aljabar Linier Kuliah 3 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 1 Materi Kuliah 3 Jumlah Langsung, Hasilkali Langsung Himpunan Pembangun (Spans) dan Bebas Linier 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 2

Lebih terperinci

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat menghitung eigen value dan eigen vector

Lebih terperinci

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER 2 KODE : MKK414515 DOSEN PENGAMPU : Annisa Prima Exacta, M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS

Lebih terperinci

Aljabar Linier. Kuliah 2 30/8/2014 2

Aljabar Linier. Kuliah 2 30/8/2014 2 30/8/2014 1 Aljabar Linier Kuliah 2 30/8/2014 2 Bab 1 Subpokok Bahasan Ruang Vektor Subruang Subruang Lattice Jumlah Langsung Himpunan Pembangun dan Bebas Linier Dimensi Ruang Vektor Basis Terurut dan

Lebih terperinci

Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)

Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom,

Lebih terperinci

Kumpulan Soal,,,,,!!!

Kumpulan Soal,,,,,!!! Kumpulan Soal,,,,,!!! Materi: Matriks & Ruang Vektor 1. BEBAS LINEAR S 3. BASIS DAN DIMENSI O A L 2. KOMBINASI LINEAR NeXt FITRIYANTI NAKUL Page 1 1. BEBAS LINEAR Cakupan materi ini mengkaji tentang himpunan

Lebih terperinci

RUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh

RUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh Muhammad Kukuh, Ruang RUANG FAKTOR Oleh : Muhammad Kukuh Abstraksi Pada struktur aljabar dikenal istilah grup faktor yaitu Jika grup dan N Subgrup normal G, maka grup faktor dengan operasi Apabila G ruang

Lebih terperinci

04-Ruang Vektor dan Subruang

04-Ruang Vektor dan Subruang 04-Ruang Vektor dan Subruang Vektor (1) Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal 2011-2012 Anny2011 1 Agenda Bagian 1: Ruang Vektor Bagian 2: Nullspace of A: Solusi Ax = 0 Bagian 3: Rank dan Row-reduced-form

Lebih terperinci

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace Vektor-Vektor Baris & Kolom Vektor baris A (dalam R n ) Vektor kolom A

Lebih terperinci

DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd

DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI BANJARMASIN MARET MUQADIMAH Alhamdulillah penyusun ucapkan

Lebih terperinci

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

Lebih terperinci

Matematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor

Matematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor Matematika Lanjut 1 Vektor Ruang Vektor Matriks Determinan Matriks Invers Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier 1 Dra. D. L. Crispina Pardede, DE. Referensi [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., gus

Lebih terperinci

Analisis Fungsional. Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

Analisis Fungsional. Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Analisis Fungsional Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Lingkup Materi Ruang Metrik dan Ruang Topologi Kelengkapan Ruang Banach Ruang Hilbert

Lebih terperinci

Transformasi Linier. Transformasi linier memiliki beberapa fungsi yang perlu dipelajari. Fungsi-fungsi tersebut antara lain :

Transformasi Linier. Transformasi linier memiliki beberapa fungsi yang perlu dipelajari. Fungsi-fungsi tersebut antara lain : Transformasi Linier Objektif:. definisi transformasi linier umum.. definisi transformasi linier dari R n ke R m. 3. invers transformasi linier. 4. matrix transformasi 5. kernel dan jangkauan 6. keserupaan.definisi

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 6 Ruang Hasil Kali Dalam Sub Pokok Bahasan Definisi Ruang Hasilkali Dalam Himpunan ortonormal Proses Gramm Schmidt Aplikasi RHD Metode Optimasi seperti metode

Lebih terperinci

Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR

Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR Ortogonal Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR Ortogonal Himpunan vektor {v, v,.., v k } dalam R n disebut himpunan

Lebih terperinci

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI: S1 SISTEM INFORMASI Semester : 1

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI: S1 SISTEM INFORMASI Semester : 1 GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI: S1 SISTEM INFORMASI Semester : 1 Berlaku mulai: Gasal/2010 MATA KULIAH : MATRIK DAN TRANSFORMASI LINEAR KODE MATA KULIAH / SKS : 410102042 / 3 SKS MATA

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah

Lebih terperinci

MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR

MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

Lebih terperinci

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga; BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,

