Darpublic Nopember 01 www.darpublic.com 4.1. Pengerian 4. Persamaan Diferensial (Orde Sau) Sudarano Sudirham Persamaan diferensial adalah suau persamaan di mana erdapa sau aau lebih urunan fungsi. Persamaan duferensial diklasifikasikan sebagai: 1. Menuru jenis aau ipe: ada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jenis ang kedua idak kia pelajari di buku ini, karena kia hana meninjau fungsi dengan sau peubah bebas.. Menuru orde: orde persamaan diferensial adalah orde eringgi urunan fungsi ang ada dalam persamaan. d adalah orde iga; d d adalah orde dua; adalah orde sau.. Menuru deraja: deraja suau persamaan diferensial adalah pangka eringgi dari urunan fungsi orde eringgi. Sebagai conoh: deraja dua. 5 d d e 1 adalah persamaan diferensial biasa, orde iga, Dalam buku ini kia hana akan membahas persamaan diferensial biasa, orde sau dan orde dua, deraja sau. 4.. Solusi Suau fungsi f() dikaakan merupakan solusi suau persamaan diferensial jika persamaan ersebu eap erpenuhi dengan diganikanna dan urunanna dalam persamaan ersebu oleh f() dan urunanna. Kia ambil sau conoh: d ke adalah solusi dari persamaan 0 karena urunan jika ini kia masukkan dalam persamaan akan kia peroleh ke ke 0 Persamaan erpenuhi. d ke adalah ke, dan Pada conoh di aas kia liha bahwa persamaan diferensial orde sau mempunai solusi ang melibakan sau eapan sembarang aiu k. Pada umumna suau persamaan orde n akan memiliki solusi ang mengandung n eapan sembarang. Pada persamaan diferensial orde dua ang akan kia bahas di bab berikuna, kia akan menemukan solusi dengan dua eapan sembarang. Nilai dari eapan ini dienukan oleh kondisi awal. 4.. Persamaan Diferensial Orde Sau Dengan Peubah Yang Dapa Dipisahkan Solusi suau persamaan diferensial bisa diperoleh apabila peubah-peubah dapa dipisahkan; pada pemisahan peubah ini kia mengumpulkan semua dengan d dan semua dengan. Jika hal ini bisa dilakukan maka persamaan ersebu dapa kia uliskan dalam benuk f ( ) d g( ) 0 (4.1) Apabila kia lakukan inegrasi kia akan mendapakan solusi umum dengan sau eapan sembarang K, aiu f ) d g( ) ) ( K (4.) 1/8
Darpublic Nopember 01 www.darpublic.com Kia ambil dua conoh. 1). d e. Persamaan ini dapa kia uliskan dengan peubah erpisah sehingga e e d e 0 e K aau e e K dan d e sehingga kia dapakan persamaan e e d e K d ). 1. Pemisahan peubah akan memberikan benuk d 0 dan K d sehingga ln K aau ln K 4.4. Persamaan Diferensial Homogen Orde Sau Suau persamaan disebu homogen jika ia dapa diuliskan dalam benuk d F Persamaan demikian ini dapa dipecahkan dengan membua peubah bebas baru v Dengan peubah baru ini maka d v dan v Persamaan (14.) menjadi v F(v) (4.4) ang kemudian dapa dicari solusina melalui pemisahan peubah. 0 v F( v) Solusi persamaan aslina diperoleh dengan mengganikan v dengan / seelah persamaan erakhir ini dipecahkan. Kia ambil conoh: ( ) d 0 Persamaan ini dapa kia ulis (1 ) d 0 aau (1 ) d sehingga d 1 ( / ) F( / ) ( / ) ang merupakan benuk persamaan homogen. Peubah baru v / memberikan v dan d v (4.) (4.5) /8 Sudarano Sudirham, Persamaan Diferensial (Orde 1)
