DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 6 INTEGRAL GARIS Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI - FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS KRISTEN MARANATHA BANDUNG 2012 Diktat ini disusun berdasarkan Calculus III oleh Paul Dawkins, Lamar University dengan penyesuaian berupa penerjemahan, pengurangan dan penambahan dari sumber-sumber lainnya.
Bab 6. Integral Garis. 6.1. Medan Vektor Definisi Suatu medan vector dalam ruang dua (tiga) dimensi adalah suatu fungsi yang memetakan setiap titik (atau ) ke vector dua (atau tiga) dimensi yang dinyatakan sebagai (atau ). Notasi baku fungsi adalah sbb.: Fungsi P, Q, R disebut juga sebagai fungsi scalar. Contoh 6.1.1. Buatlah gambar sketsa dari medan vektor berikut ini: (a) (b) (a) Dengan mengambil beberapa nilai titik x, y didapat Bila jumlah titik pada x, y diperbanyak, diperoleh pemetaan dari x,y ke vektor F dan bila di plot kegambar sketsa didapat gambar sketsa medan vektor: Gambar 6.1. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 139
Berikut sketsa yang didapat dari plotting menggunakan sistem computer aided graphing (Maple atau Mathematica). Berikut sketsa yang didapat dari software Mathematica. (b) Gambar 6.2. Dengan menggunakan software Mathematica diperoleh sketsa : Gambar 6.3. Bila diketahui suatu fungsi maka gradient vektor di definisikan sebagai, Persamaan diatas adalah medan vektor yang biasa disebut medan vektor gradient. Dalam kasus ini fungsi disebut fungsi skalar, berbeda dan bukan meda vektor. Contoh 6.1.2. Dapatkan medan vektor gradient fungsi skalar berikut ini : (a) (b) Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 140
(a) (b) Gambar 6.1.3. Buat sketsa medan vektor gradient untuk fungsi beberapa sketsa contour dari fungsi tersebut. Solutio Contour suatu fungsi adalah kurva yang didefinisikan oleh, Jadi persamaan contour adalah, yang berupa lingkaran yang berpusat di 0 dengan radius. Medan vektor gradient : Berikut gambar sketsa dari medan vektor gradient. juga Gambar 6.4. Dari gambar diatas, terlihat bahwa setiap vektor dari medan vektor tegak lurus (atau orthogonal) terhadap contour. Nilai k yang digunakan dalam gambar diatas adalah : 1.5, 3, 4.5, 6, 7.5, 9, 10.5, 12, dan 13.5. Suatu medan vektor disebut medan vektor konservatif bila ada fungsi f sedemikian, sehingga. Bila adalah medan vektor konservatif maka fungsi, f, disebut sebagai fungsi potential bagi. Contoh medan vektor Sebaliknya, karena. sedemikian sehingga. adalah medan vektor konservatif dengan fungsi potensial bukan medan vektor konservatif karena tidak ada fungsi f Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 141
6.2. Integral Garis I Pada bagian ini akan dipelajari suatu bentuk integral baru, yaitu integral garis/kurva. Untuk mengerjakan jenis integral ini akan digunakan bentuk parametric dari suatu persamaan. Untuk itu diperlukan pengenalan bentuk parametric dari suatu garis/kurva atau dengan kata lain dibutuhkan ketrampilan dalam menuliskan suatu kurva kedalam persamaan bentuk parametric. Kurva Persamaan Parametrik Counter-Clockwise Clockwise (Ellipse) (Lingkaran) Counter-Clockwise Clockwise Segmen Garis lurus dari to Untuk segmen garis lurus diatas ditulis persamaan bentuk vector dan juga bentuk parametric. Dan untuk ellipse dan lingkaran, persamaan parametric diberikan sesuai dengan arah pergerakan kurva apakah sesuai jarum jam (clock-wise) atau berlawanan arah jarum jam (counter clock wise). Arah pergerakan terkadang mempengaruhi hasil perhitungan. Dalam Kalkulus Dasar dilakukan integrasi, fungsi variabel tunggal, atas interval. Dan nilai yang dipakai adalah setiap nilai x yang terletak dalam interval mulai dari a dan berakhir di b. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 142
