KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN

Transkripsi

1 KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN

2 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat menghitung eigen value dan eigen vector suatu matriks Dapat mengetahui contoh aplikasi dari eigen value dan eigen vektor suatu matriks Surabaya, 3 September 2012 EIGEN VALEU DAN EIGEN 2 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 2

3 eigenvalues eigenvectors EIGEN VALEU DAN EIGEN 3

4 Definisi: Matriks A (n n); x R n dan Ax = λx maka λ disebut eigenvalue A, dan x disebut eigenvector dari A yang berpasangan dengan λ Jika diketahui matriks A (n n), bagaimana mencari eigenvalue(s) dari matriks A? 1. Bentuk persamaan karakteristik determinan ( λi A ) = 0 (akan terbentuk persamaan derajat n) 2. Cari akar-akar persamaan karakteristik di atas, ada n akar; akar-akar ini merupakan eigenvalue(s) dari matriks A EIGEN VALEU DAN EIGEN 4

5 Jika diketahui matriks A (n n), maka vektor tak nol x di dalam R n dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni, Ax = λ x Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A. Vekto x = 1 adalah vektor eigen dari A = Yang bersesuain dengan nilai eigen λ = 3, karena: Ax = = 3 = 3x EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR 5

6 Jika diketahui matriks A (n n), bagaimana mencari eigenvalue(s) dari matriks A? 1. Bentuk persamaan karakteristik determinan ( λi A ) = 0 (akan terbentuk persamaan derajat n) 2. Cari akar-akar persamaan karakteristik di atas, ada n akar; akar-akar ini merupakan eigenvalue(s) dari matriks A Contoh: A = 3 0 (λi A) = λ = λ λ+1 8 λ+1 Det ( λi A ) = 0 ( λ 3 ) ( λ + 1 ) + 0 = 0 maka λ 1 = 3 & λ 2 = 1 EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR 6

7 Contoh: A = 3 2 (λi A) = λ = λ (-1) λ-0 1 λ det (λi A) = det λ 3-2 = 0 1 λ = λ 2 3 λ + 2 = 0 λ = 1 dan λ = 2 EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR 7

8 EIGEN VALEU DAN EIGEN 8

9 Definisi: Matriks A (n n); x R n dan Ax = λx maka λ disebut eigenvalue A, dan x disebut eigenvector dari A yang berpasangan dengan λ Jika diketahui matriks A (n n), bagaimana mencari eigenvector(s) dari matriks A? Setelah eigenvalue λ k dari matriks A diperoleh, maka eigenvector(s) x k yang berpasangan dengan λ k ditentukan dari persamaan ( λi A ) x k = 0 EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR 9

10 Jika diketahui matriks A (n n), bagaimana mencari eigenvector(s) dari matriks A? Setelah eigenvalue λ k dari matriks A diperoleh, maka eigenvector x k yang berpasangan dengan λ k ditentukan dari persamaan ( λi A ) x k = 0 Contoh: dari soal terdahulu A = 3 0 λ 1 = 3 & λ 2 = eigenvector x 1 : (λ 1 I A ) x 1 = 0 (3I A ) x 1 = 0 Untuk λ 1 = x 11 = x x 11 = 0 x 12 = 2x x 12 0 x 11 = skalar s EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR eigenspace = himpunan eigenvector x 1 = { ( s, 2s ) } 10

11 Jika diketahui matriks A (n n), bagaimana mencari eigenvector(s) dari matriks A? Setelah eigenvalue λ k dari matriks A diperoleh, maka eigenvector x k yang berpasangan dengan λ k ditentukan dari persamaan ( λi A ) x k = 0 Contoh: dari soal terdahulu A = 3 0 λ 1 = 3 & λ 2 = eigenvector x 2 : (λ 2 I A ) x 2 = 0 ( 1 I A ) x 2 = 0 Untuk λ 1 = x 21 = x x 21 = 0 x 21 = x 22 0 x 22 = skalar s EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR eigenspace = himpunan eigenvector x 2 = { ( 0, s ) } 11

12 EIGEN VALEU DAN EIGEN 12

13 EIGEN VALEU DAN EIGEN 13

14 Contoh: Carilah Eigen Value (λ) dari: EIGEN VALEU DAN EIGEN 14

15 Diagonalisasi: Matriks A (n n) akan dicari matriks P yang invertibel sedemikian sehingga P 1 AP = matriks diagonal Matriks A disebut diagonalizable Matriks P disebut mendiagonalisasi (diagonalizes) matriks A Teorema: Matriks A (n n) Matriks A disebut diagonalizable A memiliki n eigenvectors yang linearly independent EIGEN VALEU DAN EIGEN 15

16 Algoritma untuk menentukan matriks P Matriks A (n n) diagonalizable, maka langkah-langkah untuk menentukan P sbb.: 1. Bentuk fungsi karakteristik determinan ( λi A ) = 0 2. Tentukan eigenvalues dari A: λ 1, λ 2, λ 3,., λ n 3. Tentukan eigenspaces yang berpasangan dengan eigenvalues λ 1, λ 2, λ 3,., λ n tersebut 4. Tentukan basis-basis dari eigenspaces di atas 5. Matriks P diperoleh dengan menuliskan basis-basis tersebut sebagai vektor kolom EIGEN VALEU DAN EIGEN 16