Darpublic Nopember 01 www.darpublic.com dan membua persamaan menjadi Dari sini kia dapakan 1 v v aau v (1 v ) / v 1 v 1 v v v v v aau 0 1 v Kia harus mencari solusi persamaan ini unuk mendapakan v sebagai fungsi. Kia perlu pengalaman unuk ini. Kia ahu bahwa d(ln ) 1. Kia coba hiung d ln(1 ) d ln(1 ) d(1 ) 1 (6) d(1 ) 1 Kembali ke persamaan kia. Dari percobaan perhiungan di aas kia dapakan solusi dari v 0 1 v 1 1 adalah ln ln(1 v ) K ln K aau Dalam dan solusi ini adalah ln ln(1 v ) K ln K sehingga (1 v ) K ( 1 ( / ) ) K aau ( ) K 4.5. Persamaan Diferensial Linier Orde Sau Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderaja sau aau nol. Dalam menenukan deraja ini kia harus memperhiungkan pangka dari peubah dan urunanna; misal (d/) adalah berderaja dua karena dan d/ masing-masing berpangka sau dan harus kia jumlahkan unuk menenukan deraja dari (d/). Persamaan diferensial orde sau ang juga linier dapa kia uliskan dalam benuk d P Q (4.6) dengan P dan Q merupakan fungsi aau eapan. Persamaan diferensial benuk inilah selanjuna akan kia bahas dan kia akan membaasi pada siuasi dimana P adalah suau eapan. Hal ini kia lakukan karena kia akan langsung meliha pemanfaaan prakis dengan conoh ang erjadi pada analisis rangkaian lisrik. Dalam analisis rangkaian lisrik, peubah fisis seperi egangan dan arus merupakan fungsi waku. Oleh karena iu persamaan diferensial ang akan kia injau kia uliskan secara umum sebagai d a b f () (4.7) Persamaan diferensial linier orde sau seperi ini biasa kia emui pada perisiwa ransien (aau perisiwa peralihan) dalam rangkaian lisrik. Cara ang akan kia gunakan unuk mencari solusi adalah cara pendugaan. Peubah adalah keluaran rangkaian (aau biasa disebu anggapan rangkaian) ang dapa berupa egangan aaupun arus sedangkan nilai a dan b dienukan oleh nilai-nilai elemen ang membenuk rangkaian. Fungsi f() adalah masukan pada rangkaian ang dapa berupa egangan aaupun arus dan disebu fungsi pemaksa aau fungsi penggerak. /8
Darpublic Nopember 01 www.darpublic.com Persamaan diferensial seperi (4.7) mempunai solusi oal ang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah fungsi ang dapa memenuhi persamaan (4.7) sedangkan solusi homogen adalah fungsi ang dapa memenuhi persamaan homogen d a b 0 (4.8) Hal ini dapa difahami karena jika f 1 () memenuhi (4.7) dan fungsi f () memenuhi (4.8), maka (f 1 f ) akan memenuhi (4.7) sebab ( f f ) d d a b a 1 b( f1 f) df 1 df df a bf 1 1 a bf a bf1 0 Jadi (f 1 f ) adalah solusi dari (4.7), dan kia sebu solusi oal ang erdiri dari solusi khusus f 1 dari (4.7) dan solusi homogen f dari (4.8). Perisiwa Transien. Sebagaimana elah disebukan, persamaan diferensial seperi (14.7) dijumpai dalam perisiwa ransien, aiu selang peralihan dari suau keadaan manap ke keadaan manap ang lain.. Peralihan kia anggap