KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN

Transkripsi

1 KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN

2 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan dapat menghitung perkalian vektor di ruang n- eucledian Surabaya, 3 September 2012 RUANG N EUCLEDIAN 2 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 2

3 Ruang-n Euclidean (Euclidean n-space) RUANG N EUCLEDIAN 3

4 Review: Bab 3 membahas Ruang-2 dan Ruang-3 Ruang-n : himpunan yang beranggotakan vektorvektor dengan n komponen {, v = (v 1, v 2, v 3, v 4,, v n ),.. } Atribut: arah dan panjang / norma v Aritmatika vektor-vektor di Ruang-n: 1. Penambahan vektor 2. Perkalian vektor dengan skalar 3. Perkalian vektor dengan vektor RUANG N EUCLEDIAN 4

5 Norma sebuah vektor: Norma Euclidean (Euclidean norm) di Ruang-n : u = (u 1, u 2, u 3,, u n ) u = u 12 + u u u n 2 d(u,v)= u-v = (u 1 -v 1 ) 2 + (u 2 -v 2 ) 2 + (u 3 -v 3 ) (u n -v n ) 2 RUANG N EUCLEDIAN 5

6 Example: If u = (1, 3, -2, 7)and v= (0, 7, 2, 2)then in the Euclidean space R ( 1) + (3) + ( 2) + (7) u = = = And ( ) + (3 7) + ( 2 2) + (7 2) 58 d(u,v)= = RUANG N EUCLEDIAN 6

7 Penambahan vektor: di Ruang-n u = (u 1, u 2, u 3,, u n ); v = (v 1, v 2, v 3,, v n ) w = (w 1, w 2, w 3,, w n ) = u + v w = (u 1, u 2, u 3,, u n ) + (v 1, v 2, v 3,, v n ) w = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3,, u n + v n ) w 1 = u 1 + v 1 w 2 = u 2 + v 2.. w 2 = u n + v n RUANG N EUCLEDIAN 7

8 Negasi suatu vektor: u = (u 1, u 2, u 3,, u n ) u = ( u 1, u 2, u 3,, u n ) Selisih dua vektor: w = u v = u + ( v) = (u 1 v 1, u 2 v 2, u 3 v 3,, u n v n ) Vektor nol: 0 = (0 1, 0 2, 0 3,, 0 n ) RUANG N EUCLEDIAN 8

9 Perkalian skalar dengan vektor: w = kv = (kv 1, kv 2, kv 3,, kv n ) (w 1, w 2, w 3,, w n ) = (kv 1, kv 2, kv 3,, kv n ) w 1 = kv 1 w 2 = kv 2.. w n = kv n RUANG N EUCLEDIAN 9

10 Perkalian titik: (perkalian Euclidean) u. v = skalar u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v u n v n u. v = 0 jika u dan v ortogonal Catatan: perkalian silang hanya di Ruang-3 RUANG N EUCLEDIAN 10

11 Example: The Euclidean inner product of the vectors u= (-1, 3, 5, 7) and v= (5, -4, 7, 0)inR 4 is u.v= (-1)(5)+(3)(-4)+(5)(7)+(7)(0) = 18 RUANG N EUCLEDIAN 11

12 Aritmatika vektor di Ruang-n: Teorema : u, v, w vektor-vektor di Ruang-n k, l adalah skalar (bilangan real) u + v = v + u (u + v) + w = u + (v + w) u + 0 = 0 + u = u u + (-u) = (-u) + u = 0 k(lu) = (kl)u k(u + v) = ku + kv (k + l) u = ku + lu 1u = u RUANG N EUCLEDIAN 12

13 Teorema 4.1.2: Vektor-vektor u, v, w di Ruang-n; k adalah skalar u. v = v. u u. (v + w) = u.v + u.w k(u. v) = (ku). v = u. (kv) v.v > 0 jika v 0 v. v = 0 jika dan hanya jika v = 0 RUANG N EUCLEDIAN 13

14 Example 2Theorem allowsus to perform computation with Euclidean inner products in much the same way that we perform them with ordinary arithmetic products. For Exmple, (3u + 2v).(4u + v) = (3u).(4u + v) + (2v).(4u + v) = (3u).(4u) + (3u).v+ (2v).(4u) + (2v).(v) = 12(u.u) + 3(u.v) + 8(v.u) + 2(v.v) = 12(u.u) + 11(u.v) + 2(v.v) The reader should determine which parts of Theorm4.1.2 were used in each step RUANG N EUCLEDIAN 14

