Tinjauan Ulang Konsep Mekanika Klasik

Modul 1 Tnauan Ulang Konsep Meana Klas Paen Pandangan, S.S., M.S. P PENDAHULUAN ada Buu Mater Poo (BMP) Meana, Anda sudah mempelaar tentang neta dan dnama suatu sstem ba melalu huum-huum Newton, Lagrange, Hamlton, maupun dengan cara pendeatan Posson Bracet, yang esemuanya tu membahas peranga suatu obe secara las. Pada huum Newton, persamaan gera suatu benda bersfat determnst yang berart bahwa masa depan suatu benda dapat dtentuan apabla poss awal benda tersebut detahu. Sedangan pada formulas fsa uantum tda mungn dapat menentuan masa depan suatu benda dengan mengetahu eadaan awalnya, namun yang dapat ta tentuan hanyalah suatu peluang. D snlah peranan persamaan Lagrange, Hamlton, dan persamaan Posson Bracet yang dapat menembatan antara meana las dan meana uantum. Pada Modul 1 dan Modul nant aan dperlhatan bagamana etga persamaan tersebut bsa langsung dgunaan eta ta menggarap fsa uantumm. Pada sstem benda yang sederhana, ta dapat menggunaan huum Newton untu menyelesaan persoalan gera suatu benda, tetap a ta dhadapan pada sstem yang omples (sstem benda banya), maa rasanya ta aan sangat esultan a hanya mengandalan huum-huum Newton. Namun deman, untu memecahan persoalan dnama suatu benda dengan sstem omples dapat dgunaan dengan menggunaan persamaan Lagrange, Hamlton, dan Posson Bracet yang sealgus merupaan embatan dalam mempelaar fsa uantum. Meana Lagrange buanlah suatu teor baru, tetap merupaan perluasan dar Meana Newton, sehngga merupaan suatu metode yang dapat dgunaan untu menentuan persamaan gera dar berbaga macam

1. Pengantar Fsa Kuantum sstem dnam yang ada. Deman uga persamaan Hamlton, dan persamaan Posson Bracet. Pada modul n aan dbag e dalam dua egatan belaar, Kegatan Belaar 1 aan membahas tentang Energ total suatu sstem yang melput oordnat umum, ecepatan umum, momentum umum, gaya umum, energ total sstem, fungs Lagrange dan persamaan Lagrange. Sedangan pada Kegatan Belaar aan dbahas tentang persamaan Hamlton, dan persamaan Posson Bracet. Secara umum tuuan pembelaaran modul n adalah mahasswa dapat melauan tnauan ulang terhadap teor yang terdapat dalam Meana Klas. Secara lebh husus lag tuuan pembelaaran modul n adalah Anda dapat: 1. menelasan oordnat umum,. menelasan ecepatan umum, 3. menelasan momentum umum, 4. menerapan energ total suatu sstem, 5. menerapan gaya umum, 6. menelasan fungs Lagrange, 7. menerapan persamaan Lagrange pada persoalan fsa, 8. menelasan fungs Hamlton, 9. menerapan persamaan Hamlton dalam persoalan fsa, serta 10. menerapan persamaan Posson Bracet dalam persoalan fsa. Agar Anda dapat berhasl dalam mempelaar modul n, maa berusahalah secara sungguh-sungguh untu mempelaar teor-teornya, berlath mengeraan soal-soal ba yang tertera dalam lathan maupun soalsoal yang terdapat pada buu daftar pustaa. D sampng tu, uga Anda wab mengeraan semua soal-soal yang terdapat pada tes formatf. Selamat belaar, semoga Anda berhasl!

PEFI4314/MODUL 1 1.3 Kegatan Belaar 1 Energ Total Suatu Sstem Fsa A. KOORDINAT UMUM Anda telah mempelaar persamaan gera suatu sstem benda menurut perumusan huum Newton, yatu dengan menggunaan oordnat Kartesan. Koordnat n hanya dapat dgunaan dalam sstem benda yang sederhana, namun a ta aan membahas tentang sstem suatu benda yang dpengaruh oleh gaya sentral (gera planet msalnya), maa ta lebh coco menggunaan oordnat polar, sebab dengan menggunaan oordnat polar persamaan gera sstem suatu benda menad lebh sederhana. Sebenarnya untu merumusan gera suatu sstem benda ta dapat menggunaan oordnat apa saa, msalnya oordnat polar, slnder, maupun oordnat bola. Tentunya Anda sudah mempelaar bagamana mengubah oordnat dar satu sstem oordnat e sstem oordnat yang lannya melalu suatu transformas oordnat. Namun, Anda sudah seharusnya memaham pada saat apan menggunaan sstem oordnat yang ada. Msalnya dalam masalah nteras dua benda, ta dapat menggant oordnat vetor poss r 1, r dar partel 1 dan dengan oordnat R dar pusat massa, dan oordnat vetor poss relatf r dar edua partel tersebut. Penggantan n dmasudan agar gaya nteras edua partel salng bergantung dar poss relatf antara edua partel. Alasan lannya adalah dalam banya hal ta memang lebh tertar untu menyataan gera relatf antara edua partel sepert halnya gera planet. Dalam masalah sstem banya partel, lebh sesua menggunaan oordnat pusat massa arena gera pusat massa dapat dnyataan dengan persamaan yang lebh sederhana. Sstem-sstem oordnat sepert tersebut d atas, termasu sstem oordnat Kartesan, dmasuan e dalam satu sstem oordnat dengan nama Koordnat Umum. Koordnat umum dapat berupa sudut, panang, atau hubungan antara eduanya. Kta tda perlu membayangan bahwa oordnat umum merupaan suatu perangat sumbu-sumbu yang salng tega lurus dan membentu suatu vetor sepert oordnat Kartesan. Satu perangat oordnat umum adalah setap perangat oordnat umum yang dapat menyataan poss setap saat partel penyusun sstem. Oleh arena tu,

