RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN ( R P P ) Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Kelas/Semester : XI IPS/ Ganjil Alokasi waktu : 2 x 45 menit I. Standar Kompetensi 1.1 Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah II. Kompetensi Dasar 2.1 Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah. III. Indikator 3.1 Menentukan banyaknya cara dari suatu peristiwa dengan menggunakan permutasi dengan unsur-unsur yang sama. 3.2 Menentukan banyaknya cara dari suatu peristiwa dengan menggunakan permutasi siklis. IV. Tujuan Pembelajaran 4.1 Melalui diskusi kelompok dan pengerjaan LKS siswa dapat menentukan banyaknya cara dari suatu peristiwa dengan menggunakan permutasi dengan unsur-unsur yang sama. 4.2 Melalui diskusi kelompok dan pengerjaan LKS siswa dapat menentukan banyaknya cara dari suatu peristiwa dengan menggunakan permutasi siklis. Tujuan Karakter Bangsa 1. Menggunakan waktu dengan tepat dan cermat untuk menyelesaikan tugas (disiplin) 2. Memberikan kesempatan teman untuk berbeda pendapat (toleransi) 3. Menyimpulkan dan membuktikan sesuatu berdasarkan data-data yang benar diperoleh (jujur) 1
4. Berusaha dengan keras untuk menyelesaikan tugas (kerja keras, jujur) 5. Berusaha menemukan suatu prinsip/formula berdasarkan data-data yang diperoleh dari tugas yang dikerjakan (kreatif) 6. Bekerja sama dan saling memberikan pendapat dalam mengerjakan tugas (demokratis, saling menghargai) 7. Bertanya dan berusaha mencari sumber lain tentang materi yang terkait dengan pelajaran (rasa ingin tahu/pantang menyerah) 8. Menyampaikan pendapat dan menerima pendapat teman dalam kelompok untuk mengerjakan tugas yang diberikan (bersahabat/komunikatif) V. Materi Pelajaran A. Permutasi Khusus 1. Permutasi dengan Beberapa Unsur sama Misalkan kita akan menyusun 3 buah buku dalam sebuah rak dengan 2 buah buku Bahasa Indonesia (B) yang sama dan satu buku Matematika (M) Cara menyusun buku tersebut adalah : MBB BMB BBM MBB BMB BBM Namun karena 2 buku bahasa Indonesia sama, sehingga sebenarnya ada 3 cara menyusun buku di rak tersebut. MBB BMB BBM Yang perlu kita pikirkan: Ada 3! cara yang dapat dilakukan untuk menyusun buku jika buku tersebut dianggap berbeda. Ada 2! cara yang dapat dilakukan untuk menyusun buku bahasa Indonesia jika buku tersebut berbeda. Secara umum, jika terdapat n objek yang terdiri n 1 objek pertama yang sama, n 2 objek kedua yang sama, n 3 objek kedua yang sama, dan seterusnya sampai n k objek kedua yang sama. Maka banyaknya susunan objek yang mungkin adalah: n! n 1! n 2! n k! 2
2. Permutasi Siklis Permutasi siklis adalah susunan unsur-unsur yang membentuk lingkaran dengan memperhatikan urutannya. Untuk lebih memahami konsep permutasi siklis, perhatikan urauian di bawah ini. Misalkan Awan (A), Beti (B), dan Cinta (C) pergi ke restoran, mereka duduk mengelilingi meja berbentuk lingkaran. Posisi duduk mereka hanya dua kemungkinan seperti diperlihatkan oleh gambar berikut ini. Dalam bentuk bagan, gambar di atas dapat disederhanakan menjadi seperti berikut ini. Dari gambar di atas, jika dibaca searah dengan arah putaran jarum jam, kita peroleh tiga susunan yang mungkin, yaitu ABC, BCA, dan CAB Tetapi ketiga susunan ini sebenarnya memberikan susunan yang sama, yaitu susunan yang diperlihatkan oleh gambar (a). Seperti susunan gambar (a), susunan gambar (b) jika dibaca searah dengan arah putaran jarum jam, kita peroleh 3 susunan yang mungkin, yaitu ACB, CBA, dan BAC Ketiga susunan ini memberikan sebuah susunan yang sama, yaitu seperti yang diperlihatkan gambar (b). 3
