Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) ()
Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : :
Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan Dan Untuk Kehidupan
PRAKATA Kalkulus merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa tingkat pertama pada Prodi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat. Dari segi konsep isi perkuliahan kalkulus dapat dikatakan sudah baku, artinya tidak banyak mengalami perubahan dalam waktu yang cukup panjang. Bagian yang secara berkala perlu direvisi adalah teknik penyajiannya. Penyusunan Buku Kerja ini bertujuan mengefektifkan proses pembelajaran. Melalui buku kerja diharapkan peran serta mahasiswa lebih dapat dioptimalkan. Selain sebagai bahan bagi dosen untuk dipakai dalam menjelaskan materi kuliah, buku kerja ini dapat dipakai mahasiswa sebagai pengganti catatan kuliah. Dengan demikian waktu pembelajaran di kelas dapat digunakan secara efektif untuk diskusi dan ceramah. Secara keseluruhan, buku kerja ini disusun berdasarkan pendekatan penemuan terbimbing. Diharapkan melalui bimbingan mahasiswa dapat memahami materi dikarenakan setiap konsep yang diberikan melalui langkahlangkah yang sistematis dan mahasiswa dituntut untuk aktif mengerjakan secara bermakna. Buku kerja ini disusun secara ringkas dengan tetap memperhatikan tujuan perkuliahan Kalkulus 1 dan dengan memperhatikan kebutuhan dan karakteristik mahasiswa. Harapan kami, dengan adanya buku kerja yang terstruktur ini adalah untuk menjadikan Kalkulus sebagai pelajaran yang fokus pada gagasan dasar yang berkisar kata-kata, rumus-rumus dan grafik-grafik. Menyelesaikan soal, meskipun diperlukan untuk pengembangangan keterampilan matematis seharusnya tdak menjadi fokus dalam mempelajari buku kerja ini, karena yang paling penting adalah mahasiswa memahami Kalkulus secara bermakna. Penyajian materi pada buku kerja ini, agar dapat menstimulasi pemikiran mahasiswa. selalu dimulai dengan memberikan ilustrasi, atau memberikan masalah yang kemudian dipertanyaan. Setelah mahasiswa mampu menuliskan (memahami) i
materi, agar dapat memberikan contoh yang relevan dengan teori, disajikan contoh soal, latihan terbimbing dan latihan mandiri. Seluruh latihan ini diharapkan dapat meningkatkan pemahaman terhadap materi. Buku kerja ini terdiri dari empat bagian yang sistematis. Materi pertama 1. Sistem Bilangan Riil dan Fungsi. Topik ini memuat dasar tentang sistem bilangan riil. Pengenalan ilmu ukur analitik dalam bab ini memuat materi tradisional tentang garis lurus dan lingkaran. Definisi fungsi, operasi dengan fungsi dan jenis fungsi yang khusus juga dibicarakan. Penyajian fungsi trigonometri diberikan diperlukan sebelum digunakan sebagai contoh pada bab berikutnya. Bagian kedua 2. Limit dan Kekontinuan. Topik ini dimulai dengan memperkenalkan definisi limit, kemudian dilanjutkan sifat-sifat limit, limit sepihak. Setelah materi limit, dilanjutkan dengan mendefinisikan fungsi kontinu baik kontinu di titik maupun kontinu selang. Bagian Ketiga 3. Turunan. Topik ini memuat konsep turunan yakni dari limit. Bagian Keempat 4. Penggunaan Turunan. Topik ini membicarakan tentang konsep maksimum-minimum, penggunaan turunan pertama dan uji turunan kedua, dan diakhiri dengan penggambaran grafik fungsi dengan memanfaatkan sifat maksimum dan minimum. Akhir kata, semoga buku kerja ini bermanfaat bagi pemerhati Kalkulus, terkhusus mahasiswa. Jika ada kritik dan saran yang membangun. kami menerima secara terbuka. Pada kesempatan ini secara khusus diucapkan terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Ahmad Fauzan, M.Pd, M.Sc dan Ibu Dr. Armiati, yang telah banyak memberikan arahan, masukan dan ide-ide dalam menyusun dan menyelesaikan Buku Kerja ini Padang, Juni 2014 Penyusun ii
DAFTAR ISI PRAKATA............ i DAFTAR ISI............ iii PETUNJUK BELAJAR......... ix BAB 1. SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI 1.1 Sistem Bilangan Riil... 1 Desimal Berulang dan Tak Berulang... 4 Kepadatan... 5 Urutan... 6 Latihan Terbimbing 1.1... 7 Latihan Mandiri 1.1... 8 1.2 Pertidaksamaan... 11 Interval Tertutup dan Terbuka... 11 Menyelesaikan Pertidaksamaan... 12 Latihan Terbimbing 1.2... 14 Latihan Mandiri 1.2... 16 1.3 Nilai Mutlak... 19 Sifat-sifat Nilai Mutlak... 20 Latihan Terbimbing 1.3... 21 Mengubah Aljabar ke Bentuk yang Tidak Memuat Nilai Mutlak... 22 Latihan Terbimbing 1.4... 22 Pertidaksamaan Nilai Mutlak... 24 Latihan Terbimbing 1.5... 26 Latihan Mandiri 1.3... 28 1.4 Sistem Koordinat Cartesius... 32 Latihan Mandiri 1.4... 33 1.5 Grafik Persamaan... 35 Latihan Terbimbing 1.6... 37 Latihan Mandiri 1.5... 39 1.6 Rumus Jarak, Lingkaran, dan Persamaan Garis... 41 iii
Rumus Jarak... 41 Persamaan Lingkaran... 42 Persamaan Garis... 43 Latihan Mandiri 1.6... 47 1.7 Fungsi dan Grafiknya... 50 Pengertian dan Notasi Fungsi... 50 Daerah Asal (Domain) dan Daerah Hasil (Range)... 51 Grafik Fungsi... 52 Latihan Terbimbing 1.7... 54 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil... 57 Latihan Terbimbing 1.8... 59 Latihan Mandiri 1.7... 59 1.8 Operasi pada Fungsi... 62 Jumlah Selisih, Hasil Kali, hasil Bagi dan Pangkat... 62 Fungsi Komposisi... 63 Penggeseran... 64 Latihan Terbimbing 1.9... 65 Latihan Mandiri 1.8... 67 1.9 Fungsi Trigonometri... 70 Grafik Sinus dan Cosinus... 71 Fungsi-Fungsi Trigonometri Lain... 71 Sifat-Sifat Penting Fungsi Trigonometri... 72 Latihan Mandiri 1.9... 72 BAB 2. LIMIT DAN KEKONTINUAN 2.1 Pengertian Limit... 75 Pemahaman Limit Secara Intuitif... 76 Pengkajian Mendalam Tentang Limit... 77 Definisi Limit... 78 Latihan Terbimbing 2.1... 80 Latihan Mandiri 2.1... 81 2.2 Sifat-Sifat Limit Fungsi... 82 Latihan Terbimbing 2.2... 85 Latihan Mandiri 2.2... 86 iv
2.3 Limit Sepihak... 88 Definisi Limit Kanan... 89 Definisi Limit Kiri... 89 Teorema Limit Fungsi... 89 Latihan Terbimbing 2.3... 90 Latihan Mandiri 2.3... 92 2.4 Limit Fungsi Trigonometri... 94 Latihan Terbimbing 2.4... 95 Latihan Mandiri 2.4... 96 2.5 Kekontinuan Fungsi... 98 Kekontinuan Terhapus dan Tidak terhapus... 100 Kekontinuan Sepihak... 101 Kekontinuan dalam Interval... 101 Latihan Terbimbing 2.5... 101 Sifat-Sifat Kekontinuan Fungsi... 102 Latihan Mandiri 2.5... 102 2.6 Limit Tak Berhingga... 105 Definisi Limit Positif Tak berhingga... 105 Teorema Limit Tak Hingga... 107 Latihan Terbimbing 2.6... 108 Latihan mandiri 2.6... 110 2.7 Limit Di Tak Hingga... 110 Definisi Limit di Tak Hingga... 110 Sifat Limit Di Tak Hingga... 111 Latihan Terbimbing 2.7... 112 Latihan Mandiri 2.7... 114 BAB 3. TURUNAN 3.1 Garis Singgung dan Kecepatan sesaat... 115 Garis Singgung... 115 Kecepatan sesaat... 118 Latihan Terbimbing 3.1... 120 Latihan Mandiri 3.1... 120 3.2 Turunan... 122 v
