Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai contoh, derivative dari fungsi berturut-turut diberikan oleh Dimana dan seterusnya. Kita juga telah diperkenalkan dengan aturan dan metode mendiferensialkan fungsi dari dua variable atau lebih. Derivatifnya disebut derivative parsial. Persamaan yang memuat derivative parsial disebut persamaan diferensial parsial. Misalkan oleh dst, derivatifnya terhadap x dan y berturut-turut diberikan Pengertian: Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang menyatakan hubungan fungsi yang tidak di ketahui dan turunan-turunannya. Definisi : Misalkan mendefinisikan sebuah fungsi dari x pada suatu interval [ ]. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivative dari. Contoh :
B. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Jika hanya ada satu peubah bebas, maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB). Contoh PDB adalah sebagai berikut: Sedangkan jika persamaan memuat dua atau lebih peubah bebas, maka disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Misalkan : BENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA : di mana solusi atau penyelesaian dari PD tersebut merupakan suatu fungsi eksplisit. Bentuk PDB orde n : Bentuk Persamaan diferensial orde satu :
Bentuk persamaan diferensial orde 2 : Masalah Nilai awal Misalkan kita akan mencari penyelesaian dari y=y(x) dari PDB orde satu Yang memenuhi Contoh : a. b. Pertemuan 3 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU Pada bagian ini, kita akan membahas teknik-teknik penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa (PDB) orde satu. Untuk PDB orde satu yang berbentuk, dimana fungsi kontinu dari satu peubah bebas x, maka kita dapat mengintegralkan secara langsung kedua ruas untuk memperoleh penyelesainnya. Selanjutnya akan dicari penyelesaian PDB order satu Bentuk umum :...(1) Dimana fungsi kontinu dari dua peubah bebas x dan y. Penyelesainnya tidak dapat diperoleh dengan mengintegralkan secara langsung. Untuk meyelesaikan PDB orde satu ada beberapa langkah :
1. PD dengan peubah terpisah Untuk mencari penyelesaian umum dari persamaan (1), terlebih dahulu kita pisahkan peubah x dan y, sehingga kita peroleh fungsi Persamaan (1) berubah menjadi Atau dapat di tulis Sehingga maka akan ditemukan solusi umum PD tersebut Contoh : Selesaikan Penyelesaian :dengan memisahkan peubahnya Integralkan kedua ruas: +C Sehingga kita peroleh penyelesaian umumnya adalah latihan Selesaikan soal berikut dengan pemisah peubah. a. b. c. d. e. 2. Masalah Syarat Awal dan Eksistensi Solusi Persamaan Diferensial Orde Satu Definisi 2.1. Misal Persamaan diferensial orde satu dengan bentuk derivatif
(2.1) dengan f kontinu pada domain dan. Masalah mencari penyelesaian yang terdefinisi pada interval I yang memuat dari persamaan (2.1) dan memenuhi syarat awal disebut masalah syarat awal dan ditulis sebagai berikut : Contoh : Selesaikan masalah syarat awal berikut : Penyelesaian : Persamaan diferensial tersebut mempunyai solusi umum Dengan memberikat syarat y(3)=4 pada penyelesaian umum, maka diperoleh atau c 2 = 25. Jadi diperoleh penyelesaian masalah syarat awalnya Teorema 2.1. Jika persamaan diferensial (2.2) memenuhi : a. Fungsi f kontinu pada domain b. Derivatif partial kontinu pada domain D. dan, maka terdapat penyelesaian tunggal dari persamaan (2.2) yang terdefinisi pada suatu interval [ ] dimana h cukup kecil dan memenuhi syarat. Contoh : Pandang masalah syarat awal
