BAB LANDASAN TEORI. Persamaa Diferesial Defiisi. Persamaa diferesial adalah suatu persamaa diatara derivatif-derivatif ag dispesifikasika pada suatu fugsi ag tidak diketahui, ilaia, da diketahui jumlah serta fugsia (Birkhoff, 978). Berdasarka jumlah variabel bebasa persamaa diferesial dibagi dalam dua kelas aitu persamaa diferesial biasa (PDB) da persamaa diferesial parsial (PDP). Defiisi. Persamaa diferesial parsial (PDP) adalah persamaa diferesial ag meagkut turua parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas. (Ross, 984: 4) Cotoh : ) u u u t, ) z z z 0.
Defiisi.3 Persamaa diferesial biasa (PDB) adalah persamaa diferesial ag meagkut turua biasa dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas. (Ross, 984: 4) Cotoh : d ) e si( ) ) ( ) ( ) d 0 Defiisi.4 Tigkat (order) dari persamaa diferesial didefiisika sebagai tigkat dari derivatif tertiggi ag mucul dalam persamaa diferesial. (Nugroho, D.B, 0: ) Cotoh : ) ' 3 0 : PD tigkat ) d 3 d 3 si 3 : PD tigkat 3 Defiisi.5 Derajat (degree) dari suatu persamaa diferesial adalah pagkat dari suku derivatif tertiggi ag mucul dalam persamaa diferesial. (Nugroho, D.B, 0: ) Cotoh : ) 4 3 d d 3 : PD derajat ) 3 4 ( '') ( ') 5 : PD derajat 3
Istilah persamaa diferesial pertama kali diguaka oleh Leibiz pada tahu 676 utuk meujukka sebuah hubuga atara diferesial da d dari dua variabel da. Suatu persamaa diferesial biasa ordo satu adalah suatu persamaa ag memuat satu variabel bebas, biasaa diamaka, satu variabel tak bebas, biasaa diamaka, da derivatif dapat diataka dalam betuk d. Suatu persamaa diferesial biasa ordo satu tersebut d f (, ) (.) Dega f (, ) adalah kotiu di da. serigkali persamaa (.) dituliska dalam betuk diferesial baku M(, ) N(, ) d 0 (.) PDB dega ordo, merupaka persamaa dega satu variabel ag dapat dituliska dalam betuk : d d d F(,,,,..., ) 0 (.3) dega f ( ) Jika diambil () sebagai suatu fugsi satu varibel, dega diamaka varibel bebas da diamaka variabel tak bebas, maka secara umum sebuah persamaa diferesial biasa liier da o-liier dapat dituliska sebagai : f,,,..., d d d (Rao, 00) (.4)
. Persamaa Diferesial Biasa Liier Defiisi.6 Suatu persamaa diferesial dikataka liier jika tidak ada perkalia atara varibel-variabel tak bebas da turua-turuaa. Dega kata lai, semua koefisiea adalah fugsi dari variabel-variabel bebas. (Nugroho, D.B, 0: 3) Persamaa diferesial liier dapat diklasifikasika berdasarka tigkat (ordo) tertiggi dari turua ag terkadug dalam persamaa diferesial. Pada setiap persama diferesial ag sudah diklasifikasika berdasarka ordo, persama diferesial tersebut juga dapat diklasifikasika mejadi persamaa diferesial liier homoge da persamaa diferesial liier tak homoge... Persamaa Diferesial Liier Tigkat Satu Suatu persamaa diferesial tigkat satu dikataka liier dalam jika persamaa tidak dapat memuat hasil kali, pagkat atau kombiasi o-liier laia dari atau. Dipuai betuk ag palig umum aitu d F( ) G( ) H( ) Atau mucul dalam betuk ag lebih biasa dega membagika setiap fugsi dega F() sehigga diperoleh d P( ) Q( ) (.5) dimaa P ( ) G ( ) F ( ) da Q ( ) H( ) F ( ) adalah adalah fugsi kotiu atau kostata sembarag. Jika P ( ) 0, maka persamaa dapat diselesaika dega itegrasi
