SOLUSI PERSAMAAN NON LINEAR

SOLUSI PERSAMAAN NON LINEAR Pada bab n dbahas solus dar persamaan non lnear yang banyak djumpa dalam ormulas kasus -kasus ska, yatu pencaran akar persamaan ndng roots Dsajkan beberapa metode yang basa dgunakan, dan nt pembahasan terletak pada mplementas 3 tga metode komputas numerk, yatu metode Bsecton, metode Newton Raphson dan metode Secant, ddalam menangan berbaga kasus yang dsertakan A SASARAN UMUM Sasaran umum dar perkulahan n adalah memberkan pe mahaman kepada mahasswa mengena proses penyelesaan kasus ska dalam ormulas persamaan non lnear secara komputas numerk, dan memberkan keleluasaan wawasan tentang beberapa metode dar sekan banyak metode yang bsa dmplementaskan B SASARAN KHUSUS Setelah perkulahan selesa dlaksanakan, mahasswa dharapkan mampu: Memormulaskan enomena ss dalam bentuk persamaan non lnear ke dalam ormula terat komputas numerk Menyebutkan beberapa metode komputas numerk dalam kasus ndng roots 3 Menjelaskan proses teras dar bracketng methods dan open methods 4 Menjelaskan perlaku metode Bsecton, Newton Raphson dan Secant sesua dengan karakter persamaan non lnear yang dtangan 5 Mengembangkan pemahaman dengan menggunakan karakterstk metode-metode komputas numerk yang lan 6 Meng-mplementaskan metode komputas numerk untuk persamaan non lnear dalam program komputer C URAIAN MATERI ska-komputas 30

Telah dkenal beberapa metode nonkomputer d dalam menyelesakan akarakar secara aljabar dan non-aljabar Untuk kasus non-aljabar ada persamaan transendental ddalamnya mengandung bentuk-bentuk trgonometr, eksponensal, logartma, dan persamaan campuran yang mengandung polnom dan transendental Dalam beberapa kasus, akar-akar bsa dtentukan dengan metode langsung Contoh yang palng sederhana sepert pada persamaan lnear a + b0 dmana a dan b adalah konstanta dan a0, maka akar tunggal dar persamaan, o b/a Persamaan kuadrat a + b + c0 dalam keadaan tertentu bsa dselesakan dengan ormula kuadratk:, b ± b 4 ac a Rumus-rumus yang memberkan nla eksak dar penyelesaan secara eksplst hanya ada untuk kasus-kasus yang sangat sederhana Fungs yang cukup sederhana sepert e - sudah tdak bsa dselesakan secara analtk Dalam hal n satusatunya alternat adalah menggunakan solus pendekatan appromate soluton Salah satu metode untuk menentukan solus pendekatan adalah menggambar ungs dan menentukan nla dmana 0, sepert terlhat pada contoh Contoh Gunakan pendekatan grak untuk menentukan koesen tark drag coesent c yang dperlukan sebuah parasut bermassa m68, kg sehngga kecepatannya 40 m/dtk setelah terjun bebas selama t0 detk Catatan: percepatan gravtas 9,8 m/dtk Solus Kecepatan parasut yang dturunkan dar Hukum Newton II dberkan oleh persamaan 7 pada Bab adalah: v t gm e c c / m t Dapat kta lhat bahwa tdak sepert kecepatan parasut secara eksplst dapat dsolas pada satu ss dan sebaga ungs waktu dalam kasus n koesen drag adalah ska-komputas 3

mplst Kasus n bsa dselesakan dengan metode numerk mengurang varabel takbebas v pada kedua ss persamaan, sehngga: dengan cara c gm e c c / m t v Nla c yang membuat c0, selanjutnya dsebut akar persamaan, yang juga representas dar koesen drag sebaga solus dar kasus Dengan memasukkan parameter t0, g9,8, v40 dan m68, 9,868, c / 68,0 c e 40 atau c 667,38 c /, 0 c e 68 40 3 c Varas nla c yang dsubttus pada persamaan memberkan hasl c pada tabel sebelah kr Kurva melntas sumbu c antara dan 6 dan dar kelengkungan grak memberkan estmas akar 4,75 t,dt 4 8 6 0 c 34,5 7,653 6,067,69 8,40 40 0 Akar 0 0 4 8 0 c Gambar Pendekatan grak untuk menentukan akar-akar persamaan Dengan subttus 4,75 pada persamaan 3, valdtas estmas grak bsa duj: 667,38 4,75 /, 0 4,75 e 68 40 0,059 dan 4,75 9,868, 4,75 / 68, 0 v e 40,059 m / 4,75 dtk ska-komputas 3

