Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '( c ) didefinisikan sebagai: ( ) ( ) f x f '( c) = lim f c x c x c bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: f '( c) = lim h 0 f ( c+ h) f ( c) h =,
Hitunglah f '() jika f ( x) = x Jawab f ( x) = x f ( x) f ( c) (i) f '( c) = lim x c x c f ( x) f () x () ( x ) f '() = lim = lim = lim = lim = x x x x x x x f ( c+ h) f ( c) (ii) f '( c) = lim h 0 h f f ( + h) f () ( + h) () + h '() = lim = lim = lim h 0 h h 0 h h 0 h h = lim = lim = h 0 h h 0
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (a, c]. Turunan kiri dari fungsi f di c, ditulis f ' ( c) didefinisikan sebagai: ' f ( x) f ( c) ' f ( c+ h) f ( c) f ( c) = lim atau f ( ) lim c = x c x c h 0 h bila limitnya ada Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (c, b]. Turunan kanan dari fungsi f di c, ditulis f ' + ( c) didefinisikan sebagai: ' f ( x) f ( c) ' f+ ( c) = lim atau f + + ( c) = lim x c x c h 0 bila limitnya ada + f ( c+ h) f ( c) Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat titik c. Fungsi f terdiferensialkan (mempunyai turunan) di titik c jika dan hanya jika ' ' = + f ( c) f ( c) h
x ; x 0 Selidiki apakah f ( x) = x = mempunyai turunan di x = 0! x ; x < 0 Jawab Turunan kiri fungsi f di x = 0 adalah sebagai berikut: ' f ( x ) f (0) x 0 f (0) = lim = lim = lim ( 1) = 1 x 0 x 0 x 0 x x 0 Turunan kanan fungsi f di x = 0 adalah sebagai berikut: ' f ( x) f (0) x 0 f+ (0) = lim = lim = lim (1) = 1 x 0 + x 0 x 0 x x 0 ' ' + f (0) f (0) f ( x) tidak mempunyai turunan di x = 0
Jika f mempunyai turunan di c, makaf kontinu di c. Jika f(x)tidak kontinu di cmaka ftidak mempunyai turunan di c. Dengan kata lain kekontinuan adalah syarat perlu untuk keterdiferensialan. Artinya, Jika fkontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.
x 1, x 1 Tunjukkan bahwa f ( x) = x 1 = kontinu di x = 1 x + 1, x < 1 tetapi tidak diferensiabel di x = 1 Jawab : 1. Akan ditunjukkan bahwa f kontinu di x = 1 f(1) = 0 lim f ( x) = lim ( x+ 1) = 0 x 1 x 1 lim f ( x) = lim x 1= 0 + + x 1 x 1 lim f ( x) = 0 x 1 Jadi limf(x) = f( 1) x 1 Jadi f ( x) = x 1 kontinu di x = 1
. Selanjutnya selidiki apakah f(x) diferensiabel di x = 1 atau f (1) = f (1)? ' ' + ' f ( x) f (1) x 1 0 ( x 1) f (1) = lim = lim = lim = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 ' f ( x) f (1) x 1 0 x 1 f+ (1) = lim = lim = lim = 1. x + 1 x 1 x + 1 x 1 x + 1 x 1 ' ' Karena f (1) f+ (1) maka f ( x) = x 1 tidak diferensiabel di x = 1
Periksa apakah fungsi berikut diferensiabel di titik yang diberikan a. b. c. x, x 1 f ( x) = ; x = 1 x 3, x > 1 f ( x) x + x x <, 0 = ; x = 0 sin x+ 1, x 0 x,jika x 0 f ( x) = x,0< x < 1 ; x = 0 dan x = 1 1 + x,jika x 1
Turunan y = f ( x) terhadap x dinotasikan dengan y ' atau f y '( x ). Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan = f ( x) terhadap x di antaranya dalah: dy d, f ( x ), D x y, D x f ( x ). dx dx Notasi dy dikenal sebagai notasi Leibniz. dx
Turunan Fungsi Konstan Misalkan f ( x) f '( x ) = 0 = k, dimana k adalah sembarang konsatanta Riil maka f ( x+ h) f ( x) k k 0 f '( x) = lim = lim = lim = lim 0= 0 h 0 h h 0 h h 0 h h 0 Contoh Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: a. f ( x ) = b. f ( x ) = 15 c. f ( x ) = Jawab a. f ( x) = f '( x) = 0 b. f ( x) = 15 f '( x) = 0 c. f ( x) = f '( x) = 0