lagsug, atau jika Q ( ) 0, maka persmaa adalah terpisahka da juga merupaka persamaa diferesial liier ag homoge. Persamaa (.5) memiliki beberapa kemugkia peelesaia ag terjadi, aitu :. Utuk P ( ) 0 maka persamaa (.5) mejadi persamaa d Q ( ) (.6) Persamaa (.6) dapat diselesaika dega itegrasi lagsug sehigga peelesaia diperoleh Q( ) c (.7). Utuk Q ( ) 0 maka persamaa (.5) mejadi persamaa d P( ) 0 (.8) Persamaa (.8) adalah persamaa diferesial terpisahka. Persamaa diferesial terpisahka (separable differetial equatio) adalah suatu persamaa diferesial biasa tigkat satu ag secara aljabar dapat direduksi ke suatu betuk diferesial baku dega setiap suku tak ol memuat secara tepat satu variabel. 3. Utuk P ( ) da Qadalah ( ) fugsi kotiu maka solusi persamaa (.5) adalah sebagai berikut : Misalka adalah perkalia dua parameter U() da V() sehigga diperoleh U( ) V( ) (.9) d ( ) ( ) U( ) dv V ( ) du (.0)
Subtitusika persamaa (.0) ke persamaa (.5) maka dv ( ) du ( ) U( ) V ( ) P( ) U( ) V ( ) Q( ) dv ( ) du ( ) U( ) P( ) V ( ) V ( ) Q( ) (.) Dari persamaa (.) dapat diambil dua persamaa aitu :. dv ( ) P( ) V ( ) 0, sehigga dv ( ) P( ) V ( ) dv ( ) V( ) P( ) (.) dega megitegralka kedua sisi persamaa (.) dv ( ) V( ) P( ) l V ( ) P( ) P( ) V ( ) e (.3). V ( ) du ( ) Q( ), sehigga du ( ) Q( ) V ( ) (.4) Subtitusika persamaa (.3) ke persamaa (.4) diperoleh du ( ) Q( ) e P( )
du ( ) Q( ) e P( ) P( ) du ( ) Q( ) e (.5) itegralka persamaa persamaa (.5) P( ) du ( ) Q( ) e P( ) U( ) Q( ) e + c (.6) subtitusika persamaa (.3) da (.6) ke persamaa (.9) P( ) P( ) Q( ) e c e l P( ) P( ) e Q( ) e c e (.7) Berikut merupaka cotoh persamaa diferesial liier tigkat satu. 3 ' e d. ta( ) sec( ).. Persamaa Diferesial Liier Tigkat Dua Defiisi.7 Persamaa diferesial biasa tigakat dua dikataka liier jika persamaa diferesial berbetuk d d P( ) Q( ) H( ) (.8)
dega P, ( ) Qda ( ) H( ) adalah fugsi dari peubah bebas. (Muzir, said da Marwa, 009).... Persamaa Diferesial Liier Tigkat Dua Homoge Secara khusus, persamaa diferesial liier tigkat dua homoge mempuai betuk d d P( ) Q( ) 0 (.9) Persamaa diferesial tigkat dua homoge selalu mempuai dua peelesaia ag bebas liier. Jika ( ) da ( ) adalah dua peelesaia ag bebas liier utuk persamaa (.9), maka ( ) c ( ) c ( ) adalah peelesaia umum utuk persamaa (.9) Persamaa Diferesial Liier Homoge Dega Koefisie Kosta Suatu persamaa diferesial dikataka persamaa diferesial liier tigkat dua homoge dega koefisie kostata apabila H ( ) 0, berarti betuka mejadi d d p q 0 (.0) dimaa p da q adalah kostata riil. Persamaa diferesial liier homoge tigkat satu dega koefisie kosta mempuai peelesaia c e. Utuk memperoleh suatu ide megeai perkiraa peelesaia dalam kasus tigkat dua, dicoba utuk meemuka peelesaia
persamaa (.0) dalam betuk m e dega m adalah suatu kostata. Didiferesialka peelesaia m e diperoleh m e (.a) m ' me (.b) m '' m e (.c) Persamaa (.a),(.b) da (.c) disubtitusika ke persaamaa (.0) diperoleh akar-akar karakteristik sebagai berikut : m m m m e pme qe 0 m m pm q e 0 m pm q 0 m, p p 4q p p 4q m ; m p p 4q Ada beberapa variasi dari akar-akar karakteristik ag diperoleh dari peelesaia homoge tergatug pada jeis persamaa ag diselesaika. Berikut variasi akar-akar karakteristik ag aka dibahas cara peelesaiaa. a. Bila akar karakteristik m m da bilaga riil ag berbeda, maka peelesaia homogea adalah sebagai berikut : c e c e m m b. Bila akar karakteristik m m da bilaga riil ag tidak berbeda, maka peelesaia homogea adalah sebagai berikut :