1.4 Pengantar Fsa Kuantum sangat perlu adanya suatu metode umum untu memperoleh suatu persamaan gera langsung dalam bentu oordnat umum yang sesua. Metode yang deman pertama al demuaan oleh Lagrange. Dalam asus-asus yang telah dsebutan d atas, umlah oordnat semua partel penyusun sstem dalam sstem oordnat baru sama sepert dalam sstem oordnat Kartesan. Sepert msalnya dua oordnat x, y untu partel bergera pada bdang datar dgant dengan dua oordnat polar r,. Tga oordnat ruang x, y, z, dgant dengan oordnat slnder atau oordnat bola. Mungn oordnat x 1, y 1, z 1, x, y, z, untu sepasang partel dgant dengan tga oordnat pusat massa X, Y, Z dan tga oordnat x, y, z, dar partel satu relatf terhadap yang lan. Mungn uga menggant tga oordnat satu partel relatf terhadap oordnat dam, dengan tga oordnat relatf terhadap oordnat bergera. Tetap tdalah selalu umlah oordnat dalam sstem oordnat baru sama dengan umlah oordnat dalam sstem oordnat Kartesan. Msalnya benda tegar yang berotas terhadap sumbu tertentu. Poss benda dapat dnyataan dengan satu oordnat sudut. Jad dalam hal n oordnat sebanya tga al umlah partel penyusun benda tegar dapat dgant dengan satu oordnat saa. Benda tegar yang merupaan sstem banya partel, untu menyataan onfgurasnya cuup dengan 6 (enam) oordnat. Tga oordnat untu menyataan poss pusat massa dan tga lannya untu menyataan orentas atau rotasnya. Hal n terad arena benda tegar adalah sebuah contoh sstem banya partel yang mengalam endala. Dalam perumusan dnama Newton, endala dberan sebaga masuan tambahan, msalnya pada benda tegar endalanya adalah ara dan orentas masng-masng elemen adalah tetap. Dalam sstem dnama benda, terdapat ens endala, yatu endala holonom dan endala nonholonom. Persamaan endala pada holonom dapat dgunaan untu mengelmnas varabel bebas, sedangan pada endala nonholonom tda bsa dpergunaan untu mengelmnas varabel bebas msalnya asus elereng yang menggelndng d permuaan bola. Contoh Untu menyataan poss 1 partel d dalam ruang, dperluan 3 buah oordnat Kartesan x, y, z. Untu dua partel dperluan 6 oordnat yatu x 1, y 1, z 1, untu partel yang pertama dan x, y, z untu partel yang edua.

PEFI4314/MODUL 1 1.5 Koordnat umum lazmnya dber smbol q dengan ndes anga. Ja terdapat N buah partel yang meml buah persamaan endala, maa dperluan n = 3N- oordnat untu menyataan poss dan orentasnya. Karena dalam onfguras suatu sstem oordnat umum harus mempunya satu set harga yang past, maa oordnat q 1, q, q 3, q 4, q n merupaan fungs dar oordnat Kartesan, yang memungnan uga sebaga fungs dar watu t a berada dalam eadaan sstem oordnat bergera, dan dnyataan dengan persamaan sebaga berut. q 1 = q 1 ( x 1, y 1, z 1 ; x, y, z ;, x N, y N, z N ; t ) q = q ( x 1, y 1, z 1 ; x, y, z ;, x N, y N, z N ; t ) q n = q n ( x 1, y 1, z 1 ; x, y, z ;,x N, y N, z N ; t ) 1.1a Secara umum dapat dtulsan sebaga q = q ( x, y, z ; t ) 1.1b dengan = 1,, 3 n dan = 1, N Sebalnya terdapat hubungan tmbal bal yang menyataan oordnat Kartesan sebaga fungs dar oordnat umum, yatu dengan transformas sebaga berut. x 1 = x 1 ( q 1, q, q 3,q n ; t ) y 1 = y 1 ( q 1, q, q 3,q n ; t ) z 1 = z 1 ( q 1, q, q 3,q n ; t ) x N = x N ( q 1, q, q 3,q n ; t ) y N = y N ( q 1, q, q 3,q n ; t ) z N = z N ( q 1, q, q 3,q n ; t ) 1.a Atau secara umum dapat dnyataan sebaga x = x ( q ; t ) y = y ( q ; t ) dan z = z ( q ; t ), dengan = 1,,,N dan = 1,,n ( n= 3N ). 1.b Contoh Sebuah partel bergera dalam bdang datar xy. Tentuanlah oordnat umum yang sesua dengan eadaan partel tersebut!

1.6 Pengantar Fsa Kuantum Penyelesaan Koordnat Kartesan pada partel tersebut adalah x 1 = x dan y 1 = y. Sebaga oordnat umum dplh oordnat polar sehngga q 1 = r, q =. Maa menurut persamaan (1.1b) dperoleh: q 1 = q 1 ( x 1, y 1 ) adalah r x y dan y q = q ( x 1, y 1 ) adalah arctg. x Sebalnya x 1 = x 1 ( q 1, q ) adalah x = r cos, dan y 1 = y 1 ( q 1, q ) adalah y = r sn. B. KECEPATAN UMUM Ja oordnat suatu sstem N partel dnyataan dengan oordnat dqn umum q 1, q, q 3,q n, maa q untu sembarang oordnat q dt dsebut ecepatan umum yang beratan dengan oordnat tersebut. Msalnya ecepatan umum yang beratan dengan oordnat Kartesan x adalah dx x, ecepatan umum yang beratan dengan oordnat sudut adalah dt d, dan lan sebaganya. Kecepatan umum dapat dnyataan dalam dt oordnat Kartesan dan ecepatan, deman pula sebalnya. Kecepatan dalam oordnat Kartesan dapat dnyataan dalam oordnat umum dengan alan mendferensas persamaan (1.b) terhadap watu, dan haslnya adalah 3N x x x q 1.3 q t 1 dengan cara yang sama dperoleh ecepatan untu omponen y dan z sebaga y y y, dan 1.4 3N q 1 q t z z z 1.5 3N q 1 q t

PEFI4314/MODUL 1 1.7 secara umum ecepatan suatu sstem benda dapat dtulsan sebaga r r r 1.6 3N q 1 q t Contoh Tentuanlah ecepatan sebuah partel yang berada pada bdang xy yang memenuh persamaan x = r cos ( + o t ) dan y = r sn ( + o t )! Penyelesaan Kecepatan partel tersebut masng-masng dalam arah sumbu x dan y adalah: x r cos( 0t) r sn( 0t) r0 sn( 0t), dan y r sn( t) r cos( t) r cos( t). 0 0 0 0 C. ENERGI KINETIK UMUM DAN MOMENTUM UMUM Energ net untu sstem yang terdr dar N partel, dalam oordnat Kartesan dapat dnyataan sebaga 1 N 1 T m x y z, atau N 1 T mr 1.7 1 dengan r x y z, yatu harga ecepatan yang beratan dengan poss r. Besarnya energ net dalam oordnat umum dapat dperoleh apabla persamaan (1.6) ta substtusan e dalam persamaan (1.7), dan haslnya adalah: N N n 1 1 r r T mr m q 1 1 1 q t N n n 1 r r r r r r m q q l q 1, l q q l q t t t n n 1 T M lq q l M q M 0 1.8, l

