BAB IV ANALISA DATA KSIMN Semua data eksperime harus diperiksa. Aalisa bisa berupa peilaia lisa tetag hasil uji atau bisa merupaka aalisis yag kompleks dega megguaka metode-metode statistik. Kesalaha aka selalu ada dalam setiap eksperime. Kesalaha ada yag bersifat acak da ada pula disebabka karea kekelirua pelaksaaa eksperime. Data buruk yag disebabka oleh kekelirua yag yata harus dibuag. Utuk data yag "tampakya buruk" tidak boleh dibuag begitu saja, haya karea tidak sesuai dega yag kita harapka, kecuali kita tahu betul baha ada sesuatu yag tidak beres. Sebab Sebab Kesalaha ksperime Data dapat dibedaka atas data sampel-tuggal atau cuplika tuggal sigle sample da data sampel ragkap atau cuplika majemuk multisample. Data sampel tuggal adalah data dimaa terdapat ketidak pastia ucertaity yag ditemuka dega ulaga pegukura dilakuka dega istrume. Data sampel ragkap didapatka dalam hal dimaa sejumlah eksperime telah dilakuka da keadala hasil-hasilya dapat dijami oleh statistik pegukura dilakuka oleh lebih dari istrume. Kesalaha asli dalam data eksperime adalah faktor-faktor yag memag selalu samar-samar da megadug ketakpastia. Tugas kita ialah meetuka berapa ketakpastia pegamata rata-rata. Beberapa jeis kesalaha yag serig meyebabka ketakpastia dalam pegukura eksperime :. Selalu ada kekelirua yata dalam pemasaga peralata atau istrume yag mugki merusak validitas data.. Mugki ada semacam kesalaha tetap fied error yag meyebabka pembacaa berulag-ulag megadug kesalaha yag besarya hampir sama, da sebabya tidak diketahui. 5
3. Ada kesalaha acak radom error yag mugki disebabka fluktuasi elektroik acak pada peralata atau istrume, pegaruh geseka da sebagaiya. Aalisa Kesalaha Atas Dasar Akal Sehat Salah satu megukur ketakpastia pegukura primer adalah dega cara aalisa akal sehat commo sese atas data yag dapat dilakuka dega berbagai cara berikut :. Atura tebak rule of thumb yaitu kesalaha itu sama dega kesalaha maksimum dalam parameter yag diguaka utuk meghitug hasil.. Meggabugka semua kesalaha itu utuk medapat efek terburuk, utuk meetuka kesalaha maksimum dalam hasil akhir. erhatika perhituga daya listrik berikut ii : I dimaa da I diukur sebagai : V ± V I A ±, A Nilai omial daya adalah : W. Dega megambil variasi terburuk voltase da arus, dapatlah kita hitug : maks + +, 4,4 W mi - -, 96,4 W Jadi ketidak pastia daya ialah +4,4% da -3,96%. Aalisa Ketakpastia Metode ii lebih seksama dari metode akal sehat. Misal suatu bacaa tekaa tertetu diyataka : p kn/m ± kn/m Tada ± meyataka tada ketakpastia. Orag yag membuat peadaa ketakpastia sebearya meyataka berapa meurut pedapatya derjat ketelitia pegukura yag dilakukaya itu. 6
Sebagai cara yag lebih baik dalam memberika spesifikasi ketakpastia suatu pegukura, Klie da McClitock meyaraka agar pelaku eksperime meyataka taruha kemugkia ketakpastia itu. Jadi persamaa tekaa tadi dapat kita tulis : p kn/m ± kn/m badig dega kata lai, pelaku eksperime berai bertaruh dega kemugkia badig pegukura itu aka berada dalam ± kn/m. Misal sejumlah pegukura dilakuka dimaa ketakpastia masigmasig pegukura dapat diyataka dega taruha yag sama. eragkat pegukura ii lalu diguaka utuk meghitug hasil eksperime yag dikehedaki. Kita igi meaksir ketakpastia dalam hasil perhituga atas dasar ketakpastia dalam pegukura-pegukura primer. Hasil ialah suatu fugsi dari variabeltak-tergatug atau tak gayut idepedet,, 3,...,. Jadi,,, 3,..., 4- Umpamaka: ketakpastia dalam hasil,,..., ketakpastia dalam variabel tak-tergatug. Jika semua ketakpastia variabel idepedet mempuyai taruha yag sama, maka ketakpastia dalam hasil yag mempuyai taruha diberika oleh persamaa : / + + + L 4- cotoh 4-: Tahaa kiaat tembaga mempuyai ukura tertetu, diyataka oleh: o [ + αt - ] dimaa : o 6Ω ±,3% pada o C α,4/ o C ± % T 3 o ± o C Hituglah tahaa kaat da ketakpastia!. 7