Dari kedua ilustrasi ini, dapat kita simpulkan bahwa banyaknya susunan dari tiga huruf A, B, C yang ditempatkan pada kurva tertutup berbentuk lingkaran adalah 2! = 2 macam. Penempatan unsur-unsur dengan cara inilah yang disebut permutasi siklis. Cara berpikirnya adalah sebagai berikut: 1. Jika ada n orang yang duduk berjajar maka ada n! cara. 2. Jika duduk melingkar maka ada 1 orang yang menjadi patokan dan (n 1) orang yang duduk seperti duduk dalam posisi berjajar 3. Sehingga untuk (n 1) orang yang duduk berjajar ada (n 1)! cara. Sehingga banyaknya menyusun n unsur yang berlainan dalam lingkaran ditulis: P siklis n! n n n 1! Secara umum kita mempunyai aturan berikut ini. Jika tersedia n unsur berbeda, maka banyak permutasi siklis dari n unsur itu ditentukan dengan rumus: P siklis = (n 1)! Contoh 1: Tersedia 5 buah buku mata pelajaran berbeda, yakni buku Matematika, Biologi, Fisika, Kimia, dan Bahasa Indonesia. Jika akan disusun melingkar di atas meja, maka berapa cara penyusunan buku yang berbeda dapat dilakukan? Penyelesaian: Banyaknya cara menyusun buku yang berbeda = banyaknya permutasi siklis dari 5 unsur = ( 5 1)! = 4! = 4.3.2. 1 = 24 Jadi, banyaknya cara penyusunan buku yang berbeda adalah 24. 4
Contoh 2: Terdapat 4 buah buku yang terdiri dari 2 buku matematika, dan 2 buku fisika, akan disusun melingkar. Berapakah banyaknya susunan yang dapat dibuat jika a. urutan tidak diperhatikan b. buku mata pelajaran sejenis diletakkan berdampingan Penyelesaian: a. P S ( n 1)! (4 1)! 3! 3.2.1 6 cara b. ( n 1) a! b! (2 1)! 2! 2! 4cara P S VI. Model dan Metode Pembelajaran Model pembelajaran : Kooperatif Inkuiri Metode pembelajaran : 1. Tanya Jawab. 2. Pemberian Tugas. 3. Diskusi. VII. Langkah-Langkah Kegiatan Pembelajaran Langkah-langkah kegiatan pembelajaran. Struktur Aktivitas Guru Aktivitas Siswa Pendahuluan o Memberikan salam panganjali, mengecek kehadiran, dan menarik perhatian siswa agar siap mengikuti pembelajaran. o Memberikan salam panganjali kepada guru dan mempersiapkan buku pelajaran. Alokasi waktu 10 menit APERSEPSI o Mengingatkan kembali siswa tentang notasi faktorial dan permutasi secara umum. Disamping itu Guru mengaitkan materi dengan kehidupan seharihari. (Contohnya, dari hurufhuruf M, A, T, E, M, A, T, I, K, dan A, berapa banyak susunan huruf yang dapat dibuat?) o Mendengarkan dan menyimak penjelasan guru. 5
Inti MOTIVASI o Menyampaikan tujuan pembelajaran yang akan dicapai pada pembelajaran kali ini. o Memberikan acuan materi berupa penjelasan pokok dan uraian materi pelajaran secara garis besar. Menginstruksikan siswa untuk duduk secara berkelompok (dalam kelompok) EKSPLORASI o Memberikan LKS kepada masing-masing kelompok yang sudah dibentuk dan meminta siswa untuk mencermati LKS. Jika ada siswa atau kelompok yang belum mengerti instruksi dari LKS, guru dapat membantu siswa yang mengalami masalah o Mendengarkan dan mencermati penjelasan guru. Duduk berdasarkan kelompoknya. o Mencermati LKS yang diberikan. o Menanyakan pada guru jika ada instruksi pada LKS yang belum dipahami. 