Dalam integral garis dilakukan integrasi fungsi, suatu fungsi dua variabel dan nilai x dan y yang digunakan untuk integrasi adalah titik-titik,, yang terletak pada kurva C. Jadi berbeda dari konsep integral ganda yang telah dipelajari dimana titik x, y didapat dari daerah pembatas pada bidang xy. Misal suatu kurva C dimana titik-titik x, y akan digunakan. Misal kurva C adalah rata/licin/smooth dan dapat dinyatakan dengan persamaan parametric : Maka bila dituliskan dalam bentuk persamaan fungsi vector maka kurva tersebut dinyatakan sebagai : Definisi : Suatu kurva adalah rata/smooth bila kontinu dan untuk setiap t. Integral Garis / Line integral sepanjang C dinyatakan sebagai, Digunakan notasi ds disini untuk menyatakan bahwa integrasi dilakukan dengan bergerak sepanjang kurva, C, dari pada sumbu- x (dinyatakan oleh dx) atau sumbu-y (dinyatakan oleh dy). Karena dinyatakan dengan ds terkadang disebut integral garis f terhadap panjang lengkungan / line integral of f with respect to arc length. Dalam Kalkulus Dasar, untuk menghitung panjang lengkungan / arc length suatu kurva yang dinyatakan dalam persamaan parametric adalah sbb. : L = a b ds, dimana ds = ds diatas adalah sama baik dalam perhitungan panjang lengkung dan yang digunakan dalam notasi pada integral garis. Sehingga perhitungan integral garis dilakukan dengan merubah semua variabel dan fungsi kedalam persamaan parametric. Pernyataan Integral Garis dalam bentuk parametric menjadi : dx dt 2 + dy dt 2 dt Bila digunakan bentuk vector dalam parameterisasi maka : Dimana adalah panjang atau norm dari. Sehingga notasi Integral garis menjadi: Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 143
Contoh 6.2.1. Hitung dimana C adalah sisi kanan dari setengah lingkaran,, yang berputar dalam arah berlawanan arah jarum jam. Parameterisasi dari lingkaran adalah sbb. : Disini kita perlu menentukan jangkauan / range dari t yang akan menghasilkan setengah lingkaran kanan, dan range t adalah : Turunan dari persamaan parametric dan perhitungan ds adalah sbb. : Sehingga perhitungan integral garis menghasilkan, Berikut pembahasan Integral garis sepanjang sambungan potongan kurva rata / piecewise smooth curves. Sambungan potongan kurva rata adalah suatu gabungan potongan kurva-kurva rata,,, dimana titik akhir adalah titik awal. Dibawah ini gambar sketsa dari sambungan potongan kurva rata : Gambar 6.5. Perhitungan Integral Garis sepanjang sambungan potongan kurva rata dilakukan dengan menjumlahkan perhitungan Integral Garis sepanjang masing-masing potongan kurva rata. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 144
Contoh 6.2.2. Hitung dimana C adalah kurva sbb. : Parameterisasi dari setiap kurva adalah : Gambar 6.6. Integral Garis sepanjang masing-masing potongan kurva rata adalah : Sehingga, Integral Garis yang diminta adalah : Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 145
Contoh 6.2.3. Hitung dari ke. dimana C adalah segmen garis lurus yang menghubungi titik Bentuk persamaan vector garis lurus yang menghubungi titik awal adalah sbb. : dan titik akhir Untuk. Bentuk persamaan parametric adalah sbb. : Sehingga integral garis sepanjang garis diatas adalah : Contoh 6.2.4. Hitung dimana C adalah segmen garis lurus dari titik ke. Parameterisasi kurva kedalam bentuk persamaan vector. untuk. Sehingga, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 146
Contoh 6.2.5. Hitung sepanjang kurva berikut ini : (a) (b) : The line segment from to. (c) : The line segment from to. Berikut gambar sketsa kurva C 1, C 2, C 3 : Gambar 6.7. (a) Parameterisasi kurva : Sehingga, (b) : Segment garis lurus dari ke. Parameterisasi kurva : untuk. Atau bisa juga alternative parameterisasi ke 2 berbentuk : (c) : The line segment from to. Parameterisasi : Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 147