Definisi Turunan... 122 Notasi-Notasi Lain untuk Turunan... 122 Latihan Terbimbing 3.2... 125 Latihan Mandiri 3.2... 127 3.3 Turunan Sepihak... 129 Definisi Turunan Kanan... 129 Definisi Turunan Kiri... 129 Keterdiferensialan dan Kekontinuan... 129 Latihan Terbimbing 3.3... 132 Latihan Mandiri 3.3... 133 3.4 Aturan Pencarian Turunan... 138 Turunan Fungsi Konstanta... 138 Turunan Fungsi f(x) = x n... 138 Turunan Fungsi Hasil Kali Konstanta dengan suatu fungsi, cf(x)... 139 Turunan Jumlah Dua Fungsi, f(x) + g(x)... 139 Turunan Hasil Kali Dua Fungsi, f(x)g(x)... 139 Turunan Hasil Bagi Dua Fungsi, ()... () 140 Latihan Terbimbing 3.4... 142 Latihan Mandiri 3.4... 143 3.5 Turunan Fungsi Trigonometri... 146 Turunan y = sin x... 146 Turunan y = cos x... 147 Turunan y = tan x... 147 Turunan y = cot x... 147 Turunan y = sec x... 147 Turunan y = cosec x... 148 Latihan Terbimbing 3.5... 149 Latihan Mandiri 3.5... 150 3.6 Aturan Rantai... 152 Latihan Terbimbing 3.6... 153 Latihan Mandiri 3.6... 155 3.7 Turunan Tingkat Tinggi... 157 Latihan Terbimbing 3.7... 159 Latihan Mandiri 3.7... 161 vi
3.8 Diferensial Implisit... 162 Latihan Terbimbing 3.8... 164 Latihan Mandiri 3.8... 165 3.9 Laju Berkaitan... 167 Latihan Terbimbing 3.9... 170 Latihan Mandiri 3.9... 171 BAB 4 PENGGUNAAN TURUNAN 4.1 Maksimum dan Minimum... 175 Definisi Maksimum/Minimum... 176 Keberadaan Maksimum/Minimum... 178 Lokasi Maksimum/ Minimum... 178 Latihan Terbimbing 4.1... 182 Latihan Mandiri 4.1... 185 4.2 Teorema Roole dan Teorema Rata-Rata... 191 Teorema Roole... 191 Teorema Nilai Rata-rata... 193 Latihan Terbimbing 4.2... 195 Latihan Mandiri 4.2... 196 4.3 Fungsi Naik dan Fungsi Turun Serta Uji Turunan Pertama... 198 Definisi Fungsi Naik/Turun... 199 Sifat Kemonotonan Fungsi... 199 Latihan Terbimbing 4.3... 200 Ekstrim Lokal... 201 Pengujian Ekstrim Lokal... 202 Latihan Terbimbing 4.4... 205 Latihan Mandiri 4.3... 206 4.4 Kecekungan dan Titik Belok... 210 Latihan Terbimbing 4.5... 214 Latihan Mandiri 4.4... 214 4.5 Uji Turunan kedua untuk Ekstrim Lokal... 218 Latihan Terbimbing 4.6... 222 Latihan Mandiri 4.5... 223 4.6 Asimtot Grafik... 226 vii
Asimtot Tegak... 226 Asimtot Datar... 227 Asimtot Miring... 227 Latihan Terbimbing 4.7... 232 Latihan Mandiri 4.6... 233 4.7 Aplikasi Untuk Menggambar Grafik... 236 Latihan Terbimbing 4.8... 240 Latihan Mandiri 4.7... 242 REFERENSI KUNCI JAWABAN LATIHAN MANDIRI viii
. Petunjuk Belajar S ebelum mempelajari buku kerja ini perhatikan terlebih dahulu petunjuk belajar berikut: 1. Baca dan pahami cara kerja yang ada pada buku ini secara berurutan sehingga memudahkan anda dalam memahani konsep yang disajikan. 2. Isilah bagian yang kosong sesuai dengan arahan yang diberikan. 3. Jika Anda terkendala pada suatu bagian dalam buku ini, ulangilah membacanya dengan cermat dan berulang-ulang, atau mintalah bimbingan dari dosen. 4. Kerjakan latihan terbimbing dengan mengikuti petunjuk pengerjaan yang diberikan pada setiap latihan yang diberikan 5. Kerjakan latihan yang tersedia secara mandiri. Jika anda mengalami kesulitan, pedomanilah contoh soal yang ada.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 1. SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI P ada bagian ini, Anda akan mempelajari mengenai sistem bilangan riil. Sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya merupakan dasar dalam kalkulus. Sebelum membicarakan sistem bilangan riil tersebut terlebih dahulu dibicarakan bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan irrasional. Tentu hal ini sudah pernah dipelajari di sekolah dasar maupun menengah. Buku kerja ini akan membimbing Anda dalam menentukan konsep dan operasi bilangan riil, mencari bilangan diantara dua bilangan riil serta menggunakan aturan pertidaksaman untuk menyelesaikan soal-soalnya. Kompetensi Utama Mahasiswa mampu memahami konsep fungsi. Kompetensi Penunjang Mahasiswa dapat menentukan sifat bilangan riil, menentukan bilangan rasional, menentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan, ketaksamaan mutlak dan dapat mensketsa grafik fungsi. 1.1 Sistem Bilangan Riil Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Tetapi apakah bilangan riil itu? dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, Anda mulai dengan mengenal sistem bilangan yang tentu sudah Anda kenal seperti barisan bilangan (1) 1, 2, 3, (1) 1
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Kumpulan bilangan (1) biasanya dinotasikan dengan N, yang sudah Anda kenal sebagai himpunan bilangan asli sli. Dengan bilangan ini Anda dapat menghitung banyak buku, teman, ataupun uang yang Anda miliki. Kemudian, jika bilangan (1) digabungkan dengan barisan bilangan negatifnya dan nol maka terbentuk barisan bilangan (2), yaitu -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, (2) Notasikan bilangan (2) dengan Z, Z sudah Anda kenal sebagai himpunan bilangan bulat. Selanjutnya, misalkan Anda berkepentingan mengukur berat badan anggota keluarga Anda. Anda mungkin menemukan bilangan-bilangan berikut (dalam satuan kg) 50 ; 45,5 ; 60,75 (3) Perhatikan bilangan (3), mungkin saja ditemukan bilangan-bilangan yang tidak ada pada (2). Bilangan-bilangan pada (3) dapat dinyatakan menjadi hasil bagi dua bilangan, yaitu 50= ; 45,5=; 60,75= (4) Jadi, bilamana Anda mencoba mengukur panjang, berat, atau tegangan listrik, bilanganbilangan (2) tidak memadai. Bilangan ini terlalu memberikan ketelitian yang cukup. Sehingga diperlukan pertimbangan hasil bagi (rasio) dari bilangan (2) seperti bilangan (4). Yang selanjutnya disebut bilangan Rasional. Himpunannya disebut himpunan bilangan rasional, disimbolkan dengan Q. Untuk mendefinisikan Q secara tepat, terlebih dahulu lakukan perhitungan pembagian, atau (a bilangan bulat sebarang) dengan menggunakan Kalkulator. Apa yang tertera pada Kalkulator Anda? Menurut Anda, apa penyebabnya sehingga Anda tidak menemukan hasilnya? 2.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Jadi perlu diingat, jangan sekali-kali membagi dengan! Sekarang Anda sudah dapat mendefinisikan bilangan rasional secara tepat, yaitu Q = Sekarang, apakah bilangan-bilangan dalam Q berfungsi mengukur semua panjang? Perhatikan Gambar 1.1 berikut: 1 2 1 Gambar 1.1 2 merupakan panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku dengan sisi-sisi 1. Jika digunakan Kalkulator maka diperoleh 2=1,4142135623, yang mempunyai desimal yang tidak berulang sehingga 2 tidak dapat dinyatakan sebagai suatu hasil bagi dari dua bilangan bulat (segera pada bagian berikutnya Anda mengetahui tentang alasannya). Jadi 2 bukanlah anggota himpunan bilangan rasional. Himpunan bilangan seperti ini yang disebut dengan bilangan irrasional dinotasikan \. Gabungan bilangan-bilangan rasional dan irrasional disebut himpunan bilangan riil dinotasikan dengan. Dari yang telah dipaparkan, terdapat lambang-lambang baku notasi bilangan yaitu N, Z, Q, R\, dan R. Tuliskan kembali himpunan-himpunan bilangan itu dengan memaparkan anggotanya dalam notasi himpunan. N = Z = Q = 3