Jaab Tahaa Nomial adalah : 6[ +,43 - ] 6,4 Ω Ketakpastia : + α T +,4 3,4 T 63 6 α α 6,4,4 T 6,3,8 Ω α T,4, C 4 Jadi ketakpastia tahaa ialah : 5 [,4,8 + 6 4-5 +,4 ] /,35 Ω atau,49% C Kalau ketakpastia satu variabel jauh lebih besar dari ketakpastia variabel laiya, maka ketakpastia yag terbesarlah yag meojol, sedag yag lai mugki dapat diabaika. Sebagai ilustrasi, umpamaka ada tiga variabel dega hasil perkalia kepekaa da ketakpastia [/ ] mempuyai ilai, sedagka satu variabel ilaiya 5, ketakpastia dalam hasil diberika oleh : 5 + + + / 8 / 5,9 Oleh karea itu memperbaiki hasil eksperime secara keseluruha haruslah dilakuka dega memperbaiki istrumetasi da tekik istrumetasi yag berhubuga dega ketakpastia yag relatif besar. ersamaa 4- dapat diguaka secara efektif utuk melakuka aalisis kesalaha eksperime sebelim melakuka eksperime. Cotoh 4-: Sebuah resistor mempuyai ilai omial Ω ± perse. esistor diberi tegaga, da disipasi/lesapa daya dihitug dega dua cara: dari / da I. Dalam kita haya megukur tegaga, sedag dalam baik arus maupu tegaga diukur. - 8
Hituglah ketakpastia dalam peetua daya dalam kedua kasus diatas, bila ilai-ilai da I meurut pegukura adalah : V ± % utuk kedua kasus I A ± % Jaab : da kita terapka persamaa 4- da medapat : / + Dibagi dega /, didapat : / 4 + Sisipka ilai umerik ketakpastia, / [4, +, ] /,36% Utuk kasus kedua, kita puya : I I da setelah maipulasi aljabar kita dapat: 9
/ + I I dega meyisipka ilai umerik ketakpastia, / [, +, ] /,44% Jadi, metode kedua peetua daya diatas memberika ketakpastia yag jauh lebih kecil dari metode pertama, alaupu besara primer dalam kedua hal sama. Dalam cotoh diatas, keguaa aalisis ketakpastia adalah memberi kita dasarutuk memilih metode pegukura yag memberika hasil dega ketakpastia yag sekecil-kecilya. valuasi Ketakpastia Utuk eduksi Data umit Umpamaka telah kita kumpulka seperagkat data dalam variabel,,..., da kita hitug hasilya. Semetara itu variabel-variabel itu kita ubah dega Δ, Δ da seterusya da kita hitug hasilya, kita dapat :,...,,,...,,,...,, + Δ + Δ,..., Δ + + Δ + utuk ilai Δ yag cukup kecil derivatif parsialya didekati dega : Δ + Δ Δ + Δ da ilai ii dapat disisipka ke persamaa 4- utuk meghitug ketakpastia hasil. Cotoh 4-3: Hituglah ketakpastia dalam tahaa kaat dalam cotoh 4- dega megguaka tekik yag ditujukka dalam bagia ii. 3
Jaab : Dalam cotoh 4- telah kita hitug tahaa omial yaitu 6,4 ohm. Sekarag kita ubah sedikit ke tiga variabel o, α da T utuk medapatka turua parsialya. Kita buat Jadi, Δ o, Δα -5 T, o + Δ o 6,[ +,43 - ] 6,54 da turuaya didekati dega : + Δ Δ 6,54 6,4,4, atau sama hasilya dega cotoh 4-. Demikia pula : α + Δα 6,[ +,43 - ] 6,46 α α + Δα Δα 6,46 6,4 5-6 T + ΔT 6[ +,43, - ] 6,44 T T + ΔT ΔT 6,44 6,4,4, Semua turua ii sama dega dalam cotoh 4-, sehigga ketakpastia dalam sama, yaitu,35 ohm. Aalisis-Statistik Data ksperime Bila kita melakuka pembacaa dari suatu eksperime, pembacaa tersebut mugki agak berbeda satu sama lai. elaku eksperime biasaya lebih memperhatika purata atau pukul rata mea seluruh bacaa itu. Jika setiap bacaa ditadai dega i da ada bacaa, maka purata aritmetik aritmetik mea ialah: 3
