Integral Kompleks. prepared by jimmy 752A4C6B. wp.me/p4scve-e. jimlecturer

Transkripsi

1 Integral Kompleks prepared by jimmy hasugian jimlecturer wp.me/p4scve-e

2 Review Analisis Kompleks Sebuah Fungsi Kompleks disebut Analitik dalam domain tertentu, jika fungsi tersebut dapat diturunkan (differentiable) dalam domain tersebut. Fungsi kompleks bersifat analitik dalam domain D, jika dan hanya jika memenuhi Persamaan Cauchy-Riemann.

3 Pendahuluan Integral Kompleks merupakan salah satu bahasan yang menarik dalam Analisis Kompleks Alasan Utama mengapa Integral Kompleks sangat penting adalah karena integral ini dapat digunakan untuk mengevaluasi Integral Ril tertentu yang muncul dalam aplikasi namun tidak dapat dianalisis menggunakan metode kalkulus Integral Ril.

4 Integral Kompleks Integral Kompleks sering juga disebut sebagai Integral Garis Kompleks (atau Integral Garis), karena karakteristik Integral Kompleks memiliki kesamaan dalam pengerjaan Integral Garis Integrand kurva atau jalur integrasi dapat dinyatakan dalam persamaan parametrik

5 Integral Kompleks Biasanya dituliskan dalam bentuk: atau C adalah kurva dengan jalur tertutup Asumsi Umum Semua jalur dalam Integral Kompleks dianggap sebagai potongan yang halus (piecewise smooth).

6 Sifat-sifat Integral Kompleks

7 Sifat-sifat Integral Kompleks

8 Integral Kompleks Fungsi Analitik Jika adalah fungsi analitik, maka akan terdapat sehingga, maka Integral Kompleks dapat dievaluasi sebagai berikut: Integral kompleks pada kurva tertentu tidak hanya tergantung pada titik awal dan titik akhir dari kurva, namun juga dipengaruhi oleh bentuk kurva tersebut.

9 Contoh Hitunglah integral kompleks berikut ini: Apakah fungsi analitik? Apakah ada sebuah fungsi ) sehingga jika diturunkan Hitung integral kompleks menggunakan rumus integral

10 Persamaan Parametrik Kadang kala untuk mengerjakan Integral Kompleks, diperlukan persamaan parametrik untuk menguraikan kurva C Persamaan Parametrik Hubungan antara dan terlihat jelas Hubungan antara dan tidak terlihat jelas Substitusi nilai ke dalam persamaan kurva

11 Persamaan Parametrik Tidak terlihat jelas hubungan antara dan parameter Garis Lurus Lingkaran Ellips

12 CONTOH Hitunglah Integral kompleks berikut, pada jarak terpendek dari titik ke titik

13 CONTOH Persamaan Garis lurus melalui (1,1) dan (3,3)

14 Cauchy s Integral Theorem (CIT) Integral fungsi kompleks tidak hanya dipengaruhi oleh titik-titik ujungnya, melainkan juga bentuk kurva C Simple Closed Path (jalur tertutup sederhana) Simply Connected Domain (domain terhubung sederhana)

15 Cauchy s Integral Theorem (CIT) Jika bersifat analitik di dalam domain terhubung sederhana maka untuk semua jalur tertutup sederhana di dalam, berlaku: Arah (+) Berlawanan Jarum Jam Tidak ada Pole di dalam atau pas di C Jika bersifat analitik di dalam domain terhubung sederhana maka integral bersifat bebas jalur (independent path)

16 Cauchy s Integral Theorem (CIT) Principle of Deformation of Path (PDP) (Prinsip Deformasi /Pengubahan Jalur) Sepanjang jalur alternatif yang dapat dibentuk tetap berada dalam daerah terhubung sederhana (simply connected domain), dan bersifat analitik, maka hasil integralnya akan selalu sama.

17 Cauchy s Integral Theorem Dapatkan diterapkan jika Domain yang ditinjau tidak Simply Connected Domain? Perlu Trik Khusus.

18 Multiply Connected Domains Doubly Connected Domain Triply Connected Domain

19 Cauchy s Integral Formula (CIF) Cauchy s Integral Theorem dikembangkan lagi menjadi Cauchy s Integral Formula. Bagaimana jika ada Pole di dalam kurva C Diketahui bersifat analitik di dalam domain terhubung sederhana. Maka untuk sebarang titik di dalam serta kurva sederhana melingkupi, berlaku:

20 Cauchy s Integral Formula (CIF) PERHATIKAN kedua Integral Cauchy berikut Cauchy s Integral Theorem Cauchy s Integral Formula Seluruh Integrand (fungsi) Pengertian yang berbeda Hanya bagian yang tidak ada Pole

21 Derivative of Analytic Functions Jika adalah fungsi analitik di dalam domain, maka akan memiliki turunan semua orde di dalam (yang juga bersifat analitik). Nilai turunan pada titik di dalam adalah:

22 Derivative of Analytic Functions Dapat pula ditulis ulang sebagai Pengembangan lebih lanjut dari CIF

23 Morera s Theorems Teorema ini merupakan kebalikan dari Cauchy s Integral Theoram (CIT) Jika adalah fungsi yang kontinu di dalam domain terhubung sederhana (simply connected domain), dan jika untuk setiap jalur tertutup di dalam, maka bersifat analitik di dalam

24 Analitik

25 Referensi Erwin Kreyszig Advanced Engineering Mathematics. Ed 10 th. USA : John Wiley & Sons, Inc.