BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi yang memadankan setiap pasangan terurut, dalam rangka D pada bidang dengan bilangan riil,.,, Himpunan D disebut daerah asal (domain) fungsi. Jika daerah asal fungsi tidak diperinci, maka D berupa daerah asal mulanya (natural domain), yakni himpunan semua titik, pada bidang dimana aturan fungsi berlaku dan menghasilkan suatu bilangan riil. Contoh :, daerah mulanya adalah seluruh bidang, daerah asal mulanya adalah, :, Daerah nilai suatu fungsi adalah himpunan nilai-nilainya, dan peubah bebas peubah tak bebas Contoh : Buatlah grafik daerah asal mula untuk, Keluarkan, : dan titik, 31
KURVA KETINGGIAN Setiap bidang mendatar memotong permukaan dalam sebuah kurva. Proyeksi kurva pada bidang disebut kurva ketinggian, dan kumpulan lengkungannya disebut peta kontur. Permukaan, Bidang Kurva ketinggian, 5000 ft 7000 ft Permukaan 2. TURUNAN PARSIAL Peta kontur dengan kurva ketinggian Turunan parsial f terhadap x di, dan dinyatakan sebagai,,,, Sebaliknya :,,, 32
Contoh : Carilah, dan,,,,,,,,, ;,,,, ;,, Contoh : Jika, cari dan TURUNAN PARSIAL TINGKAT TINGGI ; 33
Cari keempat turunan parsial dari,,,,,,, 3. LIMIT DAN KEKONTINUAN,,, Nilai, semakin dekat ke bilangan pada waktu, mendekati, caranya tak terhingga Untuk mengatakan bahwa,,, berarti bahwa untuk setiap 0 (betapapun kecilnya) terdapat 0 yang berpadanan sedemikian hingga, dengan syarat bahwa,, Contoh : Perlihatkan bahwa fungsi f yang didefinisikan oleh, tidak mempunyai limit di titik asal., Jadi, limit, untuk, mendekati, sepanjang sumbu x adalah,,,,, Limit, untuk, mendekati, sepanjang sumbu y adalah 34
,,,,, Jadi kita mendapat jawaban yang berbeda tergantung bagaimana,,. Kekontinuan pada suatu titik, kontinu di titik (a,b), dengan syarat. mempunyai nilai di (a,b). mempunyai limit di (a,b), dan. nilai f di (a,b) sama dengan limitnya,,,, Berarti f tidak mempunyai loncatan atau fruktuasi liar di (a,b) Teorema : komposisi tunggal jika g suatu fungsi dua peubah kontinu di a,b dan f suatu fungsi satu peubah kontinu di,, maka fungsi komposisi yang didefinisikan oleh,,, adalah kontinu di a,b. Contoh : Perlihatkan bahwa, adalah kontinu di setiap titik dari bidang Fungsi, polinom, adalah kontinu dimana mana, juga kontinu disetiap bilangan t di R.,, kontinu di semua x,y di bidang. 4. KETERDIFERENSIALAN dapat dideferensialkan di jika terdapat suatu vektor sedemikian hingga :. dengan pada Vektor gradient di. Catatan : Turunan adalah bilangan. Gradient adalah vector 35
Titik dalam. menunjukkan hasil kali titik dari dua vector Jika fungsi dua peubah yang dapat dideferensialkan di,, maka turunan parsial pertama dari ada di dan Contoh : Perlihatkan bahwa, dapat dideferensialkan dimanamana dan hitung gradient gradientnya. Cari persamaan bidang singgung, di 2,0, Fungsi ini kontinu dimana mana,,, Persamaan bidang singgungnya :,,,,, Contoh :,,, cari,,,,,,,, Aturan aturan untuk gradient : Teorema : adalah operator linier, yakni 36
5. TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN Andaikan, dan dan adalah vector vektor satuan arah dan positif. Maka turunan parsial di dapat dituliskan sebagai berikut : Untuk tiap vector satuan, andaikan Jika limit ini ada, ia disebut turunan berarah f di P pada arah u. Jadi di dan karena,,, Kemiringan:,, Kaitan dengan gradient : Andaikan dapat dideferensialkan di P. Maka f mempunyai turunan berarah di P pada arah vector satuan dan.,,, 37