Dari masalah ini diperoleh dan kontinu pada domain Karena syarat awal berarti titikl (1,3) pasti termuat pada domain D tadi. Dengan teorema 2.1 diperoleh suatu penyelesaian tunggal dari persamaan diferensial yang terdefinisi pada interval [1-h, 1+h] dan memenuhi LATIHAN Selesaikan masalah MNA berikut: a. b. c. Pertemuan 4 dan 5 PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK DAN FAKTOR INTEGRASI a. Persamaan Diferensial Eksak Definisi : Misalkan F fungsi dua variabel yang mempunyai derivatif partial orde satu kontinu pada Domain D. Diferensial total df dari fungsi F di definisikan : df x y F x y x dx F x y y dy Untuk setiap Contoh : Misal F fungsi dua variabel dengan rumus :
Maka mempunyai diferensial total : Bentuk persamaan diferensial eksak : M x y dx N x y dy Disebut diferensial eksak pada domain D jika terdapat fungsi dua variabel F sehingga diferensial diatas merupakan diferensial total F untuk setiap. Dengan kata lain terdapat fungsi F sehingga dan. Jika merupakan diferensial eksak maka persamaan diferensial orde satu disebut persamaan diferensial eksak. Teorema 3.1. misalkan persamaan diferensial (2.3) mempunyai derivatif parsial orde satu kontinu pada D. Persamaan diferensial (2.3) eksak pada D jika dan hanya jika M x y y N x y x Contoh : Persamaan Diferensial Merupakan persamaan diferensial eksak karena diperoleh ( ( )) (1.1) ( ) Sehingga
Karena maka Persamaan diferensial (1.1) memenuhi persamaan diferensial eksak Teorema 3.2. Misalkan persamaan diferensial eksak pada D fungsi dua variabel F memenuhi : dan untuk setiap, maka penyelesaian umum persamaan diferensial eksak tersebut adalah dan C konstanta sembarang. Sehingga Dan harus memenuhi di peroleh fungsi Sehingga solusi umum penyelesaian persamaan diferensial eksak adalah Contoh : 1. Persamaan diferensial Apakah merupakan persamaan diferensial eksak? Jika ya, maka selesaikan persamaan diferensial tersebut 2. Selesaikan persamaan diferensial 3. Selesaikan masalah syarat awal : Latihan : 1. 2. Tentukan masalah syarat awal berikut: dengan y(0) = 2, y(0) = 1 b. Persamaan Diferensial Non Eksak Dalam persamaan diferensial bentuk
...(1) yang memenuhi persamaan diferensial eksak. Apabila syarat awal persamaan diferensial eksak tidak terpenuhi, dimana M x y dy N x y dx Maka perlu adanya faktor tambahan yang biasa di sebut dengan faktor integrasi μ x e P x dx, dimana P x 1 M x y N x y x M x y y atau P x 1 N x y M x y y N x y x Sehingga bentuk persamaan (1) akan berubah menjadi: Untuk langkah mencari solusi umumnya sama dengan PD eksak. Contoh 1 : Selesaikan persamaan diferensial berikut...(1) Answer: Jika dilihat dari bentuk persamaan diferensial tersebut mengarah ke persamaan diferensial eksak bentuk: Tetapi untuk menguji persamaan diatas eksak atau bukan harus memnuhi syarat awal 1 dan 2 karena maka perlu adanya faktor integrasi dimana sehingga sehingga persamaan (1) di ubah menjadi:
Setelah menemukan faktor integrasi lakukan uji ulang untuk membuktikan eksak atau bukan. (bukti sebagai latihan mahasiswa) Contoh 2 Selesaikan persamaan diferensial Apakah merupakan Persamaan Diferensial Eksak? a. Jika ya tentukan solusi umumnya b. Jika tidak carilah faktor integrasinya. c. Tentukan solusi umum dari PD di atas. Jawab : dan maka perlu adanya faktor integrasi karena (lanjutan di kerjakan oleh mahasiswa) Latihan soal i. Kerjakan nomor 10 untuk x> 0 ii. Nomor 19 dimana pada buku Elementary Differential Equations & boundary value Problems hal 100.(Dikumpulkan)
Petemuan 5 dan 6 PERSAMAAN DIFERENSIAL SEPARABEL DAN HOMOGEN A. Persamaan Diferensial Separabel Definisi. Persamaan diferensial dengan bentuk:...persamaan (4.1) F x G y dx f x g y dy disebut persamaan separabel.