mulai erjadi pada 0 dan perisiwa ransien ang kia injau erjadi dalam kurun waku seelah mulai erjadi perubahan aiu dalam kurun waku > 0. Sesaa seelah mulai perubahan kia beri anda 0 dan sesaa sebelum erjadi perubahan kia beri anda 0. Solusi Homogen. Persamaan (4.8) menaakan bahwa diambah dengan suau koefisien konsan kali d/, sama dengan nol unuk semua nilai. Hal ini hana mungkin erjadi jika dan d/ berbenuk sama. Fungsi ang urunanna mempunai benuk sama dengan fungsi iu sendiri adalah fungsi eksponensial. Jadi kia dapa menduga bahwa solusi dari (4.8) mempunai benuk eksponensial K 1 e s. Jika solusi dugaan ini kia masukkan ke (4.8), kia peroleh s s ( as b) 0 ak1 se bk1e 0 aau K1 Peubah idak mungkin bernilai nol unuk seluruh dan K 1 juga idak boleh bernilai nol karena hal iu akan membua bernilai nol unuk seluruh. Sau-sauna cara agar persamaan (4.9) erpenuhi adalah (4.9) as b 0 (4.10) Persamaan (4.10) ini disebu persamaan karakerisik sisem orde perama. Persamaan ini hana mempunai sau akar aiu s (b/a). Jadi solusi homogen ang kia cari adalah a s ( b / a) 1 K e K e (4.11) 1 Nilai K 1 masih harus kia enukan melalui penerapan suau persaraan erenu ang kia sebu kondisi awal aiu kondisi pada 0 sesaa seelah mulaina perubahan keadaan. Ada kemungkinan bahwa elah mempunai nilai erenu pada 0 sehingga nilai K 1 haruslah sedemikian rupa sehingga nilai pada 0 ersebu dapa dipenuhi. Akan eapi kondisi awal ini idak dapa kia erapkan pada solusi homogen karena solusi ini baru merupakan sebagian dari solusi. Kondisi awal harus kia erapkan pada solusi oal dan bukan hana unuk solusi homogen saja. Oleh karena iu kia harus mencari solusi khusus lebih dulu agar solusi oal dapa kia peroleh unuk kemudian menerapkan kondisi awal. Solusi khusus. Solusi khusus dari (4.7) erganung dari benuk fungsi pemaksa f(). Seperi halna dengan solusi homogen, kia dapa melakukan pendugaan pada solusi khusus. Benuk solusi khusus haruslah sedemikian rupa sehingga jika dimasukkan ke persamaan (4.7) maka ruas kiri dan ruas kanan persamaan iu akan berisi benuk fungsi ang sama. Jika solusi khusus kia sebu p, maka p dan urunanna harus mempunai benuk sama agar hal ersebu erpenuhi. Unuk berbagai benuk f(), solusi khusus dugaan p adalah sebagai beriku. 4/8 Sudarano Sudirham, Persamaan Diferensial (Orde 1)
Darpublic Nopember 01 www.darpublic.com Jika f ( ) 0, maka p 0 Jika f ( ) A konsan, maka p konsan K α Jika f ( ) Ae eksponensial, maka α p eksponensial Ke Jika f ( ) Asin ω, aau f ( ) Acosω, maka p Kc cosω Ks sin ω Perhaikan : Kc cosω Ks sin ω adalah benuk umum fungsi sinus maupun cosinus. Solusi oal. Jika solusi khusus kia sebu p, maka solusi oal adalah p a p K1 s e (4.1) Pada solusi lengkap inilah kia dapa menerapkan kondisi awal ang akan memberikan nilai K 1. Kondisi Awal. Kondisi awal adalah kondisi pada awal erjadina perubahan aiu pada 0. Dalam menurunkan persamaan diferensial pada perisiwa ransien kia harus memilih peubah