Metode grak n tdak cukup telt precson Cara yang lan adalah melakukan tral and error Teknk n terdr dar sebuah nla coba dan devaluas apakah 0 jka tdak, dmasukkan nla coba yang lan dan devaluas kembal untuk menentukan apakah nla yang baru memberkan estmas akar yang lebh bak Proses akan berulang sampa sebuah nla coba memberkan hasl 0 Metode sepert tu jelas tdak sstemats, tdak esen dan tdak memada untuk aktvtas sants Metode pendekatan yang palng tepat adalah metode -metode teras numerk Metode teras numerk adalah metode yang memberkan plhan suatu 0 sebaga tebakan awal dan secara beruntun menghtung barsan 0,,, secara rekurs dar relas berbentuk n+ g n n0,,, 4 dengan g ddenskan dalam selang yang memuat 0 dan rentang g terletak dalam selang tersebut Jad secara beruntun dht ung g 0, g, 3 g Metode teras sangat pentng untuk beragam masalah dalam analsa numerk, dengan kelebhan umumnya tdak sangat terpengaruh oleh merambatnya kesalahan pembulatan Contoh Buatlah program sederhana menggunakan BASIC untuk mencar akar post dar ungs 5, dengan nla tebakan awal, lebar langkah 0,5 dan tolerans 0 6 Nla sebenarnya 5,36068 Solus Program BASIC 5 De Fn* 5 0 TolE 06 5 : FOldFn: d5 0 Iter%0 5 30 Whle Absd>Tol 35 Iter%Iter%+ 40 +d 45 Prnt Iter%,,Sqr5 50 I FungsOld*Fn>0 Then Goto 60 55 d: dd/ 60 Wend 65 ska-komputas 33

70 Stop Runnng program memberkan hasl sebaga berkut: Iteras ke-n 3 4 3 4 3 33 Nla 5 5 5 4875 3885 360668837305 3606875585938 Kesalahan Error 07360679774997897 0360679774997897 06393050003 393050003E 00 6955000304E 003 3750003036E 003 59648500894E 006 748086478035856E 007 Pada teras ke-33 proses komputas berhent, karena telah memenuh tolerans kesalahan 0 6 dengan press jawaban yang bagus Berkut n adalah metode -metode yang populer dgunakan untuk menyelesakan masalah ndng roots terutama pada kasus persamaan non lnear 0 secara komputas numerk: a Bagdua Bsecton ntal Guesses:,Convergence Rate:Slow, Stablty:Always, Accuracy:Good, Breadth o Applcaton:Real Roots, Programmng Eort:Easy b Poss Palsu False Poston c Ttk Tetap Fed Pont Iteraton d NewtonRaphson ntal Guesses:,Convergence Rate:Fast, Stablty:Possbly Dvergent, Accuracy:Good, Breadth o Applcaton:General, Programmng Eort:Easy, Requres evaluaton o e Modkas Newton Raphson Tal Busur Secant ntal Guesses:,Convergence Rate:Medum to Fast, Stablty:Possbly Dvergent, Accuracy:Good, Breadth o Applcaton:General, Programmng Eort:Easy, Intal guesses do not have to bracket the root g Modkas Talbusur Secant Moded h Müller Barstow ska-komputas 34