15 Teorema : u. v u v u 0 u = 0 jika dan hanya jika u = 0 ku = k u u + v u + v d(u, v) 0 d(u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v d(u, v) = d(v, u) d(u, v) d(u, w) + d(w, v) RUANG N EUCLEDIAN 15

16 Pembuktian Bahwa u + v u v kv v u + v v u (a) kv = k v (b) u+v u + v RUANG N EUCLEDIAN 16

17 Teorema : u. v = ¼ u + v 2 ¼ u v 2 Teorema Pythagoras u + v 2 = u 2 + v 2 v u + v u RUANG N EUCLEDIAN 17

18 Example : In the Euclidean space R 4 the vectors u = (-2, 3, 1, 4) and v = (1, 2, 0, -1) are orthogonal, since u.v= (-2)(1) + (3)(2) + (1)(0) + (4)(-1)= 0 RUANG N EUCLEDIAN 18

19 Perkalian Titik (dot product) dikerjakan dengan perkalian matriks u = (u 1, u 2, u 3,, u n ); v = (v 1, v 2, v 3,, v n ) u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v u n v n Kalau vektor u dan vektor v masing-masing ditulis dalam notasi matriks baris, maka u. v = (u 1 u 2 u 3 u n ) v 1 v 2 v 3 u. v = (u) (v) T v n RUANG N EUCLEDIAN 19

20 RUANG N EUCLEDIAN 20

21 u = (u 1, u 2, u 3,, u n ); v = (v 1, v 2, v 3,, v n ) u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v u n v n Kalau vektor u dan vektor v masing-masing ditulis dalam notasi matriks kolom, maka u. v = (u 1 u 2 u 3 u n ) v 1 = v. u v 2 v 3 v n u. v = (u) T (v) v. u = (v) T (u) u. v = (v) T (u) RUANG N EUCLEDIAN 21

22 MatriksA(n x n), udanvmasing-masingvektorkolom Au. v=u.(a T v)? (Au). v = v.(au) perkalian titik bersifat komutatif(t.4.1.2) = v T (Au) v vektorkolom = (v T A)u perkalianmatriksasosiatif(t.1.4.1) = (A T v) T u (MN) T = N T M T &(M T ) T = M (T.1.4.9) A T vmerupakanvektorkolom; maka(a T v) T vektorbaris = u.(a T v) persamaan(7) Jadi Au. v=u.(a T v) terbukti RUANG N EUCLEDIAN 22

23 DiketahuimatriksA(n x n), udanvmasing-masingvektorkolom u.av = A T u. v? u.(av)=(av). u perkaliantitikbersifatkomutatif = v.(a T u) barudibuktikan dislide sebelumini: Au. v=u.(a T v) = (A T u). v perkaliantitikkomutatif Jadi: u.av = A T u. v terbukti RUANG N EUCLEDIAN 23

24 RUANG N EUCLEDIAN 24

25 RUANG N EUCLEDIAN 25

26 RUANG N EUCLEDIAN 26

27 Contoh: Hitunglah eucledian norm dari vektor berikut : (-2,5) (1,-2,2) (3,4,0,-12) (-2,1,1,-3,4) Hitunglah eucledian inner product u.v u = (1,-2), v = (2,1) u = (0,-2,1,1), v = (-3,2,4,4) u = (2,-2,2), v = (0,4,-2) Surabaya, 3 September 2012 RUANG N EUCLEDIAN 27 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 27

28 Let s Try! 1. Carilah semua skalar k sehingga kv =3, di mana v = (-1, 2, 0, 3). 2. Carilah jarak euclidis di antara u dan v bila u=(6,0,1,3,0) dan v=(-1,4,2,8,3) 3. u=(3,0,1,2), v=(-1,2,7,-3), dan w=(2,0,1,1). Carilah: a. -2u + 2 u b. c. 4. u 1 =(-1,3,2,0), u 2 =(2,0,4,-1), u 3 =(7,1,1,4), dan u 4 =(6,3,1,2). Carilah skalar c1,c2,c3, dan c4 sehingga c 1 u 1 +c 2 u 2 +c 3 u 3 +c 4 u 4 =(0,5,6,-3) 5. Buktikanlah identitas berikut: u+v 2 + u-v 2 = 2 u v 2. Tafsirkanlah hasil ini secara geometris pada R Buktikanlah identitas berikut: u.v = ¼ u+v 2 -¼ u-v 2 RUANG N EUCLEDIAN 28 Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 28