1.8 Pengantar Fsa Kuantum d mana r r, N M l m 1 q q l 1 r r. N M 0 m 1 t t r N M m 1 q t r, dan Jad secara umum energ net dnyataan sebaga T T T1 T0 1.9 Terlhat dar persamaan (1.9) bahwa T uadrat terhadap ecepatan umum, T 1 lnear terhadap ecepatan umum, dan T 0 tda bergantung pada ecepatan umum. Koefsen M 0, M dan M l adalah fungs dar oordnat umum q 1, q,,q n dan t. Ja M l = 0, ecual = l, maa dataan oordnat umum bersfat ortogonal. Koefsen M 0 dan M sama dengan nol a unsur watu t tda secara esplst terdapat dalam transformas q = q ( r ; t ). Dengan ata lan a sstem oordnat umum tda tergantung watu, maa untu oordnat yang tetap, hanya oefsen M l saa yang tda nol, sehngga T merupaan fungs dar uadrat ecepatan umum. Contoh Htunglah energ net sebuah partel bermassa m yang berada pada bdang datar! Penyelesaan Kasus partel bermassa m yang berada pada bdang datar dalam oordnat polar, persamaannya adalah: x r cos, x r cos r sn y r sn, y r sn r cos Jad besarnya energ net sebuah benda bermassa m yang berada pada bdang datar adalah: N 1 1 1 T m r m x y m r r 1

PEFI4314/MODUL 1 1.9 Tampa d dalam T tda terdapat bagan lnear dalam q dan tda terdapat bentu slang q q (dalam hal n r), arena oordnat polar adalah oordnat ortogonal. D dalam oordnat Kartesan telah detahu bahwa omponen momentum lnear e arah sumbu x, y dan z dapat dturunan melalu dferensas persamaan (1.7) terhadap poss yang secara berturut-turut adalah: T T T px mx, py my, pz mz 1.10 x y z Dalam hal mana asus sebuah partel yang bergera pada bdang datar, dengan menggunaan oordnat polar, maa energ netnya adalah 1 T mr r 1.11 Besarnya omponen momentum lnear pada arah r dan secara berturut-turut dapat drumusan sebaga T pr r mr, dan p T mr 1.1 Hal yang sama aan ta dperoleh pada gera tga dmens dengan menggunaan oordnat bola maupun dengan menggunaan oordnat slnder. Dengan deman ta dapat menunuan bahwa untu setap oordnat q yang menunuan pergeseran lnear setap partel pada arah tertentu, momentum lnear partel pada arah tersebut adalah T / q. Deman pula untu oordnat q yang menunuan pergeseran sudut partel atau elompo partel yang berotas terhadap sumbu tertentu, momentum sudut terhadap sumbu tersebut adalah uga T / q. Oleh arena tu, momentum umum yang berhubungan dengan oordnat umum q dapat dtulsan sebaga T p 1.13 q

1.10 Pengantar Fsa Kuantum dar persamaan (1.13) terlhat bahwa a q adalah poss (ara), maa p merupaan momentum lnear, sedangan a q adalah smpangan sudut, maa p merupaan momentum sudut. D. GAYA UMUM Msalan suatu sstem terdr dar N partel, mempunya n = 3N deraat ebebasan dan oordnat umumnya q 1, q, q 3, q n. Perubahan ecl onfguras sstem dar (q 1, q,, q n ) e onfguras baru (q 1 + q 1, q + q, q n + q n ), maa perubahan tersebut d dalam oordnat Kartesan aan bergera dar poss (x 1, y 1, z 1 ; x, y, z,, x N, y N, z N ) e poss (x 1 + x 1, y 1 + y 1, z 1 + z 1, x N + x N, y N + y N, z N + z N ). Atau secara sngat, untu partel e- berubah dar poss (x, y, z ) e poss (x + x, y + y, z + z ), d mana perubahan ecl masng-masng x, y, dan z dapat dtulsan sebaga x x 3N q, 1 q y y 3N q, 1 q z z 3N q 1.14 1 q Contoh Tentuanlah matrs x dan y sebuah partel yang bergera dalam bdang datar! Penyelesaan Dengan menggunaan oordnat polar, maa ta dapat menentuan bahwa q 1 = r dan q =. Untu satu partel x1 x r cos dan y1 y r sn, maa dengan menggunaan persamaan (1.14) dperoleh: x x x x x q q r cos r r sn, dan q q r 1 1 1 1 y y y y y q q r sn r r cos q q r 1 1 1 1 atau dalam bentu matrs transformas pergeseran, dnyataan sebaga x dan y dapat

PEFI4314/MODUL 1 1.11 x cos r sn r y sn r cos Ja suatu sstem terdr dar N partel, d mana masng-masng partel berada pada poss x 1, y 1, z 1,, x N, y N, z N padanya beera gaya gaya sebesar F 1x, F 1y, F 1z,, F Nx, F Ny, F Nz, dan mengalam pergeseran x + x, y + y, z + z,, x N + x N, y N + y N, z N + z N, maa usaha yang dlauan gaya tersebut adalah : N x y z 1.15 1 W F x F y F z apabla persamaan (1.14) ta substtusan e dalam persamaan (1.15), maa dperoleh d mana 3N W Q q 1.16 1 N x y z Q Fx Fy Fz 1 q q q 1.17 Q dsebut dengan gaya umum yang merupaan fungs dar oordnat umum q dan mungn uga merupaan fungs dar watu t. Karena W berdmens usaha, maa a q berdmens ara, berart Q aan berdmens gaya. Ja q berdmens sudut, maa Q aan berdmens momen gaya. Apabla gaya yang beera pada suatu sstem bersfat onservatf, maa hubungan antara usaha yang dlauan gaya dan perubahan energ potensal adalah W V. Untu sstem yang terdr dar N partel dalam oordnat Kartesan dperoleh hubungan, N V V V W x y z 1 x y z 1.18 perhatanlah bahwa persamaan (1.18) a dnyataan dalam oordnat umum, maa dapat dtulsan sebaga

1.1 Pengantar Fsa Kuantum W V 3N q 1.19 1 q cobalah bandngan persamaan (1.19) dengan persamaan (1.16), dengan deman ta dapat merumusan bahwa gaya umum uga memenuh persamaan V Q 1.0 q E. PERSAMAAN LAGRANGE S Tentunya Anda telah mempelaar persamaan Lagrange s berut cara penurunannya dar mata ulah Meana, namun untu seedar mengngatan d sn aan dbahas embal mengena hal tersebut. Persamaan dnama menurut huum Newton dapat dtulsan sebaga dp F dt 1.1 Sedangan untu sstem yang onservatf berlau formulas F V 1. persamaan (1.) meml pengertan bahwa V V V Fx, Fy, Fz 1.3 x y z Namun d pha lan ta telah mengetahu bahwa besarnya energ net 1 suatu benda memenuh persamaan T mv. Ja Energ net n ta dfrensas terhadap poss, maa haslnya adalah nol. T T T 0, 0, 0 1.4 x y z