Metode analsa numerk datas, memlk karakterstk terapan metode a dan b untuk akar-akar real, metode b sampa g untuk general aplkas, dan metode h dan untuk akar-akar polnomal D sn hanya akan dmplementaskan satu atau beberapa metode yang dplh, dengan pertmbangan yang dsertakan pada tem metode, sebaga dasar untuk menangan kasus-kasus ska pada bab-bab selanjutnya Metode Grak dengan contoh dan metode Bagdua adalah termasuk metode mengurung bracketng methods, sedangkan metode Newton Raphson dan metode Secant termasuk metode terbuka open methods Metode Bagdua Bsecton Nla akan berubah tanda, berbeda pada kedua ss akar, sepert yang dtunjukkan pada contoh Secara umum, jka real dan kontnu pada nterval antara l sampa u, dan l dan u berlawanan tanda, maka < 0 5 l u dan sekurang-kurangnya ada satu akar pada nterval tu Berkut langkah-langkah komputas aktual dengan metode bagdua: Langkah : Langkah : Tentukan nla awal l yang lebh rendah dan u yang lebh tngg, sehngga ungs berubah tanda melalu nterval In bsa dcek dengan menghtung < 0 l u Estmaskan akar r, yang dtentukan oleh: l + u r Langkah 3: Lakukan evaluas berkut untuk menentukan nterval akar: a Jka < 0 berart akar pada sub-nterval bawah l, r, l r kemudan set u r dan kembal lakukan langkah b Jka > 0 berart akar pada sub-nterval atas u, r, l r kemudan set l r dan kembal lakukan langkah c Jka 0 akarnya adalah r, perhtungan dhentkan l r Dengan metode n dtentukan ttk tengah nterval, dan nterval akan dbag menjad dua sub-nterval, yang salah satunya past mengandung akar Berkutnya yang dtnjau adalah sub-nterval yang mengandung akar Proses dulang dengan membag sub-nterval tersebut dan memerksa separo sub-nterval mana yang ska-komputas 35

mengandung akar Pembagduaan sub-sub nterval n dlanjutkan sampa lebar nterval yang dtnjau cukup kecl Krtera penghentan komputas dan kesalahan estmas pendekatan, adalah bjaksana untuk selalu dsertakan ddalam setap kasus pencaran akar Kesalahan relat er cukup representat untuk kasus dmana nla akar sebenarnya telah dketahu Pada stuas aktual basanya nla akar sebenarnya tdak dketahu, sehngga dperlukan kesalahan relat pendekatan, e ra, yatu: e ra baru lama r r baru r 00 % Contoh 3 Dengan menggunakan metode bsecton Bagdua : [a] Selesakan problem pada contoh [b] Tentukan akarnya sampa kesalahan pendekatan dbawah 0,5% Solus [a] Langkah pertama dalam metode bagdua, member dua nla awal dar nla yang tdak dketahu yatu koesen drag c, sehngga c memberkan tanda yang berbeda dar gambar dapat dlhat bahwa ungs berubah tanda antara nla dan 6 Sehngga, teras pertama: r estmas awal akar r yang merupakan ttk tengah nterval: + 6 4, kesalahan relat er5,3% catatan bahwa nla akar sebenarnya 4,780 4 6,067,569 9,57 > 0,konsekuensnya akar berada pada nterval 4 dan 6 selanjutnya teras kedua: ttk tengah dar sub-nterval antara 4 dan 6: 4 + 6 r 5 dengan kesalahan relat : e r 5% Proses berulang untuk mendapatkan estmas: 4 5 6,067 0,45 0,666 < 0 Jad akar berada dantara 4 dan 5 4 + 5 Iteras ketga : r 4, 5 dengan kesalahan relat e r,9% Metode n bsa terus berulang sampa haslnya cukup akurat ska-komputas 36