ang disebu peubah saus. Peubah saus harus merupakan fungsi koninu. Nilai peubah ini, sesaa sesudah dan sesaa sebelum erjadi perubahan harus bernilai sama. Jika kondisi awal ini kia sebu (0 ) maka (0 ) (0 ) (4.1) Jika kondisi awal ini kia masukkan pada dugaan solusi lengkap (14.1) akan kia peroleh nilai K 1. ( p 1 1 p 0 ) (0 ) K K (0 ) (0 ) (4.14) p (0 ) adalah nilai solusi khusus pada 0. Nilai (0 ) dan p (0 ) adalah erenu (aiu nilai pada 0 ). Jika kia sebu ( 0 ) p (0 ) A 0 (4.15) maka solusi oal menjadi s p A0 e 4.6. Solusi Pada Berbagai Fungsi Pemaksa (4.16) Tanpa Fungsi Pemaksa, f() 0. Jika f() 0 maka solusi ang akan kia peroleh hanalah solusi homogen saja. Walaupun demikian, dalam mencari soluai kia akan menganggap bahwa fungsi pemaksa eap ada, akan eapi bernilai nol. Hal ini kia lakukan karena kondisi awal harus dierapkan pada solusi oal, sedangkan solusi oal harus erdiri dari solusi homogen dan solusi khusus (walaupun mungkin bernilai nol). Kondisi awal idak dapa dierapkan hana pada solusi homogen saja aau solusi khusus saja. Conoh: Dari suau analisis rangkaian diperoleh persamaan 1000 v 0 unuk > 0. Kondisi awal adalah v(0 ) 1 V. Persamaan karakerisik : s 1000 0 s 1000 solusi homogen : solusi khusus : solusi oal 1000 A0e v p 0 (karena idak ada s 1000 : v v p A0e 0 A0e fungsi pemaksa) 5/8
Darpublic Nopember 01 www.darpublic.com Kondisi awal : v(0 ) v(0 ) 1 V. Penerapan kondisi awal pada dugaan memberikan : 1 0 A0 1 1000 Solusi oal menjadi : v 1 e V solusi oal Conoh: Pada kondisi awal v(0 ) 10 V, analisis ransien menghasilkan persamaan v 0 Persamaan karakerisik : s 0 s solusi khusus : solusi homogen : solusi oal: Kondisi awal : v(0 ) 10 V A0e v p 0 v vp A0e Penerapan kondisi awal memberikan : 10 0 A0 Solusi oal menjadi: v 10 e V Fungsi Pemaksa Berbenuk Anak Tangga. Kia elah mempelajari bahwa fungsi anak angga adalah fungsi ang bernilai 0 unuk < 0 dan bernilai konsan unuk > 0. Jadi jika kia hana meninjau keadaan unuk > 0 saja, maka fungsi pemaksa anak angga dapa kia uliskan sebagai f() A (eapan). Conoh: Suau analisis rangkaian memberikan persamaan dengan kondisi awal v(0 ) 0 V. solusi homogen : 10 v 1 Persamaan karakerisik : 10 s 1 0 s 1/10 1000 1000 A0e Karena f() 1 konsan, kia dapa menduga bahwa solusi khusus akan bernilai konsan juga karena urunanna akan nol sehingga kedua ruas persamaan ersebu dapa berisi suau nilai konsan. solusi khusus : Masukkan v p dugaan vp K ini ke persamaan : 1000 solusi oal : v 1 A0e V Kondisi awal : v(0 ) v(0 ) 0. 0 K 1 vp 1 Penerapan kondisi awal memberikan : 0 1 A0 1 1000 Solusi oal menjadi : v 1 1 e V Conoh: Pada kondisi awal v(0 ) 11 V, analisis ransien menghasilkan persamaan 5 v 00 6/8 Sudarano Sudirham, Persamaan Diferensial (Orde 1)