PEFI4314/MODUL 1 1.13 Dengan deman persamaan (1.3) dapat uga ta tulsan dalam bentu V T Fx, F x y V T, Fz y V T z atau F q V T q 1.5 dengan cara yang sama pula (tanpa merubah harganya), maa persamaan (1.13) dapat uga dtulsan dalam bentu p T V q 1.6 Substtus persamaan (1.6) dan (1.5) e dalam persamaan (1.1) aan memberan ( T V ) d T V q dt q 1.7 d mana L T V, yang denal sebaga fungs Lagrange s, dengan deman persamaan (1.7) dapat dtulsan dalam bentu L d L 0 q dt q 1.8 Persamaan (1.8) denal sebaga persamaan Lagrange s untu sstem onservatf. Dar uraan tersebut elaslah bahwa persamaan Lagrange dapat dturunan dar persamaan gera Newton. Keduanya merupaan cara yang berbeda tetap evalen dalam menyataan huum-huum tentang gera yang sama. Suatu persamaan gera yang dperoleh dengan persamaan Lagrange dapat pula dcar dengan huum-huum Newton tentang gera. Tetap untu sstem yang sfatnya lebh omples, basanya lebh mudah mencar energ net dan energ potensalnya bla dnyataan dalam oordnat umum, emudan menggunaan persamaan Lagrange s. Untu sstem yang mengalam endala (constrant) tertentu, maa cara Lagrange s aan lebh

1.14 Pengantar Fsa Kuantum mudah dgunaan. Dar cara penurunan persamaan Lagrange s, elaslah bahwa persamaan tersebut meml bentu yang sama dalam setap sstem oordnat umum. Fungs Lagrange L mempunya harga yang sama untu setap perangat poss dan ecepatan tertentu tanpa perlu memperhatan sstem oordnat yang dgunaan, tetap bentu fungs Lagrange mungn aan berbeda d dalam sstem oordnat yang berbeda. Persamaan Lagrange merupaan cara yang seragam dalam menyataan persamaan gera suatu sstem, ta tergantung dar ens sstem oordnat yang dgunaan. Persamaan Lagrange merupaan tt awal perembangan dalam perumusan meana, sealgus merupaan embatan dalam mempelaar Fsa Kuantum. Contoh Sebuah bandul matemats mengalam ayunan sederhana (lhat gambar). Apabla sudut danggap cuup ecl, potensal berharga 0 d x = 0, dan y = 0 (sebaga tt acuan), serta = 0 pada sumbu (-y), maa tentuanlah: a. energ net sstem, b. energ potensal sstem, c. fungs Lagrange s, d. persamaan geranya (persamaan Lagrange). Penyelesaan a. energ net sstem adalah 1 1 T m x y m r r b. energ potensal sstem adalah V mgy mgr cos c. fungs Lagrange s 1 L T V mr r mgr cos d. persamaan gera d L L 0, haslnya adalah: mr mr mg cos 0, dan dt r r

PEFI4314/MODUL 1 1.15 d L L 0, d dt mr mgr sn 0 dt untu yang ecl, sn, sehngga persamaan geranya pada eadaan r yang onstan adalah g 0, d mana r Untu mencar persamaan gera suatu sstem dengan menggunaan persamaan Lagrange s, maa langah-langah yang perlu dlauan adalah: a. memlh oordnat yang coco untu menyataan onfguras sstem. b. menentuan energ net T dnyataan dalam oordnat atau ecepatan umum. c. mencar energ potensal V sebaga fungs oordnat umum apabla sstem dalam eadaan onservatf, dan a sstem tda onservatf carlah gaya umum Q. d. gunaan persamaan Lagrange yang sesua untu mencar persamaan gera sstem. LATIHAN Untu memperdalam pemahaman Anda mengena mater d atas, eraanlah lathan berut! 1) Tentuanlah oordnat umum sebuah partel yang berada pada bdang datar dua dmens xy, apabla oordnat umum yang dplh berupa oordnat polar yang berotas dengan ecepatan sudut o berlawanan dengan arah arum am (lhat gambar)! Koordnas polar dam Koordnat polar berotas

1.16 Pengantar Fsa Kuantum ) Htunglah besarnya energ net sebuah partel yang berada pada bdang datar bla terdapat unsur t secara esplst dalam transformas q = q ( r, t ), msalnya oordnat polar berotas dengan ecepatan sudut o! 3) Ja besarnya energ net sebuah partel dalam oordnat umum dnyataan sebaga n n 1 T M lq q l M q M 0, maa tentuanlah momentum umum, l partel tersebut! 4) Tentuanlah omponen gaya umum pada suatu partel yang bergera pada bdang datar! 5) Sebuah benda bermassa m bergetar selaras sederhana pada arah sumbu x. Tentu-anlah persamaan gera benda tersebut dengan penggunaan persamaan Lagrange s! Petunu Jawaban Lathan 1) Plh x 1 = x 1 ( q 1, q ; t ) adalah x = r cos ( + o t ), dan y 1 = y 1 ( q 1, q ; t ) adalah y = r sn ( + o t ). Deman uga sebalnya q 1 = q 1 ( x 1, y 1 ; t ) adalah r x y dan y q = q ( x 1, y 1 ; t ) adalah arc tg( ) 0 t. x ) Gunaan persamaan x = r cos ( + o t ), dan y = r sn ( + o t ), dan haslnya adalah: 1 1 1 T m x y mr r mr 0 mr 0 T T1 T0 Jad tampa d dalam T terdapat bagan yang merupaan fungs lnear dar q yatu, dan bagan yang tda tergantung dar q ( atau r), yan ½ m r o. n T 3) Gunaan persamaan p, dan haslnya adalah p Al ql B q. l 1

PEFI4314/MODUL 1 1.17 4) Dalam oordnat Kartesan, omponen gaya yang beera pada partel adalah F F ˆ F ˆ, sedangan d dalam oordnat polar x y F F eˆ F eˆ. Dengan menggunaan persamaan (1.17) dperoleh r r x y Qr Fx Fy Fx cos Fy sn Fr (gaya pada arah r) r r x y Q Fx Fy r Fx sn r Fy cos r F (momen gaya atau tora) L d L 5) Gunaan persamaan Lagrange s 0 x dt x 1 1 d mana L adalah fungs Lagrange s L T V mx x, dan haslnya adalah x x o, d mana. m RANGKUMAN 1. Satu perangat oordnat umum adalah setap perangat oordnat yang dapat menyataan poss setap partel penyusun suatu sstem. Koordnat umum dapat berupa oordnat artesan, oordnat polar, oordnat slnder, oordnat bola atau oordnat yang bergera. Koordnat umum dapat berupa sudut, panang atau hubungan antara eduanya, dan dber smbol q 1, q, q 3, q n. Msalnya untu gera lurus pada sumbu x, oordnat umumnya q1 x. Partel bergera pada bdang datar, dengan menggunaan oordnat polar r,, maa q1 r dan q.. Secara umum ecepatan suatu sstem benda dapat dtulsan sebaga 3N r r r q q t 1 3. Energ net suatu sstem dapat drumusan sebaga T = T + T 1 + T 0. a. T 0 adalah bagan yang ta bergantung pada ecepatan umum ( q ) yatu