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Perhatikan bahwa himpunan bilangan itu merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan lainnya, jelas bahwa N DESIMAL BERULANG DAN TAK BERULANG. Untuk memahami bilangan desimal yang merupakan bilangan rasional ataupun bilangan desimal yang merupakan bilangan irrasional perhatikan beberap contoh pada Tabel 1: Tabel 1.1 Contoh Bilangan rasional dan Irrasional Contoh Bilangan Hasil dalam bentuk Keterangan 0,25 1 Bilangan rasional 4 0,25000 1 Bilangan rasional 4 2,134134134 2132 Bilangan rasional 999 1,11111 10 Bilangan rasional 9 2,123456789 - Blangan Irrasional 1,12131415 - Bilangan Irrasional Perhatikan contoh-contoh pada Tabel 1.1. Fokuskan pengamatan Anda terhadap bilangan yang desimalnya berulang (meskipun tidak berhenti). Amati juga bilangan irrasional dari desimalnya juga. Apakah desimal bilangan irrasional berhenti?apakah desimalnya berulang? Simpulkan pengamatan Anda terhadap bilangan rasional dan irrasional jika dipandang dari desimalnya pada kolom berikut 4.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Contoh 1.1 Perlihatkan bahwa x = 1.203203203.. adalah bilangan rasional! Penyelesaian. Kurangkan x dari 1000x, dan kemudian hitung x 1000x = 1203,203203... x = 1,203203... 999x = 1202 = Maka x = 1.203203203.. disebut bilangan rasional. KEPADATAN. Sekarang ambil dua bilangan riil, misalkan saja 2 dan 4. Ambillah sebuah bilangan antara bilangan 2 dan 4 ini. Ambillah lagi antara 2 dan (bilangan yang diambil pertama) sebuah bilangan lagi yaitu Lakukan beberapa kali pengambilan bilangan antara 2 dan bilangan terakhir yang Anda ambil. Apakah selalu ada bilangan yang Anda ambil itu?. Apakah antara dua bilangan riil terdapat bilangan riil lainnya?. Apakah bilangan itu jumlahnya tak terhingga?. Perhatikan bahwa ada banyak sekali bilangan rill yang terdapat antara dua bilangan rill. Situasi inilah yang disebut padat di sepanjang garis rill. Coba Anda simpulkan tentang sifat ini 5
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi URUTAN. sifat urutan bilangan riil, menurunkan suatu konsep yang membandingkan antara bilangan riil. Sehingga diperoleh suatu bilangan riil lebih dari atau kurang dari bilangan riil lainnya. Untuk memahami ini, buatlah sebuah garis bilangan riil Perhatikan garis bilangan riil yang Anda buat, bilangan riil bukan 0 dipisahkan sama besar menjadi dua himpunan bilangan terpisah. Misalkan diketahui dua bilangan riil x dan y. Ada tiga kemungkinan dari x dan y, yaitu: x lebih kecil dari y,, atau. Ini adalah salah satu Sifat urutan bilangan riil. Agar lebih jelas, lengkapilah pernyataan berikut: (1) Trikotomi, jika a dan b adalah bilangan-bilangan riil maka tepat satu diantara yang berikut berlaku a < b atau = atau > (2) Ketransitifan, jika a < b dan b < c, maka < (3) Penambahan, jika a < b maka + c < + c (4) Perkalian, a. Jika c > 0 dan a < b maka < b. Jika c < 0 dan a < b maka > Contoh 1.2. Mana dari pernyataan berikut yang benar? a. untuk semua x, x 2 > 0 b. untuk semua x, x < 0 x 2 > 0 penyelesaian: a. salah. Jika dipilih x = 0, maka tidak benar bahwa x 2 > 0 b. benar. Jika x < 0 maka x 2 > 0 6.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini LATIHAN TERBIMBING 1.1 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan 1. Perlihatkan bahwa x = 0,399999.. adalah bilangan rasional! Petunjuk Pengerjaan: Kurangkan x dari 1000x, dan kemudian hitung x sehingga diperoleh x sebagai hasil bagi dua bilangan bulat, dengan demikian kita sudah menunjukkan x = 0,399999 merupakan bilangan rasional. 7
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 2. Apakah 2,123456789101112131415 rasional atau irrasional?(anda seharusnya melihat suatu pola dalam barisan angka tersebut) Petunjuk pengerjaan: Perhatikan bilangan tersebut, pastikan apakah terdapat desimal berulang. Jika terdapat desimal berulang maka kita dapat menyatakan bilangan 2,123456789101112131415 sebagai hasil bagi dua bilangan bulat, Jika tidak, maka kita dapat memastikan bahwa bilangan tersebut adalah bilangan irrasional. LATIHAN MANDIRI 1.1 1. Berikan bukti kebenaran untuk pernyataan berikut a. 3 adalah bilangan irrasional b. jumlah dua bilangan rasional adalah bilangan rasional c. jika a < b maka < <. Penyelesaian...... 8.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi............ 2. Selidiki apakah setiap pernyataan yang diberikan benar? Jika benar, buktikan kebenaran pernyataan tersebut. Tetapi jika salah berikan contoh penyangkal yang menyatakan bahwa pernyataan tersebut salah a. Jika a b maka a 4 b 4 b. Jika a b maka a 2 ab Penyelesaian......... 9
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 3. Ubahlah masing-masing desimal berulang berikut menjadi suatu hasil bagi dua bilangan bulat a. 2,56565656.. b. 0,21717171.. c. 3,92929292.. Penyelesaian............... 10.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 1.2 Pertidaksamaan Pada urutan bilangan riil, telah diketahui bahwa antara dua bilangan riil tepat satu antara =, atau < atau > berlaku. Tanda = memberikan ciri pada persamaan. Tanda <, atau > atau atau < atau berhubungan dengan pertidaksamaan. Jadi apa yang disebut pertidaksamaan? Perhatikan Gambar 1.2 Suatu titik pada sumbu dipilih untuk menyatakan bilangan 0, sebut titik asal. Pilihlah satu satuan jarak. Negatif dua (-2) misalnya adalah menyatakan suatu titik yang berjarak 2 satuan dari kiri ke titik asal, dan positif 1 menyatakan suatu titik yang berjarak 1 satuan ke kanan dari titik asal. Jadi setiap bilangan positif x 1 dinyatakan oleh suatu titik yang berjarak dan setiap negatif x 2 dinyatakan oleh suatu titik yang berjarak. Perhatikan bahwa jika dipilih dua bilangan katakanlah a dan b, jika a < b maka titik a berada di sebelah titik b. Sebaliknya juga, jika a > b maka titik a berada di sebelah titik b. INTERVAL TERTUTUP DAN TERBUKA. Pertidaksamaan -2 < x < 1 mempunyai arti yang sama dengan -2 < x dan x < 1, yang menunjukkan interval terbuka yang terdiri dari semua bilangan antara -2 dan 1 tidak termasuk titik-titik ujung -2 dan 1. Dinyatakan interval ini dengan notasi (-2,1). Sebaliknya, -2 x 1 berarti interval tertutup yang 11
