PENGGUNAAN GEOGEBRA PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA

Transkripsi

1 PENGGUNAAN GEOGEBRA PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika berbasis ICT Dosen Pengampu Dr. Dwijanto, M.S. Oleh: Purwanti Wahyuningsih ( ) Franky Martion ( ) Rombel B1 PROGRAM PASCA SARJANA PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2015

2 PEMBELAJARAN MATEMATIKA MENGGUNAKAN SOFTWARE GEOGEBRA Software Geogebra merupakan salah satu software yang bisa dimanfaatkan untuk pembelajaran Matematika, diantaranya geometri dan aljabar. Software ini dapat diunduh secara gratis melalui situs Berikut ini disajikan materi Irisan dua lingkaran dan integral, yang merupakan salah satu materi yang membutuhkan keterampilan siswa dalam menggambar dan menganalisis sebuah permasalahan. Di zaman yang serba canggih sekarang ini yang dibutuhkan adalah efisiensi waktu, kemudahan dan kecepatan. Untuk mempermudah siswa dalam memahami materi irisan dua lingkaran dan integral, kita bisa memanfaatkan software geogebra. A. MATERI IRISAN DUA LINGKARAN Materi Irisan dua lingkaran meliputi kedudukan dua lingkaran dan persamaan garis singgung diantara kedua lingkaran. Berikut ini yang akan disajikan adalah materi mengenai Kedudukan dua Lingkaran. 1. Dua lingkaran saling pisah / lepas. Langkah 1. Ketikkan pada input, A=(2,2) akan muncul titik A pada koordinat (2,2) Langkah 2. Klik icon Circle with center and radius yaitu kita memilih untuk menggambar sebuah lingkaran dengan pusat dan jari-jari tertentu. Klik pada titik A kemudian muncul kotak untuk mengisikan radiusnya. Ketik 2 karena kita akan menggambar lingkaran dengan jari-jari 2 satuan. Kemudian klik Ok. Akan muncul gambar lingkaran seperti berikut: 2 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

3 Langkah 3. Dengan cara yang sama, buat sebuah lingkaran lagi dengan Pusat B(10,2) dan jari-jari 3, akan muncul gambar dua lingkaran yang saling terpisah. Untuk menanamkan konsep dua lingkaran yang saling pisah, siswa diarahkan untuk mengamati gambar dua lingkaran tersebut, kemudian mencari hubungan antara jari-jari kedua lingkaran tersebut dengan jarak kedua pusatnya. Disitu terlihat bahwa jarak AB lebih besar dari pada jumlah kedua jari-jarinya. 3 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

4 Kedua lingkaran dikatakan saling lepas jika. 2. Dua lingkaran saling bersinggungan diluar Dengan cara yang sama seperti pada nomor 1, silahkan gambar kedua lingkaran seperti gambar berikut: Kedua lingkaran dikatakan saling bersinggungan diluar jika 3. Dua lingkaran saling bersinggungan diluar Dengan cara yang sama, silahkan gambar kedua lingkaran seperti gambar berikut: 4 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

5 Kedua lingkaran dikatakan saling bersinggungan di dalam jika 4. Dua Lingkaran saling berpotongan Kedua lingkaran dikatakan saling bersinggungan di dalam jika 5. Lingkaran di dalam Lingkaran 5 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

6 Sebuah lingkaran berada didalam lingkaran yang lain jika B. MATERI INTEGRAL Fungsi pre-definisi sudah ditanam dalam GeoGebra dan untuk menggunakan fungsi tersebut kita tinggal memanggil dengan menggunakan format nama fungsi disertai parameter yang diperlukan. Sebagai contoh, kita akan mencoba memanfaatkan beberapa fungsi untuk menghitung integral maupun menentukan pendekatan dengan penjumlahan Riemann. Misalkan kita mendefinisikan sebuah fungsi bernama f maka kita dapat menentukan integral dengan terlebih dahulu menentukan a sebagai batas bawah dan b adalah batas atas. Setelah itu panggil fungsi Integral dengan sintaks berikut: Integral[f] untuk integral tak tentu, dan Integral[f,a,b] untuk integral tertentu Untuk contoh lebih jelas masukkan rangkaian statemen berikut ke dalam Input Bar Geogebra. f(x)=6x-x^2 Integral[f] a=0 (a adalah variabel yang akan kita gunakan sebagai batas bawah) b=3 (b adalah variabel yang akan kita gunakan sebagai batas atas) Integral[f,a,b] Akan muncul tampilan grafik berikut: 6 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