Lebih terperinci

Bab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor

Bab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor Bab RUANG VEKTOR. Ruang Vektor DEFINISI.. Suatu ruang vektor (V, +,, F) atas field (F, +), ditulis singkat V(F), adalah suatu himpunan tak kosong V dengan elemenelemennya disebut vektor, yang dilengkapi

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang

Lebih terperinci

BASIS DAN DIMENSI. dengan mengurangkan persamaan kedua dengan persamaan menghasilkan

BASIS DAN DIMENSI. dengan mengurangkan persamaan kedua dengan persamaan menghasilkan BASIS DAN DIMENSI Representasi Basis Jika S={v 1,v,...,v n ) adalah suatu basis dari ruang vektor V, maka tiap vektor v pada V dapat dinyatakan dalam bentuk v= c 1 v 1 + c v +... c n v n dengan cepat satu

Lebih terperinci

TRANSFORMASI LINEAR. Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear. Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd

TRANSFORMASI LINEAR. Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear. Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd TRANSFORMASI LINEAR Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun oleh : Kelompok 7/ Kelas III A Endar Alviyunita 34400094 Ahmat Sehari ---------------

Lebih terperinci

untuk setiap x sehingga f g

untuk setiap x sehingga f g Jadi ( f ( f ) bernilai nol untuk setiap x, sehingga ( f ( f ) fungsi nol atau ( f ( f ) Aksioma 5 Ambil f, g F, R, ( f g )( f g ( g( g( ( f g)( Karena ( f g )( ( f g)( untuk setiap x sehingga f g Aksioma

Lebih terperinci

Sistem Persamaan Linier dan Matriks

Sistem Persamaan Linier dan Matriks Sistem Persamaan Linier dan Matriks 1.1 Pendahuluan linier: Sebuah garis pada bidang- dapat dinyatakan secara aljabar dengan sebuah persamaan Sebuah persamaan jenis ini disebut persamaan linier dalam dua

Lebih terperinci

BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN

BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN Pada bab 1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas dan pencacah bobot Hammingnya. Di samping itu, akan dijelaskanan invarian, ring invarian dan

Lebih terperinci

RENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 526 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional

RENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 526 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional Ming gu ke RENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 56 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional T o p i k S u b T o p i k 1. Ruang Banach - Ruang metrik - Ruang vektor bernorm - Barisan di ruang

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan

Lebih terperinci

vektor u 1, u 2,, u n.

vektor u 1, u 2,, u n. KOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta Kombinasi Linear (linear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field F, dengan vektor-vektor

Lebih terperinci

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor

Lebih terperinci

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diberikan beberapa materi yang akan diperlukan di dalam pembahasan, seperti: matriks secara umum; matriks yang dipartisi; matriks tereduksi dan taktereduksi; matriks

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh

TINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional,

Lebih terperinci

Kode, GSR, dan Operasi Pada

Kode, GSR, dan Operasi Pada BAB 2 Kode, GSR, dan Operasi Pada Graf 2.1 Ruang Vektor Atas F 2 Ruang vektor V atas lapangan hingga F 2 = {0, 1} adalah suatu himpunan V yang berisi vektor-vektor, termasuk vektor nol, bersama dengan

Lebih terperinci

Transformasi Linear dari R n ke R m

Transformasi Linear dari R n ke R m TE0967 Teknik Numerik Sistem Linear Transformasi Linear dari R n ke R m Trihastuti gustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember OUTLINE

Lebih terperinci

Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta

Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta BASIS DAN DIMENSI Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta Basis dan Dimensi Ruang vektor V dikatakan mempunyai dimensi terhingga n (ditulis dim V = n) jika ada vektor-vektor e, e,,

Lebih terperinci

Aljabar Linier & Matriks

Aljabar Linier & Matriks Aljabar Linier & Matriks 1 Pendahuluan Ruang vektor tidak hanya terbatas maksimal 3 dimensi saja 4 dimensi, 5 dimensi, dst ruang n-dimensi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka sekuens sebanyak n

Lebih terperinci

Kata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.