c c e m c. Bila akar karakteristik bilaga kompleks m, i maka peelesaia homogea adalah : c e c e ( i) ( i) i i ce e ce e c e cos isi c e cos isi c e ( c c )cos ( c c ) isi e Acos Bi si Persamaa Diferesial Liier Homoge Dega Koefisie Peubah Suatu persamaa diferesial dikataka persamaa diferesial liier tigkat dua homoge dega koefisie peubah apabila H ( ) 0, berarti betuka mejdi d d P( ) Q( ) 0 dimaa Pda ( ) Qadalah ( ) fugsi ag kotiu. Pada umuma tidak ada cara utuk meelesaika persamaa diferesial liier homoge dega koefisie peubah secara eksplisit, kecuali persamaa diferesial ag berbetuk khusus, misala persamaa dfieresial tipe Euler da persamaa diferesial tigkat dua ag telah diketahui salah satu peelesaiaa. Pada bagia ii ag aka dibicaraka adalah persamaa diferesial Euler khususa persamaa diferesial Euler tigkat dua. berbetuk Suatu persamaa diferesial Euler adalah suatu persamaa diferesial a a... a ' a 0 (.) ( ) ( ) 0
dimaa a, a,..., a, a 0 merupaka kostata-kostata da a 0. Karea koefisie pertama a tidak aka perah ol, selag defiisi persamaa diferesial (.) ialah salah satu dari dua selag terbuka (0, ) atau (,0). Ii berarti, persamaa diferesial itu aka diselesaika utuk 0 atau 0. Persamaa diferesial Euler mugki merupaka tipe termudah dari persamaa diferesial liier dega koefisie peubah. Alasa utuk ii ialah bahwa perubaha peubah bebas t e jika t e jika 0 0 meghasilka suatu persamaa diferesial dega koefisie kostata. Fakta ii dilukiska utuk kasus tigkat dua. Jika maka pada persamaa (.) aka diperoleh a '' a ' 0 (.3) 0 Pada persamaa (.3) merupaka suatu betuk dari persamaa diferesial tigkat dua dimaa a, a da a 0 adalah kostata.... Persamaa Diferesial Liier Tigkat Dua Tidak Homoge Dega Koefisie Kosta kosta adalah Betuk umum persamaa diferesial liier tigkat dua dega koefisie d d p q H( ) (.4) dimaa :
. p da q adalah kostata da H ( ) 0. Liier dalam 3. Turua tigkat dua Utuk meelesaiaka persamaa (.4), dapat dicari peelesaia umum dega jala mejumlahka peelesaia homoge h da peelesaia partikuler p. Tetapi dalam meelesaika persamaa (.4) terlebih dahulu mecari peelesaaia homoge. Dari persamaa (.4) terdapat berbagai betuk kasus H( ) ag mugki terjadi diataraa adalah :. H( ) P ( ), dimaa P ( ) adalah suatu polomial berpagkat.. H( ) P ( ) e, dimaa adalah kostata. 3. H( ) e P ( )cos Q ( )si, dimaa P( ) da Q ( ) adalah suatu polomial berpagkat sedagka da adalah kostata. 4. H( ) M cos N si, dimaa M, N da adalah kostata...3 Persamaa Diferesial Liier Tigkat Tiggi Defiisi.6 Persamaa diferesial liier tigka adalah persamaa difreesial ag memiliki betuk umum: d d d... d 0 a ( ) a ( ) a ( ) a ( ) a( ) b( ) (.5) dega a 0, a,..., a, ada b fugsi-fugsi kotiu pada iterval I ag haa bergatug pada saja da a ( ) 0 0. (Ross, 984: 5)