untuk. Untuk kurva C dalam tiga dimensi, maka parameterisasi adalah : Maka Integral Garis adalah sbb. : Catatan : Bekerja dalam ruang tiga dimesi, seringkali parameterisasi dalam bentukk fungsi vector. Didapat : Sehingga : Contoh 6.2.6. Hitung dimana C adalah helix,,. Berikut gambar sketsa helix yg dimaksud. Gambar 6.8. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 148
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 149
6.3. Integral Garis II Pada sub-bab 6.2. dibahas Integral Garis terhadap panjang lengkungan / arc length. Bagian ini membahas Integral Garis terhadap x dan/atau y. Misal kurva C dalam dua dimensi, maka parameterisasi sbb. : Integral garis f terhadap x adalah, Integral garis f terhadap y adalah, Perbedaan dengan integral garis terhadap panjang lengkung / arc length dengan integral garis ini adalah pada differential nya. Disini digunakan dx atau dy sedangkan integral garis sebelumnya digunakan ds. Contoh 6.3.1. Hitung dimana C adalah segment garis dari ke. Parameterisasi kurva : Integral garis, Contoh 6.3.2. Hitung dimana C adalah segment garis dari ke. Parameterisasi kurva : Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 150
Untuk kurva dalam ruang 3 dimensi, maka bentuk integral adalah : Dimana parameterisasi kurva C Bentuk kombinasi sebagai : Contoh 6.3.3. Hitung dimana C dinyatakan dalam,,,. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 151
6.4. Teorema Dasar Integral Garis Dalam Kalkulus Dasar dikenal Teorema Dasar Kalkulus / Fundamental Theorem of Calculus, yang menyatakan : Dalam bentuk Integral Garis, serupa dengan hal diatas dikenal Teorema Dasar Integral Garis untuk bentuk tertentu fungsi vector / medan vector. Teorema Misal C adalah kurva rata/smooth yang dinyatakan oleh,. Misalkan juga bahwa f adalah suatu fungsi dimana vector gradient,, adalah kontinu pada C. Maka, Catatan adalah titik awal C dan adalah titik akhir C. Bukti Dengan menggunakan Aturan Rantai, didapat bentuk : Sehingga menggunakan the Fundamental Theorem of Calculus utk integral tunggal. Contoh 6.4.1. Hitung dimana dan C adalah lintasan yang mulai dari titik dan berakhir dititik. Dalam hal ini lintasan macam apa tidak dispesifikasikan dan teorema diatas menyatakan bahwa hasil integral ditentukan hanya oleh titik awal dan akhir apapun macam lintasannya. Jadi, untuk, adalah sembarang lintasan yang mulai dari dan berakhitr pada. Maka, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 152
Maka, Perhatikan disini bahkan tidak perlu dihitung vector gradient. Bila dihitung maka : Yang terpenting dalam contoh ini adalah bukan untuk menunjukkan bagaimana melakukan perhitungan, karena perhitungan integral cukup sederhana, tinggal memasukkan saja titik awal dan akhir dan melakukan operasi pengurangan. Idee penting yang ingin ditunjukkan dalam contoh ini adalah, untuk integral garis jenis ini, kita tidak perlu tahu lintasan apa yang ditempuh, boleh berbentuk apapun, yang terpenting adalah titik awal dan akhirnya, dengan kata lain kita dapat menggunakan lintasan apapun bila titik awal dan titik akhirnya sama, maka hasil yang didapat akan sama. Berikut ini bentuk formal dari ide diatas : Definisi Misalkan adalah medan vector kontinu dalam domain D. 1. adalah medan vector conservative bila ada fungsi f sedemikian sehingga. Fungsi f disebut fungsi potential dari medan vektor. 2. adalah bebas dari lintasan yang ditempuh / independent of path bila untuk dua lintasan sembarang d an dalam D dengan titik awal dan akhir yang sama. 3. Suatu lintasan C disebut tertutup / closed bila titik awal dan titik akhirnya adalah titik yang sama. Contoh suatu lingkaran adalah lintasan tertutup. 4. Suatu lintasan C adalah sederhana / simple bila tidak bersilangan dalam dirinya. Contoh lingkaran adalah lintasan sederhana, sedangkan bentuk angka 8 adalah kurva yang tidak sederhana. 5. Suatu daerah D adalah terbuka / open bila tidak memuat dalam dirinya titik-titik batas nya. 6. Suatu daerah D adalah terhubung / connected bila kita dapat menghubungkan dua titik sembarang di daerah tersebut dengan suatu lintasan yang berada seluruhnya di D. 7. Suatu daerah D adalah terhubung sederhana / simply-connected bila D terhubung dan tidak mengandung lubang. Dengan definisi diatas maka berikut beberapa fakta : Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 153
