KS96 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Baris Ruang Kolom Ruang Nol TIM KALIN
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mencari ruang baris, ruang kolom, ruang null dari suatu ruang vektor Surabaya, September RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page
Ruang Baris Ruang Kolom Ruang Nol RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
A = a a a. a n a a a. a n a a a. a n.... a m a m a m. a mn r = ( a a a. a n ) R n disebut r = (a a a. a n ) R n vektor baris (A) r m = (a m a m a m. a mn ) R n RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL 4
c = a c = a. c n = a n a a a n a a a n a m a m a mn c, c,, c n R m disebut vektor kolom (A) RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL 5
Ruang Baris / Row Space: Ruang Kolom / Column Space: Ruang Nol / Null Space: RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL 6
RUANG BARIS Diketahui matriks A eselon 4 x 5 sebagai berikut : Vektor baris dari A : 5 7 6 r r r r 4 = (, 5,, 7,) = (,,,, ) = (,,,,6) = (,,,,) Karena memuat vektor NOL maka keempat vektor tersebut bergantung linier RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL 7
Subruang yang dibangun / direntang oleh 4 vektor diatas disebut ruang baris dari matriks A ditulis baris(a), dalam hal ini baris(a) = 4. Dimensi dari ruang baris disebut rank baris dari matriksa,dalamhalinirankbarisdariaadalah. Surabaya, September RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR 8 Page 8
RUANG KOLOM Diketahui matriks eselon, E= 5 7 6 ketiga vektor kolom yang memuat elemen pivot merupakan vektor yang bebas linier. Ketiga vektor tersebut adalah : 7 k =, k =, k4 = Surabaya, September RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR 9 Page 9
Vektor kolom yang tidak memuat elemen pivot merupakan kombinasi linier dari. Vektorvektormembentuk basis dari ruang kolom disebut rankkolom,dalamhaliniadalah. Subruang di Rm yang dibangun oleh n vektor disebut ruangkolomdituliskolom(a)dalamhalini=5. Surabaya, September RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page
Jika A adalah matriks (m n), maka Rank (A) = dimensi basis ruang baris (A) = dimensi basis ruang kolom (A) Nullity (A) = dimensi basis ruang nol (A) Rank (A) + Nullity (A) = n RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
DEFINISI:. Jika A adalah sembarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom A mempunyai dimensi yang sama. Dimensi bersama dari ruang baris dan ruang kolom dari suatu matriks A disebut rank(a), dimensi ruang kosong atau kekosongan(a) Surabaya, September RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page
Daftar Teorema RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
. Ax = b konsisten b Ruang Kolom (A). Salah satu solusi Ax = b adalah x o ; {v, v, v,.., v k } basis dari Ruang Nol (Ruang Solusi Ax = ); maka semua solusi Ax = b dapat dinyatakan sebagai RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL x = x o + c v + c v + c v. + c k v k. O.B.E. tidak mengubah Ruang Nol (A) 4. O.B.E. tidak mengubah Ruang Baris (A) 4
5. Matriks A ekivalen-baris dengan matriks B; maka Himpunan vektor kolom di A bebas linier himpunan vektor kolom di B yang bersesuaian bebas linier Himpunan vektor kolom di A merupakan basis dari Ruang Kolom (A) himpunan vektor kolom di B yang bersesuaian merupakan basis dari Ruang Kolom (B) 6. Matriks R berbentuk eselon-baris; maka vektor-vektor baris dari R dengan utama membentuk basis dari Ruang Baris (R) dan vektor-vektor kolom yang berisi utama membentuk basis dari Ruang Kolom (R) RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL 5
Contoh(): Anggap Ax=b adalah sistem linier. Tunjukkan bahwa b berada dalam rauang kolom A 9 = x x RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL 6 Karena sistem tersebut konsisten, maka b berada dalam ruang kolom A,, _ 9 = = = = x x x sehingga x x
Penyelesaian : Contoh(): X + X X + X5 = X + 6X 5X X4 X6 = - 5X + X4 + 5X6 = 5 X + 6X + 6X4 + 4X5 + 8X6 = 6 *) Augmented Matriksnya - 6-5 - 4 - - 5 5 5 6 8 4 8 6 RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL 7
*) Matriks Eselon Tereduksi 4 / x = r 4s t, x4 = s, x = / 6 *) Ditulis dalam bentuk vektor : x r 4s t 4 x r x s = = = r + s + t x s 4 x t / / 5 x6 Surabaya, September RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR 8 Page 8
Contoh(): Cari suatu basis untuk matriks berikut: 6 8 8 6 5 5 6 5 RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL 9 Vektorbaristaknolnyaadalah: u=(,-,,,),v=(,,,,),w=(,,,,) vektor tsb membentuk suatu basis untuk ruang baris, sehinggamembentukbasisuntuksub-ruangdarir 5