Turunan Fungsi Pangkat Bilangan Riil n Misalkan f ( x) = kx dimana k, n maka Contoh Tentukan turunan dari fungsi berikut: a. b. f ( x) = x f ( x) = 15 3 3 x f '( x) = ( nk) x n 1 c. Jawab a. b. c. f ( x) = 5x 1 3 3 1 f ( x) = x f '( x) = (3)() x = 6x 3 3 1 f ( x) = 15 x f '( x) = ( 3)(15) x = 5x 1 5 f ( x) = 5 x f '( x) = (5) x = x 1 1 1 3
Turunan Kelipatan Fungsi ( ) = ( ) n dimana u( x ) merupakan Misalkan f x k[ u x ] n fungsi dari x maka [ ] 1 f '( x) = ( n)( k) u( x) u'( x) Contoh Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: a. b. f ( x) = (3x ) f ( x) = 15( x+ 1) 3 3
a. b. f ( x) = (3x ) 3 3 1 f '( x) = (3)()(3x ) (3x )' = 6(3x ) (3) = 18(3x ) f ( x) = 15( x+ 1) 3 3 1 f '( x) = ( 3)(15)( x+ 1) (x+ 1)' = ( 5)(x+ 1) () = 180(x+ 1)
Turunan fungsi trogonometri didefinisikan sebagai berikut: (i) f ( x) = sin x f '( x) = cos x (ii) f ( x) = sin( u( x)) f '( x) = cos x u'( x) (iii) f ( x ) = cos x f '( x ) = sin x (iv) f ( x) = cos( u( x)) f '( x) = sin x u'( x) (v) (vi) f ( x) = tan x f '( x) = sec x f ( x) = tan( u( x)) f '( x) = sec ( u( x)) u'( x)
Tentukan rumus fungsi berikut: a. f ( x) = sin(5 x) b. f ( x) = sin( x + x) c. f ( x) = cos( 1 5 x) d. 3 f ( x) = cos(x x + x) e. f ( x) = tan( x) f. 3 f ( x) = tan( x 3 x )
a. f ( x) = sin(5 x) b. f '( x) = cos(5 x) (5 x)' = cos5x 5 = 5 cos(5 x) f ( x) = sin( x + x) f '( x ) = cos( x + x ) ( x + x )' = cos( x + x) (x + ) = (x + ) cos( x + x) c. f ( x) = cos( 1 5 x) f '( x) = sin( 1 ) ( 1 )' sin( 1 ) ( 1 ) 1 sin( 1 5 x 5 x == 5 x 5 = 5 5 x)
d. 3 f ( x) = cos(x x + x) 3 3 f '( x) = sin(x x + x) (x x + x)' e. f ( x ) = tan( x ) f. 3 = sin(x x + x) (6x x+ ) 3 = (6x x+ )sin(x x + x) f '( x) = sec ( x) ( x)' = sec ( x) = sec ( x) 3 f ( x) = tan( x 3 x ) 3 3 f '( x) = sec ( x 3 x ) ( x 3 x )' 3 = sec ( x 3 x ) (3x 6 x) 3 = (3x 6 x)sec ( x 3 x )
Turunan Jumlah, Selisih, Hasil Kali, dan Hasil Bagi Dua Fungsi Misalkan fungsi f dan g terdifersensialkan pada selang I maka fungsi f + g, f g, fg, f g ( g( x) 0) terdiferensialkan pada selang I dengan aturan sebagai berikut: a. ( f + g)'( x) = f '( x) + g '( x) a. ( u+ v)' = u' + v ' b. ( f g)'( x) = f '( x) g '( x) c. ( fg)'( x) = f '( x) g( x) + f ( x) g '( x) d. ' f f '( x) g( x) f ( x) g '( x) ( x) = g ( g( x)) b. ( u v)' = u' v ' c. ( uv)' = u' v+ uv ' d. ' u u' v uv ' = v v
Contoh Tentukan turunan dari fungsi berikut ini! a. b. Jawab a. 3 5 f ( x) = x ( x+ 5) f ( x) = 5x (x 1) 3 3 5 f ( x) = x ( x+ 5) Misalkan u' = 6x dan 3 u= x dan ( uv)' = u' v+ uv ' v v ' = 5( x+ 5) = ( x+ 5) 5 3 = (6 x )( x+ 5) + ( x )(5( x+ 5) ) 5 3 = 6 x ( x+ 5) + 10 x ( x+ 5) 5 3 f '( x) = 6 x ( x+ 5) + 10 x ( x+ 5) 5
b. f ( x) = Misalkan u 5x (x 1) 3 u' = 0x dan ' 3 = 5x dan u u ' v uv ' = v v v = (x 1) v ' = 6(x 1) 3 3 (0 x )(x 1) 5 x (6(x 1) ) = = f '( x) = 3 ((x 1) ) 3 3 0 x (x 1) 30 x (x 1) (x 1) 3 3 0 x (x 1) 30 x (x 1) 6 (x 1) 6 3
Misalkan y = f ( u) dan u= g( x). JIka fungsi g mempunyai turunan di x dan fungsi f mempunyai turunan di u, turunan fungsi komposisi [ ] y = ( f o g)( x) = f g( x) ditentukan sebagai berikut: dy dy du ( f o g)'( x) = f '[ g( x) ] g '( x) atau dx = du dx Jika y = f(u ), u = g(v), dan v = h(x) maka : dy dx dy du dv = du dv dx Contoh Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan menggunakan aturan rantai! a. b. y = (3x + 5) 5 3 3 y = ( x + 3x x + 1) c. d. y = x x + 1 3 y = sin( x + 3 x )
