materio.r Statistika A. PENDAHULUAN Statistika adalah ilmu yag mempelajari pegambila, peyajia, pegolaha, da peafsira data. Data terdiri dari dua jeis, yaitu data kualitatif (sifat) da data kuatitatif (agka). B. PENYAJIAN DATA Peyajia data terdiri dari dua: 1) Peyajia data tuggal ) Peyajia data kelompok Data tuggal dapat disajika dalam betuk: Berjajar 9 9 9 9 9 9 9 Tabel distribusi frekuesi Diagram batag Diagram garis Frekuesi 3 9 3 9 MAT Diagram ligkara (sudut atau presetase) 9 1% % 1% % Diagram batag-dau % % 9 % % 1% Data tuggal dapat diubah peyajiaya mejadi data kelompok, dega cara berikut: 1) Peetua rage/jagkaua data. R = x maks x mi ) Peetua bayak kelas/kelompok data yag aka dibuat. k = 1 + 3,3.log 3) Peetua pajag atau lebar kelas/ kelompok, yaitu iterval data dari tiap kelompok. c = R k c = : c = 9,33 9 x maks = data terbesar x mi = data terkecil R = - = = bayak data k = 1 + 3,3.log k = 1 +, =, 9 9 1
materio.r Setelah dihitug, data majemuk dapat disajika dalam betuk: Tabel distribusi frekuesi kumulatif/kelompok Frekuesi - 3 + -3 + - 9 + 3-91 11 + 9-3 Usur-usur dalam peyajia data majemuk berdasarka pedekata t.d. frekuesi kumulatif: 1) Batas bawah (BB), merupaka ilai terkecil dalam suatu iterval. ) Batas atas (BA), merupaka ilai terbesar dalam suatu iterval. Cotoh: Pada iterval -3, batas bawah adalah da batas atas adalah 3. 3) tegah iterval, dega rumus: M = B B + B A ) Tepi bawah, dega rumus: ) Tepi atas, dega rumus: ) Pajag kelas, merupaka pajag iterval kelas dega rumus: Betuk lai tabel distribusi frekuesi kelompok: T.d. frekuesi kumulatif kurag dari ( ) yag diguaka adalah tepi atas tiap kelas. F. Kumulatif, 3, 1 +, 1 + 9 91, 3 + 11, 3 + 3 T.d. frekuesi kumulatif lebih dari ( ) yag diguaka adalah tepi bawah tiap kelas. F. Kumulatif, ( + 3) M = = 9 T B = B B 1 / ketelitia data T A = B A + 1 / ketelitia data c = T A - T B c = 3,, c = 9, 33-3, 3 33 -, 1 3-9 TB = ½.1 TB =, TA = 3 + ½.1 TA = 3, 91, 3 1-11 Ogif positif MAT Data yag diguaka utuk ogif positif berasal dari tabel distribusi kumulatif kurag dari dega tambaha tepi bawah dari kelas teredah. Ciri dari ogif positif adalah grafikya meaik. 3 3 1 Ogif egatif,, 3,, 91,, Data yag diguaka utuk ogif egatif berasal dari tabel distribusi kumulatif lebih dari dega tambaha tepi atas dari kelas tertiggi. Ciri dari ogif egatif adalah grafikya meuru. 3 3 1,, 3,, 91,, Histogram (diagram batag) Data yag diperluka histogram adalah tepi atas da tepi bawah tiap kelas. 11 9 3 1,, 3,, 91,,
materio.r Poligo frekuesi (diagram garis) Data yag diperluka poligo frekuesi adalah ilai tegah dari tiap kelas, da ilai tegah satu kelas sebelum da sesudah data kelas yag ada. 1 C. PENGOLAHAN DATA TUNGGAL Pegolaha data tuggal terdiri dari: a. Ukura pemusata data, terdiri dari mea, modus, da kuartil. b. Ukura peyebara data (dispersi), terdiri dari rage, hampara, simpaga kuartil, lagkah, pagar luar, pagar dalam, simpaga rata-rata, ragam, da simpaga baku. D. PEMUSATAN DATA TUNGGAL Mea adalah ilai rata-rata hitug seluruh data yag ada. x = Σ x i Mea juga dapat dicari dega ilai rata-rata semetara. Cotoh: Dari data berikut: 11, 11, 11, 11, 11, 11, 119,, 11, 1, tetuka mea! x = 11+11+11+ +1 = 11,9 Misalya jika rata-rata semetara yag dipilih adalah 11, maka: -3 11-3 - + +3 + + 11 11 11 11 11 119 11 1 x = 11 + -3-3-+++++3++ x = 11 + 9 = 11,9 1 9 9 = Σ x i.f i x = x s + Σ d i = x s + Σ d i.f i xi = data = bayak data fi = frekuesi data x s = rata-rata semetara, diambil dari salah satu data di = selisih data dega rata-rata semetara (x i x s) MAT Modus adalah data yag palig serig mucul dari seluruh data yag ada setelah diurutka. Cotoh: Pada data berikut, 1,, 3, 3, 3,, modusya 3. 