[b] krtera penghentan e s adalah 0,5% Hasl untuk teras pertama kedua adalah 4 5 4 dan 5, maka e ra 00 % 6,667 % 4 teras selengkapnya adalah sebaga berkut: teras l u r e ra % e % 3 4 5 6 4 4 4,5 4,75 4,75 6 6 5 5 5 4,875 4 5 4,5 4,75 4,875 4,85 6,667 3,448,695 0,840 0,4 dar 6 teras akhrnya era<es0,5% dan komputas dhentkan 5,79,487,896 0,04 0,64 0,9 Algortma Bsecton Untuk mengmplementas kasus mencar akar persamaan dengan menggunakan metode bsecton ke dalam pemrograman komputer, dapat dgunakan algortma dalam ormat pseudocode dbawah FUNCTION Bsectl,u,es,ma,r,ter,era ter0 DO rlamar rl+u/ terter+ IF r0 THEN eraabsr rlama/r*00 END IF testl*r IF test<0 THEN ur ELSE IF test>0 THEN lr ELSE era0 END IF IF era<es OR ter ma EXIT END DO Bsectr END Bsect Algortma n tdak user rendly, tetap tdak sult bag yang sudah mengenal bahasa pemrograman Fungs pada algortma n ddenskan sendr oleh user untuk membuat lokas akar dan evaluas ungs telah drancang lebh esen ska-komputas 37

Metode Newton Raphson Metode Newton Raphson adalah metode teras lan untuk memecahkan persamaan 0, dengan dasumskan mempunya turunan kontnu Secara geometr metode n menggunakan gars snggung sebaga hampran ungs pada suatu selang Gagasan dasarnya adalah grak dhampr dengan gars-gars snggung yang sesua Dengan menggunakan suatu nla sebaga tebakan awal yang dperoleh dengan melokalsas akar-akar dar terlebh dahulu, kemudan dtentukan + sebaga ttk potong antara sumbu dan gars snggung pada kurva d ttk, Prosedur yang sama dulang, menggunakan nla terbaru sebaga nla coba untuk teras seterusnya Metode Newton Raphson + 0 menjad: Contoh 4 kemrngan o n bsa dturunkan dar nterpretas geometr alternat lan ddasarkan pada deret Taylor Dar gambar, 0 turunan pertama terhadap adalah ekvalen dengan kemrngan: +3 + + + Gambar Skema metode Newton Raphson 0 ' 6 + Dan bsa dtulskan ulang + 7 ' Carlah akar post dar ungs 5 pada contoh soal, dengan nla tebakan awal, Nla sebenarnya 5,36068 Gunakan metode Newton Raphson! Solus : ska-komputas 38

Turunan pertama dar ungs 5 adalah, subttuskan pada persamaan 7 menjad: + 5 Dmula dar nla tebakan awal, htungan teras menggunakan Mcrosot Ecel memberkan data sepert pada gambar 3 Gambar 3 Pencaran akar dengan Newton Raphson Terlhat metode Newton Raphson hanya memerlukan 6 teras untuk mendapatkan nla pendekatan numerk yang tepat dengan nla sebenarnya pada keteltan 0 6, dbandng dengan pencaran akar pada contoh soal Contoh 5 Gunakan metode Newton Raphson untuk mencar estmas akar dar ungs transendental e, dengan nla tebakan awal 0 Solus : Turunan pertama ddapatkan: e, sehngga persamaan 7 menjad: + e e Dmula dar nla tebakan awal 0, teras persamaan memberkan hasl: ska-komputas 39

e ra % 0 3 4 0 0,500000000 0,5663003 0,5674365 0,5674390 00,8 0,47 0,00000 < 0 8 Pengecekan hasl menggunakan sotware Numercal Methods Electronc Toolkt terlhat pada gambar 4 memberkan hasl yatu 0,567433 dalam 7 angka desmal, dengan tole rans kesalahan sampa 0 8, yang dcapa dengan jumlah teras yang cukup besar yatu 35, lebh lambat konvergensnya dbandng dengan metode Newton Raphson Gambar 4 Pencaran akar transendental dengan Numercal Methods Toolkt Tdak djelaskan metode yang dpaka tetap berdasarkan jumlah nput parameter nla coba low guess & hgh guess adalah karakterstk metode talbusur Secant yang akan djelaskan berkutnya ska-komputas 40