Secara umum persamaan diferensial separabel tidak eksak, tetapi mempunyai faktor integrasi yang jelas yaitu: sehingga persamaan (4.1) menjadi...(4.2) Persamaan (4.2) merupakan persamaan diferensial eksak karena ( ) ( ) Persamaan (4.2) terlihat bahwa variabel-variabel x dan y dapat dipisahkan sehingga mengelompok. Oleh karena itu penyelesaian persamaan diferensial (4.1) adalah...(4.3) Contoh : Selesaikan persamaan diferensial Penyelesaian : Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial separabel dengan membagi diperoleh Dengan mengintegralkan diperoleh penyelesaian umum Latihan. Selesaikan persamaan dengan syarat awal Penyelesaian : Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial separabel karena dengan membagi diperoleh
Dengan mengintegralkan diperoleh Sehingga solusi umum persamaan diferensialnya adalah Dengan memberikan dan diperoleh C= 2. Jadi penyelesaian masalah syarat awalnya Latihan soal a. Selesaikan masalah syarat awal, b. Selesaikan masalah syarat awal, B. Persamaan Diferensial Homogen. Definisi. Persamaan diferensial dapat ditulis dalam bentuk derivatif disebut homogen jika, maka terdapat fungsi g sehingga. Contoh 1. Persamaan diferensial ditulis dalam bentuk derivatif =0 homogen, karena apabila ( ) Yang ruas kanan berbentuk fungsi. Contoh 2.
Persamaan diferensial ditulis dalam bentuk derivatif homogen, karena apabila ( ) Yang ruas kanan berbentuk fungsi Teorema. Jika persamaan diferensial...(5.1) Homogen, maka dengan memisalkan y=vx persamaan diferensial (5.1) berubah menjadi persamaan diferensial separabel. Contoh 3. Selesaikan persamaan diferensial =0 Penyelesaian Telah ditunjukkan bahwa persamaan tersebut homogen dan dapat ditulis dalam bentuk derivatif ( ) Misalkan, di peroleh dan sehingga ( ) ( ) ( ) Merupakan persamaan diferensial separabel dan diintegralkan diperoleh
Di kembalikan ke variabel semula diperoleh Jika dapat ditulis menjadi Contoh : Selesaikan persamaan diferensial Dengan syarat awal Penyelesaian : Misalkan y=vx, sehingga diperoleh Merupakan persamaan diferensial separabel dan diintegralkan diperoleh Dikembalikan ke variabel semula diperoleh
Jika syarat awal y = 0 untuk x = 1, maka diperoleh c = 1. Jadi penyelesaian masalah syarat awal adalah 3. Persamaan Teorema 6. Misal persamaan diferensial Dengan konstanta di R...(6.1) a. Jika, maka dengan transformasi Dimana (h,k)merupakan penyelesaian dari sistem: Persamaan (6.1) menjadi persamaan homogen dalam variabel u dan v sebagai berikut: b. Jika, maka dengan transformazi persamaan (6.1) menjadi persamaan separabel dalam variabel x dan z c. Jika, maka persamaan (6.1) merupakan persamaan diferensial dengan penyelesaian, untuk sembarang konstanta C. Contoh: Selesaikan persamaan diferensial...(6.2) Penyelesaian Dari persamaan diferensial (6.2) diperoleh Sehingga merupakan kasus 1 dari teorema 6. Penyelesaian dari sistem Adalah
dengan transformasi, persamaan (6.2) menjadi persamaan homogen dalam variabel u dan v sebagai berikut Persamaan tersebut dapat di tulis dalam bentuk derivatif menjadi Misalkan v = wu (mahasiswa yang melanjutkan) Latihan Selesaikan persamaan diferensial Dengan syarat awal y(-2) = 2 Pertemuan 7 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE SATU Definisi 7.1. Persamaan diferensial linier orde satu dengan variabel tak bebas y dan variabel bebas x, dapat di tulis dalam bentuk : dy dx P x y Q x