1.18 Pengantar Fsa Kuantum 1 r r N T0 m 1 t t b. T 1 bagan yang bergantung secara lnear dengan q n 1 T M q dan c. T tergantung dar uadrat ecepatan umum ( q ) n 1 T M lq l q, l D dalam sstem oordnat umum yang dam T 0 dan T 1 sama dengan nol dan hanya T yang tda nol, sehngga T merupaan fungs uadrat ecepatan umum. 4. Momentum umum yang berhubungan dengan oordnat umum q dapat dtulsan sebaga T p q 5. Gaya umum dapat drumusan sebaga N x y z Q Fx Fy Fz 1 q q q Satuan Q mungn gaya, atau mungn tora, tergantung satuan dar pergeseran ecl x panang atau sudut. 6. Fungs Lagrange L = T V dengan T adalah energ net dan V energ potensal dnyataan dalam oordnat umum. Fungs Lagrange L adalah fungs dar q, q dan mungn uga merupaan fungs esplst dar watu t. 7. Secara umum persamaan Lagrange dapat dtulsan sebaga L d L 0, sstem onservatf q dt q Q, Q adalah omponen gaya non onservatf

PEFI4314/MODUL 1 1.19 1) Sebuah partel bergera dalam ruang 3 dmens. Tentuanlah oordnat umum yang sesua dengan eadaan partel tersebut, a yang dplh adalah sstem oordnat bola 1 x 1 y A. r = x y z, cos, tan r x y B. r = C. r = D. r = TES FORMATIF 1 Plhlah satu awaban yang palng tepat! x 1 z x y z,, sn r x z 1 z 1 x x y z, cos, cos r x y y x x y z,, x r ) Tentuanlah formulas ecepatan untu sstem banya partel! 3N rn vn A. vn q 1 q t 3N rn r B. vn q 1 q t 3N rn rn C. vn q 1 q q 3N rn r D. vn q q q 1 3) Sebuah caram bermassa m dengan ar-ar r menggelndng d atas bdang mrng (lhat gambar). Htunglah energ net caram yang menggelndng tanpa selp. 1 1 A. m x m r 1 1 B. m x m r 1 1 C. m x m r

1.0 Pengantar Fsa Kuantum D. 1 m x m r 4) Tentuanlah fungs Lagrange caram pada gambar soal nomor 3 apabla caram bergera sepanang l. 1 A. L = ( )sn m x r g x 1 B. L = ( )sn m x r g x 1 C. L = ( )sn m x r g x 1 D. L = ( )sn m x r g x 5) Htunglah besarnya momentum dua buah partel (masng-masng massanya m 1 dan m ) pada arah X dan z, apabla energ netnya dalam oordnat X, Y, Z, dan x, y, serta z adalah 1 m m T ( m1 m ) X Y Z x y z m1 m m1m A. px ( m1 m) x, pz ( ) z m m B. X 1 C. D. 1 1 p ( m m ) X m, 1m pz ( ) z m m p p X X m m m m 1 ( ) 1 m m m m 1 ( ) 1 1 x, pz ( m1 m) Z X, pz ( m1 m) Z 6) Htunglah momentum umum suatu benda bermassa M yang berada dalam sstem gaya sentral yang meml ecepatan v = r + (r θ) A. B. C. pr mr, p m r p mr, p m r r 1 pr mr, p m r

PEFI4314/MODUL 1 1.1 D. 1 pr mr, p m r 7) Tentuanlah E dan E p sstem benda sepert pada gambar berut n. 1 1 m1 x1 x1 x x1 x, V m1 gx1 cos 1 1 m1 x 1 x 1 x x 1x, V m1 gx sn 1 1 m1 x 1 x 1 x x 1x, V mgx1 sn 1 1 m1 x 1 x 1 x x 1x, V m gx cos A. T = B. T = C. T = D. T = 8) Apabla besarnya sudut pada gambar soal nomor 7 adalah 45 o, tentuanlah persamaan gera benda tersebut! 1 1 A. x x1 g, x1 x 1 1 B. x x1 g, x1 x C. 1 1 x x 1, x1 ( x g) D. 1 1 x x 1, x1 ( x g) 9) Htunglah besarnya x 1 dan x pada gambar soal nomor 7 apabla m 1 = 0,1 g, m = 0, g dan g = 10 m/s. A. x = 0,4 m/s, x = 0,6 m/s B. 1 x = 0,6 m/s, x = 0,8 m/s 1

1. Pengantar Fsa Kuantum C. D. x = 0,5 m/s, x = 1, m/s 1 x = 0,8 m/s, x = 1,5 m/s 1 10) Htunglah besarnya m 1 agar m dapat bergera dengan percepatan 0,5 m/s (lhat gambar), massa tal sepanang l dan massa atrol dapat dabaan. A. 1,0 g B. 1, g C. 1,5 g D. 1,7 g Cocoanlah awaban Anda dengan Kunc Jawaban Tes Formatf 1 yang terdapat d bagan ahr modul n. Htunglah awaban yang benar. Kemudan, gunaan rumus berut untu mengetahu tngat penguasaan Anda terhadap mater Kegatan Belaar 1. Tngat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal Art tngat penguasaan: 90-100% = ba seal 80-89% = ba 70-79% = cuup < 70% = urang Apabla mencapa tngat penguasaan 80% atau lebh, Anda dapat menerusan dengan Kegatan Belaar. Bagus! Ja mash d bawah 80%, Anda harus mengulang mater Kegatan Belaar 1, terutama bagan yang belum duasa.

PEFI4314/MODUL 1 1.3 Kegatan Belaar Persamaan Hamlto dan Persamaan Posson Bracet A. PENURUNAN PERSAMAAN LAGRANGE DARI PRINSIP HAMILTON Berut n aan dsaan cara lan untu menurunan persamaan Lagrange, yatu dengan menggunaan prnsp varas Hamlton. Prnsp n menyataan bahwa gera suatu sstem dar saat t 1 sampa dengan saat t adalah sedeman hngga ntegral t I L dt 1.9 t1 d mana L T V adalah fungs Lagrange, yang berharga estrmum untu lntasan yang dlalu sstem d dalam ruang onfguras (lhat Gambar 1.1a). Gambar 1.1 Lntasan tt sstem dalam ruang onfguras Ruang onfguras adalah ruang euclead n-dmens d mana oordnatnya adalah oordnat umum q, dan setap tt dalam ruang merepresentasan suatu onfguras eadaan yang mungn. Jad dar emungnan-emungnan lntasan yang dlalu sstem, lntasan yang sebenarnya dlalu sstem dar poss pada saat t 1 sampa poss pada saat t adalah lntasan d mana ntegral I adalah bersfat estrmum, ba mnmum ataupun masmum. Dengan ata lan prnsp Hamlton