Kata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak

Lebih terperinci

Diagonalisasi Matriks Segitiga Atas Ring komutatif Dengan Elemen Satuan

Diagonalisasi Matriks Segitiga Atas Ring komutatif Dengan Elemen Satuan Diagonalisasi Matriks Segitiga Atas Ring komutatif Dengan Elemen Satuan Fitri Aryani 1, Rahmadani 2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Suska Riau e-mail: khodijah_fitri@uin-suskaacid Abstrak

Lebih terperinci

ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS

ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam Shalawat serta salam

Lebih terperinci

GRUP ALJABAR DAN -MODUL REGULAR SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: FITRIA EKA PUSPITA

GRUP ALJABAR DAN -MODUL REGULAR SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: FITRIA EKA PUSPITA GRUP ALJABAR DAN -MODUL REGULAR SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: FITRIA EKA PUSPITA 07934028 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS PADANG 2011 ABSTRAK Misalkan

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 26

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 26 Aljabar Linier Elementer Kuliah 26 Materi Kuliah Transformasi Linier Umum Kernel dan Range 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 2 Transformasi Linier Umum Definisi Misalkan V dan W adalah ruang vektor

Lebih terperinci

MAKALAH RUANG VEKTOR UMUM

MAKALAH RUANG VEKTOR UMUM MAKALAH RUANG VEKTOR UMUM Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linier Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusun oleh Kelompok II: Mujiati 08411.192 Puji Astuti 08411.226 Siti Nur Aminah

Lebih terperinci

MATRIKS BENTUK KANONIK RASIONAL DENGAN MENGGUNAKAN PEMBAGI ELEMENTER INTISARI

MATRIKS BENTUK KANONIK RASIONAL DENGAN MENGGUNAKAN PEMBAGI ELEMENTER INTISARI Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 6, No. (17), hal 7 34. MATRIKS BENTUK KANONIK RASIONAL DENGAN MENGGUNAKAN PEMBAGI ELEMENTER Ardiansyah, Helmi, Fransiskus Fran INTISARI Pada

Lebih terperinci

Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 2) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear

Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 2) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 2) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan

Lebih terperinci

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI : S1 SISTEM KOMPUTER Semester : 2

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI : S1 SISTEM KOMPUTER Semester : 2 GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI : S1 SISTEM KOMPUTER Semester : 2 Berlaku mulai: Genap/2011 MATA KULIAH : MATRIK DAN TRANSFORMASI LINEAR NOMOR KODE / SKS : 410202051/ 3 SKS PRASYARAT

Lebih terperinci

SUMMARY ALJABAR LINEAR

SUMMARY ALJABAR LINEAR SUMMARY ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta

Lebih terperinci

DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I.

DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER GLOBAL INFORMATIKA MDP 24 KATA PENGANTAR Pertama-tama penulis mengucapkan

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas

BAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian

Lebih terperinci

Aljabar Linier Ruang vektor dan subruang vektor. 2 Oktober 2014

Aljabar Linier Ruang vektor dan subruang vektor. 2 Oktober 2014 Aljabar Linier Ruang vektor dan subruang vektor 2 Oktober 2014 Pertemuan-2 Pertemuan ke-2 memuat 1. Ruang vektor operasi linier field definisi Contoh Kombinasi linier 1 2. Subruang definisi penentuan subruang

Lebih terperinci

Pertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks

Pertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan

Lebih terperinci

CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam

CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal

Lebih terperinci

UNIVERSITI SAINS MALAYSIA. Peperiksaan Kursus Semasa Cuti Panjang Sidang Akademik 2004/2005. Mei 2005 MAT ALJABAR LINEAR.

UNIVERSITI SAINS MALAYSIA. Peperiksaan Kursus Semasa Cuti Panjang Sidang Akademik 2004/2005. Mei 2005 MAT ALJABAR LINEAR. UNIVERSITI SAINS MALAYSIA Peperiksaan Kursus Semasa Cuti Panjang Sidang Akademik 2004/2005 Mei 2005 MAT 111 - ALJABAR LINEAR Masa : 3 jam Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi ENAM [6]

Lebih terperinci

DIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks

DIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks DIKTAT PERKULIAHAN EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 IF/011 1 DAFTAR ISI