.3 Masalah Nilai Awal ( Iitial Value Problem) Suatu persamaa diferesial biasa dega sarat tambaha pada fugsi ag tidak diketahui da derivatif-derivatifa, semua diberika ilai ag sama utuk variabel bebas, merupaka suatu masalah ilai awal (iitial value problem). Sarat tambaha tersebut diamaka sarat awal (iitial coditio). Jika sarat tambaha diberika pada lebih dari satu varibel bebas, diamaka masalah ilai batas (boudar value problem) da sarata diamaka sarat batas. Secara umum, problem persamaa diferesial biasa selalu melibatka ilai awal (iitial-value), ag dapat ditulis sebagai berikut : ( ) f (, ( )), ( 0 ) 0,, 0, (.6) dega kodisi awal ( 0) 0 ag dipaggil sebuah masalah ilai awal (iitial value problem).(verer, 00)..4 Kesalaha (Error) Dalam suatu perhituga matematik, kita selalu berusaha utuk memperoleh jawaba ag eksak, misala utuk meghitug suatu variabel tertetu dari suatu persamaa matematik. Aka tetapi, jawaba ag demikia jarag kita peroleh, maka sebagai solusia diguaka metode umerik. Dalam metode umerik pada tiap lagkah peelesaiaa dari formulasi higga komputasia haa aka meghasilka solusi pedekata (buka solusi eksak). Oleh karea itu peelesaia secara umerik memberika hasil pedekata ag berbeda dega peelesaia secara aalitis. Adaa perbedaa iilah ag serig disebut sebagai error. Dalam metode umerik error serig juga disebut dega istilah error. Hubuga atara ilai eksak, ilai pedekata da error dapat dirumuska sebagai berikut:
Nilai eksak = pedekata + error Error absolut suatu bilaga adalah selisih atara ilai sebeara dega ilai pedekata. Secara matematis, jika adalah solusi hampira da solusi eksak, error diataka oleh a adalah a error dapat berilai positif atau egatif. Jika tada error tidak dipertimbagka, error absolut didefiisika sebagai a (.7) dega : a = ilai sebeara = ilai perkiraa = kesalaha absolut (kesalaha terhadap ilai sebeara) Ugkapa kesalaha megguaka rumus di atas kurag begitu bermaka karea tidak meujukka secara lagsug seberapa besar error itu dibadigka dega ilai eksaka. Sebagai cotoh, jika ilai eksaka a = 0 da ilai hampiraa = 0,, error absoluta adalah 0,. Error ag sama aka diperoleh jika a = 8 da = 7,8. Ketika seseorag melaporka hasil perhitugaa 0,, tapa meebutka ilai eksaka, kita tidak medapatka iformasi ag legkap. Istilah kesalaha relatif mucul utuk meghidari salah iterpretasi terhadap ilai error. Kesalaha relatif didefiisika sebagai r a (.8)
Aka tetapi, dalam metode umerik, kita tidak megetahui ilai sejatia sehigga sulit utuk medapatka error relatif ii. Utuk megatasi hal tersebut, error dibadigka dega ilai hampiraa (disebut error relatif hampira), aitu r 00% dega : r = kesalaha relatif = kesalaha absolut = ilai perkiraa Di dalam metode umerik serig dilakuka pedekata secara iteratif. Pada pedekata tersebut perkiraa sekarag dibuat berdasarka perkiraa sebeluma. Dalam hal ii, kesalaha adalah perbedaa atara perkiraa sebeluma da perkiraa sekarag, da kesalaha relatif dapat dituliska dalam betuk : dega : r ( - ) : ilai perkiraa pada iterasi ke 00% : ilai perkiraa pada iterasi ke +.4. Pembagia Kesalaha Kesalaha dalam metode umerik disebabka oleh hal-hal berikut, aitu :. Kesalaha Pemotoga (Trucatio Error) Merupaka kesalaha ag terjadi akibat pegguaa metode itu sediri dalam meelesaika suatu persoala matematika. Kesalaha pemotoga aitu kesalaha ag disebabka karea kita meghetika suatu deret atau rutua dega suku-suku ag tidak berhigga mejadi deret dega suku-suku ag