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi mencakup titik-titik antara -2 dan 1 termasuk 2 dan1, yang dinyatakan dengan [-2, 1]. Lengkapi Tabel 1.2 yang menunjukkan berbagai kemungkinan interval. Tabel 1.2. Jenis-Jenis Interval Penulisan Himpunan Penulisan Interval Grafik {x: a < x < b} (a, b) {x: a x b} {x: a < x b} {x: x b} {x: x < b} {x: x } {x: x > a} R Hati-hati: dan bukan bilangan riil, jadi tidak pernah termasuk dalam subset bilangan riil MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN. Menyelesaiakan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan riil yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan penyelesaian tersebut dapat dituliskan dalam bentuk notasi himpunan atau dalam notasi interval. 12.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Contoh 1.3. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 7x 2 9x + 3. Penyelesaian. 7x 2 9x + 3 7x 2 + 2 9x + 3 + 2 7x 9x + 5 7x 9x 9x + 5 9x 2x 5 2x 5. x. Jadi Himpunan penyelesaian dari 7x 2 9x + 3 adalah HP =,+ =:. Contoh 1.4. Selesaikan pertidaksamaan -5 < 2x + 6 < 4 Penyelesaian. -5 < 2x + 6 < 4-5 -6 < 2x + 6-6 < 4 6-11 < 2x < -2 < x < -1 Jadi Himpunan penyelesaian dari -5 < 2x + 6 < 4 adalah HP = : < 1 Contoh 1.5. Tentukan himpunan jawab pertaksamaan <5 Penyelesaian. Perhatikan pertaksamaan tersebut, jangan pernah sekali-kali mengali dengan x karena x belum diketahui bernilai negatif atau positif. Jadi lebih baik kita nolkan salah satu ruas. 5<0 <0 Titik-titik pembuat nol = dan x = 0. Ambil titik-titik uji misalnya x = 2, x =1 dan x = -1 Jadi Himpunan penyelesaian dari 9 5 atau < 0 <5 adalah HP = (,0) (,+ =: > Contoh 1.6. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2 - x 6 Penyelesaian. x 2 - x 6 x 2 - x 6 0 (x-3)(x+2) 0 13
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Titik-titik pembuat nol adalah x = 3 dan x = -2. Misalkan ambil titik uji x = 4, x = 0 dan x = -3 Jadi penyelesaian dari x 2 - x 3 atau 2 6 adalah HP = 3,+ ) (, 2]=: Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini, terutama bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan. LATIHAN TERBIMBING 1.2 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan 1. Selesaikan 14 0 Petunjuk Pengerjaan: Perhatikan pembuat nol. Gunakan titik-titik uji. Hati-hati dengan bilangan penyebut, ingatlah bahwa penyebut tidak boleh 0. Sehingga diperoleh penyelesaian 0 adalah (, 2) atau 1,+ ).
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 2. Selesaikan <+1 Petunjuk Pengerjaan: Jangan sekali-kali mengali kedua ruas dengan x, karena x belum diketahui bilangan positif atau bilangan negatif, sehingga akan mengaburkan tanda pertidaksamaan. Tambahkan setiap ruas dengan ( x + 1), kemudian samakan penyebut sehingga diperoleh bentuk 2 <0, selanjutnya dengan cara yang sama pada petunjuk pengerjaan pada latihan (1) diperoleh himpunan penyelesaian <+1 adalah (-2,0) atau (1,+ ) 15
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 3. Selesaikan 3x + 1 < x < 2x +1 Petunjuk Pengerjaan: Perhatikan bahwa pertidaksamaan a < b < c mempunyai makna yang sama dengan a < b dan b < c. Dengan menggunakan sifat ini pertidaksamaan 3x + 1 < x < 2x +1 mempunyai makna yang sama dengan 3x + 1 < x dan x < 2x +1. Sehingga diperoleh penyelesaian 1, 1 2 LATIHAN MANDIRI 1.2 Dari soal nomor 1 sampai dengan 6 berikut, tentukan himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan yang diberikan 1. 5x + 2 > x 6 Penyelesaian 16.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 2. 3 2 3 13 Penyelesaian 3. 2 + x > -3-3x 7 Penyelesaian 4. < Penyelesaian 17
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 5. (x -3)(x+5) > 0 Penyelesaian 6. 1 x 2x 2 0 Penyelesaian 7. Tentukan semua nilai x sehingga bilangan 2 +2 1 riil Penyelesaian 18.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 8. Tentukan semua nilai x sehingga bilangan 2 2 +5 3 riil Penyelesaian 1.3 Nilai Mutlak Perhatikan ilustrasi pada Gambar 1.3 Kita dapat dengan mudah menentukan jarak antara -3 dan 0, yaitu dan jarak antara 3 dan 0 yaitu. Kita dapat menyimpulkan bahwa jarak antara -3 dan 0 sama dengan jarak antara 3 dan 0. Jarak ini selalu bernilai positif. Begitu juga jarak antara dua -2 dan 4, perhatikan Gambar 1.4 19
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Jarak antara -2 dan 4 adalah. Secara umum, jarak antara dua bilangan sebarang x dan a selalu bernilai positif. Berapakah nilainya? Jadi jarak antara dua bilangan x dan a dapat ditulis sebagai, dan jarak antara x dan titik asal dapat dituliskan sebagai selalu bernilai positif. Jarak inilah yang disebut sebagai nilai mutlak. Jadi nilai mutlak dapat didefinisikan sebagai = jika 0 jika <0 SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK. Nilai mutlak tidak menimbulkan masalah dalam proses perkalian dan pembagian, tetapi tidak begitu dalam proses penambahan dan pengurangan. Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut: 1. = jika dan hanya jika =± dan x 2 = y 2. 2. Jika a > 0 maka a. jika dan hanya jika dan x 2 a 2 b. jika dan hanya jika x a atau x dan x 2 a 2 3. Untuk setiap bilangan riil x dan y berlaku a. = b. =, y 0 4. Untuk setiap bilangan riil x dan y berlaku a. + + c. b. + d. 20.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Contoh 1.7. Selesaikan persamaan 3+2=5 Penyelesaian (3x + 2) 2 = 25 9x 2 + 12x +4 = 25 9x 2 + 12x 21 = 0 3x 2 + 4x - 7 = 0 (3x + 7)(x - 1) = 0 x = 7/3 atau x =1 Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini, terutama mengenai nilai mutlak. LATIHAN TERBIMBING 1.3 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan. 1. Selesaikan persamaan 2 1=4+3 Petunjuk Pengerjaan: Kuadratkan kedua ruas, nolkan salah satu ruas sehingga diperoleh sebuah persamaan kuadrat, dan selesaikan persamaan itu 21