Contoh : jika,, tentukan turunan berarah di (2, 1) pada arah vektor Vektor satuan pada arah a adalah,,,,, Contoh : Cari turunan berarah dari fungsi,, di titik,, pada arah vector. Vektor satuan u pada arah a adalah,,,,,,,,,,,, Maka,, LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM Untuk suatu fungsi f di titik p, fungsi berubah paling cepat pada arah mana yang terbesar. sudut antara dan maksimum pada minimum pada Suatu fungsi bertambah secara paling cepat di p pada arah gradient (dengan laju ) dan berkurang secara paling cepat pada arah berlawanan (dengan laju ) 38
6. ATURAN RANTAI (Chain Rule) Andaikan dan dapat didiferensialkan di dan andaikan, dapat didiferensialkan di, maka fungsi akan dapat didiferensialkan di dan karenanya, Contoh : Misalkan dengan dan. Tentukan Contoh : Misalkan sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi radiusnya bertambah pada laju, dan tingginya bertambah pada laju,. Tentukan laju pertambahan luas permukaan terhadap waktu pada saat radius sama dengan dan tinggi sama dengan Luas permukaan tabung.,., Pada dan...,.., Contoh : Andaikan, dengan,, dan. Tentukan dan hitung nilainya di. 39
. Misalkan, dan, mempunyai turunan pertama di, dan misalkan, dapat didiferensialkan di,,,, maka,,, mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh : Contoh : Jika dengan dan. Tentukan dalam bentuk s dan t. Contoh :, dengan,,. Tentukan,, Contoh : Tentukan jika Misalkan, 40
7. BIDANG SINGGUNG, APROKSIMASI Suatu permukaan yang ditentukan oleh,, dan sebuah kurva pada permukaan tersebut yang melalui titik,,. Jika,, adalah persamaan parameter untuk kurva ini, maka untuk semua t Dengan aturan rantai :,, Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk gradient dari dan tururnan dari vektor untuk kurva sebagai.,, Bidang singgung,,,, Andaikan,, menentukan suatu permukaan dan misalkan F dapat dideferensialkan di sebuah titik,, dari permukaan dengan,,, maka bidang yang melalui P tegak lurus,, dinamakan bidang singgung permukaan itu di P. Teorema : Untuk permukaan,,, persamaan bidang singgung di,, adalah,,,,,, Dalam hal khusus, untuk permukaan,, persamaan bidang singgung di,,, adalah 41
,, Contoh: Cari persamaan bidang singgung terhadap di titik (1,1,2). Misalkan,,, Contoh : Cari persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap,, di,,,,,,,, Maka persamaan bidang singgung Persamaan simetri dari normal yang melalui,, adalah : 8. MAKSIMUM DAN MINIMUM Bila suatu titik di s, yaitu daerah asal dari f adalah nilai maksimum (global) dari pada jika untuk semua p di s. adalah nilai minimum (global) dari f pada s jika untuk semua p di s. 42
adalah nilai ekstreem (global) dari f pada s jika jika ia adalah nilai maksimum (global) atau nilai minimum (global). Maksimum global Maksimum lokal Maksimum lokal Maksimum global Titik titik kritis (ekstrem) dari f pada s ada tiga jenis : 1) Titik titik batas 2) Titik titik stasioner jika adalah suatu titik dalam dari s dimana f dapat didiferensialkan dan bidang singgung mendatar. 3) Titik titik singular jika adalah suatu titik dalam dari s dimana f tidak dapat didiferensialkan. TEOREMA : Andaikan f dideferensikan pada suatu himpunan S yang mengandung. jika adalah suatu ekstrem, maka haruslah berupa suatu titik kritis, berupa salah satu dari : i. Suatu titik batas dari S, atau ii. Suatu titik stasioner dari f ; atau iii. Suatu titik singular dari f. Contoh : cari nilai maksimum dan minimum local dari,,,,,, 43