berhigga. Kesalaha ii timbul akibat pegguaa hampira sebagai peggati formula eksak. Biasaa serig terjadi dalam peelesaia umerik dega megguaka deret Talor. Utuk peederhaaa permasalaha biasaa perhatia haa ditujuka pada beberapa suku dari deret Talor tersebut, sedagka suku ag laia diabaika. Pegabaia iilah ag meebabka terjadia kesalaha. Cotoha, hampira fugsi cos() dega Deret Talor : Cos() = /! + 4 /4! + 6 /6! + 8 /8! + 0 /0! +... Pemotoga ilai hampira error pemotoga. Kesalaha Pembulata (Roud-off Error) Kesalaha pembulata merupaka suatu keharusa pada batas ketilitia (batas/titik ambag) aritmatika ag biasaa diguaka dalam metode ag diimplemetasika terhadap komputer. Kesalaha tersebut bergatug pada bilaga da tipe dari operasi aritmatika ag diguaka pada sebuah lagkah. Kesalaha pembulata aitu kesalaha ag disebabka oleh keterbatasa jumlah digit komputer dalam meataka bilaga riil. Bilaga riil ag pajaga melebihi jumlah digit komputer dibulatka ke bilaga terdekat. Secara ormal, kesalaha pembulata tidak begitu diperhitugka pada algoritma aalisis umerik, karea bergatug pada komputer ag algoritma diimplemetasika da merupaka algoritma umerik eksteral. Cotoha, bilaga riil tapa akhir 0.666666., pada komputer 7 digit diataka sebagai 0.6666667. 3. Kesalaha pada data masuka (error i origial data) Merupaka kesalaha ag terjadi akibat dari gaggua ag ada pada data masuka ag aka diproses, atau adaa iformasi tertetu ag tidak diketahui (ukow iformatio) terikut dalam proses perhituga. Misala pada
kebaaka pemodela matematika suatu sistem fisik, biasaa ada suatu faktor ag tidak kelihata pegaruha terikut dalam proses. Hal ii aka meebabka kesalaha pada outputa. 4. Bluders (gross error) Merupaka kesalaha ag terjadi akibat kesalaha mausia atau mesi hitug ag diguaka, Kesalaha jeis ii bisa dikuragi dega melakuka pekerjaa ag berulag-ulag da memilih mesi hitug ag baik kualitasa..5 Metode Deret Talor Metode deret Talor adalah metode ag umum utuk meuruka rumus-rumus solusi PDB. Metode ii pada dasara adalah merepresetasika solusia dega beberapa suku deret Talor. Metode deret talor juga berkaita dega masalah ilai awal aitu : d f (, ), ( 0) 0 (.9) Disii, kita asumsika bahwa f (, ) adalah fugsi ag dapat dideferesialka sedemikia mugki ag berkeaa dega da. Jika ( ) adalah solusi eksak dari persamaa (.9), kita dapat memperluas ( ) dega deret Talor pada titik 0 da memperoleh ( ) 3 ( 0) ( 0) ( 0 ) ( 0 ) '( 0) ''( 0) '''( 0)! 3! ( ) 4! 4 0 IV 0 ( )... Jika kita diberika h 0, kita dapat meuliska deret sebagai berikut: ( ) 3 h h ( 0 ) h '( 0 ) ''( 0 ) '''( 0 )! 3!
(Gerald, 004) 4 h IV ( 0)... (.30) 4! Persamaa (.30) meiratka bahwa utuk meghitug hampira, ( ) kita perlu meghitug '( 0), ''( 0), '''( 0), IV ( 0),..., ( 0),... ag dapat dikerjaka dega rumus ( k) ( k ) P f ( ) (, ) (.3) ag dalam hal ii k adalah ordo da P adalah operator turua aitu, P f (.3) (Muir, 00) Sehigga dega megguaka persamaa diferesial parsial diperoleh '( ) f (, ) f f d ''( ) f ff (.33a) (.33b) '''( ) f ff f ( ff ff ) f ( f ff ) f ff f f f f ff (.33c) ( ) f ff f f f f ff f f IV ( ) 3 3 ( ) (.33d) 3( f ff )( f ff ) f ( f ff ) da seterusa. Melajutka cara ii, kita dapat meataka turua apa saja dari ag berkeaa f (, ) da turua parsiala.