Metode Newton Raphson secara umum drekomendaskan karena kesederhanaannya, konvergensnya yang sangat cepat dan esen dbandng metode lannya Tetap ada pada stuas tertentu, sepert kasus khusus akar-akar ganda dalamat lebh lambat msalnya menentukan akar post dar ungs 0, dengan nla tebakan awal 0,5 Pada teras awal memberkan hasl yang cukup jauh 5,65; 46,485; dan seterusnya dengan nla yang smultan turun dengan lambat, konvergens sampa nla sebenarnya Algortma Newton Raphson Pencaran akar persamaan dengan metode Newton Raphson dengan pemrograman komputer, dapat mengacu pada algortma pseudocode dbawah FUNCTION NewtonR 0, es, ma, ter, era r0 ter0 DO rlamar rr r/ r terter+ IF r0 THEN eraabsr rlama/r*00 END IF IF era<es OR ter ma EXIT END DO NewtonR r END NewtonR Bagamanapun program harus dmodkas untuk menghtung turunan pertama dar ungs Hal n menjad lebh sederhana dengan menyspkan ungs turunan yang ddenskan oleh user sendr 3 Metode Talbusur Secant Masalah potensal dalam mplementas metode Newton Raphson adalah evaluas pada turunan Metode Secant dperoleh dar metode Newton dengan cara menggantkan turunan dengan beda hngga terbag, ska-komputas 4

ska-komputas 4 ' orward atau 8 ' backward 9 Jka dambl persamaan 8 untuk dsubttuskan pada persamaaan 7 persamaan teratnya menjad: + 0 atau bsa dtulskan dalam bentuk,,3 Secara geometr, dalam metode Newton + merupakan perpotongan sumbu dengan gars snggung d, sedangkan dalam metode Secant + adalah perpotongan sumbu dengan talbusur kurva yang berpadanan terhadap n+ dan n Metode Secant memerlukan dua tebakan awal, dan, tetap tanpa perhtungan turunan Gambar 5 Skema metode Secant Dapat dperlhatkan metode Secant lebh lambat dbandngkan metode Newton Raphson, tetap menjad plhan blamana kerja penghtungan suatu nla lebh lama darpada ½ kal kerja penghtungan nla Algortmanya serupa dengan metode Newton Tdak danjurkan menulskan skema teras pada 0 dalam bentuk + 0

karena bsa jad menmbulkan kesultan ketka n dan n- bernla hampr sama Contoh 6 Sebuah peluru bermassa gram dtembakkan vertkal ke udara dan bergerak turun setelah mencapa batas kecepatan Batas kecepatan dtentukan oleh mgf tark, dmana mmassa dan g percepatan gravtas Persamaan lengkap adalah sebaga berkut: 9,8,40 000 5 v, 5 +,5 0 dmana v adalah kecepatan batas, m/det Suku pertama pada ruas kanan menyatakan gesekan tark rcton drag, dan suku kedua menyatakan tekanan tark pressure drag Tentukan batas kecepatan dengan metode secant Nla coba awal v 30 m/det Solus: Kasus n ddenskan sebaga pencaran akar dar y v 9,8 000 5 v 5, 5 5,40 v +,5 0 v dset vo30 dan v30, ddasarkan pada nla coba awal, dmana y0 dan y dhtung dengan persamaan Iteras penyelesaan dengan persamaan sebaga berkut: v yn Jad batas kecepatannya adalah v37,7 m/det 0 3 4 5 6 30,00000 30,0000 30,54 38,644 37,6433 37,73358 37,73458 ::: Stud Kasus Fska :::,96000E 0 6,888939E 03 6,845079E 03 8,9657493E 04 9,09676E 05 9,94655E 07,86645E 09 Hukum Gas Ideal dalam Termodnamka Hukum gas deal dberkan oleh PVnRT ska-komputas 43

