04-Ruang Vektor dan Subruang

Transkripsi

1 04-Ruang Vektor dan Subruang Vektor (1) Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal Anny2011 1

2 Agenda Bagian 1: Ruang Vektor Bagian 2: Nullspace of A: Solusi Ax = 0 Bagian 3: Rank dan Row-reduced-form Anny2011 2

3 Bagian 1 RUANG VEKTOR Anny2011 3

4 Pendahuluan Ruang vektor yang utama: R n Dinotasikan dengan: R 1, R 2, R 3, R 4, Setiap ruang vektor R n berisi seluruh vektor pada ruang tsb. Misal: R 5 berisi seluruh vektor kolom dengan lima komponen. R 5 disebut ruang 5-dimensi. Mengapa digunakan huruf R? Karena komponen vektor adalah bilangan real Jika komponen vektor bilangan kompleks maka ruang vektornya C n. Anny2011 4

5 Pendahuluan Ruang vektor R 2 direpresentasikan dengan bidang xy. Setiap vektor v pada R n memiliki n komponen Anny2011 5

6 Kombinasi Linier pada Ruang Vektor Jika v pada R 4 dengan komponen 1, 0, 0, 1 maka 2v adalah vektor pada R 4 dengan komponen 2, 0, 0, 2. Pada sebuah ruang vektor, terdapat 8 rule sbb: Anny2011 6

7 Ruang Vektor selain R n M : Ruang vektor semua matriks 2 x 2 F : Ruang vektor semua fungsi f (x) Z : Ruang vektor yang terdiri dari sebuah vektor nol (zero vector) P atau P n : Ruang vektor semua polinomial derajat n Anny2011 7

8 Sub-ruang (Subspace) Semua kombinasi linier menghasilkan vektor di sub-ruang yang sama. Setiap subspace mengandung zero vector Beberapa contoh subspace pada R3: L : garis yang melalui (0, 0, 0) P : bidang yang melalui (0, 0, 0) R 3 Z Anny2011 8

9 Contoh Apakah D subspace dari U? Anny2011 9

10 Ruang Kolom dari Matriks A Dinotasikan dengan C(A) Berisi semua kombinasi linier kolom-kolom matriks A SPL: Ax = b b adalah kombinasi linier kolom pada A b harus berada pada ruang kolom A, jika tidak berari tidak ada solusi dari SPL tsb Anny

11 Ruang Kolom dari Matriks A Misal A adalah matriks berukuran m x n Ada berapa komponen tiap kolom pada A? Berada pada ruang apa tiap kolom pada A? C(A) = semua kombinasi linier vektor (subspace) pada ruang R m. Anny

12 Contoh C(A) Anny

13 Contoh C(A) Anny

14 Bagian 2 NULLSPACE OF A: SOLUSI Ax = 0 Anny

15 Solusi Ax = 0 Salah satu solusi Ax = 0 adalah x = 0. Jika A invertible, tidak ada solusi selain x = 0. Jika A not-invertible, terdapat solusi selain x = 0. Setiap solusi x berada pada sub-ruang yang disebut nullspace of A. Notasi: N(A) Apa isi sub-ruang N(A)? Semua solusi dari Ax = 0 Anny

16 Contoh Anny

17 Contoh Anny

18 Contoh Anny

19 Some Comments Special solutions are much easier to find from the reduced system Rx = 0. For many matrices, the only solution to Ax = 0 is x = 0. The nullspace contains only the zero vector: N(A) = Z. This says that the columns of A are independent. No combination of columns gives the zero vector (except the zero combination). All columns have pivots, no columns are free. Anny

20 Eliminasi untuk mencari solusi Ax = 0 A adalah matriks persegi empat (tidak harus persegi) berukuran m x n Terdapat m persamaan Dengan n variabel yang tidak diketahui b = 0 Dua langkah untuk mencari Ax = 0: Eliminasi untuk mengubah A menjadi U Substitusi menggunakan Ux = 0 atau Rx = 0 menghasilkan solusi yang dicari Jika ditemukan kondisi kolom pada A tidak mempunyai pivot, lanjutkan ke kolom berikutnya Misal: Carilah U dari matriks A berikut: Anny