.6 Metode Ruge Kutta Secara perhituga komputer, metode ag palig efisie ag berkeaa dega keakurata dari solusi persamaa diferesial biasa dikembagka oleh dua orag ahli matematika Jerma sekitar tahu 900. Mereka adalah Carl David Tolmé Ruge da Marti Wilhelm Kutta. Metode tesebut dikeal sebagai Metode Ruge-Kutta (RK). Metode ii juga dibedaka dega ordo-ordoa. Metode Ruge-Kutta memperoleh akurasi dari pedekata deret Talor tapa memerluka perhituga derivatif ag lebih tiggi. Peelesaia PDB dega metode deret Talor tidak praktis karea metode tersebut membutuhka perhituga turua f (, ). Lagi pula, tidak semua fugsi mudah dihitug turuaa, terutama bagi fugsi ag betuka rumit. Semaki tiggi ordo metode deret Talor, semaki tiggi turua fugsi ag harus dihitug. Karea pertimbaga ii, metode deret Talor ag berordo tiggi pu tidak dapat diterima dalam masalah praktek. Metode RK adalah alteratif lai dari metode deret Talor ag tidak membutuhka perhituga turua. Metode ii berusaha medapatka tigkat ketelitia ag lebih tiggi, da sekaligus meghidarka keperlua mecari turua ag lebih tiggi dega jala megevaluasi fugsi f (, ) pada titik terpilih dalam setiap selag lagkah. Metode RK adalah metode PDB ag palig popular karea baak dipakai dalam masalah duia ata. Metode Ruge-Kutta meghitug pedekata utuk ( ) dega i i i ilai awal ( ), dimaa i, megguaka ekspasi deret Talor. Utuk i i memperoleh sebuah tahap- metode Ruge-Kutta (fugsi i megevaluasi setiap lagkah) kita peroleh i i h ( i, i; h ), (.34) dimaa (, ; h) a k, i i j j j
Sehigga diperoleh i i j j j h a k (.35) Persamaa (.35) merupaka rumus metode Ruge-Kutta Ordo- utuk mecari solusi dari suatu persamaa diferesial, dimaa k adalah j i j i jl l l j k f h p, h q k, (.36) p 0 dari pejabara persamaa (.38) diperoleh k f ( i, i) k f ( p h, q k ) i i k f ( p h, q k q k ) 3 i 3 i 3 3 k f ( p h, q k q k... q k ) i i ( ) ( ) Utuk keamaa, koefisie p,q, da a dari metode Ruge-Kutta dapat ditulis dalam betuk arra Jagal : p q a T Utuk lebih jelasa arra jagal diperlihatka sebagai berikut 0 p q p q q q, a a a a
T dimaa p p, p,..., p, a a, a,..., a da q q jl. T Nilai a, p, q dipilih sedemikia rupa sehigga memiimumka error per j j jl lagkah, da persamaa (.35) aka sama dega metode deret Talor dari ordo setiggi mugki. Perhatika bahwa k adalah hubuga ag selalu berulag, k hadir dalam persamaa utuk k, k hadir dalam persamaa k 3, da seterusa. a, p, q merupaka parameter-parameter ag diguaka pada metode Ruge Kutta. j j jl.6. Metode Ruge Kutta Ordo- Dega megambil = pada persamaa (.35) maka metode Ruge Kutta ordo- dapat dituliska dalam betuk umum sebagai berikut : ( a k a k ) h (.37) i i dega k f ( i, i) (.38a) k f ( p h, q k h ) (.38b) i i Supaa dapat megguaka persamaa (.37), kita harus meetuka hargaharga parameter a, a, pda q. Utuk melakuka ii, kita igat bahwa Deret Talor ordo kedua utuk i ag diataka oleh i da f ( i, i) ditulis sebagai berikut : h i i f ( i, i ) h f '( i, i ) (.39)
