Diktat Kuliah TK Matematika BAB LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Limit Fungsi Pengantar Limit Tinjau fungsi yang didefinisikan oleh f ( ) Perhatikan bahwa fungsi ini tidak terdefinisi pada = karena memiliki bentuk / Akan tetapi, munul pertanyaan apakah f() mendekati bilangan tertentu ketika mendekati? Berikut jawabannya dalam bentuk tabel dan grafik f(),,,,,,,,?,99999,99999,9999,9999 Dari tabel di atas terlihat bahwa f() mendekati ketika mendekati Selanjutnya, seara aljabar (melalui pemfaktoran), diperoleh ( )( ) f ( ) ( ) Pembagian ( )/( ) = adalah sah sebab Dari sini diperoleh grafik f() merupakan garis lurus seperti diperlihatkan pada Gambar Akan tetapi, garis ini menyisakan lubang (ditandai oleh ) pada titik (,) sebab Kenyatan ini juga menuju pada simpulan bahwa f() mendekati ketika mendekati Ungkapan f() mendekati ketika mendekati seara matematis ditulis f ( ) dan dibaa it ketika mendekati dari f() adalah Dengan demikian, pada kasus di atas diperoleh y Gambar f() Aip Saripudin Limit - 4
Diktat Kuliah TK Matematika Definisi Intuitif Tentang Limit Misalnya f() terdefinisi pada interval buka I keuali pada dengan I Jika f() mendekati L ketika mendekati, kita katakan bahwa f() mendekati it L ketika mendekati dan ditulis sebagai f ( ) L Perlu diatat bahwa ungkapan di atas tidak berarti bahwa f() = L pada = Ingat bahwa kita sedang berurusan dengan f() yang tidak terdefinisi pada = Definisi di atas dikatakan definisi intuitif dan bersifat informal karena ungkapan mendekati tidak menunjukkan ketepatan hasil Seberapa dekat f() dengan L? Jawabannya tentu saja sangat bervariasi dan bersifat relatif CONTOH Cari ( ) Ketika mendekati, + mendekati + = 7 Ungkapan ini ditulis ( ) 7 CONTOH Cari Perhatikan bahwa ( ) /( ) tidak terdefinisi pada = Seara aljabar, melalui pemfaktoran, diperoleh ( Catatan: ( )/( ) = selama )( ) ( ) Eksistensi Limit dan Limit Sepihak Fungsi f() dikatakan memiliki it pada mendekati apabila ketika dihampiri dari kedua sisi menuju nilai yang sama Berdasarkan kenyataan ini, suatu fungsi boleh jadi tidak memiliki it Sebagai ilustrasi, perhatikan Gambar Ketika mendekati dari kiri, f() mendekati L, sedangkan ketika mendekati dari kanan, f() mendekati M Karena f() tidak mendekati nilai yang sama ketika mendekati dari kedua sisi, dikatakan bahwa f() tidak memiliki it di mendekati Aip Saripudin Limit - 4
Diktat Kuliah TK Matematika y f() f() M L Gambar Meskipun it f() ketika mendekati tidak ada, kita dapat mengatakan bahwa it f() ketika menuju dari satu pihak (dari kiri atau dari kanan) tetap ada Limit seperti ini disebut it sepihak Jika f() mendekati L ketika mendekati dari kiri, disebut it kiri, ditulis sebagai f ( ) L Jika f() mendekati L ketika mendekati dari kanan, disebut it kanan, ditulis sebagai f ( ) L Berdasarkan hal di atas, suatu fungsi dikatakan memiliki it jika dan hanya jika it kiri sama dengan it kanan Dengan kata lain, f ( ) L jika dan hanya jika f ( ) L dan f ( ) L CONTOH (a) Limit kiri Cari apakah it berikut ada atau tidak (a) Untuk <, = ( ) maka ( ( ) ) (b) Aip Saripudin Limit - 4
Diktat Kuliah TK Matematika Limit kanan Untuk, = Karena maka tidak ada (b) Limit kiri Untuk <, = ( ) maka ( )( ) ( ) ( ) Limit kanan Untuk, = ( )( ( ) ) ( ) Karena ) maka tidak ada CONTOH 4 Diketahui, f ( ), Tentukan (a) f ( ), (b) f ( ), dan () ) f ( ) CONTOH Sebuah fungsi f() didefinisikan seperti diperlihatkan pada grafik di bawah ini Tentukan (a) f ( ) dan (b) f ( ) y Aip Saripudin Limit - 44