a. y = (3x+ 5) 5 5 dy du y = u = 5u dan u= 3x+ 5 = 3 du dx dy dy du = dx du dx = 5u 3 = 15u = 15(3x + 5)
b. 3 3 y = (x + 3x x + 1) 3 dy y = u = 3u du 3 du 3 u= x + 3x x + 1 = 8x + 9x 8x dx dy dy du = dx du dx 3 = 3 u (8x + 9x 8 x) 3 = (x + 7x x) u 3 3 = (x + 7x x)(x + 3x x + 1)
c. y = x x+ 1 1 dy 1 1 y = u = u = 1 u = du du u= x x+ 1 = x dx dy dy du = dx du dx 1 = (x ) u ( x 1) = x x+ 1 ( x 1) = x x+ 1 u
d. 3 y = sin(x + 3 x ) dy y = sinu = cosu dan du dy dy du = dx du dx 3 = sin u (8x + 7 x ) 3 3 = sin(x + 3 x )(8x + 7 x ) du u= x + 3x = 8x + 7x dx 3 3
Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama yang sudah diperoleh. Dengan cara yang serupa kita akan peroleh turunan berikutnya, yang kita kenal dengan turunan tingkat tinggi. Jika y = f ( x) maka Turunan pertama : ' dy df y = = = f '( x) dx dx d y d f Turunan kedua : y '' = = = f ''( x) dx dx 3 3 d y d f Turunan ketiga : y ''' = = = f '''( x) 3 3 dx dx () d y d f () Turunan keempat : y = = = f ( x) dx dx...... Turunan ke-n : n ( n) d y d f ( n y = = = f ) ( x) n n dx dx n
Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga, dan keempat dari fungsi berikut ini! a. 6 3 y = x + 5x b. y = sin x Jawab: a. 6 3 y = x + 5x 5 y ' = 1x + 15x y '' = 60x + 30x 3 y ''' = 0x + 30 y () = 70x b. y = sin y y y y ' '' ''' = ( ) x cos = = = x sin co sin
1. Tentukan dy dx jika: a. b. c. 3 y = x + x x+ 5 3 1 y = x x + x 3 y = (x 3 x)( x 3 x + x) x x+ 1 y = x 1 1 sin x d. y = cos x dy. Dengan menggunakan aturan rantai tentukan turunan pertama dx dari: y = x 3 a. ( ) 10 b. c. d. y = x 3x+ 1 x+ 1 y = x 1 y = 3 sin e. y = cos( x x) f. y = sin ( 3x x) x
Soal Latihan Pilihan Ganda Bab : Turunan 1 1. Diketahui f ( x) =, f '(3) =... x 1 a. 9 b. 1 9 c. 1 6 1. Turunan pertama dari y x x a. 1 y = + 3 x x b. y = + 3 x x c. 1 y = 3 x x 1 d. 6 e. Tidak ada jawab yang benar = + x x y = x x d. y 3 e. 3
3 3. Misalkan y= ( x + )( x + 1). Turunan pertama dari y adalah. a. y = 5x + 6x + x b. y = 5x + 3x + 1 c. y = 5x + x+ x. Nilai dy dx dari 1 y= adalah. x + 1 a. dy = dx ( x+ 1) b. dy 1 = dx ( x+ 1) c. dy x+ = dx ( x+ 1) d. e. y = x + x + 5 6 y = x + x+ 5 6 d. dy x = dx ( x+ 1) e. dy x 1 = dx ( x+ 1)
5. Turunan kedua dari y a. b. c. y = (160 x+ 80) y = 10(x+ 7) y = 0(x+ 7) 8 8 8 10 = (x+ 7) adalah. 1 6. Jika y x 3 a. 1 ( x 3) b. ( x 3) c. ( x 3) 3 d y dy 3. d. e. y = 360(x+ 7) y = 10(160 x+ 80) d. 6 ( x 3) e. 6 ( x 3) 8 8
7. Turunan ketiga dari y= sin(3 x) adalah. a. y = 7cos(3 x) b. y = 9sin(3 x) c. y = 7sin(3 x) 8. Misalkan x jika x 1 f ( x) =, nilai x 1 jika x> 1 dari f (1) adalah. a. 0 b. 3 c. 1 d. y = 9cos(3 x) e. y = 7cos(3 x) d. e. tidak ada
9. Nilai a, b, dan c dari g( x) = ax + bx + c bila g(1) = 5, g (1) =3 dan g (1)=- adalah. a. a = -, b =, c = 0 b. a = -, b = 0, c = c. a = -, b = - 7, c = 0 d. a =, b = 7, c = 0 e. a = -, b = 7, c = 0 x x+ x< 3, 1 10. Diketahui f ( x) = pernyataan berikut yang benar adalah 1 + x, x 1. a. f ( x) differensiabel di x= 1 dan f '(1) = 1 b. f ( x) differensiabel di x= 1 dan f '(1) = 1 c. f ( x) tidak differensiabel di x= 1 d. f ( x) tidak differensiabel di x= 1 e. Tidak ada jawab yang benar