Fakta 1. adalah bebas lintasan. Teorema diatas menyatakan bahwa yang menentukan perhitungan integral diatas adalah titik awal dan akhir, sehingga menurut definisi integral garis diatas adalah bebas lintasan. 2. Bila adalah medan vector conservative maka adalah bebas lintasan. Bila adalah conservative maka ia mempunyai fungsi potensial, f, dan juga bentuk integral garis menjadi. Sehingga menggunakan fakta 1 diatas maka integral garis diatas haruslah bebas lintasan. 3. Bila adalah medan vector kontinu pada daerah terbuka dan terhubung D dan bila adalah bebas lintasan (untuk setiap lintasan di D) maka adalah medan vector conservative pada D. 4. Bila adalah bebas lintasan, maka untuk setiap lintasan tertutup C. 5. Bila untuk setiap lintasan tertutup C maka adalah bebas lintasan. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 154
6.5. Medan Vektor Konservatif Telah dibahas bahwa bila medan vector adalah konservatif, maka adalah bebas lintasan, artinya hasil perhitungan akan sama untuk titik awal dan titik akhir yang sama, walaupun lintasan yang ditempuh berbeda. Ini juga berarti bahwa integral akan lebih mudah dihitung bila fungsi potential dapat ditemukan. Dalam bab ini akan dibahas, pertama, bila suatu medan vector diketahui, bagaimana caranya menentukan apakah medan vector tersebut adalah medan vector konservatif. Kedua, apabila medan vector diketahui sebagai medan vector konservatif, bagaimana mencari fungsi potensial dari medan vector tersebut. Untuk medan vector dalam ruang dua dimensi, berlaku : Teorema Bila adalah medan vector pada daerah D yang terbuka /open dan terhubung sederhana / simply connected. Bila P dan Q memiliki turunan parsial pertama yang kontinu dalam D dan Maka medan vektor adalah konservatif. Contoh 6.5.1. Tentukan apakah medan vector berikut ini konservatif atau tidak. (a) (b) (a) Jadi, karena kedua turunan parsial diatas tidak sama, maka medan vector TIDAK konservatif. (b) Jadi, karena kedua turunan parsial diatas sama, maka medan vector adalah konservatif. Dibawah ini pembahasan untuk menjawab pertanyaan kedua, yaitu bila medan vektor dalam ruang dua dimensi diketahui konservatif, bagaimana menemukan fungsi postensial dari medan vector tersebut? Bila suatu medan vector adalah konservatif, berarti fungsi potensial, ada. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 155
Sehingga : Sehingga : f = P x dan f = Q y Bila dilakukan proses integrasi didapat : f x, y = P x, y dx atau f x, y = Q x, y dy Contoh 6.5.2. Tentukan apakah medan vector berikut ini konservatif atau bukan, dan cari fungsi potensial nya bila medan vector tersebut konservatif. (a) (b) Jawab (a) Jadi medan vector diatas konservatif. Langkah berikut mencari fungsi potensial medan vektor F, Sehingga : f x, y = 2x 3 y 4 + x dx atau f x, y = 2x 4 y 3 + y dy Dari dua alternatif integral diatas, perlu diperhatikan konstanta Integral. Bila dipilih integrasi yang pertama, yaitu terhadap x, maka konstanta integral adalah fungsi y. Berikut ini integrasi pilihan pertama (terhadap x), dimana adalah konstanta integral. Bagaimana menentukan. Caranya, dengan men-differensiasi f (termasuk ) terhadap y dan hasil differensiasi tersebut adalah sama dengan Q, yaitu f y = Q Sehingga dapat disimpulkan, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 156