17 Contoh: EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR 17

18 Diagonalisasi Akan dibuktikan bahwa Eigen Vector EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR 18

19 EIGEN VALEU DAN EIGEN 19

20 EIGEN VALEU DAN EIGEN 20

21 KarenaA adalahmatrix 3x3 danhanyaada2 vektorbasis, makaa tidakdiagonalizable EIGEN VALEU DAN EIGEN 21

22 Diagonalisasi Ortogonal: Matriks A (n n) akan dicari matriks P yang ortogonal (P 1 = P T ) sedemikian sehingga P 1 AP = P T AP = matriks diagonal Matriks A disebut orthogonally diagonalizable Matriks P disebut mendiagonalisasi secara ortogonal (orthogonally diagonalizes) matriks A EIGEN VALEU DAN EIGEN 22

23 Algoritma untuk menentukan matriks P Matriks A (n n) orthogonally diagonalizable, maka langkahlangkah untuk menentukan P sbb.: 1. Bentuk fungsi karakteristik determinan ( λi A ) = 0 2. Tentukan eigenvalues dari A: λ 1, λ 2, λ 3,., λ n 3. Tentukan eigenspaces yang berpasangan dengan eigenvalues λ 1, λ 2, λ 3,., λ n tersebut 4. Tentukan basis-basis dari eigenspaces di atas 5. Aplikasikan metode Gram-Schmidt untuk mendapatkan basis-basis ortonormalnya 6. Matriks P diperoleh dengan menuliskan basis-basis hasil langkah 5 tersebut sebagai vektor kolom EIGEN VALEU DAN EIGEN 23

24 Teorema: Jika matriks A (n n), maka yang berikut ini ekivalen a) Matriks A simetrik b) Matriks A orthogonallly diagonalizable c) Matriks A memiliki n eigenvectors yang ortonormal Jika a) benar maka b) dan c) benar, dsb Jika a) salah maka b) dan c) salah, dsb EIGEN VALEU DAN EIGEN 24

25 Contoh: A = determinan ( λi A ) = 0 ( λ 2 ) 2 ( λ 8 ) = 0 eigenvector x 1 : (λ 1 I A ) x 1 = 0 ( 2I A ) x 1 = 0 EIGEN VALEU DAN EIGEN eigenspace (λ 1 ) x 12 x 13 = x x 13 1 x x

26 Contoh: A = determinan ( λi A ) = 0 ( λ 2 ) 2 ( λ 8 ) = 0 eigenvector x 2 : (λ 2 I A ) x 2 = 0 ( 8I A ) x 2 = eigenspace (λ 2 ) x 23 = x 23 1 x 23 1 EIGEN VALEU DAN EIGEN x

27 Basis eigenspace (λ 1 ) 1, -1 dengan Gram-Schmidt 1/ 2, 1/ & normalisasi 1/ 2 1/ / 6 Basis eigenspace (λ 2 ) 1 dengan Gram-Schmidt 1/ 3 1 & normalisasi 1/ 3 1 1/ 3 Maka matriks P yang 1/ 2 1/ 6 1/ 3 orthogonally diagonalizes 1/ 2 1/ 6 1/ 3 matriks (A) adalah 0 2/ 6 1/ 3 EIGEN VALEU DAN EIGEN 27

28 A = Maka matriks P yang 1/ 2 1/ 6 1/ 3 orthogonally diagonalizes 1/ 2 1/ 6 1/ 3 matriks (A) adalah 0 2/ 6 1/ 3 EIGEN VALEU DAN EIGEN 28

29 CONTOH: Sistem persamaan perpindahan penduduk, C = 0,85C + 0,10S n+ 1 n n S = 0,15C + 0,90S n+ 1 n n untukn 0 Dalamhalini: x n C n = S n Matriks transisinya: 0,85 0,10 A = 0,15 0,90 Persamaan karakteristik dari A: Surabaya, 3 September 2012 EIGEN VALEU DAN EIGEN 29 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 29

30 Persamaan karakteristik dari A : λ λ = = 0 ( λ )( λ ) λ λ = 0 λ λ = 0 ( )( ) λ 1 4λ 3 = 0 λ = 1, λ = 0, ; Surabaya, 3 September 2012 EIGEN VALEU DAN EIGEN 30 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 30

31 *)Untukλ1,pers.(A-λI)=0 0,15 0,10 x 0 = x1 = 0,15 0,10 y 0 S ( ) 2,3, *)Untukλ2=0,75,pers.(A-λI)=0 0,10 0,10 x 0 0,15 0,15 y 0 = 2 = x S ( ) 1,1, Surabaya, 3 September 2012 EIGEN VALEU DAN EIGEN 31 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 31

32 A = PDP, P =, D 3, P 3 1 = = untuk k >> k = A k k = = Dengan k yang cukup besar, ,4 k 1 C xk = A x0 ( C0 S0 ) = + S 0 0,6 Surabaya, 3 September 2012 EIGEN VALEU DAN EIGEN 32 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 32

33 Untuk waktu yang lama (k >>) karena vector (0,4,0,6) dengan λ=1, pembagian penduduk antara kota dan pinggiran tidak mengalami perubahan lagi, yaitu menjadi 40% berada di kota dan 60% berada di pinggiran Surabaya, 3 September 2012 EIGEN VALEU DAN EIGEN 33 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 33

34 LATIHAN: 1. a. A = b. A = Surabaya, 3 September a. A = b. A = Tentukanlah apakah A dapat didiagonalisasi. Jika ya, maka carilah matriks P yang mendiagonalisasi A secara ortogonal. EIGEN VALEU DAN EIGEN 34 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Page 34