21 Eliminasi untuk mencari solusi Ax = 0 Vektor (-1, 1, 0, 0) dan (-1, 0, -1, 1) adalah special solutions Semua solusi (N(A)) adalah kombinasi linier kedua special solutions tsb Anny

22 Contoh Tentukan nullspace dari U berikut: Jika matriks U dieliminasi lebih lanjut (nilai diatas pivot diset 0 kemudian setiap baris dibagi dengan pivotnya), akan dihasilkan R: Anny

23 Matriks Echelon Eliminasi mengubah A menjadi U Matriks U adalah matriks echelon Ruang kolom matriks U: R 4 C(U) terdiri semua vektor (b 1, b 2, b 3, 0) Nullspace of U: subspace of R 7 Solusi untuk Ux = 0 adalah semua kombinasi linier 4 solusi spesial (karena ada 4 free variables) Kolom 3, 4, 5, 7 tidak mempunyai pivot. Jadi free variables-nya adalah x 3, x 4, x 5, x 7 Set satu free variable menjadi 1, set free variable yang lain menjadi 0 Cari solusi Ux = 0 untuk pivot variables x 1, x 2, x 6 Hasilnya adalah satu solusi spesial dari 4 solusi spesial dalam matriks nullspace N Anny

24 Matriks Echelon Misal matriks A memiliki lebih banyak kolom dari baris: n > m Ada berapa free variables? Minimal ada satu free variable Sistem Ax = 0 minimal memiliki satu solusi spesial Kesimpulan: jika Ax = 0 memiliki lebih banyak variabel yang tidak diketahui daripada persamaan (n > m), maka diperoleh solusi bukan nol (pasti ada kolom yang tidak mempunyai pivot) Bahkan solusi bukan nol tsb sebenarnya tak terhingga Nullspace adalah subspace Dimensi ruang nullspace ditentukan dari jumlah free variable Anny

25 Matriks RRE (reduced row echelon) R Matriks U jika semua baris dibagi dengan pivotnya kemudian dilakukan upward elimination akan dihasilkan matriks R, misal: Jika A invertible, matriks R-nya = I, N(A) = Z. Anny

26 Bagian 3 RANK DAN ROW-REDUCED- FORM Anny

27 Definisi rank Rank sebuah matriks A adalah jumlah pivot r Rank memberikan ukuran sebuah SPL (bukan ukuran matriks A) Sebuah matriks A: Menggunakan definisi rank diatas, berapa rank dari A (dan juga U)? Anny

28 Rank Satu Matriks dengan nilai rank = 1 artinya hanya memiliki satu pivot. Setiap baris adalah perkalian baris pivot Setiap kolom adalah perkalian kolom pivot Contoh: Anny

29 Ruang Kolom Matriks Rank 1 Pada matriks dengan rank 1, semua kolom berada pada sebuah garis yang melalui u = (1, 2, 3) Kolom pada matriks A: u, 3u, 10u Jika v T = [1 3 10], maka bentuk matriks rank 1 menjadi: A = uv T Nullspace (bidang) tegak lurus dengan row space (garis) Anny

30 Definisi Rank Jika rank matriks A, U, dan R adalah r, maka: A, U, dan R memiliki r baris pivot (r baris yang independen) A, U, dan R memiliki r kolom pivot (r kolom yang independen) r adalah dimensi ruang kolom matriks A, U, dan R r adalah dimensi ruang baris matriks A, U, dan R Anny

31 Kolom Pivot Kolom pivot matriks R bernilai 1 pada pivot dan bernilai 0 pada elemen selain pivot. Kolom pivot matriks diatas: (1, 3) Anny

32 Solusi Spesial Anny

33 Solusi Spesial Anny

34 Solusi Spesial Anny

35 Solusi Spesial Anny

36 Latihan Pertemuan 4 Chapter 3.1 Problem 12, 19 Chapter 3.2 Problem 1, 2, 3, 4 Chapter 3.3 Problem 1, 2, 8, 10 Anny