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 2. Selesaikan persamaan 5+4= 5 Petunjuk Pengerjaan: Perhatikan persamaan tersebut, ingatlah bahwa nilai mutlak menunjukkan jarak (selalu bernilai positi). Apa yang dapat Anda simpulkan. MENGUBAH ALJABAR KE BENTUK YANG TIDAK MEMUAT NILAI MUTLAK. Secara umum untuk mengubah bentuk aljabar ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak adalah dengan menggunakan sifat-sifat nilai mutlak yang telah Anda pelajari. Perhatikan Contoh 1.8. Contoh 1.8. Berdasarkan definisi nilai mutlak ubahlah 5 ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak. Penyelesaian. 5 jika 5 0 5= ( 5) jika 5<0 5 jika 5 = 5 jika <5 LATIHAN TERBIMBING 1.4 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan. 1. Ubahlah 5 10 ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak. Petunjuk Pengerjaan: Gunakan definisi nilai mutlak untuk mengubah bentuk aljabar ke yang tidak memuat nilai mutlak. 22.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 2. Ubahlah bentuk aljabar f(x) = 3+ 2 ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak. Petunjuk Pengerjaan: Ubahlah secara terpisah 3 dan +2. Perhatikan bahwa bentuk pertama nilai mutlak berganti tanda di x = 0 dan bentuk kedua berganti tanda di x = 2., dengan batas ini bentuklah garis bilangan sehingga kita punya tiga selang bagian. Gunakan batas ketiga selang ini untuk menghitung bentuk aljabarnya sehingga diperoleh 4+2 jika <0 ()= 2+2 jika 0 <2 4 2 jika 2 23
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK. Untuk memahami bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak, perhatikan ilustrasi berikut: Selesaikan 2+8 < 5. Cara I., I Dengan menggunakan sifat nilai mutlak pertidaksamaan 2+8 < 5 dapat diubah menjadi -5 < 2x + 8 < 5 sehingga diperoleh < x < 2+8 jika 4 Cara II. Perhatikan bahwa 2+8 =, (2+8) jika < 4 dengan memperhatikan bentuk ini. selesaikan satu persatu. Kasus 1, 1 x -4, dipunyai 2+8<5 yang mempunyai penyelesaian x <,,jadi penyelesaiannya adalah irisan antara x -4 dan x < yaitu <. Kasus 2, 2 x < -4, dipunyai -2x 8 < 5 yang mempunyai penyelesaian x >, jadi penyelesaiannya adalah irisan antara x < -4 dan x > yaitu << 4. Penyelesaian 2+8 < 5 merupakan gabungan dari penyelesaian dari kasus 1 dan dari kasus 2, sehingga diperoleh < x < Dari dua cara ini, buatlah kesimpulan bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak 24.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Contoh 1.9. Tentukan penyelesaian dari 3+2>6 Penyelesaian. Dari sifat nlai mutlak, pertaksamaan 3+2>6 dipenuhi jika 3x+2 > 6 atau 3x + 2 < -6, sehingga dipunyai x > atau x < -. Jadi Penyelesaian dari 3+2> 6 adalah { x : x > atau x < - } Contoh 1.10. 10. 2<2+1 Penyelesaian. Perhatikan dengan seksama pertidaksamaan tersebut, Pertidaksamaan ini hanya bisa kita selesaikan dengan mengubah ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak. (Kenapa?) 2 untuk 2 2= 2 untuk <2 Jika 2, maka dipunyai x 2 < 2x + 1 yang dipenuhi oleh x > 3.. Karena hanya untuk 2 maka penyelesaian dari kasus ini adalah x > 3. Jika x < 2 maka dipunyai 2 x < 2x + 1 yang dipenuhi oleh x >. Karena hanya untuk x < 2 maka penyelesaian dari kasus ini adalah < x < 2. Jadi penyelesaian dari 2<2+1 adalah { x: x > 3 atau < x < 2 } Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini 25
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi LATIHAN TERBIMBING 1.5 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan 1. 5 4 Petunjuk Pengerjaan: Gunakan sifat nilai mutlak, atau bisa juga dengan mengubah bentuk ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak. 2. 2 7<+1 Petunjuk Pengerjaan : hati-hati! Jangan menggunakan sifat nilai mutlak karena itu akan menjebak penyelesaian kita. Ubahlah +1 bentuk yang tidak memuat nilai mutlak, kemudian selesaikan dengan menggunakan konsep pertidaksamaan 26.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 3. 8 3 2 Petunjuk Pengerjaan: kuadratkan kedua ruas (hal ini dibolehkan karena tanda nilai mutlak telah menjamin bahwa keduanya tidak mungkin negatif) 4. 2+22+3>2 Petunjuk Pengerjaan: Ubahlah ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak, dan selesaikan kasus demi kasus. 27
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi LATIHAN MANDIRI 1.3 Untuk nomor 1 sampai dengan 3 berikut, ubahlah setiap bentuk yang diberikan ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak 1. 2++3 2. ++1 2+6 3. 2 Penyelesaian 28.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Untuk nomor 4 sampai dengan 12 berikut, selesaikan pertidaksamaan tersebut 4. +4<7 9. < 2 5. 2 5>3 10. 3+2 1 7 6. 2+3 3 11. (3+2) 63+2+8 0 7. 8. 2 2 Penyelesaian 12. (2 5) 32 5>10 29
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 30.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 31
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 1.4 Sistem Koordinat Cartesius Gambarlah dua garis riil, satu mendatar dan satu tegak, sedemikian rupa sehingga keduanya berpotongan pada titik-titik nol dari kedua garis tersebut. Berilah nama garis mendatar tersebut dengan sumbu-x dan garis tegak dengan sumbu-y, dan perpotongan kedua garis itu dengan nama titik asal O. Dari gambar bidang yang dibuat, ada bagian daerah yang dapat kita temukan. Berilah masing-masing daerah itu dengan nama Kuadran I, Kuadran II, Kuadran III, dan Kuadran IV. Kuadran I merupakan bidang yang diwakili oleh bagian sumbu-x positif dan y positif, Kuadran II diwakili oleh bagian, Kuadran III diwakili oleh bagian, dan Kuadran IV diwakili oleh bagian. Selanjutnya ambillah sebuah titik sebarang pada bidang itu, misalnya titik P. Misalkan Titik P diwakili oleh pasangan terurut (x,y). Nilai x mewakili nilai yang diambil dari garis mendatar (sumbu-x) dan nilai y diambil dari garis tegak (sumbu-y). Pada setiap pasangan terurut (x,y), x disebut absis dan y disebut ordinat. Pasangan itulah yang biasa disebut dengan koordinat kartesius. Jadi setiap pasangan terurut bilangan (a,b) dapat digambarkan sebagai sebuah titik pada koordinat tersebut dan sebaliknya setiap titik pada bidang koordinat Kartesius berkorespondensi dengan satu buah pasangan bilangan (b,a). Himpunan semua pasangan bilangan terurut riil (x,y) dinamakan bidang yang dinyatakan dengan R 2. 32.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Buatlah definisi untuk beberapa istilah pada Tabel 1.3: Tabel 1.3 Sumbu-x Sumbu-y Titik asal Absis Ordinat Koordinat Kartesius Bidang R 2 Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini LATIHAN MANDIRI 1.4 Dalam soal-soal 1-4, gambarkan titik-titik yang diberikan dalam bidang koordinat 1. P(4,5), Q (2,3) 3. P(-4,5), Q (2,3) 2. P(4,5), Q (-2,3) 4. P(4,-5), Q (2,-3) Penyelesaian 33
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Dalam Soal 5 8, gambarlah titik P sehingga titik-titik berikut dapat digambarkan a. Titik Q sehingga garis yang melalui Q dan P tegak lurus ke sumbu x dan terbagi dua olehnya. Berikan koordinat titik Q. b. Titik R sehingga garis yang melalui P dan R tegak lurus ke sumbu y dan dibagi dua olehnya. Berikan koordinat titik R. c. Titik S sehingga garis yang melalui P dan S terbagi dua oleh titik asal. Berikan koordinat S. 5. P(1,-2) 7. P(-1,-3) 6. P(-2,2) 8. P(0,-3) 34.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Penyelesaian 1.5 Grafik Persamaan Perhatikan persamaan y = x 2-4. Tuliskan dan lengkapilah beberapa titik-titik yang memenuhi y = x 2-4 pada Tabel 1.4: Tabel 1.4.. Beberapa pasangan titik yang memenuhi y = x 2-4 X -3-2 -1 0 1 2 3 4 Y 35