Darpublic Nopember 01 www.darpublic.com Persamaan karakerisik : s 5 0 s 5 Kondisi solusi homogen : solusi khusus : solusi lengkap: awal : 5 A0e v p K 0 5K 00 v p 40 5 5 v v p A0e 40 A0e v(0 ) 11V. Penerapan kondisi 11 40 A0 9 5 Tanggapan oal: v 40 9 e V. awal memberikan : Fungsi Pemaksa Berbenuk Sinus. Beriku ini kia akan mencari solusi jika fungsi pemaksa berbenuk sinus. Karena solusi homogen idak erganung dari benuk fungsi pemaksa, maka pencarian solusi homogen dari persamaan ini sama seperi apa ang kia liha pada conoh-conoh sebelumna. Jadi dalam hal ini perhaian kia lebih kia ujukan pada pencarian solusi khusus. Dengan pengerian bahwa kia hana memandang kejadian pada > 0, benuk umum dari fungsi sinus ang muncul pada 0 kia uliskan Melalui relasi Acos( ω θ) { cosω cosθ sin ω θ} Acos( ω θ) A sin benuk umum fungsi sinus dapa kia uliskan sebagai Ac cosω As sin ω dengan Ac Acosθ dan As Asin θ Dengan benuk umum seperi di aas kia erhindar dari perhiungan sudu fasa θ, karena sudu fasa ini ercakup dalam koefisien A c dan A s. Koefisien A c dan A s idak selalu ada. Jika sudu fasa θ 0 maka A s 0 dan jika θ 90 o maka A c 0. Jika kia memerlukan nilai sudu fasa θ dari fungsi sinus ang As dinaakan dengan pernaaan umum, kia dapa menggunakan relasi an θ. A Turunan fungsi sinus akan berbenuk sinus juga. Oleh karena iu, penjumlahan sinω dan urunanna akan berbenuk fungsi sinus juga. A cos ω A sin ω ; c d Ac ωsin ω Asω cosω d Ac ω s cos ω A ω s ; sin ω Conoh: Pada kondisi awal v(0 ) 0 V suau analisis ransien menghasilkan persamaan 5 v 100cos10 Persamaan karakerisik : s 5 0 s 5 solusi homogen : 5 A0e Fungsi pemaksa berbenuk sinus. Solusi khusus kia duga akan berbenuk sinus juga. c 7/8
Darpublic Nopember 01 www.darpublic.com solusi khusus : v p Ac cos10 As sin10 Subsiusi solusi khusus ini ke persamaan memberikan : 10Ac sin10 10As cos10 5Ac cos10 5As sin10 100 cos10 10Ac 5As 0 dan 10As 5Ac 100 As Ac 0Ac 5Ac 100 Ac 4 dan As 8 Solusi khusus : v p 4 cos10 8sin10 5 solusi oal : v 4 cos10 8sin10 A0e Kondisi awal v(0 ) 0. Penerapan kondisi awal : 0 4 A0 4 5 Jadi: v 4 cos10 8sin10 4e V Conoh: Apabila kondisi awal adalah v(0 ) 10 V, bagaimanakah solusi pada conoh sebelum ini? Solusi oal elah diperoleh; hana kondisi awal ang berubah. 5 Solusi oal : v 4 cos10 8sin10 A0e Kondisi awal v(0 ) 10 10 4 A0 6 5 Jadi : v 4 cos10 8 sin10 6 e V 4.7. Ringkasan Solusi oal erdiri dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi homogen merupakan bagian ransien dengan konsana waku ang dienukan oleh eapan-eapan dalam persamaan, ang dalam hal rangkaian lisrik dienukan oleh nilai-nilai elemen rangkaian. Solusi khusus merupakan solusi ang erganung dari benuk fungsi pemaksa, ang dalam hal rangkaian lisrik dienukan oleh masukan dari luar; solusi khusus merupakan bagian manap aau kondisi final. ( ) / τ p A0 e Solusi khusus : dienukan oleh fungsi pemaksa. merupakan komponen manap; eap ada unuk. Solusi homogen : idak dienukan oleh fungsi pemaksa. merupakan komponen ransien; hilang pada ; sudah dapa dianggap hilang pada 5τ. konsana waku τ a/b pada (14.10) 8/8 Sudarano Sudirham, Persamaan Diferensial (Orde 1)