1, 1,,, 3, 3, modusya 1, da 3. 1, 1,,, 3, 3 modusya tidak ada. Kuartil adalah batas-batas ilai yag terdapat pada data apabila sekelompok data telah diurutka da dibagi mejadi bagia (3 batas). Kuartil terbagi mejadi tiga: a. Kuartil bawah (Q 1), adalah ilai tegah data pada pertegaha data pertama. b. Kuartil tegah/media (Q ), adalah ilai tegah seluruh data. c. Kuartil atas (Q 3), adalah ilai tegah data pada pertegaha data terakhir. Kuartil tegah/media dapat ditetuka dega rumus: Data gajil (mediaya terletak pada satu data) Q = x ke + 1 Data geap (media terletak di atara dua data) Q = 1 [(x ke )+ (x ke +1)] Kuartil atas da kuartil bawah dapat ditetuka dega rumus: Data gajil Q 1 = x ke 1 (+1) Data geap Q3 = x ke 3 (+1) Q 1 = x ke 1 (+) Q3 = x ke 3 (+) - 1 Batas-batas ilai lai yag memiliki kosep sama dega kuartil: a. Desil, membagi data mejadi bagia (9 batas) dega desil ke sebagai media. i( + 1) D i = x ke b. Persetil, membagi data mejadi bagia (99 batas), dega persetil ke sebagai media. i( + 1) P i = x ke 3
materio.r Statistik lima seragkai adalah peyajia data berupa diagram garis-kotak atau tabel yag memuat data kuartil, batas bawah, da batas atas. Diagram garis-kotak Tabel Q Q 1 Q 3 x mi x maks E. PENYEBARAN DATA TUNGGAL Pd data tidak ormal Rage adalah jagkaua dari seluruh data. + x mi Q 1 Q Q 3 x maks x mi Qd R J = x maks x mi Hampara adalah jagkaua atarkuartil yag merupaka selisih kuartil atas dega kuartil bawah. H = Q 3 Q 1 Simpaga kuartil adalah setegah dari hampara. Q d = 1 / H Lagkah adalah satu setegah kali dari hampara. L = 3 / H Pagar dalam adalah satu lagkah dibawah kuartil bawah. P d = Q 1 - L Pagar luar adalah satu lagkah di atas kuartil atas. P l = Q 3 + L L H Q 1 Q Q 3 data ormal x maks Pl data tidak ormal Pagar dalam da pagar luar berfugsi sebagai patoka utuk meyataka suatu data ormal atau tidak ormal. MAT Jika suatu data berada di luar pagar, maka data tersebut tidak ormal atau meyimpag (sagat berbeda dari data yag lai). Simpaga rata-rata adalah peyebara dari ilai rata-rata. S R = Σ x i-x Ragam/varia adalah jumlah kuadrat dari deviasi ilai-ilai data terhadap rata-rata. R = S = Σ (x i-x ) Simpaga baku/stadar deviasi adalah akar kuadrat dari ragam yag meujukka homogeitas kelompok. Maki kecil ilai simpaga baku maka dataya maki homoge. Pada pegolaha data tuggal, jika setiap data dikali/dibagi a da/atau ditambah/dikurag b: 1) Ukura pemusata data berubah sesuai uruta perubaha data yag terjadi. Cotoh: Jika setiap data berikut:,,,,,,, ditambah satu, kemudia dikali dua, maka rata-rataya mejadi? Pembuktia: Rata-rata awal: x = +++++++ =,3 Perubaha data mejadi:,,,,,,, 3, 3,,,,, 9, 11 ditambah 1,,,, 1, 1, 1, dikali Rata-rata setelah perubaha: x = ++++1+1+1+ = 1, rata-rata 1, didapat dari: x = (x + 1) x = (,3 + 1) x x = 1, ) Ukura peyebara data selai ragam haya berubah sesuai perubaha dikali/dibagi. Cotoh: Jika setiap data berikut:,,,,,,,, a. Jika dikali = Σ x i-x.f i S = R = Σ (x i-x ) = Σ (x i-x ).f i = Σ (x i-x ).f i b. Jika dikali kemudia ditambah c. Jika ditambah 1 kemudia dikali maka jagkaua masig-masigya adalah?