Contoh : persamaan Dapat ditulis menjadi ( ) Persamaan diferensial linier orde satu dapat ditulis dalam bentuk diferensial menjadi ( ) Sehingga di peroleh Maka Jadi persamaan diferensial linier orde satu bukan persamaan diferensial eksak dan karena pada persamaan terakhir memuat hanya variabel x saja, maka dapat diasumsikan mempunyai faktor integral yang hanya tergantung x saja, misalkan, maka diperoleh ( ) Dengan mengingat definisi faktor integral diperoleh [ ( )] Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial separabel yang penyelesaiannya adalah Jelas, sehingga merupakan faktor integral dari persamaan diferensial linier orde satu sehingga ( )
Dari uraian diatas dapat disimpulkan dalam suatu teorema berikut : Teorema. Persamaan diferensial linier orde satu Mempunyai faktor integral Penyelesaian umum persamaan diferensialnya Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Linier Orde satu adalah sebagai berikut : Langkah 1 : tuliskan bentuk Persamaan Diferensial linier orde satu tersebut dalam bentuk standar Langkah 2. Tentukan faktor integralnya. Langkah 3. Kalikan Q(x) dengan dan integralkan Langkah 4. Tuliskan penyelesaian umum Atau
Contoh : Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial Penyelesaiannya : Dari persamaan diferensial tersebut diperoleh Dan bentuk persamaan diferensialnya ( ) Sehingga dengan teorema diatas faktor integralnya Cara I : Kalikan dengan dan integralkan, sehingga diperoleh Jadi penyelesaian umumnya adalah = atau Cara II : Diperoleh persamaan diferensial eksaknya Yang mempunyai penyelesaian umum dengan metode pengelompokkan
Latihan : Selesaikan Persamaan diferensial linier orde satu berikut a. b. c.. Selesaikan Masalah Nilai Awal berikut a. b. c. Pertemuan 8 dan 9 PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNAULLI DAN RICCATI A. Persamaan Diferensial Bernaulli Definisi 8.1. Persamaan diferensial yang dapat ditulis dalam bentuk Disebut persamaan diferensial bernaulli. Teorema. 8.1. Apabila, maka dengan transformasi persamaan bernaulli berubah menjadi PD linier tingkat satu
Dengan penyelesaian umum berbentuk Contoh : Selesaikan Penyelesaian Dengan substitusi diperoleh Sehingga penyelesaian umumnya adalah. ( ) Latihan : a. b. c. d. e. B. Persamaan Diferensial Riccati
Pertemuan 10 dan 11 PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN 1. Persamaan Diferensial Homogen Banyak Permasalahan di bidang teknik, Fisika, pemodelan matematika yang melibatkan Persamaan Diferensial Homogen Orde 2. Oleh sebab itu mengetahui mekanisme pemecahan masalah Persamaan Diferensial Homogen Orde 2
sangatlah membantu kita untuk mencari solusinya. Salah satu bentuk Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 adalah pertama mari kita misalkan f(x) = 0, dengan nilai a, b, dan c konstan, maka Pers.1 menjadi Persamaan (2) adalah bentuk umum Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 dimana ruas kanannya sama dengan 0. Apabila ruas kanan tidak sama dengan 0 maka, persamaan itu dikatakan Persamaan diferensial inhomogen orde 2. Misalkan y = u dan y = v (dimana u dan v adalah fungsi x yang menjadi dua solusi dari persaman dan tambahkan Persamaan (3) dan (4) dimana ( ) ( ) dan jadi dapat ditulis maka substitusikan (gantikan) y = u+v
dan y = u+v jika a = 0, maka Pers. 1 menjadi Pers differential liniar orde satu (PDL01) dimana k = c/b integralkan persamaan diatas kita dapatkan Ln y = -kx +c kita gantikan -k dengan m, maka Pers.(5) tidak hanya solusi untuk PDL01 tetapi juga bisa menjadi solusi untuk Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 dimana