Dapat dilihat bahwa adalah fungsi terhadap y saja, apabila terdapat unsure x dalam persamaan berarti terjadi kesalahan dalam perhitungan (tidak boleh ada x). Untuk mencari, Sehingga didapat fungsi potensial dari medan vector F adalah : Kita dapat melakukan verifikasi dengan. ] (b) Dari contoh 1b telah ditunjukkan bahwa medan vector diatas adalah konservatif, sehingga kita bisa langsung mencari fungsi potensialnya. Sehingga, f x, y = 2x e xy + x 2 ye xy dx atau f x, y = x 3 e xy + 2y dy Dari kedua pilihan perhitungan integrasi diatas, pilihan kedua perhitungannya akan lebih mudah, sehingga untuk mencari f x, y dipilih alternatif kedua. Hasil integrasi pilihan kedua, didapat : Untuk kasus ini, konstanta integrasi berupa fungsi x. Bila dilakukan differensiasi terhadap o x yang adalah sama dengan P didapat, Sehingga, Jadi, dalam kasus ini konstanta integrasi murni suatu konstanta (bukan fungsi x). Sehingga didapat fungsi potensial dari medan vector sebagai : Dalam bab ini, belum dibahas bagaimana menentukan apakah suatu medan vector dalam 3 dimensi adalah medan vector konservatif atau bukan. Berikut ini dibahas bagaimana mencari fungsi potensial dari medan vector yang diketahui konservatif. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 157
Contoh 6.5.3. Cari fungsi potensial dari medan vector yang diketahui konservatif, Jawab: Langkah pertama, dilakukan integrasi terhadap x, kedua terhadap y dan ketiga terhadap z. Konstanta integrasi merupakan fungsi y dan z, yang jika didifferensiasi terhadap x akan menghasilkan nilai 0. Dengan melakukan differensiasi f(x,y,z) terhadap y didapat persamaan : Untuk konstanta integrasi g(y,z) tentunya turunan yang dilakukan adalah turunan parsial, karena konstanta ini fungsi 2 variabel. Sehingga didapat hasil, Karena differensiasi terhadap y menghasilkan nilai nol, maka hanya mungkin merupakan fungsi dari z saja atau murni konstanta. could at most be a function of z. Sehingga bentuk fungsi potensial adalah sebagai, Dengan melakukan differensiasi f(x,y,z) diatas terhadap z didapat persamaan : Sehingga, Fungsi potensial medan vector adalah, Contoh 6.5.4. Cari fungsi potensial dari medan vektor, Dipilih integrasi persamaan ke 3 diatas terhadap z, Konstanta integral yang didapat dari integrasi ini adalah bentuk fungsi x dan y. Hasil yang didapat diintegrasikan terhadap z yang adalah sama dengan P. Sehingga didapat, Sehingga didapat, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 158
Fungsi potensial menjadi, Selanjutnya dilakukan diferensiasi terhadap y yang adalah sama dengan Q. Sehingga, Sehingga fungsi potensial akhir dari medan vector adalah, Berikut adalah contoh, dimana perhitungan integrasi garis untuk suatu medan vector yang diketahui konservatif menjadi lebih sederhana dengan menggunakan teorema dasar integral garis (yang telah dibahas dibab lalu). Contoh 6.5.5. Hitung dimana dan C adalah,,. Masalah diatas dapat dijawab dengan melakukan prosedur perhitungan integral garis seperti yang telah dibahas, namun dari contoh 2a telah dibuktikan bahwa medan vector F adalah konservatif dan fungsi potensialnya adalah, Dan dari teorema dasar integral garis yang telah dibahas diketahui bahwa integral ini bebas dari lintasan yang ditempuh dan hasilnya adalah, dimana, Sehingga, hasil integrasi adalah, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 159