m i i 4-3 - Deviasi atau peyimpaga deviatio d i dari masig-masig bacaa dicari dega : d i i m 4-4 - erata atau rata-rata average deviasi seluruh bacaa ialah ol, karea: d i i d i i i m 4-5 m m - erata ilai absolut deviasi diberika oleh : d i i d i i i m 4-6 erhatika baha besara ii tidak selalu ol. - Deviasi Stadar stadard deviatio atau deviasi akar purata kadrat root mea square deviatio didefiisika sebagai : / σ 4-7 i m i agkat dua deviasi stadar disebut varias variace. Serig dalam berbagai deviasi, para isiyur tidak dapat megumpulka data dalam jumlah yag cukup yag diperluka utuk meeragka suatu populasi. ada umumya diperluka sedikitya pegukura utuk membuat taksira yag dapat diadalka. Utuk data yag jumlahya kecil, deviasi stadar didefiisika sebagai deviasi stadar tak doyog/bias ubiased stadard deviatio atau disebut juga deviasi stadar sampel sample stadard deviatio yag dirumuska : 3
/ i m i σ 4-8 - Media adalah ilai yag membagi dua titik-titik data, umpamaya jika pegukura yag dilakuka atas lima buah resistor hasil produksi meghasilka,, 3 da 5 kohm, ilai mediaya ialah 3 ohm da purata aritmetikya adalah : m + + 3 + 4 + 5,8 kω 5 Distribusi robabilitas robabilitas adalah suatu besara matematik yag berhubuga dega frekesi terjadiya suatu feomea setelah dicoba berkali-kali jumlah ulaga besar. Misalya bila kita melambugka sebuah koi maka kemugkia/probabilitas muculya permukaa atas adalah / da permukaa belakag juga /. Umpamaka kita lempar sebuah sepatu kuda ke suatu jarak. Hasil lempara tidak aka tepat sama apabila lempara diulag berkali-kali. Oleh karea setiap jarak berbeda dari jarak laiya, ada baikya kita hitug probabilitas lempara itu mecapai suatu tambaha jarak atara da d. Bila dilakuka perhituga maka kita aka meemuka situasi seperti gambar. Gambar. Distribusi lempara sepatu kuda oleh pemai yag mahir. 33
Kurva pada gambar disebut distribusi probabilitas. Kurva tersebut meujukka bagaimaa probabilitas keberhasila dalam satu peristia tertetu terdistribusi di sepajag. Deviasi dari m dapat diaggap sebagai kesalaha dalam lempara itu. Suatu distribusi probabilitas yag khas ialah distribusi biomial. Distribusi ii memberika jumlah sukses diatara jumlah N buahperistia tak tergatug yag mugki bila setiap peristia mempuyai probabilitas sukses p. robabilitas baha peristia aka berhasil adalah : p N! p p N! N 4- erlu dicatat baha -p adalah probabilitas kegagala dari masig-masig variabel tak tergatug. Cotoh 4-4 Sebuah mata uag logam yag tak diberati dilambugka tiga kali. Hituglah probabilitas utuk medapatka ol, satu, dua atau tiga muka dari ketiga lempara tersebut. Jaab : Distribusi biomial kita terapka disii. robabilitas medapatka muka pada setiap lempara adalah p ½ da N 3, sedag mempuyai ilai,, da 3. robabilitas dihitug sebagai berikut : p p p p3 3! 3!! 3!!! 3!!! 3!!3! 3 3 8 3 8 3 8 8 Sekarag umpamaka jumlah peristia idepede N sagat besar da probabilitas terjadiya p sagat kecil, maka perhituga probabilitas sukses dega megguaka persamaa 4- mejadi tidak praktis. Limit distribusi biomial jika N da p sehigga : 34
Np a kosta disebut Distribusi oisso da diberika oleh persamaa p a ae! a Deviasi stadar poisso adalah : σ a / Distribusi probabilitas yag didapat dari pembahasa yag terdahulu didapatka bila pegamata frekesi kejadia dilakuka dalam jumlah pegamata sagat besar. Bila jumlah pegamata terbatas, da dataya kita gambarka dalam grafik, grafik yag didapat disebut histogram. Sebagai cotoh, lempara sepatu kuda oleh seorag pemai memberika data sbb: Jarak dari sasara Jumlah lempara - 5-5 -3 3 3-4 4-5 9 5-6 8 6-7 7-8 6 8-9 7 9-5 - 5-3 lebih dari jumlah 99 Data diatas digambarka dalam betuk histogram dega megguaka tambaha Δ cm sebagai berikut: 35