Pers.2 dapat ditulis bagi dengan kita dapat...(6) yang merupakan persamaan kuadrat, yang akar-akar kuadratnya m = m1 dan m = m2 dimana kita sudah lihat jika y = u dan y = v adalah dua solusi untuk Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 dan juga y = u+v. Jika dan, maka solusi untuk Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 dapat ditulis +...(7) persamaan kuadrat ini dikatakan persamaan tambahan (Auxiliary Equation) solusi Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 sangat tergantung dari jenis akarakar persamaan tambahan. Ada tiga jenis solusi untuk Persamaan Diferensial Homogen Orde 2, yaitu : a. Akar real dan berbeda (Determinan > 0) b. Akar real dan sama (Determinan = 0) c. Akar kompleks (Determinan < 0) Dimana determinan D b ac jadi solusi untuk persamaan diferensial homogen orde 2 kita adalah a. Akar real dan Berbeda. +
Untuk akar sama atau kembar solusinya adalah + Contoh : persamaan tambahannya adalah faktorkan persamaan diatas m = -2 dan m = -3 maka akarnya real dan berbeda. Jadi homogen orde 2 kita adalah + solusi untuk persamaan diferensial b. Akar real dan sama Untuk akar sama atau kembar solusinya adalah Contoh : + persamaan tambahannya adalah faktorkan persamaan diatas m = -3 dan m = -3 maka akarnya sama atau kembar jadi solusi untuk persamaan diferensial homogen orde 2 kita adalah atau +
c. Akar kompleks/imaginer Rumus untuk akar kompleks atau imaginer adalah akar kompleks adalah akar yang didalamnya terdapat tanda negativ. Untuk lebih jelasnya lihat contoh dibawah ini. Persamaan tambahannya adalah persamaan kuadrat diatas tidak bisa diselesaikan dengan pemfaktoran. Maka digunakan rumus ABC sebagai solusinya maka α=-2 dan β= maka solusinya adalah coba kerjakan contoh ini sebagai latihan di samping 3 bentuk akar diatas, ada beberapa bentuk khusus Persamaan Diferensial Homogen Orde 2. Ada dua bentuk khusus yaitu
maka solusinya y = A Cosh nx + B Sinh nx maka solusinya Contoh : y = A Cos nx + B Sin nx maka n 2 = -16, n = + j4 solusinya y = A Cos 4x + B Sin 4x Latihan soal 1. 2. 3. 4. 5. Pertemuan 12 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 2 NON HOMOGEN Definisi : Persamaan Diferensial Orde 2 Non Homogen
Jika maka substitusi + akan membuat sisi kiri diatas sama dengan nol. Maka : Contoh : +, X = fungsi tambahan. + fungsi komplementer integral khusus Selesaikan persamaan diferensial Penyelesaian : - Fungsi komplemen sehingga f(x) = 0 Maka akar-akar karakteristiknya : m = 2 dan m = 3 Sehingga - Integral khusus fungsi derajat dua Misal Substitusikan ke persamaan Penyelesaian Umum = fungsi komplemen + Integral Khusus
= Jika Menentukan nilai-nilai konstanta Asumsikan atau atau Latihan soal 1. Selesaikan persamaan diferensial 2. Tentukan nilai A dan B jika dan Pertemuan 13 dan 14 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTAN.
Bentuk Persamaan diferensial orde dua ( ) Dimana f adalah suatu fungsi, sehingga persamaan diferensial (1) merupakan persamaan diferensial linier orde dua 1. Metode Penyelesaian a. Metode Koefisien tak tentu b. Metode Variasi Parameter. C. PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT TINGGI Pada Bab ini, dibicarakan beberapa tipe persamaan diferensial linier orde tinggi dan beberapa metode untuk menyelesaikannya. Hal-hal yang dibahas adalah reduksi order, persamaan diferensial linier homogen dengan koefisien konstan, metode variasi parameter, dan persamaan Cauchy- Euler. Untuk membahas ini
semua diperlukan beberapa teori dasar tentang persamaan diferensial linier orde tinggi, yang akan disajikan tanpa disertai bukti. D. PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL. E. TRANSFORMASI LAPLACE. KONTRAK BELAJAR NO KOMPONEN PERSENTASE (%) 1 Kehadiran 10 KETERANGAN
2 Ujian Sisipan 10 Sifat ujian close book dilakukan 2 kali (1 kali sebelum UTS dan 1 kali sesudah UTS) 3 Tugas 25 4 kali (pertemuan ke 4, 6, 10, 12) 4 UTS 25 Sifat ujian close book 5 UAS 30 Sifat ujian open book Jumlah 100