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Pasangan terurut (x,y) ini memenuhi persamaan itu. Ini berarti himpunan (x,y) merupakan himpunan penyelesaiannya pada bidang R 2. Sekarang, plotlah pasangan titik itu pada sistem koordinat Kartesius, ingatlah bahwa persamaan tersebut adalah persamaan kuadrat yang grafiknya berbentuk parabola. Perkirakan sebuah kurva mulus mewakili persamaan itu. Perhatikan bahwa grafik itu merupakan himpunan seluruh penyelesaian (x,y) yang memenuhi persamaan y = x 2-4.. Jadi, grafik suatu persamaan di R 2 adalah Contoh 1.11. Gambarkan sketsa grafik persamaan y = +4 Penyelesaian. Persamaan y = +4 tak negatif. Nilai y tak negatif, karena itu grafik persamaannya berada di atas sumbu x. Grafik persamaannya diberikan pada Gambar 5 4 Contoh. 1.12 Gambarkan sketsa grafik y Gambar 1.5 x persamaan y = +4 Penyelesaian Persamaan y = -+4 negatif. Nilai y negatif, karena itu grafik persamaannya berada di bawah sumbu x. Grafik persamaanya diberikan pada Gambar 6 4 y Gambar 1.6 x 36.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini LATIHAN TERBIMBING 1.6 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan 1. Sketsalah grafik persamaan y 2 - x 4 = 0 Petunjuk Pengerjaan: Perhatikan bahwa persamaan dapat dibuat dalam y 2 = x + 4, oleh karena itu grafik persamaannya merupakan gabungan dari grafik pada Contoh 1.11 dan Contoh 1.12 37
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 2. Sketsalah grafik persamaan =+1 Petunjuk Pengerjaan: Dari definisi nilai mutlak suatu bilangan diperoleh +1 jika 1 +1= 1 jika < 1 Plotlah titik-titik yang memenuhi dua persamaan ini, perhatikan bahwa nilainya selalu positif. 3. Sketsalah grafik persamaan (x + y ) (y + x 2 ) = 0 Petunjuk Pengerjaan: Menurut sifat bilangan riil ab = 0 jika dan hanya jika a = 0 atau b = 0, diperoleh (x + y) = 0 atau (y + x 2 ) = 0. Koordinat yang memenuhi (x + y )(y + x 2 ) = 0 akan selalu memenuhi (x + y ) = 0 dan (y + x 2 ) = 0. Karena itu grafik persamaan terdiri dari dua grafik yaitu grafik (x + y) = 0 dan (y + x 2 ) = 0. 38.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi LATIHAN MANDIRI 1.5 Untuk soal 1-10, sketsalah grafik setiap persamaan 1. y = 2x + 5 5. y = -5 9. (2x + y -1) (y + x 2 ) = 0. 2. y = 5. 6. y = 4 + x 2 10. y 2 = x 3. y = 5 7. y = 2 4. x = -4 8. y =- 4 Penyelesaian 39
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 40.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 11. a. Tuliskan persamaan yang grafiknya berimpit dengan sumbu-x. b. Tuliskan persamaan yang grafiknya berimpit dengan sumbu-y c. Tuliskan suatu persamaan yang grafiknya adalah himpunan semua titik yang terletak pada sumbu x atau sumbu y. Penyelesaian 12. a. Tuliskan persamaan yang grafiknya terdiri dari semua titik yang absisnya 5 b. Tuliskan persamaan yang grafiknya terdiri dari semua titik yang ordinatnya -4. Penyelesaian 1.6 Rumus Jarak, Lingkaran, dan Persamaan Garis. RUMUS JARAK. Sekarang Anda sudah memahami koordinat. Berdasarkan ini akan menentukan jarak antara dua titik. Perhatikan gambar berikut: Gambar 1.7 Gambar 1.8 41
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Berdasarkan Teorema Pyhtagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat sisi miring dari sebuah sisi segitiga siku-siku adalah jumlah kuadrat dari sisi-sisi lainnya, maka jarak antara titik (a,b) dan titik asal, yang diwakili oleh c adalah c =. Sekarang, bagaimana jarak antara dua titik sebarang P(x 1,y 1 ) dan Q(x 2,y 2 )? Untuk menjawabnya, perhatikan ilustrasi pada Gambar 1.9 Gambar 1. 9 Perhatikan segitiga PQR, siku-siku di R.. QR = PR = Karena PQ merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku tersebut maka PQ 2 = + Sisi miring PQ, merupakan jarak antara titik P dan titik Q. Jadi jarak antara dua titik sebarang P(x 1,y 1 ) dan Q(x 2,y 2 ). Rumus jarak dari titik P ke Q ditulis adalah = PERSAMAAN LINGKARAN. Anda mungkin sudah pernah mempelajari lingkaran. Suatu lingkaran adalah himpunan semua titik di bidang (x,y) 1 (2,1) 2 x Gambar 1.10 yang berjarak sama dari suatu titik tetap. Titik tetap itu dinamakan titik pusat lingkaran, dan jarak yang sama dinamakan jari-jari jari. Bagaimana bentuk dari persamaan lingkaran? Untuk menjawabnya, perhatikan ilustrasi Gambar 1.10, yang menyatakan sebuah lingkaran yang berjari-jari 2 dan titik pusat (2,1). Berdasarkan rumus jarak, jarak titik pusat (2,1) dengan titik sebarang (x,y) 42.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi yang berada pada lingkaran adalah ( 2) +( 1). Lingkaran mempunyai jari-jari sebesar 2, yang merupakan jarak antara titik (x,y) dan (2,1) maka lingkaran yang dimaksud memenuhi persamaan ( 2) +( 1) =2, atau ( ) +( ) =. Apa yang dapat disimpulkan jika pusat lingkaran itu adalah (a,b) dan berjari-jari r? Persamaan lingkaran yang berjari-jari r dan titik pusat (a, b) adalah PERSAMAAN GARIS. Persamaan garis tentu sudah pernah Anda pelajari di sekolah dasar ataupun di sekolah menengah. Secara umum persamaan garis diberikan oleh Ax + By + C = 0 dengan A, B, dan C konstanta-konstanta riil. Grafik persamaannya berbentuk garis lurus yang melalui dua pasangan titik (x,y). Untuk memahami persamaan garis lebih lanjut ikuti instruksi berikut: 1. Jika A = 0, persamaan garis berbentuk. Buatlah grafiknya. Apa yang dapat Anda simpulkan? 2. Jika B = 0, persamaan berbentuk. Buatlah grafiknya. Apa yang dapat Anda simpulkan? 43
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 3. Jika A, B tak nol. Bagaimana bentuk grafiknya? Berapakah kemiringannya? Untuk menjawab ini kerjakan instruksi berikut ini (i) Ambil A = 2, B = 1, dan C = 4 diperoleh persamaan 2x + y + 4 = 0 = 4. Kemiringannya (atau biasa disebut gradien) adalah m = -2. (ii) Ambil A = 2, B = -1, dan C = 4 diperoleh persamaan 2x - y + 4 = 0 = +4 Kemiringannya adalah m = 2 (iii) Ambil A = -2, B = -1, dan C = 4 diperoleh persamaan -2x - y + 4 = 0 = +4. Kemiringannya adalah m = -2 Sketsalah masing-masing grafik. Simpulkan perbedaan ketiga grafik itu 44.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 4. Misalkan diketahui dua garis y 2x = 0 dan 2y + x = 0. Garis pertama mempunyai gradien m 1 = 2 dan garis kedua mempunyai gradien m 2 =. Hasil perkalian gradien garis tersebut adalah m 1 m 2 = -1, grafik kedua garis itu saling tegak lurus. Sketsalah kedua garis tersebut pada satu bidang. Perhatikan grafiknya. Apa yang dapat Anda simpulkan tentang garis yang tegak lurus berkaitan dengan hasil kali gradiennya? 5. Misalkan diketahui dua garis y = 2x dan y = 2x +1. Gradien masing-masing garis itu, adalah m 1 = 2 dan m 2 = 2. Gradien kedua garis itu sama. Sketsalah dua garis itu pada satu bidang. Bagaimana bentuk grafik kedua garis itu. Simpulkan berdasarkan gradiennya 45