Lebih terperinci

BAB II DASAR DASAR TEORI

BAB II DASAR DASAR TEORI BAB II DASA DASA TEOI.. uang ruang Vektor.. uang Vektor Umum Defenisi dan sifat sifat sederhana Defenisi : Misalkan V adalah sebarang himpunan benda yang didefenisikan dua operasi, yakni penambahan perkalian

Lebih terperinci

SUBRUANG MARKED. Suryoto Jurusan Matematika, FMIPA-UNDIP Semarang. Abstrak

SUBRUANG MARKED. Suryoto Jurusan Matematika, FMIPA-UNDIP Semarang. Abstrak SUBRUANG MARKED Suryoto Jurusan Matematika, FMIPA-UNDIP Semarang Abstrak Misalkan V suatu ruang vektor berdimensi hingga atas lapangan kompleks C, T operator linier nilpoten pada V dan W subruang T-invariant

Lebih terperinci

Yang dipelajari. 1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya 2. Masalah Pendiagonalan. Referensi : Kolman & Howard Anton. Ilustrasi

Yang dipelajari. 1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya 2. Masalah Pendiagonalan. Referensi : Kolman & Howard Anton. Ilustrasi 7// NILAI EIGEN dan VEKTOR EIGEN Yang dipelajari.. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya. Masalah Pendiagonalan Referensi : Kolman & Howard Anton. Ilustrasi Misalkan t : R n R n dengan definisi t(x)

Lebih terperinci

Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. . Matriks dan Sistem Persamaan Linear Definisi Persamaan dalam variabel dan y dapat ditulis dalam

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9 Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor

Lebih terperinci

SILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1 Matriks dan Operasinya. 1. Pengertian Matriks

SILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1 Matriks dan Operasinya. 1. Pengertian Matriks JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN MATEMATIKA MINGGU KE SILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304 POKOK & SUB POKOK TUJUAN INSTRUKSIONAL TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =

BAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: = BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam

Lebih terperinci

Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :

Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi

Lebih terperinci

MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS

MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS MODULES AND BASES OF FREE MODULES Dian Mardiani Pendidikan Matematika, STKIP Garut Garut, Indonesia Alfid51@yahoo.com Abstrak Penelitian ini membahas beberapa

Lebih terperinci

Trihastuti Agustinah

Trihastuti Agustinah TE 9467 Teknik Nmerik Sistem Linear Trihastti Agstinah Bidang Stdi Teknik Sistem Pengatran Jrsan Teknik Elektro - FTI Institt Teknologi Seplh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF TEORI CONTOH 4 SIMPULAN 5 LATIHAN

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi

BAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi

Lebih terperinci

seperti yang akan kita lihat, ada banyak cara untuk membangun ruang-ruang vektor baru dari ruang vektor ruang vektor yang lama

seperti yang akan kita lihat, ada banyak cara untuk membangun ruang-ruang vektor baru dari ruang vektor ruang vektor yang lama DIRECT SUMS seperti yang akan kita lihat, ada banyak cara untuk membangun ruang-ruang vektor baru dari ruang vektor ruang vektor yang lama EXTERNAL DIRECT SUMS Definisi: Misalkan V 1,, V n adalah ruang

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi

BAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang

Lebih terperinci

BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu

BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang

Lebih terperinci

Aljabar Matriks. Aljabar Matriks

Aljabar Matriks. Aljabar Matriks Aljabar Matriks No No Unit Unit Kompetensi 1 Menerapkan keamanan web dinamis 2 Membuat halaman web dinamis dasar 3 Membuat halaman web dinamis lanjut 4 Menerapkan web hosting 5 Menerapkan konten web memenuhi

Lebih terperinci

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015

Lebih terperinci

(MS.3) SUBRUANG CONINVARIAN DARI MATRIKS KUADRAT KOMPLEKS

(MS.3) SUBRUANG CONINVARIAN DARI MATRIKS KUADRAT KOMPLEKS Seminar Nasional Statistika 2 November 20 Vol 2, November 20 (MS.3) SUBRUANG CONINVARIAN DARI MATRIKS KUADRAT KOMPLEKS Euis Hartini Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Lebih terperinci

BAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab

BAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab BAB III PEMBAHASAN Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab C. Sub-bab A menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang vektor beserta contohnya. Sub-bab B

Lebih terperinci

BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi

BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT 3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang

Lebih terperinci