dimaa fugsi f '(, ) harus ditetuka melalui atura ratai diferesiasi : i i f '(, ) i i f f d (.40) Subtitusika persamaa (.39) ke persamaa (.40), diperoleh : i i f ( i, i ) h f f d h (.4) Strategi dasar ag meggarisbawahi meode Ruge-Kutta ialah bahwa metode tersebut megguaka maipulasi aljabar utuk meelesaika harga-harga a, a, p da q, ag mejadika persamaa (.37) da persamaa (.4) ekuivale. Utuk melakuka ii, pertama-tama kita megguaka sebuah Deret Talor utuk memperluas persamaa (.39). Deret Talor utuk suatu fugsi dua variabel didefiisika sebagai : g g( r, s) g(, ) r s g... (.4) memberika : Dega meerapka metode ii utuk memperluas persamaa (.38.b) aka f f f p h q k h f p h q k h h ( i, i ) ( i, i) 0( ) (.43) Hasil ii dapat disubtitusika bersama-sama dega persamaa (.38a) da (.38b) utuk memberika : f f 3 i i ahf ( i, i ) ahf ( i, i ) a ph aqh f ( i, i) 0( h ) (.44)
Dega megelompokka suku-sukua diperoleh : f f a f a f h a p a q f h h 3 i i [ ( i, i) ( i, i)] ( i, i) 0( ) (.45) Sekarag badigka persamaa (.44) dega persamaa (.45), sehigga aka diperoleh : a a a p a q Karea ada empat parameter dalam tiga persamaa, maka harus diasumsika satu ilai parameter utuk meetuka tiga parameter laia. Misala ditetuka suatu ilai parameter a, maka diperoleh : a a (.46a) p q a Sarat a 0. (.46b) Karea dapat dipilih tak higga ilai utuk a, maka ada baak solusi utuk metode Ruge-Kutta ordo-. Tiap versi memberika hasil ag sama dega eksaka jika solusi dari persamaa diferesial adalah kuadratik, liier, atau kosta. Tiga versi ag serig diguaka dari metode Ruge-Kutta ordo- adalah :
a. Metode Heu dega Korektor Tuggal Jika a diambil sama dega ½, maka dari persamaa (.46) diperoleh pula a, p q. Nilai-ilai ii disubtitusika ke persamaa (.47), maka diperoleh : dega i i ( k k) h k f ( i, i) k f ( h, h k ) i i Perhatika bahwa k adalah slope pada awal iterval, da k adalah slope pada akhir iterval. b. Metode Poligo ag Diperbaiki (Improve Polgo Method) Jika a diambil sama dega 0, maka dari persamaa (.46) diperoleh pula a, p q. Nilai-ilai ii disubtitusika ke persamaa (.47), maka da diperoleh: k h i i dega k f ( i, i) k f ( i h, i h k)
c. Metode Ralsto Ralsto (96) da Ralsto & Rabiowitz (978) meataka bahwa pemiliha a aka memberika batas miimum trucatio error utuk Ruge Kutta ordo 3 dua. Jika a, maka 3 a 3 da p 3 q sehigga diperoleh : 4 4 i i k k h 3 3 dega : k f ( i, i) 3 3 k f ( i h, i h k) 4 4.6. Metode Ruge Kutta Ordo-3 Seperti hala versi orde dua, maka versi Ruge-Kutta ordo-3 pu ada baak macama. Salah satu versi Ruge Kutta ordo-3 ag dapat dipakai adalah : i i k 4k k3 h 6 dega: k f ( i, i) k f ( i h, i h k) k f ( h, h k h k ) 3 i i
.6.3 Metode Ruge Kutta Ordo-4 Metode Ruge Kutta ordo-4 ii juga terdapat dalam baak versi, amu persamaa berikut ii ag serig dipakai, da disebut sebagai metode Ruge-Kutta ordo-4 klasik : i i k k k3 k4 h 6 dega : k f ( i, i) k f ( i h, i h k) k3 f ( i h, i h k) k f ( h, h k ) 4 i i 3.6.4 Metode Ruge Kutta Ordo Tiggi Metode Ruge Kutta ordo-5 dituruka oleh Butcher (964) sebagai berikut : i i 7 k 3 k3 k4 3 k5 7 k6 h 90 dega : k f ( i, i) k f ( i h, i h k) 4 4
k3 f ( i h, i h k h k) 4 8 8 3 3 9 (, ) 4 6 6 k4 f ( i h, i h k h k3) k5 f i h i h k h k4 3 8 k5 f ( i h, i h k h k h k3 h k4 h k5) 7 7 7 7 7