, jadi, adalah minimum global untuk f SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Andaikan bahwa, mempunyai turunan parsial kedua kontinu di suatu lingkungan dari, dan bahwa,. Ambil, =,,, Maka : jika 0 dan, 0, maka, adalah nilai maksimum lokal. jika 0 dan, 0, maka, adalah nilai minimum lokal. jika 0,, bukan suatu nilai ekstrem, adalah titik pelana. jika, pengujian tidak member kesimpulan Contoh : Tentukan ekstrem; jika ada, untuk fungsi F yang didefinisikan oleh,, ;, Titik kritis,,,, Titik kritis, dan,, ;, ;, Jadi pada titik,,.,,., 0 Sehingga menurut,, adalah nilai minimum local dari Sedangkan pada titik, :,.,,. 0 Maka menurut, adalah titik pelana. 44
9. METODE LAGRANGE Untuk mencari nilai minimum dari : adalah suatu masalah nilai ekstrem bebas. Tapi, bila diminta mencari nilai minimum dari Nilai ektrem terbatasi / terkendala Batasan : Untuk menyelesaikan nilai ektrem terkendala dapat digunakan pengali lagrange Tafsiran Geometri Metode Lagrange, Pada titik dan, kurva ketinggian dan kurva batasan memiliki suatu garis singgung bersama, kedua kurva tersebut mempunyai suatu garis tegak lurus bersama., Vektor gradient adalah tegak lurus terhadap kurva ketinggian, dan adalah tegak lurus terhadap kurva batasan, jadi dan sejajar di titik dan, maka : dan dan adalah bilangan tak nol. Teorema : Metode Lagrange Untuk memaksimumkan atau meminimumkan terhadap batasan/kendala, seesaikan sistem persamaan : dan Maksimumkan atau minimum, terhadap batasan, Untuk memaksimumkan f terhadap batasan, adalah mencari kurva. Ketinggian, dengan kemungkinan k terbesar yang memotong kurva batasan yaitu pada titik, dan,. Tiap titik yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrem terkendala dan yang berpadanan disebut pengali lagrange. 45
Contoh : Gunakan Metode Lagrange untuk mencari nilai nilai maksimum dan minimum dari :, ;pada ellips,, ; Persamaan Lagrange : Jadi dan tidak dapat sama dengan nol Pers Pers, Jadi titik titik kritis, Bila Dari persamaan pertama, bila, maka dari persamaan ketiga Maka, juga titik titik kritis,,,,, maka nilai minimum dari, adalah dan nilai maksimum adalah 1. 46
Contoh : Tentukan minimum,,, terhadap batasan,,,,,, Titik kritis, bila,,,, dan,, Untuk,,, dengan λ pengali lagrange Dari substitusi ke dan, didapat dan Dari persamaan, Sehinga penyelesaian sistem persamaan simultan tersebut adalah,,, Satu satunya titik kritis adalah,, Maka minimum,, terhadap kendala adalah,, Bagaimana bila batasannya lebih dari Satu Misalkan terdapat dua batasan,, dan,,, maka persamaannya menjadi,,,,,,,, ;,, 47
Dimana dan adalah pengali lagrange Sehingga sistem lima persamaan simultan adalah,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Contoh : Tentukan nilai nilai maksimum dan minimum dari,, pada ellips yang merupakan perpotongan tabung dan Persamaan persamaan Lagrange yang berpaduan Dari & Untuk titik kritis,, Untuk titik kritis,,,, Nilai Maksimum,, Nilai Minimum 48