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Contoh 1.13. Gambarlah grafik 2x + 3y = 4 dan -3x + y = 5 pada satu bidang. Apakah garis tersebut saling tegak lurus? Penyelesaian. Garis 2x + 3y = 4 mempunyai kemiringan = dan garis -3x + y = 5 mempunyai kemiringan =3. Kedua garis ini tidak saling tegak lurus. Grafik kedua grafik diberikan oleh Gambar 1.11: Gambar 1.11 Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini 46.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi LATIHAN MANDIRI 1.6 1. Tentukan panjang ruas garis suatu segitiga dengan titik sudut A(-3,5), B(2,4), dan C(-1,4) Penyelesaian 2. Jika suatu titik ujung ruas garis adalah (-4,2) dan titik tengahnya (3,-1), tentukan koordinat ujung lainnya dari ruas garis itu. Penyelesaian 47
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 3. Tentukan suatu persamaan lingkaran yang berpusat di (1,2) dan melalui titik (3,-1) Penyelesaian 4. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut, kemudian gambarkan grafiknya a. x 2 + y 2 6x 8y + 9 = 0 b. 2x 2 + 2y 2 2x + 2y - 7 = 0 Penyelesaian 48.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 5. Tentukan persamaan garis dengan syarat yang diberikan: a. Kemiringannya 4 dan melalui titik (2,-3). b. Melalui titik (-2,7) dan (6,0) c. Melalui titik (1,4) dan sejajar dengan garis 2x 5y + 7 = 0 d. Melalui titik (-3,-4) dan sejajar sumbu y. e. Melalui titik (1,-7) dan sejajar sumbu x. Penyelesaian. 6. Diketahui garis l dengan persamaan 2y -3x = 4 dan titik P(1,-3). Tentukan persamaan garis yang melalui P dan tegakl lurus l Penyelesaian 49
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 1.7 Fungsi dan Grafiknya. Konsep fungsi sangat berperan dalam Kalkulus. Topik dalam Kalkulus misalnya limit, kekontinuan, turunan maupun integral selalu melibatkan suatu fungsi. Oleh karena itu, konsep fungsi seperti daerah asal, daerah hasil, operasi-operasi pada fungsi, fungsi komposisi dan fungsi invers sangat diperlukan. PENGERTIAN DAN NOTASI FUNGSI. Untuk memahami fungsi, perhatikan ilustrasi berikut: Misalkan A = {a, b, c} dan B = { 1, 2, 3, 4}. Jika kita hubungkan himpunan A ke himpunan B, maka kita dapatkan beberapa hubungan (relasi) di antaranya Gambar 1.12 Gambar 1.12(i) dan (iii) menyatakan suatu fungsi dari A ke B, sedangkan Gambar 12 (ii) dan (iv) tidak menyatakan suatu fungsi dari A ke B. Perhatikan masing-masing gambar itu! Apa yang membedakannya? Pada Gambar 12 (i) dan (iii) setiap anggota A mempunyai relasi dengan tepat satu anggota B. Sedangkan Gambar (ii) ada anggota A yang tidak mempunyai relasi ke B. pada Gambar (iv) meskipun setiap anggota A telah mempunyai 50.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi relasi dengan anggota B tetapi ada anggota B yang mempunyai relasi lebih dari satu. Apa yang dapat Anda simpulkan tentang fungsi? Fungsi dinotasikan dengan simbol huruf tunggal seperti f, g atau F. Penulisan y = f(x) berarti x elemen dari A, f(x) disebut aturan pemadanannya dan y elemen B yang merupakan pasangan dari x.. Bilangan x dan y adalah peubah. Karena untuk fungsi f nilainya dinyatakan dengan x, dan karena nilai y bergantung pada pemilihan x maka x adalah peubah bebas dan y peubah tak bebas. Contoh 1.14. Pandanglah persamaan berikut sebagai persaman y yang bergantung pada x. Tentukanlah mana yang menyatakan fungsi! a. y = 2 c. xy 3 = 1 b. x 2 + y 2 = 25 d. y 2 = x Penyelesaian Dari persamaan itu, a dan c merupakan fungsi karena untuk setiap x dipasangkan dengan tepat satu nilai y. Sedangkan b dan d tidak. Oleh karena itu b dan d bukanlah fungsi. DAERAH ASAL (DOMAIN) DAN DAERAH HASIL (RANGE). Untuk menyebutkan suatu fungsi secara lengkap kita harus menyatakan daerah asal (domain) dari fungsi tersebut. Perhatikan ilustrasi berikut Ilustrasi 1. Diketahui fungsi f(x) = x 2. Fungsi ini terdefinisi secara baik (well defined) pada seluruh bilangan riil., Hal ini berarti fungsi itu didefinisikan untuk setiap bilangan riil yang memenuhi persamaan f(x) = x 2. Jadi domain fungsi tersebut adalah D f = {x: x R } dan daerah hasil R f = { y : y 0. Grafik fungsinya diberikan pada Gambar 1.13 51
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Ilustrasi 2. Diketahui fungsi f(x) = x 2, -1 < x < 1. Berbeda dengan ilustrasi 1, fungsi ini didefinisikan secara jelas pada -1 < x < 1. Oleh karena itu D f = { x : -1 < x < 1} dan daerah hasil R f = { y : 0 < y < 1}. Grafik fungsi diberikan pada Gambar 1.14 Gambar 1.13 Gambar 1.14 Dari dua ilutrasi ini apa yang disebut dengan Domain fungsi f dan Range fungsi f? Jika untuk sebuah fungsi daerah asalnya tidak disebutkan maka daerah asalnya adalah himpunan bilangan riil sehingga dimana fungsi tersebut well defined, daerah asal ini disebut daerah asal alami (natural domain). GRAFIK FUNGSI. Sebagaimana grafik persamaan yang telah kita pelajari, grafik fungsi f merupakan himpunan titik-titik (x,y) di R 2 sehingga (x,y) merupakan pasangan terurut dari f. 52.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Contoh 1.15. Diketahui fungsi f(x) = x + 2. Tentukan daerah asal D f dan daerah hasil R f serta grafik fungsi f. Penyelesaian Fungsi ini tidak menyebutkan domain secara eksplisit, sehingga domain yang dimaksud y adalah domain alami, yaitu D f = {x : x, dan R f = {y : y }. Grafik f diberikan pada Gambar 1.15 2 y = x+2 2 Gambar 1.15 x Contoh 1.16. Diketahui fungsi f(x) = - +1 Tentukan daerah asal D f dan daerah hasil R f serta grafik fungsi f. Penyelesaian Fungsi ini tidak menyebutkan domain secara eksplisit, sehingga domain yang dimaksud adalah domain alami, yaitu yang membuat fungsi f terdefinisi, Jadi D f = {x : x 1, dan R f = {y : 0 }. Grafik f diberikan pada Gambar 1.16: -1 y -1 x y = - +1 Gambar 1.16 53
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini LATIHAN TERBIMBING 1.7 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan. Tentukan daerah asal D f dan daerah hasil R f serta grafik fungsi f. 1. y = f(x) = Petunjuk Pengerjaan: Fungsi y = didefinisikan dengan penyebut tidak boleh nol merupakan fungsi rasional. Fungsi rasional 54.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 2. y = f(x) = Petunjuk Pengerjaan. y = f(x) = merupakan fungsi nilai mutlak, Anda sudah mempelajari itu pada bagian 1.3. Mulailah dengan mengubah f ke bentuk yang tidak memuat tanda nilai mutlak. Perhatikan bahwa fungsinya terdiri dari dua fungsi linier. Plotlah titik-titik yang memenuhi fungsi itu, Anda akan memperoleh sebuah grafik yang seluruhnya berada di atas sumbu-x 3. =()= 2 jika 0 1 jika x<0 Petunjuk Pengerjaan: Fungsi f didefinisikan pada seluruh bilangan riil, tetapi dibatasi oleh x = 0. Sketsalah x 2 untuk 0 dan 1 untuk x < 0. 55