Diktat Kuliah TK Matematika Dari grafik terlihat bahwa f() merupakan fungsi sebagian-sebagian Daerah asal f() terdiri dari tiga bagian yakni <, <, dan > Limit f() ketika mendekati dan, ditentukan dengan terlebih dahulu menari it kiri dan kanannya sebagai berikut (a) Dari grafik terlihat bahwa it dari f() ketika mendekati dari kiri (it kiri) adalah f ( ) sedangkan it kanan f ( ) Karena f ( ) f ( ) maka f ( ) (b) Limit kiri dan it kanan f ( ) f ( ) Karena f ( ) f ( ) maka f ( ) tidak ada 4 Definisi Tepat Tentang Limit Definisi it yang telah kita bahas sebelumnya masih berupa definisi intuitif dan belum menyatakan seberapa dekat f() pada L ketika mendekati Di sini, kita akan mendefinisikan seara tepat tentang it Untuk menunjukkan bahwa f() sangat dekat dengan L jika sangat dekat dengan, kita dapat memilih selisih antara f() dan L sekeil mungkin jika selisih dan sangat keil Untuk bilangan sangat keil dan, definisi it yang lebih tepat sebagai berikut: f ( ) L menunjukkan bahwa ada yang berkaitan dengan sedemikian rupa sehingga f ( ) L yang diberikan oleh, yakni f ( ) L Ilustrasi definisi tepat tentang it ditunjukkan pada Gambar Pemilihan apapun akan menjamin selisih f() dan L lebih keil daripada sekeil Aip Saripudin Limit - 4
Diktat Kuliah TK Matematika y L + L L f() + Gambar CONTOH Tunjukkan bahwa ( ) Cari sedemikian rupa sehingga ( ) Perhatikan pertidaksamaan sebelah kanan ( ) Dari sini terlihat berapa nilai yang dapat dipilih, yakni = / Dengan memilih = / maka menunjukkan bahwa ( ) sehingga jelas bahwa ( ) Jadi, terbukti bahwa ( ) CONTOH 7 4 Buktikan bahwa Cari sedemikian sehingga 4 Untuk, Aip Saripudin Limit - 4
Diktat Kuliah TK Matematika 4 ( )( ) ( ) maka dapat dipilih = Dengan memilih = maka menunjukkan bahwa 4 ( )( ) sehingga jelas bahwa 4 4 Jadi, terbukti bahwa CONTOH 8 Buktikan bahwa 4 Cari sedemikian sehingga 4 Selanjutnya 4 4 Faktor dapat dibuat sekeil mungkin Di lain pihak, untuk mendapatkan nilai, pilih maka 8 8 9 Oleh karena itu, pilih /9 Dengan memilih /9 maka menunjukkan bahwa 4 4 9 sehingga jelas bahwa 4 Jadi, terbukti bahwa 4 Aip Saripudin Limit - 47
Diktat Kuliah TK Matematika SOAL-SOAL LATIHAN Buktikan bahwa it berikut benar ( ) Menari Limit Fungsi Pada bagian ini kita akan menentukan berbagai it fungsi seara aljabar dan sifat-sifat dasar it Sifat-sifat Limit Fungsi Teorema-teorema berikut menunjukkan aturan-aturan untuk menentukan it fungsi Jika n adalah bilangan bulat positif, k konstanta, dan f dan g fungsi yang memiliki it pada, berlaku teorema-teorema sebagai berikut () k k () () f ( ) f ( ), f() fungsi polinom (4) kf( ) k f ( ) () f ( ) g( ) f ( ) g( ) () f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) f ( ) (7), g( ) g( ) g( ) (8) n n f ( ) f ( ) n (9) f ( ) n f ( ), f ( ) untuk n genap CONTOH Cari Aip Saripudin Limit - 48
Diktat Kuliah TK Matematika CONTOH Cari 7 7 ( 7 ) 7 7 7 Pada CONTOH dan CONTOH, penyelesaian soal dilakukan dengan menuliskan seara rini penerapan teorema-teorema di atas Pada penyelesaian soal selanjutnya teorema di atas ukup diingat saja dan pengerjaan dilakukan seara langsung Jika penyebutnya nol, kita dapat melakukan manipulasi aljabar untuk menghindari pembangian dengan nol, seperti diperlihatkan pada ontoh-ontoh berikut CONTOH Cari 4 Kita tidak dapat memasukkan = seara langsung karena akan diperoleh bentuk / Untuk menghilangkan bentuk ini, pembilangnya kita faktorkan dulu sebagai berikut maka 4 4 ( ( )( )( Perhatikan bahwa ( )/( ) = karena ) ) Dengan demikian diperoleh 4 ( ) CONTOH 4 Cari 4 4 Aip Saripudin Limit - 49
Diktat Kuliah TK Matematika Untuk menghilangkan bentuk /, kita faktorkan penyevutnya sebagai berikut 4 ( )( ) maka 4 4 4 4 ( )( ) 4 4 CONTOH Cari Untuk menghilangkan bentuk / pada it di atas, kita rasionalkan pembilangnya dengan mengalikan pembilang dan penyebut masing-masing dengan sekawan dari pembilangnya ( ) Dengan demikian diperoleh Teorema Apit Jika kita tidak dapat menentukan it fungsi seara langsung, kita dapat menarinya seara tidak langsung menggunakan teorema apit Teorema ini mengau pada sebuah fungsi yang diapit oleh dua fungsi lainnya, seperti ditunjukkan pada Gambar 4 Teoremanya sebagai berikut Misalnya f, g, dan h adalah fungsi yang memenuhi g() f() h() untuk semua keuali di = Jika g( ) h( ) L, f ( ) L y h() L f() g() Gambar 4 Aip Saripudin Limit -