6.6. Teorema Green Pada bab ini akan dibahas hubungan antara integral garis (lintasan tertutup) dengan integral lipat dua. Misal suatu kurva C tertutup dan D adalah suatu daerah yang dikelilingi oleh C. Gambar sketsa sbb. : Gambar 6.9 Karena kurva diatas sederhana dan tertutup, maka tidak ada lubang dalam daerah D. Dan akan digunakan konvensi/ aturan untuk kurva C, yaitu aturan orientasi positif, yaitu arah berlawanan jarum jam. Yaitu seperti putaran sekrup, bila berlawanan jarum jam, maka arah keatas (positif). Juga orientasi positif berarti, bila seseorang berjalan mengikuti kurva C, maka daerah D berada disebelah kiri. Dengan kurva dan daerah yang dikelilingi kurva yang didefinisikan diatas, berlaku: Teorema Green Bila diketahui kurva C berorientasi positif, potongan tersambungnya rata (piecewise smooth), sederhana, tertutup dan bila D adalah daerah yang dikelilingi oleh kurva C. Dan bila P dan Q memiliki turunan parsial orde pertama di D, maka : Untuk konvensi notasi, untuk integral garis dimana garis merupakan kurva lintasan tertutup digunakan notasi integral yang berarti juga lintasan berlawanan jarum jam, Dalam teorema Green, kurva C adalah boundary (pembatas) dari daerah D, sehingga dapat juga dilihat bahwa C adalah sebagai. Contoh 6.6.1. Dengan menggunakan Teorema Green hitunglah dimana C adalah segi tiga dengan titik ujung,, dan memiliki orientasi positif. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 160
Dalam menyelesaikan soal ini, pertama digambarkan sketsa dari C dan D dan diyakinkan agar kondisi dari Teorema Green dipenuhi untuk C dan dibuat sketsa D untuk menghitung integral lipat dua (double integral). Gambar 6.10. Gambar sketsa diatas telah memenuhi syarat dari teorema Green (orientasi positif dan daerah yang dikelilingi) dan daerah tersebut dibatasi oleh garis yang diwakili oleh ketidaksamaan, P dan Q dapat diidentifikasi dari integral garis, Sehingga dengan menggunakan Teorema Green diperoleh, Contoh 6.6.2. Hitung dimana C adalah lingkaran dengan orientasi positif dan berpusat dititik nul dan mempunyai radius = 2. Suatu lingkaran akan memenuhi kriteria teorema Green, karena lingkaran adalah tertutup dan sederhana, dan P dan Q dari integral garis didapat, Menggunakan Teorema Green didapat, Dimana D adalah suatu cakram dengan radius 2 dan berpusat dititik nul. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 161
Dan karena D adalah suatu cakram maka sebaiknya digunakan koordinat polar. Sehingga perhitungan dari integral adalah, Teorema Green mempunyai persyaratan bahwa daerah D tidak mempunyai lubang, bagaimana menghitung daerah D yang mempunyai lubang??? Misal ada daerah D 1 yang dikelilingi oleh kurva C 1 dan C 3 dan D 2 yang dikelilingi oleh kurva C 21 dan C 3 seperti yang ditunjukkan oleh gambar sketsa dibawah ini. Gambar 6.11. Daerah D adalah dimana simbol adalah union yang berarti D terdiri dari D 1 dan D 2. Garis batas (boundary) D 1 adalah dan garis batas D 2 adalah dan setiap garis batas yang membatasi daerah tersebut adalah berorientasi positif. Dari sketsa diatas dapat dilihat bahwa seluruh garis batas, C, adalah, Dimana dan akan saling membatalkan/menghilangkan. Sehingga bila dinyatakan dengan ekspressi matematis integral lipat dua berupa, Dan penerapan Teorema pada setiap integrasi diatas didapat, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 162
Dan karena, Didapat, Sehingga, Proses diatas dapat diterapkan untuk daerah yang berlubang seperti yang ditunjukkan dibawah ini, Gambar 6.12. Daerah D dibatas oleh C 1 dan C 2 dan bila berjalan mengikuti lintasan tersebut maka daerah D berada disisi kiri, untuk kriteria ini kedua kurva C 1 dan C 2 berorientasi positif, namun dari kriteria arah berlawanan jarum jam kurva C 2 berorientasi negative. Hal ini terjadi karena daerah tersebut memiliki lubang. Sehingga pertanyaannya, bagaimana menerapkan teorema Green,integral garis dengan kurva. Bila cakram diatas dipotong/diiris menjadi dua, maka diperoleh gambar sketsa berikut ini, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 163
