Permutasi dan Kombinasi Peluang Diskrit

Transkripsi

1 dan Kombinasi Peluang Diskrit

2 Pengantar Permutasi -Faktorial Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial (n!) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara n hingga 1. Untuk n = 0 atau dengan kata lain 0! didefinisikan =1. n! = n.(n-1)(n-2) ! = 1.

3 Pengantar Permutasi -Faktorial Contoh: Tuliskan 10 faktorial pertama : Penyelesaian: 0! = 1 1! = 1 2! = 2.1 = 2 3! = = 6 4! = = 24 Dst...

4 Pengantar Permutasi -Faktorial Latihan Soal 1. 2.

5 Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Urutan diperhatikan Perulangan tidak diperbolehkan

6 Misalkan Masalah penyusunan kepanitiaan yang terdiri dari Ketua, Sekretaris dan Bendahara dimana urutan dipertimbangkan merupakan salah satu contoh permutasi. Jika terdapat 3 orang (misalnya Amir, Budi dan Cindy) yang akan dipilih untuk menduduki posisi tersebut, maka dengan menggunakan Prinsip Perkalian kita dapat menentukan banyaknya susunan panitia yang mungkin, yaitu:

7 Pertama menentukan Ketua, yang dapat dilakukan dalam 3 cara. Begitu Ketua ditentukan, Sekretaris dapat ditentukan dalam 2 cara. Setelah Ketua dan Sekretaris ditentukan, Bendahara dapat ditentukan dalam 1 cara. Sehingga banyaknya susunan panitia yang mungkin adalah = 6.

8 Secara formal, permutasi dapat didenisikan sebagai berikut. Denisi 3.1 Permutasi dari n unsur yang berbeda x1,x2,..,xn adalah pengurutan dari n unsur tersebut.

9 Contoh 3.1 Tentukan permutasi dari 3 huruf misalnya ABC! yang berbeda, Penyelesaian Permutasi dari huruf ABC adalah ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Sehingga terdapat 6 permutasi dari huruf ABC.

10 Teorema 3.1 Terdapat n! permutasi dari n unsur yang berbeda.

11 Contoh 3.2 Gunakan Teorema 3.1 untuk mencari berapa banyak permutasi dari huruf ABC? Penyelesaian Terdapat 3 unsur dari huruf ABC, jadi banyaknya permutasinya adalah 3!, atau Terdapat = 6 permutasi dari huruf ABC.

12 Contoh 3.3 Berapa banyak permutasi dari huruf ABCDEF jika huruf ABC harus selalu muncul bersama?

13 Penyelesaian : Karena huruf ABC harus selalu muncul bersama, maka huruf ABC bisa dinyatakan sebagai satu unsur. Dengan demikian terdapat 4 unsur yang dipermutasikan, sehingga banyaknya permutasi adalah = 24

14 Definisi 3.2 Permutasi-r dari n objek adalah jumlah kemungkinan urutan r buah objek yang dipilih dari n buah objek, dengan r n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada objek yang sama. Dan dapat di notasikan dengan P(n,r).

15 Teorema 3.2 Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda adalah

16 Atau dengan kata lain, secara umum permutasi r objek dari n buah objek dapat di hitung dengan persamaan berikut : Jika r = n, maka persamaan menjadi

17 Contoh 3.4 Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE.

18 Contoh 3.5 Gunakan Teorema 3.2 untuk menentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE.

19 Penyelesaian Karena r = 3 dan n = 5 maka permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah Jadi banyaknya permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60.

20 Soal-Soal Latihan Latihan 1 Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata KULIAH? 20

21 Solusi Kata KULIAH n = 6 Ada 2 cara penyelesaian : Cara 1 : Anggap kata KULIAH sebagai kelereng yang berbeda warna dan 6 buah tabung terisi dengan 1 buah kelereng pada setiap tabung Sehingga : (6)(5)(4)(3)(2)(1) = 720 buah kata Cara 2 : Dengan menggunakan rumus permutasi-r : n = 6 ; r = 6 Sehingga : P(6,6) = P 6 6 = 6! = = ( 6) ( 5) ( 4) ( 3)( 2)( 1) 720 buah kata = 6! ( 6 6)! = 6! 0! 21

22 Latiahan 2 Tiga buah ujian dilakukan dalam periode lima hari (Senin sampai Jumat). Berapa banyak pengaturan jadwal yang dapat dilakukan sehingga tidak ada 2 ujian atau lebih yang dilakukan pada hari yang sama? 22

23 Solusi Ada 2 cara penyelesaian : Cara 1 : Ujian ke-1 dapat ditempatkan pada salah satu dari 5 hari Ujian ke-2 dapat ditempatkan pada salah satu dari 4 hari Ujian ke-3 dapat ditempatkan pada salah satu dari 3 hari Jumlah pengaturan jadwal ujian : (5)(4)(3) = 60 pengaturan jadwal Cara 2 : Dengan menggunakan rumus permutasi : P(5,3) = = 5 5! 5! ( 5) ( 4) ( 3)( 2)( 1) P3 = = = ( 5 3)! 2! ( 2)( 1) ( 5) ( 4) ( 3) = 60 pengaturan jadwal 23

24 Latihan 3 Berapa banyak string yang dapat dibentuk yang terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula 24

25 Solusi String n1 = 26 (a, b,, z) Angka n2 = 10 (0, 1,, 9) Untuk mengisi posisi 4 buah huruf yang berbeda (n1=26; r1=4): 26 26! 26! ( 26)( 25)( 24)( 23)( 22 )! P(26,4) = P4 = = = = ( 26)( 25)( 24)( 23) ( 26 4)! 22! ( 22)! Untuk mengisi posisi 3 buah angka yang berbeda (n2=10; r2=3): P(10,3) = P 10! ( 10 3) 10! = =! 7! ( 10)( 9)( 8)( 7) ( 7)! 10 3 = =! ( 10)( 9)( 8) Karena string disusun dari 4 buah huruf dan 3 buah angka, maka jumlah string yang dapat dibuat : P(26,4) x P(10,3) = (26)(25)(24)(23)(10)(9)(8) =

26 Melingkar Permutasi melingkar dari n objek adalah : Penyusunan objek-objek yang mengelilingi sebuah lingkaran (atau kurva tertutup sederhana) Jumlah susunan objek yang mengelilingi lingkaran : (n 1)! 26

27 Latihan 4 Ada 10 orang yang duduk pada satu barisan kursi terdiri dari 10 kursi yang mengelilingi meja melingkar. Berapa banyak cara pengaturan tempat duduk bagi mereka? 27

28 Solusi Kursi = 10 n = 10 Objek pertama dapat ditempatkan dimana saja pada lingkaran dengan 1 cara Sisa n 1 objek lainnya dapat diatur searah jarum jam (misalnya) dengan : P(n 1, n 1) = (n 1)! cara Sehingga : P(9, 9) = 9! 28