7 Untuk menentukan nilai batas atas dan batas bawah yang dinamis, tampilkan variabel a dan b sebagai slider dengan mengklik bulatan kecil di samping variabel yang bersangkutan. Ubahlah nilai a dan b dengan menggerakkan slider dan amati perubahannya. Masih melanjutkan pada fungsi dan variabel yang sama, sekarang tambahkan sebuah variabel bernama n dan tentukan nilainya 10. Variabel ini akan kia gunakan sebagai nilai selang/interval. Langkah selanutnya kemudian panggil beberapa fungsi untuk menghitung upper sum, lower sum dan trapezoidal sum. Masukkan beberapa sintaks berikut. n=10 LowerSum[f,a,b,n] 7 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

8 UpperSum[f,a,b,n] TrapezoidalSum[f,a,b,n] Pada grafik akan nampak tampilan masing-masing pendekatan. Kita dapat menampilkan atau menyembunyikan masing-masing pendekatan dengan mengeset visible atau hidden dengan mengklik bulatan kecil di samping variabel. Dengan cara yang sama, tampilkan slider n sehingga selang dapat diatur secara dinamis. Aturlah supaya nilai maksimum n menjadi lebih besar, misalnya 100. Tampilannya akan terlihat seperti berikut. Pada contoh di atas, kita menghitung nilai integral pada daerah antara kurva dan sumbu x. Sebagai tambahan, untuk menentukan luas di antara dua buah kurva GeoGebra sudah menyediakan fungsi yaitu IntegralBetween. Sebagai contoh jika kita memiliki dua fungsi f dan g serta batas bawah a dan batas atas b, sintaks untuk menghitung luas antara kurva fungsi f dan g adalah IntegralBetween[f,g,a,b] Tampilannya akan kurang lebih seperti berikut: 8 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

9 Referensi: Panduan Diklat Online p4tkmatematika.org. 9 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

10 MENGENAL GEOGEBRA UNTUK KALKULUS Tujuan Pembaca mengenal berbagai fasilitas yang disediakan geogebra untuk menyelesaikan peroalan-persoalan berkaitan dengan Kalkulus, khususnya Kalkulus Integral. Dasar Teori Perkembangan teknologi sangat membantu dalam memahami berbagai konsep dalam matematika dan juga membantu dalam menyelesaikan beberapa persoalan yang sulit diselesaikan secara aljabar. Geogebra dengan fasilitas yang dimilikinya sangat membantu. Fasilitas penggambaran grafik, penentuan nilai maksimum, nilai minimum, nilai limit, nilai turunan dan turunan fungsi dapat di tentukan. Pendekatan polygon untuk menghitung luas daerah di bawah kurva, jumlah Riemann dan integral tentu dengan mudah dicari melalui geogebra. Geogebra sendiri merupakan software yang bersifat open source sehingga sangat mudah mencarinya. Untuk lebih memahami kegunaan geogebra, kita akan lihat berbagai fasilitas yang disediakan. Langkah-langkah 1. Buka geogebra, sehingga akan tampil menu berikut; Tool yang disediakan Untuk mengisi perintah Untuk melihat fasilitas yang disediakan 10 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

11 2. Klik tanda, akan tampil fasilitas-fasilitas yang disediakan, lihat gambar dibawah. Jenis-jenis fungsi yang disediakan otomatis oleh geogebra. 3. Selanjutnya klik, functions & calculus. Fasilitas yang berkaitan dengan kalkulus 4. Ambil sembarang fasilitas, misalkan, function, klik akan tampak dilayar Fasilitas yang berkaitan dengan integral 5. Atau kita bisa mengetik integral pada bagian input pojok kiri bawah, maka akan muncul berikut 11 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