Gambar 6.13. Kurva pembatas (boundary) untuk potongan cakram atas (D 1) adalah kurva pembatas untuk potongan cakram bawah (D 2) adalah. Dan k masing-masing potongan dapat dilihat sebagai bagian yang utuh, yang tidak memiliki lubang, sehingga Teorema Green dapat diterapkan. Sehingga, dan Dan dengan mem proses integral garis dimana kurva pembatas yang mempunyai arah berlawanan akan saling meniadakan/membatalkan, maka diperoleh, Sehingga hasil akhir, Teorema Green dapat digunakan dalam kasus diatas dimana seolah terdapat lubang dalam daerah tersebut. Contoh 6.6.3. Hitung dimana C adalah dua lingkaran dengan radius 2 dan radius 1 yang berpusat dititik nul dan memiliki orientasi positif terhadap daerah D yang dibatasi kedua kurva ini. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 164
Salah satu penerapan Teorema Green adalah dalam menghitung luas suatu daerah D dengan integral ganda. Dengan Teorema Green, berarti Dan ada banyak fungsi P dan Q yang memenuhi syarat diatas, misalnya : Maka dengan menggunakan Teorema Green dapat dihitung luas dari daerah D dengan menghitung integral garis berikut ini, Dimana C adalah kurva pembatas (boundary) dari daerah D. Contoh 6.6.4 Gunakan Teorema Green untuk menghitung luas cakram dengan radius = a. Dapat digunakan ketiga bentuk integrasi garis diatas, missal digunakan integral garis yang ketiga, yaitu dimana C adalah lingkaran dengan radius a. Dengan parameterisasi C. Luas didapat adalah, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 165
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 166
6.7. Curl dan Divergence Curl Bila diketahui medan vector maka curl didefinisikan sebagai, Definisi curl yang lebih mudah diingat adalah dengan menggunakan operator di definisikan sebagai, operator. Dimana, Pernyataan diatas adalah pernyataan the gradient vector. Dengan menggunakan, curl suatu medan vector dapat didefinisikan sebagai cross product, Teorema 1. Bila mempunyai turunan parsial kedua, maka. 2. Bila adalah medan vector konservatif maka. 3. Bila didefinisikan pada dimana setiap komponennya mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dan maka adalah medan vector konservatif. Contoh 6.7.1. Tentukan apakah? adalah medan vector konservatif Jadi, karena curl tidak nol, maka medan vector tidak/bukan konservatif. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 167
Interpretasi fisik dari curl. Misal adalah medan vector kecepatan dari aliran fluida. Maka merepresentasikan sebagai kecenderungan dari partikel-partikel pada titik untuk berputar mengelilingi suatu sumbu yang dalam arah. Bila maka fluida tidak berputar (irrotational). Divergence. Bila diketahui medan vector, maka divergence didefinisikan sebagai, Definisi divergence dalam notasi operator adalah sebagai perkalian titik (dot product). Contoh 6.7.2. Hitung untuk Hubungan antara divergence dan curl adalah sbb. : Contoh 6.7.3. Verifikasi pernyataan diatas berlaku untuk medan vektor. Interpretasi fisik dari divergence. Misal adalah medan vector kecepatan dari aliran fluida. Maka div F merepresentasikan laju perubahan netto massa fluida yang mengalir dari titik per unit volume. Bila maka adalah incompressible. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 168
Laplace operator. The Laplace operator didefinisikan sebagai, Berikut adalah dua pernyataan Teorema Green dalam bentuk vector. Pernyataan pertama,menggunakan curl medan vector, dimana adalah standard unit vektor dalam arah z positif. Pernyataan kedua menggunakan divergence. Bila kurva C dalam diparameterisasi dalam bentuk vector, Maka vector unit normal yang mengarah keluar adalah, Gambar vector unit normal yang mengarah keluar untuk suatu kurva C pada beberapa titik adalah sbb. : Gambar 6.15. Bentuk vector Teorema Green yang menggunakan divergence adalah, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 169