1.4 Pengantar Fsa Kuantum menyataan bahwa gera sstem dar t 1 dan t yang membuat as berut stasoner, sehngga dapat dtuls t 1 n 1 n t1 I L q,, q, q,, q ; t 0 1.30 Tt stasoner dar I dperoleh dengan memvarasan lntasan yang ta ambl. Lntasan yang menghaslan I yang onstan walaupun lntasannya dubah sedt, maa lntasan tersebut adalah merupaan lntasan yang dcar. Marlah ta car lntasan stasoner dar ntegral berut n (lhat Gambar 1.1b) x x1 J f y( x), y ( x), x dx, dy y 1.31 dx Nla pada tt uung adalah onstan sehngga, y( x1 ) y1, dan y( x ) y 1.3 untu bsa memvarasan lntasan, ta harus memasuan suatu parameter baru () yang aan dpaa sebaga varas, yatu y( x, ) y( x,0) ( x) 1.33 d mana ( x) adalah fungs gangguan ecl, dengan ( x1 ) ( x ) 0, sehngga persamaan (1.31) dapat dtulsan dalam parameter, yatu x x1 J ( ) f y( x, ), y ( x, ), x dx 1.34 Dengan adanya parameter, tt stasoner dar J ( ) dapat ta htung dengan menggunaan alulus basa dengan syarat x dj f y f y 0 d y y x1 dj ( ) 0 d 1.35

PEFI4314/MODUL 1 1.5 perhatan suu edua, dan lauan ntegras parsal aan dperoleh x x x f y f y y f dx y x y xy x1 x1 x1 0 dx 1.36 y msalan ( x), maa ( x1 ) ( x ) 0, sehngga persamaan (1.36) dapat dtulsan embal dalam x x f y f dx ( ) ( x) dx y x x y x1 x1 1.37 Bla persamaan (1.37) dsubsttusan e dalam persamaan (1.35), maa dperoleh x dj f f ( ) ( x) dx 0 d y x y x1 1.38 arena ( x) sembarang, maa persamaan (1.38) haruslah memenuh f f ( ) 0 y x y 1.39 Apabla ta lauan embal transformas varabel, x t, y q, f L, serta y q, maa persamaan (1.39) dapat dnyataan sebaga L L ( ) 0 q t q 1.40 yang tda lan adalah persamaan Lagrange yang sudah ta turunan pada pembahasan Kegatan Belaar 1.

1.6 Pengantar Fsa Kuantum B. FUNGSI HAMILTON DAN PERSAMAAN HAMILTON Ja pada persamaan Lagrange ta menemuan persamaan dferensal orde dua, namun dalam persamaan Hamlton n persamaan dferensal yang muncul adalah persamaan dferensal orde satu. Dar n buah syarat awal yang dperluan oleh persamaan Lagrange, ngn dbuat suatu sstem persamaan dferensal orde satu yang menggambaran dnama dar n varabel yatu q, yang memenuh persamaan p L, 1,,, n 1.41 q d mana q adalah oordnat umum, dan p merupaan momentum conugate dar oordnat umum. Jad yang ngn dlauan adalah perubahan transformas dar sstem L( q, q ; t) e H ( q, p ; t ) d mana sstem dapat drepresentasan dalam ruang fasa yang berdmens n (q,p) sedeman hngga berlau persamaan t L( q, q ; t) dt 0 1.4 t1 Lntasan dalam ruang onfguras yang berdmens n yang dambl dar sstem aan membuat varas pada persamaan (1.4) sama dengan nol. Tnau suatu fungs f ( x, y ) dengan dferensal totalnya adalah f f df dx dy udx vdy x y 1.43 Untu menggant fungs f ( x, y ) menad g( u, y ) dauan transformas Legendre dengan menulsan g f ux 1.44 Lauan dferesas total terhadap persamaan (1.44) emudan substtusan e dalam persamaan (1.43) haslnya adalah

PEFI4314/MODUL 1 1.7 dg df xdu udx udx vdy xdu udx xdx vdy 1.45 Anda tentu saa sudah mengetahu dar Meana bahwa fungs Hamlton ddefnsan sebaga n n L H ( q, p; t) q p L( q, q ; t) q L h( q, q ; t) 1.46 1 1 q Walaupun H ( q, p; t ) sepert fungs energ h( q, q ; t), namun eduanya meml ebergantungan yang berbeda terhadap varabel-varabelnya. Pada fungs energ h( q, q ; t) : q dperoleh dar q, sedangan fungs Hamlton H ( q, p; t ) : q dan p dperlauan salng bebas. Persamaan Hamlton, dapat ta turunan dengan cara melauan dferensas total terhadap persamaan (1.46) yatu n n H H H dq dp dt p dq q dp 1 q p t 1 1.47 n L L L dq dq dt 1 q q t Ja ta bandngan antara ruas r dan ruas anan pada persamaan (1.47), maa dperoleh persamaan: H q, p p H, q H t L t 1.48 Persamaan (1.48) d atas denal sebaga Persamaan Gera Hamlton, yang lebh sederhana bla dbandngan dengan persamaan Lagrange. C. PERSAMAAN POISSON BRACKET Hubungan posson Bracet antara dua buah besaran u( q, p ) dan v( q, p ) dapat ddefnsan sebaga berut.

1.8 Pengantar Fsa Kuantum u, v ( q, p ) 1 n u v u v q p p q 1.49 atau dalam notas smplet dtulsan sebaga u, v T u v J 1.50 J adalah matrs denttas yang berhubungan dengan matrs [, ]. Contoh Tentuanlah hubungan omutas dar [ q, q ], [ p, p ], dan [ q, p ]. Penyelesaan n q q q q q, q 0, 1 q p p q 0 0 n p p p p p, p 0 1 q p p q 0 0 n n q p q p q, p 1 q 1 p p q 0 0 bandnganlah hasl hubungan omutas dua buah besaran sepert d atas dengan cara meana uantum, yatu: [ x, p ] Sfat-sfat strutur alabar Posson Bracet dapat dtulsan sebaga berut. 1. [ u, v] [ v, u], [ u, u] 0 (ant omutatf)

PEFI4314/MODUL 1 1.9. [ au bv, w] a[ u, w] b[ v, w], a, b onstanta (bersfat lnear) 3. [ uv, w] u[ v, w] [ u, w] v (assosatf) 4. [ u,[ v, w]] [ v,[ w, u]] [ w,[ u, v]] 0 (Identtas Jacob) Persamaan Gera dalam Posson Bracet Msalan u u( q, p; t), maa du u u u q p 1.51 dt q p t substtusan persamaan (1.51) e dalam persamaan (1.48) dperoleh du u H u H u u [ u, H ] dt q p p q t t u Bla u buan merupaan fungs esplst dar watu t, maa 0 t persamaan (1.5) dapat dtulsan sebaga 1.5 sehngga du u, H dt atau u u, H 1.53 Contoh Tentuanlah persamaan gera sebuah partel bebas yang bermassa m dengan menggunaan formulas Posson Bracet! Penyelesaan Sebuah partel bebas meml energ potensal sama dengan nol, sehngga Hamltonan sstem sebuah partel bebas dapat drumusan sebaga p H m