12 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI Tujuan Pembaca trampil menggambar grafik fungsi polinom, rasional dan trigonometri dengan menggunakan Geogebra Dasar Teori Fungsi merupakan kajian utama dalam Kalkulus. Konsep- konsep tentang antiturunan, polygon dalam dan luar, jumlah Riemann dan integral tentu banyak melibatkan tentang fungsi. Fungsi polinom memiliki peran yang penting karena didalamnya memuat fungsi linier, kuadrat dan fungsi lainnya. Secara umum fungsi polinom memiliki bentuk ( ) Dengan dinamakan fungsi linier, dinamakan fungsi kuadrat, dan seterusnya. Sedangkan fungsi rasional memiliki bentuk umum ( ) ( ) dimana masing-masingnya adalah fungsi polinom. Fungsi trigonometri adalah fungsi-fungsi yang memuat sinus, cosinus, tangent, cosecant, secan dan gabungannya. Fungsi ini memiliki domain berupa derajat atau diperumum dalam bilangan real. Langkah-langkah 1. Bukalah software Geogebra 2. Klik tanda atau ketik function tekan enter 3. Tuliskan persamaan fungsi yang akan kita buat grafiknya pada bagian sudut kiri bawah, misalkan,, pada [ ] 12 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

13 4. Tekan enter, akan diperoleh 5. Untuk menampilkan persamaan dalam grafiknya dapat dilakukan dengan mengklik kanan fungsi 6. Klik object properties 7. Beri centang pada show label pilih name & value, sehingga akan muncul 8. Contoh menggambar fungsi ( ), masukkan fungsi yang akan dibuat, seperti di bawah ini Tekan enter akan muncul 13 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

14 9. Menggambar fungsi ( ), masukkan fungsi Tekan enter akan muncul Latihan Gambar grafik dari fungsi-fungsi berikut; 1. ( ) 2. ( ) ( ) 14 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

15 POLIGON DALAM DAN POLIGON LUAR Tujuan Pembaca trampil dalam membentuk grafik fungsi polygon dalam dan polygon luar dari grafik Dasar Teori Polygon dalam merupakan sebuah pendekatan dalam menentukan luas daerah dibawah kurva. Potongan-potongan berbentuk segiempat dilakukan pada daerah yang akan dihitung luasnya. Potongan ini diberikan seperti gambar (1) berikut; Gambar 1 Gambar 2 Dengan membuat partisi pada selang [a,b] akan diperoleh, ( ) sehingga luas ke-i untuk polygon dalam adalah ( ) dan luas totalnya adalah ( ). Dengan cara yang sama akan diperoleh polygon luar yaitu ( ). Tentu saja semakin banyak potongan yang dibuat atau n semakin besar akan semakin mendekati luas dari daerah yang akan dhitung. Pada polygon dalam hasil yang didapatkan akan lebih kecil dari luas yang sebenarnya. Sedangkan pada polygon luar hasilnya akan lebih besar dari luas yang sebenarnya. Pertanyaan awal Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh pada interval [ ] apabila dengan apabila a) Menggunakan polygon dalam b) Menggunakan polygon luar Langkah-langkah Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh pada [ ] a) Buatlah grafik fungsi, missal, dengan nilai awal yang kurang dari batas kiri selang dan nilai akhir lebih dari batas akhir selang 15 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

16 b) Ketik lower pada kiri bawah, akan muncul tulisan berwarna biru, c) Tekan enter akan muncul d) Masukkan fungsi, batas awal selang, batas akhir selang, banyaknya polygon atau nilai n e) Tekan enter, akan muncul f) Lihat sebelah kiri atas, muncul a = 3.7 (inilah luas yg dimaksud) Untuk mencari dengan polygon luar, lakukan dengan langkah yang sama, pada saat langkah ke-3. Ganti menjadi uppersum sehingga muncul Lanjutnya langkahnya sampai ke-6, akan diperoleh Muncul b = 5.7 merupakan luas polygon luar yang dimaksud. Bagaimana bila n nya kita ganti-ganti. Geogebra menyediakan slider untuk membuat ini. Langkah-langkahnya adalah sebagai Berikut 16 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

17 1) Pilih tombol, klik, sorot slider Enter akan muncul gambar berikut 2) Pada nama, isi dengan n, beri tanda pada integer, minimum missal 4 maksimum 100, increment 5 3) Klik apply akan tampil 17 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

18 4) Klik kanan pada a (sebelah kiri) klik object properties 5) Pilih basic, ganti 6 dengan n dan close 6) Klik kanan pada slider, pilih animation 7) Amati pada perubahan n, nilai a dan grafiknya Lakukan hal yang sama untuk polygon luar Latihan Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh pad selang [ ] apabila menggunakan a) polygon dalam dengan n = 4, 8, 12, 16, 20, 60, 120, 240 b) polygon dalam dengan n = 4, 8, 12, 16, 20, 60, 120, G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