dmana P adalah tekanan mutlak, V adalah volume, n adalah jumlah mol, R adalah konstanta gas unversal dan T adalah temperatur mutlak Persamaan n amat luas penggunaannya dalam aktvtas engner dan sants Persamaan keadaan alternat untuk gas dnyatakan dalam persamaan a P + v b RT 3 v yang dkenal sebaga persamaan van der Waals, dmana vv/n adalah molal volume, a dan b adalah konstanta emprs yang tergantung pada sat gas Dperlukan keakuratan d dalam memberkan estmas terhadap molal volume v dar karbon dan oksgen untuk sejumlah kombnas temperatur dan tekanan yang berbeda yatu tekanan pada, 0 dan 00 atm untuk kombnas temperatur pada 300, 500 dan 700 K, sehngga cocok dalam pemlhan bejana atau tempatnya Berkut adalah data-data yang dperlukan: R 0,8054 L atm/mol K a 3,59 karbon doksda b0,0467 a,360 oksgen b0,0383 Molal volume dar kedua gas dhtung menggunakan hukum gas deal, dengan n Sebaga contoh jka P atm dan T300 K, V RT L atm 300 K v 0,08054 4,66 L / mol n P mol K atm dan perhtungan dulang untuk seluruh kombnas temperatur dan tekanan Komputas molal volume dar persamaan van der Waals bsa d selesakan dengan bak menggunakan metode numerk untuk mencar akar-akar persamaan, dengan a v P + v b RT v turunan dar v mudah ddapatkan dan mplementas metode Newton Raphson dalam kasus n sangat tepat dan esen Turunan v terhadap v dtulskan ska-komputas 44

a ab ' v P + 4 3 v v metode Newton Raphson untuk menentukan estmas akar adalah dengan ormula terat, v + v v ' v ketka menggunakan nla coba 4,66, nla komputas molal volume dar karbon doksda pada 300 K dan atm sebesar 4,56 L/mol Hasl n ddapat hanya dengan dua teras saja dan memlk kesalahan kurang dar 0,000 % Berkut adalah hasl komputas selengkapnya Temperatur, K 300 500 700 Tekanan, atm 0 00 0 00 0 00 Molal Volume, L/mol Hk Gas Ideal Van der Waals Karbon doksda 4,66 4,56,466,3545 0,46 0,0705 4,070 40,98 4,07 4,0578 0,403 0,3663 57,4378 57,479 5,7438 5,74 0,5744 0,5575 Van der Waals Oksgen 4,598,4384 0,64 4,059 4,06 0,46 57,4460 5,75 0,584 Dalam sstem kontrol proses produks yang berkatan dengan komputas terhadap kombnas temperatur dan tekanan dengan persamaan sstem yang bsa dturunkan, metode Newton Raphson sangat handal dalam hal kecepatan konvergensnya Dalam evaluas jutaan akar, plhan metode menjad aktor penentu, dan pada esensnya bassnya kontnu dar proses manuaktur sampa nal produk D SOAL-SOAL Carlah akar postv dar 0,9,5 pada nterval [,] menggunakan metode Bsecton dengan tolerans 0,00 Dengan menggunakan teras, perlhatkan bahwa akar post yang terkecl dar persamaan tan secara hampran adalah 4,49 3 Gunakan metode Newton Raphson untuk menentukan akar dar 0,9 +,7+,5 dengan o5 4 Buatlah program untuk menentukan akar dar soal ska-komputas 45

5 Tentukan kecepatan batas pada contoh 6 menggunakan metode bsecton dengan tolerans 0,0 D DAFTAR PUSTAKA Chapra, SC, and Canale, RP, Numercal Methods or Engneers, McGraw-Hll, 998 James, ML, GM Smth, and JC Wolord, Appled Numercal Methods or Dgtal Computatons, 3 rd ed Harper & Row, 985 Koonn, SE, Computatonal Physcs, Addson-Wesley Inc, 986 Mathews, JH, Numercal Methods or Mathematcs, Scence and Engneerng, Prentce-Hall Inc, 99 McCracken, D D, Computng or Engneers and Scentsts wth Fortran 77, Wley, 984 Morrs,JL, Computatonal Methods n Elementary Numercal Analyss, Wley, 983 Nakamura, S, Appled Numercal Methods n C, Prentce-Hall Inc 993 Wark, K Jr, Thermodynamcs, McGraw-Hll, 998 Yakowtz, S, and F Szdarovszky, An Introducton to Numercal Computatons, Macmllan, 986 ska-komputas 46