materio.r Pembuktia: Rage awal: J = = a. Perubaha:,,,, 1, 1, 1,, J = = 1 (didapat dari J = J) b. Perubaha:,,,, 1, 1, 1,, J = = 1 (didapat dari J = J) c. Perubaha: 1, 1,,,, 3, 3,, J = 1 = 3 (didapat dari J = J) 3) Utuk ragam, haya berubah sesuai perubaha dikali/dibagi, amu faktorya dikuadratka terlebih dahulu sebelum dikali/dibagi. Cotoh: Jika setiap data berikut:,,, 9, 1, 1,, dikali dua, maka ragamya mejadi? Pembuktia: Rata-rata awal: x = +++9+1+1+ Ragam awal: = 11 R = (-11) +(-11) +(-11) + +(-11) R = + +3 + +3 + +9 = Perubaha data mejadi:,,, 9, 1, 1,,, 1,, 3, dikali Rata-rata setelah perubaha: x = x = Ragam setelah perubaha: R = (-) +(-) +(1-) + +(-) R = 1 +1 + + + + +1 (didapat dari R = () R) F. PENGOLAHAN DATA MAJEMUK = Pegolaha data majemuk pada dasarya sama dega data tuggal amu memiliki cara yag berbeda utuk meghitugya. G. PEMUSATAN DATA MAJEMUK Mea dapat dihitug dega tiga cara: 1) Metode biasa x = Σ x i.f i xi = ilai tegah tiap kelas ) Metode simpaga x = x s + Σ d i.f i 3) Metode codig MAT x s = rata-rata semetara, diambil dari salah satu ilai tegah kelas di = selisih ilai tegah tiap kelas dega ratarata semetara (x i x s) μ i = d i c Modus terletak pada kelas/iterval dega frekuesi terbayak. Modus dapat dicari: Mo = T B + ( S 1 S 1 +S ) x = x s + Σ μ i.f i Media, kuartil, desil, persetil terletak pada kelas yag merupaka batas dari kuartil, desil atau persetil tersebut. Cara meetuka batas kuartil, desil da persetil sama dega caradata tuggal. Media dapat dihitug dega rumus: Kuartil dapat dihitug dega rumus: Desil dapat dihitug dega rumus: ui = kode kelas i c = pajag kelas TB = tepi bawah kelas modus S1 = selisih frekuesi dega kelas sebelum kelas modus S = selisih frekuesi dega kelas sesudah kelas modus c = pajag kelas Q = T B + 1 - f kq f q TB = tepi bawah kelas media fkq = frekuesi kumulatif kelas sebelum kelas media fq = frekuesi kelas media Q i = T B + i - f kq i f qi TB = tepi bawah kelas Qi fkq = frekuesi kumulatif kelas sebelum kelas Qi fq = frekuesi kelas Qi D i = T B + i - f kd i f di TB = tepi bawah kelas Di fkd = frekuesi kumulatif kelas sebelum kelas Di fd = frekuesi kelas Di
materio.r Persetil dapat dihitug dega rumus: P i = T B + Daerah batasa selai kuartil, desil da persetil dapat ditetuka melalui persamaa: Cotoh: Diketahui ilai ulaga Matematika suatu kelas: Jumlah murid - 3-9 - -9 - -9 Teryata, guru Matematika kelas tersebut meyataka % murid di kelas tersebut lulus ulaga. Tetuka KKM utuk lulus! Jawab: i - f kp i f pi TB = tepi bawah kelas Pi fkp = frekuesi kumulatif kelas sebelum kelas Pi fp = frekuesi kelas Pi N = T B + x - f ks f k N = ilai tertiggi dari x data yag pertama TB = tepi bawah kelas batasa x = bayak data daerah sebelum N fks = frekuesi kumulatif kelas sebelum kelas batasa fk = frekuesi kelas batasa Semetara, kita aggap batas ilai teredah utuk lulus adalah ilai tertiggi dari murid yag tidak lulus. Jumlah murid tidak lulus = % x = murid Berarti, batasa terletak pada ilai -. N = 9, + -1 x N = 9, + 1, = 1, H. PENYEBARAN DATA MAJEMUK Rage dapat dirumuska: Simpaga rata-rata dapat dirumuska: S R = Σ x i-x.f i MAT Ragam da simpaga baku dapat dihitug dega cara: 1) Metode biasa Ragam R = S = Σ (x i-x ).f i Simpaga baku S = R = Σ (x i-x ).f i ) Metode simpaga Ragam R = S = Σ d i.f i Simpaga baku S = R = Σ d i.f i 3) Metode codig Ragam R = S = [ Σ μ i.f i Simpaga baku xi = ilai tegah tiap kelas - ( Σ d i.f i ) ( Σ d i.f i ) - ( Σ μ i.f i ) ] S = R = [ Σ μ i.f i - ( Σ μ i.f i ) ] J = x maks x mi Hampara dapat dirumuska: H = Q 3 Q 1 Simpaga kuartil dapat dirumuska: Q d = 1 / H