1.30 Pengantar Fsa Kuantum Untu mencar persamaan gera partel tersebut ta gunaan persamaan (1.53), yatu p 1 p [ p, H] [ p, ] [ p, p] p 0, yang berart bahwa momentum m m 0 bersfat eal 1 p q [ q, H ] [ q, p] p c (onstan) m m 1 Jad p q( t) ct q0, d mana c (persamaan gera partel yang dcar). m LATIHAN Untu memperdalam pemahaman Anda mengena mater d atas, eraanlah lathan berut! 1) Htunglah ara terpende antara dua buah tt yang berada pada sebuah bdang datar (lhat gambar), apabla detahu ds dx dy! ) Kurva berut n yang membuat permuaannya y mnmum drumusan sebaga ds x 1 y dx. Carlah (x lntasan,y ) benda yang atuh d dalamnya sehngga watu yang dperluan sesngat mungn! (x 1,y 1 ) (x,y )

PEFI4314/MODUL 1 1.31 3) Tentuanlah persamaan gera sebuah oslator harmon satu dmens yang bermassa m dengan menggunaan formulas Posson Bracet! Petunu Jawaban Lathan 1) Gunaan persamaan (1.31). Jara suatu sstem yang bergera dar tt (1) e tt () adalah x x x x dy s f dx ds dx dy dx dx 1, atau x1 x1 x1 x1 dy f 1 1 y dx f y 0, dan f y y 1 y Jara terpende antara tt (1) dan () harus memenuh persamaan (1.39), yatu: f f y ( ) 0 atau 0 ( ) 0, terpenuh a dan hanya y x y x 1 y a suu yang ada dalam urung berharga suatu onstanta. y Jad, c, atau y c 1 y, atau y 1 c c, 1 y y c dy c y, atau y 1 c dx y dx 1 c x b Dengan deman lntasan terpende antara dua buah tt pada bdang datar adalah y ax b, a c (lntasan terpendenya berupa gars lurus). 1 c ) Luas total urva adalah f y xy 1 y xy. x x y dx, dengan x1 1 1. 0 f x y d Gunaan persamaan (1.39), dperoleh dx atau 1 y c y x c c xy 1 y f y, 0,

1.3 Pengantar Fsa Kuantum Solus umum dar persamaan dferensal d atas adalah dx x y c b c arch C atau cosh y x c C (lntasan x c c c mnmum) 3) Hamltonan pada oslator harmon dalam satu dmens adalah p 1 H x m 1 1 1 1,,,,, p x x H x p x x x p p x x x m m m Jad persamaan geranya adalah: p mx 0 x 1 0 1 1 p p, H p, p p, x x m, atau p x 0, p p dengan memasuan x, maa dperoleh persamaan p 0, m m yang dapat dtulsan dalam bentu p p 0, dengan penyelesaan: p Asn t B cost, d mana. m RANGKUMAN 1. Prnsp varas Hamlton dapat dnyataan sebaga t I L dt t1 d mana L T V adalah fungs Lagrange, yang berharga estrmum untu lntasan yang dlalu sstem d dalam ruang onfguras.. Ruang onfguras adalah ruang euclead n-dmens d mana oordnatnya adalah oordnat umum q, dan setap tt dalam ruang merepresentasan suatu onfguras eadaan yang mungn. Jad dar emungnan-emungnan lntasan yang dlalu sstem, lntasan yang sebenarnya dlalu sstem dar poss pada saat t 1 sampa poss pada saat t adalah lntasan d mana ntegral I adalah bersfat estrmum, ba mnmum ataupun masmum.

PEFI4314/MODUL 1 1.33 3. Fungs Hamlton ddefnsan sebaga n n L H ( q, p; t) q p L( q, q ; t) q L h( q, q ; t). q 1 1 Walaupun H ( q, p; t ) sepert fungs energ h( q, q ; t), namun eduanya meml ebergantungan yang berbeda terhadap varabelvarabelnya. Pada fungs energ h( q, q ; t) : q dperoleh dar q, sedangan fungs Hamlton H ( q, p; t ) : q dan p dperlauan salng bebas. 4. Persamaan Gera Hamlton dapat drumusan sebaga berut. H H H L q, p, p q t t. 5. Hubungan posson Bracet antara dua buah besaran u( q, p ) dan v( q, p ) dapat ddefnsan sebaga berut. n u v u v u, v ( q, p ) 1 q p p q. Dalam notas smplet dtulsan sebaga: T u v u, v J. J adalah matrs denttas yang berhubungan dengan matrs [, ]. 6. Sfat-sfat strutur alabar Posson Bracet dapat dtulsan sebaga berut. a. [ u, v] [ v, u], [ u, u] 0 (ant omutatf) b. [ au bv, w] a[ u, w] b[ v, w], a, b onstanta (bersfat lnear) c. [ uv, w] u[ v, w] [ u, w] v (assosatf) d. [ u,[ v, w]] [ v,[ w, u]] [ w,[ u, v]] 0 (Identtas Jacob) 7. Persamaan Gera dalam Posson Bracet dapat drumusan sebaga du u [u, H] + dt t atau u u [u, H] +. t

1.34 Pengantar Fsa Kuantum TES FORMATIF Plhlah satu awaban yang palng tepat! 1) Tentuanlah persamaan urva datar sedeman hngga suatu zarah yang oleh arena gaya beratnya saa aan turun sepanang urva dar A sampa e B dalam watu yang semnmal mungn (lhat gambar). A. y = B. y = C. y = D. y = x x a arcsn 1 bx, a dan b onstanta a a x 1 a arc cos 1 bx x, a dan b onstanta a x x a arc tan 1 bx, a dan b onstanta a a a sn 1 x bx ax, a dan b onstanta a ) Tentuanlah lntasan terpende sebuah benda yang bergera dalam bdang datar. A. y = ax + bx + c B. y = ax + c C. y = ax + cx D. y = ax + c 3) Salah satu euntungan menggunaan persamaan Hamlton adalah bahwa bentu persamaan dferensalnya merupaan persamaan... A. dferensal orde- B. dferensal orde-1

PEFI4314/MODUL 1 1.35 C. ntegral orde- D. ntegral parsal 4) Persamaan gera Hamlton dapat dnyataan sebaga... H H H L A. q, p, q p t t H H B. q, p, p q H H C. q, p, q p H H D. q, p, p q H t H t H t L t L t L t 5) Sebuah elereng menggelndng d atas bdang mrng (lhat gambar). Tentuanlah fungs Hamlton sstem apabla ar-ar, elereng adalah r. A. B. C. D. p 1 px 1 m mr mg( x) sn m mr p 1 px 1 m mr mg( x) sn m mr p 1 px 1 m mr mg( x) sn m mr p 1 px 1 m mr mg( x) sn m mr 6) Sebuah bandul dsmpangan seauh sudut ( < 10 o ) terhadap arah vertal. Tentuanlah persamaan Hamlton sstem apabla massa bandul m, dan panang talnya. mg A. p mg sn, p r mg cos