19 INTEGRAL TAKTENTU DAN TENTU Tujuan Pembaca trampil menggunakan geogebra untuk menentukan integral taktentu dan tentu Dasar Teori Integral taktentu merupakan sebuah operasi yang bersifat linier. Integral taktentu juga dikatakan sebagai antiturunan. Sebagai antiturunan, maka integral taktentu merupakan sebuah operasi invers dari turunan. Kalau turunan diilhami oleh gradient kurva di suatu titik tertentu, maka antiturunan diilhami sebagai pencarian fungsi. Akan tetapi, integral tentu diilhami dengan luas daerah pada bidang rata. Integral taktentu dinyatakan dalam bentuk umum ( ) ( ) dimana ( ) ( ). Sedangkan integral tentu dinyatakan dalam bentuk ( ) ( ) ( ) Geogebra menyediakan juga bisa menentukan integral taktentu dan tentu. dalam menentukan integral taktentu juga ditampilkan gafik dari fungsi yang dihasilkan, meskipun tidak ditampilkan langkah-langkahnya. Sangat sederhana langkah yang ditempuh, karena sudah tersedia menu, function and calculus. Demikian pula dalam integral tentu. Langkah-Langkah Menentukan integral taktentu 1. Buka geogebra, arahkan mouse pada tanda t pada pojok kanan bawah, klik akan tampil 19 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

20 2. Pilih menu function and calculus, akan muncul berbagai pilihan, sementara pilih integral 3. klik paste, sehingga di pojok kiri bawah muncul 4. Masukkan fungsi, misalkan 5. Selanjutnya, tekan enter, akan tampak seperti berikut 6. Akan diperoleh fungsi dan grafiknya, yakni ( ) ( ) 20 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

21 Menentukan integral tentu 1. Ulangi langkah 1 dan 2 2. Ketik integral, pilih integral bagian dua, lihat gambar berikut Klik, Sehingga tampil 3. Masukkan fungsi, batas bawah dan batas atas, misalkan berikut 4. Tekan enter, akan didapatkan hasil berikut Nilai c = 2, pada pojok kanan merupakan hasil integrasi, sedangkan gambar menunjukkan daerah yang diintegralkan. Latihan 1) Carilah (a) (b) ( ) 2) Hitunglah (a) (b) 21 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

22 LUAS DAERAH BIDANG RATA Tujuan Pembaca trampil menggunakan geogebra untuk menentukan luas daerah pada bidang rata Dasar Teori Integral tentu yang didefinisikan dari jumlah Riemann tampaknya mudah diterima apabila penggunaan integral untuk mencari luas daerah. Luas daerah yang berada di atas sumbu-x dan dibatasi oleh, ( ) dan sumbu-x dapat dihitung dengan rumus ( ) ( ) Luas daerah yang dibatasi oleh dua buah kurva ( ) dan ( ) dan sumbu-x dapat dihitung dengan rumus ( ) [ ( ) ( )] untuk ( ) ( ) pada [a,b] ( ) [ ( ) ( )] untuk ( ) ( ) pada [a,b] Langkah-langkah Menentukan luas daerah diatas sumbu-x 1. Masukkan fungsi, misalkan ( ), lihat grafik yang berada di atas sumbu-x 22 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

23 2. Tentukan batasnya, missal [0,1] 3. Hitung luas dengan menggunakan lowersum, uppersum atau rectanglesum, missal rectanglesum, seperti berikut 4. Jadi, luasnya adalah G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

24 Menentukan luas daerah dibawah sumbu-x Lihat kasus diatas 1. Tentukan selang dimana fungsi dibawah sumbu-x, ambil [-1,0] 2. Ketik rectanglesum[fungsi,-1,0,100,0.001], tekan enter akan diperoleh berikut 3. Jadi, luasnya adalah G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

25 Menghitung luas diantara dua kurva 1. Pada input, ketik fun akan muncul 2. Masukan fungsi, misal 3. Ulangi (1) dan masukkan fungsi, misal 4. Tentukan selang, dimana ( ) ( ), missal [0,2] 5. Tulis, integralbetween[f-g,0,2] pada input, tekan enter akan tampil berikut 25 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

26 6. Jadi, luasnya adalah 1,61 7. Ganti selang menjadi [-2,0], dengan proses yang sama akan kita dapatkan, dimana ( ) ( ) 26 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