Gambar. Histogram dega Δ cm. Frekesi kumulatif dapat pula diguaka utuk data seperti ii seperti terlihat pada gambar 3. Gambar 3. Diagram frekuesi sasara, cm. Distribusi Kesalaha Gauss Atau Distribusi kesalaha Normal Bila kita melakuka suatu pegamata eksperime da hasilya dicatat. Kita tahu atau kita perkiraka baha pegamata tersebut bayak megadug kesalaha acak/rambag. Kesalaha acak meyebabka bacaa akhir terlalu besar atau terlalu kecil. Adaika ada bayak kesalaha kecil yag mugki ikut membetuk kesalaha akhir, da baha semua kesalaha kecil sama besarya, da sama kemugkiaya utuk mempuyai ilai positif atau 36
egatif maka dapatlah kita turuka distribusi kesalaha gauss gaussia error distributio atau distribusi kesalaha ormal ormal error distributio. Jika pegukura ditadai dega, maka distribusi Gauss memberika probabilitas baha pegukura itu terletak atara da + d da dituliska : e m σ π / σ 4-3 Grafik persamaa 4-3 diperlihatka pada gambar 4. Bacaa yag probabilitasya palig tiggi adalah m. Deviasi stadar ialah ukura lebar kurva distribusi itu, maki besar ilai deviasi maki redah/ceper kurva tersebut da karea itu maki besar kesalaha yag diperkiraka dari semua pegukura. Gambar 4. Distribusi kesalaha Gauss atau ormal utuk dua ilai deviasi stadar. ersamaa 4-3 diormalisasika sehigga luas bidag dibaah kurva adalah satu, jadi : + d, 4-4 Terlihat ada keserupaa atara grafik kesalaha ormal dega kurva distribusi eksperime melemparka sepatu kuda pada gambar. ada gambar terlihat baha pelempar sepatu kuda yag mahir maka lemparaya aka terkumpul di sekitar sasara. Maki trampil pelempar maka maki dekat 37
lemparaya terkumpul di sekitar harga rata-rata da maki tiggi pula probabilitas harga rata-rata m. Kita bisa meerapka distribusi kesalaha ormal utuk meetuka presisi atau ketepata seperagkat pegukura eksperime. ertayaaya adalah bagaimaa megetahui baha pegadaia dalam peurua distribusi kesalaha ormal berlaku utuk eksperime kita? Jaabaya adalah baha utuk peragkat data yag jumlahya cukup besar, eksperime meujukka baha pegukura memag megikuti distribusi seperti gambar 4. Dari fugsi Gauss, probabilitas maksimum terjadi pada m, da ilai probabilitasya adalah : m σ π 4-5 m disebut juga ukura presisi data karea ilaiya lebih besar pada ilai deviasi stadar yag lebih kecil.robabilitas pegukura utuk jatuh didalam batas jagkaua bacaa rata-rata adalah: e σ π m + m / σ m Dega memasukka substitusi variabel η σ m persamaa 4-6 mejadi : d 4-6 π + η η e η / d η 4-7 dimaa : η /σ 4-8 Nilai fugsi kesalaha ormal Gauss : π η e / 38
Itegral fugsi Gauss sesuai dega persamaa 4-7 diberika pada tabel da. Jika kita mempuyai cukup bayak titik data, kesalaha utuk setiap titik harus megikuti distribusi Gauss da kita dapat meetuka probabilitas suatu data tertetu masuk dalam deviasi tertetu dari harga rata-rata. Tabel 3 berisika peluag utuk deviasi tertetu dari ilai rata-rata kurva distribusi ormal. Tabel 3. eluag utuk deviasi dari ilai rata-rata distribusi ormal. Deviasi peluag hasil utuk jatuh dalam deviasi tertetu ±,6745 σ - σ,5- σ - 3σ 369- Cotoh 4-5 Hituglah probabilitas baha suatu pegukura jatuh dalam satu, dua, da tiga deviasi stadar dari ilai rata-rata, da badigka dega ilai dalam tabel 3. Jaab : Kita lakuka perhituga dega megguaka persamaa 4-7 da η, da 3. Nilai itegral didapatka dari tabel : + η η η η / η / e dη e dη sehigga :,3434,687,4775,9545 3,49865,9973 dega megguaka taruha dalam tabel 3, probabilitas dapat dihitug sbb:,5,687,5 + 39
+, 9545 369 3,9973 369 + Lampira. 4
4