1.36 Pengantar Fsa Kuantum B. C. D. mg p mg cos, p r mg cos mg p mg sn, p r mg cos mg p mg sn, p r mg cos 7) Htunglah besarnya energ total sstem sebuah bandul matemats bermassa M, panang tal r yang dsmpangan seauh sudut. A. 1 Mr + Mr θ + Mr + r θ + Mgr cos θ B. 1 Mr Mr θ M r + r θ + Mgr sn θ C. 1 Mr + Mr θ Mr + r θ Mgr cos θ D. 1 Mr + Mr θ Mr + r θ Mgr sn θ 8) Tentuanlah hubungan omutas antara x dan momentum lnear dengan cara Posson Bracet! A. x B. x C. p D. p 9) Tentuanlah persamaan gera sebuah oslator harmon yang bermassa m! A. p x = t + x o m B. p x = t + x o m C. p x = t + xo m D. p x = t + xo m

PEFI4314/MODUL 1 1.37 10) Perbedaan antara fungs Hamlton H dan fungs energ h adalah... A. pada fungs energ q dperoleh dar q, sedangan fungs Hamlton q dperoleh dar q B. pada fungs energ q dperoleh dar q, sedangan fungs Hamlton q dan p salng ndependen C. pada fungs Hamlton q dperoleh dar q, sedangan fungs energ q dperoleh dar q D. pada fungs Hamlton q dperoleh dar q, sedangan fungs energ q dan p dperlauan salng bebas Cocoanlah awaban Anda dengan Kunc Jawaban Tes Formatf yang terdapat d bagan ahr modul n. Htunglah awaban yang benar. Kemudan, gunaan rumus berut untu mengetahu tngat penguasaan Anda terhadap mater Kegatan Belaar. Tngat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal Art tngat penguasaan: 90-100% = ba seal 80-89% = ba 70-79% = cuup < 70% = urang Apabla mencapa tngat penguasaan 80% atau lebh, Anda dapat menerusan dengan modul selanutnya. Bagus! Ja mash d bawah 80%, Anda harus mengulang mater Kegatan Belaar, terutama bagan yang belum duasa.

1.38 Pengantar Fsa Kuantum Kunc Jawaban Tes Formatf Tes Formatf 1 1) C. Gunaan oordnat bola x = r sn cos y = r sn cos z = r cos ) B. Gunaan persamaan (1.3) sampa dengan (1.6). 3) C. Gunaan persamaan (1.7). 4) D. Gunaan persamaan (1.7). 5) B. Gunaan persamaan (1.1). 6) B. Gunaan persamaan (1.13). 7) A. Gunaan persamaan v = x 1 v = x 1 - x 8) A. Gunaan persamaan (1.8) 9) C. Cuup elas. 10) D. Gunaan persamaan T = 1 ( ) 1 1 m m x Tes Formatf 1) A. Gunaan persamaan V = m 1 g x 1 m g ( - x 1 ) dt = ds v, ds = ' 1 y dx, v = gx ; f = 1 y gx d f f Lalu substtusan e dalam persamaan 0. dx y ' y ) D. Pada bdang datar ds = dx dy 1 y dx, f 1 y Kemudan substusan e dalam persamaan Euler-Lagrange. 3) B. Lhat penelasan pada Kegatan Belaar. 4) B. Lhat persamaan (1.48). 5) C. Gunaan persamaan (1.46). 6) A. Gunaan persamaan (1.48). 7) C. Gunaan persamaan energ total h = T + V, d mana x = r sn, y = - r cos '

PEFI4314/MODUL 1 1.39 8) A. Gunaan persamaan (1.49). 9) D. Gunaan persamaan (1.53). 10) B. Lhat persamaan (1.46).

1.40 Pengantar Fsa Kuantum Glosarum Koordnat umum adalah seumlah mnmum oordnat untu menyataan onfguras suatu sstem. Koordnat umum dapat berupa besaran panang, sudut, atau hubungan antara eduanya. Kecepatan umum adalah ecepatan yang beratan dengan oordnat umum, sepert q adalah ecepatan umum yang beratan dengan oordnat umum q. Momentum umum adalah momentum yang dnyataan dalam oordnat umum, yang dapat berupa momentum lnear, maupun momentum sudut. Momentum umum uga dapat dnyataan dalam energ net umum. Gaya umum adalah gaya yang beratan dengan oordnat umum. Gaya umum dapat berdmens gaya maupun berdmens momen gaya. Energ net umum adalah energ net yang dnyataan dalam oordnat umum q, dalam oordnat dam energ net umum hanya fungs dar q. Fungs Lagrange dalam sstem onservatf ddefnsan sebaga pengurangan antara energ net dengan energ potensal. Persamaan Lagrange adalah suatu persamaan untu menentuan persamaan gera sstem dnam dengan menentuan energ net dan energ potensal sstem yang dnyataan dalam oordnat umum. Terdapat perbedaan antara persamaan Lagrange untu sstem onservatf dan persamaan Lagrange untu sstem non onservatf. Kendala (Constrant) adalah suatu oordnat yang merupaan pembatas gera suatu sstem. Kendala yang dapat dnyataan dalam persamaan yang menyataan hubungan antara oordnat-oordnat umum dsebut endala holonom.

PEFI4314/MODUL 1 1.41 Jumlah deraat ebebasan adalah suatu nla yang menyataan arah d mana partel-partel suatu sstem dapat bergera bebas tanpa melanggar endala. Dalam sstem holonom umlah deraat ebebasan sama dengan umlah oordnat umum yang dperluan untu menyataan onfguras suatu sstem. Fungs Hamlton merupaan energ total suatu sstem, yatu hasl penumlahan antara energ net dengan energ potensal.

1.4 Pengantar Fsa Kuantum Daftar Pustaa Fowles, G. R. (1986). Analytcal Mechancs 4th. ed., New Yor: CBS Colledge Publshng. Goldsten, H. (1950). Classcal Mechancs. USA: Addson Wesley Publshng Company Inc. Readng Mass. Symon, K.R Company. Mechancs. 3rd. ed., USA: Addson Wesley Publshng Beser, A. (198). Consepts of Modern Physcs. 3rd edton. New Yor: McGraw-Hll. Gasorowcz, S. (1995). Quantum Physcs. nd edton. New Yor: John Wley & Sons, Inc. Lesle E. B. (1990). Quantum Mechancs. New Yor: Prentce-Hall Internatonal. Lboff, R. L. (199). Introductory Quantum Mechancs. Readng Massachusett: Addson Wesley Publshng Company. Pandangan, P. (000). Dasar-dasar Fsa Kuantum. Jaarta: Unverstas Terbua. Tannoud, C. (1977). Quantum Mechancs. New Yor: John Wley & Sons, Inc. Yarf, A. (198). An Introducton to Theory and Aplcaton of Quantum Mechancs. New Yor: John Wley & Sons, Inc.