27 VOLUME BENDA PUTAR Tujuan Pembaca trampil menggunakan geogebra untuk mententukan volume benda putar dan mampu menginterpretasikannya. Dasar Teori Salah satu aplikasi integral yang sangat penting adalah penghitungan volume benda putar. Hasil perputarannya tentu merupakan bangun berdimensi tiga, seperti kerucut, tabung, cakram berlubang di tengahnya, atau seperti bambu. Secara volume dapat dihitung dengan rumus, V = a.t. Volume benda putar pada kajian kalkulus dapat dihitung dengan metode cakram, metode cincin, dan metode kulit tabung. menggunakan Metode cakram digunakan untuk volume beda putar dimana salah satu sisi daerahnya menjadi sumbu putarnya. Secara umum, perhitungan dapat ditentukan dengan persamaan berikut; r ( ) Metode cincin digunakan untuk volume beda putar dimana salah daerah yang akan diputar memiliki jarak dengan sumbu putarnya. Secara umum, perhitungan dapat ditentukan dengan persamaan berikut ( ) ( ) ( ) ( ) Metode kulit tabung digunakan apabila potongan daerah yang dibuat sejajar dengan sumbu putarnya. Metode ini dapat dipahami sebagai berikut; Secara umum, volume ini dapat dihitung melalui rumusan, ( ) 27 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

28 Langkah-langkah Menggunakan metode cakram, missal daerah mengelilingi sumbu-x diputar 1. Buat daerah yang akan diputar, ketik pada input 2. Cerminkan terhadap sumbu-x dengan klik tanda pencerminan 3. Klik, reflect object about line, klik grafik, klik sumbu-x, akan didapatkan 28 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

29 4. Pilih menu berikut 5. Pilih ellipse, klik pada titik (2,4) dan (2.-4) geser dan klik sehingga didapat 29 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

30 6. klik ellips pada titik lain, sehingga ( ) Sehingga volumenya, dapat Anda hitung dengan mengetik pada input, Integral[ *f^2,0,2] tekan enter sehingga didapat a = G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

31 Menghitung volume metode cincin Hitung volume daerah yang dibatasi oleh ( ) dan ( ) diputar mengelilingi sumbu-x 1. Buatlah grafik dari kedua fungsi 2. Tentukan titik potong dan ulangi langkag 2-6 sehingga didapatkan grafik berikut 3. Selanjutnya ketik pada input, Integral[f^2-g^2,0,2], tekan enter, sehingga didapat a = G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

32 NILAI LIMIT FUNGSI Tujuan Pembaca trampil menggunakan geogebra untuk menentukan nilai limit dari berbagai jenis fungsi Dasar Teori Kajian tentang limit merupakan kajian konsep dasar dalam kalkulus. Beberapa konsep seperti turunan dan integral didefinisikan dari limit. Limit secara intuitif diartikan sebagai nilai f(x) akan dekat ke-l apabila x dekat tetapi berlainan dengan c, yang selanjutnya disimbolkan secara matematis menjadi ( ). Secara formal definisi tentang limit disajikan melalui konsep epsilon ( ) dan delta ( ), dimana ( ) diartikan dengan sedemikian sehingga ( ). Ada tidaknya limit ditentukan oleh limit kiri dan kanan, dimana ( ) ( ) ( ) Dalam geogebra, nilai limit dapat dihitung dengan menggunakan perintah Limit[ <Function>, <Value> ]. Untuk menentukan limit kiri dapat digunakan dengan perintah LimitBelow[ <Function>, <Value> ], sedangkan limit kanan dapat dihitung dengan LimitAbove[ <Function>, <Value> ]. Langkah-langkah Menghitung nilai limit 1. Misalkan kita akan menghitung, masukkan Function[(x^2-1)/(x-1)] 2. Masukkan Limit[f, 1 ] tekan enter akan didapat 3. Jadi, nilai dari 32 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

33 1. Misalkan kita akan menghitung, masukan Function[(x^2-1)/abs(x-1)] 2. Masukkan Limit[f, 1 ] tekan enter akan didapat 3. Jadi, tidak terdefinisi. Menghitung limit kiri 1. Misalkan kita akan menghitung 2. Masukkan LimitBelow[f,1], masukan fungsi. 3. Jadi (lihat nilai a disamping dan grafik). Menghitung limit kanan 1. Misalkan kita akan menghitung 2. Masukkan LimitAbove[f,1], masukan fungsi. 33 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a

34 3. Jadi (lihat nilai a disamping dan grafik). 34 G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a