Diktat Kuliah TK Matematika CONTOH Diketahui u ( ) Tentukan u( ) u ( ) ( ) u( ) ( ) ( ) u( ) ( ) 7 u( ) Maka ( 7) u( ) ( ) u( ) Jadi, u( ) CONTOH 7 Tentukan / 4 sin Karena sin maka, dengan mengalikan setiap ruas dengan sin / 4 / 4 Gunakan teorema apit maka ( Jadi, / 4 sin / 4 ) / 4 / 4 / 4 sin sin / 4 / 4, diperoleh Limit Fungsi Trigonometri Beberapa sifat dan rumus dasar it trigonometri sebagai berikut () sin sin () os os () tan tan sin (4) sin Aip Saripudin Limit -
Diktat Kuliah TK Matematika tan () tan os () tan CONTOH Buktikan bahwa tan sin / os sin os sin os os CONTOH Cari sin Kalikan penyebut dan pembilang dengan, diperoleh sin sin sin p p p Catatan: Kita dapat mengganti = p Dengan demikian p jika sehingga sin sin p p p CONTOH Cari sin tan sin tan tan os CONTOH 4 tant Cari t sint tan os Di sini kita tidak perlu melakukan manipulasi lagi karena penyebutnya tidak sama dengan nol Jadi, Aip Saripudin Limit -
Diktat Kuliah TK Matematika tant t sint tan sin 4 Limit di Takhingga Lambang takhingga ( ) bukanlah sebuah bilangan real Lambang ini digunakan untuk menjelaskan perilaku fungsi ketika daerah asal atau daerah hasilnya di luar batas bilangan real Sebagai ontoh, fungsi f ( ) terdefinisi untuk Jika positif semakin besar, / semakin keil Jika terusmenerus diperbesar menuju takhingga, / terus-menerus semakin keil dan menuju nol Kita katakan bahwa Hal yang sama terjadi ketika menuju negatif takhingga, Berikut adalah ontoh-ontoh berkaitan dengan it di takhingga CONTOH Cari Untuk menyelesaikan it di tak hingga, pembilang dan penyebut dibagi oleh dengan pangkat tertinggi CONTOH Cari CONTOH p Cari p Aip Saripudin Limit -
Diktat Kuliah TK Matematika Aip Saripudin Limit - 4 p p p p CONTOH 4 Hitung ) ( Kalikan dan bagi bagian dalam kurung dengan sekawannya maka diperoleh ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8 8 Kekontinuan Fungsi Sebuah fungsi dikatakan kontinu jika grafik fungsi tersebut mulus, tanpa ada lompatan dari satu nilai ke nilai lainnya Gambar memperlihatkan tiga buah grafik: (a) dan (b) tidak kontinu di =, () kontinu di = Gambar y y y ) ( f tidak ada (a) ) ( ) ( f f (b) ) ( ) ( f f ()
Diktat Kuliah TK Matematika Untuk fungsi f yang terdefinisi pada interval buka yang mengandung di dalamnya, fungsi tersebut kontinu di = jika f ( ) f ( ) Untuk menguji kekontinuan fungsi, sesuai definisi di atas, diperlukan tiga kondisi yang harus dipenuhi sekaligus, yaitu: () f() ada ( berada pada daerah asal f) () f ( ) ada (f memiliki it di ) () f ( ) f ( ) (it f sama dengan nilai f di = ) Jika salah satu dari kondisi di atas tidak dipenuhi, fungsi tersebut tidak kontinu di = CONTOH Periksa kekontinuan fungsi f ( ),, di = Fungsi mutlak di atas dapat dipeah menjadi, f ( ), Limit f() di sekitar = sebagai berikut Limit kiri {f() untuk < }: f ( ) ( dan it kanan { f() untuk > }: f ( ) ( ) ) Limit kiri sama dengan it kanan maka f ( ) Selanjutnya, telah diketahui bahwa f() = di = atau f() = Karena f ( ) dan f (), jelas bahwa f ( ) f () Jadi, f() tidak kontinu di = Aip Saripudin Limit -
Diktat Kuliah TK Matematika CONTOH Diberikan sebuah fungsi sebagai berikut f ( ) Fungsi di atas tidak kontinu di = Berapakah f() harus didefinisikan agar f() kontinu di setiap titik? Tuliskan fungsi itu dengan memasukkan definisi f() tersebut Dari syarat kekontinuan fungsi diperoleh f () f ( ) ( )( ) Dengan demikian, f () g ( ) Jadi, fungsi yang baru {sebut g()} adalah,, Aip Saripudin Limit -