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 4. y = f(x) = Petunjuk Pengerjaan: Fungsi f menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Grafiknya berupa fungsi tangga. Domain dari f adalah seluruh bilangan riil dan rangenya adalah himpunan bilangan bulat. FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL Seringkali kita memperkirakan kesimetrian grafik suatu fungsi dengan memeriksa rumus fungsi tersebut. Hal ini akan mengantarkan kita ke definisi fungsi genap dan fungsi ganjil. Untuk memahami itu ikuti intruksi berikut pada tempat yang disediakan: 1. sketsa grafik f(x) = x 2 dan g(x) = x 56.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 2. Perhatikan grafik f dan g yang Anda buat. Grafik f simetris terhadap dan Grafik g simeteris terhadap 3. Lengkapi Tabel 1.5 Tabel 1.3 X -2-1 1 2 a -a f(x)= x 2 g(x) = x 4. Dari Tabel 1.3, diketahui bahwa f(2) = =, f(1) = =, f(a) = = g(2) = =, g(1) = =, g(a) = = Fokuskan pada intruksi pada poin (2) dan poin (4). Fungsi f(x) = x 2 merupakan fungsi genap, dan.g(x) = x merupakan fungsi ganjil. Jadi secara umum fungsi genap mempunyai grafik yang simetris terhadap atau f(-x) =, dan fungsi ganjil mempunyai grafik yang simetris terhadap atau g(-x) =. Kesimpulan 1. Fungsi genap adalah fungsi yang memenuhi 2. Fungsi ganjil adalah fungsi yang memenuhi Contoh 1.17. Selidiki apakah fungsi berikut genap atau ganjil, atau tidak keduanya a. y = x 2 b. y = 1 c. y = Penyelesaian 57
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi a. Perhatikan bahwa f(-x) = (-x) 2 = x 2 = f(x) oleh karena itu y = x 2 merupakan fungsi genap b. Perhatikan bahwa f(-x) = 1 f(x) dan f(-x) = 1 -f(x) oleh karena itu fungsi nilai mutlak ini bukanlah fungsi ganjil dan bukan fungsi genap. c. Perhatikan bahwa f(-x) = f(x) dan f(-x) = -f(x) oleh karena itu fungsi ini bukan fungsi ganjil atau fungsi genap. Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini LATIHAN TERBIMBING 1.8 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan. Selidiki apakah fungsi berikut genap atau ganjil atau tidak keduanya. 1. ()= 2 Petunjuk Pengerjaan. Carilah f(-x) kemudian perhatikan apakah f(-x) = f(x) f(-x) = -f(x) atau tidak keduanya. atau 58.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 2. ()=cos Petunjuk Pengerjaan. Carilah f(-x) kemudian perhatikan apakah f(-x) = f(x) f(-x) = -f(x) atau tidak keduanya. atau LATIHAN MANDIRI 1.7 1. Manakah dari yang berikut yang merupakankan suatu fungsi f dengan rumus y = f(x)? Petunjuk: Selesaikan untuk y dalam bentuk x dan perhatikan bahwa definisi fungsi mensyaratkan suatu y tunggal untuk tiap x. a. x = 2+1 c. y = 4 2 b. xy + y + 3x = 4, x 1 d. y 2 + x 2 = 4 Pemyelesaian 2. Diketahui f(x) = 2x -1, tentukan a. f(3) c. f(0) e. f(x-1) b. f(-2) d. f(a+1) f. f(2x) 59
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Penyelesaian 3. Diketahui f(x) =, tentukan a. f(1) c. f( () ) e. () b. f(-3) d. f(3+x) f. f(x+h) Penyelesaian 4. Carilah daerah asal alami masing-masing fungsi berikut a. f(z) = 2+3 c. h()= b. g(y) = 9 d. ()= 2 2 Penyelesaian e. H(x) = 2+3 60.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 5. Nyatakan apakah fungsi berikut ini genap atau ganjil atau tidak keduanya. Kemudian sketsa grafiknya a. f(x) = -4 e. f(x) = 2 b. h(x) = 3x 2 + 2x -1 f. H( x) = +3 c. g(x) = 1 jika 0 d. ()= 1 jika <0 Penyelesaian 1 jika 0 g. ()= +1 Jika 0<<2 2 1 jika 2 h. f(x) = 1 61
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 1.8 Operasi Pada Fungsi Seperti halnya dua bilangan a dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru, demikian juga fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan fungsi baru f + g. JUMLAH, SELISIH, HASIL KALI, HASIL BAGI DAN PANGKAT. Dua fungsi dapat dioperasikan dengan operasi jumlah,dan perkalian. Daerah asal untuk fungsi yang dihasilkan merupakan irisan dari daerah asal fungsi semula. Perhatikan contoh berikut Contoh 1.18. Misalkan diketahui fungsi f(x) = x dan g(x) = 9 2. Tentukan f + g, f g, fg,, dan f 5. Beserta daerah asal (domain) Penyelesaian Fungsi f(x) = x mempunyai domain seluruh bilangan riil, sedangkan g(x) = 9 2. mempunyai domain [-3, 3]. Hasil dari operasi ditampilkan pada Tabel 1.3 berikut Tabel 1.3 62.
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Rumus (f + g) (x) = x + 9 2 (f - g) (x) = x - 9 2 (f.g) (x) = x. 9 2 ()=9 2 f 5 (x) = 9 2 Domain [-3, 3] [-3, 3] [-3, 3] [-3, 0) atau (0,3] [-3, 3] FUNGSI KOMPOSISI. Perhatikan dua fungsi f(x) = 2 dan g(x) =3 dibentuk fungsi baru (g o f) (x) = g (f(x)) = 2 = fungsi yang demikian disebut fungsi komposisi dari 2 f dan g. Masalah: Bagaimana menentukan D gof dan R gof?. Untuk menjawab ini perhatikan Gambar 1.17 berikut f Rg Df Df Rg Gambar 1.17 g Titik-titik dari D f yang dapat dievaluasi oleh fungsi komposisi g o f adalah titik-titik yang oleh fungsi f dipetakan ke dalam D g. Misalkan A = R f D g maka 63
Sistem Bilangan Riil dan Fungsi D gof = f -1 (A) dan R gof = g(a) Contoh 1.19. Misalkan diketahui fungsi f(x) = 1+ x 2 dan g(x) = 1. Tentukan g o f dan D g o f dan R gof Penyelesaian. g o f (x) = g (f(x)) = g(1+ x 2 ) = 1 (1+ 2 )= 2. D f = (,+ ), R f = 1,+ ), D g = (,1] dan R g = 0,+ ) sehingga kita mempunyai A = R f D g = {1} sehingga D gof = f -1 (A) = {0} dan R gof = g(a) = {0} Contoh 1.20. Misalkan diketahui fungsi f(x) = dan g(x) =. Tentukan f o g, D fo g dan D fo g Penyelesaian. f o g(x) = f (g(x)) =f( )=. D g = 0,+ ), R g= 0,+ ), D f = R 0 dan R f = R sehingga kita mempunyai A = R g D f = (0,+ ) sehingga D fog = g -1 (A) = (0,+ ) dan R fog = f(a)= (0,+ ) PENGGESERAN. Jika diberikan grafik fungsi y = f(x). Bagaimana grafik dari f( x- a) dan grafik f(x) + a?. Untuk mengetahui ini perhatikan ilustrasi berikut Ilustrasi. Perhatikan grafik-grafik berikut Gambar 1.18 Grafik y = (x-1) 2 merupakan hasil pergeseran grafik y = x 2 sejauh 1 satuan ke kanan. Grafik y = (x+1) 2 merupakan hasil pergeseran grafik y = x 2 sejauh 1 satuan ke kiri, Grafik y = x 2 + 1 merupakan hasil pergeseran grafik y = x 2 sejauh 1 satuan ke atas, Grafik y = x 2-1 merupakan hasil pergeseran grafik y = x 2 sejauh 1 satuan ke bawah. 64.