15 menit ELABORASI o Membantu siswa yang mengalami kesulitan dalam mengerjakan LKS dan soal penerapan dengan cara memberikan pertanyaan arahan sehingga siswa sendiri yang berhasil memecahkan masalah tersebut. o Masing-masing perwakilan kelompok ditunjuk oleh guru untuk mempresentasikan hasil kerja kelompok dalam diskusi kelas o Menanyakan masalahmasalah yang ditemui kepada guru dalam mengerjakan LKS dan soal penerapan. o Mempresentasikan hasil diskusi kelompok dalam diskusi kelas. 45 menit Penutup KONFIRMASI o Memberikan pelurusan mengenai jawaban siswa. o Kelompok yang paling aktif diberikan penguatan oleh guru. o Menuntun siswa menyimpulkan materi yang telah dipelajari. Mendengarkan dengan baik penjelasan guru o Membuat simpulan materi yang telah dibahas. 10 menit 10 menit 6
o Memberikan kuis untuk mengetahui tingkat pemahaman siswa terhadap materi yang telah dibahas. o Menginformasikan kepada siswa bahwa pertemuan berikutnya akan membahas tentang kombinasi. o Pembelajaran diakhiri dengan memberi salam parama shanti. o Mengerjakan kuis yang diberikan. o Mendengarkan dengan baik dan mempersiapkan diri untuk pertemuan selanjutnya. o Memberi salam kepada guru. VIII. Sumber, Alat pembelajaran 1. Sumber : - Matematika 2 untuk SMA/MA Program Studi IPS Kelas XI oleh Sri Lestari & Diah Ayu Kurniasih Kanginan, Penerbit: Pusat Perbukuan Depdiknas (BSE) - Matematika untuk SMA Kelas XI Program Ilmu Sosial oleh Sartono Wirodikromo, Penerbit: Erlangga - Buku penunjang lainnya 2. Alat dan media : - LKS - Spidol, papan tulis, dan penghapus papan No Soal IX. PENILAIAN 1. Penilaian Produk Teknik : Quis Bentuk Instrumen : Uraian Instrumen : Quis No Indikator 1. 3.1 Terdapat 2 bola merah, Soal Penyelesaian Skor 1 bola biru, dan 3 bola putih yang sama jenis Jawab: Banyaknya susunan bola-bola itu adalah = 6! = 6x5x4x3! = 60 2!3! 2x1x3! Maksi mum 10 7
dan ukurannya. Ada berapa carakah bolabola itu dapat disusun berdampingan? 2. 3.2 Berapa cara 6 orang dalam suatu pesta makan dapat diatur tempat duduknya mengelilingi sebuah meja bundar? Banyaknya susunan duduk 6 orang yang mengelilingi sebuah meja bundar = (6-1)! = 5! = 120 10 Nilai Siswa = Total Skor 20 skor yang diperoleh siswa Total Skor 100 2. Penilaian Proses Penilaian proses dilakukan dengan memperhatikan keaktifan siswa dalam proses pembelajaran. Misalnya dengan memberi skor tambahan tertentu pada siswa yang mampu memberi tanggapan yang tepat terhadap suatu pertanyaan atau permasalahan atau siswa yang bertanya yang terkait dengan materi yang dibahas Mengetahui/Menyetujui, Singaraja, September 2013 Guru pamong Mahasiswa Praktikan Ni Wayan Puspawati, S.Pd NIP. 19730331 199802 2 005 Luh Putu Arya Putri Adnyani NIM. 1013011052 Mengetahui/Menyetujui, Dosen Pembimbing Dr. I Wayan Sadra, M. Ed NIP. 19511231 197703 1 006 8
LEMBAR KERJA SISWA Waktu: 45 Menit Sub Topik : Permutasi Unsur Sama dan Permutasi Siklis Petunjuk : Diskusikanlah setiap langkah permasalahan dengan anggota kelompokmu Buatlah kesimpulan hasil diskusi kelompokmu pada tempat yang sudah disediakan Kelompok :... 1. Dengan menuliskan secara manual, carilah banyak kata berbeda yang dapat disusun dari gabungan huruf a. TOO TOO OTO. W a = banyaknya huruf = 3 X a = banyaknya huruf yang sama = 2 Y a = banyaknya kata yang diperoleh =. b. PUTU PUTU TUPU... PTUU TPUU...... W b = banyaknya huruf = X b = banyaknya huruf yang sama =. Y b = banyaknya kata yang diperoleh =. Isilah tabel di bawah ini No W! X! W! Y X! a 6 2 b 9
Dari contoh di atas, bagaimana kesimpulanmu mengenai permutasi dengan beberapa unsur sama? Simpulan: Jika ada n unsur dengan n 1 unsur yang sama, maka banyaknya susunan n unsur adalah P(n, (n 1 )) =!! c. KUKU KUKU KKUU W a = banyaknya huruf = X a1 = banyaknya huruf I (yaitu K) yang sama =. X a2 = banyaknya huruf II (yaitu U) yang sama =. Y a = banyaknya kata yang diperoleh =. d.mamam MAMAM MMAAM W b = banyaknya huruf = X b1 = banyaknya huruf I (yaitu M) yang sama =. X b2 = banyaknya huruf II (yaitu A) yang sama =. Y b = banyaknya kata yang diperoleh =. Isilah tabel di bawah ini No W! X 1! X 2! a b W! X 1! X 2! Y Dari contoh di atas, bagaimana kesimpulanmu mengenai permutasi dengan beberapa unsur sama? 10
SIMPULAN: Jika ada n unsur dengan n 1 unsur I yang sama, n 2 unsur II yang sama maka banyaknya susunan n unsur adalah P(n, (n 1, n 2 )) =!!! Jika ada n unsur dengan n 1 unsur I yang sama, n 2 unsur II yang sama, dan seterusnya sampai n k unsur ke-k yang sama maka banyaknya susunan n unsur adalah P(n, (n 1, n 2,, n k )) =!!!! Berdasarkan rumus yang diperoleh, kerjakan soal berikut. 2. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari a. CAESAR b. MATEMATIKA c. BULELENG 3. Contoh1: 3 orang sabahat duduk pada sebuah meja. Bantulah mereka untuk membuat susunan duduk yang mungkin. Contoh Penyelesaian: 11
Jika dipandang searah putaran jarum jam, maka susunan di atas adalah sama. ABC dan CAB, dengan mengambil salah satu unsur sebagai patokan (misalkan A) maka susunan di atas adalah sama. Berapakah semua kemungkinan susunan yang sama? Jika dipandang searah putaran jarum jam, maka susunan di atas berbeda. ACB dan CAB, dengan mengambil salah satu unsur sebagai patokan (misalkan A) maka susunan di atas berbeda. Berapakah semua kemungkinan susunan yang berbeda? Jika X = banyak unsur yang akan disusun S = adalah banyaknya susunan yang sama B = adalah banyaknya susunan yang berbeda Lengkapi tabel di bawah ini. X! S B X! S 12
Apakah hasil dari B = X! S? Jadi jika terdapat 3 orang, berapa kemungkinan susunan duduk melingkar yang dapat terjadi? Tuliskan hasilnya dalam bentuk faktorial. Contoh 2 Terdapat 4 manik-manik berbeda warna yang akan disusun membentuk gelang. Beberapa kemungkinan susunannya adalah: A A C D B C B B D C D A (i) (ii) (iii) Jika dilihat searah putaran jarum jam, (ambil salah satu unsur sebagai patokan) Susunan (i) dan (iii) merupakan susunan yang sama. Susunan (i) dan (ii) merupakan susunan yang berbeda. Berapakah semua kemungkinan susunan yang sama? 13
Berapakah semua kemungkinan susunan yang berbeda? Jika X = banyak unsur yang akan disusun S = adalah banyaknya susunan yang sama B = adalah banyaknya susunan yang berbeda Lengkapi tabel di bawah ini. X! S B X! S Apakah hasil dari B = X! S? Jadi jika terdapat 4 orang, berapa kemungkinan susunan duduk melingkar yang dapat terjadi? Tuliskan hasilnya dalam bentuk faktorial. 14
Bayangkanlah : a. Terdapat n unsur yang melingkar, jika kita membuat salah satu unsur sebagai patokan, maka berapa banyak unsur bebas (banyak unsur yang tidak menjadi patokan)? b. Dari jawaban (a) bayangkan unsur bebas tersebut seperti tersusun berjajar. Jadi anda memiliki sejumlah unsur bebas yang dapat disusun secara berbeda. Berapakah susunan yang mungkin terjadi? Hal yang baru saja Anda pelajari adalah permutasi siklis. Permutasi siklis (circle) menempatkan objek seperti berada pada lingkaran. SIMPULAN: Permutasi siklis dari n unsur